材料力学第五章
材料力学课件第5章
M
zM
x
等截面梁
y
注意 当梁为变截面梁时, max 并不一定
发生在|M|max 所在面上.
22
5.3 横力弯曲时梁横截面上的正应力 弯曲正应力强度条件
h
常用图y形Wz
c b
Wz =Iz /ymax
z
Wz
Iz h
bh3 2 12 h
bh2 6
2
h2
h1
y
c
z
Wz
Iz h1
1 ( b1h13 h1 6
z
于是
M
E
Iz
M
得
1 M
EIz
y
x
代入
E
y得
My
Iz
15
5.2 纯弯曲时梁横截面上的正应力
常用图形y、Iz
h
y
1.矩形
dy
c
y z
Iz
Ay2 d A
h 2
y2b d y bh3
h 2
12
b
y
同理：
Iy
hb3 12
z
Iz
b1h13 12
b2h23 12
c
b2 b1
同理： I y
h1b13 12
y
12 rp
mn
x2
x
x1
12
dx
'=
x2 FN1
FN2
'=
38
5.4 横力弯曲时梁横截面上的切应力 弯曲切应力强度条件
F
Fx 0
FN 2 FN1 dx b
x1
y
12 rp mn
x2
x
12
dx
《材料力学》第五章
按集中力P和自重 共同作用时校核。 和自重q共同作用时校核 (2) 按集中力 和自重 共同作用时校核。 a.内力分析，画内力图，确定危险截面； a.内力分析，画内力图，确定危险截面； 内力分析 q单独作用时，
1 2 1 M q＝ ql ＝ × 801 × 9.52＝9.04(kNm ) 8 8
危险截面在中间截面
W z=
Iz =
πd 4
64
πd 3
32
对于各种型钢，其惯性矩和抗弯模量可查型钢表
例5.1 螺栓压板夹紧装置如图5.5a所示。已知板长3a=150mm， 压板材料的弯曲许用应力[σ]=140MPa。试计算压板传给工件的最 大允许压紧力F。 解：(1)外力分析，画力学简图； 外力分析，画力学简图； 外力分析 (2)内力分析，画内力图，确定危险截面； 内力分析，画内力图，确定危险截面； 内力分析 M max = M B = Fa 截面B (3)根据强度条件，进行计算。 根据强度条件，进行计算。 根据强度条件 根据强度条件
FRA = 2.5kN , FRB = 10.5kN ,
(2)内力分析，画内力图，确定危险截面； 内力分析，画内力图，确定危险截面； 内力分析 最大正弯矩在截面C上，
mC = 2.5kNm
最大负弯矩在截面B上， mB = −4kNm (3)求σmax，根据强度条件，进行校核。 求 根据强度条件，进行校核。 截面B:
σ max
161.5 × 106 = ＝135.7(MPa ) 1190 × 103
考虑自重与不考虑自重梁内应力相差(143.3-135.7)／143.3×100％ =5.3％。因此，计算应力时一般可忽略杆自重的影响。
例5.3 T形截面铸铁梁。已知 [σt]=30MPa， [σc]=160MPa。 Iz=763 cm4，y1 = 52mm 。试校核梁的强度。 外力分析， 解：(1)外力分析，求支座反力 外力分析 求支座反力;
材料力学第五章
C
x
边界条件
ω =0 B x=a+L ω =0 C
x=a
连续条件
y
x=a
ω 1 =ω 2 B B
θB1 =θB2
例题 5.5
用积分法求图示各梁挠曲线方程时,试问下列各梁 的挠曲线近似微分方程应分几段;将分别出现几个积 分常数,并写出其确定积分常数的边界条件
挠曲线方程应分两段AB,BC. 共有四个积分常数
例题 5.10
多跨静定梁如图示，试求力作用点E处的挠度ωE.
F b E zω =− x3 +Cx+D I 1 1 1 6 L D =00 =0 x=L ω L =0 ( ) 1 ω ) (
F b b Eω′=− ( xx2 +C x Izθ =− ) =−F 1 ′1 ML Ez 1 I 1 2 L
(
)
(
)
(
)
例题 5.3
求图示简支梁在集中荷载F的作用下（F力在右半跨）的最大挠度。
A
两根梁由中间铰连接，挠曲线在 中间铰处，挠度连续，但转角不 连续。
ω =ω 1 2
θ ≠θ2 1
例题 5.5
用积分法求图示各梁挠曲线方程时,试问下列各梁 的挠曲线近似微分方程应分几段;将分别出现几个积 分常数,并写出其确定积分常数的边界条件
挠曲线方程应分两段AB,BC.
F A
a
q
B
EIz
L
共有四个积分常数
挠曲线方程应分两段AB,BC.
M e
共有四个积分常数 x 边界条件
A
EI z
a
B
C
L
x=0
ω =0 A
y 连续条件
θA =0 x=a+L ω =0 C
材料力学第五章 弯曲应力分析
B
D
1m
1m
1m
y2
20
120
FRA
F1=9kN FRB F2=4kN
A C
BD
1m
1m
1m
2.5 Fs
+
+
4 kN
-
6.5 2.5
M
kNm
-
+
4
解： FRA 2.5kN FRB 10.5kN
88
52
-
+
C 2.5
4 B 80
z
20
120
20
B截面
σ t max
M B y1 Iz
4 • 52 763
20
+
-
+
10
Fs
kN
10
20
30
30
25
25
M
kNm
max
M max W
[ ]
W Mmax 30 187.5cm3
[ ] 160
1)圆 W d 3 187.5
32
d 12.4cm
A d 2 121cm2
4
2）正方形
a3 W 187.5
6
3）矩形
a 10.4cm
A a2 108cm2
压，只受单向拉压. （c）同一层纤维的变形相同。 （d）不同层纤维的变形不相同。
推论：必有一层变形前后长度不变的纤维—中性层
中性轴
中性轴⊥横截面对称轴
中性层
横截面对称轴
二、变形几何关系
dx
dx
图（a）
O
O
zb
O yx b
y
图（b）
《材料力学》 第五章 弯曲内力与弯曲应力
第五章 弯曲内力与应力 §5—1 工程实例、基本概念一、实例工厂厂房的天车大梁，火车的轮轴，楼房的横梁，阳台的挑梁等。
二、弯曲的概念：受力特点——作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线。
变形特点——杆轴线由直线变为一条平面的曲线。
三、梁的概念：主要产生弯曲变形的杆。
四、平面弯曲的概念：受力特点——作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线，且都在梁的纵向对称平面内（通过或平行形心主轴且过弯曲中心）。
变形特点——杆的轴线在梁的纵向对称面内由直线变为一条平面曲线。
五、弯曲的分类：1、按杆的形状分——直杆的弯曲；曲杆的弯曲。
2、按杆的长短分——细长杆的弯曲；短粗杆的弯曲。
3、按杆的横截面有无对称轴分——有对称轴的弯曲；无对称轴的弯曲。
4、按杆的变形分——平面弯曲；斜弯曲；弹性弯曲；塑性弯曲。
5、按杆的横截面上的应力分——纯弯曲；横力弯曲。
六、梁、荷载及支座的简化（一）、简化的原则：便于计算，且符合实际要求。
（二）、梁的简化：以梁的轴线代替梁本身。
（三）、荷载的简化：1、集中力——荷载作用的范围与整个杆的长度相比非常小时。
2、分布力——荷载作用的范围与整个杆的长度相比不很小时。
3、集中力偶（分布力偶）——作用于杆的纵向对称面内的力偶。
（四）、支座的简化：1、固定端——有三个约束反力。
2、固定铰支座——有二个约束反力。
3、可动铰支座——有一个约束反力。
（五）、梁的三种基本形式：1、悬臂梁：2、简支梁：3、外伸梁：（L 称为梁的跨长） （六）、静定梁与超静定梁静定梁：由静力学方程可求出支反力，如上述三种基本形式的静定梁。
超静定梁：由静力学方程不可求出支反力或不能求出全部支反力。
§5—2 弯曲内力与内力图一、内力的确定（截面法）：[举例]已知：如图，F ，a ，l 。
求：距A 端x 处截面上内力。
解：①求外力la l F Y l FaF m F X AYBY A AX)(F, 0 , 00 , 0-=∴==∴==∴=∑∑∑ F AX =0 以后可省略不求 ②求内力xF M m l a l F F F Y AY C AY s ⋅=∴=-==∴=∑∑ , 0)( , 0∴ 弯曲构件内力：剪力和弯矩1. 弯矩：M ；构件受弯时，横截面上存在垂直于截面的内力偶矩。
材料力学-第五章
第九单元(2)第五章弯曲应力§5-2 引言以弯曲为主要变形的构件称为梁，如房屋的梁与火车的轮轴。
本章主要研究外力作用在同一平面，变形也在同一平面的梁。
实际上，这也是最常见的情况。
三种静定梁固定铰简支梁可动铰（链杆）固定端悬臂梁集中载荷分布载荷集中力偶外伸梁§5-2 剪应弯矩方程与剪应力弯矩图一、剪力与弯矩研究梁的内力，仍使用截面法，由取出段的平衡，可知除了存在剪力，还存在弯矩。
Q，M“+”符号：使保留段顺时针转使保留段内凹Q，M“-”符号：二、剪力弯矩方程与剪力弯矩图剪力、弯矩与坐标X间的解析关系式，即()()Q Q x M M x==称为剪力方程与弯矩方程。
表示剪力与弯矩沿梁轴变化的另一重要方法为图示法，图示曲线称为剪力、弯矩图。
例1：1.求支反力M R P B A ==-∑04 M R P A B ==∑054 M y =∑0校核(为保证正确, 要求校核) 2.建立Q ，M 方程(截面法) AB 段：()Q R P x a A 11404==-<< ()M R x Px x a A 11111404==-≤≤ BC 段：()Q P x a 220=<<()M Px x a 2220=-≤≤也可以只建一个坐标系，BC 段：()Q Pa x a 2145=<< ()()M P a x a x a 211545=--≤≤3．画图Q 图 M 图例2：(分布截荷，注意力系简化条件)1.支反力 R qa R qa A B ==43832. Q ，M 方程 AB ：()Q R qx qa qx x a A 11114303=-=-<<()M R x qx qax qx x a A 1112112112431203=-=-≤≤ BC ：()Q qx x a 2220=≤<()M qx x a 2222120=-≤≤3.画Q ，M 图第10单元刚架：由刚性接头连接杆件所组成的结构。
材料力学第五章
F l a x
l
材料力学
第五章 梁的剪力图与弯矩图
梁的横截面上位于横截面 内的内力FS是与横截面左右两 侧的两段梁在与梁轴相垂直方 向的错动(剪切)相对应，故称 为剪力；梁的横截面上作用在 纵向平面内的内力偶矩是与梁 的弯曲相对应，故称为弯矩。
材料力学
第五章 梁的剪力图与弯矩图
为使无论取横截面左边或右边为分离体，求得同一横
截面上的剪力和弯矩其正负号相同，剪力和弯矩的正负号
要以其所在横截面处梁的微段的变形情况确定，如下图。
材料力学
第五章 梁的剪力图与弯矩图
综上所述可知： (1) 横截面上的剪力——使截开部分梁产生顺时针方向
转动为正；产生逆时针方向转动为负。
(2) 横截面上的弯矩——作用在左侧面上使截开部分 逆时针方向转动，或者作用在右侧截面上使截开部分顺时 针方向转动者为正；反之为负。
图d，e所示梁及其约束力不能单独利用平衡方程确定， 称为超静定梁。
材料力学
第五章 梁的剪力图与弯矩图
§5.2 梁的内力及其与外力的相互关系
Ⅰ. 梁的剪力和弯矩(梁的横截面上的两种内力)
图a所示跨度为l的简支梁其
约束力为：
FA
Fl
l
a,
FB
Fa l
梁的左段内任一横截面m－
m上的内力，由m－m左边分离
杆件：某一方向尺寸远大于其它方向尺寸的构件。 直杆：杆件的轴线为直线。 杆的可能变形为：
轴向拉压—内力为轴力。如拉、撑、活塞杆、钢缆、柱。
扭转 —内力为扭矩。如各种传动轴等。
(轴)
弯曲 —内力为弯矩。如桥梁、房梁、地板等。(梁)
材料力学
梁的分类
F
q
第五章 梁的剪力图与弯矩图
材料力学第五章
y
= ∫ y dA
2 A
1 1 π ⋅ d4 π ⋅ d4 I y = Iz = I ρ = ⋅ = z 2 2 32 64
1 π ⋅ (D4 − d 4 ) 对空心圆截面： 对空心圆截面： I = I = I = y z ρ 2 64
第五章 弯曲应力
§5-2 对称弯曲正应力 对称弯曲正应力
M⋅ y 二、弯曲正应力一般公式： 弯曲正应力一般公式： σ= Iz
Ip
弯曲 剪力Q 剪力
？
第五章 弯曲应力
§5-1 引言 y
梁段
M τ Q
z
σ
横截面上剪应力 横截面上正应力
横截面上内力
Q = ∫τdA
剪应力造成剪力
M = ∫σydA
正应力造成弯矩
剪应力和正应力的分布规律是什么？ 剪应力和正应力的分布规律是什么？
超静定问题
第五章 弯曲应力
§5-1 引言
§5-2 对称弯曲正应力 对称弯曲正应力 §5-3 对称弯曲切应力 对称弯曲切应力 弯曲 §5-4 梁的强度条件与合理强度设计 梁的强度条件与合理强度设计 §5-5 双对称截面梁的非对称弯曲 双对称截面梁的非对称弯曲 §5-6 弯拉（压）组合 弯拉（ 对称弯曲（平面弯曲）： 对称弯曲（平面弯曲）： 外力作用在纵向对称面内， 外力作用在纵向对称面内，梁轴线变形 后为一平面曲线，也在此纵向对称面内。 后为一平面曲线，也在此纵向对称面内。
(3)
Mz = ∫ σ ⋅ y ⋅ dA = M (5) A E 2 E 2 E (5) M z = ∫ ρ y dA = ∫ y dA = ρ I z = M
A
ρ
A
1 M = ρ EIz
第五章 弯曲应力
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max [ ]
G H
梁上任意点(G 和H) → 平面应力状态， 若这种应力状态的点需校核强度时不能 分别按正应力和切应力进行，而必须考 虑两者的共同作用（强度理论）。
Ⅱ、梁的强度设计
横力弯曲梁的强度条件： max [ ]
max [ ]
q E m G mH l/2
max
z
dA
§5-3 横力弯曲时的切应力
2.工字形截面梁 腹板上的切应力仍按矩 形截面的公式计算。 假设 : // 腹板侧边， 并沿其厚度均匀分布
* FS S z ( y) I z
z
* Sz ——下侧部分截面
对中性轴 z 的静矩
§5-3 横力弯曲时的切应力
h0 h h 1 h0 h h S b 2 2 2 2 2 2 2
§5-3 横力弯曲时的切应力
（3）公式推导 假设m-m，n-n上的弯矩为M和M+dM， z 两截面上距中性轴 y1 处的正应力为1 和2.
FN1 σ1dA
A1
y
x
A1
My1 M dA y1dA FN1 A1 I I z A1 z M 1dA Sz Iz M dM FN 2 σ 2dA Sz A1 Iz
A
C
E l
208kN
D
B
FRB
210kN
M max 45 103 3 Wz 281 cm 6 [ ] 160 10
查型钢表，选用22a工字钢，其 Wz＝309cm3
41.8KN.M
8kN
45KN.M
41.8KN.M
பைடு நூலகம்
梁的强度设计
（3）校核梁的切应力
例2
查表得
Iz S
* z max
略去了加强板对其自身形心轴的惯性矩.
z
10
梁的强度设计
例3
D
1.4m
（2）校核突变截面处的正应力， FRA
2
2
§5-3 横力弯曲时的切应力
截面静矩的计算方法 A为截面面积
S z A ydA Ay
A1
y
z
y为截面的形心坐标
(1)τ 沿截面高度按二次抛物线规律 变化； (2) 同一横截面上的最大切应力τ max 在中性轴处( y=0 )； (3)上下边缘处（y=±h/2)，切应力 为零。
y1
y
y
Fs
F1
F2
q(x)
（b）切应力沿截面宽度均匀分布
（距中性轴等距离处切应力相等）.
§5-3 横力弯曲时的切应力
（2）分析方法
F1
F2 m
n
q(x)
（a）用横截面m-m , n-n从梁中截取
dx一段.两横截面上的弯矩不等. 所 以两截面同一y处的正应力也不等； （b）假想地从梁段上截出体积元素 mB1，在两端面mA1，nB1上两个法向 内力不等.
查型钢表中，20a号工字钢，有
Iz S
* z max
17.2cm
d=7mm
据此校核梁的切应力强度
F S max S max Izd
* z max
+
24.9MPa [ ]
以上两方面的强度条件都满足，所以此梁是安全的.
梁的强度设计
例2
简支梁AB如图所示. l＝2m，a＝0.2m. 梁上的载荷为q为10kN/m，F ＝200kN.材料的许用应力为[]=160MPa，[]＝100MPa，试选择工 a F a q F 字钢型号. FRA （2）根据最大弯矩选择工字钢型号 解：（1）计算支反力做内力图.
dFS’
A
B1
B FN1
1dA
m’
y
Fx 0
化简后得
FN 2 FN1 dFS 0
'
m
n
dM S dx I z b
z
dM FS dx
FS S Izb
z
§5-3 横力弯曲时的切应力
FS S I zb
z
Iz
b
整个横截面对中性轴的惯性矩. 矩型截面的宽度. 距中性轴为y的横线以外部分横 截面面积对中性轴的静矩. 横截面上的剪力
Iz S
* z max
18.9cm , d=1cm
max
210 103 98.6MPa [ ] 100MPa 2 2 21.3 10 110
所以应选用型号为25b的工字钢.
梁的强度设计
例3
对于图中的吊车大梁，现因移动荷载F增加为50kN，故在 20a
号工字钢梁的中段用两块横截面为120mm10mm而长度 2.2mm的钢板加强加强段的横截面尺寸如图所示.已知许用弯曲 解：加强后的梁是阶梯状 变截面梁. 所以要校核
18.9cm ,
腹板厚度 d=0.75cm，由剪力图知最大剪力为210kN
max
3 FS max S z 210 10 max I zb 18.9 10 2 0.75 10 2
148MPa [ ] 100MPa
τmax超过[]很多，应重新选择更大的截面.现以25b工字钢进行试 算 查表得
a. 在翼缘上，切应力的分布比较复杂，但其值很小，并无实际意义，所以通常 不计算。腹板内承受工字梁大部分切应力(总剪力的95％～97％)。 b. 工字梁翼缘的面积都在离中性轴最远处，正应力都比较大，所以翼缘承受截
面上大部分弯矩。
§5-3 横力弯曲时的切应力
二、强度条件 细长梁的强度设计主要取决于正应力，但在以下情况 下，需校核梁的切应力：
y
中性层 中性轴
纯弯曲
2、物理关系
对称轴
y
根据胡克定律 E
Ey
直梁纯弯曲时横截面
中性轴
O
上任意一点的正应力， 与它到中性轴的距离 成正比.
x
dA dA
y z
max 发生在截面上、下边缘，中性轴上各点的正应力为零。
y
z
纯弯曲
3、静力方面
M
内力与外力相平衡可得 O
FN d A 0
y z
E
A
y dA
2
d.
EIz
M
I z y2 d A
A
曲率
弯曲刚度
M EI z
1
纯弯曲时正应力的计算公式
My Iz
可推广到横力弯曲！
第5章
弯曲应力
§5-3 横力弯曲时的切应力 §5-4 提高弯曲强度的措施
§5-3 横力弯曲时的切应力
一、梁横截面上的切应力
1.矩形截面梁 （1）两个假设 （a）切应力与剪力平行；
1.4m
FRB
C B
D
2.2m 2.5m 5m
I z 2370 108 2[10 120 105 10
2 12
]
5020 10 m
8
4
62.5kN· m
cmax
M max 137MPa [ ] Wz
ymax
120
200
抗弯截面系数 W z I z 456 10 6 m3
弯曲正应力[]=170MPa,许用弯曲切
应力[]= 100MPa ，试校核梁的强度. 解：此吊车梁可简化为简支梁，力 F 在
梁中间位置时有最大正应力 .
+
37.5KN.M
3
M max 37.5kN m
所以梁的最大正应力为
（a）正应力强度校核 由型钢表查得20a工字钢的 W z 237cm
A
dFN σdA
x
dA dA
z
M y z d A 0
A
dM y z dA
M z y d A M
A
dM z y dA
y 纯弯曲时截面右 侧自由弯矩M作 用！
y
z
纯弯曲
M z y d A M
A
O y
z
y E E
x
dA dA
z
§5-3 横力弯曲时的切应力
腹板与翼缘交界处最小: min ( )
h 2
min
FS b h Izd 2
* FS S z ,max
中性轴处最大: max (0)
max
Izd
2 FS b d h h Izd 22 2
1. 梁的最大弯矩较小，最大剪力很大；
2. T形、工字形等薄壁截面梁；
3. 焊接、铆接或胶合而成的组合截面梁，对焊缝、铆钉 或胶合面等，一般要进行剪切计算。
梁的切应力强度设计
一般max发生在FS ,max所在截面的中性轴处，该位置 = 0。不计挤压，max所在点处于纯剪切应力状态
q E m G mH l/2 C D l F E
b h2 y1bdy1 ( y 2 ) 2 4 2
y1
d y1
m1
可见，切应力沿截面高度按抛物线规律变化. y=±h/2（即在横截面上距中性轴最远处）0 y=0（即在中性轴上各点处），切应力达到最大值
y
m
n
τmax z
FS h FS h 3 FS max 3 2 bh 8 I z 8 bh 12 3FS max 式中，A=bh为矩形截面的面积. 2A
σ max
M max 158MPa [σ ] Wz
梁的强度设计
例1