十年高考分类江苏高考数学试卷精校版含详解1集合部分
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十年高考分类江苏高考数学试卷精校版含详解1集合部分
一、选择题(共3小题;共15分)
1. 设集合A={1,2},B={1,2,3},C={2,3,4},则(A∩B)∪C=( )
A. {1,2,3}
B. {1,2,4}
C. {2,3,4}
D. {1,2,3,4}
2. 已知全集U=Z,A={−1,0,1,2},B={x∣ x2=x},则A∩∁U B为( )
A. {−1,2}
B. {−1,0}
C. {0,1}
D. {1,2}
3. 若A,B,C为三个集合,A∪B=B∩C,则一定有( )
A. A⊆C
B. C⊆A
C. A≠C
D. A=∅
二、填空题(共10小题;共50分)
4. 已知集合A={−1,2,3,6},B={x∣ −2 5. 已知集合A={−2,−1,3,4},B={−1,2,3},则A∩B=. 6. 集合{−1,0,1}共有个子集. 7. 已知集合A={−1,1,2,4},B={−1,0,2},则A∩B=. 8. 已知集合A={1,2,4},B={2,4,6},则A∪B=. 9. 设集合A={x∣(x−1)2<3x+7,x∈R},则集合A∩Z中有个元素. 10. 设集合A={−1,1,3},B={a+2,a2+4},A∩B={3},则实数a = . 11. 已知集合A={x∣log2x≤2},B=(−∞,a),若A⊆B,则实数a的取值范围是(c,+∞),其 中c=. 12. 已知集合A={1,2},B={a,a2+3}.若A∩B={1},则实数a的值为. 13. 设集合A={(x,y)∣ m 2 ≤(x−2)2+y2≤m2,x,y∈R},B={(x,y)∣ 2m≤x+y≤2m+1,x,y∈R},若A∩B≠∅,则实数m的取值范围是. 三、解答题(共2小题;共26分) 14. 设集合P n={1,2,⋯,n},n∈N∗.记f(n)为同时满足下列条件的集合A的个数:①A⊆P n;② 若x∈A,则2x∉A;③若x∈∁P n A,则2x∉∁P n A. (1)求f(4); (2)求f(n)的解析式(用n表示). 15. 记U={1,2,⋯,100}.对数列{a n}(n∈N∗)和U的子集T,若T=∅,定义S T=0; 若T={t1,t2,⋯,t k},定义S T=a t 1+a t 2 +⋯+a t k .例如:T={1,3,66}时,S T=a1+a3+ a66. 现设{a n}(n∈N∗)是公比为3的等比数列,且当T={2,4}时,S T=30.(1)求{a n}的通项公式; (2)对任意正整数k(1≤k≤100),若T⊆{1,2,⋯,k},求证:S T 答案 第一部分 1. D 【解析】因为A∩B={1,2},所以(A∩B)∪C={1,2,3,4}. 2. A 3. A 第二部分 4. {−1,2} 【解析】由交集的定义可得A∩B={−1,2}. 5. {−1,3} 6. 8 7. {−1,2} 8. {1,2,4,6} 9. 6 【解析】集合A={x∣x2−5x−6<0}={x∣−1 10. 1 11. 4 12. 1 13. [1 2 ,2+√2] 【解析】因为A∩B≠∅,所以A≠∅,则 m2≥m 2 , 即 m≥1 2或m≤0; 显然B≠∅. 因为圆(x−2)2+y2=m2(m≠0)与直线x+y=2m或x+y=2m+1有交点时,需 √2≤∣m∣ √2 ≤∣m∣, 所以 2−√2 2 ≤m≤2+√2, ①当m<0时,圆(x−2)2+y2=m2与x+y=2m和x+y=2m+1均没有交点,且圆(x− 2)2+y2=m2在直线x+y=2m和x+y=2m+1的同侧,此时A∩B=∅; ②当m=0时,点(2,0)不在0≤x+y≤1内,此时A∩B=∅. ③当1 2 ≤m≤2+√2时,圆(x−2)2+y2=m2与直线x+y=2m或x+y=2m+1有交点,此时A∩B≠∅; ④当m>2+√2时,圆(x−2)2+y2=m2与x+y=2m和x+y=2m+1均没有交点,且圆(x−2)2+y2=m2在直线x+y=2m和x+y=2m+1的同侧,此时A∩B=∅. 综上所述,满足条件的m的取值范围为[1 2 ,2+√2]. 第三部分 14. (1) 当 n =4 时,P 4={1,2,3,4},符合条件的集合 A 为 {2},{1,4},{2,3},{1,3,4},故 f (4)=4. (2) 任取偶数 x ∈P n ,将 x 除以 2,若商仍为偶数,再除以 2⋯,经过 k 次以后,商必为奇数,此时记商为 m , 于是 x =m ⋅2k ,其中 m 为奇数,k ∈N ∗.由条件知, 若 m ∈A ,则 x ∈A ⇔k 为偶数; 若 m ∉A ,则 x ∈A ⇔k 为奇数. 于是 x 是否属于 A 由 m 是否属于 A 确定. 设 Q n 是 P n 中所有奇数的集合,因此 f (n ) 等于 Q n 的子集个数. 当 n 为偶数(或奇数)时,P n 中奇数的个数是 n 2(或 n+12), 所以 f (n )={2n 2,n 为偶数,2n+12,n 为奇数. 15. (1) 当 T ={2,4} 时,S T =a 2+a 4=a 2+9a 2=30, 解得 a 2=3,从而 a 1= a 23=1,a n =3n−1. (2) S T ≤a 1+a 2+⋯+a k =1+3+32+⋯+3k−1=3k −12<3k =a k+1. (3) 设 A =∁C (C ∩D ),B =∁D (C ∩D ),则 A ∩B =∅, S C =S A +S C∩D ,S D =S B +S C∩D , S C +S C∩D −2S D =S A −2S B ,因此原题就等价于证明 S A ≥2S B . 由条件 S C ≥S D ,可知 S A ≥S B . ① 若 B =∅,则 S B =0,所以 S A ≥2S B . ② 若 B ≠∅,由 S A ≥S B 可知 A ≠∅. 设 A 中最大元素为 l ,B 中最大元素为 m . 若 m ≥l +1,则由第(2)小题,S A S B ≤a 1+a 2+⋯+a m =1+3+32+⋯+3m−1 =3m −122S B . 综上所述,S A ≥2S B ,因此 S C +S C∩D ≥2S D .