数列求通项公式典型例题及答案
数列求通项公式
1、累加法 ：
适用于：1()n n a a f n +=+ ----------这是广义的等差数列，累加法是最基本的二个方法之一。
例1.1 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。 【答案：2
n a n =】
例1.2 已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。【答案：3 1.n
n a n =+-】
练1.1 已知数列{}n a 的首项为1，且*12()n n a a n n N +=+∈写出数列{}n a 的通项公式.
【答案：12
+-=n n a n 】
练1.2 已知数列}
{n a 满足)2()
1(1
,311≥-+
==-n n n a a a n n ，求此数列的通项公式. 【答案：
n a n 12-
=】
2、累乘法
适用于： 1()n n a f n a += ----------这是广义的等比数列，累乘法是最基本的二个方法之二。
例2.1 已知数列{n a }中，n n a a a n n 2,
111+==+，求数列的通项公式。【答案：)(2
)
1(*∈+=N n n n a n 】 例2.2 已知数列{n a }中，n n a n na a )1(2,111+==+，求数列的通项公式。【答案：1
2
-=
n n n
a 】 练2.1【理科】 已知数列{}n a 满足112(1)53n
n n a n a a +=+⨯=，，求数列{}n a 的通项公式。
【答案：(1)1
2
32
5
!.n n n n a n --=⨯⨯⨯】
练2.2.设{}n a 是首项为1的正项数列，且
()0
112
21=+-+++n n n n a a na a n （n =1，2， 3，…），则它的通
项公式是n a =________.【答案：n
a n 1=】
3、待定系数法
适用于1()n n a qa f n +=+ 基本思路是转化为等差数列或等比数列，而数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。
3.1、形如)0(,1≠+=+c q pa a n n ,其中a a =1)型
（1）若p=1时，数列{
n a }为等差数列;
（2）若q=0时，数列{
n
a }为等比数列;
（3）若01≠≠且d c 时，数列{
n
a }为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求.
待定系数法：设)(1λλ+=++n n a p a , ,1
-=
p q λ 例3.1 已知数列{}n a 中，111,21(2)n n a a a n -==+≥，求数列{}n a 的通项公式。【答案：21n
n a =-】
练3.1练习．已知数列
}
{n a 中，
,2121,211+=
=+n n a a a 求通项n a 。【答案：1)21(1
+=-n n a 】
3.2、形如：
n
n n q a p a +⋅=+1 (其中q 是常数，且n ≠0,1)
①若p=1时，即：
n
n n q a a +=+1，累加即可.
②若1≠p 时，即：n n n q a p a +⋅=+1，求通项方法有以下三种方向：
i. 两边同除以1
+n p .目的是把所求数列构造成等差数列
即：
n n n
n n q p p q a p a )(111
⋅+=++,令
n n n p a b =，则
n
n n q p
p b b )(11⋅=-+,然后类型1，累加求通项. ii.两边同除以1+n q . 目的是把所求数列构造成等差数列。
即：
q
q a q p q a n n n n 1
11
+⋅=
++,令
n n
n q a b =
,则可化为
q b q p b n n 11+⋅=
+.然后转化为类型5来解，
iii.待定系数法：目的是把所求数列构造成等差数列
设
)
(11n n n n p a p q a ⋅+=⋅+++λλ.通过比较系数，求出λ，转化为等比数列求通项.
注意：应用待定系数法时，要求p ≠q ，否则待定系数法会失效。 例3.2 已知数列
{}
n a 满足
1112431
n n n a a a -+=+⋅=，，求数列
{}n a 的通项公式。
【答案：11
4352n n n a --=⋅-⋅】
3.3、形如
b
kn pa a n n ++=+1 (其中k,b 是常数，且0≠k )
通过凑配可转化为 )
)1(()(1y n x a p y xn a n n +-+=++-;
解题基本步骤：
①确定()f n =kn+b
②设等比数列
)
(y xn a b n n ++=，公比为p
③列出关系式
)
)1(()(1y n x a p y xn a n n +-+=++-,即
1
-=n n pb b
④比较系数求x,y ⑤解得数列
)
(y xn a n ++的通项公式6、解得数列
{}n a 的通项公式
例3.3 在数列
}
{n a 中，
,
23,111n a a a n n +==+求通项
n
a .【答案：
213251--⋅=
-n a n n 】
练3.3. 在数列{}n a 中，
362,2311-=-=
-n a a a n n ,求通项n a .【答案：96)21(9-+⋅=n a n
n 】
3.4、形如
c
n b n a pa a n n +⋅+⋅+=+21 (其中a,b,c 是常数，且0≠a )
基本思路是转化为等比数列，而数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。
例3.4 已知数列{}n a 满足2
1123451n n a a n n a +=+++=，，求数列{}n a 的通项公式。
【答案：42
231018n n a n n +=---】
3.5、形如21 n n n a pa qa ++=+时将n a 作为()f n 求解
分析：原递推式可化为211()() n n n n a a p a a λλλ++++=++的形式，比较系数可求得λ，数列{}1n n a a λ++为等比数列。 例3.5 已知数列
{}
n a 满足
211256,1,2
n n n a a a a a ++=-=-=，求数列
{}
n a 的通项公式。
【答案：
11
4352n n n a --=⋅-⋅】
练3.5 数列{}n a 中，若2,821==a a ,且满足03412=+-++n n n a a a ,求n a .【答案： n
n a 311-=】
4、对数变换法 适用于
r
n
n pa a =+1(其中p,r 为常数)型 p>0，
>n a
例4 设正项数列{}n a 满足11=a ，2
12-=n n a a （n ≥2）.求数列{}n a 的通项公式.
【答案：
1
2
1
2--=n n a 】
练4 数列
{}n a 中，11=a ，1
2
-=n n a a （n ≥2），求数列
{}n a 的通项公式.
【答案：n
n a --=2222】
5、倒数变换法 适用于分式关系的递推公式，分子只有一项
例5 已知数列{}n a 满足112,12n n n a a a a +=
=+，求数列{}n a 的通项公式。【答案：1
2
+=n a n 】
6、阶差法（逐项相减法）
6.1、递推公式中既有n S ，又有n a
分析：把已知关系通过11,1
,2n n
n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩转化为数列{}n a 或n S 的递推关系，然后采用相应的方法求
解。
例6.1 已知数列{}n a 的各项均为正数，且前n 项和n S 满足1
(1)(2)6
n n n S a a =
++，且249,,a a a 成等比数
列，求数列{}n a 的通项公式。【答案：32n a n =-】 练6.1 已知数列}{n a 中, 0>n a 且2)1(2
1
+=n n a S ,求数列}{n a 的通项公式.【答案：12-=n a n 】
6.2、对无穷递推数列
例6.2 已知数列{}n a 满足112311
23(1)(2)n n a a a a a n a n -==++++-≥，，求{}n a 的通项公式。
【答案：!
.2
n n a =】
求数列通项公式练习题(有答案)
求数列通项公式练习题(有答案) 1. 已知数列 a ₙ中, S ₙ是它的前n 项和。 S ₙ=3ⁿ,a ₙ=; 【答案】 a n ={3,n =12×3n−1,n ≥2 【解析】【分析】 本题考查利用数列的前n 项和的式子求数列的通项公式，利用 a n ={S 1,n =1S n −S n−1n ≥2 解决。属基础题。 【解答】 解: S n =3x |M| n =1B i ∗,a 1=S 1=32 n ≥2R 1+,a n =S n −S n−1=3n −3n−1=2×3n−1 x ₙ₋₁时不满足上式。 所以 a n ={3,n =12×3n−1,n ≥2 故答案为 a n ={3,n =12×3n−1,n ≥2 2. 若数列(a ₙ)的首项(a ₁=2. 11 a n+1=3a n +2(n ∈N ∗).令人一kg/d ɑ,+1). 则 b n +b 2+b 3++b 300=¯ . 【答案】5050 【解析】 【分析】 本题考查数列的选择公司，考查等比数列，等差数列的性质，属于中档题。 推导出 a ₙ+1是首项为3，公比为3的等比数列，从而得 b ₙ=log₂3ⁿ=n,由此能求出 b 1+b 2+b 3+⋯+b 100 【解答】 解: ∵数列{a ₙ}的首项a ₁=2. 且 a n+1=3a n +2(n ∈N ∗, Aa ₙ₊₁+1=3(a ₙ+1),a₁+1=3−3,a ₙ₊₁ A.[a ₙ+1]是首项为3，公比为3的等比数列。 xa ₙ+1=3′,
∴b₁₄=log₂₇(a ₙ+1)=log₂₂3¹¹=n!, ab 1+b 2+b 3++b 100=1+2+3++10 =100(100+1)2=505C. 故答案为5050. 3. 若数列{a ₙ}满足: a 1=12,a n+1=n+12n a n (n ∈N ∗)所[a ₙ]的通项公式 a ₙ=. 【答案】: 【解析】【分析】 本道试题主要是考查了数列的遥推公式的应用，还考查了等比数列的通项公式的应用。由已知可得 a n+1n+1=12⋅a n n 所以数列 {a n n }是等比数列，求出 a n n ,再求 a ₙ即可. 【解答】 解: 因 为 a n+1=n+12n a n ,a 1=12 所以 a n+1n+1=12⋅a n n ,a 11=12, 所以数列 {a n n }是 12为首项 12为公比的等比数列。 所以 a n π=12×(12 )n−1=(12)n , 所以 a n =n (12)n =n 2. 故答案为 π2n . 4. 数列(a ₙ)中, a₁=2⋅a ₙ₊₁=a ₙ+cn 是常数. n =1,2,3,],Jara ₂·a ₃成公比不为1的等比数列. (1)求c 的值: (2)求{a ₙ}的通项公式. 【答案】解: (1)a ₁=2. a ₂=2+6a ₃=2+36 因为a, az,a,成等比数列. 所以((2+c)²=2(2+3c) 解得c=0或c=2. 当c=0时. a ₁=a ₂=a ₂ 不符合题意舍去，故 C=2. (2)m ≥2时,由于 a₂−a₁=c,a₃−a₂=2c,a ₙ−a ₙ₋₁=(n −1)c, 所以 a n −a 1=[1+2++(n −1)]c =n (n−1)2 c.
数列求通项公式例题解析
题型1 已知数列前几项求通项公式 此题主要通过学生观察、试验、合情推理等活动，且在此基础上进一步通过比较、分析、概括、证明去揭示事物的本质，从而培养学生数学思维能力．相对于填空题或是选择题只需利用不完全归纳法进行猜想即可；对于解答题，往往还需要我们进一步加以证明． 1. 在某报《自测健康状况》的报道中，自测血压结果与相应年龄的统计数据如下表． 观 察表中数据的特点，用适当的数填入表中空白（ ）内． 年龄（岁） 30 35 40 45 50 55 60 65 收缩压（水银柱 毫米） 110 115 120 125 130 135 （140）145 舒张压（水银柱 毫米） 70 73 75 78 80 83 （ 85）88 2. 根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，猜测第n 个图中有__n 2-n+1_个点． （1） （2） （3） （4） （5） 题型2 由a n 与S n 的关系求通项公式 3. 已知数列{}n a 的前n 项和2 1()2 n S n n = +，则n a = n ． 4. 已知数列{}n a 的前n 项和32n n S =+，则n a = 152n -??? 12n n =≥， ， ． 这类题目主要注意n s 与n a 之间关系的转化．即： n a =11n n S S S -??-≥? (n=1) (n 2) 一般已知条件中含a n 与S n 的关系的数列题均可考虑用上述公式． 点评：利用公式???≥???????-=????????????????=-21 1n S S n S a n n n n 求解时，要注意对n 分类讨论，但若能合写时 一定要合并． 题型3定义法 直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的题目． 已知数列递推公式求通项公式 5. 已知数列{}n a 的首项11a =，且13(2)n n a a n -=+≥，则n a = 3n-2 ． 6. 已知数列{}n a 的首项11a =，且13(2)n n a a n -=≥，则n a = 1 3n - ． 7. 等差数列}a {n 是递增数列，前n 项和为n S ，且9 31a ,a ,a 成等比数列，2 55a S =．求 数列}a {n 的通项公式 解：设数列}a {n 公差为)0d (d > 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。
专题一 数列通项公式的求法含答案
专题一 数列通项公式的求法 各种数列问题在很多情形下，就是对数列通项公式的求解。特别是在一些综合性比较强的数列问题中，数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。本节总结几种求解数列通项公式的方法。 一、用观察法求数列的通项： 例1：根据数列的前几项，写出它的一个通项公式； （1） 1716 ,109,54,21 （2） 1,0,,0 1 （3） 32 31,1615,87,43 二、定义法： 直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的题目． 例2．等差数列{}n a 是递增数列，前n 项和为n S ， 且931,,a a a 成等比数列，2 55a S =．求数列{}n a 的 通项公式. 解：设数列{}n a 公差为)0(>d d ∵931,,a a a 成等比数列，∴9123 a a a =， 即)8()2(1121d a a d a +=+d a d 12=? ∵0≠d ， ∴d a =1………………………………① ∵ 2 5 5a S = ∴ 2 11)4(2 455d a d a +=??+ …………② 由①②得：5 31= a ，5 3 = d ∴n n a n 5 3 53)1(53=?-+= 点评：利用定义法求数列通项时要注意不用错 定义，设法求出首项与公差（公比）后再写出通项。 三、公式法 若已知数列的前n 项和n S 与n a 的关系，求数列 {} n a 的通项 n a 可用公式 ???≥???????-=????????????????=-2 111n S S n S a n n n 求解。 例3：已知数列{}n a 的前n 项和为322 ++=n n S n ， 求数列的通项公式。（名49例2） 变式训练：已知数列{}n a 的前n 项和为 323 -= n n a S ，求数列的通项公式。（名师一号P70） 点评：利用公式???≥???????-=????????????????=-2 1 1n S S n S a n n n n 求解 时，要注意对n 分类讨论，但若能合写时一定要合并． 四、累加法 形如1()n n a a f n --= (n=2、3、4…...) 且 (1)(2)...(1)f f f n +++-可求，则用累加法 求n a 。有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解。 例4：在数列{n a }中，1a =1， 11n n a a n --=- (n=2、3、4……) ，求{n a }的通项公式。 解：∵111n a ==时， 213243121 2 3.......1n n n a a a a a a a a n -≥-=? ? -=?? -=??? -=-?? 时, 这n-1个等式累加得： 112...n a a -=+++（n-1）= (1)2 n n -
数列求通项公式典型例题及答案
数列求通项公式 1、累加法 ： 适用于：1()n n a a f n +=+ ----------这是广义的等差数列，累加法是最基本的二个方法之一。 例1.1 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。 【答案：2 n a n =】 例1.2 已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。【答案：3 1.n n a n =+-】 练1.1 已知数列{}n a 的首项为1，且*12()n n a a n n N +=+∈写出数列{}n a 的通项公式. 【答案：12 +-=n n a n 】 练1.2 已知数列} {n a 满足)2() 1(1 ,311≥-+ ==-n n n a a a n n ，求此数列的通项公式. 【答案： n a n 12- =】 2、累乘法 适用于： 1()n n a f n a += ----------这是广义的等比数列，累乘法是最基本的二个方法之二。 例2.1 已知数列{n a }中，n n a a a n n 2, 111+==+，求数列的通项公式。【答案：)(2 ) 1(*∈+=N n n n a n 】 例2.2 已知数列{n a }中，n n a n na a )1(2,111+==+，求数列的通项公式。【答案：1 2 -= n n n a 】 练2.1【理科】 已知数列{}n a 满足112(1)53n n n a n a a +=+⨯=，，求数列{}n a 的通项公式。 【答案：(1)1 2 32 5 !.n n n n a n --=⨯⨯⨯】 练2.2.设{}n a 是首项为1的正项数列，且 ()0 112 21=+-+++n n n n a a na a n （n =1，2， 3，…），则它的通 项公式是n a =________.【答案：n a n 1=】
数列的通项公式练习题(通项式考试专题)
数列求通项公式 A 组 1.在数列｛n a ｝中，1a =1, (n+1)·1+n a =n ·n a ，求n a 的表达式。 2.已知数列{}n a 中，3 1 1=a ，前n 项和n S 与n a 的关系是 n n a n n S )12(-= ，试求通项公式n a 。 3.已知数}{n a 的递推关系为43 2 1+= +n n a a ，且11=a 求通项n a 。 4.在数列{}n a 中，11=a ,22=a ，n n n a a a 3 1 3212+= ++，求n a 。 5.已知数列｛n a ｝中11=a 且1 1+= +n n n a a a （N n ∈），，求数列的通项公式。 6.已知数列{}a n 的前n 项和S n b n n =+()1，其中{}b n 是首项为1，公差为2的等差数列. （1）求数列{}a n 的通项公式； 7.已知等差数列{a n }的首项a 1 = 1，公差d > 0，且第二项、第五项、第十四项分别是等比数列{b n }的第二项、第三项、第四项．（Ⅰ）求数列{a n }与{b n }的通项公式； 8.已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且满足322-=+n a S n n )(*N n ∈． （Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式； 9.设数列{}n a 满足2 1 123333 3 n n n a a a a -++++= …，n ∈* N ．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项； 10.数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，* 12()n n a S n +=∈N ．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项n a ；
数列通项公式经典题型(含详细答案)
1.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且 1(1) 4,2,(2,)2n n n n a S na n n -==+- ≥∈N *则 数列{}n a 的通项公式； 4,(1) 1.(2,)n n a n n n =?=?+≥∈?N * 2.设数列{}n b 的前n 项和为n S ，且22n n b S =-则 数列{}n b 的通项公式n n b 31 2? = 3.设数列}{n a 的前n 项和为S n =2n 2，}{n b 为等比数列，且.)(,112211b a a b b a =-=则}{n b 的通项公式；. 4 2}{,4 121 1 11---=? -=n n n n n n b b q b b 的通项公式为即 4.已知等比数列}{n a 的前n 项和为S n =K ·2n +m ，k ≠0,且a 1=3. ,n n a n b =数列}{n b 的通 项公式)2 23221(31,23121--++++=?== n n n n n n T n a n b 5.已知各项均为正数的数列{}n a 满足22* 1120()n n n n a a a a n N ++--=∈且32a +是2a 、4a 的 等差中项，则数列{}n a 的通项公式n a 2n n a = 6.在数列{}n a 中，1111,30(2)n n n n a a a a a n --=+-=≥．则数列{}n a 的通项1 32n a n = - 7.已知数列{}n a 满足：123,(1,2,3,)n n a a a a n a n ++++=-=则数列{}n a 的通项公 式11()2 n n a =-， 8已知数列{}n a 的前n 项积 123n a a a a T =２ ｎ＋ｎ２ ｎ．．．则{}n a 通项公式a ｎ ｎ ＝３ 9.数列 {} n a 满足01=a ，n n a n a n n 3 2)33(1+++= +.则{}n a 通项公式 n a 131-?=-n n n a ； 10.已知数列{}n a 中，0122,3,6a a a ===，且对3n ≥时，有 12(4)4(48)n n n n a n a n a n a ---=+-+ -数 列{} n b 的通项公
求数列通项公式的十种方法(例题+详解)
求数列通项公式的十种方法 一、公式法 例1 已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+?，12a =，求数列{}n a 的通项公式。 解：1232n n n a a +=+?两边除以12n +，得 113222n n n n a a ++=+，则113 222 n n n n a a ++-=，故数列{}2n n a 是以1 2 22a 11==为首项，以23 为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得31(1)22n n a n =+-，所以数列{}n a 的通项公式为31()222 n n a n =-。 评注：本题解题的关键是把递推关系式1232n n n a a +=+?转化为 113 222 n n n n a a ++-=，说明数列{}2n n a 是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出31(1)22n n a n =+-，进而求出数列{}n a 的通项公式。 二、利用 { 1(2)1(1) n n S S n S n n a --≥== 例2．若n S 和n T 分别表示数列{}n a 和{}n b 的前n 项和，对任意正整数 2(1)n a n =-+，34n n T S n -=.求数列{}n b 的通项公式； 解： 22(1)4 2 31a n a d S n n n n =-+∴=-=-=-- 23435T S n n n n n ∴=+=--……2分 当1,35811n T b ===--=-时 当2,626 2.1n b T T n b n n n n n ≥=-=--∴=---时……4分 练习：1. 已知正项数列{a n }，其前n 项和S n 满足10S n =a n 2+5a n +6且a 1,a 3,a 15成等比数列，求数列{a n }的通项a n 解: ∵10S n =a n 2+5a n +6， ① ∴10a 1=a 12+5a 1+6，解之得a 1=2或a 1=3 又10S n －1=a n －12+5a n －1+6(n ≥2)，② 由①－②得 10a n =(a n 2－a n －12)+6(a n －a n －1)，即(a n +a n －1)(a n －a n －1－5)=0 ∵a n +a n －1>0 ， ∴a n －a n －1=5 (n ≥2) 当a 1=3时，a 3=13，a 15=73 a 1， a 3，a 15不成等比数列∴a 1≠3; 当a 1=2时， a 3=12， a 15=72， 有 a 32=a 1a 15 ， ∴a 1=2， ∴a n =5n －3 三、累加法
求数列的通项公式(例题+习题)
三.数列的通项的求法 1.定义法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。 例1．等差数列{}n a 是递增数列，前n 项和为n S ，且931,,a a a 成等比数列， 2 55a S =．求数列{}n a 的通项公式. 2.公式法：已知n S （即12()n a a a f n +++= ） 求n a ，用作差法：{ 11,(1),(2)n n n S n a S S n -==-≥。 点评：利用公式⎩⎨⎧≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-21 1 n S S n S a n n n n 求解时，要注意对n 分类讨论，但若 能合写时一定要合并． 练一练：①已知{}n a 的前n 项和满足2log (1)1n S n +=+，求n a ； ②数列{}n a 满足111 5 4,3n n n a S S a ++=+= ，求n a ； 3.作商法：已知12()n a a a f n = 求n a ，用作商法：(1),( 1)(),(2)(1)n f n f n a n f n =⎧⎪=⎨≥⎪-⎩。 如数列}{n a 中，,11=a 对所有的2≥n 都有2 321n a a a a n = ，则=+53a a ______ ； 4.累加法： 若1()n n a a f n +-= 求n a ：11221()()()n n n n n a a a a a a a ---=-+-++- 1a +(2)n ≥。 例3. 已知数列{}n a 满足211=a ，n n a a n n ++=+11 ，求n a 。 解：由条件知：1 1 1)1(1121+-=+=+=-+n n n n n n a a n n 如已知数列{}n a 满足11a =，n n a a n n ++= --11 1(2)n ≥，则n a =________ ； 5.累乘法：已知1()n n a f n a +=求n a ，用累乘法：121121 n n n n n a a a a a a a a ---=⋅⋅⋅⋅ (2)n ≥。 例4. 已知数列{}n a 满足321=a ，n n a n n a 11+= +，求n a 。 解：由条件知1 1+=+n n a a n n ，分别令)1(,,3,2,1-⋅⋅⋅⋅⋅⋅=n n ，代入上式得 )1(-n 个等式累乘之，即 如已知数列}{n a 中，21=a ，前n 项和n S ，若n n a n S 2 =，求n a 数列通项公式课后练习 1已知数列 {}n a 中，满足a 1＝６，a 1+n +1=2(a n +1) （n ∈N +）求数列{}n a 的通项公式。 2已知数列{}n a 中，a n ＞0,且a 1＝３，1+n a ＝n a ＋１ （n ∈N +） 3已知数列 {}n a 中，a 1＝３，a 1+n ＝2 1a n ＋１（n ∈N +）求数列{}n a 的通项公式 4已知数列{}n a 中，a 1＝１，a 1+n ＝3a n ＋２，求数列{}n a 的通项公式 5已知数列 {}n a 中，a n ≠０，a 1＝21，a 1+n ＝ n n a a 21+ （n ∈N +） 求a n 6设数列{}n a 满足a 1=4，a 2=2，a 3=1 若数列{}n n a a -+1成等差数列，求a n
数列通项公式求法及答案
数列通项公式、求和的常见题型 一、定义法 例题1：(1) 在数列{n a }中，若21=a ，31-=+n n a a , 则n a = 等差数列定义：公差31-=-=+n n a a d ，)3()1(2-?-+=n a n ＝n+5 (2) 在数列{n a }中，若21=a ，n n a a 31=+, 则n a = 等比数列定义：公差31 ==+a a n n q ，3 21 -?=n n a 练习 若数列的递推公式为1111 3, 2()n n a n a a +==-∈ ，则求这个数列的通项公式。 （n a n 673 -=） 二、公式法 已知数列的前n 项和n S 与n a 的关系，求数列{}n a 的通项n a 可用公式 ?? ?≥???????-=????????????????=-2 1 11n S S n S a n n n 求解. 例2．①已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足1,32≥+=n a S n n ．求数列{}n a 的通项公式. （注意11a S = , 123-?-=n n a ） ②已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足122+-=n n S n ，求数列{}n a 的通项公式. 应用 1--=n n n s s a 得=n a 4n-2 ③ 已知等比数列{}n a 的首项11=a ，公比10< 求数列通项公式的十种方法 一.公式法 例1已知数列｛勺｝满足d”|=2勺+3x2", q=2,求数列｛勺｝的通项公式。 扌，故数列｛影｝是 以沪知为首项，以扌为 公差的等差数列，由等差数列的通项公式， 畤“+心)|, 3 1 所以数列｛©｝的通项公式为a n =(-n —)2\ 2 2 评注：本题解题的关键是把递推关系式。心=2©+3><2”转化为增一牛=3,说明数列 2 2 2 ｛*｝是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出*=1+5—1)_,进而求出数列 2 2 2 ｛q r ｝的通项公式。 例2.若S”和7；分别表示数列｛©｝和0｝的前"项和，对任意正整数 a n =-2(n + l), T n -3S n =4n.求数列｛ b K ｝的通项公式； 解：•/ a fj = -2(n + I) /. “] = -4 cl = -2 = 一昇 一 3n .・.坊=3»+4"=-3舁2_5加 2 分 当 ”=1 时,7j 訥=—3—5=—8 当 n>2^\,b f J =T f J —7^2—1 =-6/2—2 ........... . ^=—6/2—2. 4 分 I 练习：1.已知正项数列｛an ｝,其前n 项和Sn 满足10Sn=an 2+5a n +6且a 】,a3,a 】5成等 比数列，求数列｛%｝的通项％. 解：T 105>訂+5/+6, ① ・：108产日「+5/+6,解之得创=2或力产3, 又 10$-产②-：+5②T +6(〃$2),② 由①—②得 10a = (a^—a…-i 2) +6(a…—a…-x ),即(8”+$Q (%—/一】—5) =0 T 色+/_1>0 , 二 a :—乔产5 (77^2) • 当 ai =3 时，a.\— 13* ^i5=73. EL \* 越，去不成等比数列Si^3； 当 ai —2 时» 3.\— 12 9 ai5=72,有 &3 二日15 、 二2, • • @7二5/7 —3, 三、累加法 例3已知数列｛©｝满足如=©+2几+ 1, q=l,求数列｛©｝的通项公式。 解:由 a n+i = a n + 2n +1 得 % - a n =2n + l 则 解：^,=2^l+3x2H 两边除以2n+,.得勞=令+ £，则"^ 利用色 S](心 1) S“一S”]g2) 1.已知数列中，是它的前n项和，，__________________． 【答案】 【解析】【分析】 本题考查利用数列的前n项和的式子求数列的通项公式，利用解决，属基础题． 【解答】 解：则： 当时，； 当时，， 又时不满足上式， 所以． 故答案为． 2.若数列的首项，且，令，则 _________． 【答案】5050 【解析】【分析】 本题考查数列的递推公司，考查等比数列，等差数列的性质，属于中档题． 推导出是首项为3，公比为3的等比数列，从而得，由此能求出 ． 【解答】 解：数列的首项，且， ，， 是首项为3，公比为3的等比数列， ， ， ． 故答案为5050． 3.若数列满足：，，则的通项公式______． 【答案】 【解析】【分析】 本道试题主要是考查了数列的递推公式的应用，还考查了等比数列的通项公式的应用． 由已知可得，所以数列是等比数列，求出，再求即可． 【解答】 解：因为， 所以，， 所以数列是为首项为公比的等比数列， 所以， 所以． 故答案为． 4.数列中，，是常数，，2，3，，且，，成公 比不为1的等比数列． 求c的值； 求的通项公式． 【答案】解：，，， 因为，，成等比数列， 所以， 解得或． 当时，，不符合题意舍去，故． 当时，由于，，， 所以． 又，，故3，． 当时，上式也成立， 所以2， 5.设是数列的前n项和，已知，． 求数列的通项公式； 设，求数列的前n项和．【答案】解：因为， 所以当时，， 两式相减得， 所以， 又， 所以数列为首项为1，公比为的等比数列， 故 由可得， 所以， 故当n为奇数时，， 当n为偶数时，， 综上故． 6.已知数列满足，且，． 求证：是等比数列； 求数列的通项公式． 【答案】解：证明：由已知得：，因为， 所以， 所以是以为首项，为公比的等比数列； 解：由知，是以为首项，为公比的等比数列， 所以， 所以，． 第三节 数列的通项公式和前n 项和公式 题型80、数列求通向公式 ❖ 典型例题精讲精练： 80.1、累加法 ： ➢ 适用于：)(1n f a a n n +=+， 这是广义的等差数列，累加法是最基本的二个方法之一。 1. 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。 【答案：2 n a n =】 2. 已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。【答案：3 1.n n a n =+-】 3. 已知数列{}n a 的首项为1，且 *12() n n a a n n N +=+∈写出数列 {}n a 的通项公式. 【答案：12 +-=n n a n 】 4. 已知数列}{n a 满足)2()1(1,311≥-+ ==-n n n a a a n n ，求此数列的通项公式. 【答案：n a n 1 2-=】 80.2、累乘法： 适用于：n n a n f a )(1=+，这是广义的等比数列，累乘法是最基本的二个方法之二。 5. 已知数列{n a }中，n n a a a n n 2, 111+==+，求数列的通项公式。【答案：)(2 ) 1(*∈+=N n n n a n 】 6. 已知数列{n a }中，n n a n na a )1(2,111+==+，求数列的通项公式。【答案：1 2-=n n n a 】 7. 设{}n a 是首项为1的正项数列，且()0112 21=+-+++n n n n a a na a n （n =1，2， 3，…），则它的通项公 式是n a =________.【答案：n a n 1=】 数列求通项的七种方法及例题 数列求通项的7种方法及例题： 1. 已知首项和公比法： 设数列{an}中，a1为首项，q为公比，则an = a1 × q^(n-1)。 例如：已知数列{an}中，a1=2，q=3，求a5。 答案：a5=2×3^4=2×81=162 2. 已知前n项和法： 设数列{an}中，Sn为前n项和，则an = S0 + S1 + S2 +···+ Sn-1 - (S1 + S2 +···+ Sn-1) = S0。 例如：已知数列{an}中，S2=6，S4=20，求a3。 答案：a3 = S2 - (S2 - S1) = 6 - (6 - 2) = 8 3. 等差数列的通项公式： 设数列{an}为等差数列，d为公差，则an = a1 + (n-1)d。 例如：已知数列{an}为等差数列，a1=2，d=4，求 a5。 答案：a5 = 2 + (5-1)4 = 18 4. 等比数列的通项公式： 设数列{an}为等比数列，q为公比，则an = a1 × q^(n-1)。 例如：已知数列{an}为等比数列，a1=2，q=3，求 a5。 答案：a5=2×3^4=2×81=162 5. 三项和平均数法： 设数列{an}中，Sn = a1 + a2 + a3 +···+ an，则an = Sn/n。 例如：已知数列{an}中，S4=20，求a3。 答案：a3 = S4/4 = 20/4 = 5 6. 泰勒公式法： 对于一般的数列，可以使用泰勒公式进行求通项。 例如：已知数列{an}中，a1=2，且当n→∞ 时，an → 0，求a4。 答案：使用泰勒公式，a4 = a1 + (n-1)(a2 - a1)/1! + (n-1)(n-2)(a3 -2a2 + a1)/2! + (n-1)(n-2)(n-3)(a4 - 3a3 + 3a2 - a1)/3! = 2 + 3(2 - 2)/1! + 3(3 - 2)(3 - 4)/2! + 3(3 - 2)(3 - 4)(3 - 5)/3! = 2 + 3(0)/1! + 3(1)(-1)/2! + 3(1)(-1)(-2)/3! = 2 - 3/2 - 3/4 + 3/6 = 2 - 1/8 7. 斐波那契数列法： 斐波那契数列是一种特殊的数列，它的通项公式可以写作 an = an-1 + an-2。 常见递推数列通项公式的求法典型例题及习题 【典型例题】 [例1] b ka a n n +=+1型。 （1）1=k 时，}{1n n n a b a a ⇒=-+是等差数列，)(1b a n b a n -+⋅= （2）1≠k 时，设)(1m a k m a n n +=++ ∴ m km ka a n n -+=+1 比较系数：b m km =- ∴ 1-= k b m ∴ }1{-+ k b a n 是等比数列，公比为k ，首项为11-+k b a ∴ 11)1(1-⋅-+=-+ n n k k b a k b a ∴ 1)1(11--⋅-+=-k b k k b a a n n [例2] )(1n f ka a n n +=+型。 （1）1=k 时，)(1n f a a n n =-+，若)(n f 可求和，则可用累加消项的方法。 例：已知}{n a 满足11=a ，)1(1 1+= -+n n a a n n 求}{n a 的通项公式。 解： ∵ 11 1)1(11+- =+= -+n n n n a a n n ∴ n n a a n n 1111--= -- 112121---=---n n a a n n 21 3132-- -=---n n a a n n …… 312123-= -a a 21112-=-a a 对这（1-n ）个式子求和得： n a a n 111- =- ∴ n a n 1 2- = （2）1≠k 时，当b an n f +=)(则可设)()1(1B An a k B n A a n n ++=++++ ∴ A B k An k ka a n n --+-+=+)1()1(1 ∴ ⎩⎨⎧=--=-b A B k a A k )1()1( 解得：1-=k a A ，2 )1(1-+-=k a k b B ∴ }{B An a n ++是以B A a ++1为首项，k 为公比的等比数列 ∴ 1 1)(-⋅++=++n n k B A a B An a ∴ B An k B A a a n n --⋅++=-11)( 将A 、B 代入即可 （3）n q n f =)(（≠q 0，1） 等式两边同时除以1 +n q 得q q a q k q a n n n n 1 11+⋅=++ 令 n n n q a C = 则q C q k C n n 1 1+ =+ ∴ }{n C 可归为b ka a n n +=+1型 [例3] n n a n f a ⋅=+)(1型。 （1）若)(n f 是常数时，可归为等比数列。 （2）若)(n f 可求积，可用累积约项的方法化简求通项。 例：已知： 311= a ，1121 2-+-=n n a n n a （2≥n ）求数列}{n a 的通项。 解：123537532521232121212233 2211+= ⋅--⋅--⋅+-=⋅⋅⋅-----n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n ∴ 1211231+= +⋅ =n n a a n [例4] 11 --+⋅⋅ =n n n a m a m k a 型。 求数列通项公式 一、公式法 类型1 )(1n f a a n n +=+ 解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解。 例1 已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+⨯，12a =，求数列{}n a 的通项公式。 解：1232n n n a a +=+⨯两边除以1 2 n +，得 113222n n n n a a ++=+，则113 222 n n n n a a ++-=，故数列{}2n n a 是以1 2 22a 11==为首项，以23 为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得31(1)22n n a n =+-，所以数列{}n a 的通项公式为31()222 n n a n =-。 评注：本题解题的关键是把递推关系式1232n n n a a +=+⨯转化为 11 3 222 n n n n a a ++-=，说明数列{}2n n a 是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出31(1)22n n a n =+-，进而求出数列{}n a 的通项公式。 练习题： 1.已知数列{}n a 满足1132313n n n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。 2. 已知数列{}n a 满足211= a ，n n a a n n ++=+211，求n a 例2 已知数列{}n a 满足1121 1n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。 解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则 11232211 2 ()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)12[(1)(2)21](1)1 (1)2(1)1 2 (1)(1)1n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n n n n n n ---=-+-++-+-+=-++-+++⨯++⨯++=-+-++++-+-=+-+=-++= 所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =。 评注：本题解题的关键是把递推关系式121n n a a n +=++转化为121n n a a n +-=+，进而求出11232211()()()()n n n n a a a a a a a a a ----+-++-+-+，即得数列{}n a 的通项公式。 二、累乘法 类型2 n n a n f a )(1=+ 解法：把原递推公式转化为 )(1 n f a a n n =+，利用累乘法(逐商相乘法)求解。 例3 已知数列{}n a 满足112(1)53n n n a n a a +=+⨯=，，求数列{}n a 的通项公式。 解：因为112(1)53n n n a n a a +=+⨯=，，所以0n a ≠，则 1 2(1)5n n n a n a +=+，故1 32 112 21 12211(1)(2)21 (1)1 2 [2(11)5][2(21)5][2(21)5][2(11)5]32[(1)32]53 32 5 ! n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n -------+-+++--= ⋅⋅⋅ ⋅⋅=-+-+⋅⋅+⨯+⨯⨯=-⋅⋅⨯⨯⨯=⨯⨯⨯ 所以数列{}n a 的通项公式为(1)1 2 32 5 !.n n n n a n --=⨯⨯⨯ 评注：本题解题的关键是把递推关系12(1)5n n n a n a +=+⨯转化为 1 2(1)5n n n a n a +=+，进而求出 1 32 112 21 n n n n a a a a a a a a a ---⋅⋅⋅ ⋅⋅，即得数列{}n a 的通项公式。 专题十一：数列求通项公式（例、练及答案）1．累加、累乘法 例1：数列满足：，且，求． 2．与的关系的应用 例2：在数列中，，，则的通项公式为_________．3．构造法 例3：数列中，，，求数列的通项公式． 练习 一、单选题 1．由，给出的数列的第34项是（） A ． B ．100 C ． D ． 2．数列满足，，则等于（） A ． B ． C ．2 D ．3 3．在数列中，若，且对任意正整数、，总有，则的前项和为（） A ． B ． C ． D ． 4．数列的前项和为，若，则的值为（） A ．2 B ．3 C ．2017 D ．3033 5．已知数列是递增数列，且对，都有，则实数的取值范围是（） A ． B ． C ． D ． 6．在数列中，已知，，，则等于（） A ． B ． C ． D ． 7．已知数列的前项和，若，，则（） A ． B ． C ． D ． 8．已知是上的奇函数，，则数列的通项公式为（） A ． B ． C ． D ． 9．在数列中，若，，则的值（） A ． B ． C ． D ． 11a =131 n n n a a a +=+{}n a 1100 34 103 14 {}n a 11 2 a =11 1n n a a +=- 2018a 12 1-{}n a 12a =m k m k m k a a a +=+{}n a n n S =()31n n -()32 n n +()1n n +()312 n n +{}n a n n S () 21n S n n *=-∈N 2017a {}n a n *∈N 2n a n n λ=+λ72⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭ ,()1-+∞,()2-+∞,()3-+∞,{}n a 12a =1 122 n n n a a a --=+()2n ≥n a 2 1 n +2n 3n 3 1 n +{}n a n n S 11a =11 3 n n S a +=7a =74534⨯634⨯641+()122F x f x ⎛ ⎫=+- ⎪⎝ ⎭R ()()1101n n a f f f f n n -⎛⎫⎛⎫=+ +++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ L n *∈N {}n a n a n =()21n a n =+1n a n =+223n a n n =-+{}n a 10a =12n n a a n +-=23111 n a a a +++L 1 n n -1 n n +1 1 n n -+1 n n + 一． 观察法之答禄夫天创作 例1：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式： （1）9，99，999，9999，…（2） ,17 16 4,1093 ,5 42,2 11（3） ,5 2,2 1,3 2 , 1（4） ,5 4 ,43, 32,21-- 解：（1）变形为：101 －1，102 ―1，103 ―1，104 ―1，……∴通项公式为：110-=n n a （2）;1 22 ++=n n n a n （3）;1 2+= n a n （4）1 )1(1+⋅ -=+n n a n n .点评：关键是找出各项与项数n 的关系。 二、公式法：当已知条件中有a n 和s n 的递推关系时，往往利用公式： a n ＝1* 1 (1)(2,)n n s n s s n n N -=⎧⎪⎨-≥∈⎪⎩来求数列的通项公式。 例1： 已知数列{a n }是公差为d 的等差数列，数列{b n }是公比为q 的(q ∈R 且q ≠1)的等比数列，若函数f (x ) = (x －1)2 ，且a 1 = f (d －1)，a 3 = f (d +1)，b 1 = f (q +1)，b 3 = f (q －1)，(1)求数列{ a n }和{ b n }的通项公式； 解：(1)∵a 1=f (d －1) = (d －2)2 ，a 3 = f (d +1)= d 2 ，∴ a 3－a 1=d 2－(d －2)2=2d ， ∴d =2，∴a n =a 1+(n －1)d = 2(n －1)；又b 1= f (q +1)= q 2 ，b 3 =f (q －1)=(q －2)2 ， ∴2 2 13)2(q q b b -= =q 2，由q ∈R ，且q ≠1，得q =－2，∴b n =b ·q n － 数列通项公式的十种求法 一、公式法 例1 已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+⨯，12a =，求数列{}n a 的通项公式。 解：1232n n n a a +=+⨯两边除以1 2 n +，得 113222n n n n a a ++=+，则113222n n n n a a ++-=，故数列{}2 n n a 是以1222a 11==为首项，以23 为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得31(1)22 n n a n =+-，所以数列{}n a 的通项公式为31()222 n n a n =-。 评注：本题解题的关键是把递推关系式1232n n n a a +=+⨯转化为 11 3 222 n n n n a a ++-=，说明数列{}2n n a 是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出31(1)22 n n a n =+-，进而求出数列{}n a 的通项公式。 二、累加法 例2 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。 解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则 11232211 2 ()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)1 2[(1)(2)21](1)1(1)2(1)1 2 (1)(1)1n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n n n n n n ---=-+-++-+-+=-++-+++⨯++⨯++=-+-++++-+-=+-+=-++= 所以数列{}n a 的通项公式为2 n a n =。 评注：本题解题的关键是把递推关系式121n n a a n +=++转化为121n n a a n +-=+，进而求出11232211()()()()n n n n a a a a a a a a a ----+-++-+-+ ，即得数列{}n a 的通项公式。求数列通项公式的十种方法(例题+详解)
数列通项习题(带答案)
高考一轮复习专题7-3：数列求通项公式与前n项和
数列求通项的七种方法及例题
(完整版)常见递推数列通项公式的求法典型例题及习题
数列通项公式经典例题解析
数列求通项公式(例、练及答案)
数列通项公式的完整求法,还有例题详解
数列递推通项式的大题题型(答案版)