分式专项练习题
分式的混合运算专项训练—2023-2024学年七年级数学下册(沪科版)(解析版)
分式的混合运算专项训练考卷信息：本套训练卷共40题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生对分式的混合运算各种方法的理解！1．（2023上·山东菏泽·七年级统考期中）计算：(1)3x −61−x−x+5x2−x(2)x−yx+3y ÷x2−y2x2+6xy+9y2−2yx+y【答案】(1)8x(2)1【分析】（1）先对各个分式分子分母因式分解，再通分，利用分式加减运算法则运算后约分即可得到答案；（2）先对各个分式分子分母因式分解，根据分式混合运算顺序，先计算乘除，再利用分式加减运算法则运算后约分即可得到答案．【详解】（1）解：3x −61−x−x+5x2−x=3(x−1)x(x−1)+6xx(x−1)−x+5x(x−1)=8x−8 x(x−1)=8(x−1) x(x−1)=8x；（2）解：x−yx+3y ÷x2−y2x2+6xy+9y2−2yx+y=x−yx+3y ⋅(x+3y)2(x+y)(x−y)−2yx+y=x+3yx+y −2yx+y=x+y x+y=1．【点睛】本题考查分式混合运算，涉及通分、约分、因式分解等知识．掌握分式混合运算法则及运算顺序，熟记因式分解的方法，准确找到最简公分母通分是解决分式混合运算的关键．2．（2023上·天津东丽·七年级统考期末）计算（1）4a 3b⋅b 2a 4÷(1a )2 （2）a a−1÷a 2−a a 2−1−1a−1【答案】（1）23a ；（2）a a−1【分析】（1）先将除法写成乘法，再计算乘法，分子、分母约分化为最简分式；（2）先将除法写成乘法，计算乘法得到最简分式，再与后一项相减即可得到答案.【详解】（1）原式＝4a 3b ⋅b 2a 4⋅a 2＝23a ；（2）原式＝a a−1⋅(a+1)(a−1)a(a−1)−1a−1=a+1a−1−1a−1=a a−1. 【点睛】此题考查分式的混合运算，先将除法化为乘法，再约分结果，再计算加减法.3．（2023上·山东菏泽·七年级统考期末）计算(1)12m 2−9−2m−3(2)(2a −12a a+2)÷a−4a 2+4a+4【答案】(1)−2m+3(2)2a 2+4a【分析】（1）通分计算即可；（2）先通分算减法，再算除法．【详解】（1）解：原式=12−2(m+3)(m+3)(m−3)=−2(m −3)(m +3)(m −3)=−2m+3；（2）解：原式=[2a(a+2)a+2−12a a+2]⋅(a+2)2a−4=2a 2+4a −12a a +2⋅(a +2)2a −4=2a 2−8a a +2⋅(a +2)2a −4=2a(a−4)a+2⋅(a+2)2a−4=2a(a+2)=2a2+4a，【点睛】此题考查分式的混合运算，通分、因式分解和约分是解答的关键．4．（2023下·江苏常州·七年级校考期中）计算：(1)2x+y −1x−y．(2)(1−1m+1)÷m2m+1．【答案】(1)x−3yx2−y2(2)1m【分析】（1）根据异分母分式减法运算法则，先通分，再根据同分母分数减法运算求解即可得到答案；（2）根据分式混合运算法则及运算顺序，先算括号里的异分母分式减法运算，再利用乘除互化将除法转化为乘法运算求解即可得到答案．【详解】（1）解：2x+y −1x−y=2(x−y)(x+y)(x−y)−x+y(x+y)(x−y)=2x−2y−x−y (x+y)(x−y)=x−3y (x+y)(x−y)=x−3yx2−y2；（2）解：(1−1m+1)÷m2m+1=(m+1m+1−1m+1)÷m2m+1=m+1−1m+1×m+1m2=mm+1×m+1m2=1m．【点睛】本题考查分式混合运算，涉及分式加减乘除运算、通分、约分等知识，熟练掌握分式混合运算法则及运算顺序是解决问题的关键．5．（2023下·江苏常州·七年级统考期中）计算：(1)4ac3b ⋅(−6b22ac2)(2)a+2a−3÷a2−42a−6(3)x23x−9−3x−3(4)(4a+2+a−2)÷aa+2【答案】(1)−4bc(2)2a−2(3)x+33(4)a【分析】（1）根据分式的乘法运算法则进行计算即可得到答案；（2）先将分式除法变为乘法，再根据分式的乘法运算法则和平方差公式进行计算即可得到答案；（3）先进行通分，再计算分式减法，最后利用平方差进行约分即可得到答案；（4【详解】（1）解：4ac3b ⋅(−6b22ac2)=−4bc；（2）解：a+2a−3÷a2−42a−6=a+2a−3×2(a−3)(a+2)(a−2)=2a−2；（3）解：x23x−9−3x−3=x23(x−3)−3×33(x−3)=x2−93(x−3)=(x+3)(x−3)3(x−3)=x+33；（4）解：(4a+2+a−2)÷aa+2=(4a+2+(a−2)(a+2)a+2)×a+2a=4+a2−4a+2×a+2a=a．【点睛】本题考查了分式的混合运算，平方差公式，熟练掌握相关运算法则是解题关键．6．（2023下·河南南阳·七年级统考期中）计算：(1)2x−6x2−6x+9÷3−xx2−9(2)(8a+3+a−3)÷a2+2a+1a+3【答案】(1)−2x+6x−3(2)a−1a+1【分析】（1）根据完全平方式、平方差公式化简，再把除法转化成乘法计算即可；（2）括号内先通分，再根据完全平方公式、平方差公式化简，再把除法转化成乘法计算即可．【详解】（1）解：原式=2(x−3)(x−3)2×(x+3)(x−3)3−x=−2x+6x−3（2）解：原式=(8+a2−9a+3)×a+3(a+1)2=(a+1)(a−1)×1(a+1)2=a−1a+1【点睛】本题考查分式计算，掌握完全平方式、平方差公式是关键．7．（2023下·江苏淮安·七年级校考期中）计算：(1)a2a−1−a−1(2)(a+2−42−a )÷(aa−2)【答案】(1)1a−1(2)a【分析】（1）先对原式通分变为同分母的分式，再相减即可解答本题；（2）先将括号内的进行计算，再将除法转换为乘法后，再约分即可得到答案．【详解】（1）a2a−1−a−1=a2 a−1−(a+1)(a−1)a−1=a2−(a+1)(a−1)a−1=a 2−(a 2−1)a−1 =a 2−a 2+1a−1=1a−1（2）(a +2−42−a )÷(a a−2)=(a +2+4a−2)÷(a a−2) =a 2−4+4a−2÷(a a−2) =a 2a−2×a−2a=a 【点睛】本题主要考查了分式的混合运算，解题的关键是明确分式混合运算的计算方法．8．（2023上·山东泰安·七年级统考期中）计算(1)x x−1−x 2+2x x 2−2x+1÷x+2x ； (2)(a+2a−2−a a+2)÷3a+2a 2+2a ．【答案】(1)−x (x−1)2(2)2a a−2【分析】该题主要考查了分式的混合运算问题；（1）先算除法再算减法即可；（2）先算括号再算除法即可．【详解】（1）原式=x x−1−(x+2)x (x−1)2⋅x x+2=x x −1−x 2(x −1)2=x (x −1)−x 2(x −1)2=−x (x−1)2；=−x x 2−2x +1（2）原式=[(a+2)2(a−2)(a+2)−a(a−2)(a−2)(a+2)]÷3a+2a(a+2)=2(3a+2)(a−2)(a+2)⋅a(a+2)3a+2=2aa−2．9．（2023上·山东烟台·七年级统考期中）计算：(1)b2ca ×acb÷(−ca)2(2)a2−4a ÷(a+1−5a−4a)【答案】(1)a2b(2)a+2a−2【分析】（1）根据分式的乘除运算法则进行化简即可求出答案．（2）根据分式的加减运算以及乘除运算法则即可求出答案．【详解】（1）解：原式=bc2⋅a2c2=a2b．（2）解：原式=(a+2)(a−2)a ÷a2−4a+4a=(a+2)(a−2)a⋅a(a−2)2=a+2a−2．【点睛】本题考查分式的混合运算，解题的关键是熟练运用分式的加减运算法则以及乘除运算法则，本题属于基础题型．10．（2023上·山东东营·七年级校考期中）计算下列各式．(1)(−a2bc )3⋅(−c2a)2÷(bca)4；(2)a2a−1−a−1．【答案】(1)−a8bc3(2)1a−1【分析】（1）先根据积的乘方等于乘方的积，幂的乘方计算各分式，然后利用同底数幂相乘，底数不变指数相加；同底数幂相除，底数不变指数相减；进行分式的乘除运算即可；（2）先加括号，进行通分，根据平方差公式求解多项式乘多项式，然后进行加减运算即可．【详解】（1）解：(−a2bc )3⋅(−c2a)2÷(bca)4=−a6b3c3⋅c4a2÷b4c4a4=−a4b3c⋅a4 b4c4=−a8bc3；（2）解：a2a−1−a−1=a2a−1−(a+1)=a2−(a+1)(a−1)a−1=a2−a2+1a−1=1a−1．【点睛】本题考查了积的乘方，幂的乘方，分式的乘除混合运算，同底数幂的乘除运算，异分母分式的减法运算，平方差公式等知识．解题的关键在于熟练掌握各知识的运算法则并正确的运算．11．（2023上·河南许昌·七年级统考期末）计算：(3xx−1−xx+1)⋅x2−1x+1【答案】2x2+4xx+1【分析】利用分式的混合运算顺序：先括号内的分式减法运算，再括号外的分式2乘法运算即可化简原式．【详解】解：(3xx−1−xx+1)⋅x2−1x+1=3x(x+1)−x(x−1)(x−1)(x+1)⋅(x−1)(x+1)x+1=3x2+3x−x2+xx+1=2x2+4xx+1．【点睛】本题考查分式的混合运算，熟练掌握分式的混合运算法则并正确求解是解答的关键．12．（2023上·重庆沙坪坝·七年级重庆一中校考阶段练习）计算：(1)(x−y)2−x(x−3y)(2)m2−25m+3÷(1−8m+3)【答案】(1)xy+y2(2)m+5【分析】（1）先用完全平方公式与单贡式乘以多项式法则展开，再合并同类项即可．（2）先计算括号内的，再计算除法，用除法法则转化成乘法计算即可．【详解】（1）解：原式=x2−2xy+y2−x2+3xy=xy+y2；（2）解：原式=(m+5)(m−5)m+3÷m−5m+3=(m+5)(m−5)m+3⋅m+3m−5=m+5．【点睛】本题考查多项式混合运算，分式混合运算，熟练掌握多项式与分式混合运算法则是解题的关键．13．（2023上·山东菏泽·七年级统考期中）计算(1)4x22x−3+93−2x(2)3b24a2⋅(a−6b)(3)xx−1−x+3x2−1⋅x2+2x+1x+3(4)(1x−4+1x+4)÷2x2−16【答案】(1)2x+3(2)−b8a(3)−1x−1(4)x【分析】（1）利用分式的加法计算即可．（2）利用分式的乘法计算即可．（3）利用分式的混合运算法则计算即可．（4）利用分式的混合运算法则计算即可．【详解】（1）4x22x−3+93−2x=4x22x−3−92x−3=4x2−92x−3=(2x−3)(2x+3)2x−3=2x+3．（2）3b24a2⋅(a−6b)=−b8a．（3）xx−1−x+3x2−1⋅x2+2x+1x+3=xx−1−x+3(x−1)(x+1)⋅(x+1)2x+3=xx−1−x+1x−1=x−x−1x−1=−1x−1．（4）(1x−4+1x+4)÷2x2−16=(1x−4+1x+4)×(x+4)(x−4)2=1x−4×(x+4)(x−4)2+1x+4×(x+4)(x−4)2=x+42+x−42=x．【点睛】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．14．（2023下·重庆南岸·七年级统考期末）计算：(1)a−ba+b ÷a2−aba3−ab2；(2)(2x−3−1x)⋅x2−3xx2+6x+9【答案】(1)a−b(2)1x+3【分析】（1）直接根据分式的除法法则进行计算即可；（2）先将括号里面通分运算，再利用分式的混合运算法则计算得出答案．【详解】（1）解：原式=a−ba+b ⋅a3−ab2 a2−ab=a−ba+b⋅a(a2−b2)a(a−b)=(a+b)(a−b)a+b=a−b；（2）解：原式=[2x−(x−3)x(x−3)]⋅x(x−3)(x+3)2=x+3x(x−3)⋅x(x−3)(x+3)2=1x+3．【点睛】本题考查的是分式的混合运算，熟知分式的混合运算法则是解答此题的关键．15．（2023下·重庆北碚·七年级统考期末）计算：(1)2a2b÷(−a2b )2⋅a4b2；(2)(a2+3aa−3−3)÷a2+9a2−9．【答案】(1)2ab(2)a+3【分析】（1）先算乘方，再算乘除，即可解答；（2）先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，即可解答．【详解】（1）原式=2a2b⋅4b2a2⋅a 4b2=2ab（2）原式=(a2+3aa−3−3a−9a−3)⋅a2−9a2+9=a2+9a−3⋅(a+3)(a−3)a2+9=a+3【点睛】本题考查了分式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．16．（2023下·广东清远·七年级统考期中）分式计算：(1)3x−3−xx−3(2)yxy+x +1xy−x(3)x2x+1−x+1(4)(3xx−2−xx+2)÷xx2−4．【答案】(1)−1(2)y2+1xy2−x(3)1x+1(4)2x+8【分析】（1）根据同分母的分式的加减法进行计算即可求解；（2）根据异分母的分式的加法进行计算即可求解；（3）根据分式与整式的运算进行计算即可求解；（4）先计算括号的分式的减法，再将除法转化为乘法进行计算即可求解．【详解】（1）3x−3−xx−3=3−xx−3 =−1；（2）yxy+x +1xy−x=y(y−1)+y+1x(y+1)(y−1)=y2+1xy2−x；（3）x2x+1−x+1=x2−(x−1)(x+1)x+1=x2−x2+1x+1=1x+1；（4）(3xx−2−xx+2)÷xx2−4=3x(x+2)−x(x−2)(x−2)(x+2)⋅(x+2)(x−2)x=3(x+2)−(x−2)=3x+6−x+2=2x+8．【点睛】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键．17．（2023上·山东济宁·七年级统考期末）计算：(xx+2−2x+2)÷x2−4x+4x+2．【答案】1x−2【分析】首先运用同分母分式减法法则计算括号内的，再利用分式除法运算法则求解即可．【详解】解：(xx+2−2x+2)÷x2−4x+4x+2=x−2x+2÷x2−4x+4x+2=x−2x+2⋅x+2x2−4x+4=x−2x+2⋅x+2(x−2)2=1x−2．【点睛】本题主要考查了分式的混合运算，解题的关键是熟练运用分式的减法运算法则和乘除运算法则18．（2023上·山东泰安·七年级统考期中）计算：(1)2x2x−y +yy−2x；(2)1−x−yx+2y ÷x2−y2x2+4xy+4y2．【答案】(1)1(2)−yx+y【分析】（1）本题考查了分式的加减，利用同分母分式加减法法则进行计算，即可解答；（2）本题考查了分式的混合运算，先算分式的除法，再算加减，即可解答；【详解】（1）解：原式=2x−y2x−y=2x−y 2x−y=1；（2）解：原式=1−x−yx+2y ×(x+2y)2(x+y)(x−y)=1−x+2y x+y=−yx+y．19．（2023下·江苏常州·七年级常州市第二十四中学校考期中）计算：(1)6x+3+2xx+3；(2)a2−b2a ÷(a+b2−2aba)．【答案】(1)2(2)a+ba−b【分析】（1）根据同分母分式加法计算法则求解即可；（2）根据分式的混合计算法则求解即可．【详解】（1）解：6x+3+2xx+3=6+2x x+3=2(x+3) x+3=2；（2）解：a2−b2a ÷(a+b2−2aba)=a2−b2a÷a2+b2−2aba=(a+b)(a−b)a÷(a−b)2a=(a+b)(a−b)a⋅a(a−b)2=a+ba−b．【点睛】本题主要考查了分式的混合计算，同分母分式加法，熟知相关计算法则是解题的关键．20．（2023上·山东菏泽·七年级统考期末）计算：(1)4x2−1−2x2+x；(2)(2x2x−2−x−2)÷2x2+8x2−4．【答案】(1)2x2−x(2)x+22【分析】（1）利用提公因式和平方差公式进行计算即可； （2）利用提公因式和平方差公式进行计算即可． 【详解】（1）4x 2−1−2x 2+x=4(x +1)(x −1)−2x (x +1)=4x −2(x −1)x (x +1)(x −1)=2x +2x (x +1)(x −1)=2x 2−x ； （2）(2x 2x−2−x −2)÷2x 2+8x 2−4=[2x 2x −2−(x +2)(x −2)x −2]÷2x 2+8x 2−4=(2x 2−x 2+4x −2)⋅(x +2)(x −2)2(x 2+4)=x 2+4x −2⋅(x +2)(x −2)2(x 2+4) =x+22．【点睛】本题考查了分式的混合运算，熟练运用分式运算法则和平方差公式是解题的关键． 21．（2023下·江西鹰潭·七年级统考期末）先化简x 2−4x+4x 2−1÷x−2x+1+2x−1，再从−2，−1，1，2中选一个合适的整数作为x 的值代入求值． 【答案】x x−1，x =−2时，原式=23【分析】先把除法转化为乘法，再约分，然后计算加法，由分式有意义的条件确定x 的值，最后代入化简后的式子即可求出答案． 【详解】解：x 2−4x+4x 2−1÷x−2x+1+2x−1=(x −2)2(x +1)(x −1)⋅x +1x −2+2x −1 =x −2x −1+2x −1=xx−1，由分式有意义的条件可知：x ≠−1，x ≠1，x ≠2， ∴x =−2， 当x =−2时， 原式=−2−2−1=23．【点睛】本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． 22．（2023下·福建宁德·七年级统考期末）先化简，再求值：(1−a a+1)÷a+3a 2+2a+1，其中a =−5．【答案】a+1a+3，2【分析】先根据分式的减法法则算括号内的减法，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，再根据分式的乘法法则进行计算，最后代入求出答案即可． 【详解】解：(1−aa+1)÷a+3a 2+2a+1 =1a +1⋅(a +1)2a +3 =a +1a +3当a =−5时，原式=a+1a+3=−5+1−5+3=2．【点睛】本题考查了分式的化简求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序． 23．（2023下·江西景德镇·七年级统考期末）先化简，再求值：(x 2+2x+1x 2−1−3x−1)÷x 2−2x x−1其中x =17【答案】1x ，代数式的值为7【分析】根据乘法公式，分式的性质，分式的加减乘除混合运算化简，再代入求出即可． 【详解】解：(x 2+2x+1x 2−1−3x−1)÷x 2−2x x−1=[(x +1)2(x +1)(x −1)−3x −1]÷x(x −2)x −1=(x +1x −1−3x −1)×x −1x(x −2)=x −2x −1×x −1x(x −2)=1x ，当x =17时，原式=1x=117=7．【点睛】本题主要考查分式的化简求值，掌握乘法公式，分式的性质，分式的混合运算法则是解题的关键．24．（2023下·江苏淮安·七年级统考期末）先化简，再求值：当a =2时，求代数式(a −aa+1)÷a 2−2a a 2−4×1a+2的值．【答案】aa+1；23【分析】运用乘法公式，分式的性质，分式的混合运算进行化简，再代入求值即可． 【详解】解：(a −a a+1)÷a 2−2a a 2−4×1a+2=(a 2+a a +1−a a +1)÷a(a −2)(a +2)(a −2)×1a +2=a 2a +1×a +2a ×1a +2 =a a+1，当a =2时，原式=aa+1=22+1=23．【点睛】本题主要考查分式的化简求值，掌握乘法公式，分式的性质，分式的混合运算法则，代入求值等知识是解题的关键．25．（2023上·四川绵阳·七年级校联考阶段练习）先化简，再求值：(2x+2x 2−1+1)÷x+1x 2−2x+1，其中x =4 【答案】x −1，3【分析】根据分式混合运算法则先化简，再代值求解即可得到答案． 【详解】解：(2x+2x 2−1+1)÷x+1x 2−2x+1 =(2x +2x 2−1+x 2−1x 2−1)×x 2−2x +1x +1=x 2+2x+1x 2−1×x 2−2x+1x+1， =(x+1)2(x+1)(x−1)×(x−1)2x+1，=x −1；当x =4时，原式=4−1=3．【点睛】本题考查了分式的混合运算和求值，能正确运用分式的运算法则进行化简是解此题的关键． 26．（2023上·湖北武汉·七年级武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）校考期末）（1）计算：[3a 3⋅a 3+(−3a 3)2]÷(−2a −2)3；（2）先化简，再求值：(a 2a−1−a −1)÷a−a 2a 2−2a+1，其中a =2．【答案】（1）−32a 12；（2）−1a ，−12【分析】（1）根据幂的混合运算法则求解即可；（2）首先根据分式的混合运算法则求解，然后将a =2代入求解即可． 【详解】解：（1）[3a 3⋅a 3+(−3a 3)2]÷(−2a −2)3 =(3a 6+9a 6)÷(−8a −6) =12a 6÷(−8a −6) =−32a 12； （2）(a 2a−1−a −1)÷a−a 2a 2−2a+1=(a 2a −1−a 2−1a −1)÷−a (a −1)(a −1)2=1a −1⋅a −1−a=−1a ，当a =2时，原式=−12．【点睛】此题考查了幂的混合运算，分式的混合运算，解题的关键是熟练掌握以上运算法则． 27．（2023上·吉林白山·七年级统考期末）先化简，再求值：1﹣x−2y x+y ÷x 2−4xy+4y 2x 2−y 2，其中x ＝﹣2，y ＝12．【答案】﹣yx−2y ，16．【分析】原式利用除法法则变形，约分后两项通分并利用同分母分式的减法法则计算得到最简结果，之后将x 、y 代入计算即可求得答案． 【详解】解：原式＝1﹣x−2yx+y ⋅(x+y )(x−y )(x−2y )2=1−x−y x−2y ＝﹣yx−2y ，当x ＝﹣2，y ＝12时，原式＝16．【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练的掌握分式的运算法则是解本题的关键，在解题的时候，要注意式子的整理和约分．28．（2023上·广东惠州·七年级统考期末）已知A =xy−y 2y 2−x 2÷(1x−y −1x+y )． （1）化简A ；（2）当x 2+y 2=13,xy =−6时，求A 的值；（3）若|x −y |+√y +2=0，A 的值是否存在，若存在，求出A 的值，若不存在，说明理由．【答案】（1）−x−y2；（2）A=−52或52；（3）不存在，理由见详解.【分析】（1）先把括号里面的通分，再计算整式除法即可；（2）利用完全平方公式，求出x-y的值，代入化简后的A中，求值即可；（3）利用非负数的和为0，确定x、y的关系，把x、y代入A的分母，判断A的值是否存在．【详解】解：（1）A=xy−y2y2−x2÷(1x−y−1x+y)=y(x−y) (y−x)(y+x)×(x+y)(x−y)x+y−x+y=−y(x−y)(x−y)(x+y)×(x+y)(x−y)2y=−x−y2；（2）∵x2+y2=13，xy=-6∴（x-y）2=x2-2xy+y2=13+12=25∴x-y=±5，当x-y=5时，A=−52；当x-y=-5时，A=52．（3）∵|x−y|+√y+2=0，∴x-y=0，y+2=0当x-y=0时，A的分母为0，分式没有意义．∴当|x−y|+√y+2=0时，A的值不存在.【点睛】本题考查了分式的加减乘除运算、完全平方公式、非负数的和及分式有无意义的条件．题目综合性较强．初中阶段学过的非负数有：a的偶次幂，a（a≥0）的偶次方根，a|的绝对值．29．（2023上·山东泰安·七年级统考期中）（1）计算：3x(x−3)2−x3−x（2）计算：(x+1x2−1+xx−1)÷x+1x2−2x+1（3）先化简，再求值：已知ab ＝3，求a2+4ab+4b2a−b÷(3b2a−b−a−b)的值．【答案】（1）x2(x−3)2；（2）x﹣1；（3）a+2b2b−a，﹣5．【分析】（1）直接通分运算进而利用分式的混合运算法则计算得出答案； （2）直接将括号里面通分进而利用分式的混合运算法则计算得出答案； （3）直接将括号里面通分进而利用分式的混合运算法则计算得出答案． 【详解】解：（1）原式=3x+x(x−3)(x−3)2=x 2(x−3)2；（2）原式=x+1+x(x+1)(x−1)(x+1)⋅(x−1)2x+1=(x+1)2(x−1)(x+1)⋅(x−1)2x+1=x −1；（3）原式=(a+2b)2a−b÷3b 2−a(a−b)−b(a−b)a−b=(a+2b)2a−b⋅a−b(2b+a)(2b−a)=a+2b2b−a∵ab =3，∴a ＝3b ，所以原式=3b+2b 2b−3b=−5．【点睛】本题考查的知识点是分式的化简求值，掌握分式化简的一般步骤以及分式的混合运算法则是解此题的关键，注意化简过程中各项的符号变化． 30．（2023上·山东潍坊·七年级统考期中）计算： （1）aa+1+a−1a 2−1；（2）2aa+1−2a−4a 2−1÷a−2a 2−2a+1；（3）先化简再求值：（1−3x+2）÷x−1x 2+x−2，其中x 是﹣2，1，2中的一个数值． 【答案】（1）1；（2）2a+1；（3）x ﹣1，x ＝2时，原式=1． 【分析】（1）先约分，再相加即可求解；（2）先因式分解，将除法变为乘法约分，再通分，相减即可求解；（3）先计算括号里面的减法，再因式分解，将除法变为乘法约分化简，再把x ＝2代入计算即可求解． 【详解】（1）a a+1+a−1a 2−1，＝aa+1+1a+1， ＝a+1a+1， ＝1；（2）2aa+1−2a−4a 2−1÷a−2a 2−2a+1， ＝2aa+1−2(a−2)(a+1)(a−1)⋅(a−1)2a−2，＝2a a+1−2(a−1)a+1，＝2a−2(a−1)a+1，＝2a+1； （3）（1−3x+2）÷x−1x 2+x−2，＝x+2−3x+2⋅(x−1)(x+2)x−1，＝x ﹣1，∵x +2≠0，x ﹣1≠0， ∴x ≠﹣2，x ≠1，当x ＝2时，原式＝2﹣1＝1．【点睛】此题考查分式的混合运算及化简求值，正确将分式的分子与分母因式分解是解题的关键. 31．（2023上·吉林白城·七年级统考期末）先化简，再求值：x 2−1x 2−2x+1÷x+1x−1·1−x1+x，其中x ＝12．【答案】1−x1+x ，13．【分析】先将分式的分子和分母分解因式，将分式约分化简得到最简结果，再将未知数的值代入计算即可. 【详解】x 2−1x 2−2x+1÷x+1x−1·1−x1+x , =(x +1)(x −1)(x −1)2⋅x −1x +1⋅1−x1+x=1−x1+x ,当x ＝12时，原式＝1−121+12=13.【点睛】此题考查分式的化简求值，化简时需先分解因式约去公因式得到最简分式，再将未知数的值代入求值即可.32．（2023上·山东烟台·七年级统考期中）先化简（a 2−4a+4a 2−4﹣aa+2）÷a−1a+2，再从a ≤2的非负整数解中选一个适合的整数代入求值． 【答案】−2a−1，2【分析】先将分式的分子和分母分解因式，再根据分式的化简求值的过程计算即可求解． 【详解】解：原式＝[(a−2)2(a−2)(a+2)−aa+2]⋅a+2a−1，=(a−2a+2−aa+2)⋅a+2a−1，=−2a+2⋅a+2 a−1，=−2a−1.∵a≤2的非负整数解有0，1，2，又∵a≠1，2，∴当a＝0时，原式＝2．【点睛】此题考查分式的化简求值，化简时需先分解因式约去公因式得到最简分式，求值时选的数需满足分母不为0的数才可代入求值.33．（2023下·江苏盐城·七年级东台市三仓镇中学校考期中）先化简，再求值：x2−1(x−1)2÷x2+xx−1+2x，其中x为你喜欢的一个使原式有意义的整数．【答案】3x，1【详解】分析：根据据分式的混合运算的法则和步骤，先算乘除，再算加减，然后约分化简，最后代入求值即可，注意选择使分母不为零的数代入.详解：x2−1(x−1)2÷x2+xx−1+2x=(x+1)(x−1)(x−1)2÷x(x+1)x−1+2x=(x+1)(x−1)(x−1)2·x−1x(x+1)+2x=1 x +2x=3x当x=3时，原式=1.点睛：本考查了分式的混合运算：分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．34．（2023上·四川泸州·七年级统考期中）先化简，再求值：(3a+1−a+1)÷a2−4a+4a+1，其中a=4．【答案】−a+2a−2，-3．【详解】试题分析：先根据分式的混合运算的法则，先算括号里面的（通分后计算），再把除法化为乘法约分化简，最后代入求值即可.试题解析：(3a+1−a+1)÷a2−4a+4a+1=3−a2+1a+1×a+1(a−2)2，=−(a+2)(a−2)a+1×a+1(a−2)2=−a+2a−2，当a=4时，原式=-3．35．（2023上·北京昌平·七年级校考期中）先化简，再求值:xx2−1⋅(x−1x−2)，其中x（x+1）=2（x+1）.【答案】−1x−1，-1【详解】试题分析：先根据分式的混合运算的法则，先把分式的化简，然后再根据方程求出符合条件的x代入求值，注意分式有意义的条件，即分母不能为零.试题解析：原式==.由解得或.因为x不能等于-1，所以当=2时，原式=.36．（2023下·湖南郴州·七年级校考期中）先化简，再求值：(x2x−1+91−x)÷x+3x−1，x在1,2，-3中选取适当的值代入求值．【答案】x-3,当x=2时，原式=-1【详解】解：(x2x−1+91−x)÷x+3x−1=(x+3)(x−3)x−1⋅x−1 x+3=x−3要是原式有意义，则x≠1,−3,则x=2原式=-137．（2023上·浙江杭州·七年级统考期中）先化简，再求值：(4x+6x2−1−2x−1)÷x+2x2−2x+1，其中x是不等式组{x+4>01−2x>3的整数解．【答案】2x−2x+1，4．【分析】原式中先计算分子，约分得到最简结果，求出不等式组的解集，找出解集中的整数解确定出x的值，代入计算即可求出值．【详解】原式= 4x+6−2(x+1)(x+1)(x−1)×(x−1)2x+2= 2(x+2)(x+1)(x−1)×(x−1)2x+2= 2(x−1)x+1=2x−2x+1解不等式组{x+4>01−2x>3得：-4＜x＜-1所以不等式组的整数解为-3，-2，即x=-3，-2．∵x≠-2∴x=-3，∴原式= 2(−3−1)−3+1=4．【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．38．（2023上·重庆·七年级西南大学附中校考期中）先化简，再求值：(2a−2−6a2−2a)÷a2−6a+9a−2，其中a满足2a2−6a+3=0．【答案】2a2−3a ，−43【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把已知等式变形后代入计算即可求出值．【详解】(2a−2−6a2−2a)÷a2−6a+9a−2=[2aa(a−2)−6a(a−2)]÷(a−3)2a−2=2(a−3)a(a−2)×a−2(a−3)2=2a(a−3)=2a2−3a∵2a2−6a+3=0∴2a2−6a=−3∴a2−3a=−32∴原式=2a2−3a =2−32=−43．【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．39．（2023上·山东聊城·七年级校考期末）（1）计算：(x2−4x+4x2−4−xx+2)÷x−1x+2（2）先化简a2−2aa2−1÷(2a−1a−1−a−1)，然后从−2≤a≤2的范围内选取一个合适的整数作为a的值代入求值．【答案】（1）21−x ；（2）−1a+1，1【分析】（1）先计算括号内的分式减法，再计算分式的除法即可得；（2）先计算括号内的分式减法，再计算分式的除法，然后根据分式有意义的条件选取合适的a的值，代入计算即可得．【详解】解：（1）原式=[(x−2)2(x+2)(x−2)−xx+2]⋅x+2x−1=(x−2x+2−xx+2)⋅x+2x−1=−2x+2⋅x+2x−1=21−x；（2）原式=a(a−2)(a+1)(a−1)÷[2a−1a−1−(a+1)(a−1)a−1]=a(a−2)(a+1)(a−1)÷(2a−1a−1−a2−1a−1)=a(a−2)(a+1)(a−1)÷2a−1−a2+1a−1=a(a−2)(a+1)(a−1)÷2a−a2a−1=a(a−2)(a+1)(a−1)⋅a−12a−a2=a(a−2)(a+1)(a−1)⋅a−1a(2−a)=−1a+1，∵a+1≠0,a−1≠0,a≠0,2−a≠0，∴a≠−1,a≠1,a≠0,a≠2，∵a是−2≤a≤2的范围内的一个整数，∴a=−2，则原式=−1−2+1=1．【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解题关键． 40．（2023上·山东滨州·七年级统考期末）（1）计算：3(x−1)(x+2)−xx−1+1；（2）先化简，再求值：a−1a 2−4a+4÷(1+1a−2)，请从1，2，3中选一个合适的数作为a 的值，代入求值． 【答案】（1）−1x+2；（2）1a−2，1．【分析】（1）根据分式的四则运算求解即可；（2）根据分式的四则运算进行化简，然后代数求解即可． 【详解】解：（1）3(x−1)(x+2)−xx−1+1 =3(x −1)(x +2)−x (x +2)(x −1)(x +2)+(x −1)(x +2)(x −1)(x +2)=3−x 2−2x +x 2+x −2(x −1)(x +2)=1−x(x −1)(x +2)=−1x +2（2）a−1a 2−4a+4÷(1+1a−2) =a −1(a −2)2÷(a −1a −2) =a −1(a −2)2×(a −2a −1) =1a−2，由题意可得：a −2≠0，a −1≠0 ∴a ≠1，a ≠2将a =3代入得，原式=13−2=1．【点睛】此题考查了分式的四则运算，化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的四则运算以及分式的有关知识．。
精选)分式的通分专项练习题
精选)分式的通分专项练习题分式的通分专项练（正）一、填空：1、$\frac{x+1}{5x-2}$;$\frac{-2}{2}$的最简公分母是$\boxed{10}$；2、$\frac{x+y}{x-1};\frac{2x-y}{x-y+1}$的最简公分母是$\boxed{(x-1)(x-y+1)}$；3、$\frac{4x^3+2x^2y+3xy^2}{3x}$的最简公分母是$\boxed{3x^2y}$；4、$\frac{4x^3+2x^2y+3xy^2}{3x}$中的$x$和$y$的值都扩大5倍，那么分式的值为$\boxed{\frac{20x^3+50x^2y+75xy^2}{15x}}$。
2、如果把分式$\frac{a}{b}$扩大5倍；缩小5倍；不改变；扩大25倍，分式变成$\boxed{\frac{5a}{5b}}$、$\boxed{\frac{a}{5b}}$、$\boxed{\frac{a}{b}}$、$\boxed{\frac{25a}{25b}}$。
5、将$\frac{5a}{23}$和$\frac{6a}{2b}$通分后最简公分母是$\boxed{46b}$，分别变为$\boxed{\frac{10ab}{46b}}$和$\boxed{\frac{69a}{46b}}$。
二、通分1、$\frac{x}{11}+\frac{14a}{3c};\frac{4x-1}{2x-1}+\frac{x+5}{x}$；2、$\frac{2}{3x}+\frac{4}{x+2};\frac{3}{x-1}+\frac{1}{2x+1}$；3、$\frac{2}{x+1}-\frac{1}{x-1};\frac{x}{x-3}-\frac{2}{x+2}$；4、$\frac{5}{2x-3}+\frac{5}{3x+5};\frac{2}{x-1}-\frac{3}{x}$；5、$\frac{1}{x+y}-\frac{1}{x-y};\frac{a(x-y)}{2x+y}-\frac{b(y-x)}{2x+y}$；6、$\frac{x-y}{2x+ya}-\frac{x+y}{2x-ya};\frac{a}{x-1}-\frac{b}{a^2-b^2}$；7、$\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}+\frac{z}{z+1};\frac{2}{x}+\frac{ 3}{y}+\frac{5}{z}$；8、$\frac{1}{(x-1)^2}+\frac{1}{(x-1)(x+1)};\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}$；9、$\frac{1}{x-y}+\frac{1}{x+y};\frac{1}{x-1}-\frac{b}{a^2-b^2}$；10、$\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a-b};\frac{x}{x-1}-\frac{y}{a^2-b^2}$；11、$\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x(x+2)}+\frac{1}{(x+2)^2};\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x+2}$；12、$\frac{x}{x-1}-\frac{x-2}{x+1}+\frac{2}{x^2-1};\frac{1}{x-2}+\frac{1}{x+2}-\frac{2}{x^2-4}$；13、$\frac{1}{(x-1)(x+1)}+\frac{1}{(x+1)(x+3)}+\frac{1}{(x+3)(x-1)};\frac{x}{x-1}-\frac{x}{x+1}+\frac{2}{x^2-1}$；14、$\frac{2x-4}{2x^2-2x}+\frac{3x-5}{2x^2-3x+1};\frac{2}{x}-\frac{1}{x-2}+\frac{3}{x^2-x}$；15、$\frac{a}{a^2-1}+\frac{a}{a^2-4}+\frac{a}{a^2-9};\frac{1}{a-1}+\frac{1}{a+1}+\frac{2}{a-3}$；16、$\frac{x^2-4x+3}{(x-1)^2}+\frac{x^2-1}{(x-1)(x+1)}+\frac{x^2+2x+1}{(x+1)^2};\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x+1}$。
重难专题17 分式方程的解的问题专项训练(解析版)
专题17 分式方程的解的问题专项训练一、单选题1．若分式方程244x a x x =+--有增根，则a 的值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．4【答案】D【详解】解：已知方程去分母得2(4)x x a =-+，解得8x a =-，由分式方程有增根得4x =，84a \-=，4a \=．故选：D ．2．若分式方程212024a x x ++=--有增根，则a 的值是（ ）A ．2a =B ．14a =C ．14a =-D ．3a =-【答案】C【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根求出x 的值，代入整式方程计算即可求出a 的值．【详解】解：去分母得：221280ax a x +++-=，由分式方程有增根，得到2x =或2x =-，把2x =代入整式方程得：410a +=，即14a =-；把2x =-代入整式方程，无解，则a 的值为14-，故选：C ．3．若关于x 的分式方程2123x a x -=-的解为非负数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．23a ³B ．23a £C ．23a ³且4a ¹D ．23a £且4a ¹-【答案】C【分析】分式方程依次去分母、去括号、移项、合并同类项，求出分式方程的解，再根据分式方程的解是非负数，且分母不能为零，得到关于a 的不等式，求解即可得到答案．【详解】解：原分式方程可化为3(2)2x a x -=-，去括号，可得：632x a x -=-，移项，可得：632x x a -=-，合并同类项，可得532x a =-，解得：325a x -=，根据题意可得：3520a -³，且3225a -¹，解得：23a ³，且4a ¹．故选：C ．4．若关于x 的方程1222m x x +=--的解为正数，则m 的取值范围是( )A ．5m <B ．5m <且1m ¹C ．5m >D ．5m >且7m ¹【答案】B 【分析】先解关于x 的方程1222m x x+=--得到用m 的代数式表达的x 的值，再根据原方程的解为正数，列出关于m 的不等式组，解此不等式组即可求得m 的取值范围．【详解】解：由题意可知解关于x 的方程1222m x x +=--得：52m x -=，∵关于x 的方程1222m x x+=--的解为正数，∴5202502m m -ì-¹ïïí-ï>ïî ，解得：5m <且1m ¹．故选：B ．5．关于x 的方程312m x -=+的解是负数，则m 的取值范围是（ ）A ．1m <B ．1m <且2m ¹-C ．1m >D ．1m >且3m ¹【答案】D【分析】可解得1x m =-，由方程的解是负数，可求1m >，可求2x ¹-，即可求解．【详解】解：32m x -=+，\1x m =-，Q 方程的解是负数，10m \-<，解得：1m >，20x +¹Q ，2x \¹-，12m \-¹-3m \¹，\m 的取值范围是1m >且3m ¹．故选：D ．6．若关于x 的分式方程21m x x =-有正整数解，则整数m 的值是（ ）A ．2或3B ．4或5C ．3或5D ．3或4【答案】D 【分析】解方程得，2m x m =-，因为分式方程由正整数解，进而可得到整数m 的值．【详解】解：原方程为，21m x x =-，可化为整式方程，2(1)x m x =-，解得(2)2m x m m =¹-，经检验，2m x m =-是分式方程的解，∵分式方程21m x x=-有正整数解，∴整数m 的值是3或4，故选：D ．7．若关于x 的分式方程12233x m x x--=+--有增根，且关于y 的不等式8m n y +££中有2个整数解，则整数n 是（ ）A ．3B ．2C ．1D ．0【答案】A【分析】先根据分式方程有增根可求出4m =，从而可得48n y +££，再根据关于y 的不等式8m n y +££中有2个整数解可得647n <+£，由此即可得．【详解】解：12233x m x x--=+--，方程两边同乘以()3x -，得()1232m x x -=-+-，解得7x m =-+，∵关于x 的分式方程12233x m x x--=+--有增根，73m \-+=，解得4m =，48n y \+££，∵关于y 的不等式48n y +££中有2个整数解，647n \<+£，解得23n <£，则整数n 是3，故选：A ．8．关于x 的分式方程26422ax x x -+=--的解为非负整数，且关于y 的不等式组42232y y a y -<-ìïí+³-ïî有解，则满足上述要求的所有整数a 的值的和为（ ）A ．5B ．6C ．4D ．8【答案】B 【分析】先解分式方程得124x a =--，根据分式方程有意义条件以及解为非负整数，得出a 可取的值，再求分别求解两个不等式，根据不等式组有解得出a 的取值范围，最后确定a 的值，即可求解．【详解】解：26422ax x x -+=--，2648ax x -+=-，()412a x -=-，124x a =--，∵分式方程的解为非负整数，∴412241204a a a ìï¹ïï-¹í-ïï-³ï-î，解得：3,2,1,0,8a =-，42232y y a y -<-ìïí+³-ïî①②，由①可得：3y >，由②可得：6y a £+，∵关于y 的不等式组有解，∴63a +>，解得：3a >-，∴符合条件的整数a 有：3,2,1,0，∴满足要求的所有整数a 的值的和32106=+++=．故选：B ．9．关于x 的一元一次不等式组()()1133223132x a x x x ì--£+ïïí+ï<+ïî的解集是x a £，且关于y 的分式方程24111y a y y y ---=--有非负整数解，则符合条件的所有整数a 的和是（ ）A ．0B ．1C ．5D ．6【答案】B【分析】利用关于x 的一元一次不等式组的解集为x a £，通过解不等式组确定a 的一个取值范围；再利用关于y 的分式方程24111y a y y y---=--有非负整数解，确定a 的一个取值范围，同时满足两个条件的a 整数解即为答案．【详解】解：由不等式组()()1133223132x a x x x ì--£+ïïí+ï<+ïî，解得5x a x £ìí<î，∵不等式组的解集是x a £，∴5a <，由分式方程24111y a y y y ---=--，解得：32a y +=，且312a y +=¹，即1a ¹-，当302a y +=³时，35-£<a∵分式方程有非负整数解，∴满足条件的所有整数a 为：3-，1，3，则符合条件的所有整数a 的和是3131-++=，故选：B ．10．若整数a 既能使分式方程2122ay y y-=--有整数解，且使一次函数()4y a x a =++的图象不经过第二象限，则符合条件的整数a 的值有（ ）个A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【分析】依据关于x 的一次函数()4y a x a =++的图象不经过第二象限，求得a 的取值范围，依据关于y 的分式方程2122ay y y-=--有整数解求得a 的值，即可得到满足条件的整数a 的个数．【详解】解：Q 一次函数()4y a x a =++的图象不经过第二象限，40a \+>且0a £．40a \-£<．解分式方程2122ay y y-=--得到：41y a -=-且421a -¹-．Q 关于y 的分式方程2122ay y y -=--有整数解，411y a -==±-或421y a -==±-或441y a -==±-且421a -¹-．解得：3,0,2,5a =-．40a -£Q <\整数a 的值为：3-、0共有3个．故选：B ．二、填空题11．已知关于x 的分式方程12325x a x a +-=++的解为0x =，则=a ．【答案】113【分析】先把a 当做一个已知数，解分式方程，当根据分式为0的条件，进行求解即可．【详解】解：12325x a x a +-=++，()()()()15232x a a x ++=-+，552436ax x a ax a x +++=+--，8311ax x a -+=-，3118a x a-=-；∵0x =，∴3110a -=，80a -¹，解得：113a =，故答案为：113．12．已知不等式21x m -<的解集为1x <，且关于x 的分式方程2311x a m x x -+=--的解为非负数，则a 的取值范围为 ．【答案】4a £且3a ¹【分析】先根据不等式的解集确定m ，再求得方程的解，根据非负性转化为不等式，求解集，注意增根的陷阱．【详解】∵不等式21x m -<的解集为12m x +<，又不等式21x m -<的解集为1x <，∴112m +=，解得1m =，∴分式方程变形为21311x a x x -+=--，解方程，得4x a =-，∵分式方程2311x a m x x -+=--的解为非负数，∴40a -³，解得4a £，∵10x -=时，分式无意义，∴1x ¹∴14a ¹-，∴3a ¹，故a 的取值范围是4a £且3a ¹，故答案为：4a £且3a ¹．13．若整数m 既能使关于x 的不等式组21511323x x x m-+ì-³ïíï+>î有解，也能使关于y 的分式方程21233my y y -+=--有整数解，则整数m 的值为 ．【答案】1-【分析】先解一元一次不等式组得到13x x m £-ìí>-î，根据不等式组有解求出m 的范围，再解分式方程，再由解为整数且3y ¹，2m ¹，即可求出m 的值．【详解】解：解关于x 的不等式组21511323x x x m-+ì-³ïíï+>î得：13x x m £-ìí>-î，Q 不等式组有解，31m \-<-，解得：2m <，解关于y 的分式方程21233my y y -+=--得：32y m=-，3y ¹Q ，2m ¹，332m\¹-，2m ¹，1m \¹且2m ¹，2m <∴且1m ¹32m-Q 为整数，且m 为整数，31,32m\=±--解得：1m =-，或3m =(舍去)，或5m =(舍去)1m \=-，\整数m 的值为1-．故答案为：1-．14．若解分式方程144x m x x -=++产生增根，则它的增根是 ，这时m = ．【答案】4- 5-【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母40x +=，得到4x =-，然后代入化为整式方程的方程算出m 的值．【详解】解：方程两边都乘(4)x +得1x m-=Q 原方程有增根，\最简公分母40x +=，解得4x =-，当4x =-时，5m =-，故m 的值是5-，故答案为：4-；5-．15．已知关于x 的不等式组22141x m x m >+ìí+£--î无解，且关于x 的分式方程4122x mx x x ++=---的解是正整数，则整数m 的值为 ．【答案】1或0【分析】根据不等式组无解得到212m m --£+，得到1m ³-，再结合分式方程4122x mx x x++=---的解是正整数，进行求解即可．【详解】解：∵关于x 的不等式组22141x m x m >+ìí+£--î无解，∴212m m --£+，∴1m ³-；∵4122x mx x x++=---，解得：62x m =-，∵分式方程4122x mx x x ++=---的解是正整数，且2x ¹且m 为整数，∴21m -=或22m -=或23m -=或26m -=，∴1,0,1,4m m m m ===-=-；∵1m ³-且1x ¹-，∴1,0m m ==．故答案为：1或0.16．若关于x 的一元一次不等式组42302x x x m -ì->ïïí-ï£ïî的解集为5x <-，且关于y 的分式方程25333my y y -+=---的解是整数，则符合条件的所有整数m 的和为 ．【答案】8-【分析】分别解出两个一元一次不等式的解集，根据不等式组的解集为5x <-，列出不等式求得m 的范围；解分式方程，根据方程有非负整数解，且30y -¹列出不等式，求得m 的范围；综上所述，求得m 的范围．根据m 为整数，求出m 的值，最后求和即可．【详解】解：42302x x x m -ì->ïïí-ï£ïî①②，解不等式①得：5x <-，解不等式②得：x m £，∵不等式组的解集为5x <-，∴5m ³-；分式方程25333my y y -+=---两边都乘以()3y -得：()2533my y -+=--，解得：63y m =+，∵分式方程的解是整数，∴36m +=±或3±或2±或1±，∵5m ³-，∴m 的值为，3，0，1-，2-，4-，5-a 为偶数，∵分式要有意义，∴30y -¹，即3y ¹，∴32m +¹，即1m ¹-，∴符合条件的所有整数m 的数有3，0，2-，4-，5-∴符合条件的所有整数a 的和为302458+---=-．故答案为：8-．17．已知分式方程11(1)(2)x m x x x -=--+的解x 满足25x -££，m 的取值范围 ．【答案】07m <£且3m ¹【分析】求出分式方程的解，利用已知条件列出不等式，解不等式即可．【详解】解：分式方程11(1)(2)x m x x x -=--+的解为：2x m =-，∵分式方程有可能产生增根1或2-，∴21m -¹且22m -¹-，∴3m ¹且0m ¹，∵分式方程11(1)(2)x m x x x -=--+的解x 满足25x -££，∴225m -£-£，解得：07m ££，综上，m 的取值范围为：07m <£且3m ¹．18．若关于x 的分式方程()()11122a x x x x x +=++--的解比分式方程2313x x =++的解大2，则a 的值为 ．【答案】13【分析】先求出分式方程2313x x =++的解，从而得出分式方程()()11122a x x x x x +=++--的解为5，再把5x =代入分式方程即可求解．【详解】解：2313x x =++去分母得：()()23=31x x ++去括号得：26=33x x ++移项合并同类项得：3x =∵关于x 的分式方程()()11122a x x x x x +=++--的解比分式方程2313x x =++的解大2，∴325x =+=是式方程()()11122a x x x x x +=++--的解，∴把5x =代入分式方程得：51=51633a ++´，1=618a \，13a \=．故答案为：13．三、解答题19．已知关于x 的分式方程512x a x x--=-．(1)若分式方程有增根，求a 的值；(2)若分式方程无解，求a 的值．【答案】(1)2a =；(2)a 的值为3-或2．【分析】（1）先将分式方程化为整式方程，根据方程有增根，可得到(3)(3)0x x +-=，然后代入整式方程，即可求解；（2）根据方程无解，可分两种情况：原分式方程有增根和整式方程无解，即可求解．【详解】（1）解：512x a x x--=-方程两边同乘(2)x x -得()()()522x x a x x x ---=-整理可得：(3)10a x +=∵原方程有增根∴(2)0x x -=，即0x =或2x =，当0x =时，(3)10a x +¹，故0x =应舍去，当2x =时，(3)210a +´=，解得2a =，∴2a =时，方程有增根；（2）解：由（1）知：2a =时，原方程无解当30a +=，方程(3)10a x +=无解∴3a =-时，原方程无解综上所述，a 的值为3-或2．20．已知关于x 的分式方程211x m x x-=--．(1)当1m =时，求方程的解．(2)若关于x 的分式方程211x m x x-=--的解为非负数，求m 的取值范围．【答案】(1)3x =(2)2m ³-且1m ¹-【分析】（1）将1m =代入分式方程，解分式方程即可求解；（2）先解分式方程，然后依据分式方程有解且解为非负数，建立不等式，解不等式即可．【详解】（1）当1m =时，1211x x x-=--，1211x x x -=--，去分母得：()121x x +=-，解得：3x =，检验：当3x =时10x -¹，故方程的解为：3x =；（2）211x m x x-=--，211x m x x-=--，去分母得：2(1)x m x +=-，解得：2x m =+，由分式方程有解且解为非负数，1x ¹且0x ³，即：21m +¹且20m +³，即：2m ³-且1m ¹-21．阅读：对于两个不等的非零实数a 、b ，若分式()()x a x b x--的值为零，则x a =或x b =．又因为2()()()()x a x b x a b x ab ab x a b x x x---++==+-+，所以关于x 的方程ab x a b x +=+有两个解．分别为1x a =，2x b =．应用上面的结论解答下列问题：(1)方程p x q x +=的两个解分别为12x =-、24x =，则p =______，q = ______；(2)方程65x x+=的两个解中较大的一个为______；(3)关于x 的方程22322121n n x n x +-+=++的两个解分别为12x x 、（12x x <），求1222x x -的值．【答案】(1)8-，2(2)3(3)2【分析】（1）根据材料可得：248p =-´=-，242q =-+=，计算出结果；（2）设方程65x x+=的两个解为a ，b ，同理得6ab =，5a b +=，解出可得结论；（3）将原方程变形后变为：223212221n n x n x +-++=++，未知数变为整体21x +，根据材料中的结论可得：11x n =-，23x n =+，代入所求式子可得结论．【详解】（1）解：∵方程p x q x+=的两个解分别为12x =-、24x =，∴248p =-´=-，242q =-+=，故答案为：8-，2；（2）解：设方程65x x+=的两个解为a ，b ，则6ab =，5a b +=，∴23a b ==，或32a b ==，，∴两个解中较大的一个为3；故答案为：3；（3）解：∵22322121n n x n x +-+=++，∴223212221n n x n x +-++=++，即()()()()31213121n n x n n x +-++=++-+，∴213x n +=+或211x n +=-，22n x +=或22n -，∵12x x <，∴122n x -=，222n x +=，∴12222222222222n x n n n x -×-===+---．22．阅读理解：如果a ，b 是两个不等的非零实数，则有以下两个正确结论：①若()()0x a x b x --=，则x a =或x b =．②()()()()2x a x b x a b x ab ab x a b x x x ---++==+-+．应用上面的结论解答下列问题：(1)方程127x x+=的两个解中较大的一个为 ；(2)解关于x 的方程1553x x +=+．首先两边同时加上3，将原方程化为153533x x ++=++．设1553x x +=+的两个解分别为()1212x x x x ，＜，则1x = ，2x = ；(3)若关于x 的方程61k x x =--的两个解为2122,1x t x t =+=+，求2344k k t --的值．【答案】(1)4(2)2，0(3)﹣32【分析】（1）根据材料所给方法解答即可；（2）将所求的方程变形为153533x x ++=++，再由阅读材料可得35x +=或33x +=，求出方程的解即可；（3）将所求的方程变形为6111x k x -+=--，再由阅读材料可得()()()()1212116111x x x x k ì--=ïí-+-=-ïî，整理得()221611t t t t k ì+=ïí++=-ïî，求出22k t t -=+，再代入代数式求值即可．【详解】（1）解：∵127x x +=，∴712a b ab +==，，∴3x =或4x =，∴较大的解为4．故答案为4．（2）解：∵153533x x ++=++，∴35x +=或33x +=，∴1220x x ==，．故答案为：2，0．（3）解：∵61k x x =--，∴6111x k x -+=--，由题意可知：()()()()1212116111x x x x k ì--=ïí-+-=-ïî，整理得：()221611t t t t k ì+=ïí++=-ïî，∴22k t t -=+，∴2344k k t --()2344k k t =---()2234t t t =-++4-()4323244t t t t =-+++-()23·164t t t t éù=-+++ëû()3664t t =-++()2614t t =-++664=-´+32=-．23．对于形如k x m x+=的分式方程，若k ab =，m a b =+，容易检验1x a =，2x b =是分式方程ab x a b x +=+的解，所以称该分式方程为“易解方程”．例如：23x x +=可化为1212x x ´+=+，容易检验11x =，22x =是方程的解，∴23x x +=是“易解方程”：又如65x x +=-可化为()()2323x x--+=--，容易检验13x =-，22x =-是方程的解，∴65x x +=-也是“易解方程”．根据上面的学习解答下列问题：(1)判断56x x+=-是不是“易解方程”，若是“易解方程”，求该方程的解1x ，()212x x x <；若不是，说明理由．(2)若1x m =，2x n =是“易解方程”34x x -=的两个解，求11m n +的值；(3)设n 为自然数，若关于x 的“易解方程”223352n n x n x ++=+-的两个解分别为1x ，()212x x x <，求211x x -的值．【答案】(1)是“易解方程”， 15x =-，21x =-(2)43-(3)2【分析】（1）56x x +=-可化为()()5151x x--+=--，根据“易解方程”的定义即可判断；（2）根据“易解方程”的定义可知3mn -=，4m n =+，代入11n m m n mn++=即可求解；（3）设2y x =-，方程可化为()2323n n y n n y ++=++，根据“易解方程”的定义求出方程的解，代入211x x -即可求解．【详解】（1）解：56x x +=-是“易解方程”，理由：56x x +=-可化为()()5151x x--+=--，51-<-，∴56x x+=-是“易解方程”．该方程的解为15x =-，21x =-；（2）解：由题意可得3mn -=，4m n =+，故114433n m m n mn ++===--；（3）解：由题意得2232332n n x n x +-+=+-是“易解方程”，设2y x =-，方程可化为()2323n n y n n y++=++，易知n 和23n +是这个方程的解，∵n 为自然数，∴23n n <+，∴必有12x n -=，2223x n -=+，∴12x n =+，225x n =+，∴21125122x n x n -+-==+．24．如果两个分式M 与N 的和为常数k ，且k 正整数，则称M 与N 互为“和整分式”，常数k 称为“和整值”．如分式1x M x =+， 11N x =+， 111x M N x ++==+，则M 与N 互为“和整分式”，“和整值”1k =．(1)已知分式14x A x -=-，74x B x -=-，判断A 与B 是否互为“和整分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“和整值”k ；(2)已知分式342x C x -=-，24D G x =-，C 与D 互为“和整分式”，且“和整值”3k =，若x 为正整数，分式D 的值为正整数t ．①求G 所代表的代数式；②求x 的值；(3)在（2）的条件下，已知分式353x P x -=-，33mx Q x-=-，且P Q t +=，若该关于x 的方程无解，求实数m 的值．【答案】(1)A 与B 是互为“和整分式”，“和整值”2k =(2)①24G x =--；②1x =(3)1或73【分析】（1）先计算A B +，再根据结果可得结果；（2）①先求解()()232822x x G C D x x +-++=-+，结合新定义可得()()22328322312x x G x x x +-+=-+=-，从而可得答案；②由22D x =--，且分式D 的值为正整数t ．x 为正整数，可得21x -=-或22x -=-，从而可得答案；（3）由题意可得：2212t D ==-=-，可得35323x mx x --+=-，整理得：()14m x -=-，由方程无解，可得10m -=或方程有增根3x =，再分两种情况求解即可．【详解】（1）解：A 与B 是互为“和整分式”，理由如下：∵14x A x -=-，74x B x -=-，∴1744x x x A B x --+-=-+ 174x x x -+-=- 284x x -=- ()244x x -=-2=．∴A 与B 是互为“和整分式”，“和整值”2k =；（2）解：①∵342x C x -=-，24D G x =-，∴()()()()()()3422222x x G C D x x x x -++=+-+-+ ()()232822x x G x x +-+=-+ ∵C 与D 互为“和整分式”，且“和整值”3k =，∴()()22328322312x x G x x x +-+=-+=-，∴2231232824G x x x x =---+=--；②∵()()()22224222x D x x x G x -+===--+--，且分式D 的值为正整数t ．x 为正整数，∴21x -=-或22x -=-，∴1x =（0x =舍去）；（3）解：由题意可得：2212t D ==-=-，∴353233x mx P Q x x --+=+=--，∴35323x mx x --+=-，∴()3226m x x --=-，整理得：()14m x -=-，∵方程无解，∴10m -=或方程有增根3x =，解得：1m =，当10m -¹，方程有增根3x =，∴431m-=-，解得：73m =，综上：m 的值为：1或73．25．如果两个分式M 与N 的和为常数k ，且k 正整数，则称M 与N 互为“和整分式”，常数k 称为“和整值”．如分式1x M x =+，11N x =+，111x M N x ++==+，则M 与N 互为“和整分式”，“和整值”1k =．(1)已知分式72x A x -=-，22696x x B x x ++=+-，判断A 与B 是否互为“和整分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“和整值”k ；(2)已知分式342x C x -=-，24D G x =-，C 与D 互为“和整分式”，且“和整值”3k =，若x 为正整数，分式D 的值为正整数t ．①求G 所代表的代数式；②求x 的值；(3)在（2）的条件下，已知分式353x P x -=-，33mx Q x-=-，且P Q t +=，若该关于x 的方程无解，求实数m 的值．【答案】(1)A 与B 是互为“和整分式”， “和整值”2k =；(2)①24G x =--；②1x =(3)m 的值为：1或73．【分析】（1）先计算A B +，再根据结果可得结果；（2）①先求解()()232822x x G C D x x +-++=-+，结合新定义可得()()22328322312x x G x x x +-+=-+=-，从而可得答案；②由22D x =--，且分式D 的值为正整数t ．x 为正整数，可得21x -=-或22x -=-，从而可得答案；（3）由题意可得：2212t D ==-=-，可得35323x mx x --+=-，整理得：()14m x -=-，由方程无解，可得10m -=或方程有增根3x =，再分两种情况求解即可．【详解】（1）解：∵72x A x -=-，22696x x B x x ++=+-，∴2276926x x x A B x x x -+++=+-+- ()()()237232x x x x x +-=+-+- 7322x x x x -+=+-- ()222x x -=-2=．∴A 与B 是互为“和整分式”， “和整值”2k =；（2）①∵342x C x -=-，24D G x =-，∴()()()()()()3422222x x G C D x x x x -++=+-+-+ ()()232822x x G x x +-+=-+ ∵C 与D 互为“和整分式”，且“和整值”3k =，∴()()22328322312x x G x x x +-+=-+=-，∴2231232824G x x x x =---+=--；②∵()()()22224222x D x x x G x -+===--+--，且分式D 的值为正整数t ．x 为正整数，∴21x -=-或22x -=-，∴1x =（0x =舍去）；（3）由题意可得：2212t D ==-=-，∴353233x mx P Q x x --+=+=--，∴35323x mx x --+=-，∴()3226m x x --=-，整理得：()14m x -=-，∵方程无解，∴10m -=或方程有增根3x =，解得：1m =，当10m -¹，方程有增根3x =，∴431m-=-，解得：73m =，综上：m 的值为：1或73．26．已知，关于x 的分式方程1235a b x x x --=+-．(1)当2a =，1b =时，求分式方程的解；(2)当1a =时，求b 为何值时分式方程1235a b x x x --=+-无解；(3)若3a b =，且a 、b 为正整数，当分式方程1235a b x x x --=+-的解为整数时，求b 的值．【答案】(1)15x =-(2)1152或(3)3、29、55、185【分析】（1）将a 和b 的值代入分式方程，解分式方程即可；（2）把a 的值代入分式方程，分式方程去分母后化为整式方程，分类讨论b 的值，使分式方程无解即可；（3）将a =3b 代入方程，分式方程去分母化为整式方程，表示出整式方程的解，由解为整数和b 为正整数确定b 的取值．【详解】（1）解：把a =2，b =1代入原分式方程中，得：211235x x x --=+-，方程两边同时乘以()()235x x +-，得：()()()()()25123235x x x x x ---+=+-，解得：15x =-，检验：把15x =-代入()()2350x x +-≠，∴原分式方程的解为：15x =-．（2）解：把a =1代入原分式方程中，得：11235b x x x --=+-，方程两边同时乘以()()235x x +-，得：()()()()()523235x b x x x x ---+=+-，去括号，得：22523232715x x x bx b x x -++--=--，移项、合并同类项，得：()112310b x b -=-，①当1120b -=时，即112b =，原分式方程无解；②当1120b -¹时，得310112b x b-=-，Ⅰ.32x =-时，原分式方程无解，即31031122b b -=--时，此时b 不存在；Ⅱ.x =5时，原分式方程无解，即3105112b b-=-时，此时b =5；综上所述，1152b b ==或时，分式方程1235a b x x x --=+-无解．（3）解：把a =3b 代入分式方程1235a b x x x --=+-中，得：31235b x b x x -+=+-，方程两边同时乘以()()235x x +-，得：()()()()()3523235b x x b x x x -+-+=+-，()101815b x b +=-整理得：，解得：()1810195181519518101010b b x b b b +--===-+++，∵b 为正整数，x 为整数，∴10+ b 必为195的因数，10+b ≥11，∵195=3×5×13，∴195的因数有1、3、5、13、15、39、65、195，∵1、3、5都小于11，∴10十b 可以取13、15、39、65、195这五个数，对应地，方程的解x =3、5、13、15、17，又x =5为分式方程的增根，故应舍去，对应地，b 只可以取3、29、55、185，∴满足条件的b 可取3、29、55、185这四个数．。
分式方程专项练习50题(有答案)
分式方程专项练习50题(有答案)1.$\frac{x}{x+2}=\frac{2}{x-1}$，改写为$x(x-1)=2(x+2)$。
2.$\frac{5x-3}{x^2}=0$，当 $5x-3=0$ 时成立，即$x=\frac{3}{5}$。
3.$\frac{x}{x}+\frac{1}{x}=1$，当 $x\neq 0$ 时成立。
4.$x^2+2x=0$，当 $x=0$ 或 $x=-2$ 时成立。
5.$\frac{13}{x(x-2)}=\frac{1}{x-1}$，改写为 $13(x-1)=x(x-2)$。
6.$\frac{1}{x-1}-\frac{2}{x+1}=\frac{1}{2}$，改写为$3x^2-2x-5=0$，当 $x=\frac{1}{3}$ 或 $x=-\frac{5}{3}$ 时成立。
7.$\frac{x+1}{x-1}=\frac{x}{x+1}$，改写为 $x^2-1=0$，当 $x=1$ 或 $x=-1$ 时成立。
8.$\frac{2x-5}{3-x}=\frac{2x-2}{x+1}$，改写为 $4x^2-13x+7=0$，当 $x=1$ 或 $x=\frac{7}{4}$ 时成立。
9.$\frac{2x-5}{x-2}-\frac{1}{x+2}=x$，改写为 $3x^2-4x-3=0$，当 $x=\frac{1\pm\sqrt{13}}{3}$ 时成立。
10.$\frac{2x-1}{x+1}=1-\frac{1}{x+1}$，改写为 $x^2+3x-2=0$，当 $x=-3+\sqrt{11}$ 或 $x=-3-\sqrt{11}$ 时成立。
11.$\frac{x}{x+1}+\frac{x}{x-1}=2$，改写为 $2x^2-2x-1=0$，当 $x=\frac{1\pm\sqrt{3}}{2}$ 时成立。
12.$\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x+1}=\frac{4}{x^2-1}$，改写为 $3x^4-8x^2-5=0$，当 $x=\pm\sqrt{\frac{5}{3}}$ 或$x=\pm\sqrt{\frac{8}{3}}$ 时成立。
重难专题16 分式方程的解法专项训练(原卷版)
专题16 分式方程的解法专项训练1．解方程：2122x x x =+--．2．解方程：2123111x x x x-=+--．3．解分式方程13122--=--：x x x x4．解方程：11322x x x-+=---．5．解分式方程26124x x x -=--6．解方程：241111x x x +=---．7．解方程：3x x -253169x x x --=-+8．解方程：43(1)1x x x x +=--9．解方程：22122x x x-=--．10．解分式方程：315155x x x +=--．11．解方程：235011x x x --=--．12．解方程：2121x x x+=+．13．解分式方程：21142x x x =---14．解分式方程：14322x x x --=--15．解方程：121133x x x =-++．16．解方程：(1)313221x x +=--；(2)22111y y y -=--．17．解方程．(1)143x x =+；(2)31244x x x-=---．(1)143x x =+．(2)31222x x x +=+--．19．解方程：(1)5113x x =+-(2)21233x x x-+=--20．解方程：(1)232x x =+；(2)11322x x x-=---．21．解方程(1)322112x x x =---(2)214111x x x +-=--22．解方程(1)132x x =-(2)21233y y y-=---23．解方程(1)3222x x =+-(2)29472393x x x x +-=+--24．解方程：(1)33122x x x -+=--；(2)23321x x =--．25．解方程：(1)312x x x -=-．(2)2114232349x x x x -=+--．(1)23211x x x +=+-；(2)21233x x x-=---．27．解分式方程：(1)3513x x =++；(2)214111x x x +-=--．28．解方程：(1)121x x x+-=(2)21111x x x -=++29．解方程：(1)3211x x =+-；(2)29472393x x x x +-=+--．30．解分式方程：(1)100307x x =+；(2)21212339x x x -=+--．31．阅读与思考阅读下面的材料，解答后面的问题．解方程：1401x x x x --=-．解：设1x y x -=，则原方程可化为40y y -=，方程两边同时乘y 得240y -=，解得2y =±，经检验：2y =±都是方程40y y -=的解，\当2y =时，12x x-=，解得=1x -，当=2y -时，12x x-=-，解得13x =，经检验：=1x -或13x =都是原分式方程的解，\原分式方程的解为=1x -或13x =．上述这种解分式方程的方法称为“换元法”．问题：(1)若在方程中1021x x x x --=-，设1x y x -=，则原方程可化为________________．(2)模仿上述换元法解方程：1279021x x x ---=+-．32．观察下列方程及其解的特征：①12x x +=的解为121x x ==．②152x x +=的解为12x =，212x =．③1103x x +=的解为13x =，213x =； ．．．解答下列问题：(1)请猜想：方程1265x x +=的解为______；(2)请猜想：关于x 的方程1x x +=______的解为1x a =，21x a=(3)利用（2）的结论解方程：①11143x a x a +=-+++；②2112322234a a x x a+++=-．33．请阅读材料并求解：要使恒()122A B x x x x =-++成立，我们可以把1x =，=1x -分别代入上式，得方程组11211112A B A A B ì-=ïï+íï-=-ï--+î，解得1212A B ì=ïïíï=ïî，即()()1112222x x x x =-++.(1)请用上述方法将()()1221x x -+写成()()1221221A B x x x x =--+-+的形；(2)如何求解下面的分式方程：()()()11112242x x x x x+-=+++.34．阅读：解方程组：233114x y x y ì-=ïïíï+=ïî解：设1a x =，1b y =，则原方程组可变形为关于a b ，的方程组2334a b a b -=ìí+=î，∴解这个方程组得31a b =ìí=î，∴13x=，11y =，所以原方程组的解为 ．(1)把上面的解答过程补充完整： ．(2)仿照上述方法解方程组：2143213x y x yì-=ïïíï+=ïî．35．类比推理是一种推理方法，即根据两种事物在某些特征上的相似，作出它们在其他特征上也可能相似的结论．触类旁通，即用类比的方法提出问题及寻求解决问题中的途径和方法．观察下列计算过程：111112233445+++´´´´1111111112233445æöæöæöæö=-+-+-+-ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèøèø14155=-=这就是解稍复杂的计算中常用到的裂项相消法，即把每项恰当拆分，使得其中部分分数相互抵消，简化计算．阅读下面一道例题的解答过程：因式分解：232x x ++解：我们可以将3x 拆成x 和2x 即原式222x x x =+++()()22x x x =+++()()21x x =++在因式分解中，我们有时需要对多项式的某一项拆成两项或多项，其目的是使多项式能进行因式分解，像这样的方法称为拆项法．请用类比的方法，解决以下问题：(1)①已知111111111,,,12223233434=-=-=-××××××´´´，则依据此规律()11n n =+____；②请你利用拆项法进行因式分解：256x x ++=_____；(2)若,a b 满足22120a a a b -++-=，求()()()()()()()()1111111223320212021a b a b a b a b a b +++++×+×++×++×++×+L 的值；(3)受此启发，解方程222221111492011301342155628x x x x x x x x x +++=+++++++++．。
分式的基本性质专项练习30题(有答案)ok
分式的基本性质专项练习30题(有答案)ok1.如果将分式中的x、y都扩大到原来的10倍，分式的值会扩大10倍。
2.如果将分式中的x和y都扩大3倍，分式的值不变。
3.将分子、分母中各项系数化为整数不改变分式的值。
4.正确的是A。
5.正确的是B。
6.与分式的值相等的是B。
7.与分式的值相等的是D。
8.化简为9.化简为10.若x在(0,2)之间，化简后的结果为B。
11.正确的是C。
12.不改变分式13.正确的个数为B。
14.分子和分母的系数化为整数后，正确的变形有A、C、D。
15.不改变分式的值，使分子和分母的最高次项的系数为正数。
16.略17.不改变分式的值，将分式化简为18.若，则x的取值范围是19.分子与分母的各项系数化为整数为20.(1) 分式的乘法法则，(a≠)。
(2) 分式的除法法则，(1)除以一个数等于乘以它的倒数，(2)21.设22.略23.依次填入。
24.若x：y：z=1：2：1，则25.若 $a=b$，则 $a^2=ab$。
解析：对 $a^2=ab$ 两边同时减去 $b^2$，得到 $a^2-b^2=ab-b^2$，即 $(a-b)(a+b)=b(a-b)$，由于 $a=b$，所以 $a-b=0$，分母不能为 $0$，因此原等式不成立。
26.不改变分式的值，使分子、分母都不含负号：$\frac{-3x}{2y}$。
解析：将分子、分母同时乘以 $-1$，即可得到$\frac{3x}{-2y}$，化简后为 $\frac{-3x}{2y}$。
27.已知 $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，则$\frac{a+b}{b}=\frac{c+d}{d}$。
解析：将 $\frac{a+b}{b}$ 和 $\frac{c+d}{d}$ 分别化简，可得到 $\frac{a}{b}+1=\frac{c}{d}+1$，即$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，由已知条件可知其成立。
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分式专项练习题
一．选择题 (每小题4分，共40分）
1. 甲,乙两人分别从两地同时出发,若相向而行,则a 小时相遇;若同而行则b 小时甲追上乙,那么甲的速度是乙的速度的（ ）倍. Ａ.
b b a + Ｂ.b a b + Ｃ.a b a b -+ Ｄ.a b a
b +- 2. 若分式方程
a x a
x ax 则的解为,1323
4==++的值为 Ａ.１ Ｂ.２ Ｃ.３ Ｄ.４ 3. 下列各式的变形中，正确的是A. 2a a ab a a b -=- B. c b ac ab =--11 C. 1313-=--b a b a D. y
x
y x 255.0= 4. 要使分式x x ++
-1111
有意义，则x 的取值范围是A. x ≠－1 B . x ≠－2 C. x ≠－1且x ≠－2 D. x ≠1
5. 分式121
,11,121222++-+-a a a a a 的最简公分母是
Ａ.22)1(-a Ｂ.)1)(1(22+-a a Ｃ.)1(2+a Ｄ.4
)1(-a
6. 方程1
1112-=-x x 的解是 Ａ.１ Ｂ.－１ Ｃ.1± Ｄ.０ 7. 关于x 的方程a
b
x b x a -=++2(a ≠b)的解为 A. x=a －b B. x=a+b C. x=2ab D. x=b －a 8. 使分式
6
3
||2---x x x 没有意义的x 的取值是 A. ―3
B. ―2
C. 3或―2
D. ±3
9. 如果y x 32=,则2
2
32y
x 等于 Ａ.１ Ｂ.32 Ｃ.23 Ｄ.69 10. 满足方程：
x x x 的2
211-=-的值是 Ａ.１ Ｂ.２ Ｃ.０ Ｄ.没有 二.简答题 （每小题3分，共24分)
11. 某油库有汽油m 升,计划每天用去n 升,实际用油每天节约了d 升,这些油可以用 _________天,比原计划多用_________天
12. 一项工程,甲队单独干需x 天完成,乙队单独干需y 天完成,现在先由甲队干m 天,然后乙队再加入,合干n 天后,完成的工作量是_____.
13. 若
=-+-=++-mn x x x x n x m 则,)
2)(1(8
12_______. 14. 已知方程
x
x x --=-33
23有增根,则增根一定是_______. 15. “循环赛”是指参赛选手间都要互相比赛一次的比赛方式．如果一次乒乓球比赛有x 名选手报名参加，比赛方式采用“循环赛”，那么这次乒乓球比赛共有 场
16. 一公路全长s km,骑自行车ah 可到达,为了提前2h 到达,自行车每小时多行____km.．
17. 若
=++=+b
a a
b b a b a 则,111_______. 18. 已知应为的代数式表示用y x a
y a x ,110
,1-=
=_______. 三.解答题 （共56分)
19. 阅读并理解下面解题过程: 因为a 为实数，所以11,022≥+≥a a ，所以11
1
02
≤+<a . 请你解决如下问题: 求分式5
46422+-+-x x x x 的取值范围.
20. 已知02=-x y ,求代数式)
)(()
)((2
2222222y x y xy x y xy x y x -+++--的值？
21. 有这样一道题：“计算：x x
x 1
x 1x 1x 2x 22
2-+-÷-+-的值，其中x =2005。
”甲同学把“x =2005”错抄成 “x =2008”。
但他的计算结果也是正确的。
你说说这是怎么回事？
22. A 、B 两地相距64千米，甲、乙两人分别从A 、B 两地骑车相向而行，且甲比乙晚出发40分钟．如果甲比乙骑车每小时多行4千米，那么两人恰好在AB 中点相遇．求甲、乙两人骑车的速度各是多少千米/小时
23. 化简：2
32224
a
a a a a a ⎛⎫-÷ ⎪+--⎝⎭.
24. 下面两位同学做的两种变形,请你判断正误,并说明理由.
甲生：2
2
22)
()())((y x y x y x y x y x y x y x +-=++-=+-; 乙生：2
2
22)()
)(()(y
x y x y x y x y x y
x y x --=
-+-=
+-.
25. （1）已知0232
2
=-+y xy x （x ≠0，y ≠0），求xy
y x x y y x 2
2+--的值。
（2）已知0132
=+-a a ，求1
42
+a a 的值。
26. 甲、乙两地间铁路长2400千米, 经技术改造后, 列车实现了提速. 提速后比提速前速度增加20千米/时, 列车从甲地到乙地行驶时间减少4小时. 已知列车在现有条件下安全行驶的速度不超过140千米/时. 请你用学过的数学知识说明这条铁路在现有条件下是否还可以再次提速?
分专项练习题参考答案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Ｃ
Ｃ
C
C
Ａ
Ｄ
D
C
Ｃ
Ｃ
二.简答题答案: 11.
d n m - nd n md -2 12. y
n
x n m ++ 13. －42 14. x =3 15.
2)1(-x x 16. a s a s --2 17. －１18. 110-x 三.解答题答案:
19. 大于1小于等于2 20. 73 21. 因为：x
x x 1x 1x 1x 2x 222-+-÷-+-=()()()x x x x x x x --+⋅+--1
)1(1112
=x －x=0 原式的结果与x 的值无关，所以把x 的值抄错计算的结果也是正确的
22. 设乙骑车的速度是每小时x 千米，则甲骑车的速度是每小时（x +4）千米． （1分）
根据题意，得
60
40
43232=
+-x x ．…………………………………………………（5分） 整理，得019242=-+x x ．……………………………………………………（2分） 解得121=x ，162-=x ． ………………………………………………………（2分） 经检验：121=x ，162-=x 都是原方程的解，但16-=x 不符合题意，舍去．
∴原方程的解是12=x ．…………………………………………………………（1分） 答：乙骑车的速度是每小时12千米，甲骑车的速度是每小时16千米．……（1分）
23. 原式()()()()
()()32222222a a a a a a a a a --++-=+-
2分 22842a a
a a -==-. 5分 24. 甲生正确,因为原分式隐含0≠+y x ;乙生错误,因为y x -可能为零. 25. 分析：分式的化简求值，适当运用整体代换及因式分解可使问题简化。
略解：（1）原式＝x
y
2-
∵0232
2=-+y xy x ∴()()023=+-y x y x ∴y x 3
2
=
或y x -= 当y x 3
2
=
时，原式＝－3；当y x -=时，原式＝2 （2）∵0132
=+-a a ，a ≠0 ∴31=+a
a
∴142+a a ＝221a a +＝212
-⎪⎭⎫ ⎝
⎛+a a ＝232
-＝7
26. 设提速后列车速度为x 千米/时, 则:
42400
202400=--x
x (4分)
解之得: x 1=120 x 2=－100(舍去) (7分) 经检验x =120是原方程的根 ∵120<140 ∴仍可再提速
答: 这条铁路在现有条件下仍可再次提速. (9分)。