高中数学(北师大版)选修2-2教案：第1章 复习点拨：综合法与分析法解题全过程
高中数学(北师大版)选修2-2教案：第1章 教材解读：综合法与分析法
《综合法与分析法》教材解读一、重点知识梳理1、综合法是把整个不等式看成一个整体，从某一个或几个不等式出发经过变形、运算推导出欲证的不等式。
综合法是证明不等式时一种较为简捷的方法，其简捷之处就再于直接运用了不等式的有关定理、性质来解决问题。
当然，要想运用定理、不等式，必须具备相应的条件，另外，在证题的过程中，要能够通过对条件与结论及不等式两端的差距与联系的比较、分析，制定出合理的解题策略，并加以实施。
常用的关系有：①若ab ＞0，则b a ＋a b≥2(当且仅当a ＝b 时取“＝”号)；②若t ＞0，则t ＋1t ≥2(当且仅当t ＝1时取“＝”号)；若t ＜0，则t ＋1t≤－2(当且仅当t ＝－1时取“＝”号)；③若a ，b ∈R ，则ab ≤(a ＋b 2)2≤a 2＋b 222、分析法实质上是从欲证的不等式出发，去寻找使之成立的充分条件。
在证明的过程中，要保证变形的每一步都是可逆的，即分析得到的每一步都是上一步成立的充分条件。
分析法是证明不等式的一种常用的方法，通常情况下，当一个不等式无法利用比较法和综合法加以证明时，可以采用这一方法。
这一方法对于一些条件较为简单而结论复杂的问题往往特别有效。
分析法与综合法是两种思路截然相反的证明方法。
综合法与分析法是对应统一的，证题时常将两种方法交替使用。
在证明不等式时，对于复杂的不等式，直接运用综合法证明往往难以确定解决问题的策略，通常要分析、探索证题途径，然后再运用综合法加以证明，即用分析法探路，用综合法叙述。
综合法和分析法的推证过程如下：综合法——已知条件⇒∙∙∙⇒∙∙∙⇒ 分析法—— ⇐∙∙∙⇐∙∙∙⇐已知条件二、疑、难点解析这部分的难点是分析法证明过程的书写以及两种方法在证题中选择和使用。
结论结论例1、设a ，b ，c 均为正数，且a ＋b ＋c ≤3，求证：11＋a ＋11＋b ＋11＋c ≥32. 证明：注意到上述不等式当a ＝b ＝c ＝1时取等号，由二元均值不等式可得：11＋a ＋1＋a 4≥211＋a ·1＋a 4＝1，同理11＋b ＋1＋b 4≥1，11＋c ＋1＋c 4≥1， 三式累加，得11＋a ＋11＋b ＋11＋c ＋3＋a ＋b ＋c 4≥3， ∴11＋a ＋11＋b ＋11＋c ≥3－3＋a ＋b ＋c 4， ∵a ＋b ＋c ≤3，－(a ＋b ＋c)≥－3， ∴11＋a ＋11＋b ＋11＋c ≥32. 点评：由于本题所证不等式为轮换对称式(交换任意两个字母不等式不发生改变)，具有这种规律的不等式常常采用综合法证明.本题证明中涉及到了三个不等式相加，这种方法称为累加法，是证明不等式的一种基本而又重要的方法，在使用这一方法时，如能根据所证不等式取等号的条件，灵活应用平均值不等式，往往能直接推得所需结论.注意：（1）综合法是“由因导果”，即从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”。
高中数学选修2-2 北师大版 第一章 2.1 综合法与分析法
[学习目标] 1.了解直接证明的两种基本方法：分析法与综合法.2.了解分析法和综合法的思维过程和特点.3.会用分析法、综合法证明实际问题.知识点一综合法1.综合法定义从命题的条件出发，利用定义、公理、定理及运算法则，通过演绎推理，一步一步地接近要证明的结论，直到完成命题的证明，这样的思维方法称为综合法.2.基本模式综合法的证明过程如下：已知条件⇒…⇒…⇒结论即用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示所要证明的结论，则综合法用框图可表示为P⇒Q1→Q1⇒Q2→Q2⇒Q3→…→Q n⇒Q3.综合法的证明格式因为…，所以…，所以…，…，所以…成立.思考综合法的推理过程是合情推理还是演绎推理？答案演绎推理.知识点二分析法1.分析法定义从求证的结论出发，一步一步地探索，保证前一个结论成立的充分条件，直到归结为这个命题的条件，或者归结为定义、公理、定理等，这样的思维方法称为分析法.2.基本模式用Q表示要证明的结论，P表示条件，则分析法可用框图表示为Q⇐P1→P1⇐P2→P2⇐P3→…→得到一个明显成立的条件3.分析法的证明格式要证…，只需证…，只需证…，…，因为…成立，所以…成立.思考 分析法与综合法有哪些异同点？答案 相同点：两者都是直接利用原命题的条件(或结论)，逐步推得命题成立的证明方法——直接证明法.不同点：证法1，由因导果，使用综合法；证法2，执果索因，使用分析法.题型一 综合法的应用例1 已知a ，b 是正数，且a ＋b ＝1，求证：1a ＋1b≥4. 证明 方法一 ∵a ，b 是正数，且a ＋b ＝1，∴a ＋b ≥2ab ，∴ab ≤12，∴1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝1ab≥4. 方法二 ∵a ，b 是正数，∴a ＋b ≥2ab >0，1a ＋1b ≥2 1ab>0， ∴(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ≥4.又a ＋b ＝1，∴1a ＋1b≥4. 方法三 1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝1＋b a ＋a b＋1≥2＋2 b a ·a b＝4.当且仅当a ＝b 时，取“＝”. 反思与感悟 利用综合法证明问题的步骤：(1)分析条件选择方向：仔细分析题目的已知条件(包括隐含条件)，分析已知与结论之间的联系与区别，选择相关的公理、定理、公式、结论，确定恰当的解题方法.(2)转化条件组织过程：把题目的已知条件，转化成解题所需要的语言，主要是文字、符号、图形三种语言之间的转化，组织过程时要有严密的逻辑，简洁的语言，清晰的思路.(3)适当调整回顾反思：解题后回顾解题过程，可对部分步骤进行调整，并对一些语言进行适当的修饰，反思总结优化解法.跟踪训练1 已知a ，b ，c ∈R ，且它们互不相等，求证a 4＋b 4＋c 4＞a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2.证明 ∵a 4＋b 4≥2a 2b 2，b 4＋c 4≥2b 2c 2，a 4＋c 4≥2a 2c 2，∴2(a 4＋b 4＋c 4)≥2(a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2)， 即a 4＋b 4＋c 4≥a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2.又∵a ，b ，c 互不相等.∴a 4＋b 4＋c 4＞a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2.题型二 分析法的应用例2 已知a ＞5，求证a －5－a －3＜a －2－a .证明 要证a －5－a －3＜a －2－a ， 只需证a －5＋a ＜a －3＋a －2，只需证(a －5＋a )2＜(a －3＋a －2)2，只需证2a －5＋2a 2－5a ＜2a －5＋2a 2－5a ＋6， 只需证a 2－5a ＜a 2－5a ＋6，只需证a 2－5a ＜a 2－5a ＋6，只需证0＜6.因为0＜6恒成立， 所以a －5－a －3＜a －2－a 成立.反思与感悟 分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为一个明显成立的条件.利用分析法证明时，要求一般格式要规范，其关键词“要证”“只需证”等不能漏掉，这是用分析法证题易忽视的地方.跟踪训练2 若a ，b ，c 是不全相等的正数，求证lga ＋b 2＋lg b ＋c 2＋lg c ＋a 2＞lg a ＋lg b ＋lg c .证明 方法一 (分析法)要证lg a ＋b 2＋lg b ＋c 2＋lg c ＋a 2＞lg a ＋lg b ＋lg c ， 即证lg ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a 2＞lg(abc )， 只需证a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a 2＞abc . ∵a ＋b 2≥ab ＞0，b ＋c 2≥bc ＞0，c ＋a 2≥ca ＞0， ∴a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a 2≥abc ＞0成立. (*)又∵a ，b ，c 是不全相等的正数，∴(*)式等号不成立，∴原不等式成立.方法二 (综合法)∵a ，b ，c ∈R ＋，∴a ＋b 2≥ab ＞0，b ＋c 2≥bc ＞0，c ＋a 2≥ca ＞0. 又∵a ，b ，c 是不全相等的正数，∴a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a 2＞abc ，∴lg ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a 2＞lg(abc )， ∴lg a ＋b 2＋lg b ＋c 2＋lg c ＋a 2＞lg a ＋lg b ＋lg c . 题型三 综合法和分析法的综合应用例3 已知a 、b 、c 是不全相等的正数，且0<x <1.求证：log x a ＋b 2＋log x b ＋c 2＋log x a ＋c 2<log x a ＋log x b ＋log x c . 证明 要证log x a ＋b 2＋log x b ＋c 2＋log x a ＋c 2<log x a ＋log x b ＋log x c ， 只需证log x ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c 2<log x (abc ).由已知0<x <1，只需证明a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c 2>abc . 由公式a ＋b 2≥ab >0，b ＋c 2≥bc >0，a ＋c 2≥ac >0， 又∵a ，b ，c 是不全相等的正数，∴a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c 2>a 2b 2c 2＝abc . 即a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c 2>abc 成立. ∴log x a ＋b 2＋log x b ＋c 2＋log x a ＋c 2<log x a ＋log x b ＋log x c 成立. 反思与感悟 综合法推理清晰，易于书写，分析法从结论入手，易于寻找解题思路，在实际证明命题时，常把分析法与综合法结合起来使用，称为分析综合法，其结构特点是：根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q ；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论P ；若由P 可推出Q ，即可得证.跟踪训练3 设a ，b ，c 为任意三角形的三边长，I ＝a ＋b ＋c ，S ＝ab ＋bc ＋ca ，试证明：3S ≤I 2＜4S .证明 ∵I ＝a ＋b ＋c ，S ＝ab ＋bc ＋ca ，∴I 2＝(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2(ab ＋bc ＋ac )＝a 2＋b 2＋c 2＋2S .于是，要证3S ≤I 2＜4S, 即证3S ≤a 2＋b 2＋c 2＋2S ＜4S ，即证S ≤a 2＋b 2＋c 2＜2S .(1)要证S ≤a 2＋b 2＋c 2，即证a 2＋b 2＋c 2－ab －bc －ca ≥0，即证(a 2＋b 2－2ab )＋(b 2＋c 2－2bc )＋(a 2＋c 2－2ca )≥0，即证(a －b )2＋(b －c )2＋(a －c )2≥0.∵(a －b )2≥0，(b －c )2≥0，(a －c )2≥0，∴(a －b )2＋(b －c )2＋(a －c )2≥0，∴S ≤a 2＋b 2＋c 2成立.(2)要证a 2＋b 2＋c 2＜2S ，即证a 2＋b 2＋c 2－2ab －2bc －2ac ＜0，即证(a 2－ab －ac )＋(b 2－ab －bc )＋(c 2－ac －bc )＜0，即证a [a －(b ＋c )]＋b [b －(a ＋c )]＋c [c －(a ＋b )]＜0.∵a ，b ，c 为任意三角形的三边长，∴a ＞0，b ＞0，c ＞0，且a ＋b ＞c ，a ＋c ＞b ，b ＋c ＞a ，∴a [a －(b ＋c )]＜0，。
高中数学(北师大版)选修2-2教案：第1章 分析法和综合法例题解析
分析法和综合法例题解析分析法和综合法是两种思路相反的证明与推理方法，综合法证明是“由因导果”，分析法证明是“执果索因”。
它们是两种思路截然相反的证明方法，分析法便于寻找解题思路，而综合法便于叙述，因此要注意两种方法在解题中的联合运用，正如恩格斯所说的：“没有分析就没有综合”。
在数学的证明中不能把分析法和综合法绝对分开。
例1 设2()(0)f x ax bx c a =++≠，若函数(1)f x +与()f x 的图像关于y 轴对称，求证1()2f x +为偶函数。
证明1：要证1()2f x +为偶函数，只须证明其对称轴为0x =, 即只须证1022b a --=, 只须证a b =-（*）。
由已知，抛物线(1)f x +的对称轴12b x a -=-与抛物线的对称轴2b x a-=关于y 轴对称， 122b b a a--∴-=- 于是得a b =-（*）1()2f x ∴+为偶函数。
证明2：记F ()x 1()2f x =+, 欲证F ()x 为偶函数，只须证F ()x -=F ()x , 即只须证11()()22f x f x -+=+（*） 由已知，函数(1)f x +与()f x 的图象关于y 轴对称，而函数()f x 与()f x -的图象也是关于y 轴对称的，()(1)f x f x ∴-=+于是有 11()[()]22f x f x -+=-- 1[()1]2f x =-+ 1()2f x =+（*） 1()2f x ∴+为偶函数。
评注：本题的证明过程把综合法和分析法较好的结合起来，前半部分用的是分析法，后半部分用的是综合法，本题也可以先用综合法后用分析法。
例2 设n N ∈,求证222111312321n n n ++++≥+L 证明：把结论分解为两个部分考察设222111123n x n=++++L , 321n n y n =+, 则由 1210(1)n n x x n +-=>+ 12304(1)1n n y y n +-=>+- 可知，数列{}n x 与{}n y 都是单调递增数列。
高中数学(北师大版)选修2-2教案：第1章 复习点拨：利用数学归纳法解题举例
利用数学归纳法解题举例归纳是一种有特殊事例导出一般原理的思维方法。
归纳推理分完全归纳推理与不完全归纳推理两种。
不完全归纳推理只根据一类事物中的部分对象具有的共同性质，推断该类事物全体都具有的性质，这种推理方法，在数学推理论证中是不允许的。
完全归纳推理是在考察了一类事物的全部对象后归纳得出结论来。
数学归纳法是用来证明某些与自然数有关的数学命题的一种推理方法，在解数学题中有着广泛的应用。
它是一个递推的数学论证方法，论证的第一步是证明命题在n＝1(或n)时成立，这是递推的基础；第二步是假设在n＝k时命题成立，再证明n＝k＋1时命题也成立，这是无限递推下去的理论依据，它判断命题的正确性能否由特殊推广到一般，实际上它使命题的正确性突破了有限，达到无限。
这两个步骤密切相关，缺一不可，完成了这两步，就可以断定“对任何自然数（或且n∈N）结论都正确”。
由这两步可以看出，数学归纳法是由递推实现归纳n≥n的，属于完全归纳。
运用数学归纳法证明问题时，关键是n＝k＋1时命题成立的推证，此步证明要具有目标意识，注意与最终要达到的解题目标进行分析比较，以此确定和调控解题的方向，使差异逐步减小，最终实现目标完成解题。
运用数学归纳法，可以证明下列问题：与自然数n有关的恒等式、代数不等式、三角不等式、数列问题、几何问题、整除性问题等等。
一、运用数学归纳法证明整除性问题例1.当n∈N,求证:11n+1+122n-1能被133整除。
证明:(1)当n=1时，111+1+1212×1-1=133能被133整除。
命题成立。
(2)假设n=k时，命题成立，即11k+1+122k-1能被133整除，当n=k+1时，根据归纳假设，11k+1+122k-1能被133整除。
又能被133整除。
所以，11(k+1)+122(k+1)-1能被133整除，即n=k+1时，命题成立。
由(1),(2)命题时n∈N都成立。
点评:同数学归纳法证明有关数或式的整除问题时，要充分利用整除的性质，若干个数（或整式）都能被某一个数（或整式）整除，则其和、差、积也能被这个数（或整式）整除。
高中数学：第一章《章节复习》教案(北师大版选修2-2)
第十三课时本章小结复习一、教学目标1、了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用。
2、了解直接证明的两种基本方法:分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程与特点.3、了解间接证明的一种基本方法—-反证法;了解反证法的思考过程与特点。
4、了解数学归纳法原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.二、教学重点：1、能利用归纳和类比等进行简单的推理2、能用综合法、分析法、反证法、数学归纳法证明一些简单的数学命题。
教学难点：数学归纳法三、教学方法：探析归纳，讲练结合四、教学过程(一)知识结构本章在回顾已有知识的基础上逐一介绍了合情推理的两种基本思维方式：归纳推理、类比推理,以及数学证明的主要方法：分析法、综合法、反证法、数学归纳法，上述推理方式和证明方法都是数学的基本思维过程，它们贯穿于整个高中数学的学习中，数学知识的学习过程也是这些思维方法的领悟、训练和应用的过程，要通过学习感受逻辑思维在数学以及日常生活中的作用。
（二）、例题探析例1、将下面平面几何中的概念类比到立体几何中的相应结果是什么?请将下表填充完整.推理与证明FBCMEA 例2、分别用分析法和综合法证明：在△ABC 中，如果AB =AC ，BE ，CF 分别是三角形的高线,BE 与CF 相交于点M ，那么，MB =MC 。
证明：(分析法）要证明MB =MC ,只需证明△BFM ≌△CEM 。
因为△BFM ，△CEM 均为直角三角形，且∠BMF =∠CME ，只需证明BF =CE 即可。
在Rt △BFC 与Rt △CEB 中，由于△ABC 为等腰三角形，∠ABC =∠ACB ，BC =BC ，∠EBC =∠FCB ，有△BFC ≌△CEB ，BF =CE 以上各布可逆，故MB =MC 。
（综合法）在Rt △BFC 与Rt △CEB 中,由于△ABC 为等腰三角形， 有∠ABC =∠ACB ，BC =BC ,∠EBC =∠FCB ，可知△BFC ≌△CEB ，所以BF =CE在Rt △BFM 与Rt △CEM 中，∠BMF=∠CME,∠FBM =∠ECM ， 所以△BFM ≌△CEM ，MB =MC ，得证。
高中数学(北师大版)选修2-2教案：第1章 分析法和综合法在生活中的运用
分析法和综合法在生活中的运用所谓综合法，是指“由因导果”的思想方法，即从已知条件或某些已经证明过的结论出发，不断地展开思考，去探索结论的方法．所谓分析法，是指“执果索因”的思想方法，即从结论出发，不断地去寻找须知，直至达到已知事实为止的方法．例1：某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，试证明当20x =时一年的总运费与总存储费用之和最小。
（综合法）证明：由题意得总费用40044y x x=⋅+， 由均值不等式有：4004480(y x x =⋅+≥当且仅当40044x x⋅=即20x =时取“=”） 故当20x =时一年的总运费与总存储费用之和最小。
评述：本题考查了不等式在实际生活中的应用,考查了均值不等式等号成立的条件.运用的方法是综合法，从已知条件出发，不断地展开思考，去探索结论．例2：某种商品原来定价每件p 元，每月将卖出n 件，假若定价上涨x 成(这里x 成即10x ，0＜x ≤10).每月卖出数量将减少y 成，而售货金额变成原来的 z 倍. (1)设y=ax ，其中a 是满足31≤a ＜1的常数，用a 来表示当售货金额最大时的x 的值；(2)若y=32x ，求使售货金额比原来有所增加的x 的取值范围.（分析法） 解：(1)由题意知某商品定价上涨x 成时，上涨后的定价、每月卖出数量、每月售货金额分别是：p(1+10x )元、n(1－10y )元、npz 元，因而 )10)(10(1001),101()101(y x z y n x p npz -+=∴-⋅+=，在y=ax 的条件下，z=1001［－a ［x －a a )1(5-］2+100+a a 2)1(25-］.由于31≤a ＜1，则0＜a a )1(5-≤10.要使售货金额最大，即使z 值最大，此时x=a a )1(5 .（此处用分析法） (2)由z=1001 (10+x)(10－32x)＞1，解得0＜x ＜5. 评述：本题考查综合应用所学数学知识、思想和方法解决实际问题的能力，考查函数关系、不等式性质、最大值、最小值等基础知识，考查利用均值不等式求最值的方法、阅读理解能力、建模能力.函数定义域通常都是解不等式得到，利用不等式方法可以求出函数值的取值范围.如在实际问题应用中，主要有构造不等式求解或构造函数求函数的最值等方法，本题利用最值这个“结果”去索“等号成立的条件”这个因，避免了不必要的错误.。
高中数学(北师大版)选修2-2教案：第1章 知识归纳：综合法和分析法
2 综合法和分析法
1. 综合法是由原因推导到结果的证明方法，它是利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立的证明方法.综合法是直接证明的一种方法.
用P表示已知的条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示要证明的结论，则综合法可用框图表示为：
2. 分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求推证过程中，使每一步结论成立的充分条件，直到最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定义、公理、定理等）为止的证明方法.分析法是直接证明的一种方法.
用Q表示要证明的结论，则分析法可用框图表示为：
3.综合法和分析法是解题中常用的方法，要好好掌握.综合法是由因导果，分析法是由果索因，在解题过程中，可以用分析法探寻解题思路，用综合法写出解题过程.
一般地，含分式、根式的不等式，或从条件出发思路不明显的命题，可以考虑用分析法；命题的结论有明确的证明方向的，适宜用综合法.。
高中数学：1.2 综合法和分析法(一) 教案 (北师大选修2-2)
1.2 综合法和分析法教学过程：学生探究过程：证明的方法(1)、分析法和综合法是思维方向相反的两种思考方法.在数学解题中，分析法是从数学题的待证结论或需求问题出发，一步一步地探索下去，最后达到题设的已知条件。
综合法则是从数学题的已知条件出发,经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题。
对于解答证明来说，分析法表现为执果索因，综合法表现为由果导因，它们是寻求解题思路的两种基本思考方法，应用十分广泛。
（2）、例1．设a、b是两个正实数，且a≠b,求证：a3+b3＞a2b+ab2．证明：(用分析法思路书写）要证a3+b3＞a2b+ab2成立，只需证(a+b）(a2—ab+b2)＞ab（a+b）成立，即需证a2-ab+b2＞ab成立.（∵a+b＞0)只需证a2—2ab+b2＞0成立,即需证(a—b）2＞0成立.而由已知条件可知,a≠b,有a—b≠0，所以（a—b)2＞0显然成立，由此命题得证.(以下用综合法思路书写）∵a≠b，∴a-b≠0，∴（a-b）2＞0，即a2-2ab+b2＞0亦即a2-ab+b2＞ab由题设条件知,a+b ＞0，∴（a+b ）(a 2-ab+b 2）＞(a+b)ab即a 3+b 3＞a 2b+ab 2，由此命题得证例2、若实数1≠x ，求证：.)1()1(32242x x x x++>++证明：采用差值比较法：2242)1()1(3x x x x ++-++ =3242422221333x x x x x x x------++ =)1(234+--x x x=)1()1(222++-x x x =].43)21[()1(222++-x x ［来源：学科网] ,043)21(,0)1(,122>++>-≠x x x 且从而 ∴ ,0]43)21[()1(222>++-x x ∴ .)1()1(32242x x x x ++>++例3、已知,,+∈R b a 求证.a b b a b a b a ≥本题可以尝试使用差值比较和商值比较两种方法进行。
高中数学北师大版选修2-2同步配套教学案第一章 §2 综合法与分析法
§综合法与分析法阅读下面的例题．例：若实数，满足＋＝，证明：＋≥.证明：因为＋＝，所以＋≥＝＝＝，故＋≥成立．问题：本题利用什么公式？提示：基本不等式．问题：本题证明顺序是什么？提示：从已知到结论．综合法()含义：从命题的条件出发，利用定义、公理、定理及运算法则，通过演绎推理，一步一步地接近要证明的结论，直到完成命题的证明的思维方法，称为综合法．()思路：综合法的基本思路是“由因导果”．()模式：综合法可以用以下的框图表示：→→→…→其中为条件，为结论.你们看过侦探小说《福尔摩斯探案集》吗？尤其是福尔摩斯在探案中的推理，给人印象太深刻了．有时，他先假定一个结论成立，然后逐步寻找这个结论成立的一个充分条件，直到找到一个明显的证据．问题：他的推理如何入手？提示：从结论成立入手．问题：他又是如何分析的？提示：逐步探寻每一结论成立的充分条件．问题：这种分析问题方法在数学问题证明中可以借鉴吗？提示：可以．分析法()含义：从求证的结论出发，一步一步地探索保证前一个结论成立的充分条件，直到归结为这个命题的条件，或者归结为定义、公理、定理等．这种证明问题的思维方法称为分析法．()思路：分析法的基本思路是“执果索因”．()模式：若用表示要证明的结论，则分析法可以用如下的框图来表示：．综合法是从“已知”看“可知”逐步推向未知，由因导果通过逐步推理寻找问题成立的必要条件．它的证明格式为：因为×××，所以×××，所以×××……所以×××成立．．分析法证明问题时，是从“未知”看“需知”，执果索因逐步靠拢“已知”，通过逐步探索，寻找问题成立的充分条件．它的证明格式：要证×××，只需证×××，只需证×××……因为×××成立，所以×××成立．[例]已知，是正数，且＋＝，求证：＋≥.[思路点拨]由已知条件出发，结合基本不等式，即可得出结论．[精解详析]法一：∵，为正数，且＋＝，∴＋≥，∴≤，∴＋＝＝≥.法二：∵，为正数，∴＋≥＞，＋≥＞，。
【优教通-同步备课】高中数学(北师大版)选修2-2教案：第1章-分析法-第一课时参考教案
分析法一、教学目标：1、结合已经学过的数学实例，了解直接证明的基本方法之一：分析法；2、了解分析法的思考过程、特点。
二、教学重点：了解分析法的思考过程、特点；难点：分析法的思考过程、特点。
三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程(一)、复习：综合法的思考过程、特点 (二)、引入新课在数学证明中，分析法是从数学题的待证结论或需求问题动身，一步一步地探究下去，最终达到题设的已知条件。
对于解答证明来说，分析法表现为执果索因，它是寻求解题思路的一种基本思考方法，应用格外广泛。
从要证明的结论动身，逐步寻求推证过程中，使每一步结论成立的充分条件，直至最终，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件为止，这种证明的方法叫做分析法．这个明显成立的条件可以是：已知条件、定理、定义、公理等。
特点：执果索因。
即：要证结果Q ，只需证条件P （三）、例题探析例1、已知：a ，b 是不相等的正数。
求证：2233ab b a b a +>+。
证明：要证明2233ab b a b a +>+只需证明)())((22b a ab b ab a b a +>+-+， 只需证明0)())((22>+-+-+b a ab b ab a b a ， 只需证明0)2)((22>+-+b ab a b a ， 只需证明0))((2>-+b a b a ， 只需证明0)(0)(2>->+b a b a 且。
由于命题的条件“a ，b 是不相等的正数”，它保证上式成立。
这样就证明白命题的结论。
例2、求证：10578+>+。
证明：要证明 10578+>+，只需证明 22)105()78(+>+，即 50210556278++>++， 只需证明 5056>， 即 56>50，这明显成立。
这样就证明白10578+>+例3、求证：函数16122)(2+-=x x x f 在区间（3，+∞）上是增加的。
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综合法与分析法解题全过程
分析法和综合法是思维方向相反的两种思考方法。
在数学解题中，分析法是从数学题的待证结论或需求问题出发，一步一步地探索下去，最后达到题设的已知条件。
综合法则是从数学题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题。
对于解答证明来说，分析法表现为执果索因，综合法表现为由果导因，它们是寻求解题思路的两种基本思考方法，应用十分广泛.
一. 综合法
综合法：从已知条件出发,经过逐步推理,最后达到待证结论,这种证明方法叫做综合法。
用综合法证明命题的逻辑关系是：
()()()11223().....n P Q Q Q Q Q Q Q ⇒→⇒→⇒→→⇒
综合法的思维特点是：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法.
例1、在△ABC 中,三个内角A,B,C 的对边分别为,,a b c ,且A,B,C 成等差数列, ,,a b c 成等比数列,求证△ABC 为等边三角形.
分析：将 A , B , C 成等差数列，转化为符号语言就是2B =A + C; A , B , C 为△ABC 的内角，这是一个隐含条件，明确表示出来是A + B + C =π；a , b ，c 成等比数列,转化为符号语言就是2b ac =.此时如果能把角和边统一起来,那么就可以进一步寻找角和边之间的关系,进而判断三角形的形状,余弦定理正好满足要求.于是可以用余弦定理为工具进行证明.
证明：由 A, B, C 成等差数列，有 2B=A + C ． ①
因为A,B,C 为△ABC 的内角，所以A + B + C=π．②
由①②得B=3
π. 由a, b ，c 成等比数列有2b ac =.
由余弦定理及③，可得222222cos b a c ac B a c ac =+-=+-.
再由④得22a c ac ac +-=.2()0a c -=, 因此a c =.从而A=C.
由②③⑤得:A=B=C=3
π.所以△ABC 为等边三角形． 说明：解决数学问题时，往往要先作语言的转换，如把文字语言转换成符号语言，或把符号语言转换成图形语言等．还要通过细致的分析，把其中的隐含条件明确表示出来．
例2、已知,,+∈R b a 求证.a b b a b a b a ≥
本题可以尝试使用差值比较和商值比较两种方法进行。
证明：1) 差值比较法：注意到要证的不等式关于b a ,对称，不妨设.0>≥b a 0)(0≥-=-∴≥---b a b a b b a b b a b a b a b a b a b a ，从而原不等式得证。
2）商值比较法：设,0>≥b a
,0,1≥-≥b a b a .1)(≥=∴-b a a b b a b a b
a b a 故原不等式得证。
说明：比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的方法。
用比较法证明不等式的步骤是：作差（或作商）、变形、判断符号。
2. 分析法
分析法：从待证结论出发,一步一步地寻求求结论成立的从分条件,最后达到题设的已知条件或已被证明的事实,这种方法叫做分析法
用分析法证明命题的逻辑关系是：
()()1121().....()n n n Q P P P P P P P -⇐←⇐←⇐←⇐
分析法的思维特点是：执果索因.
分析法的书写格式：
要证明命题B 为真，
只需要证明命题1B 为真，从而有……
这只需要证明命题2B 为真，从而又有……
……
这只需要证明命题A 为真.
而已知A 为真，故命题B 必为真.
例3、求证5273<+ 证明：因为5273和+都是正数，所以为了证明5273<+ 只需证明22)52()73(<+
展开得 2021210<+ 即 2521,10212<<
因为2521<成立，所以22)52()73(<+成立 即证明了5273<+.
说明：①分析法是“执果索因”，步步寻求上一步成立的充分条件，它与综合法是对立统一的两种方法.
②分析法论证“若A 则B ”这个命题的模式是：为了证明命题B 为真， 这只需要证明命题B 1为真，从而有……
这只需要证明命题B 2为真，从而又有……
这只需要证明命题A 为真
而已知A 为真，故B 必真
在本例中，如果我们从“21<25 ”出发，逐步倒推回去，就可以用综合法证出结论。
但由于我们很难想到从“21<25”入手，所以用综合法比较困难。