差分方程齐次解的一般形式
一阶常系数线性差分方程
于是有
B1(cos a) B2 sin b1 B1 sin B2(cos a) b2
(10 19)
方程组 (10的系1数9行) 列式为
cos a
D
sin (cos a)2 sin2
sin cos a
因为 mπ , sin 0,方程组 (10有唯1一9解)
y C 1n C
设 y(n) a0n2 a1n, 代入原方程,
有
a0(n 1)2 a1(n 1) a0n2 a1n n 3
比较系数得
a0
1, 2
a1
5, 2
所以
y(n) 1 n2 5 n, 22
所给方程通解为
y(n) C 1 n2 5 n, 22
其中C 为任意常数.
例2 求差分方程 yn1 2 yn 2n2 1 的通解. 解 因a 2, 对应齐次方程的通解为
B1
1 D
[b1
(cos
a)
b2
sin
]
B2
1 D
[b2
(cos
a)
b1 sin
]
从而得到方程
(的1特0解 18)
(10 20)
y(n) B1 cos n B2 sin n, 其中 1, 2 由 (10 20) 给出, 方程 (10 的1通8解)为
yn C(a)n B1 cos n B2 sin n
从而得到
y(n) Ad n
代入方程,
解得 A b , ad
于是方程
(10的特1解7为) y(n) b d n ad
当a d 时, 要使等式恒成立, 应取 k 1, 从而得到
代入方程 于是方程
y(n) And n (10, 17) 可得 A b ,
差分方程方法总结
a1
k
k 1
a2
k 2
ak 0
称为差分方程(1)的特征方程，其特征方程的根 称为特征根。
33
2018年10月15日
2018年10月15
一 .常系数线性差分方程
2.常系数线性非齐次差分方程
常系数线性非齐次差分方程的一般形式:
xn a1 xn1 a2 xn2 ak xnk f (n) (2) 其中 k 为差分方程的阶数，ai (i 1,2,, k ) 为差分
方程的系数， ak 0(k n) ， f (n) 为已知函数。
7
2018 年 10 月 15日 2018 年10 月 15 日
二 差分方程的平衡点及其稳定性
1. 一阶线性常系数差分方程的平衡点
一阶线性常系数差分方程的一般形式:
xk 1 axk b, k 0,1,2, * 它的平衡点为 x ax b 的解，不妨记为 x 。
f ( xk 1 ) f ( xk 1 ) 中心差： f ( xk ) (k 1, 2, xk 1 xk 1
13
, n)
2018 年 10 月 15日 2018 年10 月 15 日
三 连续模型的差分方法
2. 定积分的差分方法
问题：已知 f ( x) 在点 xk 处的函数值 f ( xk )(k 0,1,, n) ， 且在 [a, b] 上可积，试求 f ( x) 在 [a, b] 上的积分值
根据定义，则有一般的求积公式:
b
a
f ( x)dx 。
b
a
f ( x)dx Ak f ( xk )
k 0
n
信号与系统4-2差分方程的解法课件
例 4.6
差分方程为
y(k 1) 1.1y(k) P
齐次解为 yh (k) C(1.1)k
特解为 y p (k) 10 P
全解为
y(k) C(1.1)k 10P
代入初始条件，可得 C 10P 20000
y(k) (10P 20000)(1.1)k 10P
令y(10)=0，有 0 (10P 20000 )(1.1)10 10P
将yp(k)代入原差分方程，得：
P(2)k 3P(2)k1 2P(2)k2 2k
P(2)k 3 P(2)k 2 P(2)k 2k
2
4
y
p
(k
)
1 3
(2)k
解得：P 1
3
8
例 4.5
(3)用初始值求常数：
全响应为： y(k )
yh (k)
yp (k)
C1 (1) k
C2 (2)k
1 3
这个模型也可以用来计算还贷余额。其中，f(k)代表每 年开始时还贷的金额，y(k)代表扣除当期还贷金额后的 还贷余额，若向银行贷款20000元，每年利息是10%， 即或r=0.1。按等额还贷法计算10年归还贷款本息时每年 所需的还贷额。
解 设每年所需的还贷额为P，则f(k)=P。
初始条件是贷款y(0)=-20000 。注意，由于还贷10次后将 全部还清贷款余额，必须找出使y(10)=0的每年所需还贷 额P。
解 Matlab程序如下：
k=-2:10;n=length(k)-2; y=[1,2,zeros(1,n)];f=k.*u(k); for i=3:n+2 y(i)=y(i-1)-0.24*y(i-2)+f(i)-2*f(i-1); end clf;stem(k,y);xlabel('k');ylabel('y(k)'); disp('k y');disp([num2str([k',y'])])
第4节 n阶常系数线性差分方程
其重数为 k ( 2 k ≤ n ) , 则
r t cos ω t , t r t cos ω t , L , t k − 1 r t cos ω t t r sin ω t , t r t sin ω t , L , t k − 1 r t sin ω t 为齐次方程(2)的 个线性无关的特解 个线性无关的特解， 为齐次方程 的2k个线性无关的特解，其中 b 2 2 r = a + b , tan ω = , ω ∈ ( 0 , π ) a
相应齐次方程的通解为
yc ( t ) = C1 ( −3) + 2 (C 2 cos
t t
π
2
t + C 3 sin
π = B ， 入原方程得 B = 1 ， 一特解为 yt = 1 ， 代 方程得 得
故原方程通解为
yt = C1 ( −3) + 2 (C 2 cos
t t
4
阶常系数非齐次线性差分方程的解法 非齐次线性差分方程的 二、 n 阶常系数非齐次线性差分方程的解法
yt +n + a1 yt +n−1 +L+ an−1 yt +1 + an yt = b
对应齐次方程 (1)
常数， 其中 a1 , L , a n −1 , a n , b 为常数，且 a n ≠ 0 , b ≠ 0 ，
3
yt +n + a1 yt +n−1 +L+ an−1 yt +1 + an yt = 0
λn + a1λn−1 +Lan−1λ + an = 0
(2) (3)
上述特解共有n个 将它们用任意常数组合起来， 上述特解共有 个，将它们用任意常数组合起来， 即得齐次方程(2)的通解 的通解. 即得齐次方程 的通解.
二阶差分方程的通解
二阶差分方程的通解二阶差分方程的一般形式为：$y_{n+2}+ay_{n+1}+by_{n}=f(n)$其中，$a,b$为常数，$f(n)$为已知的函数。
二阶差分方程的通解一般可以分为两部分：齐次解和非齐次解。
1. 齐次解当$f(n)=0$时，原方程变为齐次方程：$y_{n+2}+ay_{n+1}+by_{n}=0$假设$y_n=x^n$是此齐次方程的一解，则代入原方程可得：$x^{n+2}+ax^{n+1}+bx^n=0$移项并化简得：x^n(x^2+ax+b)=0由于$x^n$不能恒等于零，所以有：$x^2+ax+b=0$这是一个二次方程，其通解可以表示为：$x_{1,2}= \frac{-a\pm\sqrt{a^2-4b}}{2}$因此，齐次解可以表示为：$y_n=c_1x_1^n+c_2x_2^n$其中，$c_1,c_2$为常数，$x_1,x_2$为二次方程$x^2+ax+b=0$的两根。
2. 非齐次解当$f(n)\neq 0$时，原方程既有齐次解又有非齐次解，非齐次解的形式可以根据具体$f(n)$的形式求得。
以$f(n)=p$为例，其中$p$为常数。
根据常数变易法，假设非齐次解为：$y_n=x_np$则代入原方程可得：$x_{n+2}p+ax_{n+1}p+bx_np=p$移项并化简得：$x_{n+2}+ax_{n+1}+bx_n=1$此时，非齐次解的形式可以表示为：$y_n=(c_1x_1^n+c_2x_2^n)+k$其中，$k$为待定常数。
将上式代入原方程可得：$k+ax_2c_1+(a+b)x_1c_2=1$由于$x_1,x_2$是二次方程$x^2+ax+b=0$的两根，因此：$x_1+x_2=-a$$x_1x_2=b$代入上式可得：$k=\frac{1}{a-b}(a^2p+(b-a)ap+b)$因此，二阶差分方程的通解为：$y_n=c_1x_1^n+c_2x_2^n+\frac{1}{a-b}(a^2p+(b-a)ap+b)$其中，$c_1,c_2$为待定常数，$x_1,x_2$为二次方程$x^2+ax+b=0$的两根，$p$为已知常数。
差分方程共轭复根齐次解形式
差分方程共轭复根齐次解形式差分方程是一种离散时间的微分方程，描述了递归关系的演化规律。
其中，齐次解形式质疑系统的稳定性和动态行为。
而共轭复根则表示线性差分方程的特征根的共轭复对。
差分方程的形式如下：y(n) = a1y(n-1) + a2y(n-2) + ... + apy(n-p)其中，a1, a2, ..., ap是给定的常数，y(n)表示时间n时刻的解，p是差分方程的阶数。
齐次解形式是差分方程的一个特解体系，可以用来描述差分方程的解的形式。
对于差分方程的齐次解形式，如果特征根是实数，那么齐次解形式可以写作：y(n) = c1r1^n + c2r2^n + ... + cp^nn其中，c1, c2, ..., cp是待定系数，r1, r2, ..., rp是特征根。
当差分方程的特征根为共轭复根时，齐次解形式可以写作：y(n) = (βn + γn*n-1)e^(xn)其中，β,γ是待定系数，x是特征根的实部，n*表示n的阶乘。
为了进一步说明共轭复根齐次解形式，我们举一个具体的差分方程的例子。
考虑如下的差分方程：y(n)-3y(n-1)+2y(n-2)=0我们可以求解差分方程的特征方程，得到特征根：r^2-3r+2=0解特征方程，我们可以得到特征根为r1=2，r2=1由于特征根为实数，差分方程的齐次解形式为：y(n)=c1*2^n+c2*1^n其中，c1,c2是待定系数。
现在考虑一个特殊情况，假设我们的差分方程的特征根为共轭复根y(n)-2y(n-1)+2y(n-2)=0我们求解差分方程的特征方程，得到特征根：r^2-2r+2=0解特征方程，我们可以得到特征根为r1=1+i，r2=1-i。
由于特征根为共轭复根，差分方程的齐次解形式为：y(n) = (βn + γn* n-1)e^(xn)其中，β,γ是待定系数，x是特征根的实部，n*表示n的阶乘。
综上所述，差分方程的共轭复根齐次解形式是以特征根的共轭复对的形式出现的，可以用来描述离散时间系统的动态行为和稳定性。
10-7_一阶常系数线性差分方程
2、f ( x) pn x 型
x
方 程2为 y x1 ayx pn x
x
1 0， 1 2 0， 1
类 型1
设y x x z x
代入方程得 x1 z x 1 a x z x x pn x
消去 x，即得 z x 1 azx pn x 类 型1
(1) 1不是特征方程的根，即 1 a 0
n n 1 令y Q ( x ) b x b x x n 0 1
bn
(2) 1是特征方程的根，即 1 a 0
n n 1 令y xQ ( x ) x b x b x 0 x n 1
bn
综上讨论
2
练习题答案
x 3 1 x x 1.(1) y x A( 1) ( ) 3 ( ) ; 2 4 3 3 3 37 ( 2) y x A 5 x , y x 5x; 4 4 12 1 1 5 x x x ( 3) y x 2 A( 1) , y x 2 ( 1) x ; 3 3 3 36 1 2 2 ( 4) y x x x A( 4) x ; 125 25 5 36 1 2 2 161 yx x x ( 4 ) x . 125 25 5 125
5 B1 B2 1 代入原方程为 B1 5 B2 0
5 1 解之得到B1 , B2 26 26 5 1 x 所求通解为 yx A 5 cos x sin x 26 2 26 2
三、小结
1.一阶常系数齐次线性差分方程求通解
（1）写出相应的特征方程; （2）求出特征根; （3）写出通解. 2.一阶常系数非齐次线性差分方程求通解
与方程的齐次解
值信号（n）时所产生的响应。
h（n）
2.3.1系统的单位冲激响应的确定
d nr dt n
an1
d n1r dt n1
a1
dr dt
a0r
bm
d me dt m
bm1
d m1e dt m1
b1
de dt
b0e
单位冲激响应 e(t) (t), r(t) h(t)
此为一阶前向差分方程式。 两种描述方法无本质区别，仅仅是延时不同。通常对
因果系统用后向形式的差分方程比较方便，在一般数字滤 波器的描述中多用这种形式。而在状态变量分析中，前向 形式的差分方程较为常用。
§2-2-2 离散系统差分方程的求解
一 迭代法 二 经典解法：齐次解＋特解 三 零输入响应＋零状态响应 四 卷积和 五 Z变换
任何LTI连续时间系统，n阶一元常系数微分方程一般式为：
d nr dt n
an1
d n1r dt n1
a1
dr dt
a0r
bm
d me dt m
bm1
d m1e dt m1
b1
de dt
b0e
经典法求解该方程： 全解=齐次解 + 特解
r(t) rn (t) rf (t)
L RTs
L RTs
一阶常系数 差分方程
差分方程的阶数＝未知序列变量序号的
最大值与最小值之差
后向形式(或向右移序的)差分方程： 方程中未知序列的序号是自n以递减方式给出。
前向形式(或向左移序的)差分方程： n以递增方式给出，即由 y(n)、 y(n 1)、… y(n N)
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
差分方程齐次解的一般形式
【实用版】
目录
1.差分方程的定义与性质
2.齐次解的定义与性质
3.差分方程齐次解的一般形式
4.求解差分方程齐次解的方法
5.总结与展望
正文
1.差分方程的定义与性质
差分方程是一种离散时间的微分方程，它描述了离散时间序列的演化规律。
差分方程广泛应用于物理、数学、生物学、经济学等领域。
差分方程具有以下性质：线性性、时移不变性、齐次性和非齐次性。
2.齐次解的定义与性质
在差分方程中，如果方程左右两边同时除以时间步长，可以得到齐次方程。
齐次方程的解称为齐次解。
齐次解具有以下性质：稳定性、周期性和同构性。
3.差分方程齐次解的一般形式
对于差分方程 $y[n] - a * y[n-1] = b * x[n]$，其齐次解的一般形式为：$y[n] = c * e^{-frac{a}{T}} * x[n]$，其中 $c$ 为任意常数，$T$ 为时间步长，$e$ 为自然对数的底数。
4.求解差分方程齐次解的方法
求解差分方程齐次解的方法通常有以下两种：
（1）常数变易法：通过变易法将差分方程化为齐次方程，然后求解
齐次方程，得到齐次解。
（2）特征方程法：设 $y[n] = e^{lambda n}$，代入差分方程，求
解特征方程，得到齐次解。
5.总结与展望
差分方程齐次解是差分方程研究的基础，对于理解差分方程的稳定性、周期性和同构性具有重要意义。