材料力学课件 第五章 弯曲应力
材料力学第五章-弯曲应力知识分享
材料力学第五章-弯曲应力 精品文档
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习 题
6-1厚度mmh5.1的钢带,卷成直径 D=3m的圆环,若钢带的弹性模量E=210GPa，试求钢带横截面上的最大正应力。
解: 根据弯曲正应力公式的推导:
DyEyE2..
MPaDhE1053105.110210.39max
6—2直径为d的钢丝，弹性模量为E，现将它弯曲成直径为D的圆弧。试求钢丝中的最大应力与d／D的关系。并分析钢丝绳为何要用许多高强度的细钢丝组成。
解: yE. DdEEDd.22max
max与Dd成正比,钢丝绳易存放,而引起的最大引力很小.
6—3 截面形状及尺寸完全相同的一根钢梁和一根木梁，如果所受的外力也相同，则内力是否相同?横截面上正应力的变化规律是否相同?对应点处的正应力与纵向线应变是否相同?
解: 面上的内力相同，正应力变化规律相同。
处的正应力相同，线应变不同
6—4 图示截面各梁在外载作用下发生平面弯曲，试画出横截面上正应力沿高度的分布图.
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6—5 一矩形截面梁如图所示，已知F=1.5kN。试求
(1) I—I截面上A、B、C、D各点处的正应力;
(2) 梁上的最大正应力，并指明其位置。
解：（1）mNFM.3002.0*10*5.12.0*3
MPaMIyMzA11110*30*1812*10*15*.1233
AB 0C
MPaMD1.7410*30*1812*10*)5.15(*1233
第5章弯曲应力
第5章 弯曲应力
Chapter 5 Stress in bending
5.1、梁的弯曲正应力Normal stress of bending beam
弯曲构件横截面上的（内力）应力：
(Internal forces) stresses on the cross section of the bending member
剪力Q → 剪应力τ
Shearing force Q → Shearing stress t
弯矩M → 正应力σ
Bending moment M → Normal stress s
（1）纯弯曲梁的弯曲正应力
Normal stress on the cross section of the beam in planar bending
纯弯曲：若梁的某一段横截面上的剪力Q等于零，只有弯矩M不为零，称此段梁为纯弯曲。纯弯曲段梁的弯矩为常数。
Pure Bending: Deformation of some portion of the beam in which there are only
bending moment and no shearing stress is called pure bending. The bending moment
of pure bending section beam is constant
横力弯曲：梁的横截面上同时有弯矩M和剪力Q，称为横力弯曲。
中性层：弯曲后梁的所有的纵线都弯成曲线，靠近下缘的纵线伸长，靠近上缘的纵线缩短。其中有一层纵线弯曲时既不伸长，也不缩短，称此层为中性层。
Neutral layer：A layer at a certain height inside the beam in which the
longitudinal fibers are neither to be elongated nor to be shortened and they are neither
第五章 薄板的弯曲
1 第五章 薄板的弯曲
薄板的概念：厚度t<
LBMint81~51 中厚板
LBMint81~51 厚板
LBMintLBMin81~511001~801 薄板
LBMint1001~801 薄膜
作用在其上的载荷分解为平行于板面和垂直于板面，当仅有平行于板面的力时，就是我们前面讲到的平面应力问题。现在我们要解决的就是当有垂直于板面的载荷时（板受弯曲作用时），应该如何计算。两者都有时，又应该如何考虑。
§5.1 薄板弯曲的基本方程
一，基本概念
1，中面：变形前平分板厚的平面。
2，挠度：中面上各点在垂直于中面上的位移w。
3小挠度：通常w/t<1/5。
二，基本假定
1，变形前垂直于中面上的直线，变形后仍为直线，且仍垂直于弯曲的中面。该假定类似与材料力学中梁的平面假定。它确保与中面平行的的各面之间不存在剪应变。0zyzx
2，变形前后，板的厚度不变，即0z。板内各点的挠度值仅为x、y的函数，而与z轴无关。yxww,。
3，薄板中面内的各点没有平行于板面的位移00zu、00zv，只有z方向的位移。
4，平行于中面的各层之间互不挤压。0z
三，基本方程
利用空间的三大方程和以上4个假定，我们可以推求出适用薄板的基本方程。
1，几何方程
由假定○1，0xwzuzx，0ywzvzy，就有：
xwzu，ywzv，积分可得：
yxfxwzu,1
yxfywzv,2 2 再由假定○3，00zu、00zv，就是中面上各点没有板面的位移，
代入上式，可得0,,21yxfyxf
所以xwzu，ywzv。由于w仅是x、y的函数，所以属于二维问题。
22xwzxux，22ywzxvy，yxwzxvyuxy22
《材料力学》 第五章 弯曲内力与弯曲应力
第五章 弯曲内力与应力
- 1 -（共14页） 第五章 弯曲内力与应力
§5—1 工程实例、基本概念
一、实例
工厂厂房的天车大梁，火车的轮轴，楼房的横梁，阳台的挑梁等。
二、弯曲的概念：
受力特点——作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线。
变形特点——杆轴线由直线变为一条平面的曲线。
三、梁的概念：主要产生弯曲变形的杆。
四、平面弯曲的概念：
受力特点——作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线，且都在梁的纵向对称平面内（通过或平行形心主轴且过弯曲中心）。
变形特点——杆的轴线在梁的纵向对称面内由直线变为一条平面曲线。
五、弯曲的分类：
1、按杆的形状分——直杆的弯曲；曲杆的弯曲。
2、按杆的长短分——细长杆的弯曲；短粗杆的弯曲。
3、按杆的横截面有无对称轴分——有对称轴的弯曲；无对称轴的弯曲。
4、按杆的变形分——平面弯曲；斜弯曲；弹性弯曲；塑性弯曲。
5、按杆的横截面上的应力分——纯弯曲；横力弯曲。
六、梁、荷载及支座的简化
（一）、简化的原则：便于计算，且符合实际要求。
（二）、梁的简化：以梁的轴线代替梁本身。
（三）、荷载的简化：
1、集中力——荷载作用的范围与整个杆的长度相比非常小时。
2、分布力——荷载作用的范围与整个杆的长度相比不很小时。
3、集中力偶（分布力偶）——作用于杆的纵向对称面内的力偶。
（四）、支座的简化：
1、固定端——有三个约束反力。2、固定铰支座——有二个约束反力。3、可动铰支座——有一个约束反力。
（五）、梁的三种基本形式：1、悬臂梁：2、简支梁：3、外伸梁：（L称为梁的跨长）
（六）、静定梁与超静定梁
静定梁：由静力学方程可求出支反力，如上述三种基本形式的静定梁。
超静定梁：由静力学方程不可求出支反力或不能求出全部支反力。
§5—2 弯曲内力与内力图
一、内力的确定（截面法）：
[举例]已知：如图，F，a，l。 求：距A端x处截面上内力。
解：①求外力
lalFYlFaFmFXAYBYAAX)(F , 0 , 00 , 0
ch5弯曲应力-2007
作者：zhang chunxiao 本讲义仅供重交大05级水利1,2,3,4班教学之用, 作者声明保留本讲义之一切版权。
版权所有 严禁翻制 98 材料力学 Mechanics of Materials(Strength of Materials)
第五章 弯曲应力Stresses in Bending
§5-1 引言 Introduction
由上一章我们知弯曲变形的内力为Q和M。因内力是截面上分布内力的合力。而截面上一般存在两种分布内力的集度——剪应力τ(面内应力)和正应力σ(法向应力)。由理力知识我们知: QndAFd，故正应力的合力不可能产生Q向分量。(即σ不能在面内合成Q)。同理,因为τ在截面内恒通过截面形心（面内水平轴）。故不能产生绕此面内水平轴的合力矩M。因此, QdAMdA;。
若梁在某段内各横截面上的剪力为零,弯矩为常量,则该段梁的弯曲就称为纯弯曲(Pure Bending)。平面纯弯曲是弯曲理论中最基本的情况。
5-2-1,平面纯弯曲的实验研究
变形特点：
•①１－１与２－２变形后仍为直线,仍与变形后的轴线垂直。只是相对原来位置转动了一个角度。
•②纵向直线（ab）和（cd）弯成圆§5-2 纯弯曲时梁横截面上的正应力Normal Stress of Beam•和ch2轴向拉压与ch4圆轴扭转一样，分析了杆弯曲变形的内力•—Q，M后，还需进一步分析梁的应力分布和计算，才能解决工程中的强度计算等实际问题。•和前面一样，由内力→应力需通过对梁的变形几何，物理关系，静力平衡三方面综合研究。由于: ,故我门先研究以M为主的简单梁—纯弯曲梁(Pure Bending Beam)：Q≡0的梁(或梁段)。例如：•另对应有:横力弯曲(shear bending ,
材力 第五章
.
精品 5—3 图示悬臂梁，横截面为矩形，承受载荷F1与F2作用，且F1=2F2=5 kN，试计算梁内的最大弯曲正应力，及该应力所在截面上K点处的弯曲正应力。
解：(1) 画梁的弯矩图：
(2) 最大弯矩（位于固定端）：
max7.5 MkN
(3) 计算应力：
最大应力：
K点的应力：
5—4 图示梁，由No22槽钢制成，弯矩M=80 N.m，并位于纵向对称面（即x-y平面）内。试求梁内的最大弯曲拉应力与最大弯曲压应力。 6maxmaxmax227.510176 408066ZMMMPabhW6maxmax337.51030132 40801212KZMyMyMPabhI40
1m F1
C
y 1m F2
80
K z 30
M
M
y z y0 b C sF
kN5.2
kN5
(+) 7.5kNm
x M
5kN
kNm5.7 kNm5 .
精品
解：(1) 查表得截面的几何性质：
4020.3 79 176 zymmbmmIcm
(2) 最大弯曲拉应力（发生在下边缘点处）：
30max880(7920.3)102.67 17610xMbyMPaI
(3) 最大弯曲压应力（发生在上边缘点处）：
30max88020.3100.92 17610xMyMPaI
5—5图示简支梁，由No18工字钢制成，在集度为q的均布载荷作用下，测得横截面C底边的纵向正应变ε=3.0×10-4，试计算梁内的最大弯曲正应力，已知钢的弹性模量E=200
Gpa，a=1 m。
解：(1) 求支反力：
31 44ABRqaRqa
(2) 画内力图：
(3) 由胡克定律求得截面C下边缘点的拉应力为：A B
a a q
C
ε
RA RB
x (+)
x (-) 3qa/4 FS
材料力学弯曲应力课件
材料力学弯曲应力课件
曲在工程中的应用。这是一个厂房，这是一个大梁，这个吊车可以在这个大梁上运动。对于这样一个问题，我们可以把它简化成一个简支梁，这个吊车的移动呢可以处理成一个移动荷载。那么对于这个移动荷载而言，它所导致的应力如何计算行车移动时，它的应力如何变化这就是本章的内容之一。
我们再看看这个图片，这是我们拍摄的汽车的下部分，大家注意一些这个部分，这是就是汽车的板簧，它的模型就是这个样子，可以看成好几个钢板的组合，那么，为什么要设计成这个样子呢它有什么优点呢这也是本章要解决的问题。
这是一个运动员，撑杆跳，对吧。大家常常见到，利用这个杆的助力，人可以跳的更高。我们可以处理成这样一个模型。她在跳高的过程中，杆就发生了弯曲。那么，这个时候，跳杆横截面上的应力和杆曲率半径有什么关系这个杆在什么情况下才满足强度要求
大家看看这个场面，对于这个场面，我们截面几何性质那章提到过，都是薄壁杆件，那么薄壁杆件有弯曲正应力和弯曲切应力，专门有一小节来讲解它的弯曲切应力，看看这些切应力有什么特点如何避免薄壁杆件的强度失效这也是本章的问题
这个大家都熟悉，著名的比萨斜塔。对于这个结构，初步计算，我们可以简化成这样一个均质圆筒，那么它有哪些变形效应它的危险截面、危险点在哪儿如何计算其应力这也是本章可以解决的问题。因此，本章所涉及的问题是比较广的。
基本内容
那么本章到底需要同学们掌握哪些内容呢 1、熟练张博横截面上弯曲正应力和弯曲切应力的分布规律，并能正确熟练的进行梁的强度分析。
2、熟悉提高梁强度的主要措施。、正确理解薄壁杆件横截面上弯曲切应力的分布规律，了解弯曲中心的概念。
4、熟悉掌握梁在组合变形中的应力的计算方法。
第一、第四条是很重要的。这是以后大家经常需要处理的问题。
基本概念
平面弯曲
首先我们来看弯曲正应力。在这章具体内容介绍之前呢，我们先介绍一些概念。关于梁弯曲的基本概念。梁的平面弯曲。什么是梁的平面弯曲呢这是一个悬臂梁，截面是矩形截面，那么这个横截面就有一个中心对称轴，整个梁就存在一个对称面，如果我们的所有的外荷载都作用在这个平面之内，比如外荷载是这样的，那么发生变形后，梁的轴线仍然在这个平面内，像这样的弯曲，我们就叫做平面弯曲。也就是说，梁弯曲后，它的轴线也保持在一个平面之内。像这样的弯曲，我们就叫做平面弯曲。纯弯曲和横力弯曲
圆柱材料力学弯曲应力
圆柱材料力学弯曲应力
圆柱材料力学弯曲应力是指在外力作用下，圆柱材料产生的弯曲应力。圆柱材料是一种常见的结构形式，在工程领域中被广泛应用。了解圆柱材料的力学弯曲应力对于设计和分析工程结构非常重要。
在圆柱材料受到外力作用时，会产生弯曲变形。这种变形是由于材料内部产生了不均匀的应力分布所引起的。弯曲应力是在材料内部产生的一种应力状态，它是沿着圆柱体截面上任意一点处的切应力。
根据材料力学的基本原理，我们可以通过弯曲应力的计算来了解圆柱材料在弯曲加载下的性能。弯曲应力的计算需要考虑外力的大小、材料的几何形状以及材料的力学性质等因素。
对于简单的圆柱材料，如实心圆柱和空心圆柱，我们可以使用经典弹性力学理论来计算其弯曲应力。根据经典弹性力学理论，弯曲应力与外力、几何形状和材料性质之间存在一定的关系。
对于实心圆柱材料，其弯曲应力可以通过以下公式计算：
σ = (M * y) / I
其中，σ表示弯曲应力，M表示外力矩，y表示截面上离轴线的距离，I表示截面惯性矩。这个公式表明，弯曲应力与外力矩成正比，与离轴线距离和截面惯性矩成反比。
对于空心圆柱材料，其弯曲应力可以通过以下公式计算：
σ = (M * r) / (I * t)
其中，σ表示弯曲应力，M表示外力矩，r表示截面内半径，I表示截面惯性矩，t表示壁厚。这个公式表明，弯曲应力与外力矩成正比，与截面内半径、截面惯性矩和壁厚成反比。
除了经典弹性力学理论外，还有其他方法可以用来计算圆柱材料的弯曲应力。例如，有限元法是一种常用的数值计算方法，可以用来模拟复杂结构下的弯曲应力分布。有限元法通过将结构划分为许多小单元，并在每个单元上进行计算，最终得到整个结构的应力分布。
此外，在实际工程中，还需要考虑一些特殊情况对圆柱材料的弯曲应力进行修正。例如，在存在孔洞或裂纹的圆柱材料中，弯曲应力会集中在孔洞或裂纹周围区域，导致局部应力增大。这时需要进行局部应力修正。
5-第五章弯曲应力
1
第五章弯曲应力
5.1 纯弯曲
、纯弯曲和横力弯曲
1. 纯弯曲BC段：Q = 0, M =常数。
特点：弯曲后的轴线为圆弧线。
2、 横力弯曲 AB、CD : QM 0, M工0。
特点：弯曲后的轴线为非圆弧线
MJ Fa
、弯曲变形假设
1. 平面假设：
变形前为平面的横截面在纯弯曲变形后仍保持为一平面，且垂直于变形后的 轴线，只是绕截面内某一轴线旋转了一个角度。
2. 纵向纤维间无正应力。
三、中性层和中性轴
1. 中性层：由于变形的连续性，各层纤维是由伸长逐渐过渡到缩短的，因而 其间必定存在一层既不伸长，又不缩短的纤维，这一层称为中性层。
2. 中性轴：中性层与横截面的交线称为中性轴。2
5.2纯弯曲时的正应力
、变形几何关系
+ yd d y
d
二、物理关系
当应力小于比例极限，由胡克定律：
=E = E-
任意点的应力与该点到中性轴的距离成正比。
三、静力关系
横截面上的微力 dA组成垂直横截面的平行力系。该力系可简化为
N dA M y z dA M z y dA
A ， y A ， A 3
根据纯弯曲时梁的横截面内只有对 Z轴的弯矩M，而N 0、My 0，即 4
N dA= 0 M y z dA= 0 M z y dA = M
A y A A
由N A dA= 0可知中性轴必须通过截面形心。
A
由My Az dA= A E — dA 0可知y和z轴至少有一根是对称轴。
A A
令 y 2dA I z --对z轴的惯性矩 A
EX = M
Iz
5.3横力弯曲时的正应力
、正应力近似计算公式
（误差不大，满足工程所需精度）
2.平行移轴公式
IZ IZC b2A
例题
1. 如图a所示简支梁由 56a号工字钢制成，其截面简化后的尺寸简图 b,
F=150KN。试求此梁的最大正应力和该截面上翼缘与腹板交接处 a点的正应力。 2
Ay dA= AE-dA E
可得— M
材料力学弯曲应力
材料力学弯曲应力
材料力学是研究材料在外力作用下的变形和破坏规律的一门学科，而弯曲应力是材料在受到弯曲载荷时所产生的应力。弯曲应力的研究对于工程结构设计和材料选用具有重要意义。本文将从弯曲应力的概念、计算公式、影响因素等方面进行详细介绍。
弯曲应力是指在材料受到弯曲载荷作用下，横截面上的应力分布情况。在弯曲过程中，材料上部受到压应力，下部受到拉应力，而中性面则不受应力影响。根据梁的理论，弯曲应力与弯矩、截面形状以及材料性质有关。在工程实践中，我们通常使用梁的弯曲应力公式来计算弯曲应力的大小。
梁的弯曲应力公式可以表示为：
\[ \sigma = \frac{M \cdot c}{I} \]
其中，σ为弯曲应力，M为弯矩，c为截面中性轴到受拉或受压纤维的距离，I为截面的惯性矩。从公式中可以看出，弯曲应力与弯矩成正比，与截面形状和材料性质有关，截面越大，惯性矩越大，弯曲应力越小。
影响弯曲应力的因素有很多，主要包括载荷大小、截面形状、材料性质等。首先是载荷大小，当外力作用在梁上时，产生的弯矩大小将直接影响弯曲应力的大小。其次是截面形状，截面形状不同将导致截面惯性矩不同，进而影响弯曲应力的大小。最后是材料性质，材料的弹性模量、屈服强度等参数也会对弯曲应力产生影响。
在工程实践中，我们需要根据具体的工程要求和材料性质来选择合适的截面形状和材料类型，以使得结构在受到弯曲载荷时能够满足强度和刚度的要求。同时，还需要合理设计结构，减小弯曲应力集中的区域，避免出现应力集中而导致的破坏。
综上所述，弯曲应力是材料在受到弯曲载荷时产生的应力，其大小与弯矩、截面形状和材料性质有关。在工程实践中，我们需要根据具体的工程要求和材料性质来计算和分析弯曲应力，以保证结构的安全可靠。同时，合理设计结构和选择合适的材料也是降低弯曲应力的重要手段。希望本文对于弯曲应力的理解和应用能够有所帮助。