上学期高二数学期中考试题及答案
2024-2025学年酒泉市高二数学上学期期中考试卷附答案解析
2024-2025学年酒泉市高二数学上学期期中考试卷考试时间120分钟，满分150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知数列1，3，……，则该数列的第25项是（）A.7B.C. D.52.已知数列{}n a 的前n 项和()22n S n =+，则567a a a ++的值为（）A.81B.36C.45D.333.在等差数列{}n a 中，67821a a a ++=，则59a a +的值为（）A.7B.14C.21D.284.20y -+=的倾斜角为（）A.π6B.π 3 C.2π3D.5π65.设n S 为数列{}n a 的前n 项和，若21n n S a =-，则791012a a a a ++的值为（）A.8B.4C.14D.186.若点()1,2P -在圆22:0C x y x y m ++++=的外部，则m 的取值一定不是（）A.4- B.1- C.0D.27.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，10a >，且316=S S ，则下列说法正确的是（）A.公差0d >B.190S >C.使0nS <成立的n 的最小值为20D.110a >8.已知,A B 是圆224x y +=上的两个动点，且AB =，点()00,M x y 是线段AB 的中点，则004x y +-的最大值为（）A.12B. C.6D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知直线l 过点()0,4，40y -+=及x 轴围成等腰三角形，则直线l 的方程可能为（）A.40y +-=B.40y -+=C.30y -+=D.3120y -+=10.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，则下列说法中正确的是（）A.若2n S n =，则{}n a 是等差数列B.若2nn S =，则{}n a 是等比数列C.若{}n a 是等差数列，则202510132025S a =D.若{}n a 是等比数列，且0n a >，则221212n n nS S S -+⋅>11.已知圆221:20x y x O +-=和圆222:240O x y x y ++-=，则下列结论中正确的是（）A.圆1O 与圆2O 相交B.圆1O 与圆2O 的公共弦AB 所在的直线方程为0x y -=C.圆1O 与圆2O 的公共弦AB 的垂直平分线方程为10x y +-=D.若AB 为圆1O 与圆2O 的公共弦，P 为圆1O 上的一个动点，则△PAB面积的最大值为1+三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知直线l 的方向向量为()1,2，且直线l 经过点()2,3-，则直线l 的一般式方程为________．13.圆C ：22650x y x +-+=，0,0为圆C 上任意一点，则y x 的最大值为______．14.已知等比数列{}n a 的前n 项和2n n S a =-，N n +∈，则a ＝________；设数列{}n a 的前n 项和为n T ，若5n T n λ>+对N n +∈恒成立，则实数λ的取值范围为________．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知直线()1:220l x m y +-=，2:220l mx y +-=，且满足12l l ⊥，垂足为C .（1）求m 的值及点C 的坐标.（2）设直线1l 与x 轴交于点A ，直线2l 与x 轴交于点B ，求ABC V 的外接圆方程.16.设{}n a 是等差数列，{}n b 是各项都为正数的等比数列，且111a b ==，3521a b +=，5313a b +=.（1）求{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）求数列{}n n a b +的前n 项和n S .17.已知圆C ：2244100x y x y m +----=，点()1,0P ．（1）若17m =-，过P 的直线l 与C 相切，求l 的方程；（2）若C 上存在到P 的距离为1的点，求m 的取值范围．18.已知数列{}n a 满足：()*312232222n na a a a n n +++⋅⋅⋅+=∈N ，数列{}nb 满足5012n nb a =+.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求100n n b b -+的值；（3）求12399b b b b +++⋅⋅⋅+的值.19.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，410S =，数列{}n b 满足13b =，121n n b b +=-．（1）证明：数列{}1n b -是等比数列；（2）证明：2112n n n n S b S b ++⋅>⋅；（3）若()421nn n a c b =-，求数列{}n c 的前n 项和nT 2024-2025学年酒泉市高二数学上学期期中考试卷考试时间120分钟，满分150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知数列1，3，……，则该数列的第25项是（）A.7B.C. D.5【答案】A 【解析】【分析】根据数列的规律及通项可得数列的项.【详解】由已知数列1，，3，……，，……，则数列的第n第257=，故选：A.2.已知数列{}n a 的前n 项和()22n S n =+，则567a a a ++的值为（）A.81B.36C.45D.33【答案】C 【解析】【分析】根据数列的前n 项和，可得数列的项，进而可得值.【详解】由已知数列{}n a 的前n 项和()22n S n =+，则75746a a a S S ++=-()()227242=+-+45=，故选：C.3.在等差数列{}n a 中，67821a a a ++=，则59a a +的值为（）A.7B.14C.21D.28【答案】B 【解析】【分析】由等差中项的性质计算即可；【详解】因为在等差数列{}n a 中，67821a a a ++=，所以678773217a a a a a ++==⇒=，所以759214a a a ==+，故选：B.4.20y -+=的倾斜角为（）A.π6B.π 3 C.2π3D.5π6【答案】B 【解析】【分析】先由直线方程得到斜率，进而可得其倾斜角.【详解】由题意可得直线的斜率为k =设其倾斜角为α，则tan α=，又[)0,πα∈，所以π3α=，故选：B5.设n S 为数列{}n a 的前n 项和，若21n n S a =-，则791012a a a a ++的值为（）A.8B.4C.14D.18【答案】D 【解析】【分析】易知数列前n 和求出通项公式，再由等比数列的性质化简求得结果.【详解】当1n =时，11121a S a ==-，∴11a =，当2n ≥时，1121n n S a --=-，则1122n n n n n a S S a a --=-=-，∴12n n a a -=，即数列{}n a 是首项11a =，公比2q =的等比数列，即12n n a -=，∴()()27793210121011181a q a a a a q a q ++===++故选：D.6.若点()1,2P -在圆22:0C x y x y m ++++=的外部，则m 的取值一定不是（）A.4-B.1- C.0D.2【答案】D 【解析】【分析】根据点在圆外及方程表示圆求出m 的范围得解.【详解】因为点()1,2P -在圆C ：220x y x y m ++++=的外部，所以22(1)2120m -+-++>，解得6m >-，又方程表示圆，则1140m +->，即12m <，所以162m -<<，结合选项可知，m 的取值一定不是2.故选：D.7.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，10a >，且316=S S ，则下列说法正确的是（）A.公差0d >B.190S >C.使0nS <成立的n 的最小值为20D.110a >【答案】C 【解析】【分析】根据等差数列的通项公式，前n 项和公式，结合条件10a >，逐项进行判断即可求解.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，由316=S S ，得113316120a d a d +=+，即1131170a d +=，即11090a d a +==，又10a >，所以0d <，所以110a <；故AD 错，()1191910191902a a S a +===，故B 错因为190S =，0d <，所以180S >，200S <，所以0nS <成立的n 的最小值为20.故C 正确.故选：C8.已知,A B 是圆224x y +=上的两个动点，且AB =，点()00,M x y 是线段AB 的中点，则004x y +-的最大值为（）A.12 B.C.6D.【答案】C 【解析】【分析】先根据题意求出M 的轨迹方程为222x y +=，设()00,M x y 到直线40x y +-=的距离为d ，由此可得004x y +-=，将问题转化为求圆222x y +=上的点到直线40x y +-=距离的最大值，先求圆心到直线的距离再加半径即可求解.【详解】根据已知有，圆心0,0，半径2r =，因为弦AB =，所以圆心到AB 所在直线的距离d ==又因为M 为AB 的中点，所以有OM =，所以M 的轨迹为圆心为0,0，半径为1r =的圆，M 的轨迹方程为222x y +=；令直线为40x y +-=，则()00,M x y 到直线40x y +-=的距离为d ，则d =，即004x y +-=，所以当d 最大时，004x y +-=也取得最大值，由此可将问题转化为求圆222x y +=上的点到直线40x y +-=距离的最大值的2倍，设圆心0,0到直线的距离为0d ，则0d ==，所以max 0d d =+=所以004x y +-的最大值为6.故选：C二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知直线l 过点()0,4，40y -+=及x 轴围成等腰三角形，则直线l 的方程可能为（）A.40y +-=B.40y -+=C.30y -+= D.3120y -+=【答案】AD 【解析】【分析】由题意知直线l 过点()0,4，所以根据直线l 是否存在斜率进行分类讨论，结合等腰三角形等知识，即可求解.【详解】设()0,4为点A ，易知点()0,4A 40y -+=上，直线40y -+=与x轴的交点,03B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，当直线l 的斜率不存在时，因为直线l 过点()0,4，所以直线l 的方程为0x =，与x 轴的交点为()0,0O ；此时4OA =，3OB =，3AB =，所以AOB V 不是等腰三角形，故直线l 存在斜率；设B 关于y轴的对称点为C ⎫⎪⎭，当直线l 过A ，C 两点时，AB AC =，ABC V 是等腰三角形，同时直线ABπ3，所以ABC V 是等边三角形，所以AC BC =，此时直线l 的方程为144x y +=40y +-=，设直线l 与x 轴相交于点D，如图所示，若AB BD =，则π6ADB ∠=，所以直线AD ，即直线l的斜率为3，此时方程为343y x =+3120y -+=；所以直线l40y +-=3120y -+=故选：AD.10.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，则下列说法中正确的是（）A.若2n S n =，则{}n a 是等差数列B.若2nn S =，则{}n a 是等比数列C.若{}n a 是等差数列，则202510132025S a =D.若{}n a 是等比数列，且0n a >，则221212n n nS S S -+⋅>【答案】AC 【解析】【分析】利用n S 和n a 的关系即可判断A ，B 选项；利用等差数列的求和公式即可判断C 选项；通过举例即可判断D 选项.【详解】对于A ，若2n S n =，则当1n >时，121n n n a S S n -=-=-，当1n =时，111a S ==，符合21n a n =-，故21n a n =-，则{}n a 是等差数列，故A 正确；对于B ，若2nn S =，则112a S ==，2212a S S =-=，3324a S S =-=，故a a a a ≠2312，{}n a 不是等比数列，故B 错误；对于C ，若{}n a 是等差数列，则()1202520251013202520252a a S a +==，故C 正确；对于D ，若1n a =，符合{}n a 是等比数列，且0n a >，此时()()22121212141n n S S n n n -+⋅-+==-，2224n S n =，不满足221212n n n S S S -+⋅>，故D 错误.故选：AC11.已知圆221:20x y x O +-=和圆222:240O x y x y ++-=，则下列结论中正确的是（）A.圆1O 与圆2O 相交B.圆1O 与圆2O 的公共弦AB 所在的直线方程为0x y -=C.圆1O 与圆2O 的公共弦AB 的垂直平分线方程为10x y +-=D.若AB 为圆1O 与圆2O 的公共弦，P 为圆1O 上的一个动点，则△PAB 面积的最大值为1+【答案】ABC 【解析】【分析】根据圆的一般方程确定圆心、半径，判断1212||,,O O r r 的关系判断A ，两圆方程相减求相交线方程判断B ；应用点斜式写出公共弦AB 的垂直平分线方程判断C ；数形结合判断使△PAB 面积最大时P 点的位置，进而求最大面积判断D.【详解】由题设2121)1:(x O y -+=，则1(1,0)O ，半径11r =，222:(1)(2)5O x y ++-=，则2(1,2)O -，半径2r =，所以12||1,1)O O =，两圆相交，A 对；两圆方程相减，得公共弦AB 所在直线为0x y -=，B 对；公共弦AB 的垂直平分线方程为20(1)(1)11y x x -=⋅-=----，即10x y +-=，C 对；如下图，若O 与B 重合，而1O 到0x y -=的距离d =，且||2AB ==，要使△PAB 面积最大，只需P 到AB 的距离最远为11d r +=，所以最大面积为1121)22+=，D 错.故选：ABC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知直线l 的方向向量为()1,2，且直线l 经过点()2,3-，则直线l 的一般式方程为________．【答案】270x y --=【解析】【分析】根据点斜式求得直线方程，并化为一般式.【详解】直线l 的方向向量为()1,2，所以直线l 的斜率为2，所以直线方程为()32224,270y x x x y +=-=---=.故答案为：270x y --=13.圆C ：22650x y x +-+=，0,0为圆C 上任意一点，则0y x 的最大值为______．【答案】5【解析】【分析】设0y k x =，则直线00y kx =与圆有公共点，联立方程消元后，利用判别式即可得解.【详解】设y k x =，则00y kx =，联立0022000650y kx x y x =⎧⎨+-+=⎩，消元得()22001650k x x +-+=，由()2Δ362010k=-+≥，解得252555k -≤≤，所以00y x 的最大值为5.故答案为：514.已知等比数列{}n a 的前n 项和2n n S a =-，N n +∈，则a ＝________；设数列{}n a 的前n 项和为n T ，若5n T n λ>+对N n +∈恒成立，则实数λ的取值范围为________．【答案】①.1②.9λ<-【解析】【分析】根据等比数列的性质，结合2n n S a =-，有(2)(21)2n n a a --=-，即可求a 值，进而有12n n a -=即(1)l 2n n =-，结合5n T n λ>+对N n +∈恒成立求λ的范围即可.【详解】由等比数列的前n 项和2n n S a =-知，1q ≠，所以1(1)21n n n a q S a q-==--，所以2q =，而112a S a ==-，2q =，∴(2)(21)2n n a a --=-，即1a =，由上知：12nn a -=，则(1)l 2n n =-，∴==2−>5+，即226(3)9,N n n n n λ+<-=--∈，当3n =时，2(3)9,N n n +--∈的最小值为9-，所以9λ<-.故答案为：1；9λ<-四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知直线()1:220l x m y +-=，2:220l mx y +-=，且满足12l l ⊥，垂足为C .（1）求m 的值及点C 的坐标.（2）设直线1l 与x 轴交于点A ，直线2l 与x 轴交于点B ，求ABC V 的外接圆方程.【答案】（1）12m =；()1,1C .（2）()2211x y -+=【解析】【分析】（1）根据题意，求得两直线的斜率，结合121k k ×=-，求得12m =，得出直线的方程，联立方程组，求得交点坐标.（2）由（1）中的直线方程，求得()0,0A ，()2,0B ，得到ABC V 的外接圆是以AB 为直径的圆，求得圆心坐标和半径，即可求解.【小问1详解】解：显然1m ≠，可得1122k m =--，22k m =-，由12l l ⊥，可得121k k ×=-，即()12122m m ⎛⎫-⋅-=- ⎪-⎝⎭，解得12m =，所以直线1l ：0x y -=，直线2l ：20x y +-=，联立方程组020x y x y -=⎧⎨+-=⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩，所以点()1,1C ．【小问2详解】解：由直线1l ：0x y -=，直线2l ：20x y +-=，可得()0,0A ，()2,0B ，所以ABC V 的外接圆是以AB 为直径的圆，可得圆心1,0，半径112r AB ==，所以ABC V 的外接圆方程是()2211x y -+=．16.设{}n a 是等差数列，{}n b 是各项都为正数的等比数列，且111a b ==，3521a b +=，5313a b +=.（1）求{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）求数列{}n n a b +的前n 项和n S .【答案】（1）21n a n =-，12n n b -=；（2）221nn S n =+-.【解析】【分析】（1）设公差为d ，公比为q ()0q >，根据已知列出方程可求出2=d ，2q =，代入通项公式，即可求出结果；（2）分组求和，分别求出{}n a 和{}n b 的前n 项和，加起来即可求出结果.【小问1详解】设{}n a 公差为d ，{}n b 公比为q ()0q >，因为111a b ==，则由3521a b +=可得，41221d q ++=，即4202q d =-，由5313a b +=可得，21413d q ++=，解得2124q d =-，则3d <.所以有()24202124q d d =-=-，整理可得2847620d d -+=，解得2=d 或3138d =>（舍去）.所以2=d ，则212424q =-⨯=，解得2q =±（舍去负值），所以2q =.所以有()12121n a n n =+-=-，11122n n n b --=⨯=.【小问2详解】由（1）知，21n a n =-，12n n b -=，则1212n n n a b n -+=-+.()()()1122n n n S a b a b a b =++++++L 1212n n a a a b b b =+++++++ ()()112112212n n n n ⨯--=⨯++-221n n =+-.17.已知圆C ：2244100x y x y m +----=，点()1,0P ．（1）若17m =-，过P 的直线l 与C 相切，求l 的方程；（2）若C 上存在到P 的距离为1的点，求m 的取值范围．【答案】（1）1x =或3430x y --=（2）1212⎡---+⎣【解析】【分析】（1）对直线l 的斜率是否存在讨论，根据直线与圆的位置关系列式运算；（2）要使圆C 上存在到点P 的距离为1的点，则圆心C 到()1,0P 的距离d 满足，11180r d r m -≤≤+⎧⎨+>⎩，运算得解.【小问1详解】因为17m =-，所以圆C 的方程为()()22221x y -+-=①当l 的斜率不存在时，l 的方程为1x =，与圆C 相切，符合题意；②当l 的斜率存在时，设l 的方程为()1y k x =-，即kx y k 0--=，圆心C 到l 的距离1d =，解得34k =，则l 的方程为()314y x =-，即3430x y --=，综上可得，l 的方程为1x =或3430x y --=．【小问2详解】由题意可得圆C ：()()222218x y m -+-=+，圆心()2,2C ，半径r =，则圆心C 到()1,0P 的距离d ==要使C 上存在到P 的距离为1的点，则11180r d r m -≤≤+⎧⎨+>⎩，即11180m -≤+>⎪⎩，解得1212m ---+≤≤，所以m 的取值范围为1212⎡---+⎣．18.已知数列{}n a 满足：()*312232222n n a a a a n n +++⋅⋅⋅+=∈N ，数列{}n b 满足5012n n b a =+.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求100n n b b -+的值；（3）求12399b b b b +++⋅⋅⋅+的值.【答案】（1）2nn a =（2）5012（3）51992【解析】【分析】（1）根据题意，当2n ≥时，可得311223112222n n a a a a n --+++⋅⋅⋅+=-，两式相减，求得2n n a =，再由1n =，得到12a =，即可求得数列的通项公式.（2）由（1）得50122n n b =+，结合指数幂的运算法则，即可求得100n n b b -+的值；.（3）由（2）知1005012n n b b -+=，结合倒序相加法，即可求解.【小问1详解】由数列满足：()*312232222n n a a a a n n +++⋅⋅⋅+=∈N ，当2n ≥时，可得311223112222n n a a a a n --+++⋅⋅⋅+=-，两式相减，可得12n n a=，所以2n n a =，当1n =，可得112a =，所以12a =，适合上式，所以数列的通项公式为2n n a =.【小问2详解】由数列满足505011222n n n b a ==++，则100100505010050502222211122222nn n nn nn b b --+++++++==⋅5050505505005022+212(2+2)(222)21+22n n n n n =+==+.【小问3详解】由（2）知1005012n n b b -+=，可得123995050129509111222222b b b b +++⋅⋅⋅+++++++=，则999899997150580510211122222b b b b +++⋅⋅⋅++++++=+ ，两式相加可得123995099(2)2b b b b +++⋅⋅=⋅+，所以1239951992b b b b +++⋅⋅⋅=+.19.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，410S =，数列{}n b 满足13b =，121n n b b +=-．（1）证明：数列{}1n b -是等比数列；（2）证明：2112n n n n S b S b ++⋅>⋅；（3）若()421nn n a c b =-，求数列{}n c 的前n 项和n T ．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）11634994n n n T -+=-⋅.【解析】【分析】（1）由递推关系得112(1)n n b b +-=-，结合等比数列定义证明；（2）由等差数列前n 项和求基本量，结合（1）结论，写出等差、等比数列通项公式、前n 项和公式，再应用作差法比较大小即可；（3）应用错位相减、等比数列前n 项和求结果.【小问1详解】由题设112112(1)n n n n b b b b ++=-⇒-=-，而112b -=，所以{}1n b -是首项、公比均为2的等比数列，得证.【小问2详解】令数列{}n a 的公差为d ，而414646101S a d d d =+=+=⇒=，所以(1)(1)22n n n n n S n -+=+=，又12nn b -=，则2111(21)()222(1)22222n n n n n n n S b n n b n S ++++++=⨯-⨯⋅⋅-⨯(21)(1)22(1)2n n n n n n =++⨯-+⨯(1)20n n =+⨯>恒成立，所以2112n n n n S b S b ++⋅>⋅，得证.【小问3详解】由上知n a n =，则()4214441nn n n n a n nc b -===-，则21231444n n n T -=++++L ，即2311231444444n n n T n n --=+++++ ，所以2311131111411444444414n n n n n T n n --=+++++-=-- ，即11634994n n n T -+=-⋅。
山东省德州市2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题含答案
高二数学试题（答案在最后）2024.11主考学校：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1-2页，第Ⅱ卷3-4页，共150分，测试时间120分钟.注意事项：选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在测试卷上.第Ⅰ卷选择题（共58分）一、选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.）1.已知直线l 320y --=，则l 的倾斜角为（）A.30°B.60°C.120°D.150°【答案】A 【解析】【分析】由直线方程计算直线斜率，由斜率得到倾斜角.【详解】由题意得，直线斜率为3k =，即tan 3α=，又0180α≤< ，则30α=︒.故直线的倾斜角为30︒.故选：A.2.已知直线()1:1210l m x y +++=与直线2:310l x my ++=平行，则m 的值为（）A.3-B.1- C.2D.3-或2【答案】A 【解析】【分析】由两直线平行公式计算m 的值，代入验证排除直线重合的情况即可得到结果.【详解】由两直线平行得：(1)230m m +-´=，解得2m =或3m =-.当2m =时，1:3210l x y ++=，2:3210l x y ++=，两直线重合，不合题意.当3m =-时，1:2210l x y -++=，即2210x y --=，23310:x y l -+=，两直线平行，符合题意.故m 的值为3-.故选：A.3.已知双曲线()2222:10,0x y E a b a b -=>>，若点()0,2到E的渐近线距离为3，则双曲线E 的离心率为（）A.B.C.2D.3【答案】B 【解析】【分析】利用点到直线的距离公式结合已知条件求出ba的值，即可求出该双曲线的离心率的值.【详解】双曲线的渐近线方程为b y x a=±，即0bx y a ±=，因为点()0,2到E 的渐近线距离为233，即233=，解得ba=，因此，该双曲线的离心率为c e a ====.故选：B.4.在四面体O ABC -中，点D 为BC 的中点，点E 在AD 上，且2AE ED =，用向量OA ，OB ，OC 表示OE ，则OE =（）A.111333OA OB OC-++u u ur u u u r u u u r B.1133OA OB OC-+u u u r u u u r u u u rC.111333OA OB OC +-u u ur u u u r u u u r D.111333OA OB OC ++【答案】D 【解析】【分析】利用空间向量的线性运算即可得到结果.【详解】如图，由题意得，()221332OE OA AE OA AD OA AB AC=+=+=+⋅+ ()11113333OA OB OA OC OA OA OB OC =+-+-=++ .故选：D.5.已知圆()()221x m y n -+-=不经过坐标原点，且与圆224x y +=相切，则mn 的最大值为（）A.1B.32C.92D.814【答案】C 【解析】【分析】根据两圆相切以及()()221x m y n -+-=不过原点先求解出,m n 的关系式，然后结合基本不等式求解出最大值.【详解】因为()()221x m y n -+-=与224x y +=相切，21=+21=-，所以229m n +=或221m n +=，因为()()221x m y n -+-=不经过原点，所以221m n +≠，所以229m n +=，又因为222m n mn +≥，所以22922m n mn +≤=，当且仅当2m n ==±时取等号，所以mn 的最大值为92，故选：C.6.已知菱形ABCD 的边长为2，60BAC ∠=︒，现将ACD 沿AC 折起，当BD =时，二面角D AC B--平面角的大小为（）A.30︒B.60︒C.120︒D.150︒【答案】B 【解析】【分析】设AC BD E = ，由菱形的性质得出BED ∠就是二面角D AC B --的平面角，求出BED 的边长可得答案.【详解】设AC BD E = ，菱形ABCD 满足2AB BC ==，60BAC ∠=︒，则ABC V 和ADC △都为等边三角形，所以2AC =，BE DE ==，又AC BD ⊥，则,BE AC DE AC ⊥⊥，所以BED ∠就是二面角D AC B --的平面角，由于BD =，所以BE DE BD ==，所以BED 是等边三角形，所以60BED ∠=︒，即二面角D AC B --平面角的大小为60︒.故选：B.7.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>上存在两点M 、N 关于直线10x y --=对称.若椭圆离心率为33，则MN 的中点坐标为（）A.()5,4 B.()4,3 C.()3,2 D.()2,1【答案】C 【解析】【分析】设点1,1、2,2，线段MN 的中点为()00,E x y ，由已知条件可得出2223b a =，利用点差法以及点M 在直线10x y --=上，可得出关于0x 、0y 的值，解出这两个量的值，即可得出线段MN 的中点坐标.【详解】设点1,1、2,2，线段MN 的中点为()00,E x y ，则12012022x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，由题意，椭圆的离心率为3c e a ===，可得2223b a =，因为M 、N 关于直线10x y --=对称，且直线10x y --=的斜率为1，则12121MN y y k x x -==--，将点M 、N 的坐标代入椭圆方程可得22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，上述两个等式作差可得22221212220x x y y a b--+=，可得222121212222121212y y y y y y b x x x x x x a -+-=⋅=--+-，即()0022123y x ⋅-=-，即0023y x =，即0023x y =，①又因为点()00,E x y 在直线10x y --=上，则0010x y --=，②联立①②可得0032x y =⎧⎨=⎩，故线段MN 的中点为()3,2E .故选：C.8.已知四棱锥P ABCD -的各侧棱与底面所成的角都相等，其各个顶点都在球O 的球面上，满足4PA =，6AB AD ==，120BCD ∠=︒，则球O 的表面积为（）A.100πB.64πC.36πD.32π【答案】B 【解析】【分析】首先根据侧棱与底面所成角相等推出顶点在底面的射影是底面外接圆的圆心，然后利用底面四边形的条件求出底面外接圆的半径，再结合四棱锥的棱的长度求出该几何体外接球的半径，最后根据球的表面积公式求出表面积即可.【详解】因为四棱锥P ABCD -的各侧棱与底面所成的角都相等，所以顶点P 在底面ABCD 的射影O '是底面四边形ABCD 外接圆的圆心.因为6AB AD ==，所以△ABD 为等腰三角形.因为120BCD ∠=︒，所以60BAD ∠=︒，故△ABD 为等边三角形，则6BD =.设底面四边形ABCD 外接圆半径为r ，则根据正弦定理得2sin BD r BAD =∠，即62sin60r =，解得r =.设线段BD 的中点E ,则AE BD ⊥，那么由勾股定理可知AE ===，所以32AE r =，故O '是等边三角形ABD 的中心，则2PO '===.设球O 的半径为R ，根据题意可知球心O 在射线PO '上，当球心O 在线段PO '上时，如图1所示，则222OA O A O O ''=+，即222(2)R r R =+-，解得4R =，此时220R -=-<，不符合题意舍去.当球心O 在射线PO '上且在平面ABD 的下方时，如图2所示，222OA O A O O ''=+，即222(2)R r R =+-，解得4R =，此时220R -=>符合题意，故球O 的半径4R =，所以根据球体的表面积公式知该四棱锥外接球的表面积为24π64πR =.故选：B.【点睛】求解几何体外接球问题的关键是通过找到球体球心的位置确定球体的半径.二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）9.已知空间中四点()0,1,0A ，()2,2,0B ，()1,3,1C -，()1,1,1D ，则（）A.3AB = B.AC BD⊥ C.BC 在AD上的投影数量为 D.,AB AD为锐角【答案】BCD 【解析】【分析】A ：表示出AB的坐标，利用模长公式计算；B ：表示出,AC BD 的坐标，然后根据数量积判断是否垂直；C ：计算出,BC AD AD ⋅ ，根据BC AD AD⋅可计算出投影数量；D ：根据AB AD ⋅的正负并结合是否共线作判断.【详解】A ：因为()2,1,0AB =，所以AB == ，故错误；B ：因为()()1,2,1,1,1,1AC BD =-=-- ，所以1210AC BD ⋅=-+= ，所以AC BD ⊥ ，故正确；C ：因为()()3,1,1,1,0,1BC AD =-= ，所以312BC AD ⋅=-+=-，AD == ，所以BC 在AD上的投影数量为BC AD AD ⋅==，故正确；D ：因为()()2,1,0,1,0,1AB AD == ，所以20AB AD ⋅=>，由坐标可知,AB AD不共线，所以,AB AD 为锐角，故正确；故选：BCD.10.已知直线:0-+=l kx y k ，圆22:430C x y x +-+=，()00,P x y 为圆C 上任意一点，则（）A.直线l 过定点()1,0B.若圆C 关于直线l 对称，则0k =C.00y x的最大值为3D.2200x y +的最大值为3【答案】BC 【解析】【分析】A ：将直线方程化为():10l k x y +-=，根据100x y +=⎧⎨=⎩可确定出定点坐标；B ：考虑直线经过圆心的情况；C ：根据0y x 的几何意义，考虑OP 与圆相切；D ：根据2200x y +的几何意义，先计算max OP ，然后可求结果.【详解】22:430C x y x +-+=化为标准方程为()22:21C x y -+=，圆心为2,0，半径为1；A ：因为():0:10l kx y k l k x y -+=⇔+-=，令100x y +=⎧⎨=⎩，可得10x y ⎧⎨⎩=-=，所以l 过定点()1,0-，故错误；B ：若圆C 关于l 对称，则l 过圆心2,0，所以200k k -+=，解得0k =，故正确；C ：0y x 表示OP 连线的斜率，设:OP y kx =，即:0OP kx y-=，如下图，当:0OP kx y -=与()22:21C x y -+=相切时，此时k 取最值，1=，解得3k =±，所以k的最大值为3，即00yx的最大值为3，故正确；D ：2200x y +表示2OP ，因为max 213OP OC r =+=+=，所以()2max9OP=，故错误；故选：BC.11.在直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，AB =，1AC =，12AA =，点M 为线段1CC 的中点，N 为线段1A M 上的动点，则（）A.1BM A M⊥B.存在点N 使得1C N 垂直于平面1A BM C.若1//C N 平面ABM ，则1A N NM =D.直线BN 与平面11ACC A 所成角的最大值为π4【答案】ACD 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量逐项判断即可.【详解】如图，以A 为原点，以1,,AB AC AA 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则())()()()()110,0,0,,0,1,0,0,0,2,0,1,2,0,1,1A BC A C M ，对于A，因为()()1,0,1,1BM A M ==-，所以()1011110BM A M ⋅=+⨯+⨯-=，则1BM A M ⊥，即1BM A M ⊥，故A 正确；对于B ，由A知，()()1,0,1,1BM A M ==-，设()1101A N A M λλ=≤≤ ，则()10,,A N λλ=-，即()0,,2N λλ-，所以()10,1,C N λλ=--，又1C N ⊥平面1A BM ，则1111010C N BM C N A M λλλλ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，无解，所以不存在点N 使得1C N 垂直于平面1A BM ，故B 错误；对于C ，由B 知，设()1101A N A M λλ=≤≤ ，可得()10,1,C N λλ=--，又()(),0,1,1BM AM ==，设平面ABM 的一个法向量为 =1,1,1，则11111100m BM y z m A M y z ⎧⋅=++=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，令11y =，得()0,1,1m =- ，因为1//C N 平面ABM ，所以1C N m ⊥，则110C m N λλ⋅=-+= ，解得12λ=，此时1A N NM =，故C 正确；对于D ，由B 知，设()1101A N A M λλ=≤≤，可得()0,,2N λλ-，所以(),2BN λλ=- ，易知平面11ACC A 的一个法向量为()1,0,0n =，设直线BN 与平面11ACC A 所成角为θ，则sin cos ,BN n BN n BN nθ⋅===⋅，所以当1λ=时，sin θ取得最大值2，即直线BN 与平面11ACC A 所成角的最大值为π4，故D 正确.故选：ACD.第Ⅱ卷非选择题（共92分）三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知ABC V 的三个顶点()2,1A -，()2,13B ，()5,12C ，则AB 边上的高为________.【答案】10【解析】【分析】求出直线AB 的方程，再利用点到直线的距离公式即可.【详解】131322AB k -==+，则直线AB 的方程为()132y x -=+，即370x y -+=，则点()5,12C 到直线AB 351271010⨯-+=，则AB 10.10.13.在三棱锥P ABC -中，已知1AB AC AP ===，2BC =P 到AC ，AB 的距离均为32，那么点P 到平面ABC 的距离为________.【答案】22【解析】【分析】如图，取BC 中点为D ，连接PD ，AD ，过P 作AD 垂线，垂足为G ，可证PG 与平面ABC 垂直及D 和G 重合，即可得答案.【详解】过P 作AC ，AB 垂线，垂足为E ，F ，由题，则32PE PF ==.又π2PA PA PE PF PEA PFA ==∠=∠=，，，则PAE PAF ≅△△，又1AP =，32PE PF ==，则1212AE AF FB EC ==⇒==.则1212AE AF FB EC ==⇒==，又由勾股定理，可得1PB PC ==.取BC 中点为D ，连接PD ，AD .由以上分析可知PD BC AD BC ⊥⊥，.因PD AD D PD AD ⋂=⊂，，平面PAD ，则⊥BC 平面PAD .过P 作AD 垂线，垂足为G ，则PG AD ⊥，又PG ⊂平面PAD ，则PG BC ⊥.因BC AD D BC AD ⋂=⊂，，平面ABC ，则PG ⊥平面ABC ，即PG 为P 到平面ABC 的距离.在PBC △中，因1PB PC ==，2BC =，则22PD =.又在ABC V 中，12AB AC BC ===，，则22AD =；又1AP =，则APD △为以D 为直角顶点的直角三角形，则PD AD⊥即D 和G 重合，则22PD PG ==.故答案为：2214.已知直线24y x =-+与抛物线()220y px p =>交于A 、B 两点，且OA OB ⊥（O 为坐标原点），则p =________；AOB V 的面积为________.【答案】①.1②.17【解析】【分析】设点1,1、2,2，将直线AB 的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，由题意可得出0OA OB ⋅= ，结合韦达定理可求得p 的值，然后利用三角形的面积公式可求得AOB V 的面积.【详解】设点1,1、2,2，联立2242y x y px =-+⎧⎨=⎩可得240y py p +-=，2160p p ∆=+>，由韦达定理可得12y y p +=-，124y y p =-，所以，221212*********y y OA OB x x y y y y p p⋅=+=+=-= ，解得1p =，所以，121y y +=-，124y y =-，则()2121212411617y y y y y y -=+-=+=，直线24y x =-+交x 轴于点()2,0E ，所以，12112171722OAB S OE y y =⋅-=⨯= 故答案为：117.四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）15.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 过点(3，()3,2，且圆关于x 轴对称.（1）求圆C 的标准方程；（2）已知直线l 经过点()0,1，与圆C 交于A ，B 两点，若2AB =，求直线l 的方程.【答案】（1）()2234x y -+=（2）770x y -+=或10x y +-=【解析】【分析】（1）设出圆心并根据圆上的两点坐标，即可得出圆心和半径可得圆C 的标准方程；（2）利用弦长公式计算求得圆心到直线的距离，即可求得直线方程.【小问1详解】由圆关于x 轴对称可知圆心在x 轴上，设圆心(),0C a ，半径为r ；即可得()(()()2222203302a a -+-=-+-，解得3a =，半径2r =，所以圆C 的标准方程为()2234x y -+=【小问2详解】当直线l 的斜率不存在时，直线方程为0x =，显然不合题意；当直线l 的斜率存在时，设方程为1y kx =+；易知圆心到直线1y kx =+的距离d =又AB ==可解得17k =或1k =-，即直线l 的方程为770x y -+=或10x y +-=.16.已知点F 为抛物线()220y px p =>的焦点，点()2,P m 在抛物线上，且4PF =.（1）求抛物线的方程及m ；（2）斜率为2的直线l 与抛物线的交点为A 、B （A 在第一象限内），与x 轴的交点为M （M 、F 不重合），若2AM MB =，求ABF △的周长.【答案】（1）抛物线方程为28y x =，4m =±（2）14+【解析】【分析】（1）由抛物线的定义结合4=PF 可求得p 的值，可得出抛物线的方程，再将点P 的坐标代入抛物线方程，即可求得m 的值；（2）设点(),0M n ，则2n ≠，可得直线l 的方程为12x y n =+，设点1,1、2,2，则10y >，由平面向量的坐标运算可得出122y y =-，将直线l 的方程与抛物线方程联立，结合韦达定理可求出n 、1y 、2y 的值，进而可求得ABF △的周长.【小问1详解】抛物线的焦点为,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，准线方程为2p x =-，由抛物线的定义可得242p PF =+=，可得4p =，所以，抛物线的方程为28y x =，将点P 的坐标代入抛物线方程可得28216m =´=，解得4m =±.【小问2详解】设点(),0M n ，则2n ≠，因为直线l 的斜率为2，则直线l 的方程为12x y n =+，设点1,1、2,2，则10y >，由2AM MB =，可得()()1122,2,n x y x n y --=-，则122y y -=，可得122y y =-，联立2128x y n y x ⎧=+⎪⎨⎪=⎩，可得2480y y n --=，16320n ∆=+>，可得12n >-，由韦达定理可得124y y +=，128y y n =-，所以，1211111422y y y y y +=-==，可得18y =，24y =-，所以，12832n y y -==-，可得4n =，所以，12122AB y y =-=⨯=，()12121484284142AF BF x x y y +=++=+++=++=，所以，ABF △的周长为14AF BF AB ++=+.17.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面是边长为2的正方形，4PA =，60PAD ∠=︒，120PDC ∠=︒.（1）求证：AD PC ⊥；（2）求平面DPA 与平面BPA 所成角的余弦值.【答案】（1）证明见详解；（2）1313【解析】【分析】（1）通过线面垂直的判定定理证明AD ⊥平面PCD 即可证得；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.【小问1详解】在PAD △中，由余弦定理得222142cos cos 602242PD PAD +-∠===⨯⨯ ，解得23PD =所以222PD AD PA +=，故AD PD ⊥，又,,,AD CD CD PD D CD PD ⊥=⊂ 平面PCD ，所以AD ⊥平面PCD ，又PC ⊂平面PCD ，所以AD PC ⊥；【小问2详解】以D 为坐标原点，,DA DC 分别为,x y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,0),(2,0,0),(2,2,0),(0,3,3)D A B P -，所以(2,0,0),(0,3,3),(0,2,0),(2,3,3)DA DP AB AP ====--，设平面DPA 的一个法向量为111(,,)m x y z = ，则11120330m DA x m DP z ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，令11z =，则110,3x y ==3,1)m = ，设平面BPA 的一个法向量为222(,,)n x y z = ，则222220230n AB y n AP x z ⎧⋅==⎪⎨⋅=--+=⎪⎩ ，令23x =，则220,2y z ==，所以(3,0,2)n = ，故cos ,13m n m n m n ⋅=== ，所以平面DPA 与平面BPA所成角的余弦值为13.18.已知双曲线G22−22=1>0,>0过点2,30y -=.（1）求双曲线C 的标准方程；（2）若点P 为双曲线右支上一点，()(),00A t t >，求PA 的最小值；（3）过点()2,0F 的直线与双曲线C 的右支交于M ，N 两点，求证：11||||MF NF +为定值.【答案】（1）2213y x -=（2）答案见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意列方程组，即可求得答案；（2）设()000,,1P x y x ≥，表示出PA ，结合二次函数性质，讨论即可得答案；（3）讨论直线斜率是否存在，存在时，设直线方程并联立双曲线方程，可得根与系数关系，求出11||||MF NF +的表达式，化简即可证明结论.【小问1详解】由题意知双曲线G 22−22=1>0,>0过点2,30y -=，则22491a b b a⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得1a b =⎧⎪⎨=⎪⎩故双曲线C 的标准方程为2213y x -=；【小问2详解】点P 为双曲线右支上一点，设()000,,1P x y x ≥，()(),00A t t >，则PA ====当14t ≤，即04t <≤时，PA1t =-，当14t >，即4t >时，PA；【小问3详解】当过点()2,0F 的直线斜率不存在时，方程为2x =，此时不妨取(2,3),(2,3)M N -,则11112||||333MF NF +=+=；当当过点()2,0F 的直线斜率存在时，设直线方程为()()1122(2),,,,y k x M x y N x y =-，不妨令122,12x x ><<，联立22(2)13y k x y x =-⎧⎪⎨-=⎪⎩，得()222234430k x k x k -+--=，由于直线过双曲线的右焦点，必有0∆>，直线与双曲线C 的右支交于M ，N两点，需满足k >k <则22121222443,33k k x x x x k k---+==--，则11MF NF +=()()121212112222x x x x x x ⎛⎫-=+=⎪----⎭()12121224x x x x x x -=+--1212=222433k k=-----⎪--⎝⎭293k=-26129933k --===--，综合以上可知11||||MF NF +为定值.【点睛】难点点睛：本题考查了直线和双曲线位置关系的综合应用，综合性强，计算量大，难点在于证明定值问题，解答时要注意计算的准确性，基本都是字母参数的运算，需要十分细心.19.已知椭圆的中心为坐标原点，左、右焦点分别为1F ，2F 1-，直线:l y x m =+与椭圆交于A 、B 两点（其中点A 在x 轴上方，点B 在x 轴下方），当AB 过1F 时，2ABF △的周长为.（1）求椭圆的标准方程；（2）将平面xOy 沿x 轴折叠，使y 轴正半轴和x 轴所确定的半平面（平面12A F F '）与y 轴负半轴和x 轴所确定的半平面（平面12B F F '）垂直.①当B 为椭圆的下顶点时，求折叠后直线1A F '与平面2A B F ''所成角的正弦值；②求三棱锥12A B F F ''-体积的最大值.【答案】（1）2212x y +=（2）①15025；②1445【解析】【分析】（1）由题意列出方程组，解得,,a b c 的值，直接写出椭圆方程；（2）①求出平面中,A B 坐标，再建立空间直角坐标系得到,A B ''坐标，利用空间向量求得线面角的正弦值；②在平面内求出,A B 坐标的关系，再建立空间直角坐标系得到,A B ''坐标，从而列出三棱锥的体积的表达式，利用二次函数求得最大值.【小问1详解】由题意可得221442ABF a c C a ⎧-=⎪⎨==⎪⎩ 21a c ⎧=⎪⎨=⎪⎩1b =，∴椭圆的标准方程为：2212x y +=，【小问2详解】翻折后，如图：①当B 为椭圆的下顶点时，由题意知()0,1B -，直线:1l y x =-，联立方程组可得22112y x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得4313x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或01x y =⎧⎨=-⎩，∴41,33A ⎛⎫ ⎪⎝⎭令原来y 轴负半轴为z 轴，则41,,033A ⎛'⎫ ⎪⎝⎭，()0,0,1B '，()11,0,0F -，()21,0,0F ，∴171,,033A F ⎛⎫=--⎪⎝⎭' ，41,,133A B ''⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ，211,,033A F ⎛⎫=--⎪⎝⎭' ，设 =s s 为平面2A B F ''的一个法向量，则24103311033A B n a b c A F n a b ⎧⋅=--+=⎪⎪⎨⎪⋅=⎪⎩'-''-= ，令1a =，所以111a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，即()1,1,1n =- ，设直线1A F '与平面2A B F ''的夹角为θ，则()1122212271015033sin cos ,257111133A F n A F n A F n θ-++⋅===⎛⎫⎛⎫-+-⨯+-+ '''⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，②联立方程组2212x y y x m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，整理得2234220x mx m ++-=，()()222Δ443222480m m m =-⨯⨯-=->，∴33m -<<，设1,1，2,2，则1243m x x +=-，212223m x x -=，()()222212121212224542333m m m m y y x m x m x x x x m m ---=++=+++=-+=，()11,,0A x y '，()22,0,B x y -，∴()121212112111542233239A B F F B F F y y m m V y S y y ''-'-++==⨯⨯⨯-=-= ，令函数()(2542,f m m m m =-++<，由二次函数的对称轴：25m =，∴()21455f m f ⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，所以当25m =时，12A B F F ''-的体积最大，此时121445A B F F V ''-=.【点睛】方法点睛：本题由平面解析几何转变成立体几何，需要自己建立新的坐标系，并能通过平面直角坐标系的点坐标得到对应在空间直角坐标系的坐标，然后利用立体几何的知识来解得答案.。
南京市南师附中2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷及答案
南京师大附中2024—2025学年度第1学期高二年级期中考试数学试卷命题人：高二数学备课组 审阅人：高二数学备课组一．选择题1．过两点()2,4-和()4,1-的直线在x 轴上的截距为（ ）A ．145B ．145-C ．73D ．73-2．过圆225x y +=上一点()2,1M --作圆的切线l ，则直线l 的方程为（ ） A ．230x y -+=B ．250x y ++=C ．250x y --=D ．250x y +-=3．若k ∈R ，则“22k -<<”是“方程221362x y k k+=+-表示椭圆”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．若抛物线24y x =上的一点M 到坐标原点O M 到该抛物线焦点的距离为（ ） A ．5B ．3C ．2D ．15．设直线l 的方程为()sin 10x y θθ+-=∈R ，则直线l 的倾斜角α的范围是（ ） A ．()0,πB ．πππ3π,,4224⎡⎫⎛⎤⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦C ．π3π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．ππ,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭6．若直线上存在到曲线T 上一点的距离为d 的点，则称该直线为曲线T 的d 距离可相邻直线．已知直线:430l x y m +-=为圆()()22:2716C x y -++=的3距离可相邻直线，则m 的取值范围是（ ）A ．[]48,22-B ．[]18,8--C ．(][),4822,-∞-+∞D ．(][),188,-∞--+∞7．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，M 为双曲线右支上的一点．若M 在以12F F 为直径的圆上，且12π5π,312MF F ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，则该双曲线离心率的取值范围为（ ）A ．(B ．)+∞C ．()1D ．)18．已知A ，B 分别是椭圆2214x y +=的左、右顶点，P 是椭圆在第一象限内一点．若2PBA PAB ∠=∠，则PA PB的值是（ ）A ．5BC ．5D ．5二．多选题9．已知椭圆22:143x y C +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为椭圆C 上一点．则下列说法错误的是（ ）A ．椭圆CB ．12PF F △的周长为5C ．1290F PF ∠<︒D ．113PF ≤≤10．已知()0,2M ，()0,3N ，在下列方程表示的曲线上，存在点P 满足2MP NP =的有（ ） A ．370x -=B ．4320x y +-=C ．221x y +=D ．2222140x y x y +-+-=11．天文学家卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现：同一平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹是卡西尼卵形线．已知定点()1,0F c -，()2,0F c ，动点P 满足212PF PF a ⋅=（a ，0c >且均为常数）．设动点P 的轨迹为曲线E ．则下列说法正确的是（ ） A ．曲线C 既是轴对称图形，又是中心对称图形B ．12PF PF +的最小值为2aC ．曲线E 与x 轴可能有三个交点D ．2ca ≥时，曲线E 上存在Q 点，使得12QF QF ⊥ 三．填空题12．与双曲线2212x y -=有公共渐近线，且过点的双曲线的方程为______．13．若直线l 过抛物线24y x =的焦点．与抛物线交于A ，B 两点．且线段AB 中点的横坐标为2．则弦AB 的长为______．14．已知点()5,4P ，点F 为抛物线2:8C y x =的焦点．若以点P ，F 为焦点的椭圆与抛物线有公共点，则椭圆的离心率的最大值为______．四．解答题15．已知直线1:220l ax y +-=与直线2:220l x ay +-=．（1）当12l l ⊥时，求a 的值；（2）当12l l ∥时，求1l 与2l 之间的距离．16．已知点()1,2A ，()1,2B --，点P 满足4PA PB ⋅=． （1）求点P 的轨迹Γ的方程；（2）过点()2,0Q -分别作直线MN ，RS ，交曲线Γ于M ，N ，R ，S 四点，且MN RS ⊥，求四边形MRNS 面积的最大值与最小值．17．已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的一个焦点坐标为()2,0，离心率为23．（1）求椭圆E 的标准方程；（2）设动圆22211:C x y t +=与椭圆E 交于A ，B ，C ，D 四点．动圆()222222212:C x y t t t +=≠与椭圆E 交于A '，B '，C '，D '四点．若矩形ABCD 与矩形A B C D ''''的面积相等，证明：2212t t +为定值．18．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>和抛物线()2:20E y px p =>．从两条曲线上各取两个点，将其坐标混合记录如下：(1P -，(22,P，)31P -，()49,3P ．（1）求椭圆C 和抛物线E 的方程；（2）设m 为实数，已知点()3,0T -，直线3x my =+与抛物线E 交于A ，B 两点．记直线TA ，TB 的斜率分别为1k ，2k ，判断2121m k k +是否为定值，并说明理由． 19．设a 为实数，点()2,3在双曲线2222:12x y C a a -=+上． （1）求双曲线C 的方程； （2）过点1,12P ⎛⎫⎪⎝⎭作斜率为k 的动直线l 与双曲线右支交于不同的两点M ，N ，在线段MN 上取异于点M ，N 的点H ，满足PM MHPN HN=． （ⅰ）求斜率k 的取值范围；（ⅱ）证明：点H 恒在一条定直线上．南京师大附中2024—2025学年度第1学期高二年级期中考试数学试卷命题人：高二数学备课组 审阅人：高二数学备课组一．选择题1．【答案】A【解析】直线的斜率()415246k --==---，∴直线的方程为()5426y x -=-+，即5763y x =-+， ∴直线在x 轴上的截距为145，故选A ． 2．【答案】B【解析】00525xx yy x y +=⇒--=，故选B ． 3．【答案】B【解析】方程221362x y k k +=+-表示椭圆3602021362k k k k k+>⎧⎪⇒->⇒-<<-⎨⎪+≠-⎩或12k -<<，故选B ． 4．【答案】C【解析】设点2,4y M y ⎛⎫⎪⎝⎭，由MO =()2220054y y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭， ∴24y =或220y =-（舍去），即214y x ==， ∴M 到抛物线24y x =的准线1x =-的距离()112d =--=，根据抛物线定义得选项C ．5．【答案】C【解析】当sin 0θ=时，则直线的斜率不存在，即直线的倾斜角为π2， 当sin 0θ≠时，则直线的斜率(][)1,11,sin k θ=-∈-∞-+∞，即直线倾斜角为πππ3π,,4224⎡⎫⎛⎤⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦， 综上所述，直线的倾斜角的范围为π3π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦．故选C ． 6．【答案】A【解析】圆C 的半径为4，直线l 上存在到圆C 上一点的距离为3的点， 故圆心()2,7C -到直线l 的距离7d ≤，即()423775m⨯+⨯--≤，解得[]48,22m ∈-，故选A ．7．【答案】D【解析】设21MF F θ∠=，则12sin MF c θ=，22cos MF c θ=， 根据双曲线定义122sin 2cos 2MF MF c c a θθ-=-=，1π4c aθ=⎛⎫- ⎪⎝⎭，π5π,312θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故πππ,4126θ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭1c e a =<，故选D ． 8．【答案】C【法一】由题意知()2,0A -，()2,0B ，设()00,P x y ， 直线P A ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，则1214k k =-， 由正弦定理得sin 2cos sin PA PBAPAB PB PAB∠==∠∠， 又22tan tan tan 21tan PABPBA PAB PAB∠∠=∠=-∠，则122121k k k -=-， 联立解得2119k =，即22211cos tan 9cos PAB PAB PAB -∠=∠=∠，所以cos PAB ∠=，即5PA PB =， 【法二】设()00,P x y ，则00tan 2y PAB x ∠=+，00tan 2y PBA x ∠=--， 0000200022102tan tan 221312y y x PBA PAB PBA PAB x x y x +∠=∠⇒-=∠=∠=⇒=-⎛⎫- ⎪+⎝⎭，20144169y =5PAPB==二．多选题9．【答案】AB对于选项A ：由题意可知2a =，1c ===，∴离心率12c e a ==，故选项A 错误， 对于选项B ：由椭圆的定义1224PF PF a +==，1222F F c ==， ∴12PF F △的周长为426+=，故选项B 错误，对于选项C ：当点P 为椭圆短轴端点时，12tan23F PF c b ∠==， 又∵120902F PF ∠︒<<︒，∴12302F PF∠=︒，即1260F PF ∠=︒， ∴1290F PF ∠<︒，故选项C 正确， 对于选项D ：由椭圆的几何性质可知1a c PF a c -≤≤+，∴113PF ≤≤，故选项D 正确．10．【答案】BC【解析】()2254,39P x y x y ⎛⎫⇒=+-= ⎪⎝⎭对于A ，7233d R -=>=，所以直线与圆相离，不存在点P ； 对于B ，5232553d R -==<=，所以直线与圆相交，存在点P ； 对于C ，121252133C C R R ==+=+，所以两圆外切，存在点P ；对于D ，()()22121221116433x y C C R R -++=⇒=<-=-，所以两圆内含，不存在点P ． 11．【答案】ACD【解析】212a PF PF =⋅==对于A ，用x -代x 得222x y c ++=y 轴对称，用y -代y 得222x y c ++=x 轴对称，用x -代x ，y -代y 得222x y c ++=所以曲线C 既是中心对称图形，又是轴对称图形，所以A 正确；对于B ，当0a >时，122PF PF a +≥=，当0a =时，显然P 与1F 或2F 重合，此时122PF PF c +=，所以B 错误； 对于C ，根据对称性可得，曲线E 与x 轴可能有三个交点，所以C 正确； 对于D ，若存在点P ，使得12PF PF ⊥，则12PF PF ⊥，因为()1,PF c x y =---，()2,PF c x y =--，所以222x y c +=，由222x y c ++=22c =222c a ≥，所以D 正确．三．填空题12．【答案】2212x y -= 【解析】设所求双曲线方程为()2202x y λλ-=≠，将点代入双曲线方程得121λ=-=-，故方程为2212x y -=．13．【答案】6【解析】设A 、B 两点横坐标分别为1x ，2x ， 线段AB 中点的横坐标为2，则1222x x +=，故12426AB x x p =++=+=． 14．【答案】57【解析】由抛物线方程得()2,0F ，准线方程为2x =-， 又点()5,4P ，则25c PF ==，在抛物线上取点H ，过H 作HG 垂直直线2x =-，交直线2x =-于点G ， 过P 作PM 垂直直线1x =-，交直线1x =-于点M ，由椭圆和抛物线定义得()2527a HF HP HG HP PM =+=+≥=--=，故椭圆离心率2527c e a =≤．四．解答题15．【解析】（1）由12l l ⊥，则20a a +=，解得0a =．（2）由12l l ∥得22244a a ⎧=⎨-≠-⎩，解得1a =-，直线2l 的方程为220x y -+-=，即220x y -+=， 直线1l 的方程为220x y --=， 因此，1l 与2l 之间的距离为d ==． 16．【解析】（1）设(),P x y ，则()()41,21,2PA PB x y x y =⋅=--⋅----，故轨迹方程为229x y +=． （2）假设点O 到MN 的距离为m ，到RS 的距离为n，则12S MN RS == 因为MN RS ⊥，所以224m n +=，所以)204S m ==≤≤，所以S ⎡⎤∈⎣⎦，所以四边形MRNS 面积的最大值14，最小值17．【解析】（1） 222249253a b a b e ⎧-=⎧=⎪⎪⇒⇒⎨⎨=⎪==⎩⎪⎩椭圆22:195x y E += （2）设()33,A x y '，矩形ABCD 与矩形A B C D ''''的面积相等 ∴331144x y x y =，即22221133x y x y=∵A ，A '均在椭圆上，∴22223113515199x x x x ⎛⎫⎛⎫⨯-=⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即22139x x +=，222231135151599x x y y ⎛⎫⎛⎫+=-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 故()()()()()22222222222212113313131314t t x y x y x x x x y y +=+++=+=+++=为定值． 18．【解析】（1）将四个点带入抛物线方程解得12p =-，12，2，12，故抛物线E 方程为2y x =故(1P -，)31P -为椭圆上的点22222242186141a a b b a b ⎧+=⎪⎧=⎪⎪⇒⇒⇒⎨⎨=⎪⎩⎪+=⎪⎩椭圆C 方程22184x y += （2）设()12,A x x ，()22,B x y ，则1222123303x my y y m y my y y y x =++=⎧⎧⇒--=⇒⎨⎨=-=⎩⎩()()()121222212121212666136212my my m y y m m m k k y y y y y y ++++=+=++=-为定值． 19．【解析】（1）因为点()2,3在双曲线C 上，所以22222312a a -=+，整理得42780a a +-=， 即()()22180a a -+=，解得21a =，则双曲线C 的方程为2213y x -=； （2）（ⅰ）易知直线l 的方程为112y k x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，即112y kx k =+-， 联立2211213y kx k y x ⎧=+-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，消去y 并整理得()()222132404k x k k x k k ⎛⎫-+---+= ⎪⎝⎭， 设()11,M x y ，()22,N x y ，因为直线l 与双曲线的右支有两个不同的交点M ，N ， 所以关于x 的方程()()222132404kxk k x k k ⎛⎫-+---+= ⎪⎝⎭有两个不同的正数根1x ，2x ，()()()()()()()()()22222222212434033416043202301303404k k k k k k k k k k k k k k k k k ⎧⎛⎫-+--+> ⎪⎪⎧-+->⎝⎭⎪⎪⎪⎪--<⇒-->⎨⎨⎪⎪-<⎛⎫⎪⎪⎩---+> ⎪⎪⎝⎭⎩，解得k ∈⎝则斜率k的取值范围为⎝； （ⅱ）设()00,H x y ，由（ⅰ）得()()12222233k k k k x x k k --+=-=--，()222122221144416443343k k k k k k x x k k k ⎛⎫--+-+ ⎪-+⎝⎭===---， 因为1112x a ≥=>，2112x a ≥=>，()()01020x x x x --<， 又P ，M ，N ，H 在同一直线l 上，所以111222112122112122x x PM x PN x x x ---===---，0120MH x x HN x x -=-， 由PM MH PN HN=得0112202121x x x x x x --=--，即()()()()1202012121x x x x x x --=--， 化简得()()()1201212214x x x x x x x +-=-+，所以()()202222241621333k k k k k k x k k k --⎛⎫-+-=- ⎪---⎝⎭， 整理得()()()2202234162k k k x k k k k --+=-+--，解得0832kx k -=-，即003821x k x -=- 又点()00,H x y 在直线112y k x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭上，所以()001136911223264k k y k x k k +⎛⎫=-+=+= ⎪--⎝⎭ 即00000386921386421x x y x x -+⋅-=--⋅-，故点H 恒在定直线3260x y --=上．。
江西省景德镇市2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题含答案
乐平2024-2025学年度上学期期中考试高二数学试卷（答案在最后）满分：150分考试时间：120（分钟）命题人：第一部分选择题（共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知直线l 过点()1,2A ，()3,4B ，则直线l 的倾斜角为（）A.π6-B.π3-C.π4 D.π3【答案】C 【解析】【分析】求出直线的斜率，由斜率与倾斜角关系即可求解.【详解】由题可得：42131l k -==-，所以直线l 的倾斜角为：45︒；故选：C2.直线210x y -+=的方向向量是（）A.()2,1 B.()2,1- C.()1,2 D.()1,2-【答案】A 【解析】【分析】根据直线的斜率及方向向量定义判断即可.【详解】直线210x y -+=的斜率为12，所以方向向量是()2,1.故选：A.3.“13m =-”是“两条直线10x my +-=，()3210m x y -+-=平行”的（）A .充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】利用直线平行的条件计算可得结论.【详解】当13m =-时，两条直线330x y --=，310x y -+=，两直线平行，所以“13m =-”是“两条直线10x my +-=，()3210m x y -+-=平行”的充分条件；因为直线()3210m x y -+-=的斜率存在且为23m -，由两直线平行，所以10x my +-=的斜率存在且为1m-，所以123m m -=-，解得1m =或13m =-，当1m =时，直线方程均为10x y +-=，此时直线重合，故1m =不符合题意，舍去；所以“13m =-”是“两条直线10x my +-=，()3210m x y -+-=平行”的充要条件.故选：C .4.定义：通过24小时内降水在平地上的积水厚度（mm ）来判断降雨程度；其中小雨（0mm 10mm -），中雨（10mm 25mm -），大雨（25mm 50mm -），暴雨（50mm 100mm -）；小明用一个圆锥形容器（如图）接了24小时的雨水，则这天降雨属于哪个等级（）A .小雨B.中雨C.大雨D.暴雨【答案】B 【解析】【分析】计算圆锥的体积，进而可得降雨高度，即可判断.【详解】做出容器的轴截面，如图所示，则200AB =，300OC =，150CF =，则F 为OC 中点，则11002DE AB ==，50DF =，由已知在直径为200mm 的圆柱内的降雨总体积231π125000πmm 3V DF CF =⋅⋅⋅=，则降雨高度为2125000π12.5mm π10000πV OA ==⋅，所以降雨级别为中雨，故选：B.5.直线3y x =关于=1对称直线l ，直线l 的方程是（）A.20y +-= B.20y ++=C.20x +-=D.20x +=【答案】C 【解析】【分析】根据题意可知直线3y x =与直线1x =交于点(1,3A ，求出原点关于直线1x =对称的对称点B ，利用两点坐标求直线斜率公式和直线的点斜式方程即可得出结果.【详解】如图，直线33y x =与直线1x =交于点(1,3A ，直线33y x =过原点(0,0)，因为直线33y x =与直线l 关于直线1x =对称，所以原点关于直线1x =的对称点为(2,0)B ，且直线l 过点A 、B ，则直线l 的斜率为03123l k -==--，所以直线l 的方程为0(2)3y x -=--，即20x +-=.故选：C6.若P 是ABC V 所在平面外一点，且PA BC ⊥，PB AC ⊥，则点P 在ABC V 所在平面内的射影O 是ABC V 的（）A.内心B.外心C.重心D.垂心【答案】D 【解析】【分析】根据且PA BC ⊥，PB AC ⊥，利用线面垂直的判定定理得到BC OA ⊥，OB AC ⊥即可.【详解】解：如图所示：因为,⊥⊥PA BC PO BC ，且PA PO P =I ，所以⊥BC 平面PAO ，则BC OA ⊥，同理得OB AC ⊥，所以O 是ABC V 的垂心．故选：D7.四边形ABCD 是矩形，3AB AD =，点E ，F 分别是AB ，CD 的中点，将四边形AEFD 绕EF 旋转至与四边形BEFC 重合，则直线,ED BF 所成角α在旋转过程中（）A.逐步变大B.逐步变小C.先变小后变大D.先变大后变小【答案】D 【解析】【分析】根据初始时刻ED 与BF 所成角可判断BC ，由题可知D 在平面BCFE 内的投影P 一直落在直线CF上，进而某一时刻EP BF ⊥，可得DE 与BF 所成角为π2，可判断AD.【详解】由题可知初始时刻ED 与BF 所成角为0，故B C ,错误，在四边形AEFD 绕EF 旋转过程中，,EF DF EF FC ⊥⊥，,,DF FC F DF FC =⊂ 平面DFC ，所以⊥EF 平面DFC ，EF ⊂平面EFCB ，所以平面DFC⊥平面EFCB ，故D 在平面BCFE 内的投影P 一直落在直线CF 上，所以一定存在某一时刻EP BF ⊥，而DP⊥平面EFCB ，DP BF ⊥，又,,DP PE P DP PE =⊂ 平面DPE ，所以BF ⊥平面DPE ，此时DE 与BF 所成角为π2，然后α开始变小，故直线,ED BF 所成角α在旋转过程中先变大后变小，故选项A 错误，选项D 正确.故选：D.8.半径是（）A.1+B.+ C.+ D.【答案】D 【解析】【分析】根据条件求出以三个小球的球心1O 、2O 、3O 构成的三角形的外接圆半径，再通过勾股定理求解即可.【详解】三个小球的球心1O 、2O 、3O 构成边长为的正三角形，则其外接圆半径为2．设半球的球心为O ，小球1O 与半球底面切于点A ．如图，经过点O 、1O 、A 作半球的截面，半圆O 的半径OC OA ⊥，1O B OC ⊥于点B ．则12OA O B ==．在1Rt OAO 中，由(()2222R R =+⇒=．故选：D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列命题中，正确的有（）A.若向量a 、b 与空间任意向量都不能构成一组基，则//a b r rB.若非零向量a ，b ，c满足a b ⊥ ，b c ⊥ ，则有//a cr r C.“倾斜角相等”是“斜率相等”的充要条件D.若{},,a b b c c a +++ 是空间的一组基，则{},,a b c也是空间的一组基【答案】AD 【解析】【分析】根据空间向量共线、垂直、基底、共面、倾斜角和斜率的关系、充要条件等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】A 选项，∵a ，b与任何向量都不构成空间向量的基底，∴a ，b 只能为共线向量，∴//a b r r，A 对；B 选项，取()1,0,1a = ，()1,1,1b =- ，()1,2,1c =-，显然满足a b ⊥ ，a c ⊥ ，但b 与c不平行，B 不对；C 选项，倾斜角相等时，可能倾斜角都是90︒，此时直线没有斜率，所以C 选项错误.D 选项，∵a b + ，b c + ，c a +为一组基底，∴对于空间任意向量d，存在实数m ，n ，t ，使()()()()()()d m a b n b c t c a m t a m n b n t c =+++++=+++++，∴a ，b ，c也是一组基底，D 对；故选：AD10.用一个平面去截正方体，所得截面不．可能是（）A.直角三角形 B.直角梯形C.正五边形D.正六边形【答案】ABC 【解析】【分析】根据正方体的几何特征，我们可分别画出用一个平面去截正方体得到的几何体的图形，然后逐一与四个答案中的图形进行比照，即可判断选项．【详解】当截面为三角形时，可能出现正三角形，但不可能出现直角三角形；截面为四边形时，可能出现矩形，平行四边形，等腰梯形，但不可能出现直角梯形；当截面为五边形时，不可能出现正五边形；截面为六边形时，可能出现正六边形，故选：ABC ．11.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在线段1B C 上运动，则下列结论正确的是（）A.直线1BD ⊥平面11A C DB.三棱锥11P AC D -的体积为定值C.异面直线AP 与1A D 所成角的取值范围是ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.直线1C P 与平面11A C D 所成角的正弦值的最大值为3【答案】ABD 【解析】【分析】在选项A 中，利用线面垂直的判定定理，结合正方体的性质进行判断即可；在选项B 中，根据线面平行的判定定理、平行线的性质，结合三棱锥的体积公式进行求解判断即可；在选项C 中，根据异面直线所成角的定义进行求解判断即可；在选项D 中，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法进行求解即可.【详解】在选项A 中，∵1111AC B D ⊥，111A C BB ⊥，1111B D BB B ⋂=，且111,B D BB ⊂平面11BB D ，∴11A C ⊥平面11BB D ，1BD ⊂平面11BB D ，∴111A C BD ⊥，同理，11DC BD ⊥，∵1111A C DC C ⋂=，且111,AC DC ⊂平面11A C D ，∴直线1BD ⊥平面11A C D ，故A 正确；在选项B 中，∵11//A D B C ，1A D ⊂平面11A C D ，1B C ⊄平面11A C D ，∴1//B C 平面11A C D ，∵点P 在线段1B C 上运动，∴P 到平面11A C D 的距离为定值，又11A C D 的面积是定值，∴三棱锥11P AC D -的体积为定值，故B 正确；在选项C 中，∵11//A D B C ，∴异面直线AP 与1A D 所成角为直线AP 与直线1B C 的夹角.易知1AB C △为等边三角形，当P 为1B C 的中点时，1AP B C ⊥；当P 与点1B 或C 重合时，直线AP 与直线1B C 的夹角为π3.故异面直线AP 与1A D 所成角的取值范围是ππ,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故C 错误；在选项D 中，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z轴，建立空间直角坐标系，如图，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，则(),1,P a a ，()10,1,1C ，()1,1,0B ，()10,0,1D ，所以()1,0,1C P a a =- ，()11,1,1D B =-.由A 选项正确：可知()11,1,1D B =-是平面11A C D 的一个法向量，∴直线1C P 与平面11A C D所成角的正弦值为：1111C P D B C P D B⋅==⋅ ∴当12a =时，直线1C P 与平面11A C D所成角的正弦值的最大值为3，故D 正确.故选：ABD第二部分非选择题（共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.设直线1l ，2l 的方向向量分别为()2,2,1a =-，()3,2,b m =- ，若12l l ⊥，则m =__________.【答案】10【解析】【分析】根据向量垂直的坐标表示可得方程，解方程即可.【详解】由已知12l l ⊥，即a b ⊥，则()()232210a b m ⋅=-⨯+⨯-+⨯=，解得10m =，故答案为：10.13.有一根高为3π，底面半径为1的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕2圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的最短长度为________.【答案】5π【解析】【分析】考虑圆柱的侧面展开图，将其延展一倍后矩形的对角线的长度即为铁丝的最短长度.【详解】如图，把圆柱的侧面展开图再延展一倍，所以铁丝的最短长度即为AB 的长，又5AB π==，填5π.【点睛】几何体表面路径最短问题，往往需要考虑几何体的侧面展开图，把空间问题转为平面问题来处理.14.如图，已知正三棱锥P ABC -的侧棱长为l ，过其底面中心O 作动平面α，交线段PC 于点S ，交PA ，PB 的延长线于M ，N 两点.则111PS PM PN++=______.【解析】【分析】利用空间向量的线性运算得到333PA PB PC PO PM PN PS x y z=⋅+⋅+⋅ ，再利用空间四点共面的性质即可得解.【详解】依题意，设,,PM x PN y PS z ===，则PA PA PM x =⋅ ，PB PB PN y =⋅ ，PC PC PS z=⋅，由O 为底面ABC V 中心，连接PO ，OA ，()2132PO PA AO PA AB AC =+=+⨯+ ()()133PA PB PC PA PB PA PC PA ++⎡⎤=+-+-=⎣⎦ 111333zPA PB PC PM PN PS x y =⨯⋅+⨯⋅+⨯⋅ 333PA PB PC PM PN PS x y z =⋅+⋅+⋅ ，又因为,,,S M N O 四点共面，所以+1333PA PB PCx y z += 且PA PB PC l === ，所以+1333l l l x y z +=，即1113+x y z l+=，即1113PS PM PN l++=.【点睛】关键点睛：空间向量的有效运用：空间向量是解决空间几何问题的有力工具.通过设定向量的关系，可以有效地将几何问题转化为代数问题，简化求解过程.共面条件的判断：四点共面的条件在空间几何中非常重要.利用这一条件，可以将空间中的复杂关系转化为简单的线性关系，方便求解.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知直线():20R l x ky k k -++=∈．（1）若直线l 不经过．．．第一象限，求k 的取值范围；（2）若直线l 交x 轴负半轴于A ，交y 轴正半轴于B ，AOB V 的面积为S （O 为坐标原点），求S 的最小值和此时直线l 的方程．【答案】（1）[]2,0-（2）S 的最小值为4，此时直线l 的方程为240x y -+=【解析】【分析】(1)验证0k =时，直线l 是否符合要求，当0k ≠时，将直线方程化为斜截式，结合条件列不等式求k 的取值范围；(2)先求直线在x 轴和y 轴上的截距，表示AOB V 的面积，利用基本不等式求其最小值.【小问1详解】当0k =时，方程20x ky k -++=可化为2x =-，不经过第一象限；当0k ≠时，方程20x ky k -++=可化为121y x k k=++，要使直线不经过第一象限，则10210k k⎧≤⎪⎪⎨⎪+≤⎪⎩解得20k -≤<．综上，k 的取值范围为[]2,0-．【小问2详解】由题意可得0k >，由20x ky k -++=取0y =得2x k =--，取0x =得2k y k+=，所以()11214124442222k S OA OB k k k k ⎛⎫+⎛⎫==⋅⋅+=++≥+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当4k k =时，即2k =时取等号，综上，此时min 4S =，直线l 的方程为240x y -+=．16.如图，AE ⊥平面ABCD ，//CF AE ，//AD BC ，AD AB ⊥，1AB AD ==，22AE BC CF ===．（1）求证：//BF 平面ADE ；（2）求直线CE 与平面BDE 所成角的正弦值；【答案】（1）证明见解析（2）49【解析】【分析】（1）根据题意可利用面面平行的判定定理证明平面//BCF 平面ADE ，再由面面平行的性质可得结论；（2）由几何体特征建立以A 为原点的空间直角坐标系A xyz -，利用空间向量求出直线CE 的方向向量与平面BDE 的法向量，即可求出直线CE 与平面BDE 所成角的正弦值.【小问1详解】由//CF AE ，CF ⊂/平面ADE ，AE ⊂平面ADE ，则//CF 平面ADE ，由//AD BC ，BC ⊂/平面ADE ，AD ⊂平面ADE ，则//BC 平面ADE ，而CF BC C = ，,CF BC ⊂平面BCF ，故平面//BCF 平面ADE ，又BF ⊂平面BCF ，则//BF 平面ADE ；【小问2详解】AE ⊥平面ABCD ，,AB AD ⊂平面ABCD ，则AE AB ⊥，AE AD ⊥，又AD AB ⊥，以A 为原点，分别以,,AB AC AE 为,,x y z 轴构建空间直角坐标系A xyz -，如下图所示：又1AB AD ==，22AE BC CF ===，所以()1,0,0B ，()1,2,0C ，()0,1,0D ，()0,0,2E ，则(1,2,2)CE =-- ，(1,0,2)BE =- ，(0,1,2)DE =- ，令平面BDE 的一个法向量(),,m x y z = ，则2020m BE x z m DE y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，令1z =，则2,2x y ==，即(2,2,1)m = ，所以44cos ,339m CE m CE m CE⋅〈〉===⨯ ，即直线CE 与平面BDE 所成角的正弦值为49．17.如图，PDCE 为矩形，ABCD 为梯形，平面PDCE ⊥平面ABCD ，90BAD ADC ∠=∠=︒，112AB AD CD ===，2PD =（1）若M 为PA 中点，求证：//AC 平面MDE ；（2）求直线PB 与直线CD 所成角的大小；（3）设平面PAD ⋂平面EBC l =，试判断l 与平面ABCD 能否垂直？并证明你的结论.【答案】（1）证明见解析（2）π3（3）能垂直，证明见解析【解析】【分析】（1）先证明MN AC ∥，再利用线面垂直的判定定理即可证明；（2）利用线线平行可得PBA ∠是直线PB 与直线CD 所成角，利用面面垂直可得PD AB ⊥，结合已知条件可得PA =，利用线面垂直可得AB PA ⊥，可得出tan PBA ∠的值，即可求解.（3）根据题意可得EC l ∥，利用平行的传递性，可证明l ⊥平面ABCD .【小问1详解】连结PC ，交DE 于N ，连接MN ，∵PDCE 为矩形，∴N 为PC 的中点，在PAC 中，M ，N 分别为PA ，PC 的中点，∴MN AC ∥，因为MN ⊂面MDE ，AC ⊄面MDE ，所以AC ∥平面MDE .【小问2详解】∵90BAD ADC ∠=∠=︒，∴AB CD ∥，∴PBA ∠是直线PB 与直线CD 所成角.∵PDCE 为矩形，∴PD CD ⊥，∵平面PDCE ⊥平面ABCD ，又PD ⊂平面PDCE ，平面PDCE ⋂平面ABCD CD =，∴PD ⊥平面ABC ，∵,AD AB ⊂平面ABCD ，∴PD AD ⊥，PD AB ⊥，在Rt PDA 中，∵1AD =，PD =PA =，∵90BAD ∠=︒，∴AB AD ⊥，又∵PD AB ⊥，=PD AD D ⋂，PD ⊂平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，∴AB ⊥平面PAD ，∵PA ⊂平面PAD ，∴AB PA ⊥，在Rt PAB △中，∵1AB =，∴tan PA PBA AB ∠==∴π3PBA ∠=，从而直线PB 与直线CD 所成的角为π3；【小问3详解】l 与平面ABCD 垂直.证明如下：∵PDCE 为矩形，∴EC PD ∥，∵PD ⊂平面PAD ，EC ⊄平面PAD ，∴EC ∥平面PAD ，EC ⊂平面EBC ，∵平面PAD ⋂平面EBC l =，∴EC l ∥，则∥l PD ，由（2）可知PD ⊥平面ABCD ，∴l ⊥平面ABCD .18.如图，平行六面体1111ABCD A B C D -的所有棱长均为，底面ABCD 为正方形，11π3A AB A AD ∠=∠=，点E 为1BB 的中点，点F 为1CC 的中点，动点P 在平面ABCD 内．（1）若O 为AC 中点，求证：1A O AO ⊥；（2）若//FP 平面1D AE ，求线段CP 长度的最小值．【答案】（1）证明见解析（2）5【解析】【分析】（1）由条件先求1AD AA ⋅ ，1AB AA ⋅ ，AD AB ⋅ ，再证明10AO AO ⋅= ，由此完成证明；（2）建立空间直角坐标系，设(),,0P m n ，求平面1D AE 的法向量和直线FP 的方向向量，由条件列方程确定,m n 的关系，再求CP 的最小值即可.【小问1详解】由已知1AB A A AD ===1π3A AD ∠=，1π3A AB ∠=，π2BAD ∠=，所以11π122cos 232AD AA ⋅=⨯⨯⨯= ，11π122cos 232AB AA ⋅=⨯⨯⨯= ，0AD AB ⋅= ，因为O 为AC 中点，所以111222AO AC AB AD ==+ ，又()11111112222A O AO AO AA AO AB AD AA AB AD ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅=+-⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，所以111110002244A O AO ⋅=+++--= ，所以1AO AO ⊥ 所以1A O AO⊥【小问2详解】连接1A D ，1A B ，∵12A A AD ==1π3A AD ∠=∴12A D =，∵12A A AB ==，1π3A AB ∠=∴12A B =连接BD ，由正方形的性质可得,,B O D 三点共线，O 为BD 的中点，所以1AO BD ⊥，由第一问1A O AO ⊥，,AO BD ⊂平面ABCD ，AO BD O = ，所以1A O ⊥平面ABCD ，以O 为坐标原点，1,,OA OB OA 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系()1,0,0A 、()0,1,0D -、()10,0,1A 、()0,1,0B 、()1,0,0C -()112,1,1AD AD AA =+=-- 1131,1,222AE AB BE AB AA ⎛⎫=+=+=- ⎪⎝⎭，设平面1D AE 法向量为n ，(),,n x y z =r，则100n AD n AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，所以203022x y z z x y --+=⎧⎪⎨-++=⎪⎩，∴73022x z -+=，令3x =，则7z =，1y =．∴()3,1,7n =为平面1D AE 的一个法向量，因为点P 在平面ABCD 内，故设点P 的坐标为(),,0m n ，因为()112FP OP OF OP OC CF OP OC AA =-=-+=-- ，所以31,,22FP m n ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ ，0FP n ⋅= ，则310m n ++=，所以CP ==== ，所以当25m =-时，CP有最小值，最小值为5.19.在空间直角坐标系中，若平面α过点()000,,P x y z ，且平面α的一个法向量为 =s s ，则平面α的方程为()()()0000a x x b y y z z z -+-+-=，该方程称为平面α的点法式方程，整理后为0ax by cz t +++=（其中000t ax by cz =---），该方程称为平面α的一般式方程.如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是平行四边形，BC ，BD ，1BC 两两垂直，1AD =，BD =，直线1CC 与平面ABCD 所成的角为π4，以B 为坐标原点，BC ，BD ，1BC 的方向分别是x ，y ，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.（1）求平面11DC D 的一般式方程.（2）求1A 到直线11C D 的距离.（3）在棱1BB 是否存在点M ，使得平面1A DM ⊥平面11C D M ？若存在，求出1MB BB 的值；若不存在，请说明理由.【答案】（10y ++-=（2）2（3）存在，且14MB BB =-【解析】【分析】（1）根据直线1CC 与平面ABCD 所成的角求得1BC ，根据平面的点法式方程求得正确答案.（2）利用等面积法来求得1A 到直线11C D 的距离.（3）设出M 点的坐标，利用面面垂直列方程，化简求得正确答案.【小问1详解】由于11,,,,BC BC BC BD BC BD B BC BD ⊥⊥⋂=⊂平面ABCD ，所以1⊥BC 平面ABCD ，所以1C BC ∠是直线1CC 与平面ABCD 所成的角，所以14πC BC ∠=，所以11BC BC ==.所以()()()()111,0,0,1,1,0,0,1,D C C CD C D =-= ，所以()()()111110,0,11,BD BC C D BC CD =+=+=+-=- ,()11,0,1DD =- ，设平面11DC D 的法向量为(),,n x y z = ，则11100n C D x n DD x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，故可设n = ，D ∈平面11DC D ，则平面11DC D的方程为()(()0100x y z -+⋅-+-=，0y +=.【小问2详解】在Rt BCD △中，π2CBD ∠=，1,2BC BD CD ===，设B 到CD 的距离为h，则1121,222h h ⨯==，由于平行四边形ABCD 和平行四边形1111D C B A 全等，所以1A 到直线11C D 的距离等于设B 到CD 的距离，即1A 到直线11C D 的距离为32.【小问3详解】()11,0,1B -，()11,0,1BB =-，()A -，()()()1111,0,1BA BA AA BA BB =+=+=-+-=- ，即()1A -，而()()1,1,D D -，所以()12,0,1DA =- ，设1,01MB BB λλ=≤≤，则()1,0,BM BB λλλ==- ，即(),0,M λλ-，所以()12,1A M λλ=--，(),DM λλ=-，()11,1D M λλ=--，()11C D =- ，设平面1A DM 的法向量为()111,,u x y z =，则111111200u DA x z u DM x z λλ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=--+=⎪⎩，故可设,u λ= .设平面11C D M 的法向量为()222,,v x y z = ，则()()112212220110v C D x v D M x z λλ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+-=⎪⎩，故可设)v λ=-- ，若平面1A DM ⊥平面11C D M ，则0u v ⋅= ，即()()23116830λλλλλλ-+-+=+-=，解得4λ=-，负根舍去，所以存在符合题意的点M，且14MB BB =-.。
山东省济南市山东省实验中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题(含答案)
山东省实验中学2024～2025学年第一学期期中高二数学试题 2024.11（选择性必修—检测）说明：本试卷满分150分，分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷为第1页至第2页，第Ⅱ卷为第3页至第4页.试题答案请用2B 铅笔或0.5mm 签字笔填涂到答题卡规定位置上，书写在试题上的答案无效。
考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（共58分）一、单选题（本题包括8小题，每小题5分，共40分。
每小题只有一个选项符合题意）1.已知空间向量，，，若，，共面，则实数（ ）A.1B.2C.3D.42.“”是“直线与直线平行”的（ ）A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.给出下列说法，其中不正确的是（）A.若，则，与空间中其它任何向量都不能构成空间的一个基底向量B.若，则点是线段的中点C.若，则，，，四点共面D.若平面，的法向量分别为，，且，则3.若三条直线，，不能围成三角形，则实数的取值最多有（ ）A.2个B.3个C.4个D.5个4.实数，满足，则的最小值为（ ）A. B.7C. D.36.若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（ ）A.()1,2,0a = ()0,1,1b =- ()2,3,c m = a b cm =1m =-()1:2310l mx m y +++=2:30l x my ++=a b ∥a b c2PM PA PB =+M AB 2OA OB OC OD =+-A B C D αβ()12,1,1n =- ()21,,1n t =-αβ⊥3t =1:43l x y +=2:0l x y +=3:2l x my -=m x y 2222x y x y +=-3x y -+3+:20l kx y --=:1C x =-k k >5k <≤k <<1k <≤7.在三棱锥中，为的重心，，，，，，若交平面于点，且，则的最小值为（ ）A.B.C.1D.8.已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在上且位于第一象限，圆与线段的延长线，线段以及轴均相切，的内切圆为圆.若圆与圆外切，且圆与圆的面积之比为4，则的离心率为（ ）A.C.二.多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.）9.下列说法正确的是（）A.若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大B.圆与直线必有两个交点C.在轴、轴上的截距分别为，的直线方程为D.设，，若直线与线段有交点，则实数的取值范围是10.已知椭圆的离心率为，长轴长为6，，分别是椭圆的左、右焦点，是一个定点，是椭圆上的动点，则下列说法正确的是（ ）A.焦距为2B.椭圆的标准方程为P ABC -G ABC △PD PA λ= PE PB μ= 12PF PC =λ()0,1μ∈PG DEF M 12PM PG =λμ+122343()2222:10x y C a b a b+=>>1F 2F P C 1O 1F P 2PF x 12PF F △2O 1O 2O 1O 2O C 123522:4O x y +=10mx y m +--=x y a b 1x y a b+=()2,2A -()1,1B :10l ax y ++=AB a (]322⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭，，()2222:10x y E a b a b +=>>23F F '()1,1A P E E 22195x y +=C.D.的最大值为11.立体几何中有很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体.如图，这是一个棱数24，棱长为的半正多面体，它所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得的，下列结论正确的有（）A.平面B.，，，四点共面C.点到平面的距离为D.若为线段上的动点，则直线与直线所成角的余弦值范围为第Ⅱ卷（非选择题，共92分）三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分，其中14题第一空2分，第二空3分.）12.已知直线的倾斜角，则直线的斜率的取值范围为______.13.如图，已知点，，从点射出的光线经直线反射后再射到直线上，最后经直线反射后又回到点，则光线所经过的路程是______.14.杭州第19届亚运会的主会场——杭州奥体中心体育场，又称“大莲花”（如图1所示）.会场造型取意于杭州丝绸纹理与纺织体系，建筑体态源于钱塘江水的动态，其简笔画如图2所示.一同学初学简笔画，先AF '=PA PF +6AG ⊥BCDG A F C D B ACD E BC DE AF 12⎡⎢⎣l 2,43ππθ⎛⎫∈⎪⎝⎭l ()8,0A ()0,4B -()3,0P AB OB OB P画了一个椭圆与圆弧的线稿，如图3所示.若椭圆的方程为，下顶点为，为坐标原点，为圆上任意一点，满足，则点的坐标为______；若为椭圆上一动点，当取最大值时，点恰好有两个，则的取值范围为______.图1 图2 图3四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.（13分）已知两直线和的交点为.（1）直线过点且与直线平行，求直线的一般式方程；（2）圆过点且与相切于点，求圆的一般方程.16.（15分）已知椭圆，且过点.（1）求椭圆的方程；（2）若斜率为的直线与椭圆交于，两点，且点在第一象限，点，分别为椭圆的右顶点和上顶点，求四边形面积的最大值.17.（15分）在梯形中，，，，为的中点，线段与交于点（如图1）.将沿折起到位置，使得（如图2）.图1 图2（1）求证：平面平面；（2）线段上是否存在点，使得与平面的值；若不存在，请说明理由.E()222210x ya ba b+=>>10,2A⎛⎫-⎪⎝⎭O P C2PO PA=C Q QC Q a1:20l x y++=2:3210l x y-+=Pl P310x y++=lC()1,01l P C()2222:10x yC a ba b+=>>⎛⎝C12l C M N M A B CAMBN SABCD AB CD∥3BADπ∠=224AB AD CD===P AB AC DP O ACD△AC ACD'△D O OP'⊥D AC'⊥ABCPD'Q CQ BCD'PQPD'18.（17分）已知直线，半径为2的圆与相切，圆心在轴上且在直线的右上方.（1）求圆的方程；（2）直线与圆交于不同的，两点，且，求直线的斜率；（3）过点的直线与圆交于，两点（在轴上方），问在轴正半轴上是否存在定点，使得轴平分？若存在，请求出点的坐标：若不存在，请说明理由.19.（17分）已知点，是平面内不同的两点，若点满足（，且），则点的轨迹是以有序点对为“稳点”的-阿波罗尼斯圆.若点满足，则点的轨迹是以为“稳点”的-卡西尼卵形线.已知在平面直角坐标系中，，.（1）若以为“稳点”的-阿波罗尼斯圆的方程为，求，，的值；（2）在（1）的条件下，若点在以为“稳点”的5-卡西尼卵形线上，求（为原点）的取值范围；（3）卡西尼卵形线是中心对称图形，且只有1个对称中心，若，，求证：不存在实数，，使得以—阿波罗尼斯圆与—卡西尼卵形线都关于同一个点对称.:40l x ++=C l C x l C 2y kx =-C M N 120MCN ︒∠=2y kx =-()0,1M C A B A x y N y ANB ∠N A B P PAPBλ=0λ>1λ≠P (),A B λQ ()0QA QB μμ⋅=>Q (),A B μ()2,0A -()(),2B a b a ≠-(),A B λ221240x y x +-+=a b λQ (),A B OQ O 0b =λ=a μ(),A B μ山东省实验中学2024～2025学年第一学期期中高二数学试题参考答案 2024.11选择题1234567891011ABCBDDCCBDBCDABD填空题12..13.，.解答题15.【答案】（1）（2）.【详解】（1）直线与直线平行，故设直线为，……1分联立方程组，解得.直线和的交点.……3分又直线过点，则，解得，即直线的方程为.……5分（2）设所求圆的标准方程为，的斜率为，故直线的斜率为1，由题意可得，……8分解得，……11分故所求圆的方程为.(()1,-∞-+∞ ,20,3⎛⎫-⎪⎝⎭a >340x y ++=221140333x y x y +++-=l 310x y ++=l 130x y C ++=203210x y x y ++=⎧⎨-+=⎩11x y =-⎧⎨=-⎩∴1:20l x y ++=2:3210l x y -+=()1,1P --l P 1130C --+=14C =l 340x y ++=()()222x a y b r -+-=1:20l x y ++=1-CP ()()()()2222221110111a b r a b r b a ⎧--+--=⎪⎪-+-=⎨⎪+⎪=+⎩216162518a b r ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩2211256618x y ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭化为一般式：.……13分16.【答案】（1）（2）【详解】（1）由椭圆，解得，……2分由椭圆过点，得，联立解得，，……4分所以椭圆的方程为.……5分（2）由题意可设，点在第一象限，，……6分设，，点，到直线的距离分别为，，由，消可得，，，……8分10分，，直线的一般式方程：，，，，……12分14分当时，有最大值为……15分17.【答案】（1）证明见解析（2）存在，【详解】（1）证明：在梯形中，，22114333x y x y+++-=2214xy+=2222:1x yCa b+==2a b= C⎛⎝221314a b+=2a=1b=C2214xy+=1:2l y x m=+M11m∴-<<()11,M x y()22,N x y A B l1d2d221412xyy x m⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩y222220x mx m++-=122x x m∴+=-21222x x m=-MN∴===()2,0A()0,1B l220x y m-+=1d∴=2d=12d d∴+=()121122AMN BMNS S S MN d d∴=+=⋅+==△△m=S13ABCD AB CD∥，，为的中点，，，，……1分是正三角形，四边形为菱形，，，……3分，，又，，平面，平面，……5分平面，平面平面.……6分（2）存在，，理由如下：……8分平面，，，，两两互相垂直，如图，以点为坐标原点，，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系.则，，，，，，设平面的一个法向量为，则，即，令，则，，，……11分设，，，， (12)分设与平面所成角为，则，即，，解得，224AB AD CD ===3BAD π∠=P AB CD PB ∴∥CD PB =BC DP =ADP ∴△DPBC AC BC ∴⊥AC DP ⊥AC D O ⊥' D O OP '⊥AC OP O = AC OP ⊂ABC D O ∴'⊥ABC D O ⊂' D AC '∴D AC '⊥ABC 13PQ PD '=D O ⊥' BAC OP AC ⊥OA ∴OP OD 'O OA OP OD 'x y z ()C ()2,0B ()0,0,1D '()0,1,0P )2,1BD ∴'=- )CD '=CBD '(),,n x y z =00n BD n CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩'' 200y z z -+=+=⎪⎩1x =0y =z =(1,0,n ∴=()01PQ PD λλ'=≤≤)CP =()0,1,1PD =-'),CQ CP PQ CP PD λλλ∴=+=+=- CQ BCD 'θsin cos ,CQ n CQ n CQ n θ⋅====23720λλ-+=01λ≤≤ 13λ=线段上存在点，且，使得与平面……15分18.【答案】（1）（2）（3）【详解】（1）设圆心，则，……2分解得或（舍），故圆的方程为.……4分（2）由题意可知圆心到直线的距离为，……6分，解得.……8分（3）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，，由得，……10分，……12分若轴平分，则，即，即，即，即，即，……14分当时，上式恒成立，即；……15分当直线的斜率不存在或斜率为0时，易知满足题意；综上，当点的坐标为时，轴平分.……17分19.【答案】（1），，（2）（3）证明见解析【详解】（1）因为以为“稳点”的—阿波罗尼斯圆的方程为，设是该圆上任意一点，则，……1分所以，……3分∴PD 'Q 13PQ PD '=CQ BCD '224x y +=k =()0,4N ()(),04C a a >-422a +=0a =8a =-C 224x y +=C 2y kx =-2sin 301︒=1=k =AB AB ()10y kx k =+≠()()0,0N t t >()11,A x y ()22,B x y 224,1x y y kx ⎧+=⎨=+⎩()221230k x kx ++-=12221k x x k -∴+=+12231x x k -=+y ANB ∠AN BN k k =-12120y t y t x x --+=1212110kx t kx tx x +-+-+=()()1212210kx x t x x +-+=()()22126011t k k k k -⨯--+=++40k kt -+=4t =()0,4N AB ()0,4N N ()0,4y ANB ∠2a =0b =λ=[]1,3(),A B λ221240x y x +-+=(),P x y 22124x y x +=-()()()()22222222222222244162212224PA x y x y x x x y ax by a b a x by a bx a y b PB+++++===+--++--+-+-+-因为为常数，所以，，且，……5分所以，，.……6分（2）解：由（1）知，，设，由，所以，……7分，整理得，即，所以，……9分，……10分由，得，即的取值范围是.……12分（3）证明：若，则以—阿波罗尼斯圆的方程为，整理得，该圆关于点对称.……15分由点，关于点对称及，可得—卡西尼卵形线关于点对称，令，解得，与矛盾，所以不存在实数，，使得以—阿波罗尼斯圆与—卡西尼卵形线都关于同一个点对称……17分22PA PB2λ2240a b -+=0b =2a ≠-2a =0b =λ==()2,0A -()2,0B (),Q x y 5QA QB ⋅=5=()222242516x y x ++=+2240y x =--≥42890x x --≤()()22190x x +-≤209x ≤≤OQ ==209x ≤≤13OQ ≤≤OQ []1,30b =(),A B ()()222222x y x a y ⎡⎤++=-+⎣⎦()22244240x y a x a +-++-=()22,0a +()2,0A -(),0B a 2,02a -⎛⎫⎪⎝⎭QA QB μ⋅=μ2,02a -⎛⎫⎪⎝⎭2222a a -+=2a =-2a ≠=-a μ(),A B μ。
2024-2025学年黑龙江省哈尔滨市高二上学期11月期中考试数学检测试题(含解析)
2024-2025学年黑龙江省哈尔滨市高二上学期11月期中考试数学检测试题一、单选题（本大题共10小题）1．直三棱柱中，若，则（ ）111ABC A B C -1,,CA a CB b CC c === 1A B =A ．B ．a b c+-r r ra b c-+r r r C ．D ．a b c -++ a b c-+- 2．已知点，，若直线的斜率为，则（ ）()1,0A (),B n m AB 21n m -=A ．B ．C ．D ．22-1212-3．已知，则（ ）()()1,5,1,3,2,5a b =-=-a b -= A ．B ．C ．D ．()4,3,6--()4,3,6--()4,3,6-()4,3,64．已知焦点在轴上的椭圆的焦距为6，则实数等于（ ）x 2213x y m +=mA ．B ．C ．12D ．3421412-5．已知正方体的棱长为1，则（ ）1111ABCD A B C D -A ．B ．C ．D ．11ACB D ⊥1AC BC⊥1B D BC⊥1B D AC^6．已知圆，圆，则这两圆的位置关系为（ 22:(2)(4)25E x y -+-=22:(2)(2)1F x y -+-=）A ．内含B ．相切C ．相交D ．外离7．设直线的方向向量为，平面的法向量为，若，则（ ）l a αb0a b ⋅= A ．B ．C ．D ．或//l αl α⊂l α⊥l α⊂//l α8．与平行，则（ ）1:10l ax y -+=2:2410l x y +-==aA ．B ．C ．D ．21212-2-9．经过点，斜率为的直线方程为（ ）(3,1)12A ．B ．210x y --=250x y +-=C ．D ．250x y --=270x y +-=10．已知，则该圆的圆心坐标和半径分别为（ ）221:202C x y x y ++-+=A ．，B ．，1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭()1,2-C ．，D ．，1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭()1,2-二、多选题（本大题共2小题）11．下列结论错误的是（ ）A ．过点，的直线的倾斜角为()1,3A ()3,1B -30︒B ．若直线与直线平行，则2360x y -+=20ax y ++=23a =-C ．直线与直线之间的距离是240x y +-=2410x y ++=D ．已知，，点在轴上，则的最小值是5()2,3A ()1,1B -P x PA PB+12．以A （1，1），B (3，-5)两点的线段为直径的圆，则下列结论正确的是（）A ．圆心的坐标为（2，2）B ．圆心的坐标为（2，-2）C ．圆心的坐标为（-2，2）D ．圆的方程是()222)210x y ++-=（E ．圆的方程是22(2)(2)10x y -++=三、填空题（本大题共4小题）13．已知平面的法向量是，平面的法向量是，若，则的α()2,3,1-β()4,,2λ-//αβλ值是.14．直线与圆的位置关系是.34120x y ++=()()22119-++=x y 15．三条直线与相交于一点，则的值为.280,4310ax y x y +-=+=210x y -=a16．在空间直角坐标系中，直线的一个方向向量为，平面的一个法向l ()1,0,3m =-α量为，则直线与平面所成的角为.()2n =l α四、解答题（本大题共3小题）17．求满足下列条件的直线方程（要求把直线的方程化为一般式）：(1)已知，，，求的边上的中线所在的直线方程.(1,2)A (1,4)B -(5,2)C ABC V AB (2)直线经过点，倾斜角为直线的倾斜角的2倍，求的方程.l (2,1)B --12y x=l 18．如图，在棱长为2的正方体中，分别是的中点，G 在棱CD 上，且,E F 1,DD DB ，H 是的中点．建立适当的空间直角坐标系，解决下列问题：13CG CD=1C G(1)求证：；1EF B C ⊥(2)求异面直线EF 与所成角的余弦值.1C G 19．已知圆C 经过坐标原点O 和点（4，0），且圆心在x 轴上(1)求圆C 的方程；(2)已知直线l ：34110x y +-=与圆C 相交于A 、B 两点，求所得弦长的值．AB答案1．【正确答案】D【详解】.()11111A A B B a b B A B cCC C CB =+=-+=-+--+ 故选：D ．2．【正确答案】C【详解】若直线的斜率为，则，AB 221mn =-所以，211n m -=故选：C.3．【正确答案】C【详解】向量，则.()()1,5,1,3,2,5a b =-=- (4,3,6)a b -=- 故选：C4．【正确答案】C【详解】由题意知，，3,3m a b c >==又，所以，222a b c =+3912m =+=即实数的值为12.m 故选：C5．【正确答案】D 【详解】以为原点，为单位正交基底建立空间直角坐标系，D {}1,,DA DC DD 则，，，，，，()0,0,0D A (1,0,0)1(1,0,1)A ()1,1,0B ()11,1,1B ()0,1,0C 所以，，，．()11,1,1A C =-- ()11,1,1B D =--- ()1,0,0BC =- ()1,1,0AC =-因为，所以．111111,1,1,0AC B D AC BC BC B D AC B D ⋅=⋅==⋅=⋅ 1B D AC ^故选：D.6．【正确答案】A【详解】圆的圆心为，半径；22:(2)(4)25E x y -+-=E (2,4)15r =圆的圆心为，半径，22:(2)(2)1F x y -+-=F (2,2)11r =，故，所以两圆内含；2=12EF r r <-故选：A7．【正确答案】D【详解】∵直线的方向向量为，平面的法向量为且，即，l a αb0a b ⋅= a b ⊥ ∴或.l α⊂//l α故选：D8．【正确答案】B【详解】由与平行，得，所以.1:10l ax y -+=2:2410l x y +-=11241a -=≠-12a =-故选：B9．【正确答案】A【详解】经过点，斜率为的直线方程为，即.(3,1)1211(3)2y x -=-210x y --=故选：A.10．【正确答案】A【详解】的标准方程为，故所求分别为221:202C x y x y ++-+= ()2213124x y ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭，1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭故选：A.11．【正确答案】AC 【详解】对于A ，，即，故A 错误；131tan 312AB k α-===--30α≠︒对于B ，直线与直线平行，所以，解得，故B 2360x y -+=20ax y ++=123a =-23a =-正确；对于C ，直线与直线（即）之间的距离为240x y +-=2410x y ++=1202x y ++=C 错误；d 对于D ，已知，，点在轴上，如图()2,3A ()1,1B -P x取关于轴的对称点，连接交轴于点，此时()1,1B -x ()1,1B '--AB 'x P，5=所以的最小值是5，故D 正确；PA PB+故选：AC.12．【正确答案】BE 【详解】AB 的中点坐标为，则圆心的坐标为()2,2-()2,2-=r =所以圆的方程是22(2)(2)10x y -++=故选：BE13．【正确答案】6【详解】∵，∴的法向量与的法向量也互相平行.//αβαβ∴，∴.23142λ-==-6λ=故6.14．【正确答案】相交【详解】圆的圆心为，半径为，()()22119x y -++=()1,1-3因为圆心到直线，()1,1-34120x y ++=1135<所以直线与圆相交.34120x y ++=()()22119x y -++=故相交15．【正确答案】3【详解】由，即三条直线交于，431042102x y x x y y +==⎧⎧⇒⎨⎨-==-⎩⎩(4,2)-代入，有.280ax y +-=44803a a --=⇒=故316．【正确答案】π6【分析】应用向量夹角的坐标表示求线面角的正弦值，即可得其大小.【详解】设直线与平面所成的角为，l απ20θθ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭则，所以.1sin cos ,2m n m n m n θ⋅====π6θ=故π617．【正确答案】(1)x +5y ﹣15＝0(2)4x ﹣3y +5＝0【详解】（1）因为，则的中点，(1,2),(1,4)A B -AB (0,3)D 因为的边上的中线过点，ABC V AB (5,2),(0,3)C D 所以的方程为，即，CD 233050y x --=--（）5150x y +-=故的边上的中线所在的直线方程为；ABC V AB 5150x y +-=（2）设直线的倾斜角为， 则，则所求直线的倾斜角为，12y x=απ0,4α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭2α因为，所以，1tan 2α=22tan 4tan 21tan 3ααα==-又直线经过点，故所求直线方程为，即4x ﹣3y+5＝0；(2,1)B --4123y x +=+（）18．【正确答案】(1)证明见解析【详解】（1）证明：如图，以D 为原点，以射线DA 、DC 、分别为x 轴、y 轴、1DD z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系，D xyz -则，，，，，()0,0,0D E (0,0,1)()1,1,0F ()0,2,0C ()10,2,2C ，，()12,2,2B 40,,03G ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以，，()1,1,1EF =- ()12,0,2B C =--所以，()()()()()11,1,12,0,21210120EF B C ⋅=-⋅--=⨯-+⨯+-⨯-=所以，故．1EF B C ⊥1EF B C ⊥（2）因为，所以120,,23C G ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭1C G =因为，EF =()12241,1,10,,22333EF C G ⎛⎫⋅=-⋅--=-+=⎪⎝⎭所以．1114cos ,3EF C G EF C G EF C G ⋅=====19．【正确答案】(1)()2224x y -+=(2)【分析】（1）求出圆心和半径，写出圆的方程；（2）求出圆心到直线距离，进而利用垂径定理求出弦长.(1)由题意可得，圆心为(2，0)，半径为2．则圆的方程为()2224x y -+=；(2)由（1）可知：圆C 半径为2r =，设圆心（2，0）到l 的距离为d ，则61115d -==，由垂径定理得：AB ==。
河北省张家口市2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题含答案
2024－2025学年第一学期11月高二期中考试数学（答案在最后）考试说明：1．本试卷共150分.考试时间120分钟.2．请将各题答案填在答题卡上.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有—项是符合题目要求的.1.三点()2,2A ，()5,1B ，(),4C m 在同一条直线上，则m 的值为（）A.2B.4C.2- D.4-【答案】D 【解析】【分析】根据两点斜率表达式得到方程，解出即可.【详解】显然5m ≠，则BC AB k k =，即4112552m --=--，解得4m =-.故选：D .2.若点()1,1P 在圆22222240x y mx my m m +-++-=的外部，则实数m 的取值范围是（）A.()2,+∞B.()1,+∞C.()()0,11,+∞ D.()()0,22,+∞U 【答案】C 【解析】【分析】根据圆的一般式结合点与圆的位置关系计算即可.【详解】根据题意有()()()2222222242401122240m m m m m m m m ⎧-+-->⎪⎨+-++->⎪⎩，即()2010m m >⎧⎪⎨->⎪⎩，解之得()()0,11,m ∈+∞ .故选：C3.如图，直线1l ，2l ，3l ，4l 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，4k ，则（）A.1234k k k k <<<B.2134k k k k <<<C.1243k k k k <<<D.2143k k k k <<<【答案】D 【解析】【分析】由图可知直线12,l l 的倾斜角为钝角，斜率为负，直线34,l l 的倾斜角为锐角，斜率为正，以及根据倾斜角的大小判断斜率的大小可得答案.【详解】直线12,l l 的倾斜角为钝角，斜率为负，且直线1l 的倾斜角大于直线2l 的倾斜角，直线34,l l 的倾斜角为锐角，斜率为正，直线3l 的倾斜角大于直线4l 的倾斜角，所以21430k k k k <<<<．故选：D.4.已知动圆过点()1,0A -，并且在圆22:(1)16B x y -+=内部与其相切，则动圆圆心的轨迹方程为（）A.22132x y += B.221169x y += C.22143x y += D.22154x y +=【答案】C 【解析】【分析】设动圆圆心为(,)P x y ，半径为R 2222(1)(1)4x y x y +++-+=，再利用椭圆的定义，即可求解.【详解】设动圆圆心为(,)P x y ，半径为R因为圆22:(1)16B x y -+=的圆心为(1,0)B ，半径为4r=，由题有r R PB -=，又动圆过点()1,0A -，得22224(1)(1)x y x y -++=-+，2222(1)(1)4x y x y +++-+=，则(,)P x y 到两定点(1,0),(1,0)-的距离之和为4，由椭圆的定义可知，点(,)P x y 在以12(1,0),(1,0)F F -为焦点，长轴长为24a =的椭圆上，因为2,1a c ==，得到2413b =-=，所以动圆圆心的轨迹方程为22143x y+=，故选：C.5.已知圆221:20C x y x +-=，圆222:40C x y mx y n ++-+=，若圆2C 平分圆1C 的周长，则m n +=（）A.2B.－2C.1D.－1【答案】B 【解析】【分析】根据两圆的方程作差求出公共弦所在直线方程，再由题中条件，得到公共弦所在直线过点1(1,0)C ，由此列出方程求解，即可得出结果.【详解】由2220x y x +-=与2240x y mx y n ++-+=两式作差，可得两圆的相交弦所在的直线为(2)40m x y n +-+=，又圆1C 的标准方程为22(1)1x y -+=，记圆心为1(1,0)C ；因为圆2C 平分圆1C 的圆周，所以公共弦所在直线过点1(1,0)C ，因此20m n ++=，所以2m n +=-.故选：B .6.如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为矩形，且1AB =，PA ⊥平面ABCD ，且E 为PC 的中点，则AE CD ⋅= （）A.13B.12C.13-D.12-【答案】D 【解析】【分析】首先利用基底{},,AB AD AP 表示向量AE，然后再根据空间向量的数量积的运算法则进行求解即可【详解】已知点E 为PC 中点，则1111122222AE AP AC AP AB AD =+=++ ，因为PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以PA CD ⊥，又四边形ABCD 为矩形，所以AD CD ⊥；因此111111222222AE CD AP AB AD CD AP CD AB CD AD CD ⎛⎫⋅=++⋅=⋅+⋅+⋅ ⎪⎝⎭()110111022=+⨯⨯⨯-+=-.故选：D7.已知点(),P x y 为直线0x y +=上的动点n =，则n 的最小值为（）A.5B.6C.D.【答案】C 【解析】【分析】根据两点之间距离最小，结合点关于直线的对称性即可利用两点间距离公式求解.【详解】n =+(,)P x y 到点(2,4)B -和点(2,1)A 的距离之和，令点(2,4)B -关于直线0x y +=的对称点为(,)B a b '，则41224022b a a b -⎧=⎪⎪+⎨-+⎪+=⎪⎩，解得42a b =-⎧⎨=⎩，即(4,2)B '-，因此||||||||||n PB PA PB PA AB ''=+=+≥=，当且仅当点P 为线段AB '与直线0x y +=的交点时取等号，所以n.故选：C8.阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻且系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书中，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M 与两定点A ，B 的距离之比为(0,1)λλλ>≠，那么点M 的轨迹就是阿波罗尼斯圆.如动点M 与两定点()()0,0,2,0O A 22时，则直线:1l x =-被动点M 所形成的轨迹截得的弦长为（）A.2 B.23C.25D.27【答案】D 【解析】【分析】设(,)M x y ，利用两点间距离公式代入2MA MO=化简得到点M 的轨迹，再联立轨迹与直线:1l x =-得弦长.【详解】设(,)M x y ，()()0,0,2,0O A ，则2222(2)2MA x y MOx y-+==+，整理得22440x x y +-+=，与直线:1l x =-联立得7y =±，所以所求弦长为27.故选：D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.关于空间向量，以下说法正确的是（）A.若两个不同平面α，β的法向量分别是,u v，且()1,1,2u =- ，()6,4,1v =- ，则αβ⊥B.若直线l 的方向向量为()0,4,0e = ，平面α的法向量为()3,0,2n =-，则直线//l αC.若对空间中任意一点O ，有23AP OA OB OC =+-，则P ，A ，B ，C 四点共面D.两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线【答案】ACD 【解析】【分析】由面面垂直的向量表示可判断A ；由线面平行的向量表示可判断B ；根据向量共线定理，可判断C ；由空间向量基底的表示可判断D.【详解】对于A ，6420u v ⋅=--= ，所以u v ⊥，则αβ⊥，A 正确；对于B ，0e n ⋅= ，所以e n⊥，则直线//l α或者l α⊂，B 错误;对于C ，对空间中任意一点O ，有23AP OA OB OC =+-，即23OA OB O OA C OP =--+ ，则223OP OA OB OC =+-满足2231+-=，则P ，A ，B ，C 四点共面，可知C 正确；对于D ，两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线，所以D 正确.故选：ACD.10.直线l 经过点()1,3，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线l 的方程可能是（）A.30x y -=B.30x y += C.40x y +-= D.20x y -+=【答案】ACD 【解析】【分析】根据条件，分截距为0和不为0两种情况讨论，再利用点斜式和截距式，即可求解.【详解】当直线在两坐标轴上的截距均为0时，直线方程为3y x =，即30x y -=，当直线在两坐标轴上的截距不为0时，设直线方程为1(0,0)x ya b a b+=≠≠，由题有131a b a b ⎧+=⎪⎨⎪=⎩或131a b a b⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，由131a b a b ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，得到4a b ==，此时直线方程为144x y +=，即40x y +-=，由131a b a b ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得到2,2a b =-=，此时直线方程为122x y +=-，即20x y -+=，故选：ACD.11.下列结论正确的是（）A.已知0ab ≠，O 为坐标原点，点(),P a b 是圆222x y r +=外一点，直线m 的方程是2(0)ax by r r +=>，则m 与圆相交B.直线:230l kx y k +--=与圆22:(1)9C x y +-=恒相交C.若直线:230l kx y k +--=平分圆22:(1)9C x y +-=的周长，则1k =-D.若圆222:(4)(4)(1)M x y r r -+-=>上恰有两点到点()1,0N 的距离为1，则r 的取值范围是()3,6【答案】ABC 【解析】【分析】利用点到直线距离公式计算判断A ；求出直线所过定点判断B ；求出圆心坐标计算判断C ；利用相交两圆求出范围判断D.【详解】对于A ，由点(),P a b 在圆222x y r +=外，得222a b r +>，圆心(0,0)到直线m的距离2r d r r =<=，m 与圆相交，A 正确；对于B ，直线:(2)30l k x y -+-=恒过定点(2,3)，而222(31)89+-=<，即点(2,3)在圆C 内，因此直线:230l kx y k +--=与圆22:(1)9C x y +-=恒相交，B 正确；对于C ，圆22:(1)9C x y +-=的圆心为(0,1)，依题意，点(0,1)在直线:230l kx y k +--=上，则1230k --=，解得1k =-，C 正确；对于D ，依题意，以()1,0N 为圆心，1为半径的圆与圆M 相交，而圆M 的圆心为()4,4，半径为r ，则11r MN r -<<+，又5MN ==，151r r -<<+，解得46r <<，D 错误.故选：ABC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.平面内，已知两点()13,0F -，()23,0F 及动点M ，若直线1MF ，2MF 的斜率之积是3-，则点M 的轨迹方程为______．【答案】221(3)927x y x +=≠±【解析】【分析】设动点(,)M x y ，斜率用坐标表示，由斜率之积为3-可得出,x y 之间的关系式，进而得M 的轨迹方程.【详解】设动点M 的坐标为(,)x y ，又()13,0F -，()23,0F ，所以1MF 的斜率1(3)3MF y k x x =≠-+，2MF 的斜率2(3)3MF y k x x =≠-，由题意可得3(3)33y y x x x ⨯=-≠±+-，化简，得点M 的轨迹方程为221(3)927x y x +=≠±.故答案为：221(3)927x y x +=≠±13.已知圆22:(1)(3)8M x y -++=与圆22:(3)(1)8N x y ++-=，则圆M 和圆N 的一条公切线的方程为_______.【答案】0x y -=；20x y +-=；60x y ++=（三个任意一个都算正确）【解析】【分析】先判断两个圆的位置关系，再判断公切线的条数，然后求公切线即可.【详解】由题可知：()()1,3,3,1M N --所以MN ==两个圆的半径和为+=所以两个圆外切，所以有三条公切线,设公切线为y kx b =+由圆心到切线的距离等于半径得==解得10k b =⎧⎨=⎩或12k b =-⎧⎨=⎩或16k b =-⎧⎨=-⎩所以切线方程为y x =，2y x =-+或6y x =--故答案为：0x y -=；20x y +-=；60x y ++=14.在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 满足1AP AA AB λ=+，点Q 满足1AQ AA AB AD μ=++，其中[]0,2λ∈，[]0,2μ∈当μ=________时，DP BQ ⊥．【解析】【分析】将点P 和点Q 满足的向量式转化，分析得出P ,Q 的位置，然后利用线面垂直的判定以及性质即可求得答案.【详解】111AP AA AB AP AA AB A P AB λλλ=+⇔-=⇔=，又[]0,2λ∈，所以点P 在射线11A B 上；11111AQ AA AB AD AQ AA AC AQ AC AA CQ AA μμμμ=++⇔=+⇔-=⇔=，又[]0,2μ∈，所以点Q 在射线1CC 上；因为当λ变化时，DP ⊂平面11A B CD ，故只需考虑过B 且与平面11A B CD 垂直的线，因为正方体有11A B ⊥平面11BB C C ，而1BC ⊂平面11BB C C ，所以111,A B BC ⊥又11,BC B C ⊥，1111111,,A B B C B A B B C =⊂ 平面11A B CD ，所以1⊥BC 平面11A B CD ，DP ⊂平面11A B CD ，所以1BC DP ⊥，所以当点Q 在1C 上时DP BQ ⊥，即1μ=时DP BQ ⊥，故答案为：1.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知ABC V 的顶点()3,2A -，若AB 边上的中线CM 所在直线方程为10x y -+=，AC 边上的高线BN 所在直线方程为530x y +-=．（1）求顶点B 的坐标；（2）求直线BC 的方程．【答案】（1）()1,2-（2）570x y --=【分析】（1）设()00,B x y ，则0032,22x y M -+⎛⎫ ⎪⎝⎭，根据已知列出方程组，求解即可得出答案；（2）根据已知求出直线AC 的方程，进而联立方程得出C 的坐标，代入两点式方程化简即可得出答案.【小问1详解】设()00,B x y ，则0032,22x y M -+⎛⎫⎪⎝⎭，由已知可得0000530321022x y x y +-=⎧⎪⎨-+-+=⎪⎩，解得0012x y =⎧⎨=-⎩，所以点B 的坐标为()1,2-.【小问2详解】由已知可设直线AC 的方程为50x y m -+=，又点A 在直线上，所以有3100m --+=，解得13m =，所以，直线AC 的方程为5130x y -+=.联立直线AC 与CM 的方程513010x y x y -+=⎧⎨-+=⎩可得，C 点坐标为2,3.将,B C 坐标代入两点式方程有213221y x +-=+-，整理可得，570x y --=.16.已知()4,2P -，()1,3Q -，(0,T 在圆C 上．（1）求圆C 的标准方程；（2）若直线//l PQ ，且l 与圆C 交于点A 、B ，O 为坐标原点，90AOB ∠=︒，求直线l 的方程．【答案】（1）22(1)13x y -+=（2）30x y ++=或40x y +-=【解析】【分析】（1）先设圆C 的标准方程为222()()x a y b r -+-=，根据条件建立方程组，求出,,a b r ，即可求解；（2）根据条件设直线方程为0x y m ++=，联立直线与圆的方程得222(22)120x m x m +-+-=，由韦达定理得21212121,2m x x m x x -+=-=，进而可求得2122122m m y y +-=，结合条件12120x x y y +=，即可求解.【小问1详解】设圆C 的标准方程为222()()x a y b r -+-=，因为()4,2P -，()1,3Q -，(0,T 在圆C 上，所以222(4)(2)a b r -+--=①，222(1)(3)a b r --+-=②，222())a b r -+=③，由①②③解得1,0,a b r ===，所以圆C 的标准方程22(1)13x y -+=.【小问2详解】因为3(2)114PQ k --==---，又直线//l PQ ，不妨设l 为0x y m ++=，由()220113x y m x y ++=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，消y 得222(22)120x m x m +-+-=，则22(22)8(12)0m m ∆=--->，即22250m m --+>，设1122()A x y B x y ,,(,)，则21212121,2m x x m x x -+=-=，所以222221212121212212()()()22m m m y y m x m x m m x x x x m m m -+-=----=+++=+-+=，又90AOB ∠=︒，则OA OB ⊥ ，又1122(,),(,)OA x y OB x y == ，所以12120x x y y +=，得到2221212022m m m --+=+，即2120m m +-=，解得3m =或4m =-（均满足0∆>），所以直线l 的方程为30x y ++=或40x y +-=.17.已知椭圆22:184x y C +=的左，右焦点分别为1F ，2F ，P 为椭圆C 上一点．（1）当P 为椭圆C 的上顶点时，求12F PF ∠的大小；（2）直线()2y k x =-与椭圆C 交于A ，B ，若1627AB =，求k 的值．【答案】（1）π2（2）3【解析】【分析】（1）根据条件得21(2,0),(2,0),(0,2)F P F -，从而可得2221212F F PF PF =+，即可求解；（2）联立直线与椭圆方程，消y 得2222()128880k x k x k +-+-=，再利用弦长公式，即可求解.【小问1详解】因为椭圆方程为22184x y +=，则22,2a b ==，842c =-=，所以21(2,0),(2,0),(0,2)F P F -，又121224,2F F c PF PF ====2221212F F PF PF =+，所以12π2F PF ∠=.【小问2详解】设1122()A x y B x y ,,(,)，由()221842x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，消y 得2222()128880k x k x k +-+-=，则42226432(12)(1)32(1)0k k k k ∆=-+-=+>，由韦达定理知22121222888,1212-+==++k k x x x x k k ，由求根公式可得221232(1)12k x x k +-=则22221232(1)16211127k AB k x k k +=+-=+=，化简得到23k =，解得3k =.18.如图所示，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是矩形，PB ⊥底面ABCD ，3AB BC BP ===，2AE ED =.（1）在PC 上找一点F ，使得//EF 平面ABP ；（2）在（1）的条件下，求平面ADF 与平面ABCD 夹角的余弦值.【答案】（1）F 为PC 的三等分点，且2PF FC=（2【解析】【分析】（1）当F 为PC 的三等分点，且2PF FC =，在CB 上取点H ，且13CH CB =，利用几何关系可得//FH PB ，//EH BA ，从而可得面//HEF 面ABP ，再利用面面平行的性质即可说明结果成立；（2）建立空间直角坐标系，求出平面ADF 与平面ABCD 的法向量，再利用面面角的向量法，即可求角.【小问1详解】当F 为PC 的三等分点，且2PF FC =时，//EF 平面ABP ，理由如下，在CB 上取点H ，使13CH CB =，连接,FH EH ，因为13CF CHCP CB ==，所以//FH PB ，又FH ⊄平面ABP ，PB ⊂平面ABP ，所以//FH 平面ABP ，又因为2AE ED =，即13DE DA =，所以//EH BA ，又EH ⊄平面ABP ，AB ⊂平面ABP ，所以//EH 平面ABP ，又,,EH HF H EH HF ⋂=⊂面HEF ，所以面//HEF 面ABP ，又EF ⊂面HEF ，所以//EF 平面ABP .【小问2详解】因为PB ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是矩形，建立如图所示的空间直角坐标系，又3AB BC BP ===，则(0,3,0),(3,3,0),(2,0,1)A D F ，所以(3,0,0)AD = ，(2,3,1)AF =-，设平面ADF 的一个法向量为(,,)n x y z =，则30230n AD x n AF x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，取0,1,3x y z ===，所以(0,1,3)n = ，易知平面ABCD 的一个法向量为(0,0,1)m = ，设平面ADF 与平面ABCD 的夹角为θ，则cos cos ,10n m n m n m θ⋅====⋅ ，所以平面ADF 与平面ABCD夹角的余弦值为10.19.已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为12，短轴长为（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知点1A ，2A 分别为椭圆的左、右顶点，P 为椭圆C 上异于1A ，2A 的动点，()3,0N -，直线PN 与曲线C 的另一个公共点为Q ，直线1A P 与2A Q 交于点M ，求证：当点P 变化时，点M 恒在一条定直线上．【答案】（1）22143x y +=；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据给定条件，求出椭圆知半轴长，结合离心率求出长半轴长即可.（2）设直线PQ 的方程为：3x my =-，()()1122,,,P x y Q x y ，联立直线与椭圆，再表示出直线又直线1A P 与2A Q 的方程，联立求出交点，即可计算推理得证.【小问1详解】设椭圆C 的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>，由短轴长为b =，由离心率为12，得12a ==，解得2a =，所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=.【小问2详解】设直线PQ 的方程为：3x my =-，()()1122,,,P x y Q x y ，而12(2,0),(2,0)A A -，由223143x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x 得：22(34)18150m y my +-+=，22232460(34)48(35)0m m m ∆=-+=->，则1212221815,3434m y y y y m m +==++，121252()3my y y y =+，又直线1PA 的方程为：11(2)2y y x x =++，即11(2)1y y x my =+-，又直线2QA 的方程为：22(2)2y y x x =--，即22(2)5y y x my =--，由1122(2)1(2)5y y x my y y x my ⎧=+⎪-⎪⎨⎪=-⎪-⎩，得2121122121212121042()(5)2(25)43335553y y y y my y y y x y y y y y y ----====--+-+-+，所以当点P 运动时，点M 恒在定直线43x =-上.。
山东省烟台市2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题(含答案)
2024∼2025学年度第一学期期中学业水平诊断高二数学注意事项：1、本试题满分150分，考试时间为120分钟，2、答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题卡上，3．使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰．超出答题区书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求．1．在空间直角坐标系中，点关于面对称的点的坐标为（ ）A ．B ．C ．D ．2．已知直线和直线平行，则实数m 的值为（ ）A ．0B ．C ．1D ．或13．在三棱锥中，点M 在线段上，且，N 为中点，设，，，则（ ）A ．B ．C ．D ．4．已知直线的一个方向向量为且过点，则的方程为（ ）A ．B ．C ．D ．5．正四棱柱中，，E ，F ，G 分别是，，的中点，则直线与所成角的余弦值为（ ）ABCD6．过点的直线与曲线）A ．B ．C ．D ．7．在平行六面体中，底面是正方形，，，，M 是棱的中点，与平面交于点H ，则线段的长度为（ ）O xyz -()2,3,1P -xOy ()2,3,1--()2,3,1--()2,3,1---()2,3,1--210x my m ++-=10mx y ++=1-1-A BCD -AB 2AM MB = CD AB a = AC b =AD c = MN =111322a b c-- 111322a b c -++ 211322a b c--211322a b c-++()3,2-()2,12310x y ++=2370x y +-=3280x y +-=3240x y ++=1111ABCD A B C D -12AA AB =1CC BD 11A B 1C G EF ()1,2--y =22,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦[)22,00,3⎛⎤- ⎥⎝⎦422,0,33⎡⎫⎛⎤--⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦322,0,43⎡⎫⎛⎤--⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦ABCD A B C D '-'''ABCD 60A AB A AD ''∠=∠=︒2AB =4AA '=A B ''A C 'AMD 'A H 'ABCD8．过直线上一点P 作圆的切线，，切点为A ，B ，当最小时，直线的方程为（ ）A ．B ．C ．D ．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。
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济南外国语学校 2008-2009学年度第一学期
高二期中考试数学试题（2008. 11）
时间：120分 满分120分
一、选择题（本题共12小题，每小题4分）
1.在△ABC 中,若sinA.sinB ＜cosA.cosB,则△ABC 一定为( )
A.等边三角形 B 直角三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形 2.下列不等式的解集是R 的为( )
A.0122
>++x x B.02>x C.01)2
1(>+x
D.
x
x 1311<- 3.设等差数列{a n }的前n 项和为S n,,若58215a a a -=+,则S 9等于( )
A.60
B.45
C.36
D.46 4.在R 上定义运算⊗：x ⊗y=x(1-y),若不等式（x-a ）⊗(x+a)<1对任意实数x 都成立，则（ ） A.11<<-a B.0<a<2 C.2321<<-
a D.2
1
23<<-a 5.在△ABC 中，AB=3,AC=1,且B=300,则△ABC 的面积等于（ ）
A.
23 B.43 C. 23或3 D. 23或4
3
6.若02
>++c bx ax 的解集为（-∞，-2）∪（4，+∞），则对f(x)= c bx ax ++2
,有（ ） A. f(5)<f(2)<f(-1) B. f(2)<f(5)<f(-1) C. f(-1)<f(2)<f(5) D. f(2)<f(-1)<f(5)
7.在等差数列{a n }中，公差d=1,a 4+a 17=8,则a 2+a 4+a 6+…+a 20=( ) A.40 B.45 C.50. D.55
8.设x ∈R,[x]表示不大于x 的最大整数，如：[π]=3，[-1.2]=2-,[0.5]=0,则使[x 2-1]=3的x 的取值范围（ ）
A.[2,5）
B.(- 5,-2]
C. (-
5,-2] ∪[2,5） D. [-
5,-2] ∪[2,5]
9.若不等式组⎪⎩
⎪
⎨⎧≤+≥≤+≥-a y x y y x y x ,0220表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是（ ）
A.34≥
a B. 10≤<a C.341≤≤a D.10≤<a 或3
4≥a
10.设等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n ,若S n+1,S n ,S n+2成等差数列，则q 为（ ）
A.q=2-
B.q=1
C.q=2-或q=1
D.q=2或q=1- 11.若对x>0,y>0有（x+2y ）(
y
x 1
2+)≥m 恒成立，则m 的取值范围是（ ）
A.m ≤8
B.m>8
C.m<0
D.m ≤4
12.设a,b,c 为实数，3a,4b,5c 成等比数列，且
c b a 1,1,1成等差数列。
则a
c
c a +的值为（ ） A.1594 B.±1594 C.1534 D. ±15
34 二、填空题（本题共4小题，每题4分）
13.ΔABC 中，3a+b=2c,2a+3b=3c,则sinA:sinB:sinC= . 14.若实数a,b 满足a+b=2,则b
a
33+的最小值是 .
15.设数列{a n }的前n 项和S n =
*∈≥-N n n a n ,1(2
)
13(1)且4a =54,则1a = . 16.函数1)(2
-+=ax ax x f 在R 上恒满足f(x)<0，则a 的取值范围是 . 三、解答题（本题共6小题，共56分，请写出解答过程）
17.（本小题8分）已知集合A={x|}015722
<-+x x ，B={x|02
≤++b ax x },若A ∩B=
φ，且A ∪B={x|-5<x ≤2},求实数a,b 的值.
18. （本小题8分）ΔABC 中A,B,C 的对边分别为a,b,c ，且c
a b
C B +-
=2cos cos 求：（1）角B 的大小；
（2）若4,13=+=c a b ，求ΔABC 的面积.
19.（本小题
8分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且
a 1=2,3S n =5113--+-n n n S a a ,(2,≥∈n N n ) 求（1）数列{a n }的通项公式;
（2）若b n =(2n-1)a n ,求数列{b n }的前n 项和T n .
20.(本小题10分)某工厂可以生产两种不同原料生产的同一种产品，若采用甲原料，每吨成本1000元，运费500元，可得产品90千克；若采用乙原料，每吨成本1500元，运费400元，可得产品100千克。
现在预算每日总成本不得超过6000元，运费不得超过2000元，问此工厂每日最多可生产多少千克产品？
21.（本小题10分）已知22)(2
+-=ax x x f ，当x ∈[-1,+∞)时，f(x)≥a 恒成立，求实数a 的取值范围.
22.（本小题12分）数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足)2
1(,12
1-==n n n S a S a （n ≥2） (1)证明数列{
n
S 1
}是等差数列，并求a n ; (2)设12+=n S b n n ，求{b n }的前n 项和T n ；若对任意的n ∈*
N 都有m T n 2
1log <，求m 的取值范围.
高二试题答案
一、D.C.B.C.D.D.B.C.D.A.A.C
二、3：5：7 6 2 -4<a 《0 三、 17.B={x|
223≤≤x },a=2
7
-,b=3 18.（1）由余弦定理得：a 2+c 2-b 2=-ac,得B=1200
（2）由⎪⎩⎪⎨⎧=++=++13
16
22
222ac c a ac c a 得ac=3,∴S Δ=433sin 21=B ac 19.(1)由已知的3（S n -S n-1）=3a n =5a n -a n-1,a n =
2
1a n-1,a n =22-n
(2) ∴n n n b --=22)12(,乘公比错位相减T n =n
n -+-22)32(12
20.设甲原料x 吨乙原料y 吨，y x z 10090+=，⎪⎩
⎪
⎨⎧≥≥≤+≤+0,02000400500600015001000y x y x y x 解得当
7
20
,712=
=
y x 时，z 的最大值时440元。
21.解：由已知可得x 2-2ax+2-a 》0在[-1,∞)上恒成立，即0)2(442
≤--=∆a a 或
⎪⎩
⎪
⎨⎧≥--<>∆0)1(10f a 解得-3《a 《1 22.解：（1）
)2
1)((12
--=-n n n n S S S S 即
1
212111-=∴=--n S S S n n v ，⎪⎩
⎪
⎨⎧
=≥--=)1(1)2()
23)(12(2n n n n a n （2）2
1
1211(21)121121(21)12)(12(1<+-=∴+--=+-=
）n T n n n n b n n
只须使2
2
0,21log 2
1≤
<∴≥
m m。