材料力学第五章
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材料力学课件第5章
M
zM
x
等截面梁
y
注意 当梁为变截面梁时, max 并不一定
发生在|M|max 所在面上.
22
5.3 横力弯曲时梁横截面上的正应力 弯曲正应力强度条件
h
常用图y形Wz
c b
Wz =Iz /ymax
z
Wz
Iz h
bh3 2 12 h
bh2 6
2
h2
h1
y
c
z
Wz
Iz h1
1 ( b1h13 h1 6
z
于是
M
E
Iz
M
得
1 M
EIz
y
x
代入
E
y得
My
Iz
15
5.2 纯弯曲时梁横截面上的正应力
常用图形y、Iz
h
y
1.矩形
dy
c
y z
Iz
Ay2 d A
h 2
y2b d y bh3
h 2
12
b
y
同理：
Iy
hb3 12
z
Iz
b1h13 12
b2h23 12
c
b2 b1
同理： I y
h1b13 12
y
12 rp
mn
x2
x
x1
12
dx
'=
x2 FN1
FN2
'=
38
5.4 横力弯曲时梁横截面上的切应力 弯曲切应力强度条件
F
Fx 0
FN 2 FN1 dx b
x1
y
12 rp mn
x2
x
12
dx
材料力学第5章弯曲变形ppt课件
qL
4.22kNm
4.22kNm
M
max
32 M
max
76.4MPa
WZ
d 3
例题
20kN m
A
4m
FA
20kN m
A
MA
4m
试求图示梁的支反力
40kN
B
D
2m
2m
B
B1 FB
FB 40kN
B
D
B2
2m
2m
在小变形条件下,B点轴向力较小可忽略不
计,所以为一次超静定.
C
B1 B2
FBBBMF12AA2383qFEqELBqqLI84LI2LLZZ32F35BFF4FEFB83PBPLIEL7Z3L12IZ.218352.k75N5kFkN2PNmEL2IZ2
x
边界条件
A
L2
B
L2
C
y
连续条件
例题 5.5
用积分法求图示各梁挠曲线方程时,试问下列各梁 的挠曲线近似微分方程应分几段;将分别出现几个积 分常数,并写出其确定积分常数的边界条件
全梁仅一个挠曲线方程
C
q
EA
共有两个积分常数 边界条件
L1
A
x
B
EI Z
L
y
例题 5.5
用积分法求图示各梁挠曲线方程时,试问在列各梁 的挠曲线近似微分方程时应分几段;将分别出现几个 积分常数,并写出其确定积分常数的边界条件
q
a
B C LBC
B
2a
FN
B
q2a4
8EIZ
FN 2a3
3EIZ
C
FN
a
D
《材料力学》 第五章 弯曲内力与弯曲应力
第五章 弯曲内力与应力 §5—1 工程实例、基本概念一、实例工厂厂房的天车大梁，火车的轮轴，楼房的横梁，阳台的挑梁等。
二、弯曲的概念：受力特点——作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线。
变形特点——杆轴线由直线变为一条平面的曲线。
三、梁的概念：主要产生弯曲变形的杆。
四、平面弯曲的概念：受力特点——作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线，且都在梁的纵向对称平面内（通过或平行形心主轴且过弯曲中心）。
变形特点——杆的轴线在梁的纵向对称面内由直线变为一条平面曲线。
五、弯曲的分类：1、按杆的形状分——直杆的弯曲；曲杆的弯曲。
2、按杆的长短分——细长杆的弯曲；短粗杆的弯曲。
3、按杆的横截面有无对称轴分——有对称轴的弯曲；无对称轴的弯曲。
4、按杆的变形分——平面弯曲；斜弯曲；弹性弯曲；塑性弯曲。
5、按杆的横截面上的应力分——纯弯曲；横力弯曲。
六、梁、荷载及支座的简化（一）、简化的原则：便于计算，且符合实际要求。
（二）、梁的简化：以梁的轴线代替梁本身。
（三）、荷载的简化：1、集中力——荷载作用的范围与整个杆的长度相比非常小时。
2、分布力——荷载作用的范围与整个杆的长度相比不很小时。
3、集中力偶（分布力偶）——作用于杆的纵向对称面内的力偶。
（四）、支座的简化：1、固定端——有三个约束反力。
2、固定铰支座——有二个约束反力。
3、可动铰支座——有一个约束反力。
（五）、梁的三种基本形式：1、悬臂梁：2、简支梁：3、外伸梁：（L 称为梁的跨长） （六）、静定梁与超静定梁静定梁：由静力学方程可求出支反力，如上述三种基本形式的静定梁。
超静定梁：由静力学方程不可求出支反力或不能求出全部支反力。
§5—2 弯曲内力与内力图一、内力的确定（截面法）：[举例]已知：如图，F ，a ，l 。
求：距A 端x 处截面上内力。
解：①求外力la l F Y l FaF m F X AYBY A AX)(F, 0 , 00 , 0-=∴==∴==∴=∑∑∑ F AX =0 以后可省略不求 ②求内力xF M m l a l F F F Y AY C AY s ⋅=∴=-==∴=∑∑ , 0)( , 0∴ 弯曲构件内力：剪力和弯矩1. 弯矩：M ；构件受弯时，横截面上存在垂直于截面的内力偶矩。
材料力学第五章弯曲内力
2、判断各段Q、M图形状：
CA和DB段：q=0，Q图为水平线， M图为斜直线。
AD段：q<0， Q图为向下斜直线， M图为上凸抛物线。
3、先确定各分段点的Q 、M 值，用相应形状的线条连接。
32
§5-6 纯弯曲时的正应力
• 纯弯曲(Pure Bending):某段梁的 内力只有弯矩没有剪力时，该段 梁的变形称为纯弯曲。
如图（b）示。
qL A
x1Q1
图（a） M1
图（b）
Y qL Q1 0 Q1 qL
mA(Fi) qLx1 M1 0 M1 qLx1
17
2--2截面处截取的分离体如图（c） qL
Y qL Q2 q(x2 a) 0 Q2 qx2 a qL
剪力等于梁保留一侧横向外
②写出内力方程
Q(x)
P
Q( x ) YO P
M(x) PL
x
M( x ) YOx MO
P( x L ) x
③根据方程画内力图
20
F
a
b
A
C
x1 x2
FAY
l
FS Fb / l
Fa / l
Fab/ l
M
[例]图示简支梁C点受集中力作用。
试写出剪力和弯矩方程，并画 B 出剪力图和弯矩图。
4. 标值、单位、正负号、纵标线
31
例 外伸梁AB承受荷载如图所示，作该梁的Q---M图。
3kN
6kN m 2kN/m
A C
B D
1m
4m
FA
Q 4.2
(kN) +
E
_
3
x=3.1m
1m
FB
_
3.8
CA和DB段：q=0，Q图为水平线， M图为斜直线。
AD段：q<0， Q图为向下斜直线， M图为上凸抛物线。
3、先确定各分段点的Q 、M 值，用相应形状的线条连接。
32
§5-6 纯弯曲时的正应力
• 纯弯曲(Pure Bending):某段梁的 内力只有弯矩没有剪力时，该段 梁的变形称为纯弯曲。
如图（b）示。
qL A
x1Q1
图（a） M1
图（b）
Y qL Q1 0 Q1 qL
mA(Fi) qLx1 M1 0 M1 qLx1
17
2--2截面处截取的分离体如图（c） qL
Y qL Q2 q(x2 a) 0 Q2 qx2 a qL
剪力等于梁保留一侧横向外
②写出内力方程
Q(x)
P
Q( x ) YO P
M(x) PL
x
M( x ) YOx MO
P( x L ) x
③根据方程画内力图
20
F
a
b
A
C
x1 x2
FAY
l
FS Fb / l
Fa / l
Fab/ l
M
[例]图示简支梁C点受集中力作用。
试写出剪力和弯矩方程，并画 B 出剪力图和弯矩图。
4. 标值、单位、正负号、纵标线
31
例 外伸梁AB承受荷载如图所示，作该梁的Q---M图。
3kN
6kN m 2kN/m
A C
B D
1m
4m
FA
Q 4.2
(kN) +
E
_
3
x=3.1m
1m
FB
_
3.8
材料力学第五章
l
F l a x
l
材料力学
第五章 梁的剪力图与弯矩图
梁的横截面上位于横截面 内的内力FS是与横截面左右两 侧的两段梁在与梁轴相垂直方 向的错动(剪切)相对应，故称 为剪力；梁的横截面上作用在 纵向平面内的内力偶矩是与梁 的弯曲相对应，故称为弯矩。
材料力学
第五章 梁的剪力图与弯矩图
为使无论取横截面左边或右边为分离体，求得同一横
截面上的剪力和弯矩其正负号相同，剪力和弯矩的正负号
要以其所在横截面处梁的微段的变形情况确定，如下图。
材料力学
第五章 梁的剪力图与弯矩图
综上所述可知： (1) 横截面上的剪力——使截开部分梁产生顺时针方向
转动为正；产生逆时针方向转动为负。
(2) 横截面上的弯矩——作用在左侧面上使截开部分 逆时针方向转动，或者作用在右侧截面上使截开部分顺时 针方向转动者为正；反之为负。
图d，e所示梁及其约束力不能单独利用平衡方程确定， 称为超静定梁。
材料力学
第五章 梁的剪力图与弯矩图
§5.2 梁的内力及其与外力的相互关系
Ⅰ. 梁的剪力和弯矩(梁的横截面上的两种内力)
图a所示跨度为l的简支梁其
约束力为：
FA
Fl
l
a,
FB
Fa l
梁的左段内任一横截面m－
m上的内力，由m－m左边分离
杆件：某一方向尺寸远大于其它方向尺寸的构件。 直杆：杆件的轴线为直线。 杆的可能变形为：
轴向拉压—内力为轴力。如拉、撑、活塞杆、钢缆、柱。
扭转 —内力为扭矩。如各种传动轴等。
(轴)
弯曲 —内力为弯矩。如桥梁、房梁、地板等。(梁)
材料力学
梁的分类
F
q
第五章 梁的剪力图与弯矩图
F l a x
l
材料力学
第五章 梁的剪力图与弯矩图
梁的横截面上位于横截面 内的内力FS是与横截面左右两 侧的两段梁在与梁轴相垂直方 向的错动(剪切)相对应，故称 为剪力；梁的横截面上作用在 纵向平面内的内力偶矩是与梁 的弯曲相对应，故称为弯矩。
材料力学
第五章 梁的剪力图与弯矩图
为使无论取横截面左边或右边为分离体，求得同一横
截面上的剪力和弯矩其正负号相同，剪力和弯矩的正负号
要以其所在横截面处梁的微段的变形情况确定，如下图。
材料力学
第五章 梁的剪力图与弯矩图
综上所述可知： (1) 横截面上的剪力——使截开部分梁产生顺时针方向
转动为正；产生逆时针方向转动为负。
(2) 横截面上的弯矩——作用在左侧面上使截开部分 逆时针方向转动，或者作用在右侧截面上使截开部分顺时 针方向转动者为正；反之为负。
图d，e所示梁及其约束力不能单独利用平衡方程确定， 称为超静定梁。
材料力学
第五章 梁的剪力图与弯矩图
§5.2 梁的内力及其与外力的相互关系
Ⅰ. 梁的剪力和弯矩(梁的横截面上的两种内力)
图a所示跨度为l的简支梁其
约束力为：
FA
Fl
l
a,
FB
Fa l
梁的左段内任一横截面m－
m上的内力，由m－m左边分离
杆件：某一方向尺寸远大于其它方向尺寸的构件。 直杆：杆件的轴线为直线。 杆的可能变形为：
轴向拉压—内力为轴力。如拉、撑、活塞杆、钢缆、柱。
扭转 —内力为扭矩。如各种传动轴等。
(轴)
弯曲 —内力为弯矩。如桥梁、房梁、地板等。(梁)
材料力学
梁的分类
F
q
第五章 梁的剪力图与弯矩图
材料力学第五章
y
= ∫ y dA
2 A
1 1 π ⋅ d4 π ⋅ d4 I y = Iz = I ρ = ⋅ = z 2 2 32 64
1 π ⋅ (D4 − d 4 ) 对空心圆截面： 对空心圆截面： I = I = I = y z ρ 2 64
第五章 弯曲应力
§5-2 对称弯曲正应力 对称弯曲正应力
M⋅ y 二、弯曲正应力一般公式： 弯曲正应力一般公式： σ= Iz
Ip
弯曲 剪力Q 剪力
？
第五章 弯曲应力
§5-1 引言 y
梁段
M τ Q
z
σ
横截面上剪应力 横截面上正应力
横截面上内力
Q = ∫τdA
剪应力造成剪力
M = ∫σydA
正应力造成弯矩
剪应力和正应力的分布规律是什么？ 剪应力和正应力的分布规律是什么？
超静定问题
第五章 弯曲应力
§5-1 引言
§5-2 对称弯曲正应力 对称弯曲正应力 §5-3 对称弯曲切应力 对称弯曲切应力 弯曲 §5-4 梁的强度条件与合理强度设计 梁的强度条件与合理强度设计 §5-5 双对称截面梁的非对称弯曲 双对称截面梁的非对称弯曲 §5-6 弯拉（压）组合 弯拉（ 对称弯曲（平面弯曲）： 对称弯曲（平面弯曲）： 外力作用在纵向对称面内， 外力作用在纵向对称面内，梁轴线变形 后为一平面曲线，也在此纵向对称面内。 后为一平面曲线，也在此纵向对称面内。
(3)
Mz = ∫ σ ⋅ y ⋅ dA = M (5) A E 2 E 2 E (5) M z = ∫ ρ y dA = ∫ y dA = ρ I z = M
A
ρ
A
1 M = ρ EIz
第五章 弯曲应力
材料力学第五章
IZ
bh3 12
0.12 0.183 12
5.832 10 5 m4
K
MC yK IZ
60103 (-60) 103 5.832105
x -61.7 106 Pa -61.7MPa（压应力）
q=60kN/m
A
1m
FAY
C
l = 3m
FS 90kN
M ql2 / 8 67.5kN m
by1
d
y1
b 2
h2 4
y 2
Fs 2I z
h2 4
y2
yh, 2
y 0,
0
max
Fs h2 8I z
弯曲切应力强度条件
说明：
max
Fs
max
S
z max
Izb
1. 对细长梁，只需考虑弯曲正应力的强度条件；
2. 必须进行梁的弯曲切应力强度校核的情况：
梁的跨度较短（l / h < 5）； 或在支座附近作用较大载荷（载荷靠近支座）；
微应力 σ d A
FN、My、Mz
FN
σdA
A
=0
M y
zσ d A
A
=0
M z
yσ d A
A
= Me
FN
Aσ
d
A
E ρ
A
yd
A
0
A y d A Sz 0
中性轴通过截面形心
σE y ρ
M y Azσ d A 0
M y
zσ d A
A
E
ρ A yz d A 0
A yzd A I yz 0
kN
10kN
3.825 kNmin 3.75kN
材料力学 第五章ppt课件
A A
s
A
（对称面）
2 Ey E2 EI z M ( d A ) y d A y d A M z A A
s
A
EIz
A
2 Iz y A 轴 惯 性矩 d
1 Mz EI z
M y s x I z
… …(3)
杆的抗弯刚度。
. . . . . . ( 4 )
d4
64
d
Iz d3 W z ym a x 32
4 D 4 空心圆 I ( 1 a ) z
d D
ad
64
D
3 I D 4 z W ( 1 a ) z y max 32
11
三、常见截面的IZ和WZ：
3 bh 矩形 Iz 12
b b
2 Iz bh W z y 6 m ax
§5－3 横力弯曲时梁横截面上的正应力 一、正应力近似公式：
M y s x I z . . . . . . ( 4 )
二、横截面上最大正应力：
M s max Wz
… …(5)
I z W z 抗 弯 截 面 模 量 。 y m a x
10
三、常见截面的IZ和WZ：
圆 Iz
M 60 4 1 s 10 92 . 6 MP 1 max
M 67 . 5 4 max s 10 104 . 2 MP max W 6 . 48 z
120 M
求曲率半径
qL 8
+
2
EI 5 . 832 z 200 10 194 . 4 m 1 M 60 1
力状态。
s
A
（对称面）
2 Ey E2 EI z M ( d A ) y d A y d A M z A A
s
A
EIz
A
2 Iz y A 轴 惯 性矩 d
1 Mz EI z
M y s x I z
… …(3)
杆的抗弯刚度。
. . . . . . ( 4 )
d4
64
d
Iz d3 W z ym a x 32
4 D 4 空心圆 I ( 1 a ) z
d D
ad
64
D
3 I D 4 z W ( 1 a ) z y max 32
11
三、常见截面的IZ和WZ：
3 bh 矩形 Iz 12
b b
2 Iz bh W z y 6 m ax
§5－3 横力弯曲时梁横截面上的正应力 一、正应力近似公式：
M y s x I z . . . . . . ( 4 )
二、横截面上最大正应力：
M s max Wz
… …(5)
I z W z 抗 弯 截 面 模 量 。 y m a x
10
三、常见截面的IZ和WZ：
圆 Iz
M 60 4 1 s 10 92 . 6 MP 1 max
M 67 . 5 4 max s 10 104 . 2 MP max W 6 . 48 z
120 M
求曲率半径
qL 8
+
2
EI 5 . 832 z 200 10 194 . 4 m 1 M 60 1
力状态。
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目录
§5-3 横力弯曲时的正应力
q=60kN/m
180 120 B C
4. C 截面曲率半径ρ
30 z C 截面弯矩
A
x l = 3m
FBY
K
y
1m
FAY
M C 60kN m
C 截面惯性矩
FS 90kN
M x 90kN
I Z 5.832105 m4 1 M EI
3 36c工字钢 Wz 962cm
（5）讨论
q 71.34kg/m
目录
§5-3 横力弯曲时的正应力
试校核梁的强度。
例题5-4
T型截面铸铁梁，截面尺寸如图示。 t 30MPa, c 60MPa,
分析： 非对称截面，要寻找中性轴位置 作弯矩图，寻找需要校核的截面 要同时满足 t ,max t , c,max c
M C 901 601 0.5 60kN m
M
bh3 0.12 0.183 x IZ 5.832105 m 4 12 12 90kN 180 60103 ( 30) 103 M y 2 K C K IZ 5.832105
x
（压应力） 61.7 106 P a 61.7MP a
第五章 弯曲应力
目录
第五章
弯曲应力
§5-1 纯弯曲 §5-2 纯弯曲时的正应力 §5-3 横力弯曲时的正应力 §5-4 弯曲切应力 §5-6 提高弯曲强度的措施
目录
§5-1 纯弯曲
回顾与比较 内力 应力
FN A
T IP
M
FS
目录
? ?
§5-1 纯弯曲
纯弯曲
梁段CD上，只有弯矩，没有剪力－－纯弯曲
截面惯性矩
1m
FAY
FS 90kN
I z 5.832105 m4
M x 90kN
max
M max ymax IZ 180 103 2 5.832 105
ql2 / 8 67.5kN m
x
67.5 103
104.17 106 P a 104.17MP a
目录
§5-3 横力弯曲时的正应力横Βιβλιοθήκη 弯曲正应力公式My IZ
公式适用范围
•细长梁的纯弯曲或横力弯曲 •横截面惯性积 IYZ =0 •弹性变形阶段 横力弯曲最大正应力
max
M max ymax M max IZ WZ
目录
§5-3 横力弯曲时的正应力
弯曲正应力强度条件
σmax
M
梁段AC和BD上，既有弯矩，又有剪力－－横力弯曲
目录
§5-2 纯弯曲时的正应力
一、变形几何关系
m a b n
a
b
m´ n´
a´
b´ m´
m x n
a´ b´
n´
平面假设：
横截面变形后保持为平 面，且仍然垂直于变形后的 梁轴线，只是绕截面内某一 轴线偏转了一个角度。
§5-2 纯弯曲时的正应力
梁满足强度要求
目录
§5-4 弯曲切应力
分几种截面形状讨论弯曲切应力 一、矩形截面梁
b y A n x n1 dx P m m1
q(x)
m h
m
m1 O
Fs z q1 y
B x
p n dx p1 n1 y
x
关于切应力的分布作两点假设：
1、横截面上各点的切应力方向平行于剪力 ( // Fs )
2、切应力沿截面宽度均匀分布
max max
=6(l/d)
（l 为梁的跨度）
目录
§5-4 弯曲切应力
实心截面梁正应力与切应力比较 对于宽为b、高为h 的矩形截面
max max
=4(l/h)
（l 为梁的跨度）
目录
§5-4 弯曲切应力
有些情况必须考虑弯曲切应力
梁的跨度较短（l / h < 5）； 在支座附近作用较大载荷（载荷靠近支座）；
d
4
D
3
4
64
64
(1 4 )
b0 h0 bh3 IZ 12 12
3
d
3
32
Wz
bh 6
2
b0 h03 bh3 D ) /(h0 / 2) Wz (1 4 ) Wz ( 12 12 32
目录
§5-3 横力弯曲时的正应力
横力弯曲
弹性力学精确分析表明， 当跨度 l 与横截面高度 h 之 比 l / h > 5 （细长梁）时， 纯弯曲正应力公式对于横力 弯曲近似成立。
目录
§5-3 横力弯曲时的正应力
q=60kN/m
180 A C B 2.C 截面最大正应力
120
x l = 3m
FBY
K
y
30 z
C 截面弯矩
M C 60kN m
C 截面惯性矩
1m
FAY
FS 90kN
I Z 5.832105 m4
M x 90kN
Cmax
M C ymax IZ 180 103 2 5.832 105
2
Fl
5.梁的许可载荷为 F Fi min 3.75kN 10kN 3.825kNmin 3.75kN
M
Mymax max IZ
max
M WZ
目录
IZ WZ ymax
min
M WZ
§5-2 纯弯曲时的正应力
常见截面的 IZ 和 WZ
I Z y 2 dA
A
IZ Wz y max
圆截面
IZ Wz
矩形截面
bh IZ 12
3
空心圆截面
IZ
空心矩形截面
FS
M
F1
F
解： 1.画梁的剪力图和弯矩图 2.按正应力强度条件计算许可载荷
max
6l
Fl
bh2 107 100 1502 109 3750N 3.75kN
6
M max 6F1l 2 Wz bh
max 3FS / 2 A 3F2 / 2bh F2 2 bh/ 3 2 106 100 150 106 / 3 10000 10kN N
目录
§5-3 横力弯曲时的正应力
z1 52 z
解：
（1）求截面形心
80 20 10 120 20 80 yc 52 mm 80 20 120 20
（2）求截面对中性轴z的惯性矩
80 203 Iz 80 20 422 12 201203 20120 282 12 7.64106 m 4
FN、My、Mz
M EI Z
目录
1
§5-2 纯弯曲时的正应力
变形几何关系 物理关系 静力学关系
E
M EI Z 1
y
E
y
正应力公式
为曲率半径，
1
为梁弯曲变形后的曲率
My IZ
目录
§5-2 纯弯曲时的正应力
正应力分布
M
My IZ
• 正应力大小与其到中 性轴距离成正比； • 与中性轴距离相等的点， 正应力相等； • 中性轴上,正应力等于零
目录
3.按切应力强度条件计算许可载荷
§5-4 弯曲切应力
F
50 z50 50 100
4.按胶合面强度条件 计算许可载荷
l
FS
M
F
h F3 b * FS S Z 3 4F3 g g bh3 IZb 3bh b 12
3 100 150 10 6 0.34 106 F3 4 4 3825N 3.825k N 3bh g
目录
§5-4 弯曲切应力
3 FS 2 A
目录
§5-4 弯曲切应力
二、工字型截面梁
B b0
F
s
h h 0
z y
y
Fs b0 h0
目录
§5-4 弯曲切应力
三、圆形截面梁
d
Fs
z
k
O'
O
k'
y
max
4 Fs 3 R 2
§5-4 弯曲切应力
实心截面梁正应力与切应力比较
对于直径为 d 的圆截面
分析（1）
max
max
M max ymax Iz
M
max
（2）弯矩 M 最大的截面
（3）抗弯截面系数 Wz 最
Wz
小的截面
目录
§5-3 横力弯曲时的正应力
解： （1）计算简图
（2）绘弯矩图
（3）B截面，C截面需校核 （4）强度校核 B截面：
Fb Fa
C截面：
目录
（5）结论 轴满足强度要求
§5-3 横力弯曲时的正应力
例题5-3
某车间欲安装简易吊车，大梁选用工字钢。已知电葫芦自 重 F1 6.7kN,起重量 F2 50kN, 跨度 l 9.5m, 材料的许用应力 140MPa, 试选择工字钢的型号。 分析 （1）确定危险截面 （2） max M max Wz （3）计算 M max
（4）计算 Wz
，选择工
字钢型号
目录
§5-3 横力弯曲时的正应力
解：（1）计算简图
（2）绘弯矩图
（3）根据 max
§5-3 横力弯曲时的正应力
q=60kN/m
180 120 B C
4. C 截面曲率半径ρ
30 z C 截面弯矩
A
x l = 3m
FBY
K
y
1m
FAY
M C 60kN m
C 截面惯性矩
FS 90kN
M x 90kN
I Z 5.832105 m4 1 M EI
3 36c工字钢 Wz 962cm
（5）讨论
q 71.34kg/m
目录
§5-3 横力弯曲时的正应力
试校核梁的强度。
例题5-4
T型截面铸铁梁，截面尺寸如图示。 t 30MPa, c 60MPa,
分析： 非对称截面，要寻找中性轴位置 作弯矩图，寻找需要校核的截面 要同时满足 t ,max t , c,max c
M C 901 601 0.5 60kN m
M
bh3 0.12 0.183 x IZ 5.832105 m 4 12 12 90kN 180 60103 ( 30) 103 M y 2 K C K IZ 5.832105
x
（压应力） 61.7 106 P a 61.7MP a
第五章 弯曲应力
目录
第五章
弯曲应力
§5-1 纯弯曲 §5-2 纯弯曲时的正应力 §5-3 横力弯曲时的正应力 §5-4 弯曲切应力 §5-6 提高弯曲强度的措施
目录
§5-1 纯弯曲
回顾与比较 内力 应力
FN A
T IP
M
FS
目录
? ?
§5-1 纯弯曲
纯弯曲
梁段CD上，只有弯矩，没有剪力－－纯弯曲
截面惯性矩
1m
FAY
FS 90kN
I z 5.832105 m4
M x 90kN
max
M max ymax IZ 180 103 2 5.832 105
ql2 / 8 67.5kN m
x
67.5 103
104.17 106 P a 104.17MP a
目录
§5-3 横力弯曲时的正应力横Βιβλιοθήκη 弯曲正应力公式My IZ
公式适用范围
•细长梁的纯弯曲或横力弯曲 •横截面惯性积 IYZ =0 •弹性变形阶段 横力弯曲最大正应力
max
M max ymax M max IZ WZ
目录
§5-3 横力弯曲时的正应力
弯曲正应力强度条件
σmax
M
梁段AC和BD上，既有弯矩，又有剪力－－横力弯曲
目录
§5-2 纯弯曲时的正应力
一、变形几何关系
m a b n
a
b
m´ n´
a´
b´ m´
m x n
a´ b´
n´
平面假设：
横截面变形后保持为平 面，且仍然垂直于变形后的 梁轴线，只是绕截面内某一 轴线偏转了一个角度。
§5-2 纯弯曲时的正应力
梁满足强度要求
目录
§5-4 弯曲切应力
分几种截面形状讨论弯曲切应力 一、矩形截面梁
b y A n x n1 dx P m m1
q(x)
m h
m
m1 O
Fs z q1 y
B x
p n dx p1 n1 y
x
关于切应力的分布作两点假设：
1、横截面上各点的切应力方向平行于剪力 ( // Fs )
2、切应力沿截面宽度均匀分布
max max
=6(l/d)
（l 为梁的跨度）
目录
§5-4 弯曲切应力
实心截面梁正应力与切应力比较 对于宽为b、高为h 的矩形截面
max max
=4(l/h)
（l 为梁的跨度）
目录
§5-4 弯曲切应力
有些情况必须考虑弯曲切应力
梁的跨度较短（l / h < 5）； 在支座附近作用较大载荷（载荷靠近支座）；
d
4
D
3
4
64
64
(1 4 )
b0 h0 bh3 IZ 12 12
3
d
3
32
Wz
bh 6
2
b0 h03 bh3 D ) /(h0 / 2) Wz (1 4 ) Wz ( 12 12 32
目录
§5-3 横力弯曲时的正应力
横力弯曲
弹性力学精确分析表明， 当跨度 l 与横截面高度 h 之 比 l / h > 5 （细长梁）时， 纯弯曲正应力公式对于横力 弯曲近似成立。
目录
§5-3 横力弯曲时的正应力
q=60kN/m
180 A C B 2.C 截面最大正应力
120
x l = 3m
FBY
K
y
30 z
C 截面弯矩
M C 60kN m
C 截面惯性矩
1m
FAY
FS 90kN
I Z 5.832105 m4
M x 90kN
Cmax
M C ymax IZ 180 103 2 5.832 105
2
Fl
5.梁的许可载荷为 F Fi min 3.75kN 10kN 3.825kNmin 3.75kN
M
Mymax max IZ
max
M WZ
目录
IZ WZ ymax
min
M WZ
§5-2 纯弯曲时的正应力
常见截面的 IZ 和 WZ
I Z y 2 dA
A
IZ Wz y max
圆截面
IZ Wz
矩形截面
bh IZ 12
3
空心圆截面
IZ
空心矩形截面
FS
M
F1
F
解： 1.画梁的剪力图和弯矩图 2.按正应力强度条件计算许可载荷
max
6l
Fl
bh2 107 100 1502 109 3750N 3.75kN
6
M max 6F1l 2 Wz bh
max 3FS / 2 A 3F2 / 2bh F2 2 bh/ 3 2 106 100 150 106 / 3 10000 10kN N
目录
§5-3 横力弯曲时的正应力
z1 52 z
解：
（1）求截面形心
80 20 10 120 20 80 yc 52 mm 80 20 120 20
（2）求截面对中性轴z的惯性矩
80 203 Iz 80 20 422 12 201203 20120 282 12 7.64106 m 4
FN、My、Mz
M EI Z
目录
1
§5-2 纯弯曲时的正应力
变形几何关系 物理关系 静力学关系
E
M EI Z 1
y
E
y
正应力公式
为曲率半径，
1
为梁弯曲变形后的曲率
My IZ
目录
§5-2 纯弯曲时的正应力
正应力分布
M
My IZ
• 正应力大小与其到中 性轴距离成正比； • 与中性轴距离相等的点， 正应力相等； • 中性轴上,正应力等于零
目录
3.按切应力强度条件计算许可载荷
§5-4 弯曲切应力
F
50 z50 50 100
4.按胶合面强度条件 计算许可载荷
l
FS
M
F
h F3 b * FS S Z 3 4F3 g g bh3 IZb 3bh b 12
3 100 150 10 6 0.34 106 F3 4 4 3825N 3.825k N 3bh g
目录
§5-4 弯曲切应力
3 FS 2 A
目录
§5-4 弯曲切应力
二、工字型截面梁
B b0
F
s
h h 0
z y
y
Fs b0 h0
目录
§5-4 弯曲切应力
三、圆形截面梁
d
Fs
z
k
O'
O
k'
y
max
4 Fs 3 R 2
§5-4 弯曲切应力
实心截面梁正应力与切应力比较
对于直径为 d 的圆截面
分析（1）
max
max
M max ymax Iz
M
max
（2）弯矩 M 最大的截面
（3）抗弯截面系数 Wz 最
Wz
小的截面
目录
§5-3 横力弯曲时的正应力
解： （1）计算简图
（2）绘弯矩图
（3）B截面，C截面需校核 （4）强度校核 B截面：
Fb Fa
C截面：
目录
（5）结论 轴满足强度要求
§5-3 横力弯曲时的正应力
例题5-3
某车间欲安装简易吊车，大梁选用工字钢。已知电葫芦自 重 F1 6.7kN,起重量 F2 50kN, 跨度 l 9.5m, 材料的许用应力 140MPa, 试选择工字钢的型号。 分析 （1）确定危险截面 （2） max M max Wz （3）计算 M max
（4）计算 Wz
，选择工
字钢型号
目录
§5-3 横力弯曲时的正应力
解：（1）计算简图
（2）绘弯矩图
（3）根据 max