卡方拟合优度检验例题
拟合优度检验的例子
例1．为检验一颗骰子是否有假，重复做60次投掷，记录出现点数，得到如下的一张频数分布表表4 ：骰子的频数分布表以水平05.0=α检验该骰子是否有假。
解： 记=X 投掷骰子出现的点子数，则X 只取62,1 等6个值，若骰子正常，则各个点数出现都是等可能的，因此可设零假设61:6210===p p p H 其中()i X P p i ==，i =6,1 ，备选假设k H ：至少有一61≠i p i （i =6,1 ），X 的取值分成6个子集：{},i i =6,1 。
则2χ统计量为()∑∑==-=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-=6126122101061606160l il i n n χ且在0H 下有渐近分布)5(2χ（注意零假设下没有未知参数）。
今计算其观察值()()()()()()2.14101091010810101610101710106101042222222=-+-+-+-+-+-=χ其p 值可以通过查自由度为5的2x 分布表得到，p ()014.02.1402≈>=H P χ例2. 为考察儿童智力与营养有无关系，从某地区随机抽取n=950个儿童测试其智力及营养状态。
为简单计，营养只取二个状态：好与不好，智力分1至4四个等级，得到如下一张24⨯的列联表表5： 儿童智力与营养列联表对于水平05.0=α，检验营养与儿童智力有无关系。
解： 设零假设0H ：营养与智力无关，我们引入一些记号：令1=X ，表营养好，2=X 表营养不好，ij n 为i X =，j Y =的样本个数，.i n 为i X =的样本个数，j n .为j Y =的样本个数，4,3,2,1;2,1==j i 。
又记()()()j Y P p i X P p j Y i X p p j i ij =======⋅⋅,,,则0H 可等价地表示为0H ： ,..j i ij p p p = 2,1=i ；41 =j注意在此每一个个体有一对分类指标()Y X ,，其取值分成842=⨯=k 个类，在0H 下，参数有⋅1p ,.2p 及41⋅⋅p p 均未知，但须满足∑∑==⋅ijj i p p1.，因而独立的未知参数个数4242=-+=l 个，所以自由度()()314121442=--=--⨯=f 。
生物统计学—卡方检验
独立性检验
步骤： 1. 提出无效假设，即认为所观测的各属性之间
没有关联 2. 规定显著性水平 3. 根据无效假设计算出理论数 4. 根据规定的显著水平和自由度计算出卡方值，
再和计算的卡方值进行比较。 如果接受假设，则说明因子之间无相关联，
是相互独立的 如果拒绝假设，则说明因子之间的关联是显
著的，不独立
一、2X2列联表的独立性检验
设A、B是一个随机试验中的两个事件，其中A可能
出现r1、r2个结果，B可能出现c1、c2个结果，两 因子相互作用形成4个数，分别以O11、O12、O21、 O22表示，即
2X2列联表的一般形式
r1 r2 总和
c1 O11 O21 C1＝O11＋O21
c2 O12 O22 C2＝O12＋O22
解：（1）假设 H0 : 鲤鱼体色F2性状分离符合3:1 对 H A : 鲤鱼体色F2性状分离不符合3:1
（2）选取显著水平 0.05
（3）检验计算： 计算鲤鱼体色的理论值
体色 F2理论尾数
青灰色 1201.5
红色 400.5
总数 1602
k
cc2 i 1
Oi Ei
0.5 2 301.63
1
2
2
xx
将样本方差代入，则：c
2
(k
1) s 2
2
其c2服从自由度为(k-1)的卡方分布
卡方函数的使用
假设
H 0:
2
2 0
,
适用右尾检验 ，其否定区为： c 2 c2
假设
H
0:
2
2 0
,
适用左尾检验
，其否定区为：
c
2
c2 1
假设
卡方拟合优度检验的案例
卡方拟合优度检验的案例卡方拟合优度检验是一种统计方法，用于检验一个样本是否符合某种特定的理论分布。
以下是一个使用卡方拟合优度检验的案例：案例背景：某大学对119名学生进行了概率论和数理统计考试，获得了学生的考试成绩。
为了判断这些学生的考试成绩是否符合正态分布，需要进行卡方拟合优度检验。
步骤：1. 首先，对这119名学生的成绩进行频数统计，得到每个分数段的频数。
2. 其次，根据正态分布的性质，可以计算出理论上的期望频数。
在这个案例中，假设整个分布是正态分布N(μ,σ^2)，其中μ和σ^2的值可以根据历史数据或其他信息来估计。
3. 然后，使用卡方拟合优度检验的公式，计算卡方统计量。
公式如下：\(χ^2 = \sum_{i=1}^{k} \frac{(O_i - E_i)^2}{E_i}\)其中，\(O_i\) 表示观测频数，\(E_i\) 表示期望频数，\(k\) 表示分数段的个数。
4. 最后，根据卡方统计量的大小，判断样本是否符合正态分布。
通常，如果卡方统计量小于临界值（如），则接受原假设（即样本符合正态分布），否则拒绝原假设。
在这个案例中，通过观察频率直方图，发现学生的考试成绩分布类似于正态分布。
因此，建立原假设为整个分布是正态分布N(μ,σ^2)。
然后使用卡方拟合优度检验来验证这个假设。
如果卡方统计量小于临界值，则接受原假设，即学生的考试成绩分布符合正态分布。
否则，拒绝原假设。
需要注意的是，卡方拟合优度检验的前提假设是样本量足够大，且理论分布与实际分布的差异主要是由于随机误差引起的。
如果这些前提假设不成立，卡方拟合优度检验的结果可能会受到影响。
因此，在使用卡方拟合优度检验时需要谨慎考虑其适用性和前提假设。
生物统计学第四章——卡方检验
p f x0 8 1 1 5 2 2 0 3 1 0 4 5 5 2 0.191
nN
1 6 00
4.1 适合度检验
•用Excel函数BINOMDIST(i,n,p,0)计算二项分布的理论 概率：
4.1 适合度检验
• 将理论概率乘以苹果总箱数（N=60），得到理论次数：
下面，点击确定。
4.1 适合度检验
• ④ SPSS • 点击确定，即可得到结果：
4.1 适合度检验
•例 4.3 某批苹果进行保存实验，共60箱，每箱10个，实 验结束后检查每箱苹果的变质情况，结果如下表，试检 验苹果的变质数是否服从二项分布？
4.1 适合度检验
•设每个苹果变质的平均概率为p，变质数x服从二项分布，
4.1 适合度检验
② 6SQ统计插件 弹出对话框，无需修改设置：
4.1 适合度检验
•卡②方值6S为Q3统0计2.6插2件9，p=0.000<0.01，表明观测值比例与 •理论点比击有确非定常，显即著可的得差到异结。果：
4.1 适合度检验
③ DPS （1）输入数据与选择数据，点击菜单分类数据统计→模 型拟合优度检验：
• ① Minitab • 输入数据，点击菜单统计→表格→卡方拟合优度检验
（单变量）：
4.1 适合度检验
•检①验下Mi面nit选ab择按历史计数制定的比率，下拉条选择输入 •列，弹将出理对论话选框择，到将按实历际史选计择数到制观定测的计比数率后后面面，：豌豆性状
选择到类别名称（可选）后面。
4.1 适合度检验
第四章 卡方检验
• 卡方（χ2）检验主要有三种类型： • 第一是适合性检验，比较观测值与理论值是否符合； • 第二是独立性检验，比较两个或两个以上的因子相互
卡方拟合优度检验原假设
卡方拟合优度检验原假设
卡方拟合优度检验是一种用于检验样本内每一类别的实际观察数目与某条件下的理论期望数目是否存在显著差异的方法。
常用于定类尺度数据，当期望值小于5时，需要合并。
其原假设Ho为：行分类向量与列分类向量无关。
H1为：行分类向量与列分类向量有关。
检验统计量服从自由度为k-1的卡方分布，其中，fi为样本资料的计数，ei为Ho为真时的理论数值（期望值）。
最常用的是检验某种已知比例，或是否为统一分布等问题。
在实际应用中，人们可以根据实际经验或某种认识，认为某总体的分布函数是一个已知的函数。
为检验这种认识是否正确，可以考虑以下假设检验问题：其中分布形式已知，参数未知。
通常把上述假设检验问题称为分布拟合优度检验。
如果原假设中给出了完整的分布模型（如均值为0、方差为1的标准正态分布），检验临界值可以比较容易地得出。
如果原假设仅仅指明了模型的分布类型，而模型中仍含有待定的参数且模型的参数是通过样本数据估计得出的，这时的检验统计量比事先给定模型时的统计量要小。
医学统计学 -第09章 卡方检验
0.4 f(x)
v=1
0.3
2分布
0.2
v=4
v=6 v=9
0.1
0.0
0
3
6
9
12
15 x
（2）计算检验统计量
2 (A T )2
T
(41 36.5625)2 (4 8.4375)2 (24 28.4375)2 (11 6.5625)2
36.5625
8.4375
28.4375
6.5625
理论基础：超几何分布，不属于卡方检验
谢谢
表 慢性咽炎两种药物疗效资料
分组
兰芩口服液 银黄口服液
合计
有效
41 24 65
无效
4 11 15
有效率 （%） 91.11
68.57 81.25
合计
45 35 80
问题： 两个总体有效率是否相等?
（1）建立检验假设 H0：π1=2 两药的总体有效率相同 H1：π1≠π2 两药的总体有效率不同 检验水准=0.05
bc
= 1
若b+c<40，采用以下校正公式
2 (| b c | 1)2
= 1
bc
第三节 行×列表资料的2检验
(一）R×C表 最常见的形式是
2×C列联表（一般为2个构成比的比较） R ×2列联表（一般为多个样本率的比较）
R×C列联表2检验的原理与2×2列联表2 检验的原理完全一样
统计量计算公式
合计 40 30 32 102
有效率(%) 87.50 66.67 21.88 60.78
（1）建立检验假设，确定检验水准
H0 :1 2 3
H1
:
1
,
卡方-拟合优度检验
黑色无角牛的理论次数T1：360×9/16=202.5；
黑色有角牛的理论次数T2：360×3/16=67.5； 红色无角牛的理论次数T3：360×3/16=67.5；
红色有角牛的理论次数T4：360×1/16=22.5。
或 T4=360-202.5-67.5-67.5=22.5
（四）列表计算2
表 2计算表
～ 2 (n)；
2
若用样本平均数
量
n
x 代替总体平均数μ，则随机变
2 i
x
2
(x x)
i 1
2
(n 1) S 2
2
服从自由度为n-1的2分布，记为
(n 1) S
2
～
2
2
( n 1)
显 然 ，2≥0 ， 即 2 的 取 值 范 围 是[0,+∞；2 分布密度曲线是随自由度不同而改变的一组曲线。随 自由度的增大， 曲线由偏斜渐趋于对称；df≥30时， 接近正态分布。下面给出了几个不同自由度的2概率 分布密度曲线。
比例发生了实质性的变化?
要回答这个问题： ①首先需要确定一个统计量用以表示实际观察次数与 理论次数偏离的程度； ②然后判断这一偏离程度是否属于抽样误差，即进行 显著性检验。
为了度量实际观察次数与理论次数偏离程度：
A：最简单的办法是求出实际观察次数与理论次数的 差数。如上表：O1-T1 =-10，O2-T2=10，由于这两个 差数之和为0，显然此方法不可行； B：计算∑(O-T)2，其值越大，实际观察次数与理论次 数相差亦越大，反之则越小。但尚有不足。例如某一 组 实 际 观 察 次 数为505、理论次数为500，相差5； 而另一组实际观察次数为26、 理论次数为21，相差亦 为 5。
经济统计学中的卡方检验与拟合优度
经济统计学中的卡方检验与拟合优度经济统计学是应用统计学原理和方法来分析和解释经济现象的一门学科。
在经济统计学中，卡方检验与拟合优度是两个重要的概念和工具，用于检验经济数据的合理性和拟合程度。
卡方检验是一种用于检验观察值与理论值之间差异的统计方法。
它基于卡方分布的性质，通过计算观察值与理论值之间的差异程度，来判断两者是否存在显著性差异。
在经济统计学中，卡方检验常用于检验样本数据与理论分布之间的差异，从而判断经济现象是否符合某种理论模型。
以某地区居民收入分布为例，假设理论上收入分布符合正态分布。
我们可以通过抽取一定数量的样本数据，计算样本数据的频数分布，并与正态分布的理论值进行比较。
如果观察值与理论值之间的差异较小，那么可以认为样本数据符合正态分布；而如果差异较大，那么可以认为样本数据不符合正态分布。
通过卡方检验，我们可以得出一个统计量，根据其分布情况来判断观察值与理论值之间的差异是否显著。
拟合优度是用于评估观察值与理论值之间拟合程度的指标。
在经济统计学中，我们经常需要根据已有的数据来拟合一个概率分布模型，以便更好地理解和解释经济现象。
拟合优度可以帮助我们评估所选择的概率分布模型与观察值之间的拟合程度，从而判断模型的合理性和适用性。
以某地区商品价格分布为例，假设商品价格符合泊松分布。
我们可以通过收集一定数量的商品价格数据，计算观察值的频数分布，并根据泊松分布的理论值来比较。
通过拟合优度的计算，我们可以评估观察值与理论值之间的拟合程度，从而判断泊松分布是否适用于该地区的商品价格。
卡方检验和拟合优度在经济统计学中具有广泛的应用。
它们可以帮助我们验证经济理论的有效性，评估经济模型的拟合程度，从而提供决策和政策制定的依据。
在实际应用中，我们需要注意样本数据的选择和处理，以及统计方法的合理性和可靠性。
总之，经济统计学中的卡方检验与拟合优度是两个重要的工具，用于检验经济数据的合理性和拟合程度。
它们可以帮助我们更好地理解和解释经济现象，提供决策和政策制定的依据。
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卡方拟合优度检验例题
卡方拟合优度检验（Chi-squaregoodness-of-fittest）是统计学中常用的假设检验方法，可用于比较实际观察值与理论预期值，以判断模型是否正确。
本文以一道卡方拟合优度检验例题为例，深入剖析卡方拟合优度检验的原理与方法。
一、卡方拟合优度检验的原理
卡方拟合优度检验的核心原理是：通过检验拟合值与观察值之间的相关性，判断理论预期值和实际观察值之前的差异程度，来评估模型的准确性。
卡方拟合优度检验一般通过以下步骤完成：
1.建立假设：设定检验假设及其备择假设。
2.确定拟合优度指标：根据检验的假设，确定卡方拟合优度检验的拟合优度指标。
3.统计观察值：收集实际观察值，并计算相应的频率。
4.计算卡方值：计算实际观察值与理论预期值的卡方值。
5.检验假设：根据计算出的卡方值，建立检验假设，并确定统计量的显著性水平，以检验拟合优度。
二、卡方拟合优度检验例题
题目：一商店的经理看到商品购买者结账支付情况如下：
结账支付方式：
信用卡：30
现金：70
若这一商店的正常支付情况按照比例是20：80，则这次购物结账支付情况是否与正常情况差异显著？
解答：
1.建立假设：
检验假设H0：这次购物结账支付情况与正常情况一致，即比例20：80，
备择假设H1：这次购物结账支付情况与正常情况差异显著。
2.确定拟合优度指标：
假设检验的拟合优度指标为卡方值X2，检验显著性水平为α
=0.05。
3.统计观察值：
实际观察值总数为100，其中信用卡支付30，现金支付70，理论预期值比例应为20：80。
4.计算卡方值：
根据卡方拟合优度检验的公式，
X2=(30-20)^2/20+(70-80)^2/80=2.25
5.检验假设：
卡方拟合优度检验的拟合优度指标计算出X2=2.25，较α=0.05的显著性水平没有超过，故不能拒绝H0，即该次购物结账支付情况与正常情况一致，没有显著差异。
三、总结
本文以一道卡方拟合优度检验例题为例，从原理到方法，深入剖
析了卡方拟合优度检验的原理与流程，示范了具体操作步骤，同时也提示了卡方值与显著性水平的计算和比较，有助于检验拟合优度及识别模型准确性。
通过本文，读者应该可以掌握卡方拟合优度检验的基本原理和操作步骤。