空间几何体的位置关系
空间几何体的相交与平行
空间几何体的相交与平行在几何学中，空间几何体的相交与平行是一个重要的概念，它关系着几何体之间的位置关系和相互作用。
本文将探讨空间几何体之间的相交与平行关系，并对其进行详细阐述。
一、平面与立体的相交平面与立体之间的相交是几何学中最基础的情况之一。
当一个平面与一个立体相交时，可能会出现以下几种情况：1. 平面与立体相交于一条线段：当一个平面与一个立体只有一个交点时，交点所在的线段称为平面与立体的交线段。
2. 平面与立体相交于一条线：当一个平面与一个立体有多个交点，并这些交点都在同一条直线上时，这条直线即为平面与立体的交线。
3. 平面与立体相交于点集：当一个平面与一个立体有多个交点，并且这些交点不在一条直线上时，这些交点组成的集合即为平面与立体的交点集。
二、平面与平面的相交平面与平面之间的相交有多种情况，下面列举了其中几种常见的情况：1. 平面与平面相交于一条直线：当两个平面相交于一条直线时，这条直线即为平面与平面的交线。
2. 平面与平面相交于一点：当两个平面相交于一个点时，这个点即为平面与平面的交点。
3. 平面与平面相交于一条线段：当两个平面相交于一条线段时，这条线段即为平面与平面的交线段。
三、立体与立体的相交立体与立体之间的相交情况相对复杂，下面列举了几种常见的情况：1. 立体与立体相交于一条线：当两个立体相交于一条线时，这条线即为立体与立体的交线。
2. 立体与立体相交于点集：当两个立体相交于多个点，并且这些点不在一条直线上时，这些点组成的集合即为立体与立体的交点集。
3. 立体与立体相互包含：当一个立体完全包含另一个立体时，这两个立体相互包含。
四、平行关系除了相交关系，空间几何体还存在着平行关系。
平行是指在同一平面或不同平面上的两条线或两个面之间的位置关系。
1. 平面与平面的平行：当两个平面之间的交线与它们本身都平行时，这两个平面就是平行的。
2. 直线与直线的平行：当两条直线在同一平面内，且它们的方向完全相同或者不存在交点时，这两条直线就是平行的。
空间几何中的球与立体几何体的位置关系
空间几何中的球与立体几何体的位置关系空间几何是研究空间中图形的形状、大小、位置关系等性质的数学学科。
其中，球是一种常见的几何图形，它具有独特的特性和与其他几何体的位置关系。
本文将探讨空间几何中球与立体几何体的位置关系，并通过几个具体的例子来说明这些关系。
1. 球与立方体的位置关系立方体是一个由六个相等的正方形面组成的立体几何体。
当球与立方体位置重合时，球心位于立方体的重心处，并且球的表面切割着立方体的八个顶点。
2. 球与正四面体的位置关系正四面体是一个由四个相等的等边三角形面组成的立体几何体。
当球与正四面体位置重合时，球心位于正四面体的重心处，并且球的表面切割着正四面体的四个顶点。
3. 球与六面体的位置关系六面体是一个由六个相等的正方形面组成的立体几何体。
当球与六面体位置重合时，球心位于六面体的重心处，并且球的表面刚好与六个面相切，每个面上切点形成了一个正六边形。
4. 球与棱锥的位置关系棱锥是一个由一个多边形底面和一个顶点连接底面上每个顶点的侧面组成的立体几何体。
当球与棱锥位置重合时，球心位于棱锥的重心处，并且球的表面刚好与棱锥的侧面相切。
5. 球与棱台的位置关系棱台是一个由一个多边形底面和一个平行于底面的顶面以及连接底面与顶面的侧面组成的立体几何体。
当球与棱台位置重合时，球心位于棱台的重心处，并且球的表面刚好与棱台的侧面相切。
通过以上几个例子，我们可以看出，当球与不同的立体几何体位置重合时，球心一般位于几何体的重心处，球的表面则形成与几何体顶点或面相切的形状。
这种位置关系是球与立体几何体之间的重要几何性质。
在实际应用中，空间几何中球与立体几何体的位置关系有很多的应用。
例如在建筑设计中，当我们需要在某个立体几何体的表面放置球形装饰物时，了解球与立体几何体的位置关系可以帮助我们计算球的位置和尺寸，从而使装饰效果更加美观。
此外，在计算机图形学和虚拟现实技术中，对于球与立体几何体的位置关系的研究也有重要意义，可以用于实现真实感的渲染和模拟。
空间几何中的球与直线的位置关系
空间几何中的球与直线的位置关系在空间几何中，球与直线是两种基本的几何体，它们有着不同的特征和性质。
本文将探讨球与直线的位置关系，包括球与直线的相切、相交和平行等情况。
一、球与直线的相切关系当一个球与一条直线只有一个交点时，它们被称为相切关系。
具体来说，当直线与球的表面只有一个点相切时，我们称这条直线与球相切。
在空间几何中，球与直线相切的情况有三种：外切、内切和切离。
1. 外切：当直线与球的表面只有一个点相切，并且该点在球的外部时，称直线与球外切。
直线通过球心，并且垂直于球的半径。
2. 内切：当直线与球的表面只有一个点相切，并且该点在球的内部时，称直线与球内切。
直线通过球心，并且垂直于球的半径。
3. 切离：当直线与球的表面只有一个点相切，并且该点不在球的内部也不在球的外部时，称直线与球切离。
二、球与直线的相交关系当一个球与一条直线有两个不重合的交点时，它们被称为相交关系。
具体来说，当直线与球的表面有两个不重合的交点时，我们称这条直线与球相交。
在空间几何中，相交的情况有三种：相交于两点、相交于一点和相交于一线。
1. 相交于两点：当直线与球的表面分别在两个不同的点相交时，称直线与球相交于两点。
直线既不通过球心，也不垂直于球的半径。
2. 相交于一点：当直线与球的表面只在一个点相交时，称直线与球相交于一点。
直线可能通过球心，但不垂直于球的半径。
3. 相交于一线：当直线与球的表面相交于一条直线时，称直线与球相交于一线。
直线既不通过球心，也不垂直于球的半径。
三、球与直线的平行关系当一个球与一条直线没有交点时，它们被称为平行关系。
具体来说，当直线与球的表面没有交点时，我们称这条直线与球平行。
在空间几何中，球与直线的平行关系只有一种情况，即直线位于球外部，且与球的半径垂直。
综上所述，空间几何中的球与直线有着不同的位置关系。
它们可以相切，相交或平行，具体情况取决于直线与球表面的交点数量和位置。
了解和掌握球与直线的位置关系，对于解决空间几何中的问题和推导定理都具有重要的意义。
上海高二立体几何知识点
上海高二立体几何知识点一、概述立体几何是数学中研究空间内各种几何体的形状、大小、位置等性质的一门学科。
上海高二立体几何知识点是指上海高二学生需要掌握的与立体几何相关的重要知识点。
本文将为大家介绍上海高二立体几何的核心概念、公式以及解题方法等内容。
二、立体几何的基本概念和性质2.1空间几何体的分类空间几何体主要包括点、线、面以及体。
其中，点是空间的最基本的元素，线是由无数个点构成的，面是由无数个线构成的，体是由无数个面构成的。
2.2空间几何体的性质不同的空间几何体具有不同的特征和性质。
例如，平面内的点与点之间可以通过直线相连，而在空间内则需要使用线段。
此外，空间几何体还具有对称性、轴对称性、等距性等重要性质。
三、立体几何的重要知识点3.1立体的表面积和体积计算计算立体的表面积和体积是立体几何中的基本问题。
根据不同立体的特征，具体的计算公式有所不同。
例如，计算正方体的表面积可以使用公式：$S=6a^2$，其中$a$表示边长。
计算长方体的体积可以使用公式：$V=l wh$，其中$l$、$w$和$h$分别表示长、宽和高。
3.2空间固体与投影空间固体的投影是指将立体物体在某个平面上的投影图形。
在计算空间固体的投影时，需要考虑物体与投影面的相对位置关系。
例如，计算柱体在水平面上的投影可以使用公式：$S=\p ir^2$，其中$r$表示柱体的半径。
3.3空间几何体的位置关系在立体几何中，空间几何体的位置关系通常包括在平面内的位置关系和在空间内的位置关系两个方面。
对于在平面内的位置关系，常见的问题包括如何判断两条直线的平行性以及如何判断两条直线的垂直性。
在空间内的位置关系问题中，常见的问题包括如何判断两个平面的平行性以及如何判断两个平面的垂直性。
3.4空间几何体的相似性空间几何体的相似性是指两个或多个几何体在形状上具有相似的特征。
根据相似性理论，我们可以通过已知几何体的一些特征来推导出未知几何体的特征。
例如，如果两个几何体的对应边成比例，且对应角相等，则可判定两个几何体相似。
小学数学认识几何体的位置与方向
小学数学认识几何体的位置与方向几何体是小学数学中的重要内容之一，它关注物体的形状、大小以及位置与方向的关系。
通过认识几何体的位置与方向，孩子们可以培养空间想象力和判断能力，为后续学习提供基础。
本文将从几何体的位置与方向的概念入手，结合具体的例子来讲解相关的知识点。
一、几何体的位置几何体的位置是指物体在空间中的相对位置。
常见的几何体位置有前后、上下、左右等。
以长方体为例，当长方体的一个面朝向自己时，这个面被称为前面；相对的，背面则被称为后面。
同样，一个面靠近上方的被称为上面，反之为下面。
左边和右边也是类似的概念。
通过游戏与实际示例，我们可以帮助学生更好地理解几何体的位置。
例如，拿起一个方形的书本，我们可以让学生描述书本的各个位置，比如书本的前面朝向学生，上面朝向天花板等。
通过这种亲身参与的方式，学生能更好地体验几何体的位置。
二、几何体的方向几何体的方向是指物体在空间中的朝向和位置变化。
常见的几何体方向有前后、左右、上下等。
以立方体为例，当立方体向前倾斜时，我们说它的方向是向前；当立方体向左倾斜时，我们说它的方向是向左。
通过使用实物或图片，我们可以帮助学生理解几何体的方向。
例如，给学生展示一张含有多个方向箭头的图片，要求他们描述每个箭头所示的方向。
这样的练习可以让学生在观察和思考的过程中，更好地理解几何体的方向。
三、几何体位置与方向的综合应用几何体的位置与方向不仅是独立存在的，还有着紧密的联系。
在实际生活中，我们经常需要描述物体的位置与方向，如找东西时说“在书架的左下角”、“笔记本在桌子的右边”等等。
为了让学生能够更好地应用几何体的位置与方向，我们可以设计一些综合性的问题。
例如，给学生描述一个班级里四个同学的位置关系，要求他们用几何体的术语描述出来。
这样的练习可以培养学生运用几何体的位置与方向概念的能力。
总结：通过对几何体位置与方向的学习，小学生能够培养空间想象力和判断能力，同时也为他们后续学习几何学奠定了基础。
高考数学.空间几何体,点线面位置关系
一、空间几何体 1．棱柱：⑴概念：由一个平面多边形沿某一确定方向平移形成的空间几何体．⑵性质：两个底面是全等的多边形，且对应边互相平行，侧面都是平行四边形，侧棱平行且相等． ⑶正棱柱：底面是正多边形的直棱柱叫正棱柱． 2．棱锥：⑴概念：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形．⑵正棱锥：底面是正多边形，且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫正棱锥． 3．棱台：⑴概念：棱锥被平行于底面的一个平面所截后，截面和底面之间的部分叫做棱台． ⑵性质：棱台的各侧棱延长后交于一点，即棱台的上下底面平行且对应边成比例； ⑶正棱台：由正棱锥截得的棱台叫做正棱台． 4．圆柱、圆锥和圆台：⑴概念：将矩形、直角三角形、直角梯形分别绕着它的一边、一直角边、垂直于底边的腰所在的直线旋转一周，形成的几何体分别叫做圆柱、圆锥和圆台．⑵性质：①平行于底面的截面都是圆；②轴截面分别是全等的矩形、等腰三角形、等腰梯形． 5．球与球面：⑴半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周而形成的几何体叫做球（或球体），半圆旋转而成的曲面知识梳理知识结构图空间几何体、点线面位置关系叫做球面．⑵球面被经过球心的平面截得的圆叫球的大圆，被不经过球心的平面截得的圆叫球的小圆；在球面上，两点之间的最短距离，就是经过两点的大圆在这两点间的劣弧的长度，这个弧长叫做两点间的球面距离．6．三视图：俯视图、主视图、左视图．三视图的位置关系为：俯视图在主视图下方，左视图在主视图右方． 投影规律为：主俯一样长（长对正），主左一样高（高平齐），俯左一样宽（宽相等）． 7二、直线与平面的位置关系 1．平面的基本性质及推论：公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内； 公理2：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面；公理3：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条经过这个点的公共直线． 推论1：经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面． 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面． 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面． 2．平行公理与等角定理公理4（空间平行线的传递性）：平行于同一条直线的两条直线互相平行；等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等． 3．空间两条直线的位置关系有：相交、平行、异面；空间直线l 与平面α的位置关系有：l α⊂、l A α=、l α∥； 空间平面α与平面β的位置关系有：αβ∥、l αβ=．4．线面平行的概念：如果直线与平面没有公共点，那么我们称这条直线与这个平面平行． 线面平行判定定理：m α⊄，m l ∥，l α⊂m α⇒∥， 线面平行性质定理：l α∥，l β⊂，m αβ=l m ⇒∥；5．面面平行的概念：如果两个平面没有公共点，我们称这两个平面平行．面面平行判定定理：a α⊂，b α⊂，a b A =，a β∥，b β∥αβ⇒∥， 面面平行性质定理：αβ∥，m αγ=，n βγ=m n ⇒∥．6．线线垂直的概念：如果两条直线相交或平移后相交于一点，且交角为直角，称两直线互相垂直． 线面垂直的概念：如果一条直线和平面内任意直线都垂直，则称这条直线与这个平面垂直． 线面垂直判定定理：a b ⊥，a c ⊥，b α⊂，c α⊂，b c A =a α⇒⊥， 线面垂直性质定理：m α⊥，n α⊥m n ⇒∥．7．面面垂直的概念：如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直，就称这两个平面互相垂直．面面垂直判定定理：l α⊂，l β⊥αβ⇒⊥．面面垂直性质定理：αβ⊥，m αβ=，n α⊂，n m ⊥n β⇒⊥．（2012北京理7）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（ ）4234正（主）视图侧（左）视图俯视图A ．2865+B ．3065+C ．56125+D ．60125+【解析】 B ；（2010北京理8）如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，动点E ，F 在棱11A B 上，动点P ，Q 分别在棱AD ，CD 上，若1EF =，1A E x =，DQ y =，DP z =（x y z ,,大于零），则四面体PEFQ 的体积（ ） A ．与x y z ,,都有关 B ．与x 有关，与y z ,无关C ．与y 有关，与x z ,无关D ．与z 有关，与x y ,无关【解析】 D1、一个棱柱是正四棱柱的条件是（ ） A ．底面是正方形，有两个侧面是矩形 B ．底面是正方形，有两个侧面垂直于底面 C ．每个侧面都是全等矩形的四棱柱D ．底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直【解析】 D ；2、 半径为R 的球内接一个正方体，则该正方体的体积是（ ）A ． 322RB ．343R C ．383R D ．33R小题热身真题再现QP FEB 1C 11A 1D B【解析】 C ；3、 已知球的表面积为20π，球面上有A 、B 、C 三点．如果2AB AC ==，23BC =，则球心到平面ABC 的距离为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．2【解析】 A ；4、 如图，正三棱柱111ABC A B C -中，E 是BC 中点，则下列叙述正确的是（ ）A ．1CC 与1B E 是异面直线 B ．AC ⊥平面11ABB AC ．AE ，11B C 为异面直线，且11AE B C ⊥D ．11AC ∥平面1ABE 【解析】 C ．5、 一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示，则这个几何体的体积是（ ）A ．3B ．52C ．2D ．32【解析】 D6、 若三棱柱的一个侧面是边长为2的正方形，另外两个侧面都是有一个内角为60︒的菱形，则该棱柱的体积等于（ ）A ．2B ．22C ．32D ．42【解析】 B7、 正四面体ABCD 的棱长为1，E 是ABC △内一点，点E 到边AB BC CA ，，的距离之和为x ，点E 到平面DAB ，DBC ，DCA 的距离之和为y ，则22x y +=（ ）EDCBAA ．1B 6C ．53D ．1712 【解析】 D ；A 1B 1C 1ABEC俯视图侧视图正视图1338、（2007湖南文6）如图，在正四棱柱 1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是1AB 、1BC 的中点，则以下结论中不成立的是（ ）A ．EF 与1BB 垂直 B ．EF 与BD 垂直C ．EF 与CD 异面 D ．EF 与11A C 异面AB CDE F A 1B 1C 1D 1【解析】 D9、 （2008辽宁卷11）在正方体1111ABCD A B C D -中，E F ，分别为棱1AA ，1CC 的中点，则在空间中与三条直线11A D ，EF ，CD 都相交的直线（ ）A ．不存在B ．有且只有两条C ．有且只有三条D ．有无数条【解析】 D ； 10、（2005湖北，理10）如图，在三棱柱ABC A B C '''-中，点E 、F 、H 、K 分别为AC '、CB '、A B '、B C ''的中点，G 为ABC ∆的重心．从K 、H 、G 、B '中取一点作为P ，使得该棱柱恰有2条棱与平面PEF 平行，则P 为（ ） A ．K B ．H C ．G D ．B 'GK EB'A'H F ABC【解析】 C ；<教师备案>复习空间几何体的性质时应注意，有些几何体名称不同但对象相同（例如三棱锥和四面体），有些几何体看上去相同实质不同（例如四面体和空间四边形及其对角线），有些几何体名称相近关系密切却有细微的差异（例如四棱柱家族），务必将名称与几何体严格对应并熟悉相应性质．下图为四棱柱家族的详细关系图：复习空间位置关系的判定应注意解题思路的梳理和过程书写的规范，每个步骤都应有明确的定义或定理作为基础，切忌“想当然”．考点1：空间几何体的性质【例1】 ⑴四棱锥成为正棱锥的一个充分但不必要条件是（ ）A ．各侧面是正三角形B ．底面是正方形C ．各侧面三角形的顶角为45度D ．顶点在底面的射影是底面对角线的交点 ⑵下面关于四棱柱的四个命题：①若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；②若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱； ③若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱；④若四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱． 其中，真命题的序号是______．⑶在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的4个顶点， 这些几何形体可以是_________（写出所有正确结论的编号）． ①不是正方形的矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；经典精讲7.1空间几何体平行六面体 四棱柱 底面是平行四边形侧棱与 底面垂直 正四棱柱 底面是平行四边形直平行六面体底面为 正方形 直四棱柱 侧棱与 底面垂直 底面为 长方形 长方体 底面是正方形 侧面也为正方形 正方体棱长都相等的长方体④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体．【解析】 ⑴A ；⑵ ②④； ⑶①③④⑤；考点2：三视图计算 【例2】 ⑴（2010北京东城一模）下图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为_________．俯视图侧（左）视图正（主）视图222211⑵（2011北京二中高三月考5）下图为一个几何体的三视图，尺寸如图所示，则该几何体的表面积为（ ）（不考虑接触点） A ．63π++ B ．1834π++ C ．1823π++ D ．32π+ ⑶（2009辽宁15）设某几何体的三视图如图（长度单位m ），则该几何体的体积为_____3m ． ⑷（2012海淀二模理7）某几何体的主视图与俯视图如图所示，左视图与主视图相同，且图中的四边形都是边长为2的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是（ ）A ．203B ．43C ．6D ．43322221133222左视俯视图主视图第⑵题 第⑶题 第⑷题【解析】 ⑴43； ⑵C ； ⑶ 4； ⑷A ；<教师备案>根据三视图进行体积计算时，首先确定几何体的形状（棱柱或棱锥等），然后获得所需的数据，最后根据公式计算即可．由于计算底面积所需数据和几何体的高均可从三视图中直接获得，因此以三视图为基础的几何体体积计算是比较容易的．<教师备案>相对于体积计算，根据三视图进行表面积计算是比较困难的，因为相关数据很难从三视图中直接获得，需要先将三视图还原为直观图，再将直观图分解为展开图，依次计算各个表面的面积，最后求和．这个过程中，三视图还原直观图是最关键的，各个表面分别计算面积是最麻烦的．【拓1】 如果一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的表面积是（ ）A ．()280162cm + B ．296cmC ．()296162cm +D ．2112cm【解析】 A 考点3：几何体计算【例3】 ⑴（2009陕西10）若正方体的棱长为2，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为（ ）A ．26B ．23C ．33D ．23⑵在一个锥体中，作平行于底面的截面，若这个截面面积与底面面积之比为1:3，则锥体被截面所分成的两部分的体积之比为（ ）A ．1:3B ．1:9C ．1:33D ．()1:331- ⑶如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，D 为棱1AA 的中点．若截面1BC D △是面积为6的直角三角形，则此三棱柱的体积为_______．【解析】 ⑴ B ；⑵ D ；⑶83俯正视图侧视图4442俯视图44C 1B 1A 1DCBA考点4：球体计算【例4】 ⑴长方体的三个相邻面的面积分别为2，3，6，这个长方体的顶点都在同一个球面上，则这个球面的表面积为（ ）A ．7π2 B ．56π C ．14π D ．64π⑵（2012西城二模13）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，该几何体的体积是_____； 若该几何体的所有顶点在同一球面上，则球的表面积是_____．⑶（2010课标全国10）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ）A ．2πaB ．27π3aC ．211π3a D ．25πa【解析】 ⑴C ；⑵13π3，； ⑶ B考点5：平行垂直关系【例5】 ⑴ 已知m 、n 、l 为直线，α、β、γ为平面，有下列四个命题：①若m α∥，m β∥，则αβ∥；②l n ⊥，l m ⊥，n α⊂，m α⊂，则l α⊥； ③αβ⊥，αγ∥，则βγ⊥；④m α⊂，n β⊂，αβ⊥，则m n ⊥．其中正确命题的个数是（ ） A ．0 B ． 1 C ．2 D ．3 ⑵设l 、m 、n 表示三条直线，α、β、γ表示三个平面，给出下列四个命题：①若l α⊥，m α⊥，则l m ∥；②若m β⊂，n 是l 在β内的射影，m l ⊥，则m n ⊥；③若m α⊂，m n ∥，则n α∥；④若αγ⊥，βγ⊥，则αβ∥． 其中真命题为（ ）A ．①②B ．①②③C ．①②③④D ．③④【解析】 ⑴ B ；⑵ A ；7.2点、线、面的位置关系俯视图侧视图正视图考点6：几何体中的平行与垂直【例6】 ⑴下列四个正方体图形中，A B ，为正方体的两个顶点，M 、N 、P 分别为其所在棱的中点，能得出AB ∥平面MNP 的图形有__________．ABPNMAB PNMA BPNMBAMNP① ② ③ ④ ⑵ 过平行六面体1111ABCD A B C D -任意两条棱的中点作直线，其中与平面11DBB D 平行的直线共有（ ）A ．4条B ．6条C ．8条D ．12条 ⑶在正方体1111ABCD A B C D -中，M 是1AA 的中点，N 是线段AB上一点，若1MN MC ⊥，则（ ）A ．12AN AB = B ．14AN AB = C ．13AN AB = D ．34AN AB =⑷如图，PA ⊥平面ABC ，90ABC ∠=︒，则图中互相垂直的平面有（ ）CBAPA ．2对B ．3对C ．4对D ．5对【解析】 ⑴①④；⑵ D ⑶B ； ⑷B ；NMA B CDA 1B 1C 1D 1考点7：几何体中的空间位置关系证明【例7】 （2010丰台二模文16）如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是菱形，SA ABCD ⊥底面，M 为SA 的中点，N 为CD 的中点． ⑴ 证明：平面SBD ⊥平面SAC ； ⑵ 证明：直线MN SBC 平面‖．NMSDCBA【解析】 ⑴ ∵ABCD 是菱形，∴BD AC ⊥，∵SA ⊥底面ABCD ，∴BD SA ⊥，∵SA 与AC 交于A ，∴BD ⊥平面SAC ，∵BD ⊂平面SBD ，∴平面SBD ⊥平面SAC ． ⑵ 取SB 中点E ，连接ME ，CE ， ∵M 为SA 中点，∴ME AB ∥且12ME AB =， 又∵ABCD 是菱形，N 为CD 的中点，∴CN AB ∥且1122CN CD AB ==，∴CN EM ∥，且CN EM =， ∴四边形CNME 是平行四边形， ∴MN CE ∥，又MN ⊄平面SBC ，CE ⊂平面SBC ， ∴直线MN ∥平面SBC ．（也可以取AB 中点F ，通过面MNF ∥面SBC 来证MN ∥面SBC ）【例8】 如图，在三棱柱111ABC A B C -中，AB BC ⊥，1BC BC ⊥，1AB BC =，E F G ，，分别为线段1111AC AC BB ，，的中点， 求证：⑴平面ABC ⊥平面1ABC ；⑵EF ∥平面11BCC B ；⑶GF ⊥平面11AB C ．【解析】 ⑴ ∵BC AB ⊥，1BC BC ⊥，1AB BC B =，∴BC ⊥平面1ABC ，又BC ⊂平面ABC ， ∴平面ABC ⊥平面1ABC ； ⑵∵111AE EC A F FC ==，，∴1EF AA ∥． ∵11BB AA ∥，∴1EF BB ∥．∵EF ⊄平面11BCC B ，∴EF ∥平面11BCC B ； ⑶ 连接EB （图略），则四边形EFGB 为平行四边形， ∴GF BE ∥．∵1AB BC =，1AE EC =，∴1BE AC ⊥，∴1GF AC ⊥． 又∵BC ⊥平面1ABC ，11BC B C ∥，∴11B C ⊥平面1ABC ． ∵BE ⊂平面1ABC ，∴11B C BE ⊥．∴11GF B C ⊥．C 1B 1A 1GFE CB AEAB CD S MN∵1111B C AC C =，∴GF ⊥平面11AB C ．<教师备案>空间距离的计算分为“直接法”、“间接法”和“向量法”：直接法需要找到垂线段的位置，对添加辅助线的技巧要求比较高，找到垂线段后利用解三角形、三角函数和勾股定理计算；间接法需要找到适当的三棱锥，通常不需要添加辅助线，但面积和体积的计算比较麻烦；向量法需要计算法向量，相应课程中会有详细的复习和练习．⑵中由于垂线段的位置比较容易确定，使用的是直接法；若求1A 到11EB D 的距离，则使用间接法比较合适．空间几何体体积的计算分为“直接法”和“间接法”：直接法使用几何体对应的公式直接计算；间接法适合规范几何体中分割出的“四面悬空”的几何体，通过整体减去不需要的部分的方法求解．⑶可以将两种方法均练习一下，用间接法需要连结DE EF ，．a b ，为两异面直线，下列结论正确的是 （ ） A ．过不在a b ，上的任何一点，可作一个平面与a b ，都平行 B ．过不在a b ，上的任一点，可作一直线与a b ，都相交 C ．过不在a b ，上任一点，可作一直线与a b ，都平行 D ．过a 可以并且只可以作一个平面与b 平行【解析】 D ；一、选择题1、 （2008山东文理6）右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（ ）2322俯视图侧(左)视图正(主)视图A ．9πB ．10πC ．11πD ．12π【解析】 D ； 课后习题2、（2006江西）如图，在四面体ABCD 中，截面AEF 经过四面体的内切球（与四个面都相切的球）球心O ，且与BC ，DC 分别截于E 、F ，如果截面将四面体分成体积相等的两部分，设四棱锥A BEFD -与三棱锥A EFC -的表面积分别是1S ，2S ，则必有（ ）A ．12S S <B ．12S S >C ．12S S =D ．12S S ，的大小关系不能确定【解析】 C ．3、 如图，在等腰梯形ABCD 中，2260AB DC DAB ==∠=︒，，E 为AB 的中点，将ADE △ 与BEC △分别沿,ED EC 向上折起，使,A B 重合于点P ，则三棱锥P DCE -的外接球的体积为（ ）DECBAA B CD【解析】 C ．4、 （2001年全国高考）一间民房的屋顶有如下图三种不同的盖法：①单向倾斜；②双向倾斜；③四向倾斜．记三种盖法屋顶面积分别为1P 、2P 、3P ．若屋顶斜面与水平面所成的角都是a ，则（ ）A ．321P P P =>B ．321P P P >=C ．321P P P >>D ．321P P P ==【解析】 D二、填空题5、 （2008全国II 理16）平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行，类似地，写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件：充要条件①； 充要条件② ．（写出你认为正确的两个充要条件）【解析】 两组相对侧面分别平行；一组相对侧面平行且全等；对角线交于一点；底面是平行四边形．6、 （2010湖北13）圆柱形容器内部盛有高度为8cm 的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示），则球的半径是______cm ．【解析】 47、 （2008福建15） 3是 ．ABCD【解析】 9π；8、 设α、β、γ是三个不重合的平面，l 是直线，给出下列四个命题：①若αβ⊥，l β⊥，则l α∥；②若l α⊥，l β∥，则αβ⊥；③若l 上有三点到α的距离相等，且l α⊄，则l α∥；④若αβ⊥，αγ∥，则γβ⊥． 其中正确命题的序号是______________．【解析】 ②③④；三、解答题9、 如图，正方形O A B C ''''的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图．请画出原来的平面几何图形的形状，并求原图形的周长与面积．x 'y 'A 'B 'C 'O '【解析】 周长为8，面积为2210、 把四个半径都是1的球中的三个放在桌面上，使它两两外切，然后在它们上面放上第四个球，使它与前三个都相切，求第四个球的最高点与桌面的距离． 【解析】 第四个球的最高点与桌面的距离为2．11、 如图，在底面是平行四边形的四棱锥P ABCD -中，点E 在PD 上，且:2:1PE ED =，F 为棱PC 的中点．求证：BF ∥平面AECE PDABCF【解析】 （法一）取PE 的中点M ，连结FM ，则FM ∥CE ①由12EM PE ED ==，知E 是MD 的中点．连结,BM BD ，设BD AC O =，则O 为BD 的中点． ∴BM ∥OE ②由①，②知，平面BFM ∥平面AEC∵BF ⊂平面BFM ，∴BF ∥平面AEC ．（法二）∵11()22BF BC CP AD CD DP =+=++1322AD CD DE =++13()()22AD AD AC AE AD =+-+-31.22AE AC =- ∴BF 、AE 、AC 共面．又BF ⊄平面AEC ，从而BF ∥平面AEC12、 如图，在五面体ABCDEF 中，点O 是矩形ABCD 的对角线的交点，平面CDE 是等边三角形，棱12EF BC ∥．⑴ 证明：FO ∥平面CDE ； ⑵设BC =，证明：EO ⊥平面CDF ．【解析】 ⑴ 取CD 的中点M ．连结OM ．在矩形ABCD 中，12OM BC ∥，又12EF BC ∥，则EF OM ∥．连结EM ，于是四边形EFOM 为平行四边形， ∴FO EM ∥．又∵FO ⊄平面CDE ，且EM ⊂平面CDE ，ＭOABCDＥＦＦＥDCBAOOFM CBADPE∴FO∥平面CDE．⑵连结FM，CF，在等边CDE△中，CM DM=，∴EM CD⊥且12EM BC EF===．因此平行四边形EFOM为菱形，从而EO FM⊥．∵CD OM⊥，CD EM⊥，∴CD⊥平面EOM，又∵EO⊂平面EOM，∴CD EO⊥．而FM CD M=，所以EO⊥平面CDF．13、已知三棱锥P ABC-中，PC⊥底面ABC，AB BC=，D F，分别为AC PC，的中点，DE AP⊥于E．⑴求证：AP⊥平面BDE；⑵求证：平面BDE⊥平面BDF；⑶若:1:2AE EP=，求截面BEF分三棱锥P ABC-所成两部分的体积比．FEB DCAP【解析】⑴∵AB BC=，D为AC中点，∴BD AC⊥又PC⊥底面ABC，∴PC BD⊥∵PC AC C=，∴BD⊥平面PAC，∴BD AP⊥．又DE AP⊥，∴AP⊥平面BDE．⑵∵D F，为AC PC，的中点，∴DF AP∥．结合⑴可知DF⊥平面BDE．又DF⊂面BDF，∴平面BDE⊥平面BDF．⑶1:2．。
空间几何体的位置关系
空间几何体的位置关系在三维空间中，几何体的位置关系是几何学研究的重要内容之一。
了解和掌握几何体的位置关系，对于解决实际问题以及进行几何证明都有着重要的意义。
本文将介绍几种常见的空间几何体的位置关系。
一、点和直线的位置关系1. 点在线上：当一个点与一条直线重合时，我们称该点在线上。
2. 点在线上方或线下方：当一条直线将空间分成上下两部分时，点在直线上方或线下方。
3. 点在线上的延长线上：当一条直线延长后，点位于该直线的延长线上。
二、点和平面的位置关系1. 点在平面上：当一个点与一个平面重合时，我们称该点在平面上。
2. 点在平面之上或之下：当一个平面将空间分成上下两部分时，点在平面之上或之下。
3. 点在平面上的延长线上：当一个点的延长线与平面相交时，我们称该点在平面上的延长线上。
三、直线和直线的位置关系1. 平行线：若两条直线在同一平面上且不相交，则这两条直线称为平行线。
2. 相交线：若两条直线在同一平面上相交，则这两条直线称为相交线。
3. 垂直线：若两条直线在同一平面上相交，且交角为直角，则这两条直线称为垂直线。
四、直线和平面的位置关系1. 平行关系：若一条直线与一个平面平行，则它位于该平面之上、之下或在该平面的内部。
2. 相交关系：若一条直线与一个平面相交，则它有且只有一个交点。
3. 垂直关系：若一条直线与一个平面相交，且交角为直角，则它垂直于该平面。
五、平面和平面的位置关系1. 平行关系：若两个平面无公共交线，并且相互平行，则这两个平面平行。
2. 相交关系：若两个平面有且只有一条公共交线，则这两个平面相交。
3. 垂直关系：若两个平面相交，并且交线与其中一个平面的法线垂直，则这两个平面垂直。
综上所述，空间几何体的位置关系包括点和直线的位置关系、点和平面的位置关系、直线和直线的位置关系、直线和平面的位置关系以及平面和平面的位置关系。
了解和掌握这些位置关系对于学习和应用空间几何学具有重要的意义。
在实际应用中，我们可以根据这些位置关系来解决不同的几何问题，并进行相关的几何证明。
高考空间几何知识点总结
高考空间几何知识点总结在高考中，几何是数学科目中一个重要的考点。
而在几何知识点中，空间几何是其中一项重要的内容。
本文将总结一些高考空间几何的知识点，帮助同学们复习备考。
一、点、线、面的位置关系在空间几何中，点、线、面是最基本的几何概念。
点代表着空间中的一个点；线由无数个点构成，可以延伸至无限远；面由无数个线构成，拥有无限的宽度和长度。
在几何学中，点、线、面之间的关系既可以是相交，也可以是平行。
二、平行与垂直平行和垂直是空间几何中重要的关系。
当两个直线或两个面中的线在空间中没有交点时，它们是平行的。
而当两个面、两个线、或者一条线和一条面，相互交于一个直角时，它们是垂直的。
在高考中，常常会考察各种几何体中的平行和垂直关系，例如平行四边形、正方体等。
三、空间几何体的计算在空间几何中，常常需要计算几何体的体积、表面积等。
各种几何体的计算公式是高考几何中的重点。
例如，立方体的体积可以通过边长的立方得到，而长方体的体积可以通过长乘以宽乘以高得到。
此外，圆柱、圆锥、球体等的计算公式也是需要牢记的。
四、平面与几何体的交点平面与几何体的交点常常被用来构建各种立体图形。
在高考中，同学们需要理解如何根据给定的平面方程与几何体求出交点，并利用这些交点进行计算。
例如，通过一个平面来截取一个立方体，可以得到一个截面图形。
这些几何体的交点也可以用于计算几何体的体积、表面积等。
五、空间几何与解析几何的联系空间几何与解析几何是密切相关的。
解析几何是利用代数方法研究几何问题的一种方法。
在解析几何中，通过点的坐标来表示几何体，在空间几何中，同样可以利用坐标系来确定几何体的位置。
通过解析几何的方法，可以简化空间几何的计算，提高解题的效率。
六、空间向量空间向量是空间几何中一个重要的概念。
向量由大小和方向组成，可以表示两个点之间的位移。
在空间几何中，我们常常使用向量来表示线段或者方向。
例如，利用向量可以确定几何体的位置和方向，计算几何体之间的距离等。
空间几何中的直线与立体几何体的位置关系
空间几何中的直线与立体几何体的位置关系在空间几何中，直线与立体几何体的位置关系是一个重要的研究领域。
直线和立体几何体是空间中的基本要素，它们的相互位置关系对于解决空间几何问题、计算几何以及工程应用都具有重要的意义。
本文将从直线与立体几何体的位置关系的定义、性质和应用等方面进行论述。
一、直线与立体几何体的位置关系的定义在空间几何中，直线与立体几何体的位置关系可以分为四种情况：直线在立体内部、直线与立体相切、直线穿过立体和直线与立体相离。
其中，直线在立体内部指的是直线完全位于立体内部，不与任何面或边相交；直线与立体相切指的是直线与立体的一个面或边恰好相切，不穿过立体；直线穿过立体指的是直线与立体的一个面或边相交，但不在立体内部；直线与立体相离指的是直线与立体没有任何交点。
二、直线与立体几何体的位置关系的性质1. 直线在立体内部的性质：1.1 直线完全位于立体内部，不与任何面或边相交；1.2 直线与立体内部的每个点之间都有一条线段完全位于立体内部。
2. 直线与立体相切的性质：2.1 直线与立体的一个面或边恰好相切，不穿过立体；2.2 直线与立体相切的点在直线上。
3. 直线穿过立体的性质：3.1 直线与立体的一个面或边相交，但不在立体内部；3.2 直线与立体相交的点可以是线段的两个端点或线段上的任意一点；3.3 直线与立体相交的点在直线上。
4. 直线与立体相离的性质：4.1 直线与立体没有任何交点；4.2 直线与立体相离的点在直线上。
三、直线与立体几何体的位置关系的应用直线与立体几何体的位置关系在实际生活和工程应用中具有广泛的应用价值。
以下是一些常见的应用领域：1. 建筑设计：在建筑设计中，直线与立体几何体的位置关系可以用于确定墙体、梁柱等结构的交叉情况，保证建筑物的稳定性和安全性。
2. 机械设计：在机械设计中，直线与立体几何体的位置关系可以用于确定零部件的装配方式和运动轨迹，保证机械设备的正常运行和工作效率。
空间点线面之间位置关系知识点总结
高中空间点线面之间位置关系知识点总结第一章空间几何体（一）空间几何体的结构特征（1）多面体——由若干个平面多边形围成的几何体.旋转体——把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体。
其中，这条定直线称为旋转体的轴。
（2）柱，锥，台，球的结构特征1.1棱柱——有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。
1.2圆柱——以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱.2.1棱锥——有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。
2.2圆锥——以直角三角形的一直角边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆锥。
3.1棱台——用一个平行于底面的平面去截棱锥，我们把截面与底面之间的部分称为棱台.3.2圆台——用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台.4.1球——以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球.（二）空间几何体的三视图与直观图1.投影：区分中心投影与平行投影。
平行投影分为正投影和斜投影。
2.三视图——正视图；侧视图；俯视图；是观察者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出的图形；画三视图的原则：长对齐、高对齐、宽相等3.直观图：直观图通常是在平行投影下画出的空间图形。
4.斜二测法：在坐标系'''x o y中画直观图时，已知图形中平行于坐标轴的线段保持平行性不变，平行于x轴（或在x轴上）的线段保持长度不变，平行于y轴（或在y轴上）的线段长度减半。
重点记忆：直观图面积=原图形面积(三)空间几何体的表面积与体积1、空间几何体的表面积①棱柱、棱锥的表面积：各个面面积之和②圆柱的表面积③圆锥的表面积2S rl rππ=+④圆台的表面积22S rl r Rl Rππππ=+++⑤球的表面积24S Rπ=⑥扇形的面积公式213602n RS lrπ==扇形（其中l表示弧长，r表示半径）2、空间几何体的体积①柱体的体积V S h=⨯底②锥体的体积13V S h=⨯底③台体的体积1)3V S S h=+⨯下上（④球体的体积343V Rπ=第二章直线与平面的位置关系2.1空间点、直线、平面之间的位置关系2.1.11 平面含义：平面是无限延展的2 平面的画法及表示（1）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成450，且横边画成邻边的2倍长（如图）（2）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC、平面ABCD等。
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考情分析 典型例题 课后作业
原创与经典•大二轮整体设计
微专题二 空间几何体的位置关系
目标 3 简单的翻折问题 例 3 已知直角梯形 ABCD 中，∠C＝∠B＝90°，DC＝2AB，AE⊥CD 于 E，G 为 AE 的中点(如 图①)．将△ADE 沿 AE 折叠，使得 DE⊥EC(如图②)．求证： (1) AE∥平面 BCD； (2) 平面 BDG⊥平面 BDC.
【思维变式题组训练】
1. 如图，在四棱锥 PABCD 中，O 为 AC 与 BD 的交点，AB⊥平面 PAD，△PAD 是
正三角形，DC∥AB，DA＝DC＝2AB.
(1) 若 E 为棱 PA 上一点，且 OE∥平面 PBC，求PAEE的值；
(2) 求证：平面 PBC⊥平面 PDC.
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考情分析 典型例题 课后作业
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考情分析 典型例题 课后作业
原创与经典•大二轮整体设计
微专题二 空间几何体的位置关系
又平面 B1BCC1∩平面 ABC＝BC，AD⊥平面 B1BCC1，CM⊂平面 B1BCC1，故 AD ⊥CM. 又 BM＝1，BC＝2，CD＝1，FC＝2，故△CBM∽△FCD. 易证 CM⊥DF，DF∩AD＝D，AD，DF⊂平面 ADF，故 CM⊥平面 ADF. 又 CM⊂平面 CAM，故平面 CAM⊥平面 ADF.
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考情分析 典型例题 课后作业
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微专题二 空间几何体的位置关系
目标 2 立体几何的存在性 例 2 如图，四棱锥 EABCD 中，EA＝EB，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝2CD.
(1) 求证：AB⊥ED； (2) 线段 EA 上是否存在点 F，使 DF∥平面 BCE？若存在，求出EEFA的值；若不存 在，请说明理由．
年份 2017 2018 2019
解答题 T16考察线线垂直和线面平行 T15考察线面平行和面面垂直
考察线面平行和线线垂直
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微专题二 空间几何体的位置关系
典课 型时 例作 题业
目标 1 位置关系的判定与证明 例 1 如图，在四棱锥 S-ABCD 中，底面 ABCD 是平行四边形．已知平面 SAB⊥平 面 SBC，AS⊥BS，M 为线段 SC 的中点． (1) 求证：AS∥平面 BDM; (2) 若 BS＝BC，求证：BM⊥AC.
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考情分析 典型例题 课后作业
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微专题二 空间几何体的位置关系
设 AB＝a，在等腰直角三角形 PCD 中，DF＝PF＝ 2a. 在 Rt△PAB 中，PB＝ 5a. 在直角梯形 ABCD 中，BD＝BC＝ 5a. 因为 BC＝PB＝ 5a，点 F 为 PC 的中点，所以 PC⊥FB. 在 Rt△PFB 中，FB＝ 3a. 在△FDB 中，由 DF＝ 2a，FB＝ 3a，BD＝ 5a 可知 DF2＋FB2＝BD2，所以 FB ⊥DF. 由 DF⊥PC，DF⊥FB，PC∩FB＝F，PC，FB⊂平面 PBC，所以 DF⊥平面 PBC. 又 DF⊂平面 PCD，所以平面 PBC⊥平面 PDC.
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考情分析 典型例题 课后作业
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微专题二 空间几何体的位置关系
(2) 解析：点 F 满足EEAF＝12，即 F 为 EA 的中点时，有 DF∥平面 BCE. 证明如下：取 EB 的中点 G，连接 CG，FG. 因为 F 为 EA 的中点，所以 FG∥AB，FG＝12AB. 因为 AB∥CD，CD＝12AB，所以 FG∥CD，FG＝CD. 所以四边形 CDFG 是平行四边形，所以 DF∥CG. 因为 DF⊄平面 BCE，CG⊂平面 BCE，所以 DF∥平面 BCE.
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考情分析 典型例题 课后作业
原创与经典•大二轮整体设计
微专题二 空间几何体的位置关系
2. 如图，在三棱锥 P-ABC 中，平面 PAC⊥平面 ABC，AB＝BC，PA⊥PC.点 E，F， O 分别为线段 PA，PB，AC 的中点，点 G 是线段 CO 的中点．求证： (1) FG∥平面 EBO； (2) PA⊥BE.
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核心模块三 立体几何 微专题二 空间几何体的位置关系
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微专题二 空间几何体的位置关系
考课 情时 分作 析业
在近几年的高考题中，空间几何体的位置关系如线面平行都有考察，线线垂直和 面面垂直也都有考察，难度为基础题，对证明的书写规范要求很高．
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考情分析 典型例题 课后作业
原创与经典•大二轮整体设计
(1) 证明：取 AB 的中点 O，连接 EO，DO.
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因为 EA＝EB，所以 EO⊥AB.因为 AB∥CD，AB＝2CD，所以 BO∥CD，BO＝CD. 又因为 AB⊥BC，所以四边形 OBCD 为矩形，所以 AB⊥DO. 因为 EO∩DO＝O，EO，DO⊂平面 EOD，所以 AB⊥平面 EOD.所以 AB⊥ED.
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微专题二 空间几何体的位置关系
证明：(1) 因为 AB⊥BC，BC⊥BB1，AB∩BB1＝B， AB，BB1⊂平面 ABB1， 所以 BC⊥平面 ABB1.又 AB1⊂平面 ABB1，所以 AB1⊥BC. 又因为 AB＝A1B＝1，BB1＝ 2＝AA1，得 AA21＝AB2＋A1B2， 所以 A1B⊥AB. 又 AB，BC⊂平面 ABC，AB∩BC＝B，所以 A1B⊥平面 ABC. (2) 连接 A1C 交 AC1 于点 E，连接 DE.在△A1BC 中，D，E 分别为 BC，A1C 的中点， 所以 DE∥A1B.又 A1B⊄平面 AC1D，DE⊂平面 AC1D，所以 A1B∥平面 AC1D.
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微专题二 空间几何体的位置关系
【思维变式题组训练】 1. 如图，在三棱柱 ABCA1B1C1 中，D 为棱 BC 的中点，AB⊥BC，BC⊥BB1，AB＝ A1B＝1，BB1＝ 2.求证： (1) A1B⊥平面 ABC； (2) A1B∥平面 AC1D.
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图①
图②
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证明：(1) 设 AC，BD 交点为 O，连接 OM. 因为底面 ABCD 是平行四边形，所以 O 为 AC 的中点． 因为 M 为线段 SC 的中点，所以 OM∥AS. 因为 OM⊂平面 BDM，AS⊄平面 BDM 所以 AS∥平面 BDM.
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Байду номын сангаас
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证法二：取 PD，PC 的中点，分别为 M，F，连接 AM，FB，MF，
所以 MF∥DC，MF＝12DC. 因为 DC∥AB，AB＝12DC，所以 MF∥AB，MF＝AB， 即四边形 ABFM 为平行四边形，所以 AM∥BF. 在正三角形 PAD 中，M 为 PD 的中点，所以 AM⊥PD. 因为 AB⊥平面 PAD，所以 AB⊥AM. 又因为 DC∥AB，所以 DC⊥AM.
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点评：本题第(2)问属于典型的立体几何中的探索问题，要确定点的位置情况，再 证明线面平行．注意与思维变式题组第 1 题的区别．
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2. 如图，直三棱柱 ABCA1B1C1 中，D，E 分别是棱 BC，AB 的中点，点 F 在棱 CC1 上，已知 AB＝AC，AA1＝3，BC＝CF＝2. (1) 求证：C1E∥平面 ADF； (2) 设点 M 在棱 BB1 上，当 BM 为何值时，平面 CAM⊥平面 ADF?
微专题二 空间几何体的位置关系
又因为 O 为线段 AC 的中点，G 是线段 CO 的中点， 所以OAOG＝2. 于是AQQF＝OAOG，所以 FG∥QO. 因为 FG⊄平面 EBO，QO⊂平面 EBO， 所以 FG∥平面 EBO.
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解析：(1) 连接 CE 交 AD 于 O，连接 OF. 因为 CE，AD 为△ABC 的中线，则 O 为△ABC 的重心，故CCOE＝23.又CCCF1＝23，故 OF∥C1E. 因为 OF⊂平面 ADF，所以 C1E∥平面 ADF. (2) 当 BM＝1 时，平面 CAM⊥平面 ADF. 因为 AB＝AC，故 AD⊥BC. 在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，B1B⊥平面 ABC，BB1⊂平面 B1BCC1，故平面 B1BCC1 ⊥平面 ABC.
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证明：(1) 连接 AF 交 BE 于 Q，连接 QO.
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因为 E，F 分别为边 PA，PB 的中点， 所以 Q 为△PAB 的重心，故AQQF＝2.