功能梯度涂层中的_型周期裂纹问题
正交各向异性功能梯度材料中的运动裂纹
收 稿 日期 ： ２ ０ １ ３ 一 一 基 金项 目 ： 山西 省 自然 科 学 基 金 （ ２ ０ １ １ ０ １ １ ０ ２ １ —３ ）
作 者简 介 ： 隋 中合 （ １ ９ ７ ０ 一 ） ， 男， 山 东 广 饶 县人 ， 硕 士， 海南省工业学校讲师 ， 主 要 从 事 偏 微 分 方 程 理论 及 应 用 研 究
模 型Ｉ ４ ］ ， 研究 了功能梯 度材 料 中裂纹 运 动速度 和材 料 物性双 参数 对运 动裂 纹尖端 应力 强度 因子 的影 响．
１ 材 料 物性 参 数模 型
研 究无 限大 正 交各 向异性 功能 梯 度材料 ， 内含一 长度 为 ２ ａ的裂纹 ， 如图 １ ．
图 １ 无 限大 Ｆ ＧＭ 运 动 裂 纹 模 型
究． 近 年来有 文献 ［ ３ 将材 料 物性参 数 采用 指数 函数模 型 ， 研究 了非 均匀 材料 中材 料非 均匀性 对运 动裂纹 尖 端
应力 强 度 因子 的影 响 ， 还很 少看 到别 的函数模 型被 采用 ｒ ３ ］ ． 本 文将 材料 物性参 数 采用任 意次 幂双参 数幂 函数
１ １ ４
太 原 师 范 学 院 学 报（ 自然 科 学 版 ）
第 １ ２卷
（ ３ ａ ）
（ ３ｂ ）
ｒ （ ｘ， ０ ， ）一 ｒ （ ｚ， ０ ）一一
０≤ Ｉ ｚ Ｉ ＜ ｎ
ｗ（ Ｘ， ０ ， ）一 ｗ（ ｘ， ０ ）一 ０ Ｉ Ｉ ｚ Ｉ ≥ ａ
增 大．
［ 关键 词］ 功 能梯度 材料 ； 正 交各 向异 性 ； Ｙｏ ｆ ｆ ｅ型 运 动 裂 纹 ； 对偶 积分 方程 ； 动 应 力 强 度 因 子
（ 文章 编 号］ １ ６ ７ ２ — ２ ０ ２ ７ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ２ — ０ １ １ ３ － ０ ４ ［ 中图分 类－ Ｎ － ３ Ｏ３ ４ ６ ． １ ［ 文献 标识 码］ Ａ
功能梯度热障涂层热震表面裂纹
用 寿命 ， 涂层 内部 的裂 纹在 热震 环境 下 的 变化 是影 响其 热震 性 能乃 至使 用 寿命 的 直接 因素 。采 用 ＹＳ Ｚ与
Ｎｉｒ ｏ Ｙ 等 离子 喷 涂 制 备 了 功 能 梯 度 热 障 涂 层 试 样 ， 用 扫 描 电 子 显 微 镜 对 不 同 次 数 热 震 后 的 涂 层 表 Ｃ Ｃ Ａ１ 采
Ｎｉ Ｃｏ Ｙ １ ０ Ｃｒ Ａ１ ０
８ ０
６ ０
４ ０
２ ０
０
厚度
０ ３ｍｍ ， ． ０ ３ｍｍ ， ． ， ０ ３ ｍｍ ０ ３ｍｍ ０ ３ｍｍ ０ ５ｍｍ ，
１ ２ 热 震 试 验 ． 热 震试 验 采 用 自行 研 制 的 Ｆ ＧＭ 热 性 能 测 试
维普资讯
功 能 梯 度热 障 涂层 热 震 表面 裂纹
柳 彦 博 ， 全 胜 ， 富 耻 ， 壮 ， 东 荣 王 王 马 李
（ 京 理 工 大 学 材 料科 学 与 工 程 学 院 ， 京 １ ０ ８ ） 北 北 ０ ０ １
摘 要 ： 为 发 动 机 热 端 部 件 上 使 用 的 功 能 梯 度 热 障 涂 层 ， 热 震 性 能 的 好 坏 直 接 关 系 到 涂 层 的 使 作 其
仪 ， 设 备 采 用 氧一 炔火 焰 喷枪 加 热 ， 样 表 面 冷 该 乙 试 却 采用 压缩 空气 ， 样 底 部 采 用 流 动 自来 水 连 续 冷 试
很多 ， 中主 要包 括 ： 应 力 、 层 制 备 时 的残 余 应 其 热 涂 力 、ｒ 。 Ｚ Ｏ 相变 及高温 氧化 等口 。热 障涂层 的失效 形式 ］
却 ， 面温 度采 用红 外测 温仪 测量 ， 体温 度则 通过 表 基 热 电偶 测 量 。具体 规范 为 ： 先采 用 氧一 首 乙炔 火焰 喷 枪加 热试 样 表面 ， 当红 外测 试 仪 显 示 涂 层 表 面 温 度
功能梯度涂层表面裂纹蠕变扩展行为研究
Study on surface creep crack behavior of functionally graded coating
CHEN Jian - jun1, TU Shan - dong1. 2 ( 1. Machinery Institute, East China University of Science & Technology, Shanghai 2. College of M echanical Engineering, Nanjing University of T echnology, Nanjing 200237, China; 210009, China)
c(
文中所有的计算都采用 Abaqus 6 4 大型商用软 件 , 非 均匀 单元 通过 编制子 程序 实现。裂尖 采用 1/ 4 奇异网格, 并充分 加密以保证得到准确的应力 应变值。梯度涂层 - 基体的整体网格与裂尖处局部 网格的划分见图 2。
y ) E c+ [ 1c(
c(
y ) ] Es = ( 4) ( 5) y ) ] s=
Key words: graded coating; creep; crack; unit time energy release rate 自从日本学者提出功能梯度涂层概念后[ 1] , 其 优异的力学特性受到了研究人员的广泛关注。与均 一涂层相比 , 梯度涂层能够很好地避免涂层与基体 间非匹配应力的产生 , 增强涂层系统断裂韧度 , 延长 涂层的服役寿命。梯度涂层的整体性能可以用涂层 材料体积分数表征 , 采用适当的工艺可控制梯度涂 层中 2 种材料的混合比, 形成组织和结构连续变化 的梯度涂层以满足实际需要。梯度涂层良好的应用 前景, 促使研究工作者在理论和制作方法上均对其 进行了较为深入的研 究[ 2, 3] 。但是 , 现有的这 些研 究都没有涉及涂层的高温蠕变行为。因此, 人们至 今仍然缺乏对梯度涂层在高温下力学响应的认识。 文中对梯度涂层中表面裂纹的蠕变行为进行考察 ,
热应力下功能梯度条共线裂纹断裂问题分析
热应力下功能梯度条共线裂纹断裂问题分析潘海珠;宋天舒【摘要】To discuss the effect of temperature variation on functional graded material (FGM) with cracks,the modeI thermomechanical fracture problem in an FGM strip with two collinear cracks is studied in this paper.The hierarchical method is applied for the analysis of the FGM strip under steady state thermal loads so as to obtain the analytical solution to the problem of fracture mechanics in which different themomechanical properties are described by different functions.The thermal stress intensity factors (TSIFs) at the tips of both cracks are solved by means of the Lobatto-Chebyshev value method.Meanwhile,some examples are presented to investigate thermal property influences,the temperature distribution changes at the free surfaces of the strip and the change in geometric parameters of the cracks on the TSIF.In particular,the interaction of cracks is discussed,which may affect the TSIF.The results show that different themomechanical properties described by different functions have significant effects on the TSIFs of both cracks.The results can provide a reference for the design of FGMs used in extreme temperature conditions.%为了探讨温度变化对含裂纹的功能梯度材料(FGM)的影响,本文研究了含有两个共线裂纹的功能梯度条的I-型热应力断裂问题.对于稳态热应力下的功能梯度条应用分层方法进行分析,使得不同函数形式表示热机械属性变化下的断裂力学问题能够得到解析解.应用Lobatto-Chebyshev数值方法求得两个裂纹裂尖的热应力强度因子(TSIF).通过一些算例研究材料热力属性、功能梯度条自由表面温度变化及裂纹几何参数变化对TSIF的影响,特别是对两裂纹间交互对热应力强度因子的影响进行了探讨.结果表明:用不同函数形式描述热机械属性对含有两个裂纹的功能梯度条TSIF有显著影响,该结果可为设计极端温度条件下使用的FGM提供参考.【期刊名称】《哈尔滨工程大学学报》【年(卷),期】2017(000)002【总页数】7页(P201-206,229)【关键词】断裂分析;功能梯度材料;热机械属性;共线裂纹;热应力强度因子【作者】潘海珠;宋天舒【作者单位】哈尔滨工程大学航空与建筑工程学院,黑龙江哈尔滨 150001;齐齐哈尔大学计算机与控制工程学院,黑龙江齐齐哈尔 161006;哈尔滨工程大学航空与建筑工程学院,黑龙江哈尔滨 150001【正文语种】中文【中图分类】O343.6在工程实际中，复合材料的一个缺陷就是其不同组分的热膨胀系数不同，这种不匹配所产生的残余应力会造成材料开裂[1]，使用功能梯度材料(FGM)可以降低这种不匹配。
正交各向异性功能梯度材料板I型裂纹应力、应变分析
Ｅ
Ｉ
Ｅ
２ ｅ
。 １
。
。
对 于二 维线 弹性 体 ， 答 方程 为 ： 相
＋ ａ ＝ ａ ｘＴ ， ｙ
（） ７
将 （ ） 入方 程 （ ） ， ２带 ７ 中 得到 正交 各 向异性 材料 板 的控 制方 程 ：
）
ｄｙ
２
）
㈤ ）
ｄｘ ｔ － Ｏ＇
√ ｃ
－
。
一
＝
＋
２ ，（ｏ Ｂ ２Ｚ ）＋Ｂ ６Ｚ ） ２ ６（ｏ ）
当 △＜ ０时 ， 方程 （０ 的解 为 ： Ｉ＝ａ ＋ Ｉ ２＝ 一 ａ １） ，
２ ａ ＝
＋
，
ＩＩ４ ， ｚ
２
（４ １）
２ ２ Ｚ）＋Ｂ ６Ｚ ） ＢＩ ０ （ ６ ｏ ２
（） ９
这一双次程 判式． （ 是个二方，别为 ＝ 其 △ 浆
的解 为 ： 。＝ 。 ２＝ ， ， ＝／ ， ，＝ 一 ｚ ２
一
４
（ １ １ ）
（２ １）
其中： ≤＾ ｈ ０≤ ， 是材料板 的厚度。 对于选定 的分析平面 ＝ ０把 ＝ 。 Ｚ， ： 带入（ １ 则当△ ＞０ 方程（０ １） 时， １）
式中： 。 ：８ ， ０ 为常数 ； 。 ８ ， ，，８ ，５ ８ Ｅ 为弹性主方向与 轴方向平行时， 梯度材料板参考平面（ ＝ ） Ｚ ０ 时材料的弹 性常数。 对于正交各向异性材料板由（ ） ３ 式和（ ） ５ 式得到柔度矩阵［ （） 为 ： ８ｚ］
Ｅ ｅ
Ｉ
ｌ
Ｅ２
。
［ （） ８ ｚ ］＝
摘 要 ： 对含 Ｉ 文章 型裂纹的正交各 向异性功能梯度 材料板沿其板厚 的弹性常数表 达式呈指数 函
功能梯度材料中界面裂纹对弹性波的散射及热断裂问题的开题报告
功能梯度材料中界面裂纹对弹性波的散射及热断裂问题的
开题报告
1. 研究背景与意义
功能梯度材料是一种具有梯度变化的组成成分、结构和性能的材料，其在制备过程中具有良好的可控性和设计性。
其在航空、能源、军事等领域有着广泛的应用。
然而，功能梯度材料中存在着许多问题，其中界面裂纹是一个重要的问题。
界面裂纹可
以导致材料的机械特性和热化学特性严重降低，进而导致材料失效。
因此，研究功能
梯度材料中界面裂纹对弹性波的散射及热断裂问题，对于深入理解功能梯度材料的结
构与性能、提高其应用性能具有重要意义。
2. 研究内容总体安排
本文将从以下几个方面展开研究：
（1）功能梯度材料中界面裂纹的形成机制；
（2）界面裂纹对弹性波的散射问题研究；
（3）界面裂纹对热断裂问题的影响研究；
（4）功能梯度材料中裂纹扩展机制及预测模型的建立；
（5）数值模拟仿真及试验验证。
3. 研究方法与步骤
（1）理论分析：理论分析界面裂纹的形成机制及对弹性波和热断裂问题的影响。
（2）数值模拟仿真：采用有限元方法模拟功能梯度材料中的裂纹扩展及其对弹
性波和热断裂问题的影响。
（3）试验验证：使用材料试验设备观察功能梯度材料中的界面裂纹形态、裂纹
扩展规律，明确其与弹性波及热断裂问题的关系。
4. 期望结果与意义
本研究拟探索功能梯度材料中界面裂纹对弹性波和热断裂问题的影响，从机理本质出发，建立预测模型，拓宽这方面的研究领域，期望结果具有科学的创新性和实践
的指导意义，为功能梯度材料在实际应用中的设计、制备、加工和使用提供理论依据，从而提高材料的性能，推动其在航空、能源、军事等领域的应用发展。
功能梯度压电材料反平面裂纹问题
功 能 梯 度 压 电材 料 反 平 面 裂 纹 问题
胡 克 强 ，仲 政， 金 波
（ 同济 大学 固体 力 学 国 家重 点 实 验 室 ｒ 海 ２ ０９ ） 上 ０ ０ ２
摘要 ：基于三维弹性理论和压 电理论 出了材料 系数 在横 观各 向 同性 平面 内梯度 分布 的压 电体 的状 态方程 ； 导
ｌ ｚ ｄ． ｙｅ
Ｋｅ ｒｓ ｕ ｃ ｉｎ ｌ ｒｄ ｄ ｐｅ ｏ ｌｃｒｃｍａ ｅ ｉｌ ； ｉｚ ｅｅ ｔｉ ｍａｅ ｉｌ ｔｅ ｓｊ ｔｎ ｉｙｆｃｏ ； ｙｗｏ ｄ ：Ｆ ｎ ｔ ａｌ ｇ ａ ｅ ｉｚ ｅｅ ｔｉ ｔ ｒａｓ Ｐ ｅ ｏ ｌｃｒｃ ｏ ｙ ｔｒａ ；Ｓ ｒ ｓ ｅ ｓｔ ａ ｔｒ Ｅ一 ｎ
１ｃ ｒｃ ｄｓ ｌ ｃ ｍｅ ｔｉ ｔ ｎ ｉ ａ ｔ ｒ ｅ ｔ ｉ ｉｐ ａ ｅ ｎ ｎ ｅ ｓ ｔ ｆ ｃ ｏ ｙ
ｉｆ ｅ ｃ ｆｄｆｅ ｅ ｔ ｏБайду номын сангаасｈ ｍｏ ｅ ｅ ｕ ｔ ｒ ｌ ｒ ｐ ｒｉｓａ ｄ ｇ ｏ ｔｉａ ｉｅｏ Ｉ ｎ ＤＩ ｓａ ａ ｎ ｌ ｎ ｅｏ ｉ ｒ ｎ ｎ ｏ ｇ ｎ ｏ ｓｍａｅ ｉ ｏ ｅ ｔｅ ｎ ｅ ｍｅｒｃ ｌ ｚ ｎ Ｓ Ｆ ａ ｄＥ Ｆ ｗａ ｎ — ｕ ｆ ｎ ａｐ ｓ
进 而 对 材 料 系 数 按 指数 函数 规 律 分 布 的 半 无 限 大 压 电 体 中的 反 平 面 裂 纹 问 题 进 行 了求 解 ； 用 Ｆ ｕｉｒ 换 给 利 ｏｒ 变 ｅ 出 了半 无 限大 压 电体 中位 移 、 应力 、 电势 及 电位 移 的解 析 表选 式 ； 并求 得 了裂 纹 尖 端 的 应 力 强 度 园子 和 电 位 移 强 度 因子 ， 分析 了不 同的 非 均匀 材料 系数 及 几何 尺 寸 对 它 们 的影 响 。
04力学季刊+功能梯度压电_压磁双材料的周期界面裂纹问题_时朋朋
（ ，Ｎ ，Ｙ ） Ｓ ｃ ｈ ｏ ｏ ｌ ｏ ｆ Ｍ ａ ｔ ｈ ｅ ｍ ａ ｔ ｉ ｃ ｓ ａ ｎ ｄ Ｃ ｏ ｍ ｕ ｔ ｅ ｒ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ ｉ ｎ ｘ ｉ ａ Ｕ ｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｉ ｎ ｃ ｈ ｕ ａ ｎ ７ ５ ０ ０ ２ １， Ｃ ｈ ｉ ｎ ａ ｐ ｇ ｙ
第３ 力 学 季 刊 ４卷 第２期 Ｖ ｏ ｌ ． ３ ４Ｎ ｏ ． ２ ２ ０ １ ３年６月 Ｃ Ｈ Ｉ Ｎ Ｅ Ｓ Ｅ Ｑ Ｕ Ａ Ｒ Ｔ Ｅ Ｒ Ｌ Ｙ Ｏ Ｆ Ｍ Ｅ Ｃ Ｈ Ａ Ｎ Ｉ Ｃ Ｓ ｕ ｎ ｅ ２ ０ １ ３ Ｊ
［ ］ 空 压电压磁复合材料的理论和应用受到广泛的重视 ３－４ 。 考虑到复合材料的界面在制造中极易产生夹杂 、
穴等缺陷 ，界面两侧材料性能的失配导致应力集中以及粘接使用的导电银胶老化损伤等原因 ，ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ结 界面 常成为该类材料较早产生裂纹的部位 。 因此 ，层状压电压磁复合材料的界面性能及破坏失效机理的研究
Ｐ ｅ ｒ ｉ ｏ ｄ ｉ ｃ Ｉ ｎ ｔ ｅ ｒ ｆ ａ ｃ ｉ ａ ｌ Ｃ ｒ ａ ｃ ｋ ｓ ｉ ｎ ａ Ｆ ｕ ｎ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ ａ ｌ ｌ ｙ ／ Ｐ ｉ ｅ ｚ ｏ ｅ ｌ ｅ ｃ ｔ ｒ ｉ ｃ Ｐ ｉ ｅ ｚ ｏ ｍ ａ ｎ ｅ ｔ ｉ ｃ Ｂ ｉ ｍ ａ ｔ ｅ ｒ ｉ ａ ｌ ｓ Ｇ ｒ ａ ｄ ｅ ｄ ｇ
［ ４ ］ 。 界面性能对层状压电压磁复合材料的电磁耦合性能等有重要的影响 。 考虑非理想 受到广泛的关注 ５－１
］ ］ 文献 ［ 研究压电压磁层状结构中的 Ｓ 求解了具粘性界面压电／压磁双材料的热 界面条件 ， ５ Ｈ 波 。 文献 ［ ６ ］ 问题 。 对于层状压电压磁复合材料的界面裂纹问题也有广泛的讨论 ，文献 ［ 讨论压电／压磁双材料的多 ７ 假设每个界面相同位置存在裂纹 ，文献 ［ 巧 妙的 个 Ｉ型界面裂纹问题 。 对于无限层拼接而成复合结构 ， ８］ 利用周期边界条件求解含无限多个平行裂纹的此类压电／压磁复合结构的反平面问题 。 就层状压电／压磁 复合材料在电磁场作用下的破坏失效机理 ， 李永东等系统的研究 压 电／压 磁 层 合 板 结 构 和 压 电／压 磁 层 状
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
功能梯度涂层中的 型周期裂纹问题PERIODIC C RAC K PROBLEM OF MODE IN FUNC TIONALLY GRADED COATINGS黄干云 1 汪越胜2 余寿文1(1.清华大学工程力学系,北京100083)(2.北京交通大学工程力学研究所,北京100044)HU ANG GanYun1 WANG YueSheng2 YU Shou Wen1(1.Department o f Engineering Mechanics,Tsinghua University,Beijing100084,China)(2.Institute o f Engineering Mechanics,Bei j ing Jiaotong University,Beijing100044,China)摘要 利用分层模型研究功能梯度涂层中的 型周期裂纹问题,借助Fourier级数及传递矩阵技术,可将该边值问题化为求解Hilbert奇异积分方程,数值求解该方程即可得到应力强度因子。
数值结果表明,当裂纹较密且裂纹相对较短时,裂纹之间的相互作用比较明显;材料剪切模量在厚度方向上的变化对应力强度因子具有较大的影响。
关键词 功能梯度材料 涂层 周期裂纹 反平面 应力强度因子中图分类号 O346.1 T B34Abstract Based on a new mult-i layered model,problem of a periodic array of cracks i n a functionally graded coati ng bonded to a homogeneous substrate has been investigated.Employment of Fourier series and transfer matri x method reduced the boundary value prob-lem to the solution of a Hilbert sin gular integral equation.Numerical solution of the equation yields the stress intensity factors.Results reveal that interacti on between densely located cracks for shorter cracks is evident and the varying form of shear modulus of the coatin g can influence the values of stress in tensity factors significantly.Key words Functionally graded material;C oating;Periodic array of crack;Antiplane;Stress intensity factorCorrespon ding author:YU ShouWen,E-ma il:yusw@mails.tsin ,Fax:+86-10-62781824Manuscript received20040430,in revi sed form20040715.1 引言功能梯度材料由于其参数在一定空间方向上连续变化,而能有效消除传统复合材料中的材料参数界面不匹配问题,从而提高复合材料的界面性能,因此具有非常重要的应用前景。
然而裂纹开裂仍然是一种重要的失效形式,目前已有不少工作研究了功能梯度材料中的裂纹问题[1~4],但是这些工作都是假定材料性质按特定的函数形式如指数函数[1~3]或者幂函数[4]变化,而实际材料的性质往往不按照那些函数形式变化;另外文献[5,6]的结果表明,材料性质的变化对裂纹尖端应力强度因子的大小有影响,因此有必要研究梯度材料参数按任意连续函数变化时的裂纹问题。
在这方面,Wang等利用层合板模型研究了一系列的典型裂纹问题[7]。
由于该模型仍存在材料参数的间断,沿用层合板模型的分层思想,对梯度材料分层,假设材料性质在每分层中按线性函数变化,进而研究功能梯度材料中一些典型的单裂纹问题。
结果表明这样的模型收敛速度更快,其中部分详细结果可见文献[5,6],本文旨在利用该模型,进一步研究梯度材料涂层中的 型周期裂纹问题。
2 问题与求解考虑如图1所示的问题,厚度为h0的梯度涂层与均匀半无限大体连接,在界面上有一列以2l为周期、长为2c的裂纹,设梯度材料的剪切模量为已知的连续函数,在涂层表面取值为 0,在界面上等于均匀体的剪切模量 *,若将梯度材料划分成N层,根据文献[5](y) j(y)= j(a j+b j y)h j<y<h j-1 j=1,2, ,N (1)其中 j为剪切模量在第j个界面处的取值,且 j= j(h j)= (h j)a j=h j-1-h j j-1 jh j-1-h jb j=j-1 j-1h j-1-h j在反平面问题中,控制方程为Journal of Mechanical Strength机 械 强 度2004,26(S):097~099黄干云,男,1976年12月生,江西新干人,汉族。
清华大学工程力学系博士后,研究方向为非均匀材料及智能材料的断裂损伤。
20040430收到初稿,20040715收到修改稿。
2w j +1 j (y )d j (y )d yw jy=0j =1,2, ,N ; 2w N +1=0 (2)这里 2为Laplace 算子,w j 为第j 层的位移。
若裂纹面上的位移间断记为 w ,裂纹所占区域为 ,并考虑外载- 0作用在裂纹面上,则问题的有关边界条件可写为y z (x ,h 0)=0, y z j (x ,h j )- y z j +1(x ,h j )=0w j (x ,h j )-w j +1(x ,h j )= w j N(3) y z (x ,0)=- 0 x(4)j N 为Kronecker 符号。
由于问题的周期性,位移、裂纹面上位移间断和应力可展开为 w j , y z jT=n =-w j (n ,y ), y z j (n ,y )T e-in x l(5)w =n =-w (n )e-in x lw (n )=12lc-cw (x )e-in x ld x(6)将方程(5)代入式(2),并利用式(1)可得位移和应力的通解,对n 0有S j =dw j , yzjT=[T j (y )]C j =I 0( j )K 0( j )j n I 1(j ) l - j n K 1( j )l C j 1C j 2(7)S N +1=dw N +1, N +1T=[T N +1(y )]B C N +1,1=es y es y*se s y- *s e-s yB C N +1,1(8)其中 j =n (a j +b j y ) b j l ,I k ( ),K k ( )(k =0,1)为修正的Bessel 函数,C j k (k =1,2)为待定常数,j =1,2, ,N ,B =1,0T;而当n =0时,容易证明对应的 y z j (0,y )为0,因此以后将不予考虑。
利用边界条件(3)可以得C j =P jS(9)其中 S =w ,0T,P j 是2 2矩阵,由于篇幅所限,这里不给出其具体形式。
将式(9)代入式(7),然后再利用式(4)得 yz (x ,0)=n =-0,1[M ]y =01,0Tw (n )e-i n x l=- 0 x(10)[M ]=[T N (y )]P N 为传递矩阵。
而位移单值条件要求w (x )=n =-w (n )e-i n x l=0,x (11)不失一般性,以下将在一个周期内(如x l )求解裂纹问题,引入辅助函数(x )=x[ w (x )]或w (x )=x-c(t )d t ,x[-c ,c ](12)将它代入式(6)后再代入方程(10)和(11)可得yz (x ,0)=n =- ,n 00,1[M ]y =01,0Ti 2nc-c(u )e in (u -x ) ld u =- 0,x(13)c-c(u )d u =0(14)容易证明0,1[M ]y =01,0Tl n 在n 趋近 时趋近-sgn(n ) *2,另外利用n=1sgn(n )ei n (u -x ) l=icot (u -x ) 2l (15)可将方程(13)化为Hilbert 奇异积分方程*4lc -c(u )cot (u -x ) 2l d u + c-cQ (u ,x ) (u )d u =- 0 x (16)其中Q (u ,x )=-n =10,1[M ]y =01,0Tl n +*2sin n (u -x ) l l方程(16)可仿照文献[8]进行数值求解。
根据应力强度因子的定义K=lim x c2x c 1 2yz (x ,0)则K=( *2)cF ( 1)(17)这里 F ( )= (c )(1- 2)1 23 算例与讨论本节将给出几个算例,着重考察周期以及材料剪切模量变化对应力强度因子的影响。
为此,首先假设材料剪切模量具有下列形式(y )= *eln( 0*)y h(18)在数值计算时应先确定分层数目,试算表明分层数为6时即可保证结果的精度,由于篇幅,这里不给出具体结果。
基于此,图1给出 *0=10时不同周期下裂纹应力强度因子随c h 0的变化情况,结果表明,当c h 0相对较小时,周期越小裂纹应力强度因子越大;随着c h 0增大,不同周期对应力强度因子的影响相对较小;另外,周期l c 为5和10时,两者的结果几乎一098机 械 强 度2004年图1 不同周期对应力强度因子的影响Fig.1 Effect of periods on the strees i nfensity factors图2 剪切模量变化规律对应力强度因子的影响Fig.2 Effect of the forms of shear modulus on the s tress intensity factors致,这说明此时周期的影响可以忽略,可看作无限大体中的单个裂纹。
为了考察不同剪切模量对应力强度因子是否有影响,分别假设(y)= *+( 0- *)sin( y 2h0)及(y)= *+( 0- *)(y h0)2(19)取 * 0=10,l c= 1.5,计算裂纹应力强度因子随c h0的变化情况。
结果分别见图2,为了比较方便,该图还给出相同参数下剪切模量按式(18)变化时的结果。