无理数的证明
圆周率是无理数证明
圆周率是无理数证明
圆周率π是无理数。
证明如下：
假设π是有理数，则π=a/b，（a,b为自然数）
令f(x)=(x^n)[(a-bx)^n]/(n!)
若0<x<a/b,则
0<f(x)<(π^n)(a^n)/(n!)
0<sinx<1
以上两式相乘得：
0<f(x)sinx<(π^n)(a^n)/(n!)
当n充分大时，,在[0，π]区间上的积分有
0<∫f(x)sinxdx <[π^(n+1)](a^n)/(n!)<1 (1)
又令：F(x)=f(x)-f"(x)+[f(x)]^(4)-…+[(-1)^n][f(x)]^(2n),(表示偶数阶导数)
由于n!f(x)是x的整系数多项式，且各项的次数都不小于n，故f(x)及其各阶导数在x=0点处的值也都是整数，因此，F(x)和F(π)也都是整数。
又因为
d[F'(x)sinx-F(x)conx]/dx
=F"(x)sinx+F'(x)cosx-F'(x)cosx+F(x)sinx
=F"(x)sinx+F(x)sinx
=f(x)sinx
所以有：
∫f(x)sinxdx=[F'(x)sinx-F(x)cosx]，（此处上限为π，下限为0）
=F(π)+F(0)
上式表示∫f(x)sinxdx在[0，π]区间上的积分为整数，这与（1）式矛盾。
所以π不是有理数，又它是实数，故π是无理数。
证明根号2是无理数的8种方法
证明根号2是无理数的8种方法
嘿，你知道吗，要证明根号 2 是无理数居然有 8 种方法呢！
第一种方法，反证法呀！假如根号 2 是有理数，那岂不是就和我们熟知的那些整数、分数一样了？哎呀，这怎么可能呢，感觉就不对劲嘛！就好比说狗怎么能和猫是同一种动物呢。
第二种，用奇偶性来分析。
想想看，如果根号 2 能表示成两个整数的比，那这两个数的奇偶性得有多奇怪呀，这不是很荒谬吗？就像说白天突然变成黑夜一样不可思议。
第三种，可以从无限不循环小数的角度切入呀。
有理数都是能循环的，可根号 2 它就是那么特别，就是不循环，咋就这么倔强呢，哈哈！好比一个特立独行的人不愿意随大流。
第四种，利用一些数学定理。
哎呀，那些定理就像是我们的秘密武器，来揭示根号 2 的无理本质，这多厉害呀！就好像侦探用各种线索破案一样。
第五种，代数的方法也能上呀。
通过一些代数运算，能发现根号 2 就是无法被有理数的规则所束缚，这不是很牛吗？就像一只鸟怎么也关不进笼子里。
第六种，几何的角度也能试试看呢。
把根号 2 放到几何图形里，一下子就看出它的特别之处了，这可真有趣！跟在一幅画里突然发现一个隐藏的宝贝一样。
第七种，分析它的近似值。
怎么找都找不到一个精确的有理数来表示根号 2 呀，这不就说明了问题吗？就好像怎么都找不到完全一样的两片树叶。
第八种，用极限的思想呀。
哎呀呀，发现根号 2 就是不会被有理数的极限所框住，厉害吧！就像一个超爱自由的人怎么也不愿意被束缚。
我觉得呀，这么多种方法都表明了根号 2 就是无理数，这是毫无疑问的呀！。
证明根号2是无理数
证明：√2是无理数。
证：假设√2不是无理数，则必然为有理数，而有理数必然可以写成q/p，p,q属于整数，即p，q∈N。
且对于任意的有理数n/m，因为约分可以一直进行下去，则n/m必然可以写成互质的q/p，且p和q互质，即没有公约数。
=√2(#)
因此，必然存在互质的p和q，使得q
p
即q2=2p2
但基于若q2为偶数，则q也必然为偶数。
（1）（后续证明）
换言之，存在整数s，使得：q=2s
将其带入上式，则q2=2p2=(2s)2=4s2
即p2=2s2
换言之，p也是偶数。
（2）
综合（1）（2），p和q均为偶数，
因此p和q不互质。
（*）
由于（#）与（*）矛盾，因此假设不成立。
因此，命题得证。
附，2t2+2t+1/2证明：若q2为偶数，则q也必然为偶数。
证：q2为偶数，那么存在M属于整数，（*）
使得q2=2M
假设q为奇数，则存在整数t，使得q=2t+1
于是：（2t+1）2=2M
M=2t2+2t+1/2
但是，2t2+2t是一整数，
而2t2+2t+1/2是一个小数,即M是一个小数(#)
因此，（#）与（*）矛盾，因此假设不成立，因此命题得证。
无理数的证明方法
无理数的证明方法
无理数的证明方法
一、定义：无理数是无法用有限的整数除法和有限的整数次方来表示的数。
二、无理数的基本性质
1.混合性质：无理数可以加减乘除，得到的也是无理数。
2.传递性质：无理数的加减乘除，传递关系仍然成立。
3.除法性质：除以无理数等于乘以其倒数。
三、无理数的证明方法
1.假设法：
假设某个数是无理数，然后证明它满足无理数的性质。
例如假设数a是无理数，则有a*a=a+a，由于a是无理数，所以a+a也是无理数。
2.反证法：
假设数a不是无理数，然后证明它不满足无理数的性质。
例如假设数a不是无理数，则有a*a≠a+a。
如果a不是无理数，则a*a等于一个有理数，这与a+a等于一个无理数矛盾，所以证明a是无理数。
3.若干等式法：
假设变量a满足若干等式，然后证明它满足无理数的性质。
例如假设a满足a*a=a+a，由于a满足此等式，且此等式不能表示有理数，所以a为无理数。
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令人称奇的简单证明：五种方法证明根号2是无理数
令⼈称奇的简单证明：五种⽅法证明根号2是⽆理数令⼈称奇的简单证明：五种⽅法证明根号2是⽆理数我喜欢各种各样的证明。
⼈们很难想到这样⼀些完全找不到突破⼝的东西竟然能够证明得到。
说“没有突破⼝”还不够确切。
准确地说，有些命题多数⼈认为“怎么可能能够证明”却⽤了⼀些技巧使得证明变得⾮常简单。
我看了五⾊定理的证明，定理宣称若要对地图进⾏染⾊使得相邻区域不同⾊，五种颜⾊就够了。
没看证明之前，我⼀直在想这个玩意⼉可以怎么来证明。
直到看了证明过程后才感叹居然如此简单，并且⽴即意识到四⾊定理基本上也是这种证明⽅法。
还有，像“⼀个单位正⽅形⾥不可能包含两个互不重叠且边长和超过1的⼩正⽅形”这样的命题竟然完全⽤初中学的那些平⾯⼏何知识证明到了，简单得不可思议。
关键是，我们能够读懂证明过程，但只有⽜⼈才能想到这个证明过程。
今天在OIBH上看到了这个帖⼦，帖⼦中哲⽜分享的⼀篇⽂章The Power Of Mathematics恰好说明了这⼀点。
⽂章中包含有⼀个推翻“万物皆数”的新思路，相当有启发性。
今天我想把我已经知道的四种证明连同新学到的这⼀个⼀起写下来。
如何证明存在⼀种不能表⽰为两个整数之⽐的数？古希腊曾有“万物皆数”的思想，这种认为“⼤⾃然的⼀切皆为整数之⽐”的思想统治了古希腊数学相当长的⼀段时间，许多⼏何命题都是根据这⼀点来证明的。
当时的很多数学证明都隐性地承认了“所有数都可以表⽰为整数之⽐”，“万物皆数”的思想是古希腊数学发展的奠基。
直到有⼀天，毕达哥拉斯的学⽣Hippasus告诉他，单位正⽅形的对⾓线长度不能表⽰为两个整数之⽐。
被⼈们公认的假设被推翻了，⼤半命题得证的前提被认定是错的，古希腊时代的数学⼤厦轰然倒塌，数学陷⼊了历史上的第⼀次危机。
最后，Eudoxus的出现奇迹般地解决了这次危机。
今天我们要看的是，为什么单位正⽅形的对⾓线长度不能表⽰为两个整数之⽐。
单位正⽅形的对⾓线长度怎么算呢？从上⾯的这个图中我们可以看到，如果⼩正⽅形的⾯积是1的话，⼤正⽅形的⾯积就是2。
有关有理数与无理数的证明
有关有理数与无理数的证明狄利克雷函数（Dirichlet Function），在实数上处处不连续的证明(2006年10月25日修改版)声明：前天下午在与曲建勋的讨论中找到其证明方式本证明过程，最关键的两个步骤，由我和曲建勋分别提出，在此对曲建勋表示感谢，并郑重声明，并非我一人完成此证明√2代表根号2证明过程我写得很啰嗦，尤其是前面三个命题，可能有些人会认为太显而易见了，但为了严谨我还是写出来了，高人可以略过其证明过程前提：1、任何有理数均可写成既约分数p/q (p,q∈Z 且q≠0)2、任何无理数据不可写成这样的形式，且均可写成无限不循环小数3、任何实数必定属于有理数或无理数中的一类，且不能同时属于两类数命题1：任何有理数与无理数相加结果都是无理数证明：假设命题不成立设p/q (p,q∈Z 且q≠0)为任意有理数X为任意无理数则p/q+X=m/n (m,n∈Z 且n≠0)X=m/n-p/q=(mq-np)/(n*q)则根据前提1，X为有理数，与假设矛盾故假设不成立，命题1成立命题2：任何无理数除以非零有理数结果都是无理数证明：假设命题不成立设p/q (p,q∈Z 且q≠0,p≠0)为任意非零有理数X为任意无理数则X/(p/q)=m/n (m,n∈Z 且n≠0)X=(p*m)/(q*n)则根据前提1，X为有理数，与假设矛盾故假设不成立，命题2成立命题3：√2为无理数证明：假设命题不成立则√2为有理数，设√2=p/q (p,q∈Z 且q≠0)2=(p*p)/(q*q)则p必须是偶数∵p/q是既约分数∴q是奇数∴设p=2n q=2m+1(m,n∈Z)∵2*q*q=p*p∴2*(2m+1)*(2m+1)=2n*2n ∴(2m+1)*(2m+1)=2n*n 而m,n∈Z时本式不能成立故假设不成立，命题3成立命题4：任何有限小数都是有理数证明：显而易见~~下面进入本证明的关键部分首先介绍狄利克雷函数（Dirichlet Function）f(x)= 1(x为有理数)0(x为无理数)命题5：任意两个有理数之间一定存在至少一个无理数证明：设p/q、m/n (p,q,m,n∈Z 且q≠0,n≠0)为任意两个有理数，不妨设p/q ＜m/n则m/n-p/q=(mq-np)/(nq)为有理数设Q为正有理数，且满足√2＜Q(mq-np)/(nq)则0＜√2/Q＜(mq-np)/(nq)p/q＜√2/Q+p/q＜(mq-np)/(nq)+p/q=m/n根据命题1、2、3,√2/Q+p/q为无理数∴命题5成立命题6：任意两个无理数之间一定存在至少一个有理数证明：设X,Y为任意两个无理数，且X＜Y将X,Y写成小数形式，从最高位开始比较两个数直到找到一位X,Y不一样的位数，那一位上的数必然是X＜Y 去掉Y在那一位以后的所有位，得到一个有限小数，记为Z 显而易见X＜Z＜YZ为有理数，命题6成立根据命题5、6，任意有理数都不连续，任意无理数也都不连续，根据前提3，则狄利克雷函数在全体实数上处处不连续。
什么是无理数及其定义是什么
什么是无理数及其定义是什么什么是无理数及其定义是什么无理数最早是由毕达哥拉斯学派弟子希伯索斯发现，那么什么是无理数?下面店铺就带大家一起来详细了解下吧。
无理数基本定义无理数，即非有理数之实数，不能写作两整数之比。
若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环。
常见的无理数有大部分的平方根、π和e(其中后两者同时为超越数)等。
无理数的另一特征是无限的连分数表达式。
传说中，无理数最早由毕达哥拉斯学派弟-子希伯斯发现。
他以几何方法证明无法用整数及分数表示。
而毕达哥拉斯深信任意数均可用整数及分数表示，不相信无理数的存在。
但是他始终无法证明不是无理数，后来希伯斯将无理数透露给外人——此知识外泄一事触犯学派章程——因而被处死，其罪名等同于“渎神”。
无理数是无限不循环小数和开方开不尽的数. 如圆周率、√2(根号2)等。
有理数是所有的分数，整数，它们都可以化成有限小数，或无限循环小数。
如22/7等。
实数(real number)分为有理数和无理数(irrational number)。
有理数可分为整数(正整数、0、负整数)和分数(正分数、负分数) 也可分为正有理数，0，负有理数。
除了无限不循环小数以外的数统称有理数。
1、把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成整数、小数或无限循环小数，比如4=4.0, 4/5=0.8, 1/3=0.33333……而无理数只能写成无限不循环小数，比如√2=1.414213562…………根据这一点,人们把无理数定义为无限不循环小数。
2、无理数不能写成两整数之比。
利用有理数和无理数的主要区别，可以证明√2是无理数。
证明：假设√2不是无理数，而是有理数。
既然√2是有理数，它必然可以写成两个整数之比的形式：√2=p/q再假设p和q没有公因数可以约，所以可以认为p/q 为最简分数,即最简分数形式。
把√2=p/q 两边平方得 2=(p^2)/(q^2)即 2(q^2)=p^2由于2q^2是偶数，p 必定为偶数，设p=2m由 2(q^2)=4(m^2)得 q^2=2m^2同理q必然也为偶数，设q=2n既然p和q都是偶数，他们必定有公因数2，这与前面假设p/q 是最简分数矛盾。
根号3是无理数的证明过程
根号3是无理数的证明过程根号3是无理数的证明过程在数学中，我们经常遇到有理数和无理数的概念。
有理数是可以用两个整数的比值表示的数，例如1/2、3/4等等，而无理数则不能用有限的小数或者比值来表示。
本文将就根号3是否为无理数进行证明，让我们一起来看看吧。
首先，我们需要先了解一个重要的数学定理，即平方根的存在性定理。
该定理指出，任何非负实数都存在一个平方等于它自己的实数，这个实数就是平方根。
基于该定理，我们可以断言，根号3存在，且大于0。
假设根号3是一个有理数，即可以用两个整数的比值来表示。
我们可以将根号3表示为a/b（a、b为整数），并且已将其化简至最简形式。
我们可以假设a和b之间没有公因数，即a和b互质。
根据我们的假设，可得出以下等式：根号3 = a/b。
我们可以对该等式进行平方变换，得到：3 = (a^2)/(b^2)。
同时，我们还可以得知，a和b不能同时为偶数，否则可以继续化简。
根据上述等式，我们可以推断出a^2为3的倍数，即a^2 = 3k（k 为整数）。
进一步推导，我们知道a也必然为3的倍数，即存在一个整数r，使得a = 3r。
将上述结果代回等式，我们可以得到：(3r)^2 = 3k。
即9r^2 =3k。
简化得到3r^2 = k。
这就表明k也是3的倍数。
经过前面的推论，我们可以得出结论，a和b都是3的倍数。
然而，这一结论与我们最初的假设相矛盾，即a和b之间没有公因数。
因此，我们的假设是错误的，根号3不是有理数。
综上所述，我们可以得知根号3是无理数。
通过对根号3进行推导和推理，我们可以看到，根号3无法用有限的小数或者比值来表示，从而证明了根号3的无理性。
这个证明过程不仅让我们更深入地理解了无理数的概念，同时也为我们在其他数学问题的解决过程中提供了指导。