经济数学 CH6 差分方程
❖ yt+m=f(yt+m-1, yt+m-2,…，yt)
2020/6/15
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二、一阶差分方程的解法
❖ 解法： ❖ 1、作图。 ❖ 2、解析解。
2020/6/15
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1、图解法
❖ 一阶差分方程：yt+1=f(yt) ❖ 第一步：计算稳态值或均衡值。
2020/6/15
b的绝对值小于1，y收敛。 11
一般方法
❖ 1、常系数和常数项的一阶线性差分方程：
❖ yt+1+ayt=c ❖ 其中，a和c是两个常数。
❖ 方程的通解由两部分的和构成：特别积分yp（它是方程的一 个任意解），余函数yc（它是齐次方程yt+1+ayt=0的通解）。
❖ 解的含义：特别积分表示系统的瞬时均衡值，余函数表示时 间路径与均衡的偏离。
❖ 求解一阶线性差分方程：
❖ yt+1-5yt=1,y0=7/4 ❖ 余函数：yc=A·5t ❖ 特别积分：yp=-1/4 ❖ 通解为：yt=A·5t -1/4 ❖ 初始条件：t=0时,y0=7/4,代入得到：A=2。 ❖ 答案： yt=2×5t -1/4
2020/6/15
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❖ 2、常系数和可变项的一阶线性差分方程
h
vi，h
a1 2
和v
4a2 a12 2
第二种情况：a12＝4a2，存在相同的实根。b=b1=b2=-a1/2
余函数yc=A1bt+A2tbt
时间路径的收敛性：如果b的绝对值大于1，余函数发散；如果b的绝对值小于1，那 么bt的衰减力量超过t的放大力量，路径收敛。
2020/6/15
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❖ 第三种情况：a12<4a2,特征根为共轭复根。
b1, b2
如果 f ( y*) 1，那么均衡点是稳定的。
如果 f ( y*) 1，那么均衡点是不稳定的。 如果 f ( y*) 1，无法判断。
f ( y*) dyt1 dyt
yt1 yt y*
2020/6/15
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练习：蛛网模型
❖ 在时间t的需求qtd取决于 当前市场价格pt，供给qts
p
取决于上期的价格pt-1。 p0
1 y2
❖ 首先计算均衡点： y1
❖ y=2y-y2 ❖ y*=0,y*=1。
0 y0 y1 1
2 yt
❖ 令yt+1=0,可以得到 在横轴上的截距：
0和2。
系统在y*=0点是不稳定的； 在y*=1点是稳定的。
2020/6/15
7
稳定性总结
❖ 一阶差分方程：yt+1=f(yt) ❖ 均衡值为y*。
❖ 现在的变化模式用差商△y/△t来表示。它是导数 dy/dt在离散时间下的对应物。
❖ 由于时间变量t仅取整数值，因此在分析相邻两个连 续时期的y的变化时， △t=1，差商△y/△t可以简化 为△y，称为y的一阶差分。
❖ 一阶差分： △yt=yt+1-yt ❖ 二阶差分：
❖ △2yt= △ (△ yt) = △(yt+1-yt)= (yt+2-yt+1)- (yt+1-yt)
❖ 余函数的一般形式为A·bt，因此它的变动：
若
b b
0，则bt的时间路径将是 0
非振荡的
振荡的
若
b b
1，则bt的时间路径将是 1
发散的 收敛的
2020/6/15
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四、二阶差分方程
❖ 当t期的经济变量yt不仅取决于滞后一期的数 量yt-1，而且取决于滞后两期的数量yt-2，这 时就需要二阶差分方程。
一般为yt=Abt。代入方程并消去公因子得到原方程
或齐次方程的特征方程：
❖ b2+a1b+a2=0 具有两个特征根： b1,b2 a1
a12 4a2 2
第一种情况：a12>4a2，存在不同的实根。余函数yc=A1b1t+A2b2t
时间路径的收敛性：b1和b2的绝对值都大于1，余函数发散；都小于1则收敛到0； 如果一个绝对值大于1，一个小于1，那么后者随时间推移而消失，路径发散。
❖ 当yt+1=yt=y*，即y*=f(y*)时，离散动态系统 达到均衡， y*是系统的均衡值。
❖ 第二步：以yt+1为纵轴，以yt为横轴，判断均 衡是否是稳定的。
2020/6/15
5
❖ 例1：yt+1-0.5yt=1 ❖ 写成：yt+1=0.5yt+1 ❖ 令yt+1=yt=y*，带入
原方程，可以得到 均衡值：y*=2。
❖ 已知随机线性差分方程：
❖ Et-1yt=ayt-1+Et-1mt a的绝对值大于1。 ❖ 将方程前推一个时期，并引入t时期的预期：
❖ Etyt+1=aEtyt+Etmt+1, 在该方程中，yt是t时所知信息惟一决 定的变量，因此Etyt=yt
❖ 利用提前因子L-1建立t期和t+1期的联系：
❖ L-1Etyt= EtL-1yt= Etyt+1 ❖ 由此可以将差分方程表述为：
当需求等于供给时，市场 p2
出清。
p1
S斜率=1/d
❖ 判断供求均衡是否稳定。 ❖ 供求模型：
D斜率=-1/b
❖ qtd=a-bpt ❖ qts=-c+dpt-1 ❖ qtd= qts ❖ a,b,c,d>0
q2 q1
q
结论：
当供给曲线的斜率大于需求曲线的斜率， 即d<b时，模型是收敛的。反之则是发散的。 当二者相等时，模型是循环的。
2020/6/15
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❖ 第二种情况：a的绝对值大于1。
❖ yt=ayt-1+mt ❖ 在说，这这种样情的况结下果，没yt是有发意散义的。。另对外于，一一些些经前济瞻问性题来
（forward-looking）的经济变量，如资产价格， 主要取决于未来变化。 ❖ 定义提前因子L-1为：L-1yt=yt+1 ❖ 原方程变为：(L-1-a)yt-1=L-1mt-1 ❖ 将上式提前一个时期，并乘以-a-1，得到： ❖ (1-a-1L-1)yt=-a-1L-1mt ❖ 由于(1-a-1L-1)(1+a-1L-1+a-2L-2+a-3L-3+…)=1 ❖ 所以(1-a-1L-1)-1= 1+a-1L-1+a-2L-2+a-3L-3+…
2020/6/15
18
yt
a1(1 a L 1 1)1 L1mt
s
t 1
(
1 a
)
st
ms
通解：yt
st 1
(
1 a
)
st
ms
Aat
在许多经济模型中，变量会自动调整使A=0，即经济中没 有自致的投机性资产价格泡沫。余函数将为零。
解：yt
s
t 1
(
1 a
)stΒιβλιοθήκη ms2020/6/15
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3、随机线性差分方程
2020/6/15
2
❖ 一阶差分方程：yt+1=f(yt) ❖ 例子：一阶线性差分方程
❖ △yt=2→yt+1-yt=2 ❖ △yt=yt → yt+1-yt=yt →yt+1=2yt ❖ 一阶线性差分方程一般形式：
❖ yt+1+ayt=x(t) ❖ 如果x(t)=0，方程是齐次方程：如果数列｛yt｝满
❖ 例2：yt+1-2yt=-1
yt+1
2
yt+1=0.5yt+1
y2
y1
y0 y1 2
yt
稳定的稳态
变化过程：
给定一个初始值y0，运动开始。在第1期得到y1，通过45°线 可以在横轴上得到y1。由此可以得到第2时期的y2。
2020/6/15
6
yt+1
❖ 例3：一阶非线性
差分方程
❖ yt+1=2yt-yt2
❖ yt=ayt-1+mt ❖ mt是一个外生的时间函数，也被称为强制性函数。 ❖ 如果系数a的绝对值小于1，系统是稳定的；反之则
是不稳定的。
❖ 第一种情况：a的绝对值小于1。
❖ 对于任意变量yt，定义滞后因子L为： ❖ Lyt=yt-1, Lnyt=yt-n。 ❖ 原方程可以表述为：(1-aL)yt=mt ❖ 由于(1-aL)(1+aL+a2L2+a3L3+…)=1 ❖ 所以(1-aL)-1= 1+aL+a2L2+a3L3+…
❖ 将k代入原方程，得到:k+ak=c
❖ 特别积分为：yp=k=c/(1+a)，a≠-1。 ❖ 如果a=-1，那么就假设yt=kt，yt+1=k(t+1)。 ❖ 代入原方程得到：k=c。
❖ 特别积分为：yp=kt=ct，a=-1。表示移动均 衡。
2020/6/15
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将特别积分和余函数相加就可以得到原方程的通解。
❖ 余函数的计算：
❖ 假设变量的解为：yt=Abt ❖ 代入齐次方程得到：Abt+1+aAbt=0
❖ 消去非零公因子Abt，得到b=-a
❖ 因此，余函数为：yc=A(-a)t
2020/6/15
12
❖ 特别积分的计算：
❖ 特别积分是原方程的任意解，假设为常数k。 则yt+1=yt=k，即k为系统的瞬时均衡值。
2020/6/15
10
2、解析法
❖ 迭代法
❖ 例1：yt+1=yt+2，已知 y0=10。
经济数学CH6差分方程
yt+1=2yt-yt2
1 y2
首先计算均衡点： y1
y=2y-y2 y*=0,y*=1。
0 y0 y1 1
2 yt
令yt+1=0,可以得到 在横轴上的截距：
0和2。
系统在y*=0点是不稳定的； 在y*=1点是稳定的。
2019/11/13
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稳定性总结
一阶差分方程：yt+1=f(yt) 均衡值为y*。
2019/11/13
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练习
求解一阶线性差分方程：
yt+1-5yt=1,y0=7/4 余函数：yc=A·5t 特别积分：yp=-1/4 通解为：yt=A·5t -1/4 初始条件：t=0时,y0=7/4,代入得到：A=2。 答案： yt=2×5t -1/4
2019/11/13
b的绝对值小于1，y收敛。 10
一般方法
1、常系数和常数项的一阶线性差分方程：
yt+1+ayt=c 其中，a和c是两个常数。
方程的通解由两部分的和构成：特别积分yp（它是方程的一 个任意解），余函数yc（它是齐次方程yt+1+ayt=0的通解）。
解的含义：特别积分表示系统的瞬时均衡值，余函数表示时 间路径与均衡的偏离。
原方程，可以得到 均衡值：y*=2。
例2：yt+1-2yt=-1
yt+1
2
yt+1=0.5yt+1
y2
y1
y0 y1 2
yt
稳定的稳态
变化过程：
给定一个初始值y0，运动开始。在第1期得到y1，通过45°线 可以在横轴上得到y1。由此可以得到第2时期的y2。
差分方程的一般表达式
差分方程的一般表达式嘿，朋友们！今天咱们来唠唠差分方程那点事儿。
差分方程就像是时间长河里的一个个小脚印，记录着事物的变化规律呢。
一般来说，一阶常系数线性差分方程长这样：\(y_{n + 1}-ay_{n}=f(n)\)。
这就好比是一个小火车在轨道上跑，\(y_{n}\)是火车在第\(n\)站的状态，\(a\)呢就像是这个火车的速度调整系数。
如果\(f(n) = 0\)，那就像是火车在一条平坦的轨道上匀速行驶，没有什么额外的干扰。
再说说二阶常系数线性差分方程\(y_{n + 2}+ay_{n+1}+by_{n}=f(n)\)。
这就像一场双人舞蹈，\(y_{n}\)、\(y_{n + 1}\)和\(y_{n+2}\)就像是舞者在不同节拍下的姿势。
\(a\)和\(b\)呢，就像是舞蹈的规则参数，决定着舞者如何从一个姿势转换到另一个姿势。
要是\(f(n)=0\)，就像是舞者在一个没有外界干扰的舞台上，按照自己的节奏翩翩起舞。
还有那种齐次差分方程，就像是一群小伙伴整齐划一地做着同一件事。
比如说\(y_{n + 1}-ay_{n}=0\)，这就像一群小蚂蚁，每一只小蚂蚁的行动都和前一只有着固定的比例关系，\(a\)就是这个比例的关键。
非齐次差分方程呢，就像是平静的湖水里突然扔进了一颗小石子。
比如\(y_{n + 1}-ay_{n}=g(n)\)，\(g(n)\)就像是那颗小石子激起的涟漪，打破了原本齐次方程那种和谐又规律的状态。
差分方程有时候还能像魔法咒语一样预测未来呢。
就拿简单的人口增长模型来说，如果人口数量满足差分方程\(P_{n+1}=(1 + r)P_{n}\)，这里\(r\)是人口增长率，就像一个魔法数字。
这个方程就像一个神奇的水晶球，告诉我们未来人口的大致情况。
对于差分方程组，那就像是一场多角色的戏剧。
每个方程都是一个角色的行动指南，它们之间相互关联又相互影响，就像戏剧里的人物关系一样复杂又有趣。
差分方程知识点总结
差分方程知识点总结一、差分方程的概念差分方程是指用差分运算符号（Δ）表示的方程。
差分运算符Δ表示的是某一变量在两个连续时间点的变化量。
差分方程通常用于描述离散时间下的变化规律，比如时间序列、离散动力系统等。
二、常见的差分方程1. 一阶线性差分方程一阶线性差分方程的一般形式为：y(t+1) - y(t) = a*y(t) + b，其中a和b为常数。
一阶线性差分方程常常用于描述某一变量在不同时间点之间的线性变化规律。
2. 二阶线性差分方程二阶线性差分方程的一般形式为：y(t+2) - 2*y(t+1) + y(t) = a*y(t) + b，其中a和b为常数。
二阶线性差分方程通常用于描述某一变量在不同时间点之间的二阶线性变化规律。
3. 线性非齐次差分方程线性非齐次差分方程的一般形式为：y(t+1) - a*y(t) = b，其中a和b为常数。
线性非齐次差分方程通常用于描述某一变量在不同时间点之间的线性变化规律，并且受到外部条件的影响。
4. 滞后差分方程滞后差分方程的一般形式为：y(t+1) = f(y(t))，其中f为某一函数。
滞后差分方程通常用于描述某一变量在不同时间点之间的非线性变化规律。
5. 差分方程组差分方程组是指由多个差分方程组成的方程组。
差分方程组通常用于描述多个变量之间的变化规律，比如混合动力系统、多变量时间序列等。
三、差分方程的解法1. 特征根法特征根法是解一阶或二阶线性差分方程的一种常用方法。
通过求解特征方程，可以求得差分方程的通解。
2. 递推法递推法是解一阶或二阶非齐次差分方程的一种常用方法。
通过递推关系，可以求得差分方程的特解。
3. Z变换法Z变换法是解一阶或二阶差分方程的一种常用方法。
通过对差分方程进行Z变换，可以将其转换为等价的代数方程，然后求解其解。
4. 数值解法对于复杂的差分方程，通常采用数值解法求解。
数值解法包括Euler法、Runge-Kutta法、递推法等，通过迭代计算逼近差分方程的解。
差分方程(第四章)
差分方程对连续型变量而言，我们常常回到微分方程的问题。
对离散型变量将导致一类的问题。
一、差分的定义定义：设()t y y t =是一个函数，自变量从t 变化到1t +，这时函数的增量记为(1)()t y y t y t ∇=+-，我们称这个量为()y t 在点t 步长为1的一阶差分，简称为()y t 的一阶差分。
为了方便我们也记1(1),()t t y y t y y t +=+=，即1t t t y y y +∇=-。
称21121()()()2t t t t t t t t y y y y y y y y +++++∇∇=---=-+为()y t 的二阶差分，简记为2t y ∇。
同样记2()t y ∇∇为3t y ∇，并称为三阶差分。
一般记1()n n t t y y -∇=∇∇，称为n 阶差分，且有0(1)nni it n t n i i y Cy +-=∇=-∑。
性质：当,,a b C 是常数，t y 和t z 是函数时， （1）()0C ∇=； （2）()()t t C y C y ∇=∇；（3）()()()t t t t ay bz a y b z ∇±=∇±∇；（4）11()()()()()t t t t t t t t t t y z y z z y y z z y ++∇⋅=∇+∇=∇+∇；（5）1111()()()()t t t t t t t t t t t t t t y z y y z z y y z z z z z z ++++⎛⎫∇-∇∇-∇∇== ⎪⋅⋅⎝⎭，（其中，0t z ≠）。
例1：已知,(0)nt y t t =≠，求()t y ∇。
解：()(1)n n t y t t ∇=+-。
特别，当n 为正整数时，1()ni n i t ni y Ct-=∇=∑，阶数降了一阶。
推论：若,m n 为正整数且m n >时，()P t 为n 次多项式，则()0m P t ∇=。
差分方程方法总结
差分方程方法总结差分方程是用来描述离散时间系统行为的一种数学工具。
它们在许多领域中都有广泛的应用，包括物理学、工程学、经济学等。
本文将总结差分方程方法的基本原理和常见应用。
差分方程的基本原理是通过描述系统在不同时间点上的状态来推导出系统的动态行为。
差分方程可以应用于任何离散时间系统，这些系统的行为只在特定时间点上进行观察和量化。
差分方程的一般形式为：y(n+1)=f(y(n),y(n-1),...,y(n-k))其中，y表示系统在时间点n的状态，f是一个给定的函数，k表示差分方程的阶数，表示系统在过去k个时间点上的状态对当前状态的影响。
差分方程的解可以通过递归方法求得。
给定一个初始条件（通常是系统在初始时间点的状态），可以使用差分方程的递推关系式计算未来时间点上的状态。
例如，对于一个一阶差分方程：y(n+1)=a*y(n)+b其中a和b是常数，可以通过给定的初始条件y(0)求得差分方程的解。
根据递推关系式，可以计算y(1)、y(2)、y(3)等等。
在应用中，差分方程通常用于建模和预测。
通过观察系统在过去时间点上的行为，可以构建一个差分方程来描述系统的动态行为。
然后，可以使用差分方程来预测未来时间点上的系统状态。
这对于许多实际问题是非常有用的，例如经济学中的经济增长模型、工程学中的控制系统等。
此外，差分方程还可以用于分析系统的稳定性和收敛性。
通过分析差分方程的特征根（即差分方程的解的形式），可以得出系统是否稳定或收敛到一个特定的平衡点。
这对于控制系统设计和优化非常重要。
差分方程方法在许多领域中都有广泛的应用。
在物理学中，差分方程可以用于描述离散化的空间或时间系统，例如计算机模拟、粒子追踪等。
在工程学中，差分方程可以用于建模和控制系统，例如电路设计、机器人控制等。
在经济学中，差分方程可以用于经济增长模型、市场预测等。
总结起来，差分方程方法是一种描述离散时间系统行为的数学工具。
它具有简单的原理和应用广泛的特点，并且可以用于建模、预测和分析系统的稳定性和收敛性。
经济数学-差分方程的概念与解的结构
但实际上是二阶差分方 程，
由于该方程可以化为 y x 3 3 y x 2 3 y x 1 1 0因此它是二阶差分方程 ，
事实上，作变量代换 t x 1，即可写成 yt 2 3 yt 1 3 yt 1 0.
例 7 下列等式是差分方程的有(
).
loga ( x 1) loga x 1 loga (1 ); x
( 2)Δ y x sina( x 1) sinax 1 a 2 cosa( x ) sin . 2 2
例3求y x! 的一阶差分，二阶差分 .
解
y x y x 1 y x
方 程 中 未 知 数 下 标 的大 最值 与 最 小 值 的 差 称为差分方程的阶 .
注：由差分的定义及性质可知，差分方程的 不同形式之间可以相互转换。 如y x 5 4 y x 3 3 y x 2 2 0是三阶差分方程；
y x y x 1 0，虽然含有三阶差分，
则左边 C 2 x 1 C 2 x 2 右边，
( x 1)! x!
x x!
y x y x x x!
2
x 1 x 1! x x!
x x 1 x!
2
例4 设y x( n ) x( x 1)(x 2)( x n 1), x
，Cn 是任意常数） （ C1 , C2，
n I 内的 注： 设 y1 , y2 ,, yn 为定义在区间 n 个不全为零的常数， 个函数．如果存在 使得当 x 在该区间内有恒等式成立
k1 y1 k 2 y2 k n yn 0
那么称这些函数在区间内线性相关； 否则称线性无关.
高等数学中的差分方程相关知识点详解
高等数学中的差分方程相关知识点详解在高等数学中，差分方程是一个非常重要的数学工具，它被广泛应用于各种科学领域，如物理、化学、工程学等。
差分方程与微分方程不同，在处理离散数据时更加方便，因此在实际应用中得到了广泛的应用。
接下来，我们将详细介绍差分方程的相关知识点。
1.差分方程的定义差分方程是一种用递推关系式描述离散变量间数值关系的数学工具，通常表示为：$a_n=F(a_{n-1},a_{n-2},...,a_{n-k})$其中，$a_n$表示一个数列的第$n$项，$k$为正整数，$F$为给定的函数。
差分方程起始值$a_0,a_1,...,a_{k-1}$也是给定的。
2.差分方程的求解方法求解差分方程的过程与求解微分方程的过程类似，需要先求出差分方程的通解，然后根据初始条件得到特解。
（1）求通解对于一个$k$阶差分方程，我们可以猜测一个$k$次线性递推数列$\{b_n\}$，即$b_n=c_1\lambda_1^n+c_2\lambda_2^n+...+c_k\lambda_k^n$，其中$c_1,c_2,...,c_k$是任意常数，$\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_k$是$k$个根。
将猜测的线性递推数列带入差分方程中得到：$c_1\lambda_1^n+c_2\lambda_2^n+...+c_k\lambda_k^n=F(c_1\la mbda_1^{n-1}+c_2\lambda_2^{n-1}+...+c_k\lambda_k^{n-1},c_1\lambda_1^{n-2}+c_2\lambda_2^{n-2}+...+c_k\lambda_k^{n-2},...,c_1\lambda_1^{n-k}+c_2\lambda_2^{n-k}+...+c_k\lambda_k^{n-k})$整理得到：$c_1(\lambda_1^n-F(\lambda_1^{n-1},\lambda_1^{n-2},...,\lambda_1^{n-k}))+c_2(\lambda_2^n-F(\lambda_2^{n-1},\lambda_2^{n-2},...,\lambda_2^{n-k}))+...+c_k(\lambda_k^n-F(\lambda_k^{n-1},\lambda_k^{n-2},...,\lambda_k^{n-k}))=0$由于$c_1,c_2,...,c_k$是任意常数，因此需要使方程的每个系数都等于$0$，也就是：$\lambda_1^n-F(\lambda_1^{n-1},\lambda_1^{n-2},...,\lambda_1^{n-k})=0$$\lambda_2^n-F(\lambda_2^{n-1},\lambda_2^{n-2},...,\lambda_2^{n-k})=0$...$\lambda_k^n-F(\lambda_k^{n-1},\lambda_k^{n-2},...,\lambda_k^{n-k})=0$将上述$k$个方程写成矩阵的形式，即可解得$\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_k$。
差分方程公式总结
差分方程公式总结嘿，咱们来聊聊差分方程这玩意儿！差分方程，听起来是不是有点让人头大？其实啊，它没那么可怕。
先来说说啥是差分方程。
简单来讲，就是含有未知函数差分的方程。
就像我们解普通方程一样，只不过这里的主角变成了差分。
比如说，有个一阶差分方程：$y_{n+1} - y_{n} = f(n)$ 。
这就表示相邻两个时刻函数值的差和自变量之间的关系。
咱们来仔细瞅瞅它的公式。
一阶线性常系数差分方程的一般形式是：$y_{n+1} + ay_{n} = f(n)$ ，这里的$a$是个常数。
求解它的办法有很多，像迭代法啦、特征根法啦。
拿迭代法来说，假设初始值是$y_0$ ，那么就可以一步一步地算下去：$y_1 = -ay_0 + f(0)$ ，$y_2 = -ay_1 + f(1)$ ，以此类推。
再说说特征根法。
先求出特征方程$r + a = 0$的根$r$ ，要是特征根不同，那通解就是$y_n = C_1r_1^n + C_2r_2^n$ ；要是特征根相同，通解就是$y_n = (C_1 + C_2n)r^n$ 。
我还记得之前给学生讲差分方程的时候，有个小家伙一脸懵地看着我，问：“老师，这东西到底有啥用啊？”我笑着跟他说：“你想想啊，咱们预测人口增长、经济发展，都可能用到差分方程呢。
”然后我给他举了个例子，假设一个城市每年的人口增长数量是上一年人口数量的10%，初始人口是 10 万，那咱们就可以用差分方程来算算未来几年的人口。
小家伙听了，眼睛一下子亮了起来，好像突然发现了新大陆。
二阶线性常系数差分方程也有它的一套公式和解法。
一般形式是$y_{n+2} + ay_{n+1} + by_{n} = f(n)$ 。
求解的时候还是先看特征方程，不过这次是$r^2 + ar + b = 0$ 。
在实际应用中，差分方程可太有用啦。
比如在金融领域，分析股票价格的波动；在工程领域，预测系统的稳定性。
总之，差分方程虽然看起来有点复杂，但只要咱们掌握了它的公式和方法，就能在很多地方派上用场。
差分方程的解法及应用
差分方程的解法及应用随着科学技术的不断进步，人类对于数学这一学科的探索和研究也越来越深入。
在数学的众多分支中，差分方程是一种重要的数学工具。
它具有广泛的应用领域，比如利用差分方程可以对物理、化学、生态学和经济学等领域中的一些现象进行建模和预测。
一、差分方程的定义与类型差分方程是一种描述序列之间关系的数学工具。
简单来说，差分方程就是一种具有递推性质的方程。
通过对序列中前一项和后一项之间的差值进行分析，差分方程可以对序列之间的关系进行确定。
根据差分方程的形式，我们可以将其分为线性差分方程和非线性差分方程两种类型。
线性差分方程通常可以表示为：$$a_n=c_1a_{n-1}+c_2a_{n-2}+···+c_ka_{n-k}+F(n)$$其中，$a_n$表示数列中第n项的值，$F(n)$为非齐次项，$c_1,c_2,...,c_k$为系数。
非线性差分方程则不具有这种明显的简洁形式，但是常常可以利用变量代换的方法将其转化为线性差分方程的形式求解。
二、差分方程的求解方法差分方程的解法依赖于方程的类型和系数，不同的差分方程往往需要使用不同的方法进行求解。
1.一阶线性差分方程一阶线性差分方程的形式通常为：$$a_n=c·a_{n-1}+F(n)$$其中，$c$为常数，$F(n)$为非齐次项。
为求解这种类型的差分方程，我们可以采用欧拉定理，得到方程的通解为：$$a_n=A·c^n+\frac{F(n)}{1-c}$$其中$A$是待定系数。
2.二阶常系数线性差分方程二阶常系数线性差分方程的形式通常为：$$a_n=c_1·a_{n-1}+c_2·a_{n-2}+f(n)$$其中$c_1,c_2$为常数，$f(n)$为非齐次项。
为了求解这种类型的差分方程，我们需要先找到其特征方程：$$\lambda^2-c_1\lambda-c_2=0$$然后，我们可以根据该特征方程的根以及非齐次项来计算该方程的通解。
差分方程
第九节差分方程迄今为止，我们所研究的变量基本上是属于连续变化的类型. 但在经济管理或其它实际问题中，大多数变量是以定义在整数集上的数列形式变化的，银行中的定期存款按所设定的时间等间隔计息，国家财政预算按年制定等等. 通常称这类变量为离散型变量. 对这类变量，我们可以得到在不同取值点上的各离散变量之间的关系，如递推关系等. 描述各离散变量之间关系的数学模型称为离散型模型. 求解这类模型就可以得到各离散型变量的运行规律. 本节将介绍在经济学和管理科学中最常见的一种离散型数学模型—差分方程.内容分布图示★引言★差分的概念★例1-5★差分方程的概念★例6 ★例7★一阶常系数线性齐次差分方程★一阶常系数线性非齐次差分方程★例9-14 ★例15 ★例16 ★二阶常系数线性差分方程★ 二阶常系数线性齐次差分方程的通解★ 例17★ 例18★ 例19★ 二阶常系数线性非齐次差分方程的特解 ★例20-23差分方程在经济学中的应用 ★ 模型1 ★ 模型2★模型3★ 内容小结★ 课堂练习★ 习题8-9 ★ 返回内容要点：一、 差分的概念与性质一般地，在连续变化的时间范围内，变量y 关于时间t的变化率是用dtdy 来刻画的；对离散型的变量y ，我们常取在规定的时间区间上的差商ty ∆∆来刻画变量y 的变化率. 如果选择1=∆t ，则)()1(t y t y y -+=∆可以近似表示变量y 的变化率. 由此我们给出差分的定义.定义1 设函数).(t y yt= 称改变量tt y y-+1为函数ty 的差分,也称为函数ty 的一阶差分, 记为ty ∆, 即tt t y y y -=∆+1 或)()1()(t y t y t y -+=∆.一阶差分的差分称为二阶差分ty 2∆, 即tt t t y y y y ∆-∆=∆∆=∆+12)(.2)()(12112t t t t t t t y y y y y y y +-=---=+++++类似可定义三阶差分, 四阶差分,……),(),(3423t t t t y y y y ∆∆=∆∆∆=∆一般地，函数ty 的1-n 阶差分的差分称为n 阶差分，记为tny ∆，即t n t n t ny y y 111-+-∆-∆=∆i n t in ni i y C -+=∑-=)1( 二阶及二阶以上的差分统称为高阶差分.差分的性质： （1）tt y C Cy ∆=∆)();(为常数C（2） ;)(t t t t z y z y ∆±∆=±∆（3）;)(1t t t t t t z y y z z y ∆+∆=⋅∆+（4）tt tt t t t t z z z y y z z y ⋅∆-∆=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∆+1).0(≠t z二、差分方程的概念定义2 含有未知函数ty 的差分的方程为差分方程.差分方程的一般形式:0),,,,,(2=∆∆∆t nt t t y y y y t F或.0),,,,,(21=+++n t t t t y y y y t G差分方程中所含未知函数差分的最高阶数称为该差分方程的阶. 差分方程的不同形式可以互相转化.定义3 满足差分方程的函数称为该差分方程的解. 如果差分方程的解中含有相互独立的任意常数的个数恰好等于方程的阶数, 则称这个解为该差分方程的通解.我们往往要根据系统在初始时刻所处的状态对差分方程附加一定的条件，这种附加条件称为初始条件, 满足初始条件的解称为特解.定义4 若差分方程中所含未知函数及未知函数的各阶差分均为一次的, 则称该差分方程为线性差分方程.线性差分方程的一般形式是)()()()(1111t f y t a y t a y t a y t n t n n t n t =+++++--++其特点是tn t n t y y y ,,,1 +++都是一次的.三、一阶常系数线性差分方程一阶常系数线性差分方程的一般形式为)(1t f P yy tt =-+(9.1)其中, P 为非零常数,)(t f 为已知函数. 如果,0)(=t f 则方程变为1=-+t t Py y (9.2)方程(9.2)称为一阶常系数线性齐次差分方程, 相应地，方程(9.1)称为一阶常系数线性非齐次差分方程.一阶常系数线性齐次差分方程的通解 一阶常系数线性非齐次差分方程定理1 设ty 为方程(9.2)的通解,*ty 为方程(9.1)的一个特解,则*tt ty y y+=为方程(9.1)的通解.（1）C t f =)( (C 为非零常数) （2）tCb t f =)( (C , b 为非零常数且1≠b )四、二阶常系数线性差分方程二阶常系数线性差分方程的一般形式:)(12t f byayy tt t =++++(9.9)其中b a ,均为常数, 且,0≠b )(x f 是已知函数. 当0)(=x f 时, 方程(9.9)变为12=++++t t t by ay y (9.10)方程(9.10)称为二阶常系数线性齐次差分方程，相应地，方程(9.9)称为二阶常系数线性非齐次差分方程.定理2 设ty 为方程((9.10)的通解,*ty 为方程(9.9)的一个特解, 则*tt ty y y+=为方程(9.9)的通解.二阶常系数线性齐次差分方程的通解 特征方程2=++b aλλ(9.11)二阶常系数线性非齐次差分方程的特解和通解 仅考虑方程(9.9)中的)(x f 取某些特殊形式的函数时的情形.(1))()(t Px f m=(其中)(t Pm是t 的m 次多项式), 方程(9.9)具有形如)(*t R t ym kt=的特解, 其中)(t Rm为t 的m 次待定多项式.五、 差分方程在经济学中的应用采用与微分方程完全类似方法，我们可以建立在经济学中的差分方程模型，下面举例说明其应用.1.“筹措教育经费”模型某家庭从现在着手, 从每月工资中拿出一部分资金存入银行, 用于投资子女的教育, 并计算20年后开始从投资账户中每月支取1 000元, 直到10年后子女大学毕业并用完全部资金. 要实现这个投资目标, 20年内要总共筹措多少资金? 每月要在银行存入多少钱? 假设投资的月利率为0.5%, 为此, 设第t 个月, 投资账户资金为,ta 每月存资金为b 元, 于是20年后, 关于,ta 的差分方程模型为1000)005.1(1-=+t t a a (9.11)且.,00120x a a==二、价格与库存模型本模型考虑库存与价格之间的关系 设)(t P 为第t 个时段某类产品的价格,)(t L 为第t 个时段的库存量. L 为该产品的合理库存量. 一般情况下, 如果库存量超过合理库存, 则该产品的售价要下跌, 如果库存量低于合理库存, 则该产品售价要上涨, 于是有方程)(1t t t L L k P P -=-+ (9.13)其中k 为比例常数.三、国民收入的稳定分析模型本模型主要讨论国民收入与消费和积累之间的关系问题.设第t 期内的国民收入ty 主要用于该期内的消费tG , 再生产投资tI 和政府用于公共设施的开支G (定为常数), 即有GI C y t t t ++= (9.17)又设第t 期的消费水平与前一期的国民收入水平有关, 即)10(1<<=-A Ay C t t (9.18)第t 期的生产投资应取决于消费水平的变化, 即有)(1--=t t t C C B I (9.19)由方程(9.17), (9.18), (9.19)合并整理得GBAyy B A y t t t =++---21)1( (9.20)于是, 对应A , B , G 以及,,0y y可求解方程, 并讨论国民收入的变化趋势和稳定性.例题选讲：差分的概念与性质例1（讲义例1）设,2t y t=求).(),(),(32t t t y y y ∆∆∆例2（讲义例2）设.1),1()2)(1()0()(=+---=tn t t t t t n 求)(n t ∆.例3（讲义例3）求ttt y 32⋅=的差分.例4 设,22t ty += 求.,,32t t ty y y∆∆∆例5 试改变差分方程023=∆+∆t t y y 的形式.差分方程的概念例6（讲义例4）试确定下列差分方程的阶..735)2(;0)1(15423=+=+-++--+t t t t t y y y y y例7（讲义例5）指出下列等式哪一个是差分方程, 若是, 进一步指出是否为线性方程..432)2(;33)1(12=+-+=∆-++t t t tt t y y y a y y一阶常系数线性差分方程例8（讲义例6）求差分方程031=-+t t y y 的通解. 例9（讲义例7）求差分方程231-=-+t t y y 的通解.例10（讲义例8）求差分方程tt t y y⎪⎭⎫⎝⎛=-+233211在初始条件5=y时的特解.例11（讲义例9）求差分方程2134ty y t t =-+的通解.例12 求差分方程ty yt t πsin 341=++的通解. 例13 求差分方程 ty y t t 231+=-+满足初始条件5=y的特解.例14（讲义例10）求差分方程tt t t y y4221+=++的通解.例15 设某产品在时期t 的价格, 供给量与需求量分别为tt S P ,与),2,1,0( =t Dt. 1当121+=t t P S,tt t t D S P D =+-=-3,5421时, 求证(1) 由3,2,1推出差分方程.221=++t t P P(2) 已知0P , 求上述差分方程的解.例16（讲义例11）在农业生产中, 种植先于产出及产品出售一个适当的时期, t 时期该产品的价格tP 决定着生产者在下一时期愿意提供市场的产量tt P S ,1+还决定着本期该产品的需求量,tQ 因此有1,-+-=-=t t t t dP c S bP a Q (a , b , c , d 均为正的常数)求价格随时间变动的规律. 二阶常系数线性差分方程例17（讲义例12）求差分方程04312=--++t t t y y y 的通解. 例18（讲义例13）求差分方程04412=++++t t t y y y 的通解. 例19（讲义例14）求差分方程04212=+-++t t t y y y 的通解.例20 求差分方程 12212=-+++t t t y y y 的通解及0,010==y y的特解.例21（讲义例15）求差分方程ty y y t t t =-+++4312的通解.例22（讲义例16）求差分方程tt t t y y y 23212⋅=++++的通解.例23 求差分方程tt t t y y y⎪⎭⎫⎝⎛-=++++214112的通解.差分方程在经济学中的应用课堂练习 1.求差分方程21ty yt t =-+的通解.2.求差分方程ty y y t t t =-+++4312的通解.3.求差分方程tt t t y y y57612⨯=-+++的通解.。