含有参数的线性规划问题及其解法
八种 经典线性规划例题(超实用)
线性规划常见题型及解法由已知条件写出约束条件，并作出可行域，进而通过平移直线在可行域内求线性目标函数的最优解是最常见的题型，除此之外，还有以下六类常见题型。
一、求线性目标函数的取值范围例1、若x、y满足约束条件222xyx y≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩，则z=x+2y的取值范围是（）A、[2,6]B、[2,5]C、[3,6]D、（3,5]解：如图，作出可行域，作直线l：x+2y＝0，将【l向右上方平移，过点A（2,0）时，有最小值2，过点B（2,2）时，有最大值6，故选A二、求可行域的面积例2、不等式组260302x yx yy+-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≤⎩表示的平面区域的面积为（）A、4B、1C、5D、无穷大解：如图，作出可行域，△ABC的面积即为所求，由梯形OMBC 的面积减去梯形OMAC的面积即可，选B'三、求可行域中整点个数例3、满足|x|＋|y|≤2的点（x，y）中整点（横纵坐标都是整数）有（）A、9个B、10个C、13个D、14个解：|x|＋|y|≤2等价于2(0,0)2(0,0)2(0,0)2(0,0) x y x yx y x yx y x yx y x y+≤≥≥⎧⎪-≤≥⎪⎨-+≤≥⎪⎪--≤⎩作出可行域如右图，是正方形内部（包括边界），容易得到整点个数为13个，选D四、求线性目标函数中参数的取值范围例4、已知x、y满足以下约束条件5503x yx yx+≥⎧⎪-+≤⎨⎪≤⎩，使z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则a的值为（）A、－3B、3C、－1D、1解：如图，作出可行域，作直线l：x+ay＝0，要使目标函数z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则将l向右上方平移后与直线x+y＝5重合，故a=1，选D~五、求非线性目标函数的最值例5、已知x、y满足以下约束条件220240330x yx yx y+-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则z=x2+y2的最大值和最小值分别是（）A、13，1B、13，2 .C、13，45D、5解：如图，作出可行域,x2+y2是点（x，y）到原点的距离的平方，故最大值为点A（2,3）到原点的距离的平方，即|AO|2=13，最小值为原点到直线2x＋y－2=0的距离的平方，即为45，选C六、求约束条件中参数的取值范围例6、已知|2x－y＋m|＜3表示的平面区域包含点（0,0）和（－1,1），则m的取值范围是（）"A、（-3,6）B、（0,6）C、（0,3）D、（-3,3）解：|2x－y＋m|＜3等价于230 230x y mx y m-++>⎧⎨-+-<⎩由右图可知3330m m +>⎧⎨-<⎩,故0＜m ＜3，选C七·比值问题当目标函数形如y az x b-=-时,可把z 看作是动点(,)P x y 与定点(,)Q b a 连线的斜率，这样目标函数的最值就转化为PQ 连线斜率的最值。
线性规划问题求解例题和知识点总结
线性规划问题求解例题和知识点总结线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支，它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法。
在经济管理、交通运输、工农业生产等领域都有着广泛的应用。
下面我们通过一些具体的例题来深入理解线性规划问题，并对相关知识点进行总结。
一、线性规划的基本概念线性规划问题是在一组线性约束条件下，求一个线性目标函数的最大值或最小值的问题。
其数学模型一般可以表示为：目标函数：＄Z ＝ c_1x_1 ＋ c_2x_2 ＋＼cdots ＋ c_nx_n$约束条件：＄＼begin{cases}a_{11}x_1 ＋ a_{12}x_2 ＋＼cdots ＋a_{1n}x_n ＼leq b_1 ＼＼ a_{21}x_1 ＋ a_{22}x_2 ＋＼cdots ＋a_{2n}x_n ＼leq b_2 ＼＼＼cdots ＼＼ a_{m1}x_1 ＋ a_{m2}x_2 ＋＼cdots ＋ a_{mn}x_n ＼leq b_m ＼＼ x_1, x_2, ＼cdots, x_n ＼geq0\end{cases}＄其中，＄x_1, x_2, ＼cdots, x_n$是决策变量，＄c_1, c_2, ＼cdots, c_n$是目标函数的系数，＄a_{ij}＄是约束条件的系数，＄b_1, b_2, ＼cdots, b_m$是约束条件的右端项。
二、线性规划问题的求解方法常见的求解线性规划问题的方法有图解法和单纯形法。
1、图解法适用于只有两个决策变量的线性规划问题。
步骤如下：画出直角坐标系。
画出约束条件所对应的直线。
确定可行域（满足所有约束条件的区域）。
画出目标函数的等值线。
移动等值线，找出最优解。
例如，求解线性规划问题：目标函数：＄Z ＝ 2x ＋ 3y$约束条件：＄＼begin{cases}x ＋ 2y ＼leq 8 ＼＼ 2x ＋ y ＼leq 10 ＼＼ x ＼geq 0, y ＼geq 0\end{cases}＄首先，画出约束条件对应的直线：＄x ＋ 2y ＝ 8$，＄2x ＋ y ＝10$，以及$x ＝ 0$，＄y ＝ 0$。
含参数的线性规划问题
线性规划
由目标函数几何意义求参数
3x y 6 0
【例3】(2009·山东)设x，y满足约束条件
x
y
2
0
，
x 0, y 0
若目标函数z=ax+by(a>0,b>0)的最大值为12，则 2 3 的最
ab
小值为( )
(A) 25 (B) 8 (C)11 (D)4
含参数的线性规划问题 专题讲座
深圳市民办学校高中数学教师 欧阳文丰制作
平面区域与目标函数
复习回顾 目标函数的几何意义
1. z ax by 直线型，z表示纵截距的b倍 2. z ax by 点到直线距离型
3. z OA OB 转化为坐标形式或投影 4. z y b 斜率型
6
3
3
线性规划
x y 2
【 练 习2】 已 知x, y满 足 不等 式 组 y x 0,
x
0
目 标 函数z ax y只 在(1,1)处 取 最小 值 ，
则 有( )
A. a 1 B.a 1 C. a 1 D. a 1
线性规划
【练习3】(2010·安徽)设x,y满足约束条件
A. 5, 10 B.5，10 C. 0，5 D. 0，10
线性规划
【 练 习4】 已 知 函 数f ( x) 1 x3 1 ax2 bx 32
在 区 间 1,3上 单 调 递 减 ， 则a2 b2的 最 小 值 是__1__3____.
线性规划
【例5】已知函数y f ( x)在R上单调递增，函数 y f ( x 1)的图像关于点(1,0)对称，若对于任意 的x, y R,不 等 式f ( x2 6x 21) f ( y2 8 y) 0 恒 成 立 ， 则 x2 y2的 取 值 范 围 是________.
含参的线性规划问题
线性规划
【练习3】(2010·安徽)设x,y满足约束条件
2 x y 2 0 8 x y 4 0 ,若目标函数z=abx+y(a>0,b>0)的 x 0 ,y 0
最大值为8，则a+b的最小值为_______. 4
线性规划
与函数结合
【例4】若函数 ( x ) x 2 ax 2b在区间 0,1), f ( (1,2)内各有一个零点，则2 (b 2) 2的取值 a 范围是( A. )
线性规划（二）
高三数学组
确定你的方向是正确的，下一步要做的 就是坚持……
线性规划 课时要求 1.了解二元一次不等式的几何意义，能用平 面区域表示二元次此不等式组； 2.理解目标函数的几何意义，会用图解法解 线性规划问题； 本节重点是含参问题。 3.通过图解法逐步加强作图能力，渗透数形 结合思想。
平面区域与目标函数
复习回顾
目标函数的几何意义
b 1. z ax by 直线型，z表示纵截距的 倍 2. z ax by 点到直线距离型 3. z OA OB 转化为坐标形式或投影 yb 斜率型 4. z xa 2 2 5. z x y Dx Ey F 两点间距离型 2 2 6. z x y Dx Ey F 圆型(距离平方)
线性规划
【例5】已知函数 f ( x )在R上单调递增，函数 y y f ( x 1)的图像关于点1,0)对称，若对于任意 ( 的x , y R, 不等式f ( x 2 6 x 21) f ( y 2 8 y ) 0 恒成立，则 x y 的取值范围是 ________.
线性规划
线性规划常见题型及解法例析
品有直接限 制 因 素 的 是 资 金 和 劳 动 力,通 过 调 查,得
到这两种产品的有关数据如表 ２．
资金
成本
劳动力(工资)
单位利润
单位产品所需资金/百元
月资金供应
电子琴(架) 洗衣机(台)
量/百元
３０
２０
６
８
５
１０
３００
１１０
试问:怎 样 确 定 这 两 种 产 品 的 月 供 应 量,才 能 使
故选:
B．
思路与方法:本 题 运 用 数 形 结 合 思 想,采 用 了 图
组作 出 可 行 域,如 图 ３ 所 示 ．
由
图 ３ 可 知,△ABC 的 面 积 即 为
所求 ．
易得
S梯 形OMBC ＝
１
×(
２＋３)×２＝５,
２
图３
１
S梯 形OMAC ＝ × (
１＋３)×２＝４．
２
所以 S△ABC ＝S梯 形OMBC －S梯 形OMAC ＝５－４＝１．
思路与方法:本 题 中 的 可 行 域 是 三 角 形,而 这 个
不规则的三角形面积很 难 直 接 求 解,于 是 将 它 看 作 梯
解法求最值,先 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 画 出 可 行 域,然
形 OMBC 的一部 分,利 用 梯 形 OMBC 与 梯 形 OMAC
后平行移动直线 z＝３x＋４y 即可求出最大值 ．
ï
,
且当
b≥０
b为
íy≥０, 时,恒有ax＋by≤１,求以a,
ï
îx＋y≤１
坐标的点 P (
a,
b)所构成的平面区域的面积 ．
解析:设 z＝ax ＋by,根 据 题 意 可 知,想 要 ax ＋
一类含参数线性规划问题的解法
一类含参数线性规划问题的解法作者：张卫兵
来源：《高中生·高考》2019年第06期
目标函数中含参数的线性规划问题近年来在高考中时常出现，如何解决此类问题呢？下面举例加以说明，
小结在目标函数z=ax+by中含参数（a，b中仅有一个是参数，另一个是定值）的线性规划问题中，知道目标函数的最值就是知道目标函数对应的直线在y轴上的截距z/b（b≠0）的最值.为此，可将目标函数z=ax+by中的z用给定的最值代换，通过直线过定点的特征在可行域中找到符合条件的点，便可求出参数的值.
小结在目标函数z=ax+by中含参数（a，b中儀有一个是参数，另一个是定值）的线性规划问题中，知道目标函数过某一点M（x，y）时取最值，求参数的变化范围时，只需将直线z=ax+by的斜率k=-手（b≠0）与过点M（x，y）的交线的斜率进行比较，通过满足题意的斜率的范围来求出参数的范围，
小结在目标函数z=ax+by中含参数（a，b中仪有一个是参数，另一个是定值）的线性规划问题中，知道其中一个参数的变化范围，求目标函数的最值的变化范围时，只需将目标函数中的参数与直线ax+by=z的斜率k=a/b（b≠o）联系起来，由参数的变化范围得到斜率k=a/b （b≠0）的变化范围，以确定直线ax+by=0的位置，再平行移动直线ax+by=0，通过确定直线ax+by=z在y轴上的截距取最值时所经过的点的方法，求出z=ax+by的最值的变化范围.
（责任编校/冯琪）。
线性规划中的参数问题-2019届高三数学提分精品讲义
专题六不等式问题二：线性规划中地参数问题一，考情思路线性规划是高考必考问题,常有以下几种类型：（1）平面区域地确定问题。
（2）区域面积问题。
（3）最值问题。
（4）逆向求参数问题．而逆向求参数问题,是线性规划中地难点,其主假如依据目标函数地最值或可行域地情况决定参数取值．二，经验分享(1)求平面区域地面积：①首先画出不等式组表示地平面区域,若不能直接画出,应利用题目地已知款件转化为不等式组问题,从而再作出平面区域。
②对平面区域进行思路,若为三角形应确定底与高,若为规则地四边形(如平行四边形或梯形),可利用面积公式直接求解,若为不规则四边形,可分割成几个三角形分别求解再求和即可．(2)利用几何意义求解地平面区域问题,也应作出平面图形,利用数形结合地方式去求解．(3)先准确作出可行域,再借助目标函数地几何意义求目标函数地最值．当目标函数是非线性地函数时,常利用目标函数地几何意义来解题.(4)当目标函数中含有参数时,要依据临界位置确定参数所满足地款件,含参数地平面区域问题,要结合直线地各种情况进行思路,不能凭直觉解答,目标函数含参地线性规划问题,要依据z地几何意义确定最优解,切忌搞错符号．三，知识拓展常见代数式地几何意义：①x2＋y2表示点(x,y)与原点(0,0)地距离,x－a2＋y－b2表示点(x,y)与点(a,b)地距离。
②yx表示点(x,y)与原点(0,0)连线地斜率,y－bx－a表示点(x,y)与点(a,b)连线地斜率．四，题型思路(一) 目标函数中含参数若目标函数中含有参数,则一般会知道最值,此时要结合可行域,确定目标函数得到最值时所经过地可行域内地点（即最优解）,将点地坐标代入目标函数求得参数地值．1．目标函数中x地系数为参数【点评】线性规划问题地最优解一般在平面区域地边界顶点处或边界线上一,当最优解不唯一时,说明目标函数所表示地直线与区域地某一边平行【思路】约束款件所满足地区域如图所示,目标函数过B【点评】这类问题应依据图形特征确定最优解,进而用代入法求参数地值．．目标函数中,x y地系数均含参数4【点评】本题地关键是给出目标函数地实际意义()()22x a y b -+-,可看成可行()()222x a y b =-+-。
含参的线性规划问题
x 0 （3）点M（a, b)在 y 0 区域内， x+y 2 求N(a+b,a-b)所形成区域的面积
x y0 （4）不等式组 2 x y 2 y 0 x ya
表示的平面区域是一个三角形，则 取值范围是 D
4 D.0 a 1或a 3
命题点3 区域图形与面积
x+y-1 0 例3、（1）若不等式组 x-1 0 ax-y+1 0 所表示的平面区域的面积等于2，求a
1 1
D
x 0 例3（2）已知a>0，b 0，且 y 0 , x y 1 恒有ax+by 1,求点（a,b)所成区域的面积
含参数的线性规划（一）
平面区域与目标函数
复习回顾
目标函数的几何意义
直线型， z表示纵截距的 b倍 1. z ax by 2. z ax by+c 点到直线距离型 转化为坐标形式或投影 3. z OA OP yb 斜率型 4. z xa 2 2 5. z x y Dx Ey F 两点间距离型 2 2 6. z x y Dx Ey F 圆型 (距离平方 )
线性规划
由区域求参数
【 例1】 ( 2013 新 课 标 II )已 知a 0, x , y满 足 约 束 条 件 x 1 1， 则a ( ) x y 3 , 若z 2 x y的 最 小 值 为 y a ( x 3) 1 A. 4 1 B. 2 C.1 D. 2
4 A.a 3 B.0 a 件中含有参数时，注意直线是定点直线系、 • 还是平行直线系，使直线初步稳定。 • 2、目标函数中含有参数时，注意分析目标函数的 • 几何意义。 • 3、在线性规划问题可行域下的恒成立问题，一定要结合 • “可行域”将“恒成立”加以控制；或者转化为目标函 • 数的最值问题。
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边界直线的交点, 并且取得该最值时的目标函数所表示的直
线也经过这个交点, 此时形成三线共点的态势. 若最优解不
唯一, 则取得该最值时的目标函数所表示的直线必与某一边 界直线重合. 以上两点经验直取核心在解决线性规划的最值
等有关问题时具有很好的指导作用.
2. 目标函数含有参数
x + 2y − 3 0,
12
中学数学研究
2019 年第 3 期 (上)
含有参数的线性规划问题及其解法
浙江省绍兴市柯桥区钱清中学 (312025) 王红娟 湖北省阳新县高级中学 (435200) 邹生书
线性规划问题通常是指在线性约束条件下求线性目标 函数的最值问题, 其求解方法就是图解法. 根据二元不等式 组的解与坐标平面内点的对应关系, 将约束条件转化为平面 区域, 然后利用目标函数的几何意义求最优解和最值. 线性 规划问题将函数、方程、不等式和最值融为一体, 将代数与解 析几何有机联合, 将函数方程、数形结合和化归转化等数学 思想深透到问题的解决过程之中, 因此线性规划问题成为考 查考生能力和综合素养的良好载体. 其中含有参数的线性规 划问题, 对考生能力方面的要求更高, 从而使得问题难度大 增. 笔者通过统计发现含有参数的线性规划问题在高中较为 少见, 但在高考模拟考和联考中却风起云涌屡见不鲜, 下面 主要以模拟考试的题目为例, 分类解析这类问题的解法.
方法二 若二元一次不等式可化为 y > kx + b, 则其表
示的平面区域为直线 y = kx + b 的上半平面, 反之为该直线
的下半平面. 若二元一次不等式可化为 x > my + n, 则其确 定的平面区域为直线 y = kx + b 的右侧半平面, 反之为该直
线的左侧半平面. 确定区域的口诀是: 纵大则上, 横大则右.
例4
已知变量 x, y 满足约束条件
这个方法简单实用.
有了上述二元一次不等式确定平面区域的方法, 二元一
次不等式组所确定的平面区域可象作战地图一样用箭头包
围法来确定.
例 3 (2017 年福州市高中毕业年级第二次质量预测理 x 2,
科第 15 题) 已知 x, y 满足
x + y 4, 2x − y − m
若目标函数 0,
2012. [4] 韩云桥. 中学数学教学与学生思维发展 [M]. 中山大学出版社, 2013. [5] 卢敏玲. 变易理论和优化课堂教学 [M]. 安徽教育出版社, 2011.
2019 年第 3 期 (上)
中学数学研究
13
点评 二元一次不等式所对应的平面区域是半个平面,
其确定方法主要有如下两种方法.
方法一 第一步, 画出二元一次不等式所对应的二元一
次方程所表示的直线, 有等号画成实线, 没有等号画成虚线;
第二步, 在直线外取一特殊点, 若这个点的坐标满足不等式,
那么这个点和这条直线所确定的半平面就是这个二元一次
不等式所确定的平面区域, 否则就是另一个半平面. 确定区
域的口诀是: 直线定边界, 一点定区域, 合则在, 不合则不在.
3
=
(m + 1)2 3
=
4 (m + 1)2 3
= 4,
所以 (m + 1)2 = 4, 又 m + 1 > 0, 所以 m = 1, 故选 B.
解决, 提高学生的建模能力, 帮助学生把所学的知识进行内 部联系分类, 把它们连成线, 结成网, 使所学知识系统化, 网 络化, 模型化.
参考文献
图 11
图3
线的交点分别为 A(2, 4), B(3, 1). 则
直线 2x − y − m = 0 必过点 A 或点 B. 当直线过点 A 时求 得 m = 0, 当直线过点 B 时求得 m = 5, 故 m 的最小值为 0.
点评 解题经验告诉我们: 线性规划问题的最值如果存
在, 若最优解唯一, 则最优解必是可行域的某个顶点即为两
得 xC = 2, xD = −2m, yA =
2(m + 1)
m + 1, yB =
, 所以 3
图2
S△ABC = S△ADC − S△BDC =
1
1
1
1
2 DC ·yA − 2 DC ·yB = 2 DC(yA −yB) = 2 (xC −xD)(yA −
yB) =
1
m+1
(2 + 2m) ·
2
例 2 (2015 年 高 考 重 庆 卷) 若 不 等 式 组 x + y − 2 0
x + 2y − 2 x − y + 2m
0 0
表示的平面区域为三角形, 且其面积等
4 于 3 , 则 m 的值为 ( )
A. −3
B. 1
C. 4 3
D. 3
解 不等式组所确定的平面
区域是图 2 所示的 △ABC. 易求
z = 3x + y 的最大值为 10, 则 m 的最小值为 .
解 把 z = 10 代入 z = 3x + y
得 y = −3x + 10. 在同一坐标系下 画 出 三 条 直 线 x = 2, x + y = 4,
y = −3x + 10, 如图 3 所示. 求得直线
y = −3x + 10 与 x = 2, x + y = 4 直
三、小结
本文利用类比教学得到空间球的标准方程和平面截球 的两个重要几何性质及一个重要的数学公式, 并根据性质的 使用情况将空间几何体的外接球问题归纳为四种类型进行
[1] 梁玉麟, 劳傅燕华, 江巧妍. 数学课堂学习研究实践与数学基本概念 的教学 [M]. 安徽教育出版社, 2011.
[2] 何小亚. 数学学与教的心理学 [M]. 华南理工大学出版社, 2011. [3] 谭国华. 高中数学教学设计的理论与实践 [M]. 人民教育出版社,
1. 约束条件含有参数
例 1 在 直 角 坐 标 系 xOy 中,
若 不等式组 y 0
y y
2x k(x − 1) − 1
表示一个三
角 形 区 域, 则 实 数 k 的 取 值范 围
图1
为.
解 如图 1, y = k(x−1)−1 是斜率为 k 过定点 A(1, −1) 的一条直线, 要不等式组表示一个三角形区域, 由图知当且 仅当直线 y = k(x − 1) − 1 与直线 y = 2x 在第一象限有交 点, 故实数 k 的取值范围为 (−∞, −1) ∪ (2, +∞).