【最新】九年级数学(RJ)-24.2.2 第3课时切线长定理--习题课件

九年级数学人教版(上册)第3课时切线长定理

7．如图，已知 PA，PB，EF 分别切⊙O 于点 A，B，D.若 PA ＝15 cm，则△PEF 的周长是 30 cm.若∠P＝50°，则∠EOF ＝ 65° ．
8．如图，⊙O 与△ADE 各边所在的直线都相切，DE⊥AE，AE
＝8，AD＝10，求⊙O 的半径．解：设⊙O 与直线 DE，AE，AD 的切点分别为 C，F，G，连接
A．PA＝PB B．∠BPD＝∠APD C．AB⊥PD D．PC＝CD
3．如图，AB，AC，BD 是⊙O 的切线，切点分别为 P，C，D. 若 AB＝5，AC＝3，则 BD 的长是 2 ．
4．将一把直尺，含 60°角的直角三角板和光盘如图摆放，点 A 为 60°角与直尺的交点，AB＝3，则光盘的直径是6 3 ．
5．如图，过⊙O 外一点 P 引⊙O 的两条切线 PA，PB，切点分别是 A，B，OP 交⊙O 于点 C，点 D 是A︵BC上不与点 A，C 重合的一个动点，连接 AD，CD.若∠APB＝80°，则∠ADC 的度数是(C )
A．15° B．20° C．25° D．30°
6．如图，PA，PB 是⊙O 的切线，A，B 为切点，点 C，D 在 ⊙O 上．若∠P＝102°，则∠A＋∠C＝ 219° ．
第二十四章圆
24.2 点和圆、直线和圆的位置关系 24.2.2 直线和圆的位置关系第3课时切线长定理
知识点切线长定理
1．平面内，⊙O 的半径为 1，点 P 到圆心 O 的距离为 2，过点
P 可作⊙O 的切线条数为(C )
Aห้องสมุดไป่ตู้0 条
B．1 条
C．2 条
D．无数条
2．如图，PA，PB 为⊙O 的切线，切点分别为 A，B，PO 交 AB 于点 C，PO 的延长线交⊙O 于点 D，下列结论不一定成立的是(D )

《24.2.2 第3课时切线长定理》教案、导学案、同步练习

《第3课时切线长定理》教案【教学目标】1．掌握切线长定理，初步学会运用切线长定理进行计算与证明．2．了解有关三角形的内切圆和三角形的内心的概念．3．学会利用方程思想解决几何问题，体验数形结合思想．【教学过程】一、情境导入新农村建设中，张村计划在一个三角形中建一个最大面积的圆形花园，请你设计一个建筑方案．二、合作探究探究点一：切线长定理【类型一】利用切线长定理求三角形的周长如图，PA 、PB 分别与⊙O 相切于点A 、B ，⊙O 的切线EF 分别交PA 、PB于点E 、F ，切点C 在AB ︵上．若PA 长为2，则△PEF 的周长是________．解析：因为PA 、PB 分别与⊙O 相切于点A 、B ，所以PA ＝PB ，因为⊙O 的切线EF 分别交PA 、PB 于点E 、F ，切点为C ，所以EA ＝EC ，CF ＝BF ，所以△PEF 的周长PE ＋EF ＋PF ＝PE ＋EC ＋CF ＋PF ＝(PE ＋EC )＋(CF ＋PF )＝PA ＋PB ＝2＋2＝4. 【类型二】利用切线长定理求角的大小如图，PA 、PB 是⊙O 的切线，切点分别为A 、B ，点C 在⊙O 上，如果∠ACB ＝70°，那么∠OPA 的度数是________度．解析：如图所示，连接OA、OB.∵PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠OAP＝∠OBP＝90°.又∵∠AOB＝2∠ACB＝140°，∴∠APB ＝360°－∠PAO－∠AOB－∠OBP＝360°－90°－140°－90°＝40°.又易证△POA≌△POB，∴∠OPA＝12∠APB＝20°.故答案为20.方法总结：由公共点引出的两条切线，可以运用切线长定理得到等腰三角形．另外根据全等的判定，可得到PO平分∠APB.【类型三】切线长定理的实际应用为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下办法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30°的三角板和一把刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径．若测得PA＝5cm，则铁环的半径长是多少？说一说你是如何判断的．解：过O作OQ⊥AB于Q，设铁环的圆心为O，连接OP、OA.∵AP、AQ为⊙O 的切线，∴AO为∠PAQ的平分线，即∠PAO＝∠QAO.又∠BAC＝60°，∠PAO＋∠QAO ＋∠BAC＝180°，∴∠PAO＝∠QAO＝60°.在Rt△OPA中，PA＝5，∠POA＝30°，∴OP＝55(cm)，即铁环的半径为55cm.探究点二：三角形的内切圆【类型一】求三角形的内切圆的半径如图，⊙O是边长为2的等边△ABC的内切圆，则⊙O的半径为________．解析：如图，连接OD .由等边三角形的内心即为中线，底边高，角平分线的交点．所以∠OCD ＝30°，OD ⊥BC ，所以CD ＝12BC ，OC ＝2OD .又由BC ＝2，则CD ＝1.在Rt △OCD 中，根据勾股定理得OD 2＋CD 2＝OC 2，所以OD 2＋12＝(2OD )2，所以OD ＝33.即⊙O 的半径为33. 方法总结：等边三角形的内心为等边三角形中线，底边高，角平分线的交点，它到三边的距离相等．【类型二】求三角形的周长如图，Rt △ABC 的内切圆⊙O 与两直角边AB ，BC 分别相切于点D 、E ，过劣弧DE ︵(不包括端点D 、E )上任一点P 作⊙O 的切线MN 与AB 、BC 分别交于点M 、N .若⊙O 的半径为r ，则Rt △MBN 的周长为( )A ．r B.32r C ．2r D.52r 解析：连接OD ，OE ，∵⊙O 是Rt △ABC 的内切圆，∴OD ⊥AB ，OE ⊥BC .又∵MD ，MP 都是⊙O 的切线，且D 、P 是切点，∴MD ＝MP ，同理可得NP ＝NE ，∴C Rt △MBN ＝MB ＋BN ＋NM ＝MB ＋BN ＋NP ＋PM ＝MB ＋MD ＋BN ＋NE ＝BD ＋BE ＝2r ，故选C. 三、板书设计【教学反思】教学过程中，强调用切线长定理可解决有关求角度、周长的问题．明确三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，到三边的距离相等.《第3课时切线长定理》教案【教学目标】：1、了解切线长定义，掌握切线长定理，并利用它进行有关计算。

24.2.2切线长定理 (第3课时)

和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形。
A
如何找到这个圆心呢？
O
B
C
提示：我们学过：角平分线上的点到角两边的距离相等。
三角形的内心就是三角形三条内角平分线的交点，内心到三角形各边的距离相等
作圆: 使它和已知三角形的各边都相切已知：△ABC
PB 、PC长叫切线长
P
C
小结：切线是直线，不可以度量；切线长是指切线上的一条线段的长，可以度量。
（1）请同学们任意做一个⊙O ，并过圆外一点P 做圆的两条切线，切点分别是A、B，测量切线长 PA、PB的长度，同时观察∠1，∠2的关系。（2）你得出什么结论了？（3）你能不能用所学的几何知识 A 证明你的结论？
C
B
3、判断
（1）过任意一点总可以作圆的两条切线（）
（2）从圆外一点引圆的两条切线，它们的长相等。（）
4、填空如图：PA，PB切圆于A，B两点， ∠APB＝50度，连结PO， A 则∠APO= 25°
O
P B
问题：
从一块三角形的材料上截下一块圆形的用料，怎样才能使圆的面积尽可能最大呢？
求作：和△ABC的各边都相切的圆
作法：
A
1、作∠ B, ∠ C的平分线 BM和CN，交点为O
M
O
N
2、过点O作OD 足为D。
BC。垂
3、以O为圆心，OD为半径作圆O
C
B
D
圆O就是所求的圆。
巩固练习：
1、如图，ΔABC的内切圆分别和BC，AC，AB切于D，E，F； 11 6cm 如果AF=2cm,BD=7cm,CE=4cm,则BC= cm,AC= AB= A 9cm

切线长定理及三角形的内切圆(第3课时)九年级数学上册课件(人教版)

三角形的内切圆，掌握内心的性质.（重点）
1.切线长定理及应用
互动探究
问题1 上节课我们学习了过圆上一点作已知圆的切线 (如左图所示)，如果点P是圆外一点，又怎么作该圆的切线呢？过圆外的一点作圆的切线，可以作几条？
A
P O
B
A
O.
P
B
知识要点
1.切线长的定义：
切线上一点到切点
A
之间的线段的长叫做这
则S△OBC=
1 2
ar,
S△OBA=
1
cr,
2
1 S△OAC= 2 br,
S△ABC=S△OBC +S△OBA +S△OAC
B
=
1 ar
2
+
12cr
+12
br
= 1 r（a+c+b）
2
= 12lr
A
M
· r r O r
D
N C
练一练
4.如图,在△ABC中,点P是△ABC的内心,则 ∠PBC+∠PCA+∠PAB= 90° .
1. PA、PB是☉O的两条切线，A,B是切点，OA=3.
A
（1）若AP=4,则OP= 5 ;
O
P
（2）若∠BPA=60 °,则OP= 6 .
B
例2 为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下办法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为
30°的三角板和一个刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径，若三角板与圆相
3．【中考·云南】如图，△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、 AB分别相切于点D、E、F，且AB＝5，BC＝13，CA ＝12，则阴影部分(即四边形AEOF)的面积是( A )

人教版数学九年级上册24.2.3切线长定理课件(共26张PPT)

三角形外心、内心的区别：
名称
外心
内心
图形
性质
三角形的外心到三角形三个三角形的内心到三角形
顶点的距离相等
三条边的距离相等
位置外心不一定在三角形内部内心一定OC=90°+
1 2
∠A
例2 如图， △ABC的内切圆⊙O与BC，CA， AB
分别相交于点D ， E ， F ，且AB＝9，BC ＝14，
CA ＝13，求AF，BD，CE的长.
解：设AF=x,则AE=x,
A
CD=CE=AC-AE=13-x,
E
BD=BF=AB-AF=9-x.
F
由BD+CD=BC,可得
(13-x)+(9-x)=14.解得，x=4. B
D
C
因此，AF=4，BD=5，CE=9.
随堂练习 1.如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB=11cm，BC=14cm， CA=13cm，则AF的长为( C ) A.3cm B.4cm C.5cm D.9cm
解：∵ 点O是△ABC的内心，
∴∠OBC= 1 ∠ABC= 1 ×50°=25°，
2
2
∴∠OCB= 1 ∠ACB = 1×75°=37.5° ，
2
2
∴∠BOC=180°-25°-37.5°=117.5° B
A O
C
【选自教材P100 练习第2题】
5. △ABC的内切圆半径为r， △ABC的周长为l，求△ABC的
2.如图，点O是△ABC的内心，若∠BAC=86°，则∠BOC=( C ) A.172° B.130° C.133° D.100°
3.如图，已知VP、VQ为⊙T的切线，P，Q为

24.2.2 第3课时切线长定理和三角形的内切圆

第3课时切线长定理和三角形的内切圆知识要点基础练知识点1切线长定理1.如图,已知PA,PB分别切☉O于点A,B,∠P=60°,PA=8,那么弦AB的长是(B)A.4B.8C.4D.82.如图,将一把直尺,60°的直角三角板和光盘如图摆放,其中A为60°角与直尺的交点,AB=3,则光盘的直径是(D)A.3B.3C.6D.63.(改编)如图,PA,PB切☉O于A,B两点,CD切☉O于点E,交PA,PB于C,D两点.若△PCD的周长等于6,求切线PB的长.解:∵PA,PB切☉O于点A,B,CD切☉O于点E,∴PA=PB,CA=CE,DE=DB.∵△PCD的周长=PC+CD+PD=6,即PC+CE+ED+PD=6,∴PC+CA+BD+PD=PA+PB=2PB=6,∴PB=3.知识点2三角形的内切圆4.下面关于“三角形的内心”说法正确的是(A)A.三角形的内心到三边的距离相等B.三角形的内心是三边垂直平分线的交点C.三角形的内心是三边中线的交点D.三角形的内心到三个顶点的距离相等5.如图,☉O是△ABC的内切圆,D,E是切点,∠A=50°,∠C=60°,则∠DOE=(B)A.70°B.110°C.120°D.130°6.【教材母题变式】如图,△ABC中,∠C=90°,☉O是△ABC的内切圆,D,E,F是切点.(1)求证:四边形ODCE是正方形;(2)如果AC=6,BC=8,求内切圆☉O的半径.解:(1)略.(2)☉O的半径为2.综合能力提升练7.一个钢管放在V型架内,其截面如图,点O为钢管界面圆的圆心.若PM=25cm,∠MPN=60°,则☉O的半径为(D)A.50 cmB.25cmC.20 cmD.25 cm8.如图,若AB,AC分别切☉O于点B,C,延长OB到点D,使BD=OB,连接AD.若∠DAC=78°,则∠ADO的度数为(C)A.56°B.39°C.64°D.78°9.点O是△ABC的外心,点I是△ABC的内心,若∠BIC=145°,则∠BOC的度数为(D)A.110°B.125°C.130°D.140°10.如图,△ABC的内切圆与三边分别相切于点D,E,F,则下列等式:①∠EDF=∠B;②2∠EDF=∠A+∠C;③2∠A=∠FED+∠EDF;④∠AED+∠BFE+∠CDF=180°.其中成立的个数是(B)A.1B.2C.3D.411.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,则△ABC的外心与内心之间的距离为(D)A.B.2 C.1 D.12.(南京中考)如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=5,AD,AB,BC分别与☉O相切于E,F,G三点,过点D作☉O的切线交BC于点M,切点为N,则DM的长为(A)A. B.C. D.2提示:由已知得DE=DN,MG=MN,∴DM=DE+MG.∵AB=4,∴圆的半径为2,∴AF=AE=2,∴DE=DN=CG=3.设MG=MN=x,在Rt△CDM中,(3+x)2=(3-x)2+42,解得x=,∴DM=3+x=.【变式拓展】如图,以正方形ABCD的边BC为直径作半圆O,过点D作直线切半圆于点F,交AB于点E,则△ADE和直角梯形EBCD的周长之比为6∶7.13.如图,AB,AC,BD是☉O的切线,P,C,D为切点.如果AB=5,AC=3,则BD的长为2.14.如图,已知以直角梯形ABCD的腰CD为直径的半圆O与梯形上底AD,下底BC以及腰AB均相切,切点分别是D,C,E.若半圆O的半径为2,梯形的腰AB为5,则该梯形的周长是14.15.如图,AB是☉O的直径,点C为☉O外一点,CA,CD是☉O的切线,A,D为切点,连接BD,AD.若∠ACD=30°,则∠DBA=75°.16.如图,AB为☉O的直径,PA,PC与☉O相切于A,C两点,PQ⊥PA,PQ交OC的延长线于点Q.(1)求证:OQ=PQ;(2)连接BC并延长交PQ于点D,PA=AB,且CQ=6,求BD的长.解:(1)连接OP.∵PA,PC与☉O相切于A,C两点,∴PA=PC,OA⊥PA.∵OA=OC,OP=OP,∴△OPA≌△OPC(SSS),∴∠AOP=∠POC.∵QP⊥PA,∴QP∥BA,∴∠QPO=∠AOP,∴∠QOP=∠QPO,∴OQ=PQ.(2)设OA=r.∵OB=OC,∴∠OBC=∠OCB,∵OB∥QD,∴∠QDC=∠B,∵∠OCB=∠QCD,∴∠QCD=∠QDC,∴QC=QD=6.∵QO=QP,∴OC=DP=r,∵PC是☉O的切线,∴OC⊥PC,∴∠OCP=∠PCQ=90°,在Rt△PCQ中,∵PQ2=PC2+QC2,∴(6+r)2=62+(2r)2,解得r=4或0(舍去),∴OP==4.∵OB=PD,OB∥PD,∴四边形OBDP是平行四边形,∴BD=OP=4.拓展探究突破练17.(龙岩中考)如图1~4,在直角边分别为3和4的直角三角形中,每多作一条斜边上的高就增加一个三角形的内切圆,依此类推,图10中有10个直角三角形的内切圆,它们的面积分别记为S1,S2,S3,…,S10,则S1+S2+S3+…+S10=π.。

24.2.2+第3课时++切线长定理+课件+2023-2024学年人教版数学九年级上册

∴AD＝BD， ∴△ABD 是等腰直角三角形，
∴ID＝AD＝
2 2
AB＝5
2
.
13．如图，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，∠DAB＝90°，AB 是⊙O 的直
径，CO 平分∠BCD.
(1)求证：直线 CD 与⊙O 相切； (1)证明：过点 O 作 OE⊥CD 于点 E， ∵AD∥BC，∠DAB＝90°，
∴r＝3，∴BE＝BC－EC＝8－6＝2.)
知识点 2 三角形的内切圆 5．如图，⊙O 为△ABC 的内切圆，切点分别为 D，E，F，若∠DFE＝50°，则∠C 的度数为__8_0_°.
6．如图，△ABC 的周长为 24，其内切圆⊙O 分别切三边于 D，E，F 三点， AF＝3，FC＝4，则 BE 的长为__5__.
10．如图，⊙O 为△ABC 的内切圆，AB＝AC＝10，BC＝12.则⊙O 的半径为_3___.
11．如图，AB，AC 是⊙O 的两条切线，B，C 为切点，∠A＝50°，P 是⊙O 上异于 B，C 的一个动点，则∠BPC＝ 65°或 115° .
12．(教材第 124 页第 13 题改)如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，I 为△ABC 的内心，CI 的延长线交⊙O 于点 D，连接 AD. (1)求证：DA＝DI；解：(1)连接 AI，∵AB 为直径， ∴∠ACB＝90°， ∵I 为△ABC 的内心，
∴AD⊥AB，BC⊥AB，
∴AD，BC 是⊙O 的切线，
由(1)得 CD 是⊙O 的切线， ∴ED＝AD＝1，EC＝BC＝2， ∴CD＝ED＋EC＝3， ∴DF＝ CD2－CF2 ＝ 32－12 ＝2 2 ， ∴AB＝DF＝2 2 ， ∴⊙O 的半径为 2 .
∴∠BAI＝∠CAI，∠ACD＝∠BCD＝∠BAD＝45°， ∵∠DAI＝∠BAD＋∠BAI，∠DIA＝∠ACD＋∠CAI， ∴∠DAI＝∠DIA，∴DA＝DI；

第24章 24.2.2 第3课时切线长定理

数学九年级上册•R
第二十四章圆
24．2 点和圆、直线和圆的位置关系 24．2.2 直线和圆的位置关系第3课时切线长定理
切线长定理经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长．从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．自我诊断 1. PA、PB 是⊙O 的切线，切点分别是 A、B，若 PA＝6cm，则 PB＝ 6cm .
12．如图，AB 是⊙O 的直径，AM 和 BN 是它的两条切线，DE 切⊙O 于点 E，交 AM 于点 D，交 BN 于点 C，F 是 CD 的中点，连接 OF. (1)求证：OD∥BE； (2)猜想：OF 与 CD 有何数量关系？并说明理由．
解：(1)连接 OE，∵AM、DE 是⊙O 的切线，OA、OE 是⊙O 的半径，∴∠ ADO＝∠EDO，∠DAO＝∠DEO＝90°，∴∠AOD＝∠EOD＝12∠AOE，∵ ∠ABE＝12∠AOE，∴∠AOD＝∠ABE，∴OD∥BE； (2)OF＝12CD，理由：连接 OC，∵BC、CE 是⊙O 的切线，∴∠OCB＝∠ OCE，∵AM∥BN，∴∠ADO＋∠EDO＋∠OCB＋∠OCE＝180°，由(1)得 ∠ADO＝∠EDO，∴2∠EDO＋2∠OCE＝180°，即∠EDO＋∠OCE＝90°，在 Rt△DOC 中，∵F 是 DC 的中点，∴OF＝12CD.
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/9/52021/9/52021/9/52021/9/59/5/2021 •14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年9月5日星期日2021/9/52021/9/52021/9/5 •15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年9月2021/9/52021/9/52021/9/59/5/2021 •16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/9/52021/9/5September 5, 2021 •17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/9/52021/9/52021/9/52021/9/5

24.2.2第3课时切线长定理-2020秋人教版九年级数学全一册习题课件(共19张PPT)

解：设圆心为 O，连接 OA，OP. ∵三角板有一个锐角为 30°， ∴∠PAO＝60°. 又∵PA 与⊙O 相切， ∴∠OPA＝90°.∴∠POA＝30°. ∵PA＝5 cm，∴OP＝5 3 cm. ∴铁环的半径为 5 3 cm.
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆．内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心． 6．(广州中考)如图，⊙O 是△ ABC 的内切圆，则点 O 是△ ABC 的(BB ) A．三条边的垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条中线的交点 D．三条高的交点
的大小是( DD)
A．15°
B．30°
C．60°
D．75°
3．如图，AB，AC，BD 是⊙O 的切线，P，C，D 为切点，如果 AB＝5，AC＝3，则 BD 的长为 2 .
4．如图，PA，PB 是⊙O 的切线，切点分别是 A，B，若∠APB＝ 60°，OA＝2 cm，则 OP＝ 4cm ．
5．为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下办法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为 30°的三角板和一个刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径．若三角板与圆相切且测得 PA＝5 cm，求铁环的半径．
10．如图，已知以直角梯形 ABCD 的腰 CD 为直径的半圆 O 与梯
形上底 AD、下底 BC 以及腰 AB 均相切，切点分别是 D，C，E.若
半圆 O 的半径为 2，梯形的腰 AB 为 5，则该梯形的周长是( DD)
A．9
B．10
C．12
D．14
11．如图是油路管道的一部分，延伸外围的支路恰好构成一个直角
解：根据切线长定理，得 AE＝AF，BF＝BD，CE＝CD. 设AF＝AE＝x cm，则CE＝CD＝(28－x)cm，BF＝BD＝(18－x)cm. ∵BC＝26 cm， ∴(18－x)＋(28－x)＝26.解得x＝10. ∴AF＝10 cm，BD＝8 cm，CE＝18 cm.

【最新】九年级数学(RJ)-24.2.2 第3课时 切线长定理--习题课件

九年级数学人教版(上册)第3课时 切线长定理

《24.2.2 第3课时 切线长定理》教案、导学案、同步练习