余弦定理优质课ppt课件
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余弦定理(55张PPT)
2．在解三角形的过程中，求某一个角有时既可以用余 弦定理，也可以用正弦定理，两种方案有什么利弊呢？
提示：用余弦定理求角时，运算量较大，但角与余弦 值是一一对应的，无须讨论；而用正弦定理求角时，运算 量较小，但由于在区间(0，π)上角与正弦值不是一一对应 的，一般情况下一个正弦值可对应两个角，往往要依据角 的范围讨论解的情况．
新知初探
1．余弦定理 三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减 去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．即
2．余弦定理的推论 余弦定理揭示了三角形中两边及其夹角与对边之间的 关系，它的另一种表达形式是 b2＋c2－a2 cosA＝_____________ ， 2bc
a2＋c2－b2 2ac cosB＝_____________ ， a2＋b2－c2 2ab cosC＝_____________.
类型二 [例2]
判断三角形的形状 在△ABC中，已知(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc且
sinA＝2sinBcosC，试确定△ABC的形状． [分析] 首先根据条件(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，利
用余弦定理求出一个角，再利用另一个条件，得到另外两 个角的关系，即可判断．
[解]
∵(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，
须知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定
2 2 2 a > b ＋ c 理的特例．角A为钝角⇔_____________，角A为直角⇔ 2 2 2 2 2 2 a ＝ b ＋ c a < b ＋ c ____________，角A为锐角⇔____________.
3．利用余弦定理可解决的两类问题 余弦定理的每一个等式中都包含四个不同的量，它们 分别是三角形的三边和一个角，知道其中的三个量，代入 等式，便可求出第四个量来． 利用余弦定理可以解决以下两类解斜三角形的问题：
余弦定理优质示范课市公开课一等奖课件名师大赛获奖课件
的夹角为∠C，求边c.
c2 a2 b2 2ab cos C
c
解法一：向量法
AB CB CA
﹚
2
2
c | AB | AB CB CA
2
2
CB CA 2CA CB
a2 b2 2ab cos C
c2 a2 b2 2ab cos C
探 究： 在△ABC中，已知CB = a, AC= b，CB与CA
的夹角为∠C，求边c.
b cosAC, b sin C
c2 a2 b2 2ab cos C
办解法法二二：：作坐高标法法
b
c
c (b cos C a)2 (b sin C 0)2
C Da B
a,0
c b2 cos2 C 2ab cos C a2 b2 sin2 C
c2 a2 b2 2ab cos C
cos C a2 b2 c2
2ab
注意：（11、）熟已悉知定三理边的形，式求构三造个特角点，; 注意“平方”“夹角”“余
弦”等（22、）当已∠知C＝两9边0和时，它则们c的osC夹＝角0，，∴求c第2＝三a2＋边b，2，进即而余弦定 理是还勾股可定求理其的它推两广个，勾角股。定理是余弦定理的特例
SABC 12 bc sin A 12 ac sin B 12 ab sin C
5.运用正弦定理能够解决哪些解三角形的问题？
①已知 两角
-
②已知两边
。
任意一和边 其中一边和 的对角
ab sin A sin B
岛屿A
岛屿B
120°
?
岛屿C
用正弦定理能否直接求出 AC？
探 究： 在△ABC中，已知CB = a, CA= b，CB与CA
c2 a2 b2 2ab cos C
c
解法一：向量法
AB CB CA
﹚
2
2
c | AB | AB CB CA
2
2
CB CA 2CA CB
a2 b2 2ab cos C
c2 a2 b2 2ab cos C
探 究： 在△ABC中，已知CB = a, AC= b，CB与CA
的夹角为∠C，求边c.
b cosAC, b sin C
c2 a2 b2 2ab cos C
办解法法二二：：作坐高标法法
b
c
c (b cos C a)2 (b sin C 0)2
C Da B
a,0
c b2 cos2 C 2ab cos C a2 b2 sin2 C
c2 a2 b2 2ab cos C
cos C a2 b2 c2
2ab
注意：（11、）熟已悉知定三理边的形，式求构三造个特角点，; 注意“平方”“夹角”“余
弦”等（22、）当已∠知C＝两9边0和时，它则们c的osC夹＝角0，，∴求c第2＝三a2＋边b，2，进即而余弦定 理是还勾股可定求理其的它推两广个，勾角股。定理是余弦定理的特例
SABC 12 bc sin A 12 ac sin B 12 ab sin C
5.运用正弦定理能够解决哪些解三角形的问题？
①已知 两角
-
②已知两边
。
任意一和边 其中一边和 的对角
ab sin A sin B
岛屿A
岛屿B
120°
?
岛屿C
用正弦定理能否直接求出 AC？
探 究： 在△ABC中，已知CB = a, CA= b，CB与CA
1.1.2 余弦定理 (共36张PPT)
当C为锐角时，a2 b2 c2 ; 当C为钝角时，a2 b2 c2 .
证明：当C为锐角时，cosC 0,由余弦定理，得 c2 a2 b2 2bccosC a2 b2，即 a2 b2 c2
同理可证， 当C为钝角时，a2 b2 c2 .
数学应用：
例3.如图所示，有两条直线AB和CD 相交成80 °角，交点
数学建构
总结：利用余弦定理，可以解决以下两 类解斜三角形的问题：
(1)已知三边，求三个角 (2)已知两边和它们的夹角，
求第三边和其它两个角
数学应用：
例1. 如图，在△ABC中，已知a=5，b=4，
∠C=120°，求c.
A
c
解：由余弦定理，得
b 120
C
a
B
c2 a2 b2 2abcos120
因此 c 52 42 254(12) 61
B
80° P A 122 13.52 21213.5cos80
O
16.4(km)
D
数学应用：
例4.在长江某渡口处，江水以５km/h的速度 向东流。一渡船在江南岸的Ａ码头出发，预定
要在0.1h后到达江北岸Ｂ码头，设ＡＮ为正北 方向，已知Ｂ码头在Ａ码头的北偏东１５°，
并与Ａ码头相距1.2km．该渡船应按什么方向 航行？速度是多少千米／小时？（角度精确到
N
D
B
答：渡船按北偏西９．４ °的
方向，并以１１．７km/h的
速度航行．
15 A
C
数学应用：
例5.在ΔABC中，已知s inA 2sinBcosC,
试判断该三角形的形状. 解：由正弦定理和余弦定理，得
sin A a
a2 b2 c2
, cos C
证明：当C为锐角时，cosC 0,由余弦定理，得 c2 a2 b2 2bccosC a2 b2，即 a2 b2 c2
同理可证， 当C为钝角时，a2 b2 c2 .
数学应用：
例3.如图所示，有两条直线AB和CD 相交成80 °角，交点
数学建构
总结：利用余弦定理，可以解决以下两 类解斜三角形的问题：
(1)已知三边，求三个角 (2)已知两边和它们的夹角，
求第三边和其它两个角
数学应用：
例1. 如图，在△ABC中，已知a=5，b=4，
∠C=120°，求c.
A
c
解：由余弦定理，得
b 120
C
a
B
c2 a2 b2 2abcos120
因此 c 52 42 254(12) 61
B
80° P A 122 13.52 21213.5cos80
O
16.4(km)
D
数学应用：
例4.在长江某渡口处，江水以５km/h的速度 向东流。一渡船在江南岸的Ａ码头出发，预定
要在0.1h后到达江北岸Ｂ码头，设ＡＮ为正北 方向，已知Ｂ码头在Ａ码头的北偏东１５°，
并与Ａ码头相距1.2km．该渡船应按什么方向 航行？速度是多少千米／小时？（角度精确到
N
D
B
答：渡船按北偏西９．４ °的
方向，并以１１．７km/h的
速度航行．
15 A
C
数学应用：
例5.在ΔABC中，已知s inA 2sinBcosC,
试判断该三角形的形状. 解：由正弦定理和余弦定理，得
sin A a
a2 b2 c2
, cos C
余弦定理(公开课)PPT
习题一：证明余弦定理
总结词
通过已知的三角形边长和角度，证明 余弦定理的正确性。
详细描述
已知三角形ABC的三边长分别为a、b、c，对应 的角度分别为A、B、C。通过已知条件，我们 可以利用三角函数的基本性质，推导出余弦定 理的表达式，并证明其正确性。
习题二：利用余弦定理解三角形问题
总结词
利用余弦定理解三角形中的角度和边长问题。
几何学中的基础定理
余弦定理是几何学中的基础定理之一， 对于理解几何学中的其他定理和概念 有着重要的意义。
学习余弦定理的意义和收获
培养数学思维
学习余弦定理有助于培养数学 思维，提高分析和解决问题的
能力。
加深对三角形的理解
通过学习余弦定理，可以更深入地 理解三角形的性质和特点，更好地 掌握三角形的相关知识和应用。
在解决物理问题中的应用
力的合成与分解
在物理中，力可以视为向量，通过余弦定理，我们可以计算出力的合成或分解 后的结果。
运动学问题
在解决运动学问题时，我们经常需要计算速度、加速度等物理量，这些量可以 通过矢量运算得出，而余弦定理在矢量运算中有着重要的应用。
PART 05
习题和解答
REPORTING
WENKU DESIGN
04
在物理学中，余弦定理可以用于解决与力、运动和振 动相关的问题，如计算力的合成与分解、分析振动的 周期和频率等。
PART 03
余弦定理的证明
REPORTING
WENKU DESIGN
证明方法一：利用三角形的边长和余弦值关系
总结词
通过比较三角形边长和余弦值的平方，利用勾股定理和三角形的性质，推导出余 弦定理。
详细描述
给定三角形ABC的两边长a、b和夹角C，利用余弦定理可以求出第三边c的长度。同时，也可以利用余弦 定理求出三角形中的角度，如已知三边长a、b、c，可以求出角A、B、C的度数。
余弦定理PPT课件
c
C
aB
探索探究
联系已经学过的知识和方法，可用 什么途径来解决这个问题？
即：如图，在△ABC中，
设BC=a, AC=b, AB=c.
A
已知a, b和∠C，求边c？ b
c
C
aB
探索探究
联系已经学过的知识和方法，可用 什么途径来解决这个问题？
用向量来研究这问题. A
即：如图，在△C ABC中， B
设BC=a, AC=b, AB=c.
巩经典固例知题识 典型例题
例 在△ABC中，a = 6，b = 7，c = 10，求△ABC 中的 最大角和最小角（精确到1°）.
解 由于a＜b＜c，所以C最大，A最小，由公式（1.12），有
cos C a2 b2 c2 62 72 102 0.1786，
2ab
267
所以 C ≈ 100°，
a2 b2 c2 2cbcos A． b2 a2 c2 2ac cos B，c2 a2 b2 2ab cosC．
可以证明，上述结论对于任意三角形都成立．于是得到余弦 定理．
思考2：
a2 b2 c2 2bc cos A b2 a2 c2 2ac cos B c2 a2 b2 2ab cos C
1.3.2余弦定理
复习引入
运用正弦定理能解怎样的三角形？
A C
B
复习引入
运用正弦定理能解怎样的三角形？
①已知三角形的任意两角及其一边；
②已知三角形的任意两边A 与其中一边
的对角.
C B
情境设置
问题1：
如果已知三角形的两边及其夹角， 根据三角形全等的判定方法，这个三
A
角形是大小、形状完全确定的三角形. C
第4章第6节正弦定理余弦定理课件共47张PPT
＝
6＋ 4
2 .
第六节 正弦定理、余弦定理
1
2
3
走进教材·夯实基础 细研考点·突破题型 课后限时集训
点评：在△ABC中，若A＝m，则B＋C＝π－m.从而B＝π－m－C 或C＝π－m－B，由此可消去B或C.
第六节 正弦定理、余弦定理
1
2
3
走进教材·夯实基础 细研考点·突破题型 课后限时集训
[跟进训练]
＝4或b＝5.]
1234
第六节 正弦定理、余弦定理
1
2
3
走进教材·夯实基础 细研考点·突破题型 课后限时集训
02
细研考点·突破题型
考点一 考点二 考点三
利用正、余弦定理解三角形 利用正、余弦定理解决三角形面积问题 判断三角形的形状
第六节 正弦定理、余弦定理
1
2
3
走进教材·夯实基础 细研考点·突破题型 课后限时集训
2．三角形常用面积公式
(1)S＝12a·ha(ha 表示边 a 上的高)；
(2)S＝12absin
1
1
C＝___2_a_c_s_in__B___＝____2_b_c_s_in__A__；
(3)S＝12r(a＋b＋c)(r 为内切圆半径)．
第六节 正弦定理、余弦定理
1
2
3
走进教材·夯实基础 细研考点·突破题型 课后限时集训
因此，选条件②时问题中的三角形存在，此时c＝2 3.
第六节 正弦定理、余弦定理
1
2
3
走进教材·夯实基础 细研考点·突破题型 课后限时集训
方案三：选条件③.
由C＝π6和余弦定理得a2＋2ba2b－c2＝
3 2.
余弦定理优质课 ppt课件
∴ C ≈ 36°或144°(舍).
例3、已知△ABC中，a=8,b=7,B＝600,
求c及S△ABC
解 b 2 ： c 2 a 2 2 accB os 7 2 c 2 8 2 2 8 c c6 o 00 s
整理得：c2-8c+15=0
解得：c1=13, c2=5
SABC
a 2
c1s
inB
解：方法一： 根据余弦定理，
a²=b²+c²-2bccosA =60²+34²-2×60×34×cos41o
≈1 676.82， ∴a≈41(cm).
余弦定理优质课
例1 在△ABC中，已知b=60 cm，c=34 cm， A=41° ，解三角形（角度精确到1°，边长精 确到1 cm）. {接上页} 由正弦定理得，
隧道工程设计经常要测算山脚的长度工程技术人员先在地面上选一适当的位置a量出a到山脚bc的距离再利用经纬仪测出a对山脚bc即线段bc的张角最后通过计算求出山脚的长度bc已知
余弦定理优质课
1.1.2
精品资料
• 你怎么称呼老师？
• 如果老师最后没有总结一节课的重点的难点，你 是否会认为老师的教学方法需要改进？
三边(a,b,c)
正弦定理 余弦定理
由正弦定理求出角B,再求角C,最后 求出c边.可有两解,一解或无解.
先由余弦定理求出其中两个角,再利用内 角和为180°求出第三个角.
余弦定理优质课
练习 C A
1 20
练习
练习
ABC中,
（1）a＝4，b＝3，C＝60°，则c＝__1_3__；
（2）a = 2, b = 3, c = 4, 则C = _1_0_4_._5_°. （3）a＝2，b＝4，C＝135°，则A＝_1_4_._6_°_.
6.4.3 第1课时 余弦定理PPT课件(人教版)
课前篇自主预习
一
二
3.做一做
(1)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 a=1,b= 7,c= 3,
则 B=
.
5π
答案: 6
解析:由已知 a=1,b= 7,c= 3,根据余弦定理,得 cos
1+3-7
3
=- .
2
2 3
5π
∵0<B<π,∴B= 6 .
2
2 +2 -
B= 2
=
课前篇自主预习
一
二
(2)判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误
的画“×”.
①在△ABC中,若a2+b2<c2,则△ABC是钝角三角形.(
)
②在△ABC中,若△ABC是钝角三角形,则必有a2+b2<c2.(
)
③在△ABC中,若△ABC是锐角三角形,则必有a2+b2>c2.(
)
答案:①√ ②× ③√
B,BD=acos B,AD=AB-BD=c-acos B,b2=CD2+AD2=(asin B)2+(cacos B)2=a2+c2-2acos B;
同理可证:c2=a2+b2-2abcos C,a2=b2+c2-2bccos A.
图(2)
课堂篇探究学习
探究一
探究二
探究三
思维辨析
随堂演练
(3)在钝角△ABC中,如图(3),作CD⊥AB,交AB的延长线于点D,则
形.
课堂篇探究学习
探究一
探究二
探究三
思维辨析
随堂演练
反思感悟 1.利用三角形的边角关系判断三角形的形状时,需要从
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a2 b2 2abcosC
∴c2 = a2 + b2 - 2abcosC
8
9
余弦定 理
余弦定理 三角形任何一边的平方等于
其他两边平方的和减去这两边与它们
夹角的余弦的积的两倍.
A
a2 = b2 + c2 - 2bccosA
b2 = a2 + c2 - 2accosB
b
c
c2 = a2 + b2 - 2abcosC C
10
3
20
解三角形的四种基本类型
已知条件
定理选用
一边和二角 (如a,B,C)
正弦定理
两边和夹角 (如a,b,C)
余弦定理
两边和其中一 边的对角 (如a,b,A)
12
剖 析定 理
问题2：公式的结构特征怎样？
（3）已知a、b、c（三边），可 以求什么？
a2 = b2 +c2 - 2bccosA b2 = a2 +c2 - 2accosB c2 = a2 + b2 - 2abcosC
cos A b2 c2 a2 2bc
a2 c2 b2 cos B
2ac
cosC a 2 b2 c 2 2ab
A 900 a2 b2 c2
A 900 a2 b2 c2 A 900 a2 b2 c2
13
剖 析定 理
问题3：余弦定理在解三角形中的作用
是什么？ （1）已知三边求三个 角；
（2）已知两边和它
cosA = b2 + c2 - a2 2bc
c＝6，求A、B和C.
解：∵ cosA＝ b2＋c2－a2 ＝0.725， 2bc
∴ A≈44° ∵ cosC＝ a2＋b2－c2 ＝0.8071，
2ab ∴ C≈36°
∴ B＝180°－(A＋C)≈100°.
( ) ∵sinC＝
c
sinA a
≈0.5954,
∴ C ≈ 36°或144°(舍).
19
2、A+B+C=π 3、大角对大边，大边对大角
4、正弦定理，可以用来判断三角形的 形状，其主要功能是实现三角形边角关 系的转化
3
实际问题
隧道工程设计，经常要测算山脚的长度，工程技术人员 先在地面上选一适当的位置A，量出A到山脚B、C的距离，再 利用经纬仪测出A对山脚BC（即线段BC）的张角，最后通过 计算求出山脚的长度BC
因为c不是三角形中最大的边，所以C是锐角， 利用计算器可得C≈33°，B=180o(A+C)≈180o-(41o+33o)=106°.
16
方法二：
根据余弦定理， a²=b²+c²-2bccosA =60²+34²-2×60×34×cos41o≈1 676.82， ∴a≈41(cm). 由余弦定理得
7
坐标法
y
证明：以CB所在的直线为x轴，过C
点垂直于CB的直线为y轴，建立如
图所示的坐标系，则A、B、C三点的坐标分别为：x
C(0, 0) B(a, 0) A(bcosC,bsin C)
AB 2 (b cosC a)2 (b sin C 0)2
b2 cos2 C 2abcosC a2 b2 sin 2 C
1
复习回顾：
正弦定理： a b c 2R sin A sin B sinC
1、正弦定理可以解决三角形中的问题：
① 已知两边和其中一边的对角，求另一边 的对角，进而可求其他的边和角
② 已知两角和一边，求其他角和边
2
复习回顾：
正弦定理： a b c 2R sin A sin B sinC
所以利用计算器可得C≈33°， B=180o-(A+C)≈180o-(41o+33o)=106°.
17
思考:在解三角形的过程中，求某一个角时既
可用正弦定理也可用余弦定理，两种方法有什 么利弊呢？ 注意：一般地，在“知三边及一角”要求剩下的 两个角时，应先求最小的边所对的角.
18
例 2、在ABC中，已知a＝7，b＝10，
cosB = a2 + c2 - b2 2ac
cosC = a2 + b2 - c2 2ab
们的夹角，求第三 a2 = b2 +c2 - 2bccosA
边和其他两个角.
b2 = a2 +c2 - 2accosB
c2 = a2 + b2 - 2abcosC
14
例1 在△ABC中，已知b=60 cm，c=34 cm， A=41° ，解三角形（角度精确到1°，边长精 确到1 cm）.
B
a
10
剖 析定 理
问题1：勾股定理指出了直角三角形中三边 平方之间的关系，余弦定理则指出了一般 三角形中三边平方之间的关系，如何看这 两个定理之间的关系？
勾股定理是余弦定理的特例，余弦 定理是勾股定理的推广.
11
剖 析定 理
问题2：公式的结构特征怎样？
（1）轮换对称，简洁优美; （2）每个等式中有同一个三角形中的 四个元素，知三求一.（方程思想）
c2 a2 b2 2ab cosC
A
证明： AB AC CB
b
c
AB• AB (AC CB) • (AC CB)
AC • AC 2AC • CB CB • CB C a
B
∴
uur AB
2
=
uur AC
2
+2
uur AC
uur CB cos(1800 -C)+
uur CB
2
∴c2 = a2 + b2 - 2abcosC
解：方法一： 根据余弦定理，
a²=b²+c²-2bccosA =60²+34²-2×60×34×cos41o
≈1 676.82， ∴a≈41(cm).
15
例1 在△ABC中，已知b=60 cm，c=34 cm， A=41° ，解三角形（角度精确到1°，边长精 确到1 cm）. {接上页} 由正弦定理得，
例3、已知△ABC中，a=8,b=7,B＝600,
求c及S△ABC
解：b2 c2 a2 2ac cos B
72 c2 82 28 c cos600
整理得：c2-8c+15=0
解得：c1=13, c2=5
SABC 2 ac1 sin B 6 3
或S ABC
1 2 ac2 sin B
已知：AB、 AC、角Ａ (两条边、一个夹角)
4
分析转化
A
实际问题
数学化:
c
B
在△ABC中，已知边AC，BC及∠C ,求AB.
5
一般化问题
任意一个三角形，已知两边和夹角，求第 三边.
即 若△ABC为任意三角形，已知BC=a，AC=b 及∠C，求AB边长c.
A
b
c= ?
c
a
B
6
向量法
若 ABC为任意三角形，已知角C，BC=a,CA=b,求证：