中考数学第一轮复习精品讲解第四单元三角形(2)(共76张PPT)

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第22讲 │ 归类示例
A．3 cm C．3 2 cm
B．6 cm D．6 2 cm
图 22－1
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[解析] 如图所示，过点 A 作 AD⊥BD，垂足为 D，所以 AB＝2AD ＝2×3＝6 cm，△ABC 是等腰直角三角形，AC＝ 2AB＝6 2 cm.
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命题角度： 1．利用勾股定理求线段的长度 2．利用勾股定理解决折叠问题 [2011· 黄石] 将一个有 45 度角的三角板的直角顶点放在一张 宽为 3 cm 的纸带边沿上，另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角 板的一边与纸带的一边所在的直线成 30 度角，如图 22－1，则三角板 的最大边的长为( D )
[解析] 两个三角形周长相等，不一定全等．
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第22讲 │ 考点随堂练
7．如图22－5，△BAC≌△DAE，AC＝3 cm，AD＝4 cm， 则BE的长是(cm
D．4 cm
[解析] 因为△BAC≌△DAE，所以AC＝AE，AB＝AD， 则BE＝4－3＝1(cm)．
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12．[2010· 宜宾]如图22－10，分别过点C、B作△ABC的BC边上 的中线AD及其延长线的垂线，垂足分别为E、F.求证：BF＝CE.
图22－10
证明： ∵CE⊥AF，FB⊥AF，∴∠DEC ＝∠DFB＝90° ， 又∵AD为BC边上的中线， ∴BD＝CD, 且∠EDC ＝∠FDB(对顶角相等)， ∴△BFD≌△CED(AAS)， ∴BF＝CE.
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8．要测量河两岸相对的两点A、B的距离，先在AB的垂线BF上 取两点C、D，使CD＝BC，再作出BF的垂线DE，使A、C、E在 一条直线上(如图22－6所示)，可以证明△EDC≌△ABC，得ED ＝AB，因此测得ED的长就是AB的长，判定△EDC≌△ABC的 理由是( B ) A．SAS B．ASA C．SSS D．AAS
图22－3
解： △ABE与△CDF全等．理由：∵CE＝AF， ∴AE＝CF.∵AB∥CD，∴∠DCA＝∠CAB.在△ABE与
AB＝CD， △CDF中，∠DCA＝∠BAC， AE＝CF，
∴△ABE≌△CDF(SAS)．
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5．[2010· 玉溪]如图22－4，在▱ABCD中，E是AD的中点，请添加 适当条件后，构造出一对全等的三角形，并说明理由．
图22－12 已知： 求作：
解： 已知：线段a、b 、角β， 求作：△ABC，使边BC＝a， AC＝b，∠C＝β ，画图：先画一个角等于∠β，然后从角的 顶点出发，在角的两边分别截取长度为a和b的线段．
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15．[2011· 綦江]为了推进农村新型合作医疗制度改革，准备 在某镇新建一个医疗点P，使P到该镇所属A村、B村、C村 的村委会所在地的距离都相等(A、B、C不在同一直线上， 地理位置如图22－13)，请你用尺规作图的方法确定点P的 位置． 要求： 写出已知、求作；不写作法，保留作图痕迹．
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[知识拓展] a＋b 利用图②中的直角梯形，我们可以证明 c < 2.其证明步骤 如下：
第22讲
第23讲
全等三角形
形似三角形及其应用
第22讲 │ 全等三角形
第22讲 全等三角形
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第22讲 │ 考点随堂练 │考点随堂练│
考点1 全等三角形的定义及其性质
重合 定 如果两个三角形能够完全______，那么这两个三角形全等， 义 即对应边______，对应角______的三角形全等． 相等 相等 夹角 两个三角形有两边及其______对应相等，这两个三 SAS 角形全等． 两个三角形有两个角及其这两角的______对应相 夹边 判 ASA 等，这两个三角形全等． 定 对边 两个三角形有两个角及其中一角的______对应相 定 AAS 等，这两个三角形全等． 理 三边 SSS 两三角形______对应相等，两三角形全等． 两直角三角形，斜边和直角边对应相等，两直角三 HL 角形全等.
图22－6 [解析]∠ABC＝∠EDC＝90° ，∠ACB＝∠ECD，BC＝DC， 根据角边角定理，两三角形全等．
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9．如图22－7，AC＝AD，BC＝BD，AB与CD相交于O.则AB 与CD的关系是__________． AB⊥CD
图22－7
[解析] 先证明△ABC≌△ABD，所以∠CAB＝∠DAB，再利 用等腰三角形的性质得出AB⊥CD.
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图 22－2
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解： (1)如图， 木柜的表面展开图是两个矩形 ABC′1D1 和 ACC1A1. 蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径有如图的 AC′1 和 AC1. (2)蚂蚁沿着木柜表面经线段 A1B1 到 C′1，爬过的路径的长是 l1 ＝ 42＋4＋52＝ 97. 蚂蚁沿着木柜表面经线段 BB1 到 C1，爬过的路径的长是 l2＝ 4＋42＋52＝ 89. l1>l2，最短路径的长是 l2＝ 89. B1C1 4 20 (3)作 B1E⊥AC1 于 E，则 B1E＝ · 1＝ AA · 5＝ 89为所 AC1 89 89 求．
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1.[2011· 江西]如图22－1，下列条件中，不能证明△ABD≌ ．． △ACD的是( D ) A．BD＝DC，AB＝AC B．∠ADB＝∠ADC，∠BAD＝∠CAD C．∠B＝∠C，∠BAD＝∠CAD D．∠B＝∠C，BD＝DC
图22－1
[解析]两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一 定全等．
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勾股定理的作用：(1)已知直角三角形的两边求第三边； (2)已知直角三角形的一边求另两边的关系；(3)用于证明平 方关系的问题．
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类型之二 利用勾股定理解决生活中的实际问题
命题角度： 1．求最短路线问题 2．求有关长度问题 如图 22－2，一个长方体形的木柜放在墙角处(与墙面和地 面均没有缝隙)， 有一只蚂蚁从柜角 A 处沿着木柜表面爬到柜角 C1 处． (1)请你画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径； (2)当 AB＝4，BC＝4，CC1＝5 时，求蚂蚁爬过的最短路径的长； (3)求点 B1 到最短路径的距离．
第22讲 │ 归类示例
[尝试证明] 以图 22－4①中的直角三角形为基础，可以构造出以 a、b 为底， 以 a＋b 为高的直角梯形(如图 22－4②)，请你利用图②，验证勾股定 理；
图 22－4
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解：[定理表述] 如果直角三角形的两直角边长分别为 a、b，斜边长为 c， 那么 a2＋b2＝c2. [尝试证明] ∵AB＝EC，BE＝DC，AE＝DE，Rt△ABE≌Rt△ECD， ∴∠AEB＝∠EDC. 又∵∠EDC＋∠DEC＝90° ， ∴∠AEB＋∠DEC＝90° . ∴∠AED＝90° . ∵S 梯形 ABCD＝SRt△ABE＋SRt△DEC＋SRt△AED， 1 1 1 1 ∴ (a＋b)(a＋b)＝ ab＋ ab＋ c2. 2 2 2 2 整理，得 a2＋b2＝c2.
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10．如图22－8，已知AD＝BC，AE⊥BD、CF⊥BD于点E、F，且 30 AE＝CF，∠ADB＝30° ，则∠DBC＝________° .
图22－8
[解析] ∠AED＝∠CFB＝90° ，AD＝BC，AE＝CF，斜边和直 角边对应相等的两直角三角形全等，全等三角形对应角相等．
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2．[2011· 上海]下列命题中，真命题是( D ) A．周长相等的锐角三角形都全等 B．周长相等的直角三角形都全等 C．周长相等的钝角三角形都全等 D．周长相等的等腰直角三角形都全等
[解析]设两个等腰直角三角形的直角边分别为a和b，那么它 们的周长分别为(2＋ 2 )a，(2＋ 2 )b，因为(2＋ 2 )a＝(2＋ 2)b，则a＝b，两三角形全等．
图22－4
解： 添加的条件是连接BE，过D作DF∥BE交BC于点F，构造的 全等三角形是△ABE与△CDF.理由： ∵平行四边形ABCD，AE ＝ED，又∵DE∥BF，且DF∥BE，∴四边形DEBF是平行四边 形，∴DE＝DF.∴在△ABE与△CDF中，AB＝CD，∠EAB＝ ∠FCD，AE＝CF，∴△ABE≌△CDF.
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3．已知，如图22－2，AD＝AC，BD＝BC，O为AB上一 三 点，那么，图中共有_______对全等三角形．
图22－2
[解析] 先证△ABC≌△ABD，由全等三角形对应角相等， 得出证明另外两个三角形全等的条件．
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4．如图22－3，AB＝CD，AB∥CD，CE＝ AF.判断△ABE与△CDF是否全等，并说明 理由．
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考点3 尺规作图
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13.[2011· 绍兴]如图22－11，在△ABC中，分别以 1 点A和点B为圆心，大于 AB的长为半径画弧，两 2 弧相交于点M、N，作直线MN，交BC于点D，连 接AD.若△ADC的周长为10，AB＝7，则△ABC的 周长为( C ) 图22－11 A．7 C．17 B．14 D．20
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[定理表述] 请你根据图 22－3 中的直角三角形叙述勾股定理(用文字及符号语 言叙述)；
图 22－3
[解析] 先证明 Rt△ABE≌Rt△ECD， 然后利用等面积法 S 梯形 ABCD ＝SRt△ABE＋SRt△DEC＋SRt△AED，可得 a2＋b2＝c2.