十年高考分类江苏高考数学试卷精校版含详解1集合部分

十年高考分类江苏高考数学试卷精校版含详解1集合部分
一、选择题（共3小题；共15分）
1. 设集合A={1,2}，B={1,2,3}，C={2,3,4}，则(A∩B)∪C=( )
A. {1,2,3}
B. {1,2,4}
C. {2,3,4}
D. {1,2,3,4}
2. 已知全集U=Z，A={−1,0,1,2}，B={x∣ x2=x}，则A∩∁U B为( )
A. {−1,2}
B. {−1,0}
C. {0,1}
D. {1,2}
3. 若A，B，C为三个集合，A∪B=B∩C，则一定有( )
A. A⊆C
B. C⊆A
C. A≠C
D. A=∅
二、填空题（共10小题；共50分）
4. 已知集合A={−1,2,3,6}，B={x∣ −2<x<3}，则A∩B=．
5. 已知集合A={−2,−1,3,4}，B={−1,2,3}，则A∩B=．
6. 集合{−1,0,1}共有个子集．
7. 已知集合A={−1,1,2,4}，B={−1,0,2}，则A∩B=．
8. 已知集合A={1,2,4}，B={2,4,6}，则A∪B=．
9. 设集合A={x∣(x−1)2<3x+7,x∈R}，则集合A∩Z中有个元素．
10. 设集合A={−1,1,3}，B={a+2,a2+4}，A∩B={3}，则实数a = ．
11. 已知集合A={x∣log2x≤2}，B=(−∞,a)，若A⊆B，则实数a的取值范围是(c,+∞)，其
中c=．
12. 已知集合A={1,2}，B={a,a2+3}．若A∩B={1}，则实数a的值为．
13. 设集合A={(x,y)∣ m
2
≤(x−2)2+y2≤m2,x,y∈R}，B={(x,y)∣ 2m≤x+y≤2m+1,x,y∈R}，若A∩B≠∅，则实数m的取值范围是．
三、解答题（共2小题；共26分）
14. 设集合P n={1,2,⋯,n}，n∈N∗．记f(n)为同时满足下列条件的集合A的个数：①A⊆P n；②
若x∈A，则2x∉A；③若x∈∁P
n A，则2x∉∁P
n
A．
（1）求f(4)；
（2）求f(n)的解析式（用n表示）．
15. 记U={1,2,⋯,100}．对数列{a n}（n∈N∗）和U的子集T，若T=∅，定义S T=0；
若T={t1,t2,⋯,t k}，定义S T=a t
1+a t
2
+⋯+a t
k
．例如：T={1,3,66}时，S T=a1+a3+
a66．
现设{a n}（n∈N∗）是公比为3的等比数列，且当T={2,4}时，S T=30．（1）求{a n}的通项公式；
（2）对任意正整数k（1≤k≤100），若T⊆{1,2,⋯,k}，求证：S T<a k+1；（3）设C⊆U，D⊆U，S C≥S D，求证：S C+S C∩D≥2S D．
答案
第一部分
1. D 【解析】因为A∩B={1,2}，所以(A∩B)∪C={1,2,3,4}．
2. A
3. A
第二部分
4. {−1,2}
【解析】由交集的定义可得A∩B={−1,2}．
5. {−1,3}
6. 8
7. {−1,2}
8. {1,2,4,6}
9. 6
【解析】集合A={x∣x2−5x−6<0}={x∣−1<x<6}，所以A∩Z的元素的个数为6．
10. 1
11. 4
12. 1
13. [1
2
,2+√2]
【解析】因为A∩B≠∅，所以A≠∅，则
m2≥m 2 ,
即
m≥1
2或m≤0;
显然B≠∅．
因为圆(x−2)2+y2=m2(m≠0)与直线x+y=2m或x+y=2m+1有交点时，需
√2≤∣m∣
√2
≤∣m∣,
所以
2−√2
2
≤m≤2+√2,
①当m<0时，圆(x−2)2+y2=m2与x+y=2m和x+y=2m+1均没有交点，且圆(x−
2)2+y2=m2在直线x+y=2m和x+y=2m+1的同侧，此时A∩B=∅；
②当m=0时，点(2,0)不在0≤x+y≤1内，此时A∩B=∅．
③当1
2
≤m≤2+√2时，圆(x−2)2+y2=m2与直线x+y=2m或x+y=2m+1有交点，此时A∩B≠∅；
④当m>2+√2时，圆(x−2)2+y2=m2与x+y=2m和x+y=2m+1均没有交点，且圆(x−2)2+y2=m2在直线x+y=2m和x+y=2m+1的同侧，此时A∩B=∅．
综上所述，满足条件的m的取值范围为[1
2
,2+√2]．
第三部分
14. （1） 当 n =4 时，P 4={1,2,3,4}，符合条件的集合 A 为 {2}，{1,4}，{2,3}，{1,3,4}，故 f (4)=4．
（2） 任取偶数 x ∈P n ，将 x 除以 2，若商仍为偶数，再除以 2⋯，经过 k 次以后，商必为奇数，此时记商为 m ，
于是 x =m ⋅2k ，其中 m 为奇数，k ∈N ∗．由条件知， 若 m ∈A ，则 x ∈A ⇔k 为偶数；
若 m ∉A ，则 x ∈A ⇔k 为奇数．
于是 x 是否属于 A 由 m 是否属于 A 确定．
设 Q n 是 P n 中所有奇数的集合，因此 f (n ) 等于 Q n 的子集个数． 当 n 为偶数（或奇数）时，P n 中奇数的个数是 n 2（或 n+12）， 所以
f (n )={2n 2,n 为偶数,2n+12,n 为奇数.
15. （1） 当 T ={2,4} 时，S T =a 2+a 4=a 2+9a 2=30， 解得 a 2=3，从而 a 1=
a 23=1，a n =3n−1．
（2）
S T ≤a 1+a 2+⋯+a k
=1+3+32+⋯+3k−1=3k −12<3k =a k+1.
（3） 设 A =∁C (C ∩D )，B =∁D (C ∩D )，则 A ∩B =∅， S C =S A +S C∩D ，S D =S B +S C∩D ，
S C +S C∩D −2S D =S A −2S B ，因此原题就等价于证明 S A ≥2S B ． 由条件 S C ≥S D ，可知 S A ≥S B ．
① 若 B =∅，则 S B =0，所以 S A ≥2S B ．
② 若 B ≠∅，由 S A ≥S B 可知 A ≠∅．
设 A 中最大元素为 l ，B 中最大元素为 m ．
若 m ≥l +1，则由第（2）小题，S A <a l+1≤a m ≤S B ，矛盾． 因为 A ∩B =∅，所以 l ≠m ，所以 l ≥m +1，
S B ≤a 1+a 2+⋯+a m
=1+3+32+⋯+3m−1
=3m −12<a m+12≤a l ≤S A , 即 S A >2S B ．
综上所述，S A ≥2S B ，因此 S C +S C∩D ≥2S D ．。