材料力学课件 第六章

E A dA A y dA 0 S z 0 N dA 0 A E M y z dA 0 Az dA A yz dA 0 I yz 0 A M z y dA E 1 M 2 A A y dA A y dA M EI z
对上面的实验结果进行判断和推理，我们就可以得出如下 的结论： 2.平面假设： 梁在变形前为平面的横截面，变形后仍保持为平面，并仍 然垂直于变形后的梁轴线，只是绕截面内的某一轴线旋转了一 个角度，这就是弯曲变形的平面假设。 3.单向受力假设：
假设各纵向纤维之间互不挤压。于是各纵向纤维均处于单
向受拉或受压的状态。
假设中性轴 n-n的位置尚未确定，可据上节中的同样方法可得：
E （当中性轴与Z轴重合时， y ）
——变形后，中性层的曲率半径
现取m-m截面的左半部分为研究对象。 由平衡条件可得：
N dA 0 A M y Az dA 0 M z y dA A
二、结论： 对于非对称的实体梁，只要弯曲力偶作用于形心主惯性平面 内，则中性轴与这个平面垂直，弯曲变形也发生在这个平面内， 平面弯曲的结论仍然成立，用于上面完全相同的方法还可证明， 当外力偶矩的作用平面，平行于实体梁的形心主惯性平面时(xy)平 面弯曲的结论仍然成立。
目录
§6-4 横力弯曲时的正应力 正应力强度条件
M

M
图6—1
Q

Q
本章要点：研究等直梁在平面弯曲时，梁横截面上这两种应力 的计算。
二、概念：
1、横力弯曲——在梁的各个横截面上既有弯矩，又有剪力， 因而既有剪应力又有正应力的情况，我们就称之为横力弯曲。 如图6—2中的AC和DB段。 F F 图6—2
A a
Q图
(+)
B a F a
F Fa
由弯曲正应力计算公式
M max1 Pl max1 12 bh Wz1 6 M max2 P2l 2 max2 hb Wz 2 6
P1 h P2 b
再根据 max1 max2 [ ] : 得
例6—2：主梁AB，跨度为l，采用加副梁CD的方法提高承载能 力，若主梁和副梁材料相同，截面尺寸相同，则副梁的最佳长 度a为多少？

M
o
o
y
a o b
m n
M
a o b
m
图6—3
n
实验前，在变形前的杆件上作纵向线aa和bb, 并作垂直于 纵向线的横向线mm和nn，如图6—3所示。 变形后，我们发现: aa、bb弯成弧线，aa缩短，bb伸长； mm和nn仍为直线，并且仍然与已经成为弧线的aa和bb垂 直，只是相对的转过了一个角度。 矩形截面的宽度变形后上宽下窄

My Iz
（6—7）
二、强度条件：
max
M max ymax M max Iz Wz
注： 有时 max并不发生在弯矩最大的截面上，而根截面的
形状有关。 拉压强度相等材料：
max
M Wz [ ]
max
拉压强度不等材料： l ,max [ ]l， y,max [ ]y 强度条件的作用： a、强度校核: max [ ]
l a 2
例 6—3 ： 已 知 16 号 工 字 钢 Wz=141cm3 ， l=1.5m ， a=1m ， []=160MPa，E=210GPa，在梁的下边缘C点沿轴向贴一应 变片，测得C点轴向线应变 c 400106 ,求F并校核梁正应力 强度。
l/2
F
A
a
l
C
B
z
NO.16

M y n1 m1 O1 a1 d m2 d a2' a2 n dl 2 O2 M e2

（6—2）
y
m2 x
y
e1 n2
L
E y
由上式还可看出： 当y=0时， 0 ，即： 在中性层上各点处的 应力值为零。
dx
图6—5
（三）静力关系：
可知：我们虽然知道了正应力的分布规律， 但因曲率半径 和中性轴的位置尚未确定，所以仍不能求出 正应力，因此我们还有必要考虑静力平衡关系。如图所示：横 截面上的微内力可组成一个与横截面垂直的空间平行力系，这 样的平行力系可简化成三个内力的分量：
4.纯弯曲的特点： 靠近凹入的一侧，纤维缩短，靠近凸出的一侧，纤维伸长； 由于纤维从凹入一侧的伸长或缩短到突出一侧的缩短或伸长 是连续变化的，故中间一定有一层，其纤维的长度不变，这 层纤维称为中性层。中性层与横截面的交线称为中性轴； 弯曲变形时，梁的横截面绕中性轴旋转。
中性层
中性轴
o
对称轴
z
E A dA A y dA 0 S z 0 z dA E yz dA 0 I 0 yz A A
中性层通过截面形心。
由于y轴是横截面的 对称轴，故自然满足。
1 M EI My z 由 Iz E y
ห้องสมุดไป่ตู้
y

（6—1）
即：纵向纤维的线应变与它到中性层的距离成正比
（二） 物理关系 假设纵向纤维之间不存在相互挤压，那么当应力小于比 例极限时，可用单向拉伸时的虎克定律：
E E
y
物理意义：任意纵向纤维的正应力与它到中性层的距离成正 比，即：在横截面上的正应力沿截面高度按直线 曲率中心O 规律变化。
解： 1 C E C 210109 400106 84106 Pa 84MPa （ ）
M C FB (l a) 0.25F F 47.4 103 N 47.4kN M C 0.25F 0.25F C W W 141106 z z 1 （）M max FL 17.8kN m 2 4 M max 17.8 103 max 126106 Pa 126MPa [ ] Wz 141106

E N A dA AdA 0 E E My z dA cos yzdA sin z 2 dA I yz cos I y sin 0 A A A E I y sin 0
本章要点
(1)纯弯曲时横截面上的正应力 (2)横力弯曲时的正应力 正应力强度条件 (3)弯曲剪应力 (4)弯曲剪应力的强度校核 (5)提高梁弯曲强度的措施
重要概念
纯弯曲、非对称梁、横力弯曲、弯曲剪应力、开口薄壁 杆件、弯曲中心
目录
§6-1 概 述 §6-2 纯弯曲时横截面上的正应力 §6-3 非对称梁的纯弯曲 §6-4 横力弯曲时的正应力 正应力强度条件 §6-5 弯曲剪应力
2.横截面上正应力的分布规律：
min
M
min M
3.公式适用范围：
max
max
①适用于线弹性范围——正应力小于比例极限p；
②适用于平面弯曲下的纯弯曲梁；
③横力弯曲的细长梁(跨度与截面高度比L/h>5)，上述公式的 误差不大，但此时公式中的M应为所研究截面上的弯矩，即：

M ( x) y Iz


中性轴必然通过截面形心。 E 1 M EI z sin 0 0 （由于y 和z是形心主惯性轴，故Iyz=0）
0 中性轴与Z轴重合，亦即中性轴垂直于Me的作用平面。 My ——平面弯曲的正应力公式 (6—6) Iz
中性轴 中性层 图6—4
y
如图6—3所示： z轴——截面的中性轴 y轴——截面的对称轴 bb ——距中性层为y处的纤维变形后的长度
oo ——中性层的曲率半径
——中性层的曲率半径 d ——相距为dx的两横截面的相对转角
纤维bb’的线应变：
y d d
d
N ——平行于x轴的轴力N MZ——对Z轴的力偶矩 My——对y轴的力偶矩
从式 E
y
z(中性轴)
其中：
N dA A M y Az dA M z y dA A
dA
图6—6
y
由左半部分平衡可得：
其中：
(6—3)
1

是梁轴线变形后的曲率，EIz是梁的抗弯刚度。
上式即是纯弯曲时，梁横截面上正应力的计算公式。
（四）讨论： 1.梁的上下边缘处，弯曲正应力达到最大值，分别为：
L max
My1 My2 ， y max Iz Iz
M M ， |max | ( I z / ymax ) Wz
目录
§6-3 非对称梁的纯弯曲
前面讨论的是梁上的弯曲力偶作用于纵向对称面内的情况； 下面讨论，当梁没有这样的纵向对称面时，或着虽然有纵向对称 面，但弯曲力偶并不作用于这一平面时的情况。
图6—7
如图（a）所示： Y、Z轴——横截面的形心主惯性轴
X轴——梁的轴线
My、Mz——对y轴、z轴的力偶矩
一.公式推导：
式中：Wz——抗弯截面模量 对矩形和圆形截面的抗弯截面模量。
矩形：
圆形：
bh3 Iz bh2 Wz 12 h h 6 2 24 d Iz d 3 Wz 64 d d 32 2 2
(6—4)
(6—5)
[注：各种型钢的抗弯截面模量可从型钢表中查到] 若梁的横截面对中性轴不对称，其最大拉压应力并不相等， 这时应分别进行计算。
§6-6 弯曲剪应力的强度校核 §6-7 开口薄壁杆件的弯曲应力 弯曲中心
§6-8 提高弯曲强度的一些措施
§6-1 概述
一、回顾 在上一章第二节中，我们曾经讲过，横截面上的剪力Q是 与横截面相切的内力系的合力，而弯矩M是与横截面垂直的内 力系的合力偶矩，因此，梁横截面上有剪力Q时，就必然有剪 应力 ，有弯矩M时，就必然有正应力 ,如下图所示。
M图
(+)
(-)
2、纯弯曲——横截面上只有正应力而无剪应力的情况，称为纯 弯曲。 特点：横截面上只有为常量的弯矩而无剪力。
目录
§6-2 纯弯曲时横截面上的正应力
一、回顾 推导圆轴扭转时横截面上剪应力计算公式时，综合考虑了 几何，物理和静力学三个方面的关系。因为圆轴扭转时横截面 上剪应力计算问题属静不定问题。 本节要点：纯弯曲时横截面上的正应力计算同样属静不定问题， 求解时同样需综合考虑几何、物理和静力学三方面的关系。 （一）几何关系： 1．纯弯曲实验： 用较易变形的材料制成的矩形截面等直梁作纯弯曲试验:
a/2
F
a/2
A
C
l/2 l/2
D
B
解： 分析：关键在于何为最佳，对于该题最佳就是两梁最大弯曲 应力同时达到最大。
主梁AB的最大弯矩
M maxAB
F (l a) 4
副梁CD的最大弯矩
M maxCD
Fa 4
由 即
M max AB M max CD
F Fa (l a) 4 4
得
M Wz max b、截面设计: [ ]
c、确定梁的许可荷载: M max [ ]Wz
例6—1：两矩形截面梁，尺寸和材料的许用应力均相等，但 放置如图(a)、(b)。按弯曲正应力强度条件确定两者许可载荷 之比 P1／P2＝？
F1
F
F2
h
l
z
b
(a )
b
z
h
(b)
解： 分析：该题的关键：两种梁的最大弯曲正应力相等且 等于许用应力。
一、横力弯曲时的正应力计算公式： 工程上常见的弯曲问题多为横力弯曲，此时梁横截面上除 有正应力外还有剪应力，按弹性力学的分析结果，在有些情况 下，横力弯曲的正应力分布规律与公式（6—2）完全相同。在 有些情况下虽有差异，但当跨度L与截面高度之比大于4时，公 式（6—2）的误差也非常微小，故用纯弯曲的正应力计算公式 用于横力弯曲正应力的计算，也有足够的精度，可以满足工程 上的要求。