2014届高考数学 课时跟踪检测(二十七) 平面向量的数量积与平面向量应用举例课件
【志鸿优化设计】2014高考数学(人教A版 理)一轮课时作业：5.3 平面向量的数量积及应用
第3讲平面向量的数量积及应用基础巩固1.已知a=(1,0),b=(1,1),(a+λb)⊥b,则λ等于()A.-2B.2C.D.-【答案】D【解析】由(a+λb)·b=0,得a·b+λ|b|2=0,得1+2λ=0,即λ=-,故选D.2.若向量a=(2,0),b=(1,1),则下列结论正确的是()A.a·b=1B.|a|=|b|C.(a-b)⊥bD.a∥b【答案】C【解析】a·b=2,选项A错误;|a|=2,|b|=,选项B错误;(a-b)·b=(1,-1)·(1,1)=0,选项C正确,故选C.3.已知向量a,b的夹角为120°,|a|=1,|b|=5,则|3a-b|等于()A.7B.6C.5D.4【答案】A【解析】|3a-b|=====7.故选A.4.(2012·湖南永州模拟)已知平面上三点A,B,C满足||=6,||=8,||=10,则·+·+·的值等于()A.100B.96C.-100D.-96【答案】C【解析】∵||=6,||=8,||=10,62+82=102,∴△ABC为直角三角形,即·=0.·+·+·=·(+)=·=-||2=-100.5.(2013届·浙江杭州质检)已知非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|=|a|,则a+b与a-b的夹角为()A.30°B.60°C.120°D.150°【答案】B【解析】将|a+b|=|a-b|两边同时平方,得a·b=0;将|a-b|=|a|两边同时平方,得b2=a2.所以cos<a+b,a-b>===.所以<a+b,a-b>=60°.6.已知向量a=(2cos α,2sin α),b=(3cos β,3sin β),若a与b的夹角为60°,则直线x cos α-y sin α+=0与圆(x-cos β)2+(y+sin β)2=的位置关系是()A.相交B.相交且过圆心C.相切D.相离【答案】D【解析】∵a=(2cos α,2sin α),b=(3cos β,3sin β),∴|a|=2,|b|=3.∴a·b=6cos αcos β+6sin αsin β=6cos(α-β).而a·b=|a||b|cos 60°=3,∴6cos(α-β)=3⇒cos(α-β)=.则圆心(cos β,-sin β)到直线x cos α-y sin α+=0的距离d===1>=r,故直线与圆相离.7.设向量a与b的夹角为θ,定义a与b的“向量积”:a×b是一个向量,它的模|a×b|=|a||b|sin θ,若a=(-,-1),b=(1,),则|a×b|等于()A. B.2 C.2 D.4【答案】B【解析】∵|a|=|b|=2,a·b=-2,∴cos θ==-.又θ∈[0,π],∴sin θ=.∴|a×b|=2×2×=2.故选B.8.已知向量a=(4,3),b=(sin α,cos α),且a⊥b,那么tan 2α=.【答案】-【解析】由a⊥b得4sin α+3cos α=0,所以tan α=-⇒tan 2α=-.9.(2012·课标全国卷,15)已知向量a,b夹角为45°,且|a|=1,|2a-b|=,则|b|=. 【答案】3【解析】∵a,b的夹角为45°,|a|=1,∴a·b=|a||b|cos 45°=|b|,|2a-b|2=4-4×|b|+|b|2=10,∴|b|=3.10.关于平面向量a,b,c,有下列三个命题:①若a·b=a·c,则b=c.②若a=(1,k),b=(-2,6), a∥b,则k=-3.③非零向量a和b满足|a|=|b|=|a-b|,则a与a+b的夹角为60°.其中真命题的序号为(写出所有真命题的序号).【答案】②【解析】命题①明显错误.由两向量平行的充要条件得1×6+2k=0,k=-3,故命题②正确.由|a|=|b|=|a-b|,再结合平行四边形法则可得a与a+b的夹角为30°,命题③错误.11.已知=(2,5),=(3,1),=(6,3),在上是否存在点M,使⊥,若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.【解】设存在点M,且=λ=(6λ,3λ),∴=-=(2-6λ,5-3λ),=-=(3-6λ,1-3λ).∵⊥,∴(2-6λ)(3-6λ)+(5-3λ)(1-3λ)=0,即45λ2-48λ+11=0,解得λ=或λ=.∴=(2,1)或=.∴存在M(2,1)或M满足题意.12.已知向量a=(1,2),b=(2,-2).(1)设c=4a+b,求(b·c)a;(2)若a+λb与a垂直,求λ的值;(3)求向量a在b方向上的投影.【解】(1)∵a=(1,2),b=(2,-2),∴c=4a+b=(4,8)+(2,-2)=(6,6).∴b·c=2×6-2×6=0.∴(b·c)a=0×a=0.(2)a+λb=(1,2)+λ(2,-2)=(2λ+1,2-2λ),由于a+λb与a垂直,∴2λ+1+2(2-2λ)=0,∴λ=.(3)设向量a与b的夹角为θ,向量a在b方向上的投影为|a|cos θ.∴|a|cos θ===-=-.13.已知a=(sin θ,1),b=(1,cos θ),c=(0,3),-<θ<.(1)若(4a-c)∥b,求θ;(2)求|a+b|的取值范围.【解】(1)4a-c=(4sin θ,4)-(0,3)=(4sin θ,1),∵(4a-c)∥b,∴4sin θcos θ-1=0.∴sin 2θ=.∵θ∈,∴2θ∈(-π,π).∴2θ=或,即θ=或.(2)a+b=(sin θ+1,1+cos θ),|a+b|===,∵-<θ<,∴-<θ+<.∴sin.∴2sin∈(-2,2].∴|a+b|∈(1,+1].拓展延伸14.(2012·湖南衡阳六校联考)已知向量m=,n=,函数f(x)=m·n.(1)若f(x) =1,求cos的值;(2)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b, c,且满足a cos C+c=b,求f(B)的取值范围. 【解】由题意得f(x)=sincos+cos2=sin+cos+=sin+.(1)由f(x)=1,可得sin=,则cos=2cos2-1=2sin2-1=-.(2)由a cos C+c=b可得a·+c=b,即b2+c2-a2=bc,则cos A ==,得A=,B+C=,易知0<B<,0<<,则<+<,所以1<sin+<.故f(B)的取值范围为.。
高考数学复习课时跟踪检测-平面向量的数量积及应用含解析
课时跟踪检测（三十一） 系统题型——平面向量的数量积及应用[A 级 保分题——准做快做达标]1．(牡丹江第一高级中学月考)已知圆O 是△ABC 的外接圆,其半径为1,且AB ―→＋AC ―→＝2AO ―→,AB ＝1,则CA ―→·CB ―→＝( )A 。
32 B 。
3 C 。
3D ．2 3解析：选B 因为AB ―→＋AC ―→＝2AO ―→,所以点O 是BC 的中点,即BC 是圆O 的直径,又AB ＝1,圆的半径为1,所以∠ACB ＝30°,且AC ＝3,则CA ―→·CB ―→＝|CA ―→|·|CB ―→|cos ∠ACB ＝3。
故选B 。
2。
(广州综合测试)如图,半径为1的扇形AOB 中,∠AOB ＝2π3,P是弧AB 上的一点,且满足OP ⊥OB ,M ,N 分别是线段OA ,OB 上的动点,则PM ―→·PN ―→的最大值为( )A 。
22B 。
32C ．1D ． 2解析：选C ∵扇形OAB 的半径为1,∴|OP ―→ |＝1,∵OP ⊥OB ,∴OP ―→·OB ―→＝0。
∵∠AOB ＝2π3,∴∠AOP＝π6,∴PM ―→·PN ―→＝(PO ―→＋OM ―→)·(PO ―→＋ON ―→)＝PO ―→2＋ON ―→·PO ―→＋OM ―→·PO ―→＋OM ―→·ON ―→＝1＋|OM ―→|cos 5π6＋|OM ―→|·|ON ―→|cos 2π3≤1＋0×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＋0×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝1,故选C 。
3．(南昌模拟)已知a ＝(cos α,sin α),b ＝(cos(－α),sin(－α)),那么a ·b ＝0是α＝k π＋π4(k∈Z)的( )A ．充分不必要条件B 。
必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B a ·b ＝cos α·cos(－α)＋sin α·sin(－α)＝cos 2α－sin 2α＝cos 2α,若a ·b ＝0,则cos 2α＝0,∴2α＝2k π±π2(k ∈Z),解得α＝k π±π4(k ∈Z)．∴a ·b ＝0是α＝k π＋π4(k ∈Z)的必要不充分条件．故选B 。
辽宁省沈阳市第二十一中学13—14学年下学期高三数学课时作业27：平面向量的数量积及向量的应用(附答案)
辽宁省沈阳市第二十一中学13—14学年下学期高三数学课时作业27：平面向量的数量积及向量的应用时间：45分钟 分值：100分一、选择题(每小题5分，共30分)1．若向量a ＝(1,2)，b ＝(1，－1)，则2a ＋b 与a －b 的夹角等于( ) A ．－π4B.π6C.π4D.3π4解析：2a ＋b ＝(3,3)，a －b ＝(0,3)，则cos 〈2a ＋b ，a －b 〉＝a ＋b a －b |2a ＋b |·|a －b |＝932×3＝22，故夹角为π4. 答案：C2．已知a ＝(1,2)，b ＝(x,4)且a ·b ＝10，则|a －b |＝( ) A ．－10 B ．10 C ．－ 5D. 5解析：因为a ·b ＝10，所以x ＋8＝10，x ＝2，所以a －b ＝(－1，－2)，故|a －b |＝ 5. 答案：D3．已知两个单位向量e 1，e 2的夹角为θ，则下列结论不正确的是( ) A ．e 1在e 2方向上的投影为cos θB ．e 21＝e 22C ．(e 1＋e 2)⊥(e 1－e 2)D ．e 1·e 2＝1解析：e 1·e 2＝|e 1|·|e 2|cos θ＝cos θ，故D 不成立． 答案：D4．若|b |＝2|a |≠0，c ＝a ＋b ，且c ⊥a ，则向量a 与b 的夹角为( ) A ．30° B ．60° C ．120°D ．150°解析：∵c ＝a ＋b ，且c ⊥a ， ∴(a ＋b )·a ＝a 2＋a ·b ＝0. ∴a ·b ＝－a 2.设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝－a 2|a |·2|a |＝－12，故θ＝120°.选C.答案：C5．若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)在一个周期内的图象如图所示，M ，N 分别是这段图象的最高点和最低点，且OM →·ON →＝0(O 为坐标原点)，则A ＝( )A.π6B.712πC.76π D.73π 解析：由题图知OM →＝(π12，A )，ON →＝(7π12，－A )，∵OM →·ON →＝7π2144－A 2＝0，A >0，∴A ＝712π.答案：B6．(2012·江西)在直角三角形ABC 中，点D 是斜边AB 的中点，点P 为线段CD 的中点，则|P A |2＋|PB |2|PC |2＝( )A ．2B ．4C ．5D ．10解析：(用向量法)将△ABC 的各边均赋予向量， 则|P A |2＋|PB |2|PC |2＝P A →2＋PB →2PC →2＝PC →＋CA→2＋PC →＋CB →2PC →2＝2PC →2＋2PC →·CA →＋2PC →·CB →＋CA →2＋CB →2PC →2＝2|PC →|2＋2PC →CA →＋CB →＋|AB →|2|PC →|2＝2|PC →|2－8|PC →|2＋|AB →|2|PC →|2＝|AB →|2|PC →|2－6＝42－6＝10. 答案：D二、填空题(每小题5分，共15分)7．(2012·北京)已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE →·CB →的值为__________，DE →·DC →的最大值为__________． 解析：DE →·CB →＝(DA →＋AE →)·CB →＝(CB →＋AE →)·CB → ＝|CB →|2＋AE →·CB →.因为AE ⊥CB ，所以AE →·CB →＝0.所以DE →·CB →＝12＋0＝1. DE →·DC →＝(DA →＋AE →)·DC →＝DA →·DC →＋AE →·DC → ＝λ|DC →|2(0≤λ≤1)， ∴DE →·DC →的最大值为1. 答案：1 18．已知平面向量α，β(α≠0，α≠β)满足|β|＝1，且α与β－α的夹角为120°，则|α|的取值范围是__________．解析：如图所示，在△ABC 中，∠ABC ＝60°，AC ＝1.设∠ACB ＝φ，由正弦定理|α|sin φ＝|β|sin60°⇒|α|＝23sin φ＝233sin φ≤233.∴|α|∈(0，233]．答案：(0，233]9．已知|a |＝2|b |≠0，且关于x 的函数f (x )＝13x 3＋12|a |x 2＋a ·bx 在R 上有极值，则a 与b 的夹角范围为__________．解析：f (x )＝13x 3＋12|a |x 2＋a ·bx 在R 上有极值，即f ′(x )＝x 2＋|a |x ＋a ·b ＝0有两个不同的实数解，故Δ＝|a |2－4a ·b >0⇒cos 〈a ，b 〉<12，所以〈a ，b 〉∈(π3，π]答案：(π3，π]三、解答题 (共55分)10．(15分)已知a 、b 、c 是同一平面内的三个向量，其中a ＝(1,2)． (1)若|c |＝25，且c ∥a ，求c 的坐标； (2)若|b |＝52，且a ＋2b 与2a －b 垂直，求a 与b 的夹角θ. 解：(1)设c ＝(x ，y )，由c ∥a 和|c |＝25可得⎩⎪⎨⎪⎧ 1·y －2·x ＝0x 2＋y 2＝20，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2y ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2y ＝－4， ∴c ＝(2,4)或c ＝(－2，－4)．(2)∵(a ＋2b )⊥(2a －b )，∴(a ＋2b )·(2a －b )＝0， 即2a 2＋3a ·b －2b 2＝0. ∴2|a |2＋3a ·b －2|b |2＝0.∴2×5＋3a ·b －2×54＝0，∴a ·b ＝－52.∴cos θ＝a ·b|a ||b |＝－525·52＝－1.∵θ∈[0，π]，∴θ＝π.11．(20分)设a ＝(1＋cos x,1＋sin x )，b ＝(1,0)，c ＝(1,2)． (1)求证：(a －b )⊥(a －c )；(2)求|a |的最大值，并求此时x 的值． 解：(1)证明：a －b ＝(cos x,1＋sin x )， a －c ＝(cos x ，sin x －1)，(a －b )·(a －c )＝(cos x,1＋sin x )·(cos x ，sin x －1) ＝cos 2x ＋sin 2x －1＝0. ∴(a －b )⊥(a －c )． (2)|a |＝＋cos x2＋＋sin x2＝3＋x ＋cos x＝3＋22x ＋π4≤3＋22＝2＋1. 当sin(x ＋π4)＝1，即x ＝π4＋2k π(k ∈Z)时，|a |有最大值2＋1.12．(20分)已知平面上一定点C (2,0)和直线l ：x ＝8，P 为该平面上一动点，作PQ ⊥l ，垂足为Q ，且(PC →＋12PQ →)·(PC →－12PQ →)＝0.(1)求动点P 的轨迹方程；(2)若EF 为圆N ：x 2＋(y －1)2＝1的任一条直径，求PE →·PF →的最大值和最小值. 解：(1)设P (x ，y )，则Q (8，y )． 由(PC →＋12PQ →)·(PC →－12PQ →)＝0，得|PC →|2－14|PQ →|2＝0，即(x －2)2＋y 2－14(x －8)2＝0，化简得x 216＋y 212＝1.所以点P 在椭圆上，其轨迹方程为x 216＋y 212＝1.(2)因为PE →·PF →＝(NE →－NP →)·(NF →－NP →) ＝(－NF →－NP →)·(NF →－NP →)＝(－NP →)2－NF →2 ＝NP →2－1，P 是椭圆x 216＋y 212＝1上的任一点，设P (x 0，y 0)，则有x 2016＋y 2012＝1，即x 20＝16－4y 203，又N (0,1)，所以NP →2＝x 20＋(y 0－1)2＝－13y 20－2y 0＋17＝－13(y 0＋3)2＋20. 因为y 0∈[－23，23]，所以当y 0＝－3时，NP →2取得最大值20，故PE →·PF →的最大值为19； 当y 0＝23时，NP →2取得最小值13－43，此时x 0＝0，故PE →·PF →的最小值为12－4 3.。
2014届高考数学一轮复习效果监测平面向量的数量积及平面向量的应用
平面向量的数量积及平面向量的应用1.(2012年高考重庆卷)设x∈R,向量a=(x,1),b=(1,-2),且a⊥b,则|a+b|等于( B )(A)(B)(C)2(D)10解析:∵a⊥b,∴x-2=0,∴x=2.∴|a+b|====.故选B.2.(2013乐山市第一次调研)已知两点A(-1,0),B(1,3),向量a=(2k-1,2),若⊥a,则实数k的值为( C )(A)2 (B)1 (C)-1 (D)-2解析:由=(2,3),因为⊥a,所以2(2k-1)+2×3=0,得k=-1,故选C.3.(2012年高考辽宁卷)已知两个非零向量a、b满足|a+b|=|a-b|,则下面结论正确的是( B )(A)a∥b (B)a⊥b(C)|a|=|b| (D)a+b=a-b解析:法一代数法:将原式平方得|a+b|2=|a-b|2,∴a2+2a·b+b2=a2-2a·b+b2,∴a·b=0,∴a⊥b,故选B.法二几何法:如图所示,在▱ABCD中,设=a,=b,∴=a+b,=a-b,∵|a+b|=|a-b|,∴平行四边形两条对角线长度相等,即平行四边形ABCD为矩形,∴a⊥b,故选B.4.(2013玉溪一中月考)已知|a|=6,|b|=3,a·b=-12,则向量a在向量b方向上的投影是( A )(A)-4 (B)4 (C)-2 (D)2解析:cos<a,b>===-,向量a在向量b方向上的投影为|a|cos<a,b>=6×(-)=-4,故选A.5.(2012东北四校联考)已知平面向量a和b,|a|=1,|b|=2,且a与b的夹角为120°,则|2a+b|等于( A )(A)2 (B)4 (C)2(D)6解析:由题意可知|2a+b|2=4a2+b2+4a·b=4|a|2+|b|2+4|a||b|·cos 120°=4,所以|2a+b|=2,故选A.6.(2013成都市高三一诊模拟)已知向量a=(cos θ,sin θ),向量b=(,1),则|2a-b|的最大值和最小值分别为( B )(A)4,0 (B)4,0 (C)16,0 (D)4,4解析:|2a-b|=|(2cos θ-,2sin θ-1)|==,所以最大值和最小值分别为4,0.故选B.二、填空题7.单位圆上三点A,B,C满足++=0,则向量,的夹角为.解析:∵A,B,C为单位圆上三点 ,∴||=||=||=1,又++=0,∴-=+,∴=(+)2=++2·,可得cos<,>=-,∴向量,的夹角为120°.答案:120°8.(2011年高考天津卷)已知直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ADC=90°,AD=2,BC=1,P是腰DC上的动点,则|+3|的最小值为.解析:如图建立平面直角坐标系,设C(0,b),则B(1,b),又A(2,0),设P(0,y),则+3=(2,-y)+3(1,b-y)=(5,3b-4y),∴|+3|2=25+(3b-4y)2,∴当3b-4y=0,即y=b时,|+3|2的最小值为25.∴|+3|的最小值为5.答案:59.(2012德州一模)已知a=(m,n),b=(p,q),定义a⊗b=mn-pq,下列等式中,①a⊗a=0;②a⊗b=b⊗a;③(a+b)⊗a=a⊗a+b⊗a;④(a⊗b)2+(a·b)2=(m2+q2)(n2+p2),一定成立的是.(填上所有正确等式的序号)解析:由a⊗b的定义可知,①a⊗a=mn-mn=0,故①正确,②a⊗b=mn-pq,b⊗a=pq-mn,故②错误,③a+b=(m+p,n+q),所以(a+b)⊗a=(m+p)(n+q)-mn,而a⊗a+b⊗a=pq-mn,故③错误,④(a⊗b)2=(mn-pq)2,(a·b)2=(mp+nq)2,所以(a⊗b)2+(a·b)2=(m2+q2)(n2+p2),故④正确.答案:①④三、解答题10.已知a、b、c是同一平面内的三个向量,其中a=(1,2).(1)若|c|=2,且c∥a,求c的坐标;(2)若|b|=,且a+2b与2a-b垂直,求a与b的夹角θ.解:(1)设c=(x,y),由c∥a和|c|=2,可得:∴或∴c=(2,4)或c=(-2,- 4).(2)∵(a+2b)⊥(2a-b),∴(a+2b)·(2a-b)=0,即2a2+3a·b-2b2=0,∴2|a|2+3a·b-2|b|2=0,∴2×5+3a·b-2×=0,∴a·b=-,∴cos θ==-1,∵θ∈[0,π],∴θ=π.即a与b的夹角大小为π.11.在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c.若·=·=k(k∈R).(1)判断△ABC的形状;(2)若k=2,求b的值.解:(1)∵·=cbcos A,·=bacos C,∴bccos A=abcos C,根据正弦定理,得sin Ccos A=sin Acos C,即sin Acos C-cos Asin C=0,sin(A-C)=0,∴A=C,即a=c.则△ABC为等腰三角形.(2)由(1)知a=c,由余弦定理,得·=bccos A=bc·=.·=k=2,即=2,解得b=2.12.(2012山东省威海市高三第一次模拟)已知向量m=(2cos x,cos x-sin x),n=,且满足f(x)=m·n.(1)求函数y=f(x)的单调递增区间;(2)设△ABC的内角A满足f(A)=2,a、b、c分别为角A、B、C所对的边,且·=,求边BC的最小值.解:(1)f(x)=2cos x（sin x+cos x）+sin x·cos x-sin2x=2sin x·cos x+cos2x-sin2 x=sin 2x+cos 2x=2sin,由2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z,故所求单调递增区间为(k∈Z).(2)由f(A)=2sin=2,0<A<π得A=,∵·=,即bccos A=,∴bc=2,又△ABC中,a2=b2+c2-2bccos A=b2+c2-bc≥2bc-bc =(2-)bc,∴=(2-)×2=4-2,∴a min==-1.即边BC的最小值为-1。
2014高考数学一轮汇总训练《平面向量的数量积及平面向量的应用 》理 新人教A版
第三节平面向量的数量积及平面向量的应用[备考方向要明了]年会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．会用向量方法解决简单的力学问题与其[归纳²知识整合]1．平面向量的数量积平面向量数量积的定义已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，把数量|a||b|cos θ叫做a和b的数量积(或内积)，记作a²b.即a²b＝|a||b|cos θ，规定0²a＝0.2．向量数量积的运算律(1)a²b＝b²a(2)(λa)²b＝λ(a²b)＝a²(λb)(3)(a＋b)²c＝a²c＋b²c[探究] 根据数量积的运算律，判断下列结论是否成立．(1)a²b＝a²c，则b＝c吗？(2)(a²b)c＝a(b²c)吗？提示：(1)不一定，a ＝0时不成立，另外a ≠0时，a ²b ＝a ²c .由数量积概念可知b 与c 不能确定； (2)(a ²b )c ＝a (b ²c )不一定相等．(a ²b )c 是c 方向上的向量，而a (b ²c )是a 方向上的向量，当a 与c 不共线时它们必不相等．3．平面向量数量积的有关结论 已知非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)[自测²牛刀小试]1．(教材习题改编)已知|a |＝5，|b |＝4，a ²b ＝－10，则a 与b 的夹角为( ) A.π3 B.23π C.π6D.56π 解析：选B 设a 与b 的夹角为θ，则a ²b ＝|a ||b |cos θ＝5³4cos θ＝－10，即cos θ＝－12.又∵θ∈[0，π]，∴θ＝23π.2．(教材习题改编)等边三角形ABC 的边长为1，BC ＝a ，CA ＝b ，AB＝c ，那么a ²b＋b ²c ＋c ²a 等于( )A ．3B ．－3 C.32D ．－32解析：选D 由题意知|a |＝|b |＝|c |＝1，且a 与b 的夹角为120°，b 与c 的夹角为120°，c 与a 的夹角也为120°.故a ²b ＋b ²c ＋c ²a ＝－32.3．设向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1，a ²b ＝－12，则|a ＋2b |＝( ) A. 2 B. 3 C. 5D.7解析：选B |a ＋2b |＝|a ＋2b |2＝|a |2＋4a ²b ＋4|b |2＝1－2＋4＝ 3.4．(教材习题改编)已知|a |＝3，|b |＝4，且a 与b 不共线，若向量a ＋k b 与a －k b 垂直，则k ＝________.解析：∵(a ＋k b )⊥(a －k b )， ∴(a ＋k b )²(a －k b )＝0， 即|a |2－k 2|b |2＝0.又∵|a |＝3，|b |＝4，∴k 2＝916，即k ＝±34.答案：±345．若向量a ＝(1,1)，b ＝(2,5)，c ＝(3，x )满足条件(8a －b )²c ＝30，则x ＝________. 解析：由题意可得8a －b ＝(6,3)，又(8a －b )²c ＝30，c ＝(3，x )，则18＋3x ＝30，解得x ＝4.答案：4[例1] (1)(2012²天津高考)已知△ABC 为等边三角形，AB ＝2.设点P ，Q 满足AP ＝λAB ，AQ ＝(1－λ) AC ，λ∈R ，若BQ ²CP ＝－32，则λ＝( )A.12B.1±22C.1±102D.－3±222(2)(2012²上海高考)在平行四边形ABCD 中，∠A ＝π3，边AB 、AD 的长分别为2、1.若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点，且满足|BM||BC |＝|CN ||CD |，则AM ²AN 的取值范围是________． [自主解答] (1)以点A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，则B (2,0)，C (1，3)，由AP ＝λAB，得P (2λ，0)，由AQ ＝(1－λ) AC ，得Q (1－λ，3(1－λ))，所以BQ ²CP＝(－λ－1，3(1－λ))²(2λ－1，－3)＝－(λ＋1)²(2λ－1)－3³3(1－λ)＝－32，解得λ＝12.(2)建立平面直角坐标系，如图．则B (2,0)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，32，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32.令BM BC ＝CN CD＝λ，则M ⎝⎛⎭⎪⎫λ2＋2，32λ，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫52－2λ，32.∴AM ²AN ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫λ2＋2²⎝ ⎛⎭⎪⎫52－2λ＋34λ＝－λ2－2λ＋5＝－(λ＋1)2＋6.∵0≤λ≤1，∴AM ²AN∈[2,5]．[答案] (1)A (2)[2,5] ——————————————————— 平面向量数量积的类型及求法(1)向量数量积有两种计算公式：一是夹角公式a ²b ＝|a ||b |cos θ；二是坐标公式a ²b ＝x 1x 2＋y 1y 2.(2)求较复杂的向量数量积的运算时，可先利用向量数量积的运算律或相关公式进行化简．注意以下两个重要结论的应用： ①(a ＋b )2＝a 2＋2a ²b ＋b 2； ②(a ＋b )²(a －b )＝a 2－b 2.1.(2012²江苏高考)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2，点E为BC 的中点，点F 在边CD 上，若AB ²AF ＝2，则AE ²BF的值是________．解析：以A 为坐标原点，AB ，AD 所在的直线分别为x ，y 轴建立直角坐标系，则B (2，0)，E (2，1)，D (0,2)，C (2，2)．设F (x,2)(0≤x ≤2)，由AB ²AF ＝2⇒2x ＝2⇒x ＝1，所以F (1,2)，AE ²BF＝(2，1)²(1－2，2)＝ 2.答案： 2[例2] 已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )²(2a ＋b )＝61. (1)求a 与b 的夹角θ； (2)求|a ＋b |和|a －b |.[自主解答] (1)∵(2a －3b )²(2a ＋b )＝61，解得a ²b ＝－6.∴cos θ＝a ²b |a ||b |＝－64³3＝－12， 又0≤θ≤π，∴θ＝2π3.(2)|a ＋b |2＝a 2＋2a ²b ＋b 2＝13，∴|a ＋b |＝13. |a －b |2＝a 2－2a ²b ＋b 2＝37. ∴|a －b |＝37.本例条件不变，若AB＝a ，BC ＝b ，试求△ABC 的面积．解：∵AB 与BC 的夹角θ＝23π，∴∠ABC ＝π－23π＝13π.又|AB|＝|a |＝4，|BC |＝|b |＝3，∴S △ABC ＝12|AB ||BC |sin ∠ABC ＝12³4³3³32＝3 3.———————————————————1．利用数量积求解长度问题的处理方法 (1)a 2＝a ²a ＝|a |2或|a |＝a ²a .(2)|a ±b |＝a ±b 2＝a 2±2a ²b ＋b 2.(3)若a ＝(x ，y )，则|a |＝x 2＋y 2. 2．求向量夹角的方法(1)利用向量数量积的定义知，cos θ＝a ²b|a ||b |，其中两向量夹角的范围为0°≤θ≤180°，求解时应求出三个量：a ²b ，|a |，|b |或者找出这三个量之间的关系．(2)利用坐标公式，若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则 cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21²x 22＋y 22. (3)三角函数法，可以把这两个向量的夹角放在三角形中；利用正余弦定理、三角形的面积公式等求解．2．(1)已知平面向量α，β，|α|＝1，β＝(2,0)，α⊥(α－2β)，求|2α＋β|的值；(2)已知三个向量a 、b 、c 两两所夹的角都为120°，|a |＝1，|b |＝2，|c |＝3，求向量a ＋b ＋c 与向量a 的夹角．解：(1)∵β＝(2,0)，∴|β|＝2，又α⊥(α－2β)，∴α²(α－2β)＝α2－2α²β＝1－2α²β＝0. ∴α²β＝12.∴(2α＋β)2＝4α2＋β2＋4α²β＝4＋4＋2＝10. ∴|2α＋β|＝10.(2)由已知得(a ＋b ＋c )²a ＝a 2＋a ²b ＋a ²c ＝1＋2cos 120°＋3cos 120°＝－32，|a ＋b ＋c |＝a ＋b ＋c 2＝a 2＋b 2＋c 2＋2a ²b ＋2a ²c ＋2b ²c＝1＋4＋9＋4cos 120°＋6cos 120°＋12cos 120° ＝ 3.设向量a ＋b ＋c 与向量a 的夹角为θ， 则cos θ＝a ＋b ＋c ²a |a ＋b ＋c ||a |＝－323＝－32，即θ＝150°，故向量a ＋b ＋c 与向量a 的夹角为150°.[例3] 已知|a |＝4，|b |＝8，a 与b 的夹角是120°. (1)计算|a ＋b |；(2)当k 为何值时，(a ＋2b )⊥(k a －b )．[自主解答] (1)|a ＋b |2＝|a |2＋2a ²b ＋|b |2＝16＋2³4³8³⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋64＝48，故|a ＋b |＝4 3.(2)若(a ＋2b )⊥(k a －b )，则(a ＋2b )²(k a －b )＝0，即k a 2＋(2k －1)a ²b －2b 2＝16k －16(2k －1)－2³64＝0，解得k ＝－7. 即k ＝－7时，两向量垂直． ——————————————————— 两向量垂直的判断方法及应用(1)若a ，b 为非零向量，则a ⊥b ⇔a ²b ＝0；若非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.(2)一对向量垂直与向量所在的直线垂直是一致的，向量的线性运算与向量的坐标运算是求解向量问题的两大途径．3．在直角三角形ABC 中，已知AB＝(2,3)，AC ＝(1，k )，求k 的值．解：(1)当A ＝90°时，∵AB ⊥AC ，∴AB ²AC＝0.∴2³1＋3k ＝0，解得k ＝－23.(2)当B ＝90°时，∵AB ⊥BC， 又BC ＝AC －AB＝(1，k )－(2,3)＝(－1，k －3)，∴AB ²BC＝2³(－1)＋3³(k －3)＝0，解得k ＝113.(3)当C ＝90°时，∵AC ⊥BC，∴1³(－1)＋k (k －3)＝0，即k 2－3k －1＝0.∴k ＝3±132.综上可得k 的值为－23或113或3±132.[例4] 设向量a ＝(4cos α，sin α)，b ＝(sin β，4cos β)，c ＝(cos β，－4sin β)．(1)若a 与b －2c 垂直，求tan(α＋β)的值； (2)求|b ＋c |的最大值；(3)若tan αtan β＝16，求证：a ∥b . [自主解答] (1)由a 与b －2c 垂直，a ²(b －2c )＝a ²b －2a ²c ＝0，即4sin(α＋β)－8cos(α＋β)＝0，tan(α＋β)＝2. (2)b ＋c ＝(sin β＋cos β，4cos β－4si n β)|b ＋c |2＝sin 2β＋2sin βcos β＋cos 2β＋16cos 2β－32cos βsin β＋16sin 2β ＝17－30sin βcos β＝17－15sin 2β，最大值为32， 所以|b ＋c |的最大值为4 2.(3)由tan αtan β＝16得sin αsin β＝16cos αcos β，即 4cos α²4cos β－sin αsin β＝0， 所以a ∥b . ———————————————————平面向量与三角函数的综合问题的命题形式与解题思路(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等．4．在△ABC 中，已知2AB ²AC ＝3|AB|²|AC |＝3|BC |2，求角A ，B ，C 的大小．解：设BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，∵由2AB ²AC ＝3|AB|²|AC |得2bc cos A ＝3bc ，∴cos A ＝32， 又∵A ∈(0，π)，∴A ＝π6.由3|AB |²|AC |＝3|BC |2得bc ＝3a 2，由正弦定理得sin C ²sin B ＝3sin 2A ＝34， ∴sin C ²sin ⎝⎛⎭⎪⎫5π6－C ＝34，即sin C ²⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos C ＋32sin C ＝34，∴2sin C ²cos C ＋23sin 2C ＝3， ∴sin 2C －3cos 2C ＝0， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2C －π3＝0，由A ＝π6知0<C <5π6，∴－π3<2C －π3<4π3，从而2C －π3＝0或2C －π3＝π，即C ＝π6或C ＝2π3.故A ＝π6，B ＝2π3，C ＝π6或A ＝π6，B ＝π6，C ＝2π3.3个防范——与向量夹角有关的易误点 (1)若a ²b >0，则a 与b 的夹角为锐角或0°； (2)若a ²b <0，则a 与b 的夹角为钝角或180°；(3)在求△ABC 的三边所对应向量的夹角时，要注意是三角形的内角还是外角．如等边△ABC 中，AB 与BC的夹角应为120°而不是60°.4个区别——向量运算与实数运算的区别(1)在实数运算中，若ab ＝0，则a 与b 中至少有一个为0.而在向量数量积的运算中，不能从a ²b ＝0推出a ＝0或b ＝0成立．实际上由a ²b ＝0可推出以下四种结论：①a ＝0，b ＝0；②a ＝0，b ≠0；③a ≠0，b ＝0；④a ≠0，b ≠0，但a ⊥b .(2)在实数运算中，若a ，b ∈R ，则|ab |＝|a |²|b |，但对于向量a ，b 却有|a ²b |≤|a |²|b |，当且仅当a ∥b 时等号成立．这是因为|a ²b |＝|a |²|b |²|cos θ|，而|cos θ|≤1.(3)实数运算满足消去律：若bc ＝ca ，c ≠0，则有b ＝a .在向量数量积的运算中，若a ²b ＝a ²c (a ≠0)，则不一定得到b ＝c .(4)实数运算满足乘法结合律，但向量数量积的运算不满足乘法结合律，即(a ²b )²c 不一定等于a ²(b ²c )，这是由于(a ²b )²c 表示一个与c 共线的向量，而a ²(b ²c )表示一个与a 共线的向量，而c 与a 不一定共线.创新交汇——平面向量与其他知识的交汇1．平面向量的数量积是每年高考的重点和热点内容，且常与三角函数、数列、三角形、解析几何等交汇命题，且常考常新．2．此类问题的解题思路是转化为代数运算，其转化途径主要有两种：一是利用平面向量平行或垂直的充要条件；二是利用向量数量积的公式和性质．[典例] (2012²广东高考)对任意两个非零的平面向量α和β，定义α∘β＝α²ββ²β.若两个非零的平面向量a ，b 满足a 与b 的夹角θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，且a ∘b 和b ∘a 都在集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫n 2|n ∈Z 中，则a ∘b ＝( )A.52 B.32 C ．1 D.12[解析] a ∘b ＝a ²b b 2＝|a ||b ||b |2cos θ＝|a ||b |cos θ，b ∘a ＝|b ||a |²cos θ，因为|a |>0，|b |>0,0<cos θ<22，且a ∘b 、b ∘a ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫n 2| n ∈Z ，所以|a ||b |cos θ＝n 2，|b ||a |cos θ＝m2，其中m ，n ∈N *，两式相乘，得m ²n 4＝cos 2θ，因为0<cos θ<22，所以0<cos 2θ<12，得到0<m ²n <2，故m ＝n ＝1，即a ∘b ＝12.[答案] D [名师点评]1．本题具有以下创新点(1)本题属新定义问题，命题背景新颖；(2)考查知识新颖，本题把向量的数量积、夹角、不等式、集合等问题通过新定义有机结合在一起，较好地考查了考生的阅读理解能力和知识的迁移、转化的能力．2．解决本题的关键有以下几点(1)读懂、读透题目中所给的新定义α∘β＝α²ββ²β的意义．(2)理解a ∘b 与b ∘a 都在集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫n 2| n ∈Z 中的实际意义是|a ||b |cos θ与|b ||a |cos θ都能表示成n2(n ∈Z )的形式．(3)善于转化，通过两式相乘，将问题转化为0<cos 2θ<12，即0<m ²n <2成立，从而求得结论．[变式训练]1．已知向量OZ 与1OZ 关于x 轴对称，j ＝(0,1)，则满足不等式OZ 2＋j ²1ZZ ≤0的点Z (x ，y )的集合用阴影表示为( )解析：选C 依题意得，动点Z 的坐标满足：(x 2＋y 2)＋(0,1)²(0，－2y )＝x 2＋y 2－2y ≤0，即x 2＋(y －1)2≤1，易知该不等式表示的平面区域是以点(0,1)为圆心，1为半径的圆及其内部．2．已知平面内的向量OA ，OB 满足：|OA |＝|OB |＝2，OA 与OB 的夹角为π2，又OP ＝λ1OA ＋λ2OB,0≤λ1≤1,1≤λ2≤2，则点P 的集合所表示的图形的面积是( )A ．8B ．4C ．2D ．1解析：选B 如图，以O 为原点，OA 所在直线为x 轴，OB所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系，则A (2,0)，B (0,2)，设P (x ，y )，则由OP ＝λ1OA ＋λ2OB，得(x ，y )＝λ1(2,0)＋λ2(0,2)＝(2λ1,2λ2)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2λ1，y ＝2λ2.又因为⎩⎪⎨⎪⎧0≤λ1≤1，1≤λ2≤2，所以⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，2≤y ≤4.所以点P的集合为{(x ，y )|0≤x ≤2,2≤y ≤4}，它表示正方形区域(如图中阴影部分所示)，所以点P 的集合所表示的图形的面积为2³2＝4.一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．(2012²重庆高考)设x ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，－2)，且a ⊥b ，则|a ＋b |＝( ) A. 5 B.10 C ．2 5D ．10解析：选B 由a ⊥b ，可得a ²b ＝0，即x －2＝0，得x ＝2，所以a ＋b ＝(3，－1)，故|a ＋b |＝32＋－12＝10.2．(2012²湖北高考)若向量a ＝(1,2)，b ＝(1，－1)，则2a ＋b 与a －b 的夹角等于( ) A ．－π4B.π6C.π4D.3π4解析：选C 2a ＋b ＝2(1,2)＋(1，－1)＝(3,3)，a －b ＝(1,2)－(1，－1)＝(0,3)．在平面直角坐标系中，根据图形得2a ＋b 与a －b 的夹角为π4.3．如图，在△ABC 中，AD ⊥AB ，BC ＝3BD ，|AD|＝1，则AC ²AD＝( )A ．2 3B.32C ．－32D. 3解析：选D 建系如图．设B (x B,0)，D (0,1)，C (x C ，y C )，BC＝(x C －x B ，y C )， BD＝(－x B,1)， ∵BC ＝3BD，∴x C －x B ＝－3x B ⇒x C ＝(1－3)²x B ，y C ＝3，AC ＝((1－3)x B ，3)，AD＝(0,1)，AC ²AD ＝ 3.4．已知|a |＝6，|b |＝3，a ²b ＝－12，则向量a 在向量b 方向上的射影的数量是( ) A ．－4 B ．4 C ．－2D ．2解析：选A 设a 与b 的夹角为θ，∵a ²b 为向量b 的模与向量a 在向量b 方向上的射影的数量的乘积，而cos θ＝a ²b |a ||b |＝－23，∴|a |cos θ＝6³⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝－4. 5．已知圆O 的半径为1，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为两切点，那么PA ²PB的最小值为( )A ．－4＋ 2B ．－3＋ 2C ．－4＋2 2D ．－3＋2 2解析：选 D 设∠APB ＝2θ，|PO |＝x ，则PA ²PB ＝|PA |²|PB|²cos 2θ＝|PA |2cos 2θ＝(|PO |2－1)²(1－2sin 2θ)＝(x 2－1)²⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2x 2＝x 2－2－1＋2x 2≥－3＋22，当且仅当x 2＝2x2即x ＝42时取等号．6．已知|a |＝2|b |≠0，且关于x 的函数f (x )＝13x 3＋12|a |x 2＋a²b x 在R 上有极值，则a 与b 的夹角范围为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫0，π6B.⎝ ⎛⎦⎥⎤π6，πC.⎝⎛⎦⎥⎤π3，πD.⎝⎛⎦⎥⎤π3，2π3解析：选C f (x )＝13x 3＋12|a |x 2＋a ²b x 在R 上有极值，即f ′(x )＝x 2＋|a |x ＋a²b ＝0有两个不同的实数解，故Δ＝|a |2－4a²b ＞0⇒cos 〈a ，b 〉＜12，又〈a ，b 〉∈[0，π]，所以〈a ，b 〉∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π3，π. 二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7．已知a 与b 为两个不共线的单位向量，k 为实数，若向量a ＋b 与向量k a －b 垂直，则k ＝________.解析：∵a ＋b 与k a －b 垂直， ∴(a ＋b )²(k a －b )＝0，化简得(k －1)(a ²b ＋1)＝0，根据a 、b 向量不共线，且均为单位向量得a ²b ＋1≠0，得k －1＝0，即k ＝1.答案：18．(2012²北京高考)已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE ²CB的值为________；DE ²DC的最大值为________．解析：法一：以AB ，AD 为基向量，设AE ＝λAB (0≤λ≤1)，则DE ＝AE －AD＝λAB －AD ，CB ＝－AD ，所以DE ²CB ＝(λAB －AD )²(－AD)＝－λAB ²AD ＋AD 2＝－λ³0＋1＝1.又DC ＝AB ，所以DE ²DC ＝λAB－AD )²AB ＝λAB 2－AD ²AB＝λ³1－0＝λ≤1，即DE ²DC的最大值为1.法二：建立如图所示的平面直角坐标系，令E 点坐标为(t ,0)(0≤t ≤1)可得DE ²CB＝(t , －1) ²(0, －1)＝1, DE ²DC＝(t , －1) ²(1, 0)＝t ≤1故DE ²CB ＝1，DE ²DC的最大值为1.答案：1 19．(2012²湖南高考)如图，在平行四边形ABCD 中，AP ⊥BD ，垂足为P ，且AP ＝3，则AP ²AC＝________.解析：设AC 与BD 的交点为O ，则AP ²AC ＝AP ²2AO ＝2AP 2＋2AP ²PO＝2³32＋0＝18.答案：18三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)10．已知a ＝(1,2)，b ＝(1,1)，且a 与a ＋λb 的夹角为锐角，求实数λ的取值范围． 解：∵a 与a ＋λb 均为非零向量，且夹角为锐角， ∴a ²(a ＋λb )>0，即(1,2)²(1＋λ，2＋λ)>0. ∴(1＋λ)＋2(2＋λ)>0. ∴λ>－53.当a 与a ＋λb 共线时，存在实数m ，使a ＋λb ＝m a ， 即(1＋λ，2＋λ)＝m (1,2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋λ＝m ，2＋λ＝2m ，解得λ＝0.即当λ＝0时，a 与a ＋λb 共线，综上可知，λ>－53且λ≠0.11．已知△ABC 为锐角三角形，向量m ＝(3cos 2A ，sin A )，n ＝(1，－sin A )，且m ⊥n . (1)求A 的大小；(2)当AB＝p m ，AC ＝q n (p >0，q >0)，且满足p ＋q ＝6时，求△ABC 面积的最大值．解：(1)∵m ⊥n ，∴3cos 2A －sin 2A ＝0. ∴3cos 2A －1＋cos 2A ＝0， ∴cos 2A ＝14.又∵△ABC 为锐角三角形， ∴cos A ＝12，∴A ＝π3.(2)由(1)可得m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34，32，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32. ∴|AB |＝214p ，|AC |＝72q . ∴S △ABC ＝12|AB |²|AC |²sin A ＝2132pq .又∵p ＋q ＝6，且p >0，q >0， ∴p ²q ≤p ＋q2，∴p ²q ≤3. ∴p ²q ≤9.∴△ABC 面积的最大值为2132³9＝18932.12．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(cos α，sin α)．设m ＝a ＋t b (t 为实数)． (1)若α＝π4，求当|m |取最小值时实数t 的值；(2)若a ⊥b ，问：是否存在实数t ，使得向量a －b 和向量m 的夹角为π4，若存在，请求出t ；若不存在，请说明理由．解：(1)因为α＝π4，所以b ＝⎝⎛⎭⎪⎫22，22，a ²b ＝322， 则|m |＝a ＋t b 2＝5＋t 2＋2t a ²b＝ t 2＋32t ＋5＝⎝⎛⎭⎪⎫t ＋3222＋12，所以当t ＝－322时，|m |取到最小值，最小值为22.(2)存在满足题意的实数t ， 由条件得cos π4＝a －b ²a ＋t b |a －b ||a ＋t b |，又因为|a －b |＝a －b 2＝6，|a ＋t b |＝a ＋t b 2＝5＋t 2，(a －b )²(a ＋t b )＝5－t ， 则有5－t 6³5＋t2＝22，且t <5， 整理得t 2＋5t －5＝0，所以存在t ＝－5±352满足条件．1．下列判断：①若a 2＋b 2＝0，则a ＝b ＝0；②已知a ，b ，c 是三个非零向量，若a ＋b ＝0，则|a ²c |＝|b ²c |； ③a ，b 共线⇔a ²b ＝|a ||b |； ④|a ||b |<a ²b ； ⑤a ²a ²a ＝|a |3； ⑥a 2＋b 2≥2a ²b ；⑦非零向量a ，b 满足a ²b >0，则a 与b 的夹角为锐角；⑧若a ，b 的夹角为θ，则|b |cos θ表示向量b 在向量a 方向上的射影的数量． 其中正确的是________．解析：由于a 2≥0，b 2≥0，所以，若a 2＋b 2＝0，则a ＝b ＝0，故①正确；若a ＋b ＝0，则a ＝－b ，又a ，b ，c 是三个非零向量，所以a ²c ＝－b ²c ，所以|a ²c |＝|b ²c |，②正确；a ，b 共线⇔a ²b ＝±|a ||b |，所以③错；对于④，应有|a ||b |≥a ²b ，所以④错； 对于⑤，应该是a ²a ²a ＝|a |2a ，所以⑤错；a 2＋b 2≥2|a ||b |≥2a ²b ，故⑥正确；当a 与b 的夹角为0°时，也有a ²b >0，因此⑦错；|b |cos θ表示向量b 在向量a 方向上的射影的数量，可取全体实数，而非射影长，故⑧错．综上可知①②⑥正确． 答案：①②⑥2．平面上有四个互异点A 、B 、C 、D ，已知(DB ＋DC －2DA )²(AB －AC)＝0，则△ABC 的形状是( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．无法确定解析：选B 由(DB ＋DC －2DA )²(AB －AC)＝0，得[(DB －DA )＋(DC －DA )]²(AB －AC)＝0，所以(AB ＋AC )²(AB －AC)＝0.所以|AB |2－|AC |2＝0，故|AB|＝|AC |，故△ABC 是等腰三角形．3．已知A ，B ，C 的坐标分别为A (3,0)，B (0,3)，C (cos α，sin α)，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2.(1)若|AC |＝|BC|，求角α的值；(2)若AC ²BC ＝－1，求2sin 2α＋sin 2α1＋tan α的值．解：(1)∵AC＝(cos α－3，sin α)， BC＝(cos α，sin α－3)， ∴AC 2＝(cos α－3)2＋sin 2α＝10－6cos α， BC 2＝cos 2α＋(sin α－3)2＝10－6sin α. 由|AC |＝|BC |，可得AC 2＝BC 2，即10－6cos α＝10－6sin α，得sin α＝cos α. 又∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2，∴α＝5π4.(2)由AC ²BC＝－1，得(cos α－3)cos α＋sin α(sin α－3)＝－1， ∴sin α＋cos α＝23.①又2sin 2α＋sin 2α1＋tan α＝2sin 2α＋2sin αcos α1＋sin αcos α＝2sin αcos α，由①式两边分别平方，得1＋2sin αcos α＝49，∴2sin αcos α＝－59.∴2sin 2α＋sin 2α1＋tan α＝－59.4．已知平面上一定点C (2,0)和直线l ：x ＝8，P 为该平面上一动点，作PQ ⊥l ，垂足为Q ，且⎝ ⎛⎭⎪⎫PC ＋12 PQ ²⎝ ⎛⎭⎪⎫PC －12 PQ ＝0. (1)求动点P 的轨迹方程；(2)若EF 为圆N ：x 2＋(y －1)2＝1的任一条直径，求PE ²PF的最值．解：(1)设P (x ，y )，则Q (8，y )．由⎝ ⎛⎭⎪⎫PC ＋12 PQ ²⎝ ⎛⎭⎪⎫PC －12 PQ ＝0，得|PC |2－14|PQ |2＝0，即(x －2)2＋y 2－14(x －8)2＝0，化简得x 216＋y 212＝1. 所以点P 在椭圆上，其方程为x 216＋y 212＝1.(2)PE ²PF的最大值为19；PE ²PF的最小值为12－4 3.。
【优化方案】2014届高考数学(理科,大纲版)一轮复习配套课件：5.4 平面向量的数量积及运算律
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【名师点评】 本题考查向量的数量积的定义、性质等知识， 考查综合分析问题的能力及运算
命题预测 向量作为数学工具正越来越被接受和应用，从近几年的高考
中，向量的数量积是必考内容，即单独考查，以选择题，填
空题的形式出现，又以解答题的形式与解析几何综合，具有 一定难度． 2012年的高考中，北京卷、上海卷、浙江卷、江苏卷结合几 何图形，考查数量积的计算，安徽卷是在向量差的模的条件
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3．向量数量积的运算律 (1)a· b＝b· a. a· (λb) (2)(λa)· b＝λ(a· b)＝_______． (3)(a＋b)· c＝a· c＋b· c. 4．平面向量数量积的坐标表示 x1x2＋y1y2 (1)若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a· b＝_____________. x2＋y2 (2)设 a＝(x，y)，则|a|＝___________. (3)若向量 a 的起点坐标和终点坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)， x2－x12＋y2－y12 则|a|＝______________________.这就是两点间的距离公式． (4)设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)， 则 a⊥b⇔a· b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.
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失误防范
1．向量的数量积与数的乘法的区别 (1)两个向量的数量积是个数量，而不是向量． (2)当 a≠0 时，由 a· b＝0 不能推出 b 一定是零向量．这是因为 对任一与 a 垂直的非零向量 b，都有 a· b＝0. (3)a· b＝b· c a＝c. (4)对于实数 a、 有|ab|＝|a|· 但对于向量 a、 有|a· b， |b|， b， b|≤|a|· |b|. 2． 当两向量的夹角 θ 为钝角时， －1＜cos θ＜0， 要注意 cos θ≠ －1，这一点特别容易忽略，因为 cos θ＝－1 时，两向量反向， 所成角不是钝角．同样当 θ 为锐角时，0<cos θ<1.cos θ＝1 时 θ 为 0，两向量同向．
一轮效果监测2014届高考数学一轮复习检测《平面向量的数量积及平面向量的应用》Word版含解析
平面向量的数量积及平面向量的应用知识点、方法题号数量积的运算1、4、9长度及垂直问题1、2、3、5夹角问题7、10平面向量的应用6、8、11、121.(2012年高考重庆卷)设x∈R,向量a=(x,1),b=(1,-2),且a⊥b,则|a+b|等于( B )(A)(B)(C)2(D)10解析:∵a⊥b,∴x-2=0,∴x=2.∴|a+b|====.故选B.2.(2013乐山市第一次调研)已知两点A(-1,0),B(1,3),向量a=(2k-1,2),若⊥a,则实数k的值为( C )(A)2 (B)1 (C)-1 (D)-2解析:由=(2,3),因为⊥a,所以2(2k-1)+2×3=0,得k=-1,故选C.3.(2012年高考辽宁卷)已知两个非零向量a、b满足|a+b|=|a-b|,则下面结论正确的是( B )(A)a∥b (B)a⊥b(C)|a|=|b| (D)a+b=a-b解析:法一代数法:将原式平方得|a+b|2=|a-b|2,∴a2+2a·b+b2=a2-2a·b+b2,∴a·b=0,∴a⊥b,故选B.法二几何法:如图所示,在▱ABCD中,设=a,=b,∴=a+b,=a-b,∵|a+b|=|a-b|,∴平行四边形两条对角线长度相等,即平行四边形ABCD为矩形,∴a⊥b,故选B.4.(2013玉溪一中月考)已知|a|=6,|b|=3,a·b=-12,则向量a在向量b方向上的投影是( A )(A)-4 (B)4 (C)-2 (D)2解析:cos<a,b>===-,向量a在向量b方向上的投影为|a|cos<a,b>=6×(-)=-4,故选A.5.(2012东北四校联考)已知平面向量a和b,|a|=1,|b|=2,且a与b的夹角为120°,则|2a+b|等于( A )(A)2 (B)4 (C)2(D)6解析:由题意可知|2a+b|2=4a2+b2+4a·b=4|a|2+|b|2+4|a||b|·cos 120°=4,所以|2a+b|=2,故选A.6.(2013成都市高三一诊模拟)已知向量a=(cos θ,sin θ),向量b=(,1),则|2a-b|的最大值和最小值分别为( B )(A)4,0 (B)4,0 (C)16,0 (D)4,4解析:|2a-b|=|(2cos θ-,2sin θ-1)|==,所以最大值和最小值分别为4,0.故选B.二、填空题7.单位圆上三点A,B,C满足++=0,则向量,的夹角为.解析:∵A,B,C为单位圆上三点 ,∴||=||=||=1,又++=0,∴-=+,∴=(+)2=++2·,可得cos<,>=-,∴向量,的夹角为120°.答案:120°8.(2011年高考天津卷)已知直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ADC=90°,AD=2,BC=1,P是腰DC上的动点,则|+3|的最小值为.解析:如图建立平面直角坐标系,设C(0,b),则B(1,b),又A(2,0),设P(0,y),则+3=(2,-y)+3(1,b-y)=(5,3b-4y),∴|+3|2=25+(3b-4y)2,∴当3b-4y=0,即y=b时,|+3|2的最小值为25.∴|+3|的最小值为5.答案:59.(2012德州一模)已知a=(m,n),b=(p,q),定义a⊗b=mn-pq,下列等式中,①a⊗a=0;②a⊗b=b⊗a;③(a+b)⊗a=a⊗a+b⊗a;④(a⊗b)2+(a·b)2=(m2+q2)(n2+p2),一定成立的是.(填上所有正确等式的序号)解析:由a⊗b的定义可知,①a⊗a=mn-mn=0,故①正确,②a⊗b=mn-pq,b⊗a=pq-mn,故②错误,③a+b=(m+p,n+q),所以(a+b)⊗a=(m+p)(n+q)-mn,而a⊗a+b⊗a=pq-mn,故③错误,④(a⊗b)2=(mn-pq)2,(a·b)2=(mp+nq)2,所以(a⊗b)2+(a·b)2=(m2+q2)(n2+p2),故④正确.答案:①④三、解答题10.已知a、b、c是同一平面内的三个向量,其中a=(1,2).(1)若|c|=2,且c∥a,求c的坐标;(2)若|b|=,且a+2b与2a-b垂直,求a与b的夹角θ.解:(1)设c=(x,y),由c∥a和|c|=2,可得:∴或∴c=(2,4)或c=(-2,-4).(2)∵(a+2b)⊥(2a-b),∴(a+2b)·(2a-b)=0,即2a2+3a·b-2b2=0,∴2|a|2+3a·b-2|b|2=0,∴2×5+3a·b-2×=0,∴a·b=-,∴cos θ==-1,∵θ∈[0,π],∴θ=π.即a与b的夹角大小为π.11.在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c.若·=·=k(k∈R).(1)判断△ABC的形状;(2)若k=2,求b的值.解:(1)∵·=cbcos A,·=bacos C,∴bccos A=abcos C,根据正弦定理,得sin Ccos A=sin Acos C,即sin Acos C-cos Asin C=0,sin(A-C)=0,∴A=C,即a=c.则△ABC为等腰三角形.(2)由(1)知a=c,由余弦定理,得·=bccos A=bc·=.·=k=2,即=2,解得b=2.12.(2012山东省威海市高三第一次模拟)已知向量m=(2cos x,cos x-sin x),n=,且满足f(x)=m·n.(1)求函数y=f(x)的单调递增区间;(2)设△ABC的内角A满足f(A)=2,a、b、c分别为角A、B、C所对的边,且·=,求边BC的最小值.解:(1)f(x)=2cos x（sin x+cos x）+sin x·cos x-sin2x=2sin x·cos x+cos2x-sin2 x=sin 2x+cos 2x=2sin,由2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z,故所求单调递增区间为(k∈Z).(2)由f(A)=2sin=2,0<A<π得A=,∵·=,即bccos A=,∴bc=2,又△ABC中,a2=b2+c2-2bccos A=b2+c2-bc≥2bc-bc =(2-)bc,∴=(2-)×2=4-2,∴a min==-1.即边BC的最小值为-1。
高考数学理科一轮复习平面向量的数量积及其应用学案附答案
高考数学（理科）一轮复习平面向量的数量积及其应用学案附答案学案27 平面向量的数量积及其应用导学目标： 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．自主梳理1．向量数量积的定义(1)向量数量积的定义：____________________________________________，其中|a|cos〈a，b〉叫做向量a在b方向上的投影．(2)向量数量积的性质：①如果e是单位向量，则ae＝ea＝__________________；②非零向量a，b，a⊥b⇔________________；③aa＝________________或|a|＝________________；④cos〈a，b〉＝________；⑤|ab|____|a||b|.2．向量数量积的运算律(1)交换律：ab＝________；(2)分配律：(a＋b)c＝________________；(3)数乘向量结合律：(λa)b＝________________. 3．向量数量积的坐标运算与度量公式(1)两个向量的数量积等于它们对应坐标乘积的和，即若a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则ab＝________________________；(2)设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则a⊥b⇔________________________；(3)设向量a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则|a|＝________________，cos〈a，b〉＝____________________________.(4)若A（x1，y1），B（x2，y¬2），则|AB→＝________________________，所以|AB→|＝_____________________.自我检测（2010湖南）在Rt△ABC中，∠C=90°,AC=4,则AB→AC→等于 ( )A．－16B．－8C．8D．162．(2010重庆)已知向量a，b满足ab＝0，|a|＝1，|b|＝2，则|2a－b|＝ ( )A．0B．22C．4D．83．(2011福州月考)已知a＝(1,0)，b＝(1,1)，(a＋λb)⊥b，则λ等于 ( )A．－2B．2C.12D．－124.平面上有三个点A（-2，y），B（0，），C（x，y），若A B →⊥BC→，则动点C的轨迹方程为________________．5.（2009天津）若等边△ABC的边长为2 ，平面内一点M满足CM→＝16CB→＋23CA→，则MA→MB→＝________.探究点一向量的模及夹角问题例1 (2011马鞍山月考)已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)(2a＋b)＝(1)求a与b的夹角θ；(2)求|a＋b|；（3）若AB→＝a，BC→＝b，求△ABC的面积．变式迁移1 (1)已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a－c)(b－c)＝0，则|c|的最大值是 ( )A．1B．2C.2D.22(2)已知i，j为互相垂直的单位向量，a＝i－2j，b ＝i＋λj，且a与b的夹角为锐角，实数λ的取值范围为________．探究点二两向量的平行与垂直问题例2 已知a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，且ka＋b的长度是a－kb的长度的3倍(k0)．(1)求证：a＋b与a－b垂直；(2)用k表示ab；(3)求ab的最小值以及此时a与b的夹角θ.变式迁移2 (2009江苏)设向量a＝(4cos α，sin α)，b＝(sin β，4cos β)，c＝(cos β，－4sin β)．(1)若a与b－2c垂直，求tan(α＋β)的值；(2)求|b＋c|的最大值；(3)若tan αtan β＝16，求证：a∥b.探究点三向量的数量积在三角函数中的应用例3 已知向量a＝cos 32x，sin 32x，b＝cos x2，－sin x2，且x∈－π3，π4.(1)求ab及|a＋b|；(2)若f(x)＝ab－|a＋b|，求f(x)的最大值和最小值．变式迁移3 （2010四川）已知△ABC的面积S=AB→AC→＝3，且cos B＝35，求．一些常见的错误结论： (1)若|a|＝|b|，则a＝b；(2)若a2＝b2，则a＝b；(3)若a∥b，b∥c，则a∥c；(4)若ab＝0，则a＝0或b ＝0；(5)|ab|＝|a||b|；(6)(ab)c＝a(bc)；(7)若ab＝ac，则b＝c.以上结论都是错误的，应用时要注意．2．平面向量的坐标表示与向量表示的比较：已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ是向量a与b的夹角.向量表示坐标表示向量a的模|a|＝aa＝a2|a|＝x21＋y21a与b的数量积ab＝|a||b|cos θab＝x1x2＋y1y2a与b共线的充要条件A∥b(b≠0)⇔a＝λba∥b⇔x1y2－x2y1＝0非零向量a，b垂直的充要条件a⊥b⇔ab＝0a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0向量a与b的夹角cos θ＝ab|a||b|θ＝x1x2＋y1y2x21＋y21 x22＋y223.证明直线平行、垂直、线段相等等问题的基本方法有：（1）要证AB=CD，可转化证明AB→2＝CD→2或|AB→|＝|CD→|.（2）要证两线段AB∥CD，只要证存在唯一实数≠0，使等式AB→＝λCD→成立即可．（3）要证两线段AB⊥CD，只需证AB→CD→＝0. (满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．(2010重庆)若向量a＝(3，m)，b＝(2，－1)，ab＝0，则实数m的值为 ( )A．－32B.32C．2D．62．已知非零向量a，b，若|a|＝|b|＝1，且a⊥b，又知(2a＋3b)⊥(ka－4b)，则实数k的值为 ( )A．－6 B．－3C．3D．已知△ABC中，AB→＝a，AC→＝b，ab0，S△ABC＝154，|a|＝3，|b|＝5，则∠BAC等于 ( ) A．30°B．－150°C．150°D．30°或150°4．(2010湖南)若非零向量a，b满足|a|＝|b|，(2a ＋b)b＝0，则a与b的夹角为 ( )A．30°B．60°C．120°D．150°5．已知a＝(2,3)，b＝(－4,7)，则a在b上的投影为 ( )A.135BD题号12答案二、填空题(每小题4分，共12分)6．(2010湖南长沙一中月考)设a＝(cos 2α，sin α)，b＝(1，2sin α－1)，α∈π2，π，若ab＝25，则sin α＝________.7．(2010广东金山中学高三第二次月考)若|a|＝1，|b|＝2，c＝a＋b，且c⊥a，则向量a与b的夹角为________．8．已知向量m＝(1,1)，向量n与向量m夹角为3π4，且mn＝－1，则向量n＝__________________.三、解答题(共38分)9.(12分)已知OA→＝(2,5)，OB→＝(3,1)，OC→＝(6,3)，在线段OC上是否存在点M，使MA→⊥MB→，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．10．(12分)(2011杭州调研)已知向量a＝(cos(－θ)，sin(－θ))，b＝(cosπ2－θ，sinπ2－θ)．(1)求证：a⊥b；(2)若存在不等于0的实数k和t，使x＝a＋(t2＋3)b，y＝－ka＋tb，满足x⊥y，试求此时k＋t2t的最小值．．(14分)(2011济南模拟)已知a＝(1,2sin x)，b＝2cosx＋π6，1，函数f(x)＝ab (x∈R)．(1)求函数f(x)的单调递减区间；(2)若f(x)＝85，求cos2x－π3的值．答案自主梳理1．(1)ab＝|a||b|cos〈a，b〉(2)①|a|cos〈a，e〉②ab＝0 ③|a|2aa ④ab|a||b|⑤≤ 2.(1)ba(2)ac＋bc (3)λ(ab) 3.(1)a1b1＋a2b2(2)a1b1＋a2b2＝0 (3)a21＋a22 a1b1＋a2b2a21＋a22 b21＋b22(4)(x2－x1，y2－y1) x2－x12＋y2－y12自我检测2．B [|2a－b|＝2a－b2＝4a2－4ab＋b2＝8＝22.]3．D [由(a＋λb)b＝0得ab＋λ|b|2＝0，∴1＋2λ＝0，∴λ＝－12.]4．y2＝8x(x≠0)解析由题意得AB→＝2，－y2，BC→＝x，y2，又AB→⊥BC→，∴AB→BC→＝0，即2，－y2x，y2＝0，化简得y2＝8x(x≠0)．5．－2解析合理建立直角坐标系，因为三角形是正三角形，故设C(0,0)，A(23，0)，B(3，3)，这样利用向量关系式，求得MA→＝32，－12，MB→＝32，－12，MB→＝－32，52，所以MA→MB→＝－2.课堂活动区例1 解(1)∵(2a－3b)(2a＋b)＝61，∴4|a|2－4ab－3|b|2＝又|a|＝4，|b|＝3，∴64－4ab－27＝61，∴ab＝－6.∴cos θ＝ab|a||b|＝－64×3＝－12.又0≤θ≤π，∴θ＝2π3.(2)|a＋b|＝a＋b2＝|a|2＋2ab＋|b|2＝16＋2×－6＋9＝(3)∵AB→与BC→的夹角θ＝2π3，∴∠ABC＝π－2π3＝π3.又|AB→|＝|a|＝4，|BC→|＝|b|＝3，∴S△ABC＝12|AB→||BC→|sin∠ABC＝12×4×3×32＝变式迁移1 (1)C [∵|a|＝|b|＝1，ab＝0，展开(a－c)(b－c)＝0⇒|c|2＝c(a＋b)＝|c||a＋b|cos θ，∴|c|＝|a＋b|cos θ＝2cos θ，∴|c|的最大值是2.](2)λ12且λ≠－2解析∵〈a，b〉∈(0，π2)，∴ab0且ab不同向．即|i|2－2λ|j|20，∴λ12.当ab同向时，由a＝kb(k0)得λ＝－2.∴λ12且λ≠－2.例2 解题导引 1.非零向量a⊥b⇔ab＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.2．当向量a与b是非坐标形式时，要把a、b用已知的不共线的向量表示．但要注意运算技巧，有时把向量都用坐标表示，并不一定都能够简化运算，要因题而异．解(1)由题意得，|a|＝|b|＝1，∴(a＋b)(a－b)＝a2－b2＝0，∴a＋b与a－b垂直．(2)|ka＋b|2＝k2a2＋2kab＋b2＝k2＋2kab＋1，(3|a－kb|)2＝3(1＋k2)－6kab.由条件知，k2＋2kab＋1＝3(1＋k2)－6kab，从而有，ab＝1＋k24k(k0)．(3)由(2)知ab＝1＋k24k＝14(k＋1k)≥12，当k＝1k时，等号成立，即k＝±1.∵k0，∴k＝1.此时cos θ＝ab|a||b|＝12，而θ∈[0，π]，∴θ＝π3.故ab的最小值为12，此时θ＝π3.变式迁移2 (1)解因为a与b－2c垂直，所以a(b－2c)＝4cos αsin β－8cos αcos β＋4sin αcos β＋8sin αsin β＝4sin(α＋β)－8cos(α＋β)＝0.因此tan(α＋β)＝2.(2)解由b＋c＝(sin β＋cos β，4cos β－4sin β)，得|b＋c|＝sin β＋cos β2＋4cos β－4sin β2＝17－15sin 2β≤42.又当β＝－π4时，等号成立，所以|b＋c|的最大值为42.(3)证明由tan αtan β＝16得4cos αsin β＝sin α4cos β，所以a∥b.例3 解题导引与三角函数相结合考查向量的数量积的坐标运算及其应用是高考热点题型．解答此类问题，除了要熟练掌握向量数量积的坐标运算公式，向量模、夹角的坐标运算公式外，还应掌握三角恒等变换的相关知识．解(1)ab＝cos 32xcos x2－sin 32xsin x2＝cos 2x， |a＋b|＝cos 32x＋cos x22＋sin 32x－sin x22 ＝2＋2cos 2x＝2|cos x|，∵x∈－π3，π4，∴cos x0，∴|a＋b|＝2cos x.(2)f(x)＝cos 2x－2cos x＝2cos2x－2cos x－1＝2cos x－122－32.∵x∈－π3，π4，∴12≤cos x≤1，∴当cos x＝12时，f(x)取得最小值－32；当cos x＝1时，f(x)取得最大值－1.变式迁移3 解由题意，设△ABC的角B、C的对边分别为b、c，则S＝12bcsin A＝12.AB→AC→＝bccos A＝30，∴A∈0，π2，cos A＝3sin A.又sin2A＋cos2A＝1，∴sin A＝1010，cos A＝31010.由题意cos B＝35，得sin B＝∴cos(A＋B)＝cos Acos B－sin Asin B＝1010.∴cos C＝cos[π－(A＋B)]＝－1010.课后练习区1．D [因为ab＝6－m＝0，所以m＝6.]2．D [由(2a＋3b)(ka－4b)＝0得2k－12＝0，∴k ＝6.]3．C [∵S△ABC＝12|a||b|sin∠BAC＝154，∴sin∠BAC＝12.又ab0，∴∠BAC为钝角．∴∠BAC＝150°.]4．C [由(2a＋b)b＝0，得2ab＝－|b|2〈a，b〉＝ab|a||b|＝－12|b|2|b|2＝－12.∵〈a，b〉∈[0°，180°]，∴〈a，b〉＝120°.] 5．B [因为ab＝|a||b|cos〈a，b〉，所以，a在b上的投影为|a|cos〈a，b〉＝ab|b|＝21－842＋72＝1365＝655.]解析∵ab＝cos 2α＋2sin2α－sin α＝25，∴1－2sin2α＋2sin2α－sin α＝25，∴sin α＝．120°解析设a与b的夹角为θ，∵c＝a＋b，c⊥a，∴ca＝0，即(a＋b)a＝0.∴a2＋ab＝0.又|a|＝1，|b|＝2，∴1＋2cos θ＝0.∴cos θ＝－12，θ∈[0°，180°]即θ＝120°. 8．(－1,0)或(0，－1)解析设n＝(x，y)，由mn＝－1，有x＋y＝－1.①由m与n夹角为3π4，有mn＝|m||n|cos 3π4，∴|n|＝1，则x2＋y2＝1.②由①②解得x＝－1y＝0或x＝0y＝－1，∴n＝(－1,0)或n＝(0，－1)．9．解设存在点M，且OM→＝λOC→＝(6λ，3λ) (0≤λ≤1)，MA→＝(2－6λ，5－3λ)，MB→＝(3－6λ，1－3λ)．…………………………………………(4分) ∵MA→⊥MB→，∴(2－6λ)(3－6λ)＋(5－3λ)(1－3λ)＝0，………………………………………………(8分) 即45λ2－48λ＋11＝0，解得λ＝13或λ＝∴M点坐标为(2,1)或225，故在线段OC上存在点M，使MA→⊥MB→，且点M的坐标为(2,1)或(225，115)．………(12分)10．(1)证明∵ab＝cos(－θ)cosπ2－θ＋sin－θsinπ2－θ＝sin θcos θ－sin θcos θ＝0.∴a⊥b.……………………………………………………(4分)(2)解由x⊥y得，xy＝0，即[a＋(t2＋3)b](－ka＋tb)＝0，∴－ka2＋(t3＋3t)b2＋[t－k(t2＋3)]ab＝0，∴－k|a|2＋(t3＋3t)|b|2＝0.………………………………………………………………(6分)又|a|2＝1，|b|2＝1，∴－k＋t3＋3t＝0，∴k＝t3＋3t.…………………………………………………………(8分)∴k＋t2t＝t3＋t2＋3tt＝t2＋t＋3＝t＋122＋114.……………………………………………………………………………(10分)故当t＝－12时，k＋t2t有最小值114.………………………………………………………(12分)11．解(1)f(x)＝ab＝2cosx＋π6＋2sin x ＝2cos xcos π6－2sin xsin π6＋2sin x＝3cos x＋sin x＝2sinx＋π3.…………………………………………………………( 5分)由π2＋2kπ≤x＋π3≤3π2＋2kπ，k∈Z，得π6＋2kπ≤x≤7π6＋2kπ，k∈Z.所以f(x)的单调递减区间是π6＋2kπ，7π6＋2kπ(k∈Z)．……………………………………………………………(8分)(2)由(1)知f(x)＝2sinx＋π3.又因为2sinx＋π3＝85，所以sinx＋π3＝45，……………………………………………………………………(11分)即sinx＋π3＝cosπ6－x＝cosx－π6＝所以cos2x －π3＝2cos2x－π6－1＝725.………………………………………………(14分)。
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3 α＋ ×sin α＝0，即cos(α＋60° )＝0， 2
所以α＋60° 180° ＝k· ＋90° ， 即α＝k· ＋30° 180° ，k∈Z. 又0° ≤α＜360° ，则α＝30° 或α＝210° .
B级 1．选 B 因为|a＋b|＝|a－b|，所以(a＋b)2＝(a－b)2，即 a· b ＝0，故 a⊥b. 2．选 A 由已知条件可以知道，△ABC 的外接圆的圆心在线
∴x(2－y)－y(－x－4)＝0， 即x＋2y＝0.① (2)由于 AC ＝ AB ＋ BC ＝(x＋6，y＋1)， BD ＝ BC ＋ CD ＝(x－2，y－3)， 又 AC ⊥ BD ， 所以 AC · ＝0， BD 即(x＋6)(x－2)＋(y＋1)(y－3)＝0.②
2
1 －2×2×－ . 2
5．选 B 将|a＋b|＝|a－b|两边同时平方得 a· b＝0； 2 3 1 2 2 将|a－b|＝ |a|两边同时平方得 b ＝ a ， 3 3 a＋b· a－b a2－b2 1 所以 cos θ＝ ＝ ＝ . 4 2 2 |a＋b|· |a－b| a 3
10．解：(1)∵a· b＝2n－2，|a|＝ 5，|b|＝ n2＋4， 2n－2 2 ∴cos 45° ＝ ＝ ， 2 5· n ＋4 2 ∴3n2－16n－12＝0(n>1)． 2 ∴n＝6或n＝－ (舍)．∴b＝(－2,6)． 3 (2)由(1)知，a· b＝10，|a|2＝5. 又∵c与b同向，故可设c＝λb(λ>0)． ∵(c－a)· a＝0， |a|2 5 1 ∴λb· a－|a|2＝0.∴λ＝ ＝ ＝ . b· 10 2 a 1 ∴c＝ b＝(－1,3)． 2
联立①②化简，得y2－2y－3＝0. 解得y＝3或y＝－1. 故当y＝3时，x＝－6， 此时 AC ＝(0,4)， BD ＝(－8,0)，
1 所以SABCD＝ | AC |· |＝16； | BD 2
当y＝－1时，x＝2， 此时 AC ＝(8,0)， BD ＝(0，－4)，
6.选D 建系如图．
设B(xB,0)，D(0,1)，C(xC，yC)， BC ＝(xC－
xB，yC)， BD ＝(－xB,1)， ∵ BC ＝ 3 BD ，∴xC－xB＝－ 3xB⇒xC ＝(1－ 3)·B，yC＝ 3， AC ＝((1－ x 3)xB， 3)， AD ＝(0,1)， AD AC · ＝ 3.
1 11．解：由已知得，a· b＝4×8×－2＝－16.
(1)①∵|a＋b|2＝a2＋2a· 2 b＋b ＝16＋2×(－16)＋64＝48， ∴|a＋b|＝4 3. ②∵|4a－2b|2＝16a2－16a· b＋4b2 ＝16×16－16×(－16)＋4×64＝768， ∴|4a－2b|＝16 3.
4．选 A ∵ AB · ＝1，且 AB＝2， BC
1 ∴1＝| AB || BC |cos(π－B)，∴| BC |cos B＝－ . 2
在△ABC 中， 2＝|AB|Байду номын сангаас＋|BC|2－2|AB||BC|cos B， |AC| 即 9＝4＋|BC| ∴|BC|＝ 3.
1 ∴SABCD＝ | AC |· |＝16. | BD 2
课时跟踪检测(二十八) A级 1．选C ＝ 2. 2．选D 依题意得，向量a在b方向上的投影为 a· b |b| ＝ 依题意得，－(x＋1)－2×1＝0，得x＝－3，故a＋ b＝(－2,2)＋(1，－1)＝(－1,1)，所以|a＋b|＝ －12＋12
2×－4＋3×7 65 2 2 ＝ 5 . －4 ＋7 3．选B n· ＝n·BA ＋ AC )＝n· ＋n· ＝(1，－1)· ( (－ BA BC AC 1，－1)＋2＝0＋2＝2.
2
1 3 α)－4＋4＝0，
所以a＋b与a－b垂直． (2)由| 3a＋b|＝|a－ 3b|，两边平方得 3|a|2＋2 3a· b＋|b|2＝|a|2－2 3a· b＋3|b|2， 所以2(|a|2－|b|2)＋4 3a· b＝0.
而|a|＝|b|，所以a· b＝0，
1 则－2×cos
(2)∵(a＋2b)⊥(ka－b)， ∴(a＋2b)· (ka－b)＝0， ∴ka2＋(2k－1)a· b－2b2＝0， 即16k－16(2k－1)－2×64＝0. ∴k＝－7. 即k＝－7时，a＋2b与ka－b垂直．
12．解：(1)证明：因为(a＋b)· (a－b)＝|a|2－|b|2＝(cos2α＋ sin
段 BC 的中点 O 处，因此△ABC 是直角三角形，且∠A＝
π π π .又|OA|＝| CA |，所以∠C＝ ，∠B＝ ，AB＝ 3， 2 3 6
π 3 AC＝1，故 BA 在 BC 上的射影| BA |cos ＝ . 6 2
3．解：(1)∵ AD ＝ AB ＋ BC ＋ CD ＝(x＋4，y－2)， ∴ DA＝－ AD ＝(－x－4,2－y)． 又∵ BC ∥ DA 且 BC ＝(x，y)，
7．解析：设向量a，b的夹角为θ.由(a＋b)⊥a得(a＋b)· a＝0， 即|a|2＋a· b＝0，∵|a|＝2，∴a· b＝－4，∴|a|· cos θ＝－ |b|· 1 2π 4，又|b|＝4，∴cos θ＝－ ，即θ＝ .∴向量a，b的夹角 2 3 2π 为 . 3 2π 答案： 3
8．解析：∵a，b 的夹角为 45° ，|a|＝1，∴a· b＝|a|· cos 45° |b|· 2 2 2 ＝ |b|，∴|2a－b| ＝4－4× |b|＋|b|2＝10.∴|b|＝3 2. 2 2 答案：3 2 9．解析：∵a∥b，∴x＝4.∴b＝(4，－2)， ∴a＋b＝(6，－3)，b－c＝(1，－2－y)． ∵(a＋b)⊥(b－c)，∴(a＋b)· (b－c)＝0， 即 6－3(－2－y)＝0，解得 y＝－4. ∴向量 MN ＝(－8,8)，∴| MN |＝8 2. 答案：8 2