并且具有连续性特征.典型的连续优化问题包含无约束优
非线性规划
1. 非线性规划我们讨论过线性规划,其目标函数和约束条件都是自变量的线性函数。
如果目标函数是非线性函数或至少有一个约束条件是非线性等式(不等式),则这一类数学规划就称为非线性规划。
在科学管理和其他领域中，很多实际问题可以归结为线性规划，但还有另一些问题属于非线性规划。
由于非线性规划含有深刻的背景和丰富的内容，已发展为运筹学的重要分支，并且在最优设计,管理科学,风险管理,系统控制,求解均衡模型,以及数据拟合等领域得到越来越广泛的应用。
非线性规划的研究始于三十年代末,是由W.卡鲁什首次进行的，40年代后期进入系统研究，1951年.库恩和.塔克提出带约束条件非线性规划最优化的判别条件,从而奠定了非线性规划的理论基础,后来在理论研究和实用算法方面都有很大的发展。
非线性规划求解方法可分为无约束问题和带约束问题来讨论，前者实际上就是多元函数的极值问题，是后一问题的基础。
无约束问题的求解方法有最陡下降法、共轭梯度法、变尺度法和鲍威尔直接法等。
关于带约束非线性规划的情况比较复杂，因为在迭代过程中除了要使目标函数下降外，还要考虑近似解的可行性。
总的原则是设法将约束问题化为无约束问题；把非线性问题化为线性问题从而使复杂问题简单化。
求解方法有可行方向法、约束集法、制约函数法、简约梯度法、约束变尺度法、二次规划法等。
虽然这些方法都有较好的效果，但是尚未找到可以用于解决所有非线性规划的统一算法。
非线性规划举例[库存管理问题] 考虑首都名酒专卖商店关于啤酒库存的年管理策略。
假设该商店啤酒的年销售量为A 箱,每箱啤酒的平均库存成本为H 元,每次订货成本都为F 元。
如果补货方式是可以在瞬间完成的,那么为了降低年库存管理费用,商店必须决定每年需要定多少次货,以及每次订货量。
我们以Q 表示每次定货数量,那么年定货次数可以为QA,年订货成本为Q A F ⨯。
由于平均库存量为2Q,所以,年持有成本为2Q H ⨯,年库存成本可以表示为:Q HQ A F Q C ⨯+⨯=2)( 将它表示为数学规划问题:min Q H Q A F Q C ⋅+⋅=2)( ..t s 0≥Q其中Q 为决策变量,因为目标函数是非线性的,约束条件是非负约束,所以这是带约束条件的非线性规划问题。
无约束问题的最优性条件
一阶必要条件的表述
若$x^*$是无约束问题的局部最 优解，则$x^*$处的梯度$nabla f(x^*)=0$。这意味着在最优解处， 目标函数的梯度向量必须为零向 量。
几何解释
一阶必要条件可以理解为，在最 优解处，目标函数的等值面（或 曲线）与任意方向的切线（或切 面）都相切，即没有下降方向。
一阶充分条件
04 二阶最优性条件
二阶必要条件
二阶导数矩阵半正定
在最优解处，目标函数的二阶导数矩阵（即海森矩阵）必须是半正定 的，这意味着对于所有非零向量，海森矩阵与其的乘积至少为零。
梯度为零
同时，目标函数在最优解处的梯度必须为零，这是一阶必 要条件的补充。
约束条件
对于约束优化问题，还需要考虑约束条件的二阶影响。在最优 解处，积极约束的拉格朗日乘子应满足相应的二阶条件。
06 最优性条件的应用举例
线性规划的最优性条件
可行域
线性规划问题的可行域是由线性约束条 件所围成的凸多边形区域。
最优解
在可行域中，使目标函数达到最小 （或最大）值的可行解。
基本可行解
满足所有约束条件的解，且所有非基 变量都取值为0的解。
最优性条件
对于线性规划问题，当且仅当所有非 基变量对应的检验数都小于等于0时， 基本可行解才是最优解。
一阶充分条件的表述
若目标函数$f(x)$在$x^*$处可微，且存在某个正数$alpha$，使得对于所有满足$||d||=1$的 方向$d$，都有$nabla f(x^*)^Td ge alpha$，则$x^*$是无约束问题的严格局部最优解。
几何解释与意义
一阶充分条件表明，在最优解处，不仅梯度为零向量，而且目标函数在最优解附近具有“凸 性”，即对于任意方向$d$，目标函数在$x^*$处的方向导数都大于零。这保证了最优解的 唯一性和全局最优性。
优化设计的概念和原理
优化设计的概念和原理优化设计的概念和原则概念1前言对于任何设计者来说，其目的都是为了制定最优的设计方案，使所设计的产品或工程设施具有最佳的性能和最低的材料消耗和制造成本，以获得最佳的经济效益和社会效益。
因此，在实际设计中，科技人员往往会先提出几种不同的方案，并通过比较分析来选择最佳方案。
然而，在现实中，由于资金限制，选定的候选方案的数量往往非常有限。
因此，迫切需要一种科学有效的数学方法，于是“优化设计”理论应运而生。
优化设计是在计算机广泛应用的基础上发展起来的新技术。
这是一种现代设计方法，它根据优化原理和方法将各种因素结合起来，在计算机上以人机合作或“自动探索”的方式进行半自动或自动设计，以选择现有工程条件下的最佳设计方案。
其设计原则是优化设计:设计手段是电子计算机和计算程序；设计方法是采用最优化数学方法。
本文将简要介绍优化设计中常用的概念，如设计变量、目标函数、约束条件等。
2设计变量设计变量是独立参数，必须在设计过程的最终选择中确定它们是选择过程中的变量，但是一旦确定了变量，设计对象就完全确定了。
优化设计是研究如何合理优化这些设计变量值的现代设计方法。
机械设计中常用的独立参数包括结构的整体构型尺寸、部件的几何尺寸和材料的机械物理性能等。
在这些参数中，根据设计要求可以预先给出的不是设计变量，而是设计常数。
最简单的设计变量是元件尺寸，例如杆元件的长度、横截面积、弯曲元件的惯性矩、板元件的厚度等。
3目标函数目标函数是设计中要达到的目标在优化设计中，所追求的设计目标(最优指标)可以用设计变量的函数来表示。
这个过程被称为建立目标函数。
一般目标函数表示为f(x)=f(xl，xZ，？，x)此功能代表设计的最重要特征，如设计组件的性能、质量或体积以及成本。
最常见的情况是使用质量作为一个函数，因为质量的大小是最容易量化的价值度量。
尽管费用具有更大的实际重要性，但通常需要有足够的数据来构成费用的目标函数。
目标函数是设计变量的标量函数。
最优化第一次作业
无约束优化算法最优化课程作业（一）姓名：丁敏学号：31130510012014/6/24一、无约束优化算法无约束优化计算方法是数值计算领域中十分活跃的研究课题。
快速地求解无约束优化问题已经成为当今的焦点，除了其自身的重要性外，还由于目前求解约束优化问题的基本思想之一就是把约束问题变换为一系列无约束子问题进行求解。
因此，无约束优化算法的求解效率将直接影响到约束问题的求解，尤其是在大规模优化问题中。
所以，对无约束优化算法的研究具有重要的理论意义和实际价值。
无约束优化问题，是指优化问题的可行集为n R ，无约束的标准形式（1-1）为：R R f x f n→:)(m i n求解无约束优化问题时将会涉及到以下概念：(1) 驻点、鞍点：若f (x )在点x*处可微，并且0f (x*)∇=，则称x*为f (x )的一个驻点(或者平稳点)。
既不是极小点，也不是极大点的驻点称为鞍点。
(2) 全局最优解：若n x*Z,x R ∈∀∈均有f (x )f (x*)≥，则称x*为问题(1-1)的全局 最优解(3) 局部最优解：若*x D ∈且存在0δ>使得()()()**f x f x ,x DN x δ≥∀∈则称x*为问题(1-1)的一个局部最优解（极小点）；若*x D ∈且存在0δ>使得()()()**f x f x ,x DN x δ≤∀∈则称x*为问题(1-1)的一个局部最优解（极大点）；当目标函数 f ( x )为凸函数时，我们认为全局最优解即是局部最优解，然而，通常寻求全局最优解并不容易。
因此，在非线性优化中我们认为局部最优解即为所求。
无约束优化算法可以分为两大类: 一类是借助目标函数的导数信息来构造下降的搜索方向。
另一类是由目标函数值信息直接搜索求解的方法。
本文章重点介绍最速下降法，阻尼牛顿法以及共轭梯度法。
二、最速下降法1、最速下降法思想经典最速下降法是由 Cauchy 于 1847 年提出的，Forsythe 和 Motzkin 在 1951 年对它做了初步的分析。
自洽 解析 数值-概述说明以及解释
自洽解析数值-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述部分的内容应该对自洽以及解析数值的概念进行简要介绍。
概述部分：自洽是一种重要的数值分析技术，用于解决复杂系统的数值模拟和计算问题。
它是指在一个系统中，各个部分之间的各种关系和条件都能够得到满足和保持一致，从而使系统的计算结果更加准确和可靠。
解析数值方法是一种应用于数学和物理问题的数值计算方法，通过将问题转化为一系列代数或微分方程，通过数值求解这些方程获得问题的解。
这种方法结合了解析方法和数值计算方法的优点，既能够保持问题的解析性质，又能够利用计算机进行高效的数值计算。
本文将从自洽的概念和解析方法两个方面对数值进行深入的探讨和解析。
首先，我们将介绍自洽的概念，包括它的定义、特点和应用领域。
然后，我们将详细介绍解析方法，包括常用的解析数值方法和算法，以及它们的原理和应用。
通过对自洽和解析数值方法的研究和分析，我们可以更好地理解和应用这些方法，提高数值分析的精度和效率。
同时，我们也可以展望自洽和解析数值方法在未来的应用前景，探讨它们在各个领域中的潜在价值和发展方向。
总之，本文旨在深入探讨自洽和解析数值方法的原理和应用，通过对这些方法的分析和研究，进一步提高数值计算的准确性和可靠性。
这对于促进数值分析领域的发展和推动相关领域的科学研究具有重要意义。
1.2 文章结构文章结构是指文章整体的组织和布局方式，旨在使读者能够更好地理解文章的内容和逻辑关系。
在本文中，文章结构分为引言、正文和结论三个部分。
引言部分（1.1-1.3）主要对文章的背景、目的和大纲进行介绍。
其中概述部分（1.1）简要概括了本文要讨论的主题：自洽解析数值。
文章结构的介绍（1.2）则是本节的重点内容，它将详细阐述本文的整体组织方式，以及每个部分的主要内容和目标。
最后，目的部分（1.3）说明了本文的写作目的，即为了解析和探讨自洽解析数值的重要性及其应用前景。
接下来是正文部分（2.1-2.2），它是文章的核心部分，主要介绍自洽的概念和解析方法。
第四章无约束优化方法
解： (1) 第一个搜索方向
对称正定
(0) (3) 从 X1 点沿S1方向求极小点x(1)，即 点沿S 方向求极小点x
17
例
(0) 方向一维搜索求得该方向极小点x (4) 任取另初始点 x2 = 沿S1方向一维搜索求得该方向极小点 (2)
1 1
X(2)= 0.5 (5) 求与 1相共轭的方向 2 求与S 相共轭的方向S S2 =X(2)-X(1)=
x2
X(0)→X0
(1) (1) X1
终止准则: 终止准则:
( ( Xnk) − X0k) ≤ε
(2) X1
(1) (2) X2 →X0
(2) X2 →X0
(3)
( X* ←Xnk)
上式点距准则中的 两点应是一轮 轮 换 法 的 流 程 图
k Xi(−1)
Xi(k)
以最优步长原则确定α 以最优步长原则确定 2，即极小化
按最优步长原则确定步长α 按最优步长原则确定步长 1，即极小化
此问题可用某种一维优化方法求出α 此问题可用某种一维优化方法求出 1。 在这里， 在这里，我们暂且借用微分学求导解出 令其一阶导数为零， ，令其一阶导数为零，α1=5
得α2=4.5， ，
正定
10
4.2
鲍威尔(Powell)法 鲍威尔(Powell)法 (Powell)
鲍威尔法是直接搜索法中一个十分有效的算法。 鲍威尔法是直接搜索法中一个十分有效的算法。该算法是沿着 逐步产生的共轭方向进行搜索的，因此本质上是一种 共轭方向进行搜索的 本质上是一种共轭方向 逐步产生的共轭方向进行搜索的，因此本质上是一种共轭方向 鲍威尔法的收敛速率较快。 法，鲍威尔法的收敛速率较快。 以共轭方向作为搜索方向，不只限于鲍威尔法， 以共轭方向作为搜索方向，不只限于鲍威尔法，也用于其他一 共轭方向法。 些较为有效的方法，可以统称为共轭方向法 因此， 些较为有效的方法，可以统称为共轭方向法。因此，共轭方向 的概念在优化方法研究中占有重要的地位。 的概念在优化方法研究中占有重要的地位。 共轭方向在最优化问题中的应用是基于其具有一个重要性质， 共轭方向在最优化问题中的应用是基于其具有一个重要性质， 重要性质 个互相共轭的向量， 即：设 S1、S2、…、Sn是关于A的n个互相共轭的向量，则对于 、 是关于A 1 T 的极小点， 求正定二次函数 F ( X ) = c + bT X + X AX 的极小点，从任意初始 2…，n)方向进行一维最优化搜 点出发，依次沿S i=1， 点出发，依次沿Si （i=1，2， ，n)方向进行一维最优化搜 至多n步便可以收敛到极小点． 索，至多n步便可以收敛到极小点．
连续优化、离散优化、组合优化与整数优化
连续优化、离散优化、组合优化与整数优化最优化问题（optimization problem）⾃然地分成两类：⼀类是连续变量的问题，称为连续优化问题；另⼀类是离散变量的问题，称为离散优化问题。
1. 连续优化（continuous optimization）连续优化是求解连续优化是求解在连续变量的问题，其⼀般地是求⼀组实数，或者⼀个函数。
离散优化（discrete optimization）2. 离散优化连续优化是求解离散变量的问题，是从⼀个⽆限集或者可数⽆限集⾥寻找⼀个对象，典型地是⼀个整数，⼀个集合，⼀个排列，或者⼀个图。
3. 组合优化（combinatorial optimization）组合优化问题的⽬标是从组合问题的可⾏解集中求出最优解，通常可描述为：令Ω={s1，s2，…，sn}为所有状态构成的解空间，C(si)为状态si对应的⽬标函数值，要求寻找最优解s*，使得对于所有的si∈Ω，有C(s*)=minC(si)。
组合优化往往涉及排序、分类、筛选等问题，它是运筹学的⼀个重要分⽀。
典型的组合优化问题有旅⾏商问题（Traveling Salesman Problem－TSP）、加⼯调度问题（Scheduling Problem，如Flow-Shop，Job-Shop）、0-1背包问题（Knapsack Problem）、装箱问题（Bin Packing Problem）、图着⾊问题（Graph Coloring Problem）、聚类问题（Clustering Problem）等。
这些问题描述⾮常简单，并且有很强的⼯程代表性，但最优化求解很困难，其主要原因是求解这些问题的算法需要极长的运⾏时间与极⼤的存储空间，以致根本不可能在现有计算机上实现，即所谓的“组合爆炸”。
正是这些问题的代表性和复杂性激起了⼈们对组合优化理论与算法的研究兴趣。
4. 整数优化（integer programming, IP）要求所有的未知量都为整数的线性规划问题叫做整数规划 (integer programming, IP) 或整数线性规划 (integer linear programming, ILP) 问题。
数学中的最优化理论
数学中的最优化理论最优化理论作为数学中一个重要的分支，其目的是寻找在给定条件下能够使某一函数取得最优值的变量取值。
最优化问题广泛应用于工程、经济、计算机科学等领域，对于提高效率、降低成本具有重要意义。
本文将对最优化理论的基本概念、常见方法和应用进行介绍。
一、最优化理论的基本概念最优化问题可以归结为如下形式：$$\min_{x \in D} f(x)$$其中，$D$是定义域，$f(x)$是目标函数。
最优化问题分为约束优化和无约束优化两类。
在约束优化问题中，目标函数的取值需要满足一定的条件。
无约束优化问题则没有这样的限制条件。
在求解最优化问题时，我们需要找到一个使目标函数值最小的变量取值。
这个变量取值被称为最优解，对应的目标函数值被称为最优值。
最优解的存在性和唯一性是最优化问题的重要性质，而最优化理论研究的就是如何找到最优解。
二、最优化问题的常见求解方法1. 数学分析方法数学分析方法主要通过对目标函数进行求导以及对约束条件进行分析，来得到最优解。
这种方法通常适用于目标函数和约束条件具有良好的可导性质的情况。
通过求解一阶导数为零的方程组，可以得到最优解的可能取值。
然后通过二阶导数的符号来判断这些取值是最大值还是最小值。
2. 梯度下降法梯度下降法是一种常用的优化方法，特别适用于目标函数为凸函数的情况。
其基本思想是通过不断朝着函数梯度的负方向迭代，直到找到最小值或达到预设的停止条件。
梯度下降法的优势在于可以处理大规模问题，并且不需要求解函数的导数。
然而，梯度下降法可能陷入局部最优解，因此在实际应用中需要谨慎选择初始点和调整学习率。
3. 线性规划法线性规划是一种特殊的最优化问题，其目标函数和约束条件均为线性函数。
线性规划问题具有良好的可解性，并且有高效的算法可以求解。
最著名的线性规划方法是单纯形法，它通过不断沿着可行解空间中的边界移动，寻找最优解。
此外，整数规划、二次规划等也是常见的最优化问题，各自有不同的求解方法。
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(除非有特别说明，否则将采用欧氏范数 x = x x. 附录 A 对本书中用到的数学记号和 术语进行了详细介绍.)
3
向量 x∗ 被称为是 f 的一个 无约束的全局最小值点，是指该点的函数值不大于其他 所有点的函数值，即满足
f (x∗) f (x), ∀ x ∈ n. 无约束优化问题的局部或者全局最小值点 x∗ 被称作是 严格的，如果相应的不等式 对于 x = x∗ 都是严格成立的. 图 1.1.1 给出以上定义的图示.
在本章中，我们首先考虑如下的非线性规划问题 (其中 X = n)
minimize f (x) subject to x ∈ n.
(UP)
在后面的章节中，我们将研究 X 是 n 的子集的优化问题，其中 X 可由等式和不等式约 束给出，在大多数情况下，假定 f 是一个连续可微的函数，并且是二阶连续可微的，f 的 一阶和二阶导数在最优解的特征，即充分必要条件中发挥了重要作用，这是 1.1 节的主要 内容. 一阶和二阶导数对于计算近似最优解也是非常重要的，1.2 节～ 1.8 节将讨论这方 面的若干算法和理论.1.9 节将前几节的方法运用到了求解含有离散时间动态系统的最优 控制问题中. 虽然本章主要研究的是无约束优化问题，但是本章的内容的很多思想也是全 书其余内容的重要基础.
本书重点研究非线性规划问题的连续性特性以及相应的数学分析方法，然而，我们也 会涉及存在某些离散特性的问题. 我们将会对线性规划与非线性规划的联系进行讨论，比 如内点法和多面体的凸性 (见 2.5 节、2.6 节、4.1 节、4.4 节、B.3 节和 B.4 节).2.1 节和 5.5 节将对网络优化问题的连续特性和离散特性进行讨论 (对此类问题的更加深入的讨论 请参见本书作者网络优化专著 [Ber98]). 最后，将对求解整数规划和组合优化的主要方法 进行讨论，比如分枝定界方法和拉格朗日松弛方法，这些方法依赖于对偶性质以及连续优 化子问题的解 (见 5.5 节和 6.3 节).
非线性规划 是指目标函数 f 是非线性函数，或者约束集 X 是由非线性的等式和不 等式给定的优化问题. 这种问题属于连续优化问题. 一些其他优化问题，虽然也有各自的 特点，但是往往与非线性规划问题具有密切的关系.
线性规划 问题是指 f 是线性函数，并且 X 是由线性不等式约束给定的多面体的一类 优化问题. 这种问题具有连续优化问题的很多特性，同时它还具有组合优化的结构特性： 根据多面体表示的基本定理 [附录 B 命题 B.21(d)]，线性规划的最优解可以在多面体 X 的某个极点 (极点数目是有限的) 上取得. 因此，寻找最优解的过程是在某个有限集中进 行搜索. 实际上，最流行的线性规划问题的求解方法，即单纯形方法，就是基于这种思想 设计的. 然而，我们也注意到其他重要的线性规划的方法，比如内点法 (将在 2.6 节,4.1 节
2
以及 4.2 节中讨论) 和第 5 章、第 6 章中的其他一些对偶方法，都是基于线性规划的连续 结构和非线性规划的思想提出的.
另一类同时具有连续优化问题和离散优化问题特点的优化问题是 网络优化问题. 该类 问题的约束集 X 是由包含节点和有向弧的图定义的 n 中的多面体. 该约束集的明显特征 是其极点都具有 整数分量，而这对于通常的多面体是不成立的. 因此，很多重要的组合优 化或者整数规划问题，比如匹配问题和最短路径问题，都可以利用连续网络优化的方法求解.
最优化问题的数学模型一般可以用 约束集X 和 目标函数f 进行表示. 集合 X 包含 所有可用的决策 x，函数 f (x) 将 X 的元素映射到实数集上，表示决策 x 带来的成本损 失. 我们试图寻找一个最优的决策，即 x∗ ∈ X，并且满足
f (x∗) f (x), ∀ x ∈ X.
本书假定 x 是一个 n 维向量，即 x 是一个由实数构成的 n 元数组 (x1, · · · , xn)，因此约 束集 X 是 n 维欧氏空间 n 的子集.
局部和全局的 最大值点 的定义也是类似的，即如果 x∗ 是 −f 的无约束局部 (全局) 最小值点，那么 x∗ 是 f 的无约束局部 (全局) 最大值点.
1.1 最优性条件
虽然下面对非线性规划的最优性条件的证明比较复杂，但是其主要思想是比较容易 理解的. 因此，在这一节中，我们首先简要地对最优性条件的主要思想进行阐述，然后在 下一节再给出严格的结论及其证明.
局部最小值点与全局最小值点
向量 x∗ 被称为是 f 的一个 无约束局部最小值点，是指该点处的函数值不大于其邻 域内所有点的函数值，即存在 ε > 0 满足
离散优化问题就是非连续问题，通常其约束集 X 是有限集. 典型的离散优化问题包 含调度、路径规划以及匹配问题. 一类重要的离散问题是 整数规划，在这种问题中约束集 的变量的取值是某一范围内的整数 (比如 0 或者 1). 离散优化问题一般利用组合数学和 离散数学进行分析，同时会利用一些特殊的方法以及一些和连续优化问题相关的方法.
最优化问题是非常广泛的，包含了很多具有不同结构的重要问题. 本书主要研究非线 性规划问题. 我们将提供处理这些问题的方法，并讨论这些问题与其他优化问题之间的 联系.
最优化问题可以被分为 连续优化问题 和 离散优化问题. 连续优化问题中，约束集 X 包含无穷多个元素，并且具有“连续性”特征. 典型的连续优化问题包含无约束优化问 题，即 X = n，以及 X 是被某些等式和不等式限定的约束优化问题. 一般而言，可利用 微积分和凸函数性质来分析连续优化问题.
图 1.1.1 一维函数无约束优化问题的局部与全局最小值点.
局部和全局最小值点的定义还可以扩展到当 f 是定义在 n 的子集 X 上的函数的情 况. 即 x∗ 是 f 在 X 上的一个局部最小点值，如果 x∗ ∈ X 并且存在 ε > 0，对于所有满 足 x − x∗ < ε 的 x ∈ X，都有 f (x∗) f (x). 对于 f 在 X 上的全局最小值点和严格最 小值点的定义可以类似地给出.