数列求通项公式典型例题及答案

数列求通项公式
1、累加法 ：
适用于：1()n n a a f n +=+ ----------这是广义的等差数列，累加法是最基本的二个方法之一。

例1.1 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。

【答案：2
n a n =】
例1.2 已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。

【答案：3 1.n
n a n =+-】
练1.1 已知数列{}n a 的首项为1，且*12()n n a a n n N +=+∈写出数列{}n a 的通项公式.
【答案：12
+-=n n a n 】
练1.2 已知数列}
{n a 满足)2()
1(1
,311≥-+
==-n n n a a a n n ，求此数列的通项公式. 【答案：
n a n 12-
=】
2、累乘法
适用于： 1()n n a f n a += ----------这是广义的等比数列，累乘法是最基本的二个方法之二。

例2.1 已知数列{n a }中，n n a a a n n 2,
111+==+，求数列的通项公式。

【答案：)(2
)
1(*∈+=N n n n a n 】 例2.2 已知数列{n a }中，n n a n na a )1(2,111+==+，求数列的通项公式。

【答案：1
2
-=
n n n
a 】 练2.1【理科】 已知数列{}n a 满足112(1)53n
n n a n a a +=+⨯=，，求数列{}n a 的通项公式。

【答案：(1)1
2
32
5
!.n n n n a n --=⨯⨯⨯】
练2.2.设{}n a 是首项为1的正项数列，且
()0
112
21=+-+++n n n n a a na a n （n =1，2， 3，…），则它的通
项公式是n a =________.【答案：n
a n 1=】
3、待定系数法
适用于1()n n a qa f n +=+ 基本思路是转化为等差数列或等比数列，而数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。

3.1、形如)0(,1≠+=+c q pa a n n ,其中a a =1)型
（1）若p=1时，数列{
n a }为等差数列;
（2）若q=0时，数列{
n
a }为等比数列;
（3）若01≠≠且d c 时，数列{
n
a }为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求.
待定系数法：设)(1λλ+=++n n a p a , ,1
-=
p q λ 例3.1 已知数列{}n a 中，111,21(2)n n a a a n -==+≥，求数列{}n a 的通项公式。

【答案：21n
n a =-】
练3.1练习．已知数列
}
{n a 中，
,2121,211+=
=+n n a a a 求通项n a 。

【答案：1)21(1
+=-n n a 】
3.2、形如：
n
n n q a p a +⋅=+1 (其中q 是常数，且n ≠0,1)
①若p=1时，即：
n
n n q a a +=+1，累加即可.
②若1≠p 时，即：n n n q a p a +⋅=+1，求通项方法有以下三种方向：
i. 两边同除以1
+n p .目的是把所求数列构造成等差数列
即：
n n n
n n q p p q a p a )(111
⋅+=++,令
n n n p a b =，则
n
n n q p
p b b )(11⋅=-+,然后类型1，累加求通项. ii.两边同除以1+n q . 目的是把所求数列构造成等差数列。

即：
q
q a q p q a n n n n 1
11
+⋅=
++,令
n n
n q a b =
,则可化为
q b q p b n n 11+⋅=
+.然后转化为类型5来解，
iii.待定系数法：目的是把所求数列构造成等差数列
设
)
(11n n n n p a p q a ⋅+=⋅+++λλ.通过比较系数，求出λ，转化为等比数列求通项.
注意：应用待定系数法时，要求p ≠q ，否则待定系数法会失效。

例3.2 已知数列
{}
n a 满足
1112431
n n n a a a -+=+⋅=，，求数列
{}n a 的通项公式。

【答案：11
4352n n n a --=⋅-⋅】
3.3、形如
b
kn pa a n n ++=+1 (其中k,b 是常数，且0≠k )
通过凑配可转化为 )
)1(()(1y n x a p y xn a n n +-+=++-;
解题基本步骤：
①确定()f n =kn+b
②设等比数列
)
(y xn a b n n ++=，公比为p
③列出关系式
)
)1(()(1y n x a p y xn a n n +-+=++-,即
1
-=n n pb b
④比较系数求x,y ⑤解得数列
)
(y xn a n ++的通项公式6、解得数列
{}n a 的通项公式
例3.3 在数列
}
{n a 中，
,
23,111n a a a n n +==+求通项
n
a .【答案：
213251--⋅=
-n a n n 】
练3.3. 在数列{}n a 中，
362,2311-=-=
-n a a a n n ,求通项n a .【答案：96)21(9-+⋅=n a n
n 】
3.4、形如
c
n b n a pa a n n +⋅+⋅+=+21 (其中a,b,c 是常数，且0≠a )
基本思路是转化为等比数列，而数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。

例3.4 已知数列{}n a 满足2
1123451n n a a n n a +=+++=，，求数列{}n a 的通项公式。

【答案：42
231018n n a n n +=---】
3.5、形如21 n n n a pa qa ++=+时将n a 作为()f n 求解
分析：原递推式可化为211()() n n n n a a p a a λλλ++++=++的形式，比较系数可求得λ，数列{}1n n a a λ++为等比数列。

例3.5 已知数列
{}
n a 满足
211256,1,2
n n n a a a a a ++=-=-=，求数列
{}
n a 的通项公式。

【答案：
11
4352n n n a --=⋅-⋅】
练3.5 数列{}n a 中，若2,821==a a ,且满足03412=+-++n n n a a a ,求n a .【答案： n
n a 311-=】
4、对数变换法 适用于
r
n
n pa a =+1(其中p,r 为常数)型 p>0，
>n a
例4 设正项数列{}n a 满足11=a ，2
12-=n n a a （n ≥2）.求数列{}n a 的通项公式.
【答案：
1
2
1
2--=n n a 】
练4 数列
{}n a 中，11=a ，1
2
-=n n a a （n ≥2），求数列
{}n a 的通项公式.
【答案：n
n a --=2222】
5、倒数变换法 适用于分式关系的递推公式，分子只有一项
例5 已知数列{}n a 满足112,12n n n a a a a +=
=+，求数列{}n a 的通项公式。

【答案：1
2
+=n a n 】
6、阶差法（逐项相减法）
6.1、递推公式中既有n S ，又有n a
分析：把已知关系通过11,1
,2n n
n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩转化为数列{}n a 或n S 的递推关系，然后采用相应的方法求
解。

例6.1 已知数列{}n a 的各项均为正数，且前n 项和n S 满足1
(1)(2)6
n n n S a a =
++，且249,,a a a 成等比数
列，求数列{}n a 的通项公式。

【答案：32n a n =-】 练6.1 已知数列}{n a 中, 0>n a 且2)1(2
1
+=n n a S ,求数列}{n a 的通项公式.【答案：12-=n a n 】
6.2、对无穷递推数列
例6.2 已知数列{}n a 满足112311
23(1)(2)n n a a a a a n a n -==++++-≥，，求{}n a 的通项公式。

【答案：!
.2
n n a =】。