两角和差的正切公式课件
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数学人教A版必修第一册5.5.1两角和与差的正弦、余弦、正切公式课件
4
22
又因为sin 2 5 , 13
注意 2 的范围
所以cos 2 1 sin2 2 1 ( 5 )2 12 . 13 13
tan 4 sin 4 ( 120) 169 120 . cos 4 169 119 119
练习：课本135页 5(1)(3)
例2 (1) sin15cos15
44 . 117
2
练习：课本223页 3
解：∵sin 2 sin ,sin 2 sin 0,
即：2sin cos sin 0,
∵ ( , ),sin 0,2 cos 1 0,
2
cos 1 , 2 ,
2
3
tan tan 2 3
3
练习：课本223页 4
解：∵tan 2
tan 22.5 （3）1 tan2 22.5 ；
（2）cos2 π sin2 π ；
8
8
（4）2cos2 22.5°－1．
(1).原式=
1 2
sin30°=
1 4
(3).原式=
1 2
tan45°=
1 2
(2).原式=cos
π 4
=
2
2
(4).原式= cos45°=
2
2
3. 2 sin2 2 cos 4的值是( )
变形公式
升幂公式：1＋cos 2 1 cos 2
2 cos2 2sin 2
降幂公式：scions22＝＝11－＋cco2o2ss22
例1. 已知sin 2 5 , ，
13 4
2
求 sin 4，cos 4，tan 4的值.
分析：先求 cos2的值，再利用公式求值.
解：由 , 得 2 .
苏教版高中数学必修第二册10.1.3_两角和与差的正切公式_课件
1－ 3tan 75°
(2)
＝________；
3＋tan 75°
解析
答案
1－tan 60°tan 75°
1
1
原式＝
＝
＝
＝－1.
tan 60°＋tan 75° tan（60°＋75°） tan 135°
－1
(3)求值：tan 23°＋tan 37°＋ 3tan 23°tan 37°＝________.
__________________
α·
tan β≠±1
[微思考]
你能借助两角和与差的正、余弦公式推导tan(α＋β)与tan(α－β)吗？
sin（α＋β） sin αcos β＋cos αsin β
提示 tan(α＋β)＝
＝
cos（α＋β） cos αcos β－sin αsin β
sin α sin β
10.1.3 两角和与差的正切公式
教材知识探究
1
1
如图所示，每个小正方形的边长为 1，tan α＝ ，tan β＝ ，∠COD＝α－β.
2
3
问题
能否求出tan(α－β)和tan(α＋β)的值.
提示 能；利用两角和与差的正切公式可求tan(α－β)，tan (α＋β)的值.
两角和与差的 正切公式
名称
给值求值问题的两种变换
(1)式子的变换：分析已知式子的结构特点，结合两角和与差的三角函数公式，通过变
形，建立与待求式间的联系以实现求值.
(2)角的变换：第一从已知角间的关系入手，分析已知角与待求角间的关系，如用α＝β
－(β－α)，2α＝(α＋β)＋(α－β)等关系，把待求的三角函数与已知三角函数奇妙地建立
B.1
两角和与差的正弦、余弦、正切公式 课件
即 tan(α－β)＝________，这就是两角差的正切公式．
练习 5：1t＋an4ta5n°4－5°ttaann1155°°＝________________.
tan α－tan β 1＋tan αtan β
练习：5.
3 3
思考应用
3．两角和与差的正切公式的适用范围及公式的特 征有哪些？
解析：(1) 适用范围：限制条件：α、β、α＋β 均不为 kπ＋π2(k∈Z)；可以是数、字母和代数式．从公式推导过程进 行说理：cos(α＋β)≠0，则 α＋β≠kπ＋π2；同除 cos α、cos β， 得 cos α≠0，cos β≠0，则 α≠kπ＋π2，cos β≠kπ＋π2.cos x≠0， 保证了 tan x 有意义．
∵cos(α－β)＝1134，∴sin(α－β)＝3143， 由 β＝α－(α－β)，得
cos β＝cos[α－(α－β)]
＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)
＝17×1134＋4 7 3×3143＝7×4914＝12， ∵0<β<π2，所以 β＝π3.
点评： 解答此类问题分三步：第一步，求角的某 一个三角函数值；第二步，确定角所在的范围；第三 步，根据角的范围写出所求的角．特别注意选取角的 某一个三角函数值，是取正弦？还是取余弦？应先缩 小所求角的取值范围，最好把角的范围缩小在某一三 角函数值的一个单调区间内．
sin αcos β＋cos αsin β
以－β 代替公式 sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β
中的 β，得到 sin[α＋(－β)]＝sin αcos(－β)＋
cos αsin(－β)＝sin αcos β－cos αsin β，
高中数学两角和与差的正弦、余弦、正切公式课件
Thanks.
小结：
1.掌握C ( ) , C( ) 公式的推导,小心
它们的差别与联系;
2.注意角的拆分与组合,如:
( ) , 2 ( ) ,
2 ( ) ( ),
2 ( ) ( ),
( − ) = − .
公式五
( − ) = ，
( − ) = .
公式六
( + ) = ，
2
( + ) = − .
2
3.两点间的距离公式
平面上任取两点A(x 1 , y1 ), B(x 2 , y 2 )
2
2
sin cos cos sin
两角差的正弦公式
两角和的正弦公式：sin( ) sin cos cos sin
两角差的正弦公式：sin( ) sin cos cos sin
法一：
sin( )
sin[ ( )]
A(x 1 , y 1 )
y
| y1 y 2 |
B(x 2 , y 2 )
| x1 x 2 |
0
x
2
2
AB (x1 x2 ) (y 1 y 2 )
02
两角和与差的余弦公式
终边
两角差的余弦公式
y
P1 (cos , sin )
终边
A1 (cos , sin )源自,
2
2
2
3.注意整体代换思想的应用.
2
;
1
④ cos
2第2课时 两角和与差的正切公式课件人教新课标
栏目 导引
给值求角(值)
第三章 三角恒等变换
已知 tan α＝2，tan β＝－13，其中 0＜α＜π2，π2＜β＜π. (1)求 tan(α－β)； (2)求 α＋β 的值．
栏目 导引
【解】 (1)因为 tan α＝2，tan β＝－13，
第三章 三角恒等变换
所以 tan(α－β)＝1t＋antaαn－αttaannββ＝21＋ －1323＝7.
栏目 导引
第三章 三角恒等变换
已知 cos θ＝－1123，θ∈π，32π，则 tanθ－π4＝ ________． 解析：因为 cos θ＝－1123，θ∈π，32π，所以 sin θ＝－ 1－cos2θ ＝－153，所以 tan θ＝csions θθ＝152. 所以 tanθ－π4＝1t＋antaθn－θttaann π4π4＝1152＋－1521＝－177. 答案：－177
栏目 导引
第三章 三角恒等变换
2．已知 tan(α＋β)＝7，tan α＝34，且 β∈(0，π)，则 β 的值为 ________． 解析：tan β＝tan[(α＋β)－α]＝1t＋ant（anα（＋αβ＋）β－）ttaannαα ＝1＋7－734×34＝1， 因为 β∈(0，π)，所以 β＝π4.
所以 tan 23°＋tan 37°＋ 3tan 23°tan 37°＝ 3.
栏目 导引
第三章 三角恒等变换
公式 T(α±β)的逆用及变形应用的解题策略
(1)“1”的代换：在 T(α±β)中，如果分子中出现“1”常利用 1＝tan π4来 代换，以达到化简求值的目的，
如11－＋ttaann αα＝tanπ4－α；
)
答案：(1)× (2)√ (3)×
栏目 导引
给值求角(值)
第三章 三角恒等变换
已知 tan α＝2，tan β＝－13，其中 0＜α＜π2，π2＜β＜π. (1)求 tan(α－β)； (2)求 α＋β 的值．
栏目 导引
【解】 (1)因为 tan α＝2，tan β＝－13，
第三章 三角恒等变换
所以 tan(α－β)＝1t＋antaαn－αttaannββ＝21＋ －1323＝7.
栏目 导引
第三章 三角恒等变换
已知 cos θ＝－1123，θ∈π，32π，则 tanθ－π4＝ ________． 解析：因为 cos θ＝－1123，θ∈π，32π，所以 sin θ＝－ 1－cos2θ ＝－153，所以 tan θ＝csions θθ＝152. 所以 tanθ－π4＝1t＋antaθn－θttaann π4π4＝1152＋－1521＝－177. 答案：－177
栏目 导引
第三章 三角恒等变换
2．已知 tan(α＋β)＝7，tan α＝34，且 β∈(0，π)，则 β 的值为 ________． 解析：tan β＝tan[(α＋β)－α]＝1t＋ant（anα（＋αβ＋）β－）ttaannαα ＝1＋7－734×34＝1， 因为 β∈(0，π)，所以 β＝π4.
所以 tan 23°＋tan 37°＋ 3tan 23°tan 37°＝ 3.
栏目 导引
第三章 三角恒等变换
公式 T(α±β)的逆用及变形应用的解题策略
(1)“1”的代换：在 T(α±β)中，如果分子中出现“1”常利用 1＝tan π4来 代换，以达到化简求值的目的，
如11－＋ttaann αα＝tanπ4－α；
)
答案：(1)× (2)√ (3)×
栏目 导引
《两角和与差的正弦、余弦、正切公式》三角函数PPT
何选择公式,选择哪一个公式会更好.需要说明的是,(4)运用到了切
化弦,将特殊值 化为tan 60°等,为此可以熟记一些常见的特殊角
的函数值,如1=sin 90°=cos 0°=tan 45°, =tan
3 60°等.
2.公式的推广:本例第(5)小题所得结论可以推广到一般情形:若
π
A+B= ,则(1+tan A)(1+tan B)=2;若(1+tan A)(1+tan B)=2,则
(4)sin 15°+cos 15°= 2 sin 60°.(
)
答案:(1)× (2)× (3)√ (4)√
)
课前篇
自主预习
一
二
三
四
三、两角和与差的正切公式
1.(1)求tan 15°的值.
提示:(1)∵sin 15°=sin(45°-30°)=sin 45°cos 30°-cos 45°sin
6- 2
2sin50°cos10°+2sin10°cos50°
×
cos10°
cos10°
2cos 10°
=2 2(sin 50°cos 10°+sin 10°cos 50°)
=
=2 2sin(50°+10°)=2 2 × 3 = 6.
2
1
(2)原式=sin(α+β)cos α-2[sin(α+α+β)-sin(α+β-α)]=sin(α+β)cos
(2)sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β.
课前篇
自主预习
一
二
三
四
3.判断正误
(1)sin(α-β)=sin αcos α-cos βsin β.(
化弦,将特殊值 化为tan 60°等,为此可以熟记一些常见的特殊角
的函数值,如1=sin 90°=cos 0°=tan 45°, =tan
3 60°等.
2.公式的推广:本例第(5)小题所得结论可以推广到一般情形:若
π
A+B= ,则(1+tan A)(1+tan B)=2;若(1+tan A)(1+tan B)=2,则
(4)sin 15°+cos 15°= 2 sin 60°.(
)
答案:(1)× (2)× (3)√ (4)√
)
课前篇
自主预习
一
二
三
四
三、两角和与差的正切公式
1.(1)求tan 15°的值.
提示:(1)∵sin 15°=sin(45°-30°)=sin 45°cos 30°-cos 45°sin
6- 2
2sin50°cos10°+2sin10°cos50°
×
cos10°
cos10°
2cos 10°
=2 2(sin 50°cos 10°+sin 10°cos 50°)
=
=2 2sin(50°+10°)=2 2 × 3 = 6.
2
1
(2)原式=sin(α+β)cos α-2[sin(α+α+β)-sin(α+β-α)]=sin(α+β)cos
(2)sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β.
课前篇
自主预习
一
二
三
四
3.判断正误
(1)sin(α-β)=sin αcos α-cos βsin β.(
两角和与差的正弦课件
03
CHAPTER
两角和与差的正弦公式的扩 展
半角公式
半角公式
sin(A/2) = ±√[(1-cosA)/2]
应用
在解三角形问题中，利用半角公式可以求得角度的半角值，进而求得角度的精确值。
积化和差与和差化积公式
积化和差公式
sinAcosB = 1/2[sin(A+B) + sin(A-B)]
05
CHAPTER
两角和与差的正弦公式的注 意事项
公式使用的条件
01
02
03
公式适用范围
两角和与差的正弦公式适 用于角度在$0$到$pi$之 间的情况，超出此范围需 要特别处理。
角度单位统一
在使用公式时，需要确保 角度的单位统一，一般以 弧度为单位。
特殊角的处理
对于一些特殊角，如 $frac{pi}{2}$，需要特别 注意公式的应用，避免出 现错误的结果。
在三角函数图象和性质中的应用
两角和与差的正弦公式在研究三角函数的图象和性质时也 具有重要意义。通过运用正弦公式，可以推导出一些三角 函数的性质，如周期性、奇偶性等。
在绘制三角函数的图象时，可以利用正弦公式计算出不同 角度下的正弦值，从而绘制出完整的正弦函数图象。此外 ，在研究三角函数的对称性和周期性时，也需要用到两角 和与差的正弦公式。
公式推导过程
总结词
详细描述了如何推导两角和与差的正弦公式。
详细描述
首先，利用三角函数的加法公式，将sin(α+β)表示为sinαcosβ + cosαsinβ。然后， 利用三角函数的减法公式，将sin(α-β)表示为sinαcosβ - cosαsinβ。通过这两个公 式，可以方便地计算出任意两个角度的和与差的正弦值。
两角和与差的正弦、余弦、正切公式 课件
2 2.
(2)(tan 10°－
Hale Waihona Puke cos 3) sin5100°°＝(tan
10°－tan
cos 60°) sin
10° 50°
＝csoins
1100°°－csoins
60°cos 60° sin
5100°°＝cossin10－°c5o0s°60°·csoins
10° 50°
＝－cos160°＝－2.
例 3 已知 sin(2α＋β)＝3sin β，求证：tan(α＋β)＝2tan α.
证明 sin(2α＋β)＝3sin β ⇒sin[(α＋β)＋α]＝3sin[(α＋β)－α] ⇒sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α ＝3sin(α＋β)cos α－3cos(α＋β)sin α ⇒2sin(α＋β)cos α＝4cos(α＋β)sin α ⇒tan(α＋β)＝2tan α. 小结 证明三角恒等式一般采用“由繁到简”、“等价转化”、 “往中间凑”等办法，注意等式两边角的差异、函数名称的差异、 结构形式的差异．
解 原式＝sinπ4－3xcos3π－3x－sinπ3－3xcos4π－3x
＝sinπ4－3x－3π－3x＝sinπ4－π3＝sin
π 4cos
π3－cos
π 4sin
π 3
＝ 22×12－ 22× 23＝
2－ 4
6 .
【典型例题】
例 1 化简求值： (1)sin(x＋27°)cos(18°－x)－sin(63°－x)sin(x－18°)；
探究点一 由公式 C(α－β)推导公式 C(α＋β) 由于公式 C(α－β)对于任意 α，β 都成立，那么把其中的＋β 换成 －β 后，也一定成立．请你根据这种联系，从两角差的余弦公 式出发，推导出用任意角 α，β 的正弦、余弦值表示 cos(α＋β) 的公式．试一试写出推导过程． 答 ∵α＋β＝α－(－β)，cos(－β)＝cos β，sin(－β)＝－sin β，
5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式课件(人教版)
sin(α－β)＝ sin αcos β－cos αsin β ，其中α，β∈R，简记作S(α－β).
注意点：
(1)注意公式的展开形式，两角和与差”，两角和与差的正弦展开可简记为“正余余正，符号相同”.
(2)公式的逆用，一定要注意名称的顺序和角的顺序.
公式巩固
利用两角和与差的正余弦公式，计算下列三角函数的值：
(1) sin15°
(2) cos75°
例2
3
5
已知 sin α＝5，cos β＝－13，且 α 为第一象限角，β 为第二象限角，
求 sin(α＋β)的值.
3
5
因为 α 为第一象限角，β 为第二象限角，sin α＝5，cos β＝－13，
4
12
所以 cos α＝5，sin β＝13，
A. 3
√
3
B. 3
C.3
D.1
1－tan 15° tan 45°－tan 15°
3
＝
＝tan(45°－15°)＝tan 30°＝ 3 .
1＋tan 15° 1＋tan 45°tan 15°
例2
√
π
3
1
已知 sin α＝5，α∈2，π，tan(π－β)＝2，则 tan(α－β)的值为
3
，(
4
− ) =
12
， (
13
+ ) =
3
− ，
5
跟 踪 训 练 2
已知 ∈
整体法给值求值问题
( , )，(
2
+
)
4
=
3
，则
5
=________.
5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式课件2024-2025学年人教A版必修第一册
π
0<β<α<2,
=
2
.
2
变式探究
π
本例中,若将条件“α,β均为锐角”改为“α,β∈ 2 ,π
”,再求α-β的值.
解因为 α,β∈
π
,π
2
,sin
2 5
α= 5 ,sin
β=
cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β= 又因为 sin α>sin
π
β,所以2<α<β<π,
π
因此-2<α-β<0,故
(cosα,sinα)
(cosβ,sinβ)
(cos(α-β),sin(α-β))
y
单位圆与x轴非负半轴交于A(1,0)
α
O
β
α-β
x
新课内容
(cosα,sinα)
(cosβ,sinβ)
P1OA1 POA
(SAS)
(cos(α-β),sin(α-β))根据圆的旋转对称性，容易发现AP＝A P
例1.利用公式C(α-β)证明:
cos(α − β) = cosαcosβ + sinαsinβ
（1） cos( ) sin ；
2
（2） cos( ) cos .
例1.利用公式C(α-β)证明:
（1） cos( ) sin ；
2
y
证明：
(, )
新课内容
sinα=y
cosα=x
问题1:已知 为角α的终边，
用α的三角函数来表示单位圆上点 的坐标
y
问题2:已知 为角β的终边，
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两角和差的正切公式
问题探讨
首先推导tan( ).
sin( ) tan( ) cos( )
(这里有什么要求?)
k ( k Z ) 2
sin cos cos sin cos cos sin sin sin cos cos sin cos cos cos cos (又有什么要求?) cos cos sin sin k 2 cos cos cos cos k ( k Z ) tan tan 2 1 tan tan
1 - 3tan75 o (2) o 3 + tan75
提高练习：
1、已知tanα、tanβ是方程3x２+5x-1=0的两根，
则tan（α+β）=
5 4。
1 tan 75 0 2、化简 0=（ 1 tan 75
3、已知tan（α+β）=
。
1，tanα=-2，则 tanβ＝ 3
）， 2
基础练习
tan17+tan28+tan17tan28 1.求值： 解： ∵
tan17 tan 28 tan( 28 ) 17 1 tan17 tan 28
∴tan17+tan28=tan(17+28)(1tan17 tan28) =1 tan17tan28 ∴原式=1 tan17tan28+ tan17tan28=1
3 ） 3
。 ７
4、tan10０tan20０+ tan10０tan60０+tan20０tan60０= 5、已知tanα=3，tanβ=2，α、β∈（0， 求证：α+β=
1。
3 4
小
结
注 : (1) , 中 有一 个角 为 当
两角和与差的正弦、余弦、正切 公式的内在联系：
S ( ) 以 代 S ( ) C ( ) C ( )
2
( k Z ).
例5.△ABC中， 求证 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC.
证明： ∵tanA、tanB、tanC 都有意义， ∴tanAtanB≠1. ∴△ABC中没有直角，
tan A tan B , ∵ tan(A+B)= 1 tan A tan B
∴ tanA+tanB= tan(A+B)–tanAtanBtan(A+B) =tan(180°–C)–tanAtanBtan(180°–C) = –tanC+tanAtanBtanC， ∴tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC.
相除 相除
以 代
2 公 式为 简便 . ( 2)在 公式T( )和T( )中, , , , 均 不能 等 于 k
的 整数 倍时以 利用 诱导 ,
T( )
T( )
三角函数恒等变形实质是对角、函数名称的变化，而转 化的依据就是一系列三角公式，如: ①同角三角函数关系——可实现函数名称的转化； ②诱导公式及和、差角的三角函数——可实现角的形式的转 化.在应用公式时要注意它的逆向变换、多向变换，即对公式 要“三会”:正用、逆用、变用.要注意通过拆角、拼角的技巧 用已知角表示未知角.
基础训练题
例1.求(1) tan 75 ;(1) tan15 的值.
(1)2 3;(2)2 3.
基础训练题
例2.求下列各式的值 : tan 42 tan18 tan 30 tan 75 (1) ;(2) . 1 tan 42 tan18 1 tan 3(1)tan(α+β)(1 - tanαtanβ) tan(α-β)+ tanβ (2) 1 - tan(α-β)tanβ 答案: (1)tanα+ tanβ
(2)tanα
3、求值： (1) tan71 - tan26 答案: (1) 1
o o
1+ tan71o tan26o
(2) -1
(1) 3; (2) 1.
能力训练题
1 tan15 例3.求 的值. 1 tan15
分析,1 tan 45 ,
1 tan15 tan 45 tan15 3 1 tan15 1 tan 45 tan15
能力训练题
问题探讨
两角和的正切公式:
代号 : T( )
tan tan tan( ) 1 tan tan
问 : 如何解决两角差的正切 ? 问题
tan tan( ) tan( ) tan[ ( )] 1 tan tan( ) 两角差的正切公式: 代号 : T( ) tan( ) tan tan 1 tan tan 公式的特点:
(1)公式中, 、 、 、 的取值要使正切值有意 ; 义 ( 2)公式中右边是分式分子是与 的正切和 差), 分母是1与 , ( 、 的正切积的差 和). ( ( 3)公式中都是正切运算分子加运算与左边的和差)同相, 分 , ( 母相反. (4)两角和的正切公式中有 tan , tan tan 式子, 因 tan 此常又与一元二次方程 联系在一起.
例4.已知一元二次方程ax 2 bx c 0(a 0且a c) 的根是 tan , tan , 求 tan( )的值.
b tan tan tan tan a 代入即可 分析 : tan( ) 而 . c 1 tan tan tan tan a
问题探讨
首先推导tan( ).
sin( ) tan( ) cos( )
(这里有什么要求?)
k ( k Z ) 2
sin cos cos sin cos cos sin sin sin cos cos sin cos cos cos cos (又有什么要求?) cos cos sin sin k 2 cos cos cos cos k ( k Z ) tan tan 2 1 tan tan
1 - 3tan75 o (2) o 3 + tan75
提高练习：
1、已知tanα、tanβ是方程3x２+5x-1=0的两根，
则tan（α+β）=
5 4。
1 tan 75 0 2、化简 0=（ 1 tan 75
3、已知tan（α+β）=
。
1，tanα=-2，则 tanβ＝ 3
）， 2
基础练习
tan17+tan28+tan17tan28 1.求值： 解： ∵
tan17 tan 28 tan( 28 ) 17 1 tan17 tan 28
∴tan17+tan28=tan(17+28)(1tan17 tan28) =1 tan17tan28 ∴原式=1 tan17tan28+ tan17tan28=1
3 ） 3
。 ７
4、tan10０tan20０+ tan10０tan60０+tan20０tan60０= 5、已知tanα=3，tanβ=2，α、β∈（0， 求证：α+β=
1。
3 4
小
结
注 : (1) , 中 有一 个角 为 当
两角和与差的正弦、余弦、正切 公式的内在联系：
S ( ) 以 代 S ( ) C ( ) C ( )
2
( k Z ).
例5.△ABC中， 求证 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC.
证明： ∵tanA、tanB、tanC 都有意义， ∴tanAtanB≠1. ∴△ABC中没有直角，
tan A tan B , ∵ tan(A+B)= 1 tan A tan B
∴ tanA+tanB= tan(A+B)–tanAtanBtan(A+B) =tan(180°–C)–tanAtanBtan(180°–C) = –tanC+tanAtanBtanC， ∴tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC.
相除 相除
以 代
2 公 式为 简便 . ( 2)在 公式T( )和T( )中, , , , 均 不能 等 于 k
的 整数 倍时以 利用 诱导 ,
T( )
T( )
三角函数恒等变形实质是对角、函数名称的变化，而转 化的依据就是一系列三角公式，如: ①同角三角函数关系——可实现函数名称的转化； ②诱导公式及和、差角的三角函数——可实现角的形式的转 化.在应用公式时要注意它的逆向变换、多向变换，即对公式 要“三会”:正用、逆用、变用.要注意通过拆角、拼角的技巧 用已知角表示未知角.
基础训练题
例1.求(1) tan 75 ;(1) tan15 的值.
(1)2 3;(2)2 3.
基础训练题
例2.求下列各式的值 : tan 42 tan18 tan 30 tan 75 (1) ;(2) . 1 tan 42 tan18 1 tan 3(1)tan(α+β)(1 - tanαtanβ) tan(α-β)+ tanβ (2) 1 - tan(α-β)tanβ 答案: (1)tanα+ tanβ
(2)tanα
3、求值： (1) tan71 - tan26 答案: (1) 1
o o
1+ tan71o tan26o
(2) -1
(1) 3; (2) 1.
能力训练题
1 tan15 例3.求 的值. 1 tan15
分析,1 tan 45 ,
1 tan15 tan 45 tan15 3 1 tan15 1 tan 45 tan15
能力训练题
问题探讨
两角和的正切公式:
代号 : T( )
tan tan tan( ) 1 tan tan
问 : 如何解决两角差的正切 ? 问题
tan tan( ) tan( ) tan[ ( )] 1 tan tan( ) 两角差的正切公式: 代号 : T( ) tan( ) tan tan 1 tan tan 公式的特点:
(1)公式中, 、 、 、 的取值要使正切值有意 ; 义 ( 2)公式中右边是分式分子是与 的正切和 差), 分母是1与 , ( 、 的正切积的差 和). ( ( 3)公式中都是正切运算分子加运算与左边的和差)同相, 分 , ( 母相反. (4)两角和的正切公式中有 tan , tan tan 式子, 因 tan 此常又与一元二次方程 联系在一起.
例4.已知一元二次方程ax 2 bx c 0(a 0且a c) 的根是 tan , tan , 求 tan( )的值.
b tan tan tan tan a 代入即可 分析 : tan( ) 而 . c 1 tan tan tan tan a