第四章基本定理-41存在唯一性定理
解的存在唯一性定理2017-3-21
x
x0 x x0 h
12
因此, y ( x) 是积分方程在 x0 x x0 h 上的连续解.
2017/6/19
Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method
反之，如果 y ( x) 是 (3.1.6) 的连续解，则有：
x0 x
x
( x) y
n
0
x0
f ( , n1 ( ))d
14
2017/6/19
Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method
0 ( x) y0
y
1 ( x) y0 f ( ,0 ( ))d
0 ( x) [k ( x) k 1 ( x)] x0 x x0 h
k 1
为此，进行如下的估计，由逐步逼近序列(3.1.9)有:
n ( x) y0 f ( ,n1 ( ))d
x0
x x0
x
x0 h x x0 h
(3.1.12)
1 ( x) 0 ( x) f ( , 0 ( )) d M ( x x0 )
2 ( x) 1 ( x) f ( ,1 ( )) f ( , 0 ( )) d
x0 x
L 1 ( ) 0 ( ) d
x0
x
ML ( x x0 ) 2 L M ( x0 )d x0 2!
L n ( ) n1 ( ) d
( x) y0 f ( x, ( x))dx
x0
§51 存在唯一性定理
命题
4
设lim k
k
(t
)
(t
),
则 (t)是积分方程(5.8)在
a t b上的连续解.
命题 5 证明积分方程(5.8)在a t b上的连续解是
唯一的。
综合命题 1-5, 即得存在唯一性定理的证明.
23
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命题3( k(t)一致收敛性)证明
k
因为 k (t) 0 (t ) [ j (t) j1(t )], 所以 k(t )的收敛
(t
)
函 数
an1
(t
)
a12 (t ) a22 (t )
an2 (t)
a1n (t )
a2n
(t
)
aij (t ) nn
ann
(
t
)
向
f1(t)
量 值
f (t)
f
2
(
t
)
函
数
fn
(
t
)
x1
x
x2
xn
则方程组(5.1)可写成 x A(t)x f (t)
3
x1
19
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定理 1(存在唯一性定理) 设 A(t)是 n n 矩阵,
f (t)是n维列向量. 如果它们都在区间a t b上连
续, 则对于区间a t b上的任何数t0及任一常向量
1 ,2 , ,n T
方程组
x A(t)x f (t)
(5.4)
存在唯一解 (t), 定义于整个区间a t b, 且满足
函数列
a(k ij
)
(t
)
在区间a t b上是
收 敛 的 （ 一 致 收 敛 的 ） , 则 称 Ak (t) 在 区 间
第四章第1节(线性微分方程的一般理论)
d x d x dx a1 (t ) n1 an1 (t ) an (t ) x 0 (4.3) n dt dt dt
n 阶齐线性微分方程, 简称齐线性微分方程. 简称非齐线性 方程(4.1)称为n阶非齐线性微分方程， 微分方程. 通常把方程(4.3)称作对应于方程(4.1)的齐线性方程.
是否为(4.3)的通解？ Q2: 在什么条件下,表达式(4.4)能成为(4.3)的通解? 注：定理2说明, 齐线性方程组的所有解的集合构成 一个线性空间. Q3：此空间的维数是多少呢？
8
线性相关与线性无关的定义
a t b 上有定义， 如果存在不全为零的常数 c1 , c2 , , ck , 使得
13
函数组的Wronski 行列式的性质 定理3 若函数 x1 (t ), x2 (t ),, xn (t ) 在 a t b
上线性相关，则 W (t ) 0, t [a, b]. Corollary 若 t0 [a , b], s.t . W ( t0 ) 0, 则
x1 (t ), x2 (t ),, xn (t ) 在 [a, b] 线性无关.
设 x1 ( t ), x2 ( t ), , xk ( t ) 在
c1 x1 ( t ) c2 x2 (t ) ck xk (t ) 0, t [a , b],
则称这些函数是线性相关的， 否则就称这些函数 在所给的区间上线性无关.
c1 x1 ( t ) c2 x2 ( t ) ck xk ( t ) 0, t [a , b] c1 c2 ck 0
c1 x1 ( t0 ) c2 x2 ( t 0 ) cn xn ( t 0 ) x0 c1 x1 ( t0 ) c2 x2 ( t 0 ) cn xn ( t 0 ) x0 (4.9) ...................................................... c x ( n1) ( t ) c x ( n1) ( t ) c x ( n1) ( t ) x ( n1) . 0 2 2 0 n n 0 0 1 1
存在唯一性定理
注: 每一个 n 阶线性微分方程可化为 n 个一阶线性 微分方程构成的方程组, 反之却不成立. 如:
1 0 方程组 x x , 0 1
不能化为一个二阶微分方程.
x 5 y 7 x 6 y e t 例 将初值问题 y 2 y 13 y 15 x cos t x ( 0 ) 1 , x ( 0 ) 0 , y ( 0 ) 0 , y ( 0 ) 1
则(5.6)可化为一阶线性微分方
程组的初值问题:
x A( t )x f ( t ) . x( t0 ) η
(5.6)与(5.7)两者关系：
若已知 (t )是(5.6)的解, 则作向量函数
1 ( t ) ( t ) 2 ( t ) ( t ) φ( t ) , ( n1) ( t ) n ( t )
其中已知函数aij ( t ) 、f i ( t ) C [a , b], ( i , j 1,2, , n)
(5.1)
满足(5.1)每一个方程的一组函数 x1 ( t ), x2 ( t ) , xn ( t )
称为(5.1)的一个解.
设函数组 xi (t ) C[a, b], (i 1,2,, n), 且有：
故向量 u( t ) 是所给初值问题的解.
5. n 阶线性微分方程可化为一阶线性微分方程组 n阶线性微分方程的初值问题 x ( n ) a1 ( t ) x ( n1) an1 ( t ) x an ( t ) x f ( t ) , ( n1) x ( t ) , x ( t ) , , x ( t0 ) n 0 1 0 2 引进代换 x1 x , x2 x, x3 x ,, xn x ( n1) ,
存在唯一性定理证明
存在唯一性定理证明要证明存在唯一性定理，首先需要定义什么是“唯一性”。
在数学中，存在唯一性通常指的是在一些条件下，存在一个且仅存在一个对象满足这个条件。
我们来详细证明关于唯一性定理的一个例子。
假设我们要证明以下定理：对于任意一个正整数n，存在唯一的一个整数m，使得m和n互为相反数。
首先我们来证明存在性：对于任意一个正整数n，我们可以找到一个整数m，使得m和n互为相反数。
事实上，取m=-n，就可以满足这个条件。
因为两个数互为相反数意味着它们的和为零，所以m+n=-n+n=0，符合条件。
接下来我们来证明唯一性：假设存在两个不同的整数m1和m2，都满足和n互为相反数。
那么根据定义，有m1+n=0和m2+n=0。
将两个等式相减可得：m1-m2=0。
由此可知，m1和m2是相等的，也就是说不存在两个不同的整数满足这个条件。
因此，我们证明了对于任意一个正整数n，都存在唯一的一个整数m，使得m和n互为相反数。
在这个例子中，我们证明了存在唯一性定理的一个特例。
在实际数学证明中，存在唯一性定理有可能涉及到更加复杂的情况和更多的对象，但其证明思路和方法基本相似。
总结起来，证明存在唯一性定理的一般步骤如下：1.首先需要明确定义什么是“唯一性”。
2.先证明存在性，即找到至少一个对象满足条件。
3.再证明唯一性，即如果存在两个对象满足条件，则它们必须相等。
4.结合具体问题，使用数学思维和逻辑推理，进行严密的证明。
5.最后在证明过程中使用恰当的数学工具和方法，如数学公式、等式运算等，以增强可读性和严密性。
需要注意的是，证明存在唯一性定理是一个具有挑战性的过程，需要对问题有深入的认识和理解，并善于运用数学知识和技巧来完成证明过程。
同时，在证明中也要时刻保持逻辑的连贯性和严谨性，以确保证明的正确性。
向量基本定理证明
向量基本定理证明一、向量基本定理内容1. 平面向量基本定理- 如果e_1，e_2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ_1，λ_2，使a = λ_1e_1+λ_2e_2。
其中{e_1,e_2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底。
2. 空间向量基本定理- 如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x,y,z，使p = xa+yb + zc。
{a,b,c}叫做空间的一个基底。
二、平面向量基本定理的证明1. 存在性证明- 设e_1，e_2是同一平面内的两个不共线向量，a是这一平面内的任一向量。
- 过向量a的起点O作平行于e_1，e_2的直线，与e_1，e_2所在的直线分别交于A，B两点。
- 因为e_1≠0，设→OA=λ_1e_1，同理设→OB=λ_2e_2。
- 根据向量加法的平行四边形法则，a=→OA+→OB=λ_1e_1+λ_2e_2。
2. 唯一性证明- 假设a=λ_1e_1+λ_2e_2=μ_1e_1+μ_2e_2，其中λ_1,λ_2,μ_1,μ_2∈ R。
- 则(λ_1 - μ_1)e_1+(λ_2-μ_2)e_2 = 0。
- 因为e_1，e_2不共线，所以λ_1-μ_1 = 0且λ_2-μ_2 = 0，即λ_1=μ_1，λ_2=μ_2。
三、空间向量基本定理的证明1. 存在性证明- 设a，b，c是不共面的三个向量，p是空间任一向量。
- 把向量a，b，c，p的起点都移到同一点O。
- 过点P作直线PP_1平行于c，且与平面OAB交于点P_1。
- 在平面OAB内，过点P_1作直线P_1P_2平行于b，交OA于点P_2。
- 过点P_2作直线P_2P_3平行于a，交OB于点P_3。
- 设→OP_3=x a，→P_3P_2=y b，→P_2P_1=z c。
- 由向量加法的三角形法则可得p=→OP=→OP_3+→P_3P_2+→P_2P_1=xa + yb+zc。
唯一性定理
唯一性定理唯一性定理是数学中的重要定理之一，它指出了在某些条件下，特定类型的方程或问题只有唯一解。
唯一性定理最经典的形式是微分方程的唯一性定理，它在微积分和微分方程的研究中占据重要的地位。
微分方程是描述自然现象和物理规律的重要工具，通过对微分方程的求解，可以得到问题的解析解，从而更好地理解和预测现象。
然而，并不是所有的微分方程都能够得到解析解，有些方程可能只能通过数值方法进行求解。
因此，唯一性定理提供了一种重要的判据，用于确定方程是否有唯一解。
在微分方程的唯一性定理中，通常需要满足连续性和局部利普希茨条件。
连续性要求方程中的函数在某个区域内是连续的，这是非常基本的要求，因为连续性是数学分析中的重要概念。
局部利普希茨条件则要求方程中的函数在一定范围内具有有界的导数，这个条件保证了方程的解在某个区间内是唯一的。
微分方程的唯一性定理可以通过三个步骤来证明。
首先，需要利用泰勒级数展开将微分方程转化为一个无穷级数。
其次，需要证明无穷级数的解存在且唯一。
最后，通过局部利普希茨条件和连续性条件，得到解的存在范围。
除了微分方程的唯一性定理，数学中还有一些其他类型问题的唯一性定理。
例如，线性代数中的矩阵方程的唯一性定理，数论中的素因数分解的唯一性定理等等。
这些定理都有一个共同点，即在满足一定条件下，问题的解是唯一的。
唯一性定理在数学研究和应用中有着广泛的应用。
通过这些定理，我们可以确定问题是否存在唯一解，从而帮助我们深入研究和理解问题。
唯一性定理也经常被用于证明其他定理，深化了我们对数学的认识和理解。
总之，唯一性定理是数学中的一类重要定理，它指出了在满足特定条件下，方程或问题具有唯一解的情况。
微分方程的唯一性定理是其中最经典和重要的定理之一，它在微积分和微分方程的研究中扮演着重要的角色。
唯一性定理的应用广泛，帮助我们理解和解决各种数学问题，并进一步推动数学的发展。
唯一性定理除了在微分方程中应用广泛，还在其他数学领域中有重要的应用。
Banach空间中常微分方程解的存在与唯一性定理
Banach空间中常微分方程解的存在唯一性定理總婷婷(XX帅X学院数学与鋭计学院,XX,XX,741000)描要:在Banach空同中，常械分方程解的存在唯一性定理中力=｝，初值冋題的解y(f)的变量『在t o-h<t<t o+ht变化，把f的变化X围扩大为心％「5+%, 为此给出f变化X围后的Banach 空间中常做分方程解的存在唯一性定理，并对定理给予明确的证明.关维词:存在唯一;常撤分方程;数学IJ3细袪;皮卡逐步II近法\ Banach空间引言常撤分方程解的存在唯一性定理明确地肯定了在一定条件下方程的解的存在性和唯一性，它是常ta分方程理论中最基本且实用的定理，有其重大的理论怠义，另一方面，它也是近做求解法的前提和理论基硝.对于人们裁知的Banach空同中常撤分方程解的存在唯一性定理,解的存在区同较小,只限制在一个小的球形邻裁内,(球形邻域的半径若为5, U需满足Ld<\,且辭只在以儿为中心以5为半径的冈球B t5(y0) = (yeX|||y-y0||<J)存在唯一，其中X是Banach空间)因此在应用过程中受到了一定的眼制.如今我们尝试扩大了解的存在XIJ.U而使此重要的定理今后有更加广泛的应用.1预备定理我们给岀Banach空同中常做分方程解的存在唯一性定理如下设X是Banach空同，UuX是一f开集.f :U i X上关干 >，满足利普希茨(Lipschitz)条件，即存在常数厶>0,使得不等式］/(/, ”)- /(/, y2)|| <厶卜】一儿||，对于所有y^y2eu部成立.® y.eU ,在u内，以儿为中心作一个半径为“的冈球3心())=© eX|||y-儿||詡’对所有的y e B b(y0)都成立，且有,取h = min{%,%^},则存在唯一的C、曲线y(t)，使得在r0-h<t< t0+h上满足y w B h(y0), 并有y' = /(/,y),y(G)=)b・2结果与证明笔者通il改进对力的限歟即仅取〃 = %/，硕备定理仍然成立,从而使定理的应用进一步广泛.2.1改进条件后的定理定理假设条件同上预备定理，设初值为仇,儿)，则存在唯一的C、曲线y(『),对任恿的G 一%/ ° "u + %r满足y €场(儿),且使得V = /(/, y) , Wo)=儿.显然可有% —〃，心 + 幻 U〔5 - ，心 + % ］，目"min{%,%} •2.2定理舸证明证明证明过程中我们利用皮卡(Picard)逐步逼近法•为了简单起见，只就区同对干区间t.<t<t.+y M的讨论完全一样.2.2.1定理证明的思想现在先简单叙述一下运用皮卡逐步逼近法证明的壬要思想.首先证明条件 H), xu=y0等价于求枳分方程y(Q = %+j\/a，y)〃•⑴再证明积分方程的解的存在唯一性.任取一个儿⑴为连续函数，将它代人方程⑴的右常，可得到函数卩⑴=y(> +J；./■(/,%)〃/,显然，儿⑴也为连续函数•若x⑴=y o(0,1可知y()⑴就是方程⑴的解•若不然，我ill a把川)代人枳分方程⑴的右竭m,y)，可得到函数儿⑴=儿+J；“/(/')〉)/•若y2(0 = >'i(0 JO可知莎⑴就是方程(1)的解•若不然，我们如此下去,可作连续函红儿(/) = + j* ：＞/(/，y”-i M ・(2)这算就得到连续函数列儿(0，”(/)，儿⑴,…，儿⑴，…若畑⑴=儿⑴,那么儿⑴就是枳分方程的解，如果始终不发生眩种悄猊，我们可以证明上面的函数序列有一个极眼函数y(t), fill liin y…(t) = y(f)存在，因而对(2)式两jfi取枚限时,就得到巴y n(0 = y0 + lim J :/(f,y…_,)dt = y0+J ；o lim/(r,儿“)/ =儿 + J ；o/(r,y)dt, 即y(0 = y0 + J；/(心)力謔就是说M)是枳分方程的解•在定理的假设条件下，以上的步骤是可以实现的.2.2.2定理iil明的步骤下面我门分五个命题来证明定理.金題1设y = y(r)是y'5，y)的定义于区同心％““上,满足初值条件〉仇)=儿(3)的解厲y = y(r)是枳分方程W)=儿+ 定义于心一夕缶上的连续解，反之亦衆证明因为y = y(0是方程y' = /(/, y)的解，故有竽5,刃.at对上式两fflU/o到「取定枳分得到W) - W())= J ；＞ /(/，y W ‘ 5 - ％ o()‘把(3)式代入上式,即有y(f) = ＞o+J 财(人曲5-%；"")•⑷因此,y = XO是(4)的定义于上的连续解.反之，如果y = y（f）是⑷的连续解,）心）=儿+J: <t<t0.fit分之，得到弊局）•ata把心心代人⑷式，得到y（G =儿，S此,y = y（r）是方程 H）的定义于区间且満足初值条件（3）的解.金题1込毕.现在取y。
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（4.1.4）推出
yk2 x yk1 x
x
x0 f
x, yk1 x f
x, yk x dx ,
再利用Lipschitz条件和归纳法假设，有
yk2 x yk1 x
x x0
L
yk1 x
yk
x
dx
k 1
k2
M x L x x0
dx M L x x0
在 x, y平面上经过每一点有且只有一个解。
关于比卡定理x, y 在矩形区域
D : x x0 a, y y0 b 上关于 y 满足
Lipschitz条件，则 f x, y在D 上关于 y
是连续的。有时也称为是Lipschitz连续的。 附注4.1.2 对于给定的在 D 上有定义的函数
的收敛性。下面证明级数（4.1.5）在I上是一致
收敛的。为此我们用归纳法证明不等式
yn1 x
yn
x
M L
L x x0
n1
,
n 1!
n 0,1, 2,L （4.1.6）
在I上成立。
事实上，当 n 0 时，由上面的讨论知（4.1.6）
成立。假设当 n k 时，（4.1.6）成立，先由
x f x, y dx
x0
x
x0 L yk y dx
x L MLk x x0 k1 dx
x0
k 1!
MLk1
x x0
k2
k 2!
由归纳假设，命题成立。
例题 判断下列方程在什么样的区域上保证初 值的解存在且唯一。
1 y=x2 +y2;
2
-1
y=x 3 ;
3 y= y y 0.
x
y2
x
y0
f
x0
x, y1 x dx,
xI
在I上是连续可微的，并且满足不等式
y2 x y0
x
f
x0
x, y1 x dx
x
f
x0
x, y1 x
dx M x x0 ,
从而在区间I上有 y2 x y0 Mh b 。如此类
推，用数学归纳法可以证明，由（4.1.4）给
3
1 3
x3
1 63
x7
1 18
x4
1 9
x
x 1
1 x3 1 x7 1 x4 1 x 11 3 61 18 9 42
2
x
0
x
4 22
2 1!
1 4
3
1 24
1
即误差为
24
定理4.1.1的结论可以推广到n阶方程的情形: 定理4.1.3 设（1）函数
f (x, p1, p2,L , pn )在n 1维空间(x, p1, p2,L , pn )
x
y1
x
y0
f
x0
x, y0 x dx,
xI
在I上是连续可微的，并且满足不等式
y1 x y0
x
f
x0
x, y0 x dx
x
f
x0
x, y0 x
dx M x x0 .
这就是说在区间I上有 y1 x y0 Mh b。
又因为 f x, y1 x在I上连续，所以又有
（3）f x,y =
y,
f
y
x,y
=
1 2
1, y
在除x轴外
的全平面上连续，因此解的存在唯一区域是除
去x轴以外的全面。
例4.1.3 求解初值问题
dy
dx
x2
y2
y 1 0
D : x 1 1, y 1
这是一个Riccati方程，不能用初等积分的方法求
解，但由毕卡定理知，f x, y 在所给区间D上
在第三章中，我们介绍了微分方程的初等积分 法，求解了几类特殊的微分方程，并指出大量的 微分方程不能用初等积分法求解．例如形式很简
单的微分方程 y x2 y2
就没有用初等函数表达的通解．同时，人们最 关注的往往是实际问题在特定初值条件下的解． 此时，必须换另外一种方式来进行研究．第一、 研究初值问题的解在一定条件下的存在性和唯一 性．第二、在得到肯定回答的前提下，求微分方 程的近似解．这是因为如果解不存在，根本没有 必要求解，更没有必要求近似解了；
有
y' x f x, yx, xI ; yx0 y0.
由此积分得到
yx
y0
x
x0
f
x,
y x dx,
xI
即 y y x x I 是积分方程（4.1.3）的解。
反之，设 y y x x I 是（4.1.3）的解，则只
要逆转上面的推导，就可以知道 y y x x I
分曲线如图4.1.1所示。但实验曲线却如图
4.1.2所示。即我们得到两个解
y1
x
x3
和
y2
x
x3 0
x 0 x 0
它们在 x 0 时相同，但在 x 0 时完全不同。
这说明初值问题（4.1.1）的解不是唯一的。
定理4.1.1 （毕卡定理）设有一阶微分方程的
初值问题
dy f x, y ,
y x和y x. 令J x0 d, x0 d 为它们 的共同存在区间，其中d为某一个正数 d h
则由式（4.1.4）推出
x
x
x
x0
f
x,
x
f
x,
xdx,
xI .
利用Lipschitz条件，有
x
x
L
x
x0
x
x
dx
.
（4.1.7）
注意在区间J上， x x 是连续有界的。
因此可以取它的一个上界K, 则由（4.1.7）可见
MLn x x0
n 1!
n1
.
证明 应用Lipschitz条件和数学归纳法证明。
因为
yx
y0
x
x0
f
x,
y x dx,
xI
x
yn
x
y0
f
x0
x, yn1 x dx,
xI
当 n 1 时，
y1 y
x x0
f
x, y0 dx
x f x, y dx
x0
x x0
有
x x LK x x0 .
将此式代入到（4.1.7）的右端，推出
x x K L x x0 2 .
2
以此类推，应用归纳法可以得到
x x K L x x0 n , x J .
n!
令 n 取极限，则上面不等式的右端趋于
零。因此，有
x x, xJ .
这就是说积分方程（4.1.3）的解是唯一的。 定理4.1.1的证明到此结束。
连续，Lipschitz条件可以写成
f 2y 2 L M max f x, y 4
y
a b 1 则
h
min
a,
b M
所以 h 1
4
所以解的存在区间为
0 x 0
x 1 1 4
1 x
x
x 2 dx
1
1 3
x3
x 1
1 3
x3
1 3
2 x
x x2
1
1 3
x3
1
2
dx
出的毕卡序列 y yn x 在I上连续，并且
满足不等式
yn x y0 M x x0 , n 0,1, 2,L .
3 现在证明毕卡序列 y yn x 一致收敛于积分
方程（4.1.3）的解。注意，序列 y yn x
的收敛性等价于级数
yn1 x yn x
n1
（4.1.5）
解 由定理4.1.1，解存在唯一性区域 f x,y
连续区域
f
y
x,y
的连续区域。
（1）
f
x,y =x2 +y2,
f
y
x,y
=2
y它, 们都在全平
面上连续，因此解的存在唯一区域是全平面。
（2）f
x,y
-1
=x 3
,
f
y
x,y
=0,
在除y轴外的全平
面上连续，因此解的存在唯一区域是除去y轴
以外的全面。
下面的例子说明解不存在或不唯一的情况 确实存在。
例4.1.1 微分方程
y2 y2 1 0
的解显然不存在。
例4.1.2 历史上曾经有个实际问题可以归结 为如下的微分方程的初值问题
xy 3 y 0,
y(1)
1.
（4.1.1）
解 由分离变量法求得问题的通解是 y Cx3，
由初始条件得C=1，于是特解为 y(x) x3，积
上有并且只有一个解，其中常数满足
h
min
a,
b M
,
而M = max f x, y . x , yD
证明 为了突出思路，证明过程分为四步。
1 初值问题（4.1.2）等价于积分方程（未知
函数出现在积分号内的方程称为积分方程）
x
y y0
f
x0
x, y dx
（4.1.3）
事实上，设y y x x I 是（4.1.2）的解，则
的偏导数 fy x, y 连续，则 f x, y 在 D
上关于 y 满足Lipschitz条件。
附注4.1.3 一阶线性微分方程
dy dx
=p
x
y+q
x
解的存在唯一性定理：
若 px、qx 在区间[a,b]上连续，则对
任意初值 x0,y0 , x0 a,b, y0 -,
线性方程满足条件 y x0 =y0 的解在区间