3蛮力法
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构造趣味矩阵：经常用二维数组来解决
根据趣味矩阵中的数据规律，设计算法把要输出的数据 存储到一个二维数组中，最后按行输出该数组中的元素。 基本常识： 1）当对二维表按行进行操作时，应该“外层循环控制行； 内层循环控制列”；反之若要对二维表按列进行操作时，应 该“外层循环控制列；内层循环控制行”。 2）二维表和二维数组的显示输出，只能按行从上到下连续 进行，每行各列则只能从左到右连续输出。所以，只能用“ 外层循环控制行；内层循环控制列”。
3
【例3.1】百钱百鸡问题。中国古代数学家张丘建在《算经》 中提出了著名的“百钱百鸡问题”：鸡翁一，值钱五；鸡母一， 值钱三；鸡雏三，值钱一；百钱买百鸡，翁、母、雏各几何? 算法设计1： 通过对问题的理解，可能会想到列出两个三元一次方程， 去解这个不定解方程，就能找出问题的解。这确实是一种办法， 但这里我们要用“懒惰”的枚举策略进行算法设计： 设x，y，z分别为公鸡、母鸡、小鸡的数量。 尝试范围：由题意给定共100钱要买百鸡，若全买公鸡最多 买100/5=20只，显然x的取值范围1~20之间；同理，y的取值范 围在1~33之间，z的取值范围在1~100之间。 约束条件： x+y+z=100 且 5*x+3*y+z/3=100
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算法如下： main( ) {int i,j,a[100][100],n; input(n); for(i=1;i<=n;i=i+1) for(j=1;j<=n;j=j+1) {if (i=j or i+j=n+1) a [i][j]=0; if (i+j<n+1 and i<j) a [i][j]=1; if (i+j<n+1 and i>j) a [i][j]=2; if (i+j>n+1 and i>j) a [i][j]=3; if (i+j>n+1 and i<j) a [i][j]=4;} for(i=1;i<=n;i=i+1) { print( “换行符”); for( j=1;j<=n;j=j+1) print(a[i][j]); } }
B D
C D
A
×
D D
B A D D
算法设计1：按乘法枚举 A=1,2时积不 1)枚举范围为： 会得到六位 A：3——9,B：0——9,C：0——9 数 六位数表示:A*10000+B*1000+C*100+A*10+B,尝试800次。 2)约束条件为： 每次尝试，先求六位数与A的积，再测试积的各位是否相 同，若相同则找到了问题的解。 测试积的各位是否相同比较简单的方法是，从低位开始， 每次都取数据的个位，然后整除10，使高位的数字不断变 成个位，并逐一比较。
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i1表示 字 符串str1 由低位 到高位 的位数
main( ) { long b,c,d; int i,i1,i2,j,k,n,n1,n2,a[256]; char s1[256],s2[256]; 循环变量j、k input(s1); input(s2); 分 for (i=0;i<255;i++) a[i]=0; 别是两个乘数 字 n1=strlen(s1); n2=strlen(s2); d=0; 符串的下标。 for (i1=0,k=n1-1;i1<n1;i1++,k--) { for (i2=0,j=n2-1;i2<n2;i2++,j--) i表示乘法 { i=i1+i2; b= a[i]+(s1[k]-48)*(s2[j]-48)+d; 正在运算的 a[i]= b mod 10; d=b/10;} 位，也是计 while (d>0) 算结果存储 { i=i+1; a[i]= a[i]+d mod 10; d=d/10;} 的位置。 n=i; } for (i=n;i>=0;i--) print(a[i]); }
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只考虑正整数的乘法，算法细节设计如下： 1)对于大整数比较方便的输入方法是，按字符型处理，存 储在字符数组s1、s2中，计算结果存储在整型数组a中。 2)通过字符的ASCII码，数字字符可以直接参与运算，k位 数字与j位数字相乘的表达式为：(s1[k]-48)*(s2[j]-48)（这 是C语言的处理方法）。 3)每一次数字相乘的结果位数是不固定的，而结果数组中 每个元素只存储一位数字，所以用变量b暂存结果，若超过 1位数则进位，用变量d存储。 每次计算的表达式为：b= a[i]+(s1[k]-48)*(s2[j]-48)+d
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main1( ) { int *a,i,j,n; input(n); a=calloc(n+1,sizeof(int)); //申请存储空间 for (i=1; i<=n;i++) a[i]=1; for (i=1; i<=n;i++) for (j=i; j<=n;j=j+i) a[i]=1-a[i]; for (i=1; i<=n;i++) if (a[i]=0) print(i,”is free.”); } 算法分析1：以一次开关锁计算，算法的时间复杂度为 n(1+1/2+1/3+……+1/n)=O(nlogn)。
14
2
3）用i代表行下标，以j代表列下标（除特别声明以后都 遵守此约定），则对n*n矩阵有以下常识： 主对角线元素：i=j； 副对角线元素：下标下界为1时i+j=n+1； 下标下界为0时i+j=n-1； 主上三角◥元素： i <=j； 主下三角◣元素： i >=j； 次上三角◤元素：下标下界为1时i+j<=n+1， 下标下界为0时i+j<=n-1； 次下三角◢元素：下标下界为1时i+j>=n+1， 下标下界为0时i+j>=n-1；
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算法设计1： 1）用n个空间的一维数组a[n],每个元素记录一个锁的状 态，1为被锁上，0为被打开。 2）用数学运算方便模拟开关锁的技巧，对i号锁的一次开 关锁可以转化为算术运算：a[i]=1-a[i]。 3）第一次转动的是1，2，3，„„n号牢房； 第二次转动的是2，4，6，„„号牢房； 第三次转动的是3，6，9，„„号牢房； „„ 第i次转动的是i，2i，3i，4i，„„号牢房，是起点 为i，公差为i的等差数列。 4）不做其它的优化，用蛮力法通过循环模拟狱吏的开关 锁过程，最后当第i号牢房对应的数组元素a[i]为0 时，该牢房的囚犯得到大赦。
蛮力法
1
蛮力法
蛮力法是基于计算机运算速度快这一特性，在解决问题 时采取的一种“懒惰” 策略。这种策略不经过（或者说经过 很少）思考，把问题所有情况或所有过程交给计算机去一 一尝试，从中找出问题的解。
蛮力策略应用：选择排序、冒泡排序、插入排序、顺序 查找、朴素的字符串匹配等。比较常用还有枚举法、盲目 搜索算法等。
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2 其它范例
蛮力法的表现形式非常多，如例2.6等。本节将通过
蛮力策略，用算法模拟问题中所描述的全部过程和全部状 态，来找出问题的解，并与经过数学建模后的算法进行效 率上的比较。
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【例3.3】编程打印有如下规律的n×n方阵。
例如下图：使左对角线和右对角线上的元素为0，它们 上方的元素为1，左方的元素为2，下方元素为3，右方 元素为4，下图是一个符合条件的5阶矩阵。
9
算法设计2：将算式变形为除法：DDDDDD/A=ABCAB。 此时只需枚举A：3——9 D：1——9，共尝试7*9=63
次。每次尝试，测试商的万位、十位与除数是否相
同，千位与个位是否相同，都相同时为解。
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main（） {int A,B,C,D,E,F; for(A=3;A<=9;A++) for(D=1;D<=9;D++) { E = D*100000+D*10000+D*1000+D*100+D*10+D; if(E mod A=0) F=E\A; if(F\10000=A and (F mod 100)\10=A) and (F\1000=F mod 10) print( F，”*”，A，”=”，E); } }
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【例3.4】大整数乘法问题
在某些情况下，需要处理很大的整数，它无法在计算机硬
件能直接允许的范围内进行表示和处理。若用浮点数来存 储它，只能近似地参与计算，计算结果的有效数字会受到 限制。若要精确地表示大整数，并在计算结果中要求精确 地得到所有位数上的数字，就必须用软件的方法来实现大 整数的算术运算。请设计一个有效的算法，可以进行两个n 位大整数的乘法运算。 数据结构设计：首先用数组存储大整数数据，再将两个乘 数和积都按由低位到高位逐位存储到数组元素中。 算法设计：存储好两个高精度数据后，模拟竖式乘法，让 两个高精度数据按位交叉相乘，并逐步累加即可得到精确 的结果，用二重循环就可实现。
4
算法1如下： 算法分析：此算 法需要枚举尝试 main( ) 20*34*100=68000 { int x,y,z; 次。算法的效率 for(x=1;x<=20;x=x+1) 显然太低。 for(y=1;y<=34;y=y+1) for(z=1;z<=100;z=z+1) if(100=x+y+z and 100=5*x+3*y+z/3) {print("the cock number is",x)； print("the hen number is", y)； print("the chick number is ",z); } }
算法设计与分析部分算法伪代码
第三章 蛮力法1.选择排序SelectionSort(A[0..n-1])for i=0 to n-2 domin=ifor j=i+1 to n-1 doif A[j]<A[min]min=jswap A[i] and A[min]2.冒泡排序BubbleSort(A[0..n-1])// 输入：数组A，数组中的元素属于某偏序集// 输出：按升序排列的数组Afor i=0 to n-2 dofor j=0 to n-2-i doif A[j+1]<A[j] swap A[j] and A[j+1]3.改进的冒泡算法ALGORITHM BubbleSortImproved( A[0,…,n –1] )// 冒泡排序算法的改进// 输入：数组A，数组中的元素属于某偏序集// 输出：按升序排列的数组Afor i ← 0 to n – 2 doflag ← Truefor j ← 0 to n – 2 – i doif A[j+1] < A[j]swap(A[j], A[j+1])flag ← False// 如果在某一轮的比较中没有交换，则flag为True，算法结束returnif flag = True4. 顺序查找算法算法 SwquentialSearch2(A[0...n],k)//顺序查找算法的实现，它用了查找键来作限位器//输入：一个n个元素的数组A和一个查找键K//输出：第一个值等于K的元素的位置，如果找不到这样的元素就返回 -1A[n]<--ki<--0while A[i]!=K doi<--i+1if i<n return iElse return -15. 蛮力字符串匹配算法 BruteForceStringMatch(T[0...n-1],P[0...m-1])//该算法实现了蛮力字符串匹配代表一段文本//输入：一个n个字符的数组T[0...n-1]// 一个m个字符的数组P[0..m-1]代表一个模式//输出：如果查找成功的话，返回文本的第一个匹配字串中第一个字符的位置， // 否则返回-1For i<--0 to n-m doj<--0While j<m and P[j]=T[i+j]doj<--i+1If j=m return ireturn -1合并排序最差Θ(nlog2n)快速排序最优Θ(nlog2n)最差Θ(n2)平均Θ(1.38nlog2n)选择排序 Θ(n2)冒泡排序 Θ(n2)插入排序最差Θ(n2)最优 Θ(n)平均 Θ(n2)第四章 分治法合并排序算法 MergeSort(A[0..n-1] )排序 // 递归调用mergesort来对数组 A[0...n-1]// 输入：一个可排序数组A[0..n-1]// 输出：非降序排列的数组A[0..n-1]if n > 1n/2 -1]copy A[0.. n/2 -1] to B[0..n/2 -1]copy A[ n/2 ..n-1] to C[0..MergeSort( B )MergeSort( C )Merge( B,C,A )两个数组合并的算法算法 Merge(B[0..p-1],C[0..q-1],A[0..p+q-1])//将两个有序数组合并成一个有序的数组和C[0...q-1]//输入：两个有序数组B[0...p-1]//输出：A[0..p+q-1]中已经有序存放了B和C中的元素 i=0,j=0,k=0;while i<p and j<q do≤C[j]if B[i]A[k]=B[i], i=i+1elseA[k]=C[j], j=j+1k=k+1if i=pcopy C[j..q-1] to A[k..p+q-1]elsecopy B[i..p-1] to A[0..p+q-1]快速排序算法QuickSort(A[l..r])// 使用快速排序法对序列或者子序列排序或者序列本身A[0..n-1]// 输入：子序列A[l..r]// 输出：非递减序列Aif l < rs ← Partition( A[l..r] )QuickSort( A[l..s-1] )QuickSort( A[s+1..r] )//s是中轴元素/基准点，是数组分区位置的标志实现分区的算法Partition( A[l..r] )// 输入：子数组A[l..r]// 输出：分裂点/基准点pivot的位置p ← A[l]i ← l; j ← r+1repeat≥ prepeat i ←i + 1until A[i]≤ prepeat j ← j – 1 until A[j]swap( A[i], A[j] )≥ juntil iswap( A[i], A[j] )swap( A[l], A[j] )return j折半查找BinarySearch( A[0..n-1], k )// 输入：已排序大小为n的序列A，待搜索对象k// 输出：如果搜索成功，则返回k的位置，否则返回-1 l=0,r=n-1;While l≤rmid= (l+r)/2if k = A[mid] return midelse if k < A[mid] r=m-1else l=m+1return -1Strassen矩阵Strassen方法M1=A11(B12-B22)M2=(A11+A12)B22M3=(A21+A22)B11M4=A22(B21-B11)M5=(A11+A22)(B11+B22)M6=(A12-A22)(B21+B22)M7=(A11-A21)(B11+B12)第五章 减治法插入排序ALGORITHM InsertionSort( A[0..n-1] )// 对给定序列进行直接插入排序// 输入：大小为n的无序序列A// 输出：按非递减排列的序列Afor i ← 1 to n-1 dotemp ← A[i]j ← i-1while j ≥ 0 and A[j] > temp doA[j+1] ← A[j]j ← j –1A[j+1] ←temp深度优先查找算法 BFS（G）//实现给定图的深度优先查找遍历//输入：图G=<V,E>//输出：图G的顶点，按照被DFS遍历第一次访问到的先后次序，用连续的整数标记，将V中的每个顶点标记为0，表示还“未访问”count =0//记录这是第几个访问的节点标记为 unvisitedmark each vertex with 0//∈ V dofor each vertex vif v is marked with 0dfs(v)dfs(v)//递归访问所有和v相连接的未访问顶点，然后按照全局变量count的值//根据遇到它们的先后顺序，给它们附上相应的数字count = count + 1mark v with countv dofor each vertexw adjacent toif w is marked with 0dfs(w)广度优先BFS(G)/实现给定图的深度优先查找遍历//输入：图G=<V,E>//输出：图G的顶点，按照被BFS遍历第一次访问到的先后次序，用连续的整数标记，将V中的每个顶点标记为0，表示还“未访问”count =0mark each vertex with 0for each vertex v∈ V dobfs(v)bfs(v)//递归访问所有和v相连接的未访问顶点，然后按照全局变量count的值//根据遇到它们的先后顺序，给它们附上相应的数字count = count + 1mark v with countinitialize queue with vwhile queue is not empty doa = front of queuefor each vertex w adjacent to a doif w is marked with 0count = count + 1mark w with countadd w to the end of the queueremove a from the front of the queue拓扑排序第六章 变治法Gauss消去法GaussElimination(A[1..n], b[1..n])// 输入：系数矩阵A及常数项 b// 输出：方程组的增广矩阵等价的上三角矩阵for i=1 to n doA[i][n+1] =b[i]for j= i+1 to n dofor k = i to n+1 do– A[i][k]*A[j][i]/A[i][i]A[j][k] = A[j][k]堆排序堆排序主要包括两个步骤：对于给定的数组构造相应的堆。
算法设计与分析-第3章-蛮力法
哨兵
0123456789 k 10 15 24 6 12 35 40 98 55
查找方向
i
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算法3.2——改进的顺序查找
int SeqSearch2(int r[ ], int n, int k) //数组r[1] ~ r[n]存放查找集合 { r[0]=k; i=n; while (r[i]!=k)
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第3章 蛮力法
3.1 蛮力法的设计思想 3.2 查找问题中的蛮力法 3.3 排序问题中的蛮力法 3.4 组合问题中的蛮力法 3.5 图问题中的蛮力法 3.6 几何问题中的蛮力法 3.7 实验项目——串匹配问题
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3.1 蛮力法的设计思想
蛮力法的设计思想：直接基于问题的描述。 例：计算an
52 37 65 不可行 不可行 不可行 不可行 不可行
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对于一个具有n个元素的集合，其子集 数量是2n，所以，不论生成子集的算法 效率有多高，蛮力法都会导致一个Ω(2n) 的算法。
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3.4.4 任务分配问题
假设有n个任务需要分配给n个人执行， 每个任务只分配给一个人，每个人只分配一 个任务，且第j个任务分配给第i个人的成本 是C[i, j]（1≤i , j≤n），任务分配问题要求 找出总成本最小的分配方案。
用蛮力法解决0/1背包问题，需要考虑给定n个 物品集合的所有子集，找出所有可能的子集（总重 量不超过背包容量的子集），计算每个子集的总价 值，然后在他们中找到价值最大的子集。
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算法设计与分析
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蛮力法
i 0 nm
1 [(m 1) 1] (n m 1)m
j 0 i 0
m 1
nm
第三章 蛮力法
3.2 最近对问题 算法：BruteForceClosetPoints(P)
//该算法实现了蛮力法球平面中距离最近的两个点 //输入：一个n个(n>1)个点的列表，P1=（X1，Y1）…… ，Pn=（Xn，Yn） //输出：最近的两个点得下标，index1和index2
C( n )
n 1 i 1
1
i 1 j i 1k 1 n n) n( n i )
j i 1
n[(n 1)(n 2) 1] n 2 ( n 1) / 2
第三章 蛮力法
3.4 旅行商问题 算法：TSP(P[1..n],V[1..n][1..n])
C( n )
i 1 n 1
j i 1
2 [2(n i)] 2[(n 1 1)(n 1)] / 2 n(n 1)
i 1
n
n 1
第三章 蛮力法
3.3 凸包问题 算法：BruteForceConvexHull(P)
//该算法实现了蛮力法求平面中距离最近的两个点 //输入：一个n个(n>1)个点的列表，P1=（X1，Y1）…… ，Pn=（Xn，Yn） //输出：最小凸集合集合S
2 3 n C( n) c11 cn cn cn 2n 1 n
第三章 蛮力法
3.4 旅行商问题 效率分析： TSP(P[1..n],V[1..n][1..n]) //对于具有n个节点的哈密顿回路而言，必须生成一个由n+1 个节点构成的序列，其入口和出口假设为节点1，那么蛮 力法必须生成所有其他的n-1个节点构成一条完整的路径 //显然，对于这样一个算法而言，蛮力法求旅行商问题总是 一个效率为θ((n-1)!)的算法
蛮力法、分治法、减治法三种方法的理解和处理问题的类型的归纳
蛮力法、分治法、减治法三种方法的理解和处理问题的类型的归纳一、蛮力法蛮力法是一种基础且直接的问题解决策略，通常用于寻找问题的答案或解决方案。
其核心理念在于，通过逐一检查所有可能的解决方案，从而找到问题的答案或找到最佳的解决方案。
在蛮力法中，我们通常需要投入较多的时间和计算资源，尤其是在面对大规模或复杂的问题时。
蛮力法的应用范围广泛，包括但不限于以下几种类型的问题：1. 排序问题：例如，对一个数组进行排序，我们可以使用蛮力法，通过比较每对元素并交换它们的位置，使得整个数组有序。
2. 查找问题：例如，在排序数组中查找一个特定的元素，我们可以使用蛮力法，逐一检查数组中的每个元素直到找到目标元素。
3. 组合与排列问题：例如，计算给定集合的所有可能排列或组合，我们可以使用蛮力法，通过逐一排列或组合所有可能的元素组合得到答案。
二、分治法分治法是一种将复杂问题分解为更小、更易于处理的子问题的方法。
通过将问题分解为独立的子问题，我们可以分别解决每个子问题，然后将这些解决方案组合起来，形成原始问题的解决方案。
这种方法在处理复杂问题时非常有效，因为它可以降低问题的复杂性，使我们可以更有效地解决问题。
分治法的应用范围广泛，包括但不限于以下几种类型的问题：1. 排序问题：例如，归并排序就是一种使用分治法的排序算法，它将一个大列表分解为两个小列表，对这两个小列表分别进行排序，然后合并它们以得到有序列表。
2. 搜索问题：例如，二分搜索是一种使用分治法的搜索算法，它将搜索空间一分为二，每次迭代都排除一半的元素，直到找到目标元素或确定元素不存在。
3. 图问题：例如，Dijkstra的算法就是一种使用分治法的图搜索算法，它将图分解为最短路径树，然后通过搜索每个子图的最短路径来解决整个图的最短路径问题。
三、减治法减治法是一种通过减少问题的规模或复杂性来解决问题的方法。
其核心理念在于，通过消除或减少问题的某些部分或特性，从而降低问题的复杂性或规模，使得问题更容易解决。
生物信息学中的基因组组装方法优化研究
生物信息学中的基因组组装方法优化研究基因组组装是生物信息学中一项重要的研究任务，其目的是将测序得到的DNA序列片段按照正确的顺序装配成完整的基因组。
随着测序技术的不断进步和生物信息学算法的发展，基因组组装方法也在不断优化和演进。
本文将介绍基因组组装的一些常用方法和近期的优化研究进展。
一、基因组组装的方法1. 重叠布局方法：重叠布局方法是最早也是最基础的基因组组装方法之一。
该方法通过比较测序得到的DNA序列片段之间的重叠关系，确定它们在基因组中的相对位置，进而进行组装。
重叠布局方法的优点是简单易懂，适用于较小的基因组。
然而，对于大型基因组，由于序列碎片过多和严重的重叠问题，重叠布局方法的效果有限。
2. de Bruijn图方法：de Bruijn图方法是目前常用的基因组组装方法之一。
该方法先将DNA序列片段进行k-mer分割，然后依据k-mer之间的连接关系构建有向图，最后在图中寻找路径，从而实现基因组组装。
de Bruijn图方法在处理大型基因组时具有很好的效果，但对于高覆盖度的测序数据以及序列重复区域的处理仍存在一定局限性。
3. 蛮力法：蛮力法是一种穷举搜索的方法，通过尝试不同的组装方式来找到最佳的组装结果。
该方法将测序片段进行所有可能的组合，然后通过比对测序reads与组装结果的一致性得到最佳组装方案。
蛮力法的优势在于可以避免由于序列重叠、测序错误和重复序列等因素导致的组装困难，但其计算复杂度较高，需要耗费大量的时间和计算资源。
二、基因组组装方法的优化研究1. 错误校正和纠正方法：基因组组装过程中数据质量的问题是影响组装结果的重要因素之一。
近期的研究致力于研发有效的错误校正和纠正方法，用于去除测序数据中存在的噪声和错误。
例如，利用高通量测序技术生成的长读长数据，可以提高错误校正和纠错的准确性。
此外，亦可结合机器学习和深度学习技术，通过训练模型来准确预测错误位置和类型，从而提高组装的准确性和效率。
蛮力法的魅力
蛮力法的魅力摘要：蛮力法是我们算法中最常使用的算法，虽然巧妙和高效的算法很少来自于蛮力法，但是蛮力法依然是一种重要的算法设计技术。
在实际理论上，蛮力法可以解决可计算领域的各种问题，只是效率的高低不同而已。
因此蛮力法经常用来解决一些较小规模的问题。
蛮力法对于一些重要的问题可以产生一些合理的算法，他们具备一些实用价值，而且不受问题规模的限制。
蛮力法也可以作为某类问题时间性能的底限，来衡量同样问题的更高效算法。
本文将对蛮力法进行深入了解，发掘出蛮力法的价值。
关键字：蛮力法效率算法应用简单结合引言：蛮力法，由于对于解决一些问题时的低效，不够有技巧性，一直为人们所“诟病”。
但是，遍观我们所学的算法，只有蛮力法是可以适合于任何问题的。
而且，简单的招式，练到极致，就是绝招。
我们在解决的问题的时候，首先考虑的也是蛮力法。
只有当蛮力法不能高效处理问题时，我们才会思考其他算法。
这也就说明，蛮力法对于我们设计算法，仍是必不可少的。
1 蛮力法的原理顾名思义，蛮力法即是顺序往下寻找方法，直到问题的解决。
它所依赖的技术是扫描技术，关键是依次处理所有元素。
蛮力法的思想非常简单，没有很多条件的限制，比如动态规划法，必须满足最有性原理才可以使用。
它的方法上也没有缺陷，对于分治法，一旦子问题的规模不同，便不能在使用。
而蛮力法则没有这个要求。
因此，简单，易上手，是蛮力法的基本原理。
1 蛮力法与其他算法的比较大部分算法都是在蛮力法的基础上改进而来的。
这里比较蛮力法中的冒泡排序与分治法中的快速排序。
对于蛮力法，是所以元素都要经过比较之后再排序，显然这是不可取的。
比如2比1大，3比2大，那1和3就没必要再进行比较。
快速排序，就是有选择性的进行比较。
将序列分为两个子序列，用递归实现，从而使得算法的时间复杂度变为nlog2n，这就是技巧的体现（减治法也是如此），从中也可以看出，在蛮力法的基础上，我们可以改造出更好的算法，体现了蛮力法的重要性。
蛮力算法
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main1( ) { int *a,i,j,n; input(n); a=calloc(n+1,sizeof(int)); //申请存储空间 for (i=1; i<=n;i++) a[i]=1; for (i=1; i<=n;i++) for (j=i; j<=n;j=j+i) a[i]=1-a[i]; for (i=1; i<=n;i++) if (a[i]=0) print(i,”is free.”); } 算法分析1：以一次开关锁计算，算法的时间复杂度为 n(1+1/2+1/3+……+1/n)=O(nlogn)。
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【例3.1】百钱百鸡问题。中国古代数学家张丘建在《算经》 中提出了著名的“百钱百鸡问题”：鸡翁一，值钱五；鸡母一， 值钱三；鸡雏三，值钱一；百钱买百鸡，翁、母、雏各几何? 算法设计1： 通过对问题的理解，可能会想到列出两个三元一次方程， 去解这个不定解方程，就能找出问题的解。这确实是一种办法， 但这里我们要用“懒惰”的枚举策略进行算法设计： 设x，y，z分别为公鸡、母鸡、小鸡的数量。 尝试范围：由题意给定共100钱要买百鸡，若全买公鸡最多 买100/5=20只，显然x的取值范围1~20之间；同理，y的取值范 围在1~33之间，z的取值范围在1~100之间。 约束条件： x+y+z=100 且 5*x+3*y+z/3=100
蛮力法
2 其它范例
蛮力法的表现形式非常多。本节将通过蛮力策略， 蛮力法的表现形式非常多。本节将通过蛮力策略，用 算法模拟问题中所描述的全部过程和全部状态， 算法模拟问题中所描述的全部过程和全部状态，来找出问 题的解，并与经过数学建模后的算法进行效率上的比较。 题的解，并与经过数学建模后的算法进行效率上的比较。
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1 枚举法
枚举法（ 穷举法） 是蛮力策略的一种表现形式， 枚举法 （ 穷举法 ） 是蛮力策略的一种表现形式 ， 根据问题 中条件将可能情况一一列举出来， 逐一尝试从中找出满足 中条件将可能情况一一列举出来 ， 问题条件的解。 但有时一一列举出的情况数目很大， 问题条件的解 。 但有时一一列举出的情况数目很大 ， 则需 要进一步考虑， 排除一些明显不合理的情况， 要进一步考虑 ， 排除一些明显不合理的情况 ， 尽可能减少 问题可能解的列举数目。 问题可能解的列举数目。 通常从两个方面进行算法设计： 通常从两个方面进行算法设计： 1）找出枚举范围：分析问题所涉及的各种情况。 找出枚举范围：分析问题所涉及的各种情况。 找出约束条件：分析问题的解需要满足的条件， 2）找出约束条件：分析问题的解需要满足的条件，并 用逻辑表达式表示。 用逻辑表达式表示。
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main（） （） {int A,B,C,D,E,F; for(A=3;A<=9;A++) for(D=1;D<=9;D++) { E = D*100000+D*10000+D*1000+D*100+D*10+D; if(E mod A=0) F=E\A; if(F\10000=A and (F mod 100)\10=A) and (F\1000=F mod 10) print( F，”*”，A，”=”，E); ， ” ， ， } }
蛮力法
2 查找问题中的蛮力法—串的匹配
BF算法
KMP算法
下一次开始位置 下一次开始位置
本趟开始位置
i 回溯
ii
S 模式T
si
…
tj
回溯
j
j
回溯next[j]
……
3 排序问题中的蛮力法—选择排序
选择排序开始的时候，扫描整个序列，找到整个序列的最小记
录和序列中的第一个记录交换，从而将最小记录放到它在有序
区的最终位置上，然后再从第二个记录开始扫描序列，找到n-1
个序列中的最小记录，再和第二个记录交换位置。一般地，第i
趟排序从第i个记录开始扫描序列，在n-i+1（1≤i≤n-1）个记录中
找到关键码最小的记录，并和第i个记录交换作为有序序列的第i
个记录。
4 组合问题中的蛮力法—任务分配问题
可以用一个n元组(j1, j2, …, jn)来描述任务分配问题的一个可能 解，其中第i个分量ji（1≤i≤n）表示在第i行中选择的列号，因此 用蛮力法解决任务分配问题要求生成整数1~n的全排列，然后把 成本矩阵中的相应元素相加来求得每种分配方案的总成本，最 后选出具有最小和 18
是否最短
否 是 否 是 否 否
蛮力法求解TSP问题存在的问题
注意到图中有3对不同的路径，对每对路径来说，不同 的只是路径的方向，因此，可以将这个数量减半，则 可能的解有(n-1)!/2个。随着n的增长，TSP问题的可 能解也在迅速地增长。
一个10城市的TSP问题有大约180,000个可能解。 一个20城市的TSP问题有大约
依次处理所有元素是蛮力法的关键，为 了避免陷入重复试探，应保证处理过的 元素不再被处理。
第三章 蛮力法PPT课件
个定值。设此值为SN ，则不难解
出：SN = N 2 ·(N 2 +1)/2N= N ·(N 2 +1) /2。
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外延法(由巴谢提出)构造奇阶幻方
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H·Coxeter构造幻方的方法
首先在正方形最上面一 行的正中间的小方格内 填写1，然后到它的左 上方的小格内填写下一 个数(注意：我们认为正 方形的同一行或同一行 的头尾是相连的)。如果 走到某个小方格，而该 格已填了数，那末就改 走到原方格的下面一个 方格。
axbyc13穷举查找14穷举查找15穷举查找分配问题n个任务分配给n个人任务j分配给人i的成本是cij16小结蛮力法是一种简单直接地解决问题的方法通常直接基于问题的描述和所涉及的概念定义
算法分析与设计
Analysis and Design of Computer Algorithms
第三章 蛮力法 Brute Force
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习题3.4-10
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直线方程：ax+by=c a=y2-y1 , b=x1-x2, c=x1y2-y1x2
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旅行商问题
穷举查找
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背包问题
穷举查找
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穷举查找
分配问题
N个任务分配给n个人，任务j分配给人i的成本是C[I,j]
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小结
蛮力法是一种简单直接地解决问题的方法，通常 直接基于问题的描述和所涉及的概念定义。
算法 解决问题的实例很少时，它让你花费较少的代
价 可以解决一些小规模的问题 可以作为其他高效算法的衡量标准
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教学内容