高阶差分方程

第六章 高阶差分方程在离散时间分析中可能出现这种情况：t 期的经济变量，比如y t ，不仅取决于y t-1，而且取决于y t-2。

这样便引出了二阶差分方程。

严格地讲，二阶差分方程是一个包含表达式Δ2y t ，但不含高于二阶差分的方程。

Δ2y t读作y t 的二阶差分。

而符号Δ2是符号d 2y ／dt 2在离散时间情况下的对应物，表示“取二阶差分”如下：Δ2y t =Δ(Δy t )=Δ(y t+1-y t )=(y t+2-y t+1)-(y t+1-y t )=y t+2-2y t+1+y t因此，y t 的二阶差分可以转换为包含两期时滞的项的和。

因为像Δ2y t 和Δy t 这样的表达式写起来很麻烦，所以我们将二阶差分方程重新定义为包含变量的两期时滞的方程。

类似地，三阶差分方程为包含三期时滞的方程；等等。

我们首先集中讨论二阶差分方程的解法，然后再在后面的章节中将其推广至高阶差分方程。

为控制讨论的范围，在本章，我们仅讨论常系数线性差分方程。

但对常数项和可变项两种形式，均作考察。

具有常系数和常数项的二阶线性差分方程一类简单的二阶差分方程的形式为：y t+2+a 1y t+1+a 2y=c 6.1 读者应注意到，此方程为线性、非齐次，且具有常系数（a 1，a 2）和常数项c 的差分方程。

二阶差分方程的通解是由余函数和特别积分构成：y t ＝y c +y p 。

特别积分是1,12121-≠+++=a a a a y c p6.22,1,21211-≠-=++=a a a a yt cp6.2’ 2,1,21212-=-=+=a a a t yc p6.2’’ 为求出余函数，我们必须集讨论简化方程y t+2+a 1y t+1+a 2y ＝0 6.3 解一阶差分方程的经验告诉我们，Ab t 式在这种方程的通解中起非常重要的作用。

因此，我们先试探形式为y t ＝Ab t 的解，它自然意味着y t+1＝Ab t+1，等等。

我们的任务便是确定A 和b 的值。

将试探解代入简化方程，方程变成 Ab t+2+a 1Ab t+1+a 2Ab t ＝0 或在消去（非零）共同因子Ab t 后，有b 2+a 1b+a 2＝0 6.3’ 此二阶差分方程的特征方程与二阶微分方程的特征方程具有可比性。

它具有两个特征根：24,221121a aa bb -±-=6.4对解Ab t 中的b 而言，上述每个根都是可接受的。

事实上，b l 和b 2均应在齐次差分方程的通解中出现，恰如在微分方程中的情况一样，此通解必然包括两个线性无关的部分，每一部分都有自己的任意乘积常数。

与微分方程特征根的三种情况一样，差分方程的特征根也有三种情况：两个不相等的实数根、两个相等的实数根和一对共轭复数根。

第一种情况（不同的实根）：当a 12＞4a 2时，b 1和b 2为不同的实根。

在这种情况下，b 1t和b 2t 线性无关，余函数可以简单地写成b 1t 和b 2t 的线性组合，即y c =A 1b 1t +A 2b 2t 。

6.5第二种情况（重实根）：当a 12＝4a 2时，特征根为重根：b （＝b 1＝b 2）＝-a 1／2。

现在若将余函数表示为如不同实根时的形式，则两部分将合并为一项：A 1b 1t +A 2b 2t ＝（A 1+A 2）b t ≡A 3b t 此式无效，因为现在缺一个常数。

为了补上缺失的部分（我们回顾一下，这部分应与A 3b t 项线性无关），还需要以变量t 乘b t 这个老方法。

这样这个新的项可取A 4tb t 形式。

它与A 3b t 项线性无关是很明显的，因为我们永远不能给A 3b t 项加上一个常系数而得到A 4tb t 。

A 4tb t 像A 3b t 一样，确实可以作为简化方程的解这一事实，可以很容易得到验证：只需将y t =A 4tb t [和y t+1=A 4（t+1）b t+1等]代入简化方程，便可以看到该方程是一个恒等式。

因此，重实根情况下的余函数为：y c =A 3b t +A 4tb t 6.6 例：求下列方程的通解 （1）14161012=+-++yyy tt t ； （2）125612=+-++y yytt t ；（3）8212=+-++yyytt t解：（1）14161012=+-++yyytt t该方程的特别积分为：21610114=+-=yp该方程的特征方程为：b 2-10b+16=0，所以特征根为：8,22610216410010,21=±=⋅-±=b b所以，)8()2(21t t cA A y += 因此，方程的通解为2)8()2(21++=t t tA A y若给定y 0=10和y 1=36，可求出该方程的特解： 令t=0和t=1则：222102010)8()2(++=++=A A A A y 2282)8()2(2112111++=++=A A A A y按照初始条件，令y 0=10和y 1=36，则A 1+A 2+2=10 2A 1+8A 2+2=36联立方程求解A 1＝5和A 2=3，最后把它代入通解中可得特解：235)8()2(++=t t ty（2）125612=+-++y yytt t该方程的特别积分为：t t y p36212-=-=该方程的特征方程为：b 2-6b+5=0，所以特征根为：5,1246254366,21=±=⋅-±=bb 所以，)5()5()1(2121t t tc A A A A y +=+= 因此，方程的通解为t tcA A y 3)5(21-+=(3)8212=+-++yyytt t该方程的特别积分为：t t y p22428==该方程的特征方程为：b 2-2b+1=0，所以特征根为：1222144221==⋅-±==b b 所以，t t A A A A y t t c2121)1()1(+=+= 因此，方程的通解为t A A yt c2214++=第三种情况（复数根）：当a 12＜4a 2时，b 1和b 2为一对共轭复数根。

具体地，根的形式为h ±vi ，其中24,22121a a av h -=-= 6.7因此，余函数变成：y c =A 1b 1t +A 2b 2t =A 1(h+vi)t +A 2(h-vi)t上式表明，解释y c 并不容易。

但幸运的是，由于棣莫弗定理，此余函数很容易化为三角函数，而三角函数我们已知如何解释。

具体如下。

若将v=Rsin θ，h=Rcos θ，则共轭复数可以变换如下：h ±vi ＝Rcos θ±Risin θ＝R （cosθ±isin θ）。

进而，由欧拉关系（即e i θ=cos θ+isin θ，e -i θ=cos θ-isin θ）可再写成h ±vi＝Re ±i θ。

则相应地（h+vi ）n ＝(Re i θ)n =Re in θ类似地，（h-vi ）n ＝(Re -i θ)n =R n e -in θ。

所以(h ±vi)n ＝[R(cosn θ±isinn θ)]n ＝R n (cosn θ±isinn θ)，此即为棣莫弗定理。

根据棣莫弗定理，可以写出(h ±vi)t ＝[R(cosn θ±isinn θ)]t ＝R t (cost θ±isint θ)其中，aa a a vh R 2212212244=-+=+=， 6.8θ为（0，2π）内的角，以弧度度量。

它满足条件：a a a a R v and R h 2212141sin 2cos -==-==θθ 6.9 因此，余函数可以变换如下：y c =A 1R t (cos θt+isin θt)+A 2R t (cos θt-isin θt)＝R t [(A 1+A 2)cos θt+（A 1-A 2）isin θt)]＝R t（A 5cos θt+A 6sin θt) 6.10该余函数表达式与其在微分方程中的对应物有两点重要区别。

首先，表达式cos θt 和sin θt 巳取代了原来使用的cosvt 和sinvt 。

其次，乘积因子R t (以R 为底的指数)已取代了自然指数式e ht 。

总之，我们已由复根的笛卡尔坐标系(h 和v)转换到极坐标系(R 和θ)。

一旦h 和v 已知，则R 和θ的值可由此确定，或可由参数a 1和a 2直接确定。

例：求y t+2+1/4y t =5的通解。

这里，系数a 1＝0和a 2＝1/4，这是一个a 12＜4a 2的复根的例子。

根的实数和虚数部分分别为h ＝0，v ＝1/2。

并可得210)21(2=+=R因为θ值可满足两个方程1sin 0cos ====Rvand R h θθ 则θ＝π/2 因而，余函数为)2sin 2cos (65)21(t t A A ytcππ+=为求y p ，我们在完备方程中尝试常数解y p ＝k 。

这产生k ＝4，因此y p ＝4，且通解可以写成：4)2sin 2cos (65)21(++=t t A A y ttππ 6.11时间路径的收敛性同在一阶差分方程中的情况一样。

时间路径y t 的收敛性仅取决于当t →∞时，y c 是否趋近于零。

因此，我们在关于t 的7个区域分布图中所了解的关于b t 式的各种图形仍可应用，尽管在这里我们必须考察两个特征根，而非一个特征根。

首先考察不同实根的情况：b 1≠b 2。

若│b 1│＞1，│b 2│＞1，则余函数中的两项A 1b 1t和A 2b 2t 将是放大的，因此y c 必然是发散的。

相反，若│b 1│＜1，│b 2│＜1，当t 无限增大时，y c 中的两项将收敛于零，y c 也将收敛丁零。

但若│b 1│＞1而│b 2│＜1，会如何呢？在这种中间情况下，很明显，A 2b 2t 项将会“消失”，而另一项会越来越偏离零值。

由此可知，A l b 1t 最终必将控制局势，并使路径发散。

我们将绝对值较大的那个根称作强根。

由此看来，实际决定时间路径的特征，至少是关于其敛散性这一特征的是强根。

实际情况也的确如此。

因此，我们可以这样表述；无论初始条件如何，当且仅当强根的绝对值小于1时，时间路径将是收敛的。

读者可以验证，在两个根的绝对值都大于1或小于1的情况下(上面讨论过)，以及在一个根的绝对值恰好为1的情况下(上面未曾讨论)，这个结论都是成立的。

但要注意，尽管收敛性最终仅取决于强根，但非强根也会对时间路径施加一定的影响，至少在起始阶段是如此。

因此y t 的确切图形仍取决于两个根。

其次考察重根的情况，此时余函数包含项A 3b t 和A 4tb t 。