8.7微分方程、差分方程在经济学中的简单应用
论微积分在经济学中的应用
论微积分在经济学中的应用微积分是数学中的一门分支，主要研究变化率、极限和连续性等概念。
在经济学的分析和研究中，微积分也扮演着重要的角色。
通过微积分的方法，经济学家们能够更加准确地描述和预测经济现象，从而为政策的制定和决策提供可靠的依据。
函数是微积分的基础，它表示一个变量与另一个或多个变量之间的关系。
在经济学中，函数通常被用来描述成本、收益、价格等经济变量之间的关系。
导数表示函数在某一点的变化率，即当自变量发生微小变化时，因变量相应的变化量。
在经济学中，导数可以用来研究经济变量的变化率，例如边际成本、边际收益等。
积分是微分的逆运算，它表示函数在某个区间上的总和。
在经济学中，积分可以用来计算总成本、总收益、总利润等。
微积分在经济学中的应用广泛而深入。
以下是一些主要的方面：优化问题：微分学中的极值理论可以用来解决优化问题，例如求解最大值或最小值点。
在经济学的决策过程中，优化问题通常涉及到成本最小化、利润最大化等方面。
动态分析：微积分中的导数和积分可以用来研究经济系统的动态变化。
例如，利用导数可以研究变量的变化率，而积分可以用来计算累积效应。
均衡理论：微积分在均衡理论中也有着重要的应用。
例如，利用微分学中的极值原理，可以研究经济学中的最优定价、资源分配等问题。
经济增长和收敛：微积分可以用来研究经济增长和收敛的问题。
例如，利用微积分可以研究经济增长的动态过程以及不同经济体之间的收敛性问题。
成本最小化问题：假设某公司生产一种产品，已知产品的市场需求函数为Q=100-P，其中P为产品的价格。
公司的总成本函数为C=5Q²+20Q+1000。
求该公司的最小成本点。
通过求导数，可以得出产品的边际成本函数为MC=Q+20。
根据市场需求函数可知，当边际成本等于价格时，市场达到均衡。
因此，将价格P代入边际成本函数可得Q=40，进而可得出公司的最小成本点为（20，800）。
动态经济增长模型：假设一国的经济增长率由储蓄率S、投资率I、人口增长率n和技术进步率A共同决定，即g=S+I+n+A。
考研数学之微积分在经济学中的应用
考研数学之微积分在经济学中的应用来源：文都教育这一部分内容，数一和数二都不考，只有数三考试，考试内容比较简单。
这一部分和常微分方程联系紧密，只要常微分法方程学的好，这一部分都不会困难，主要是计算量比较大一些。
一下是文都数学老师总结的这一部分的主要内容，希望对数三考生有所帮助。
一、 差分方程1、定义 设函数).(t y y t = 称改变量t t y y -+1为函数t y 的差分, 也称为函数t y 的一阶差分, 记为t y ∆, 即t t t y y y -=∆+1 或 )()1()(t y t y t y -+=∆.一阶差分的差分称为二阶差分t y 2∆, 即t t t t y y y y ∆-∆=∆∆=∆+12)(.2)()(12112t t t t t t t y y y y y y y +-=---=+++++ 类似可定义三阶差分, 四阶差分,……),(),(3423t t t t y y y y ∆∆=∆∆∆=∆2、差分方程的概念一般形式：0),,,,,(2=∆∆∆t n t t t y y y y t F 或.0),,,,,(21=+++n t t t t y y y y t G 差分方程中所含未知函数差分的最高阶数称为该差分方程的阶.特别的，称1(x)y (x)x x y P f ++=为一阶差分方程，同样的，(x)0f ≠为非齐次的，反之为其次的；若为常数，我们称之为一阶常系数差分方程.3、一阶常系数线性差分方程的解法一阶常系数线性差分方程的一般形式为：)(1t f ay y t t =++，其中常数0≠a ，)(t f 为t 的已知函数，当)(t f 不恒为零时，称为一阶非齐次差分方程；当0)(≡t f 时，差分方程：01=++t t ay y 称为与一阶非次线性差分方程对应的一阶齐次差分方程。
4、解法（1）求齐次差分方程的通解把方程01=++t t ay y 写作t t y a y )(1-=+，假设在初始时刻，即0=t 时，函数t y 取任意常数C 。
第12.4节 差分方程在经济学中的应用
例题库
代入到
S a ( P ), D b ( P )
中得
.
L t 1 L t ( a b ) Pt 1 a b
于是代入方程(4)得
P t 2 [ c ( a b ) 2 ] P t 1 P t ( a b ) .
(5)
此方程为二阶常系数线性差分方程. 设其特解 为
Pt A
，代入方程得 A ；方程(5)对应的 的特征方程为 (6)
齐次方程
Pt 2 [ c ( a b ) 2 ] Pt 1 Pt 0
2
[ c ( a b ) 2 ] 1 0 .
例题库
Pt 2 Pt 1 c ( L L t 1 ) .
(3)
将(3)减去(2)得
Pt 2 2 Pt 1 Pt c ( L t 1 L t ) .
(4)
假设库存量 L t 的改变与商品销售状态有关，且在第
t1
时段商品的库存增加量等于该时段的供求量之差, 即
（
设 Q 和 P t 分别表示第t 期商品的产量和需求函数 例4 ） 与供给函数分别为P a bQ 与 Q t 1 c dP t ，那么参数满足 什么条件，经过若干年后该商品的产量与价格才能趋于稳定 呢？
t
（
t
t
解
将 P t a bQ t 代 入 Q t 1 c dP t ,
y 120 0
t
的特解为
.
y t 219 853 1 . 005
400 000
由此可得 y 180 147 ，即从现在算起，第20年结束 时投资帐户的资金需达到180 147元．
微分方程在经济学中的应用
微分方程在经济学中的应用微积分理论是现代数学的重要组成部分，微分方程则是微积分的一个重要分支。
微分方程的研究一直是数学界和工程学界的热门话题。
但是，除了这些专业领域，微分方程在其他领域也有广泛的应用，其中包括经济学。
本文将会介绍微分方程在经济学中的应用。
经济学是研究人类分配与利用有限资源的学科，也是社会科学中的一门重要学科。
经济学家经常需要解决各种各样的问题，如货币政策的制定、预测经济趋势、生产率和投资等等。
这些问题都可以通过微分方程来描述和解决。
本文将会介绍微分方程在下列几个具体方面的应用。
1. 行为经济学中的微分方程模型行为经济学是一门相对比较新的学科，它主要关注个体决策及其行为的经济学解释。
为了研究个体决策，最简单的方法是建立微分方程模型。
以经济学家基恩斯的消费函数为例，它的数学形式可以表示为：C = a + bY – cY^2。
其中，C表示消费支出，Y表示收入，a,b,c是常数。
这个方程模型设置了一个基本的消费函数，可以用来研究收入对消费支出的影响。
除此之外，行为经济学中的各种决策模型都可以被它们的微分方程形式所描述。
因为微分方程可以帮助我们理解个体决策和行为如何变化，以及如何干预这些变化。
2. 宏观经济学中的微分方程模型宏观经济学研究的是整个经济体系的运动和变化，宏观经济学家需要通过建立数学模型来预测宏观变化。
根据动力学系统和微分方程的理论，宏观经济系统可以用一组差分方程的形式来描述。
这些微分方程描述了社会、政治和经济的相互作用，以及它们对经济体系的影响。
例如，经济增长可以用单方程或系统微分方程来描述，这些方程描述了一些重要的宏观经济变量的变化率。
3. 金融数学中的微分方程模型金融数学是数学和经济学的交叉学科，它主要研究证券市场、银行和金融机构等金融领域中的数学模型。
这些问题的数学建模通常涉及到微分方程。
例如，黒-舒尔茨方程是描述股票价格波动的最常见的模型之一，可以通过一个随机差分方程的形式描述。
差分方程在经济学中的几个应用
差分方程在经济学中的几个应用
差分方程在经济学中有多个应用。
以下是其中几个例子：
1. 消费模型：差分方程可以用于建立消费者行为模型，例如动态消费模型。
这种模型可以用来解释消费者如何根据他们的财务状况和收入水平来做出消费决策。
2. 物价模型：差分方程可以用于建立物价动态变化的模型，例如通货膨胀模型。
这种模型可以用来解释通货膨胀的根本原因，并预测未来物价的变化。
3. 投资模型：差分方程可以用于建立投资决策的动态模型，例如资本品替换模型。
这种模型可以用来解释企业如何根据他们的制造成本、利润率等因素做出生产决策。
4. 就业模型：差分方程可以用于建立就业模型，例如菲利普斯曲线。
这种模型可以用于解释失业率和通胀率之间的关系。
总之，差分方程在经济学中有多个应用，这些应用可以帮助经济学家理解和预测经济现象。
微分方程在经济学中的应用
第四节 微分方程在经济学中的应用微分方程在经济学中有着广泛的应用，有关经济量的变化、变化率问题常转化为微分方程的定解问题．一般应先根据某个经济法则或某种经济假说建立一个数学模型,即以所研究的经济量为未知函数，时间t 为自变量的微分方程模型，然后求解微分方程，通过求得的解来解释相应的经济量的意义或规律，最后作出预测或决策,下面介绍微分方程在经济学中的几个简单应用．一、 供需均衡的价格调整模型在完全竞争的市场条件下，商品的价格由市场的供求关系决定,或者说，某商品的供给量S 及需求量D 与该商品的价格有关,为简单起见，假设供给函数与需求函数分别为S =a 1+b 1P ， D =a -bP ,其中a 1，b 1，a ,b 均为常数，且b 1＞0,b ＞0;P 为实际价格．供需均衡的静态模型为⎪⎩⎪⎨⎧=+=-=).()(,,11P S P D P b a S bP a D显然，静态模型的均衡价格为P e =11b b a a +-． 对产量不能轻易扩大，其生产周期相对较长的情况下的商品，瓦尔拉（Ｗalras ）假设：超额需求［D （P ）-S (P )］为正时,未被满足的买方愿出高价，供不应求的卖方将提价,因而价格上涨；反之,价格下跌，因此，t 时刻价格的变化率与超额需求D -S 成正比，即 tP d d =k (D -S ），于是瓦尔拉假设下的动态模型为 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=-=)].()([),(),(11P S P D k tP t P b a S t bP a D d d 整理上述模型得tP d d =λ（P e -P )， 其中λ=k （b +b 1)＞0，这个方程的通解为P （t ）=P e +C e -λt ．假设初始价格为P (0）=P 0,代入上式得，C =P 0-P e ，于是动态价格调整模型的解为P (t )=P e +(P 0-P e ）·e -λt ，由于λ＞0,故lim ()t P t →+∞=P e ．这表明,随着时间的不断延续，实际价格P (t )将逐渐趋于均衡价格P e ．二、 索洛（Solow ）新古典经济增长模型设Y (t )表示时刻t 的国民收入，K (t )表示时刻t 的资本存量，L (t ）表示时刻t 的劳动力，索洛曾提出如下的经济增长模型：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====.),(),1,(),(0t L L t sY t K r Lf L K f Y λe d d 其中s 为储蓄率（s ＞0），λ为劳动力增长率（λ＞0)，L 0表示初始劳动力(L 0＞0),r =LK 称为资本劳力比，表示单位劳动力平均占有的资本数量．将K =rL 两边对t 求导，并利用t L d d =λL ，有rL tr L t L r t r L t K λ+=+=d d d d d d d d ． 又由模型中的方程可得tK d d =sLf (r ，1）， 于是有tr d d +λr =sf (r ,1)． (10-4-1) 取生产函数为柯布-道格拉斯（Cobb -Douglas)函数，即f (K ，L ）=A 0K αL 1-α＝A 0Lr α,其中A 0＞0,0＜α＜1均为常数．易知f （r ，1)=A 0r α，将其代入（10-4-1)式中得tr d d +λr =sA 0r α． （10-4-2） 方程两边同除以r α，便有r -αt r d d +λr 1-α=sA 0． 令r 1-α=z ,则tz d d =(1-α）λ-α t r d d ，上述方程可变为 tz d d +(1-α)λz =sA 0（1-α）． 这是关于z 的一阶非齐次线性方程,其通解为 z =C e -λ（1-α）t +0sA λ(C 为任意常数）． 以z =r 1-α代入后整理得 r （t )=ααλλ---⎥⎦⎤⎢⎣⎡+110)1(sA C t e． 当t =0时，若r （0)=r 0，则有C =r 01-α－λs A 0． 于是有r （t ）= ααλαλλ----⎥⎦⎤⎢⎣⎡+110)1(010(sA A sr t )e -．因此, αλ-∞→=110)()(lim A s t r t ．事实上，我们在（10-4-2）式中，令tr d d =0,可得其均衡值r e =αλ-110)(A s . 三、 新产品的推广模型设有某种新产品要推向市场,t 时刻的销量为x (t ），由于产品良好性能，每个产品都是一个宣传品，因此，t 时刻产品销售的增长率t x d d 与x （t ）成正比，同时，考虑到产品销售存在一定的市场容量N ,统计表明tx d d 与尚未购买该产品的潜在顾客的数量N -x (t ）也成正比，于是有 tx d d =kx (N -x )， （10-4-3） 其中k 为比例系数，分离变量积分，可以解得x (t ）=kNtC N -+e 1 （10-4-4) 方程（10-4-3)也称为逻辑斯谛模型，通解表达式(10-4-4)也称为逻辑斯谛曲线． 由t x d d =()221kNt kNtC k CN --+e e 以及22t x d d =()3231)1(kNt kNt kNt C C k CN ---+-e e e ， 当x (t ＊)＜N 时,则有t x d d ＞0，即销量x （t )单调增加．当x (t *）=2N 时，22t x d d =0；当x （t ＊）＞2N 时，22t x d d ＜0；当x （t *)＜2N 时，22t x d d ＞0．即当销量达到最大需求量N 的一半时,产品最为畅销，当销量不足N 一半时，销售速度不断增大,当销量超过一半时，销售速度逐渐减小．国内外许多经济学家调查表明，许多产品的销售曲线与公式(10-4-4）的曲线十分接近，根据对曲线性状的分析，许多分析家认为，在新产品推出的初期，应采用小批量生产并加强广告宣传,而在产品用户达到20%到80％期间,产品应大批量生产,在产品用户超过80%时，应适时转产,可以达到最大的经济效益．习题10-41． 某公司办公用品的月平均成本C 与公司雇员人数x 有如下关系：C ′=C 2e -x -2C且C （0）=1,求C （x )．2． 设R =R （t ）为小汽车的运行成本，S =S （t ）为小汽车的转卖价值，它满足下列方程：R ′=Sa ， S ′=-bS ， 其中a ,b 为正的已知常数,若R （0）=0,S （0)=S 0（购买成本），求R (t ）与S （t ）．3． 设D =D (t ）为国民债务,Y =Y （t ）为国民收入，它们满足如下的关系：D ′=αY +β， Y ′=γY其中α,β,γ为正已知常数．（1) 若D (0)=D 0,Y (0）=Y 0,求D （t )和Y （t );(2） 求极限)()(lim t Y t D t +∞→． 4． 设C =C (t )为t 时刻的消费水平,I =I （t )为t 时刻的投资水平,Y =Y (t ）为t 时刻的国民收入，它们满足下列方程⎪⎩⎪⎨⎧>'=><<+=+=.0,,,,0,10,,为常数均为常数k C k I b a b a b aY C I C Y（1） 设Y (0)=Y 0，求Y (t ）,C (t )，I (t ）;(2) 求极限)()(lim t I t Y t +∞→ 5． 某养殖场在一池塘内养鱼,该池塘最多能养鱼5000条，鱼可以自然繁殖，因此鱼数y 是时间t 的函数y =y (t ），实验表明，其变化率与池内鱼数y 和池内还能容纳的鱼数(5000-y ）的乘积成正比，若开始放养的鱼为400条,两个月后池塘内鱼的数量为550条，求放养半年 后池塘内鱼的条数．。
差分方程在经济学中的简单应用
从 现在 到 ２ ０年 内 ， ａ 满 足方程
ａ … ＝（ １ ． ０ ０ ５ ） ａ ＋ｂ （ １ ． ２ ）
部分 资金 存 入银 行 ， 用 于投 资 子 女 的 教 育 ， 计 划
且ａ ０＝０ ， ａ ２ ４ ０＝９ ０ ０ ７ ３ ． ４ ５ ， 解 方程 （ １ ． ２ ） 得 通
金为 ｂ 元， 于是 ２ ０年后 ， 关于 ａ 的差分方 程模型为
ａ ＋ １＝ １ ． ０ ０ ５ ａ 一１ ０ ０ ０ （ １ ． １ ）
。 ＝ （ １ ． ０ ０ ５ ） Ａ ＋ ｝ ＝ （ １ ． ０ ０ ５ ） Ａ 一 ２ ０ ０ ｂ
以及 ａ ２ ４ ｏ＝ （ １ ． ０ ０ ５ ） Ａ 一２ ０ ０ ｂ＝９ ０ ０ ７ ３ ． ４ ５ ， ａ ｏ＝
・
３ ２ ・
第１ ３ 卷・ 第２ 期
王伟珠 ： 差分方程在经济学 中的简单应用
２ ０ １ ３从 而有 ｂ＝ １ ９ ４ ． ９ ５ 。
即要 达 到 投 资 目标 ， ２ Ｏ 年 内 要 筹 措 资 金 ９ ０ ０ ７ ３ ． ４ ５元 ， 平均 每月要 存入 １ ９ ４ ． ９ ５元 。
且 ａ ： 。＝ ０ ， ａ 。＝ 。 解 方程 （ １ ． １ ） 得 其通 解为 。 ＝ （ １ ． ０ ０ ５ ） Ａ一 ＝（ １ ． ０ ０ ５ ） Ａ＋
在 经济管 理 的许 多 实 际 问题 中 ， 经 济 变量 的数
２ ０ ００ ０ ０，
据大多是按时间周期统计 的， 各有关变量的取值是
离散 变化 的 ， 差 分 方程 正 是 研 究这 类 离 散 数学 模 型 的有力 工具 。 以下 从 四个方 面举 例 说 明 ， 差 分方 程
差分方程在经济学中的应用应用数学
本科毕业论文(设计) 论文题目：差分方程在经济学中的应用学生姓名：雷晶学号： 1004970226专业：数学与应用数学班级：数学1002班指导老师：舒蕊艳完成日期：2014年5月20日差分方程在经济学中的应用内容摘要本文叙述了研究差分方程的意义和背景、差分方程的定义、常见的解法以及差分方程相关模型,重点介绍差分方程经济学中的应用模型—筹措教育经费模型,包括问题的提出、模型举例和分析、提出假设、模型建立、模型求解、结果分析等等步骤对模型进行了更深层次的分析,做了进一步的推广.本文所介绍的筹措教育经费模型主要研究的是子女的教育费用,假定某家庭从孩子m岁起,每月拿出一部分钱存进银行,用于投资子女的大学教育,并计划n年后支出一些,直到孩子大学毕业,全部用完账户中的资金.差分方程的理论研究近十年来发展十分迅速,尤其是在经济领域,帮助人们解决了很多实际问题,筹措教育经费模型的建立为广大中国家庭子女教育的费用问题提供了明确的解决方法,是差分方程理论最贴近实际的模型之一.关键词：差分方程存款模型经济增长模型筹措教育经费模型, . . , , , , . a .’s . , ’s ’s m n , ., . a . a ’s .目录一、绪论 (1)（一）研究差分方程在经济学中的应用的目的意义 (1)（二）研究背景 (2)二、研究的理论基础 (2)（一）差分 (2)（二）差分方程 (3)（三）差分方程的解 (4)（四）特征根法 (4)三、差分方程的经济应用模型简介 (5)（一）贷款模型 (5)（二）存款模型 (6)（三）乘数-加速数模型 (7)（四）哈罗德-多马经济增长模型 (10)（五）投入产出模型 (11)（六）筹措教育经费模型 (12)四、总结 (14)参考文献 (16)序言数学这一学科从建立到现在,发展迅速,在人们的生活中也得到了越来越多的应用,人们把数学理论与生活实际相结合,这样的做法不仅解决了实际问题,也更加丰富了数学理论.差分方程是数学知识应用最广泛的部分之一,它在经济领域中的应用效果最为显著.本文先描述了差分方程的理论,然后对应用广泛的几个差分方程经济模型做了简单介绍,最后重点介绍了筹措教育经费模型,这是差分方程在经济领域最贴近实际生活的一个模型之一,从问题的描述出发,到模型建立、求解,最后对结果进行了分析和推广.研究差分方程在经济学中的应用,不仅能帮助解决生活中的经济问题,反过来更能进一步丰富数学理论.所以,研究差分方程的应用,在实际生活当中具有重要的意义.一、绪论（一）研究差分方程在经济学中的应用的目的和意义数学这一基础性学科在不断发展,在现代经济学中所起的作用也日益突出.数学是一切学科的基础,经济领域也不例外,要发展经济就要研究经济理论,掌握经济规律,预测经济发展的趋势,这些都离不开数学这一工具.经济学中的变量有三种类型,自变量和因变量、存量和流量、内生变量和外生变量,经济模型是研究经济学领域中的经济变量之间的关系的,在其中加入数学元素,使得问题的描述简洁清楚、语言严密精确.在研究过程中通过参考已有的数学模型或数学定理有利于新结果的产生,可得到精准的结论.经济模型[1]是研究分析经济变量关系的一个重要工具,连接了经济理论和经济现实,也让数学理论得到更加广泛的应用.经济数学模型具体来说,是在经济理论的指导下,通过建立数学模型的这个过程,把研究对象简单化,转化为本质同一的对象,使研究对象具有代表性,以一代全,实际操作起来更加方便,从而实现对经济现实的简化.故对于变量数量繁多,而且变量之间的关系复杂多变的经济数量关系进行分析研究,经济数学模型不可或缺.在经济数学模型中,差分方程的应用非常广泛,人们建立了一系列以差分方程理论为核心的一系经济类数学模型,如市场经济中的蛛网模型、养老保险模型以及筹措教育经费模型等等,相应模型的建立也就解决了相应的经济学中的问题,如市场经济中的蛛网模型的研究就是基于自由竞争的市场经济中的供需变化与价格变化的循环现象,筹措教育经费模型则是站在一个理性角度,定量研究某家庭投资子女教育所需的费用.其实,总结一下,不难发现,以上的模型都是关于离散变量的规律、性质问题,只要判断出要研究的问题具有这类共同点,就可以考虑用差分方程模型来分析求解问题.差分方程其实与微分方程有些许相似,差分方程是含有未知函数及其差分的函数方程,微分方程是含有未知函数的导数的方程,差分方程是微分方程的离散化.差分方程反映的是离散变量的取值规律.整个模型研究过程是通过建立离散变量取值所满足的平衡关系,从而建立起差分方程.建立差分方程模型,不仅可以从定性角度为社会问题的解决提供思路,还从定量的角度解决了实际问题.在经济学中,差分方程的应用使得实证研究更加系统化、规范化,精确的数学方法让广大研究者最大程度地汲取有用的信息,得到定量性结论.在得到结论的同时,也方便对未来的经济形势和发展情况作出较为精确预测,这对于个人的理财和国家的经济发展无疑起到了非常重大的作用.举个例子,市场经济中的蛛网模型主要是研究在自由市场上的一种现象：商品的供给大于需求时,销售不畅会导致价格的大幅下跌,而价格的下降又会使得商品的供给量下降,因此价格又会上升,如果没有干预,会如此的往复.人们利用差分方程的知识对此过程进行研究,又发现在图像中,商品产量和价格的图形轨迹类似于蜘蛛网状,于是便有了差分方程的蛛网模型的诞生.对于政府来说,也会更加方便,便于及时地进行经济干预.中国的社会主义市场经济体制强调的是以市场和计划两种手段来调配社会资源,市场为主,计划为辅,蛛网模型的建立,把市场调配资源的整个过程体现了出来,同时也让政府可以更有计划性、更有目的性地来干预经济,经济调控的效果也会更好.所以,研究差分方程,对于数学理论的发展和实际生活都具有十分重大的意义.（二）研究背景应用差分方程的知识,建立经济模型,解决经济学的问题是要针对目标问题,确定离散变量,根据实际,建立离散变量所满足的平衡关系式,从而建立差分方程.通过求出方程的解和对解的分析,把握这个离散变量变化的规律,并进一步结合其他的分析,得出原问题的解.差分方程的研究历史比较短暂,真正开始于上个世纪90年代,发展迅速,且成果显著,在国内外一直都是数学学者们的研究热点.在国内,很多学者也在这一领域辛勤工作着,怀化学院的数学系主任魏耿平就是代表人物之一,他的论文发表在国内外许多著名的期刊杂志上,如美国的源刊、国内的《数学学报》等.在国外,随着差分方程理论的快速发展,国际上出现了一种专业性的差分方程的期刊,它的名称叫做,能在这样一个国际性的期刊上发表学术成果,对个人的研究成果是一种很大的肯定,同时对数学学科的发展是具有非常大的意义的.这一专业期刊杂志的出现更加推动了差分方程理论在竞争中的不断发展,以及差分方程在实际中应用的进程,差分方程众多优秀的研究成果也有了展示的平台.如今,随着人们对知识产权的重视程度的提高,中国国内的学术氛围更加浓厚,个人对于这方面的保护意识也越来越强.这样越来越好的氛围有利于国内各领域内的学者们的研究工作的进行,也会推进数学理论的进程.在这样一个良好的气氛之下,相信差分方程理论的发展会越快越好,同时它对中国经济的繁荣发展也会起到更加强大的推动作用和理论指导作用.二、研究的理论基础（一）差分[2]设定义在整数集上的函数：()n f y = ,,2,1,0,1,2,ΛΛ--=n则函数()n f y n =的一阶差分定义为：()()n f n f y y y n n n -+=-=∆+11.函数()n f y n =的二阶差分n y 2∆定义为一阶差分的差分,即：()()n n n n y y y y -∆=∆∆=∆+12.由差分四则运算法则之中的：()n n n n z y z y ∆+∆=+∆,可得：n n n n n n y y y y y y +-=∆-∆=∆+++12122.以此类推，k 阶差分就可以定义为1-k 阶差分的差分,即：(),,3,2,10111Λ=-=∆-∆=∆-+=-+-∑k y c y y y i k n ik ki in k n k n k其中,()!!!i k i k c ik -=.例1、设n n y n 252+=,求n y ∆和n y 2∆.解：()()()71025121522+=+-+++=∆n n n n n y n ,()()()1071071102=+-++=∆∆=∆n n y y n n .（二）差分方程[2]定义1：含有未知函数n y 及其差分ΛΛ,,2n n y y ∆∆的函数方程成为差分方程. 形式：()0,,,,,n 2=∆∆∆n m n n n y y y y F Λ.定义2：含有未知函数两个或两个以上的函数值Λ,,1+n n y y 的等式,称为常差分方程. 形式：()0,,,,1=++k n n n y y y n F Λ.在差分方程出现的未知函数下标的最大差称为该差分方程的阶.根据定义,k 阶差分方程的一般形式为：()0,,,,1=++k n n n y y y n F Λ, 其中，n 是自变量,n y 是未知函数.例如,方程n n n n y y y 23212⋅=-+++是二阶差分方程.注意,方程21232n y y n n =+++是一阶差分方程.（三）差分方程的解[5]如果将函数()n y φ=代入差分方程后,使其称为恒等式,则称此函数该差分方程的解.若差分方程的解中含有任意常数,且所含独立的任意常数的个数与差分方程的阶数相同,则称这样的解为该差分方程的通解,由于通解中含有任意常数,所以在应用时,还需要确定这些常数的条件.这种条件称为定解条件.由定解条件确定了通解中的所有任意常数后所得到的解称为特解.对k 阶差分方程，常见的定解条件是初始条件：,,,,111100--===k k a y a y a y Λ其中,110,,,-k a a a Λ都是已知常数.例2、验证()nnn n c y 332-+=是差分方程nn n n y y 321⋅=-+的通解.解：将()nnn n c y 332-+=代入差分方程中,得：左边=()()[]=⋅=-+--+++n n n n n n n c n c 3332232211右边等式成立,故()nnn n c y 332-+=是所给差分方程的解.又因为其中含有一个任意常数,且给定的差分方程是一阶方程,所以,此解为通解.（四）特征根法[5]一阶常系数齐次线性差分方程的一般形式如下：)0(01==++a ay y x x （2-1） 这类方程的解法通常有两种,迭代法和特征根法,在这里介绍的是在差分方程模型中经常用到的特征根法.原一阶常系数齐次线性差分方程01=++x x ay y ,等价于()01=++∆x x y a y ,可以看出x y 的形式一定是某个指数函数.于是,假设()0≠=λλxx y ,代入方程,可得：01=++x x a λλ, （2-2）称方程（2-2）为齐次方程（2-1）的特征方程,解之得：a -=λ,是特征方程的根（简称特征根）.于是()xa y -=是齐次方程（2-1）的一个解,从而有：()xx a c y -=（c 为任意常数）.是齐次方程的通解.例3、求方程021=-+x x y y 的通解. 解：原方程的特征方程为：02=-λ,解之得：2=λ,于是,原方程的通解为：x c y 2⋅=.三、差分方程的经济应用模型简介差分方程模型在解决实际问题是,一般步骤如下：第一步,先要检验变量是否符合差分方程的理论条件,并进一步分析实际问题,设定好实际问题中的未知函数,建立差分方程,提出初始条件;第二步,先求解所建立的方程的通解,再根据之前设定的初始条件求出特解;第三步,用所得出的解给实际问题一个答复,并结合实际进行分析.在经济学中的差分方程模型很多,下面简单介绍几个差分方程应用较广泛的经济模型.有与个人日常生活中理财相关的,也有与国家的经济增长相关的.（一）贷款模型贷款这是老百姓生活中常见的一种现象,现在,不管是买房、买车,甚至是大学教育都已经开始流行贷款.买房、买车是一个人的一生中的重头消费项,在存款不足的情况下,可以帮助实现自己的房子、车子梦.一般是先支付部分款项,再通过银行贷款付清余额.首先以买房为例介绍贷款模型,假设某房屋总价为a 元,先付首付款后便可入住,剩下的可以通过银行贷款来付清,年利率为r ,需要n 年付清,利用差分方程的知识就可以计算出平均每月需要付多少钱,以及总共需要付的利息.具体求解的过程如下：实际在买房时,所需的首付款是房款全额的4060%不等,假设首付款为房款全额的40%,贷款 总额为a 53元.假设每月应付x 元,总共需要支付的利息为I 元,月利率为12r,即得到： 第一个月的应付利息为：2053121raa r y =⨯=, 第二个月的应付利息为：121211253112rx y r r y x a y -⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=,由此类推,可以得到：121211rx y r y t t -⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+,上式是一个一阶常系数非齐次线性差分方程,先求其对应的齐次方程：01211=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+t t y r y ,的通解,再求原方程的一个特解,相加后即可求得原方程的通解.最后,就可以计算出每月需要支付的钱,即：112112121531212-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯=nnr r r a x , （2-3）总共需要支付的利息为：a r r r a n I nn5311211212153121212--⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯⨯=. （2-4） 如下表,表2-1,是中国人民银行最新调整后的金融机构人民币贷款基准利率表：一般房贷或车贷都会在五年以上,所以采用6.55%的贷款利率,假设现在某人要买一栋全款为一百万元,贷款60万,在10年内还清,由（2-3）和（2-4）式,每月应支付的金额为：69.6912=x ,总共所需支付的利息为：47.829523=I .现实生活中,个人买房的实际情况不同,房子的具体地段、户型、大小面积、楼层等等有差异,所需支付的首付款数额也必然不同,在了解了这个模型后,只需带入相应字母所代表的数据,并相应地代入首付款金额,就可以很方便地计算出贷款的利息等数据,个人在还款的同时,心里也会有个底.（二）存款模型存款,同样也是生活中的一件平常的事,但其中也是有很多的数学知识的,掌握了,就可以大致了解存款的利息,更容易把握存钱的时机,也可以更好地树立理财的观念.存款是中国人比较传统的一种理财方式,因为银行存款利率的变化,如果想要获得更好的收益,就要掌握一定的数学知识,这样才能更准确地判断存款时机,获得更好地收益.先用字母代替具体数字,假设0s 为最初存入银行的资金总额,t s 为t 时期的存款总额,r 为存款利率,按年复利计息,就可以得到t s 与r 之间的关系,得到一个一阶常系数齐次线性方程：()Λ,2,1,0,11=+=+=+t s r rs s s t t t t求解方程,原方程的特征方程为：()01=+-r λ,解之得：r +=1λ,所以,原差分方程的通解如下：()0,1s c r c s tt =+=,即：t 时期取款所获取的收益为：()tt r s s +=10.如果要存款来获取收益,可以通过（2-5）式来得出最后的收益情况;如果在生活中需要贷款,那么就可以利用（2-3）,（2-4）两个式子大致计算出每月所需支付的资金,以及所需支付的全部利息,不会发生在银行贷款时理不清楚的现象,也有利于自己管理自己的财产.根据中国人民银行最新发布的金融机构人民币存款基准利率调整表,表2-2：活期存款利率为0.35%,若最初存进银行的金额是100000=S 元,3=t ,第3年的收益3S 为：()37.101050035.011000033=+=S .按照最长的5年的定期存款利率4.75%来计算，假设最初的存款100000=S ，5=t ，第5年的收益5S 为：()60.126110475.011000055=+=S .存款作为中国老百姓传统的理财方式,虽然已经不多见了,但平时生活中留有存款,也可以应对老人生病等突发的状况.平时留有一定数额的存款还是有不少作用的,对存款利率的了解是很重要的.（三）乘数-加速数模型[4]差分方程在经济学中的应用除了与实际生活联系密切的模型之外,也有关于宏观经济方面的模型,比如经济增长模型等.对于一个国家来说,经济的增长十分重要,持续稳定增长的经济会给人民带来更多的福祉.所以,第三个模型介绍的是由萨缪尔森提出的乘数-加速数模型,它是属于典型的凯恩斯主义.在介绍乘数-加速数模型之前,首先应明确本模型中所涉及的两个经济原理,乘数原理和加速原理.乘数原理说明了投资变动对国民收入变动的影响,而加速原理说明了国民收入的变动对投资变动的影响.乘数-加速数模型就是二者结合起来对经济周期的影响.假设K 为资本存量,Y 为产量水平,v 代表资本-产量比率,有：vY K =,一般情况下,资本-产量比1>v .()1-t 时期的K 和Y 的关系可表示为：11--=t t vY K ,从1-t 时期到t 时期,资本存量的增加量是1--t t K K .资本的增加需要投资的增加,记t I 是t 时期的投资净额,则有：1--=t t t K K I ,由11--=t t vK K ,可以推导出：()11---=-=t t t t t Y Y v Y vY I . （2-6） 上式表明,在资本-产量的比率保持不变的情况下,t 时期的净投资额t I 决定于1-t 到t 时期的产量的变动量,v 被称为加速数.由于生产过程中难以避免机器的磨损等,就会导致重置投资,将其视为折旧,与净投资额组成了总投资,则（2-6）式就变成了：t 时期的投资总额()t Y Y v t t +-=-1时期的折旧,所以，可以得到产量水平与投资支出之间的关系.加速数为大于1，资本存量的增加必须要超过产量的增加.前提是资本存量充分利用.萨缪尔森的乘数-加速数模型基本方程如下：t t t t G I C Y ++=, （2-7） 10,1<<=-ββt t Y C （2-8） ()0,1>-=-v C C v I t t t , （2-9） 其中,t Y 是国民收入,t C 是消费额,t G 是政府的购买.假定政府购买t G 是常数,G G t =.求解方程：将（2-8）（2-9）代入（2-7）式中,可得：()t t t t t G C C v Y Y +-+=--11β,化简后,有：()G vY Y v Y t t t =++-++ββ121,得出特征方程：()012=++-v v βλβλ,求解特征方程,是一个一元二次方程，由：()v v ac b ββ414222-+=-=∆,因为∆值有可能大于0等于0,或小于0,故对应∆的不同取值,解有三种情况. 故,化简之后的方程：()t t t t t G C C v Y Y +-+=--11β,通解为：=t Y 0-12211>∆++，βλλGC C tt , ()0,121=∆-++βλGt C C t, ()0,1sin cos 21<∆-++βϖϖGt C t C r t, 其中,()()[]()().1arctan ,,121,121,412,122v v r v v v v v +∆-===+=∆-+=-+=∆βϖβββλβλββ由此得到国民收入t Y 的计算公式,代入原方程就可以计算出本期消费t C ,本期私人投资t I .假设边际消费倾向5.0=β,加速数1=v ,政府每期开支相同,亿1=t G ,从上期国民收入中来此模型模型集合了两种经济原理,对经济周期的分析更注重外部的因素,投资影响收入和消费,消费和收入反过来也会影响投资,从而形成经济扩张或收缩的局面,这是西方学者的对经济波动的一种解释.政府对经济进行干预,就可以改变或缓和经济波动.采取适当政策刺激投资,鼓励提高劳动生产效率,就可以提高加速数,就可缓和经济萧条.（四）哈罗德-多马经济增长模型[6]宏观经济中的差分方程模型除了上述的萨缪尔森的乘数-加速数模型,还有另外一种经济增长模型,就是由哈罗德和多马共同提出的哈罗德-多马经济增长模型,同样也是凯恩斯理论的典型.这个模型与乘数-加速数模型的结论不同,它认为,经济的增长是不稳定的.具体的模型描述如下：假设,t S 为t 时期的储蓄额,t Y 为t 时期的国民收入,t I 则是t 时期的投资额,边际储蓄倾向用s 表示,10<<s ,与乘数-加速数模型一样,假定加速数v 保持不变.v s ,都是常数.哈罗德-多马经济增长模型的方程如下：10,1<<=-s sY S t t ,()0,1>-=-v Y Y v I t t t ,t t I S =, 化简方程,得到：011=----t t t sY vY vY ,可得到特征方程：0=--s v v λ,解之得：vs +=1λ,故原方程的通解：tt v s c Y ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=1.其中,c 是常数,vs指的就是要保证所有储蓄转化为投资的经济增长率,经济学中称为保证增长率.保证增长率vs中,v 是加速数,一般是假定不变的,s 是边际储蓄倾向,表示的是国民收入每增加一个单位,储蓄会增加的程度.依据哈罗德-多马经济增长模型,如果可以保证t 时期的储蓄额和投资保持平衡,储蓄额可以得到充分的利用,那么国民收入就会按照保证增长率vs增长.但在实际中,储蓄与投资之间的完全转化是难以实现的,因此会造成经济的增长不稳定的状况,就会得到相应的结论.（五）投入产出模型[8]如果说上述的两个经济增长模型是对经济增长速度的深刻阐述,那么最后要介绍的投入产出模型,则是更进一步的对结果的探究.投入产出模型,是一种定量分析并衡量经济效益的模型,可以为国家经济政策的制定提供依据.从事某一项经济活动之前会有成本的投入,如人力、财力等,经济活动结束后会有一定的收益,投入产出模型的提出,就是将投入与产出量化,用数学方法来进行宏观经济的核算,并经过合理的分析后,采取一定的措施,调控成本,提高国家经济效益.此模型诞生在美国,由著名经济学家列昂捷夫提出,是国民经济核算的重要组成之一.我们在这里介绍的是静态投入产出模型,是对一个时期的经济活动的计划投入、计划收入以及对应的实际收入进行计算.具体如下：假设,t 时期初,国家计划投资额t I ',对应的实际投资t I ,计划消费t C ',对应实际的消费是t C ,计划的收入t Y ',对应实际的收入是t Y ,假定计划消费可以实现,且计划投资与实际投资相等,则有：t t t t C C I I ='=',,也有：t t t t t Y C I C I =+='+', （2-10）实际的收入t Y 是这样计算的,假定t S 为实际的储蓄额,则有：t t t C Y S -=, （2-11） 由（2-10）和（2-11）两式可得：t t t t S C Y I =-=,即,实际的投资额与实际储蓄额相等,但计划储蓄与实际储蓄是不等的,所以,计划投资额与计划储蓄不等.一般本期计划消费是根据上一期的收入和消费额指定的,上期的收入与本期的计划消费是有函数关系的,假定计划消费是上期收入的一次线性函数,故有：k aY C t t +='-1,其中,a 是边际消费倾向,一般情况下10<<a ,k 是常数,代表基本生活消费.将上式代入（2-10）中,可以得到如下的一阶常系数线性差分方程：t t t Y I k aY =++-1,用特征根法解方程,原差分方程的特征方程为：0=--t I k λ,解之得：t I k +=λ,故,原差分方程的通解为：()tt t I k c Y +=.若已知基本的消费和计划投资（前提假定计划投资与实际投资相等）,就可以计算出实际的收入.差分方程的应用远远不止上述的这些日常生活中的理财行为,以及宏观经济上的应用,它的应用也远不止经济学这一个领域,它对我们生活的影响可大可小,可以帮助我们更好地规划生活,这也体现了以差分方程为代表的数学理论知识,在实践中的巨大作用.（六）筹措教育经费模型 1、问题描述中国整体的国民收入水平在改革开放之后大大提高,但由于传统观念的影响,老百姓的理财意识并不强,一般家庭的消费支出并不高,人们总是习惯于把钱存入银行或信用社,但有一个共同的大的消费支出是不可避免的,就是子女的教育经费支出.在一个小孩上大学之前,从小学到高中是义务教育阶段,国家会承担多数的教育费用,这时候家庭负担较轻,不会造成经济压力.但到了大学阶段,学费数额一下子上升,一般的中国家庭经济压力就会加大.为了解决老百姓的这个问题,国家也有了很多的优惠政策,如生源地助学贷款、学校方面所提供的助学贷款、贫困助学金等.对此,还是有很多父母不愿孩子在进入社会之初就背负经济上的压力,想要让孩子轻装上阵,于是就想有计划地存款,为孩子以后的高等教育做准备.那么,假如某家庭从孩子出生时就开始准备存款,每个月从工资中拿出一部分资金,存入银行账户,用于投资子女以后的高等教育,并计划在20年后开始从该账户中每月支取固定的数额b 元,直到子女完成学业,并且在5年内要用完全部资金,要实现这个投资目标,20年后共要筹措多少资金?每月要向银行存入多少钱?2、问题分析此问题可以分成两个阶段,第一阶段是在前面20年,每月向银行存入一笔数额固定的资金,第二阶段,是在20年后将所有资金用于子女的教育,每月支取b 元,因为大学的学制一般是4年,少数专业如机械类,学制为五年,所以假定要在5年内用完该账户上的资金.3、建立模型首先,假设从一开始到20年内总共要筹措x 元资金,第n 个月向银行存款账户存入了n I 元,每月存入资金a 元,同时,设20年后第n 个月银行账户里有n S 元.（假设月利率为r ）所以,采用逆向思维,从该账户设立20年后开始,每月从该账户支取固定数额b 元,且5年内用完,账户里的钱开始逐年递减,则关于n S 的差分方程为：b S r S n n -⋅=+1,因为是5年内取完前20年存入的x 元,共有120个月的时间,故，0,600==S x S .。
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少资金？每月要向银行存入多少钱？假设投资的月
利率为0.5%， 10年后子女大学毕业用完全部资金. 分析 该问题可分为两个阶段，第一阶段是在前面20年
每月向银行存入一定数量的资金，第二阶段是在
20 年后将所有资金用于子女教育，每月支取1000元， 10内用完所有资金. 解 设从现在到20年内共要筹措 x 元资金，第n个月 投资账户资金为In元， 每月存入资金 a 元. 同时 也设 20 年后第 n 个月投资帐户资金为Sn 元，于是， 20 年后，关于Sn的差分方程模型为
现以猪肉价格的变化与需求和供给关系来研究
上述振荡现象.
s 设第 n 个时期 (假定为一年) 猪肉的产量为 Q n , 价格为
Pn ,
产量与价格的关系为
Pn f ( Q n ),
s
d
本时期的价格又
决定下一时期的产量， 因此
Q n 1 g ( Pn ).
这种产销关系可用下述过程来描述：
Q1 P1 Q 2 P2 Q 3 P3
.
S n 1 1.005 S n 1000,
（9）
并且 S 120 0 , S 0 x . 解方程(9)，得通解
S n 1.005 C
n
1000 1 1.005
120
1.005 C 200000,
n
以及
S 120 1.005
C 200000 0,
x
所以原方程满足初始条件的特解为
a yt 2 r 12 x r 12 (1
r 12
) x
t
1
a 2
r 12
(1
r 12
)
t 1
x (1
r 12
)
t 1
x.
于是n年利息之和为
I y 1 y 2 y 3 y 12 n
a 2 r 12 [1 (1 r 12 ) (1 r 12 ) (1
s s s
P
P f (Q )
Q g(P )
Q n Pn
s
A3
s
A4
设
A1 ( Q 1 , P1 ), A 2 ( Q 2 , P1 ),
s
A2
A1
A 3 ( Q 2 , P2 ), A4 ( Q 3 , P2 ) ,
s s
o
图4.1：蛛网模型图
t
于是令特解 由于1 不是特征方程的根，
代入原方程，得
A (1 r 12 )A rx 12 ,
y t A,
*
即
x A,
于是
yt x.
*
故原方程的通解为
r 12 ) x.
t
y t C (1
ar
当
y1
r 12
a 2
ra 24
时，得
C 24 , r 1 12
(1
r
)
12 n
r
元，共付利息
I 12 n 2
(1
12 12 a r 12 n 2 (1 ) 1 12
)
12 n
元.
例8 （筹措教育经费模型）某家庭从现在着手从每
月工资中拿出一部分资金存入银行，用于投资子女
的教育. 并计划20年后开始从投资帐户中每月支取
1000元，共计支取10年，直到子女完成学业并用完
S (t ) D(t )
即可，于是有：
30 P 5
dP dt
dP dt
51 2 P 4
dP dt
.
整理得
3 P 21 .
解此一阶线性微分方程得 P ( t ) 7 Ce 3 t . 再将初始条件 P ( 0 ) 12 代入得 C 5 .
3 t 因此，P ( t ) 7 5 e .
1 2 t
( C 1 cos
3 6
t C 2 sin
3 6
t ) 4.
代入初始条件
P
t0
5, P t 0
1 2
,
可得 C 1 1, C 2 2 3 . 因此该商品的价格函数为
P (t ) e
1 2 t
(cos
3 6
t 2 3 sin
3 6
t ) 4.
P dD e , D dP
可得微分方程
P dD k, D dP
P dD k, D dP
这是一个可分离变量的微分方程，分离变量得
dD D k dP P ,
两边积分得 ln D k ln P ln C , 因此需求函数为 为任意正常数.
D Ce
k ln P
2
解得其共轭复根为
r1 ,2
1 2
3 6
i.
于是对应齐次方程的通解为
P (t ) e
1 t 2
,
( C 1 cos
3 6
t C 2 sin
3 6
t ).
由于原方程右端为常数4， 因此可设特解为
P C , 代入原方程可得 C 4 .
*
因此原方程的通解为
P (t ) e
S t 1 S t rS t (1 r ) S t ,
t 0 ,1, 2 , ,
这是关于 S t 的一个一阶常系数齐次线性差分方程，
其通解为
S t (1 r ) S 0 ,
t
t 0 ,1, 2 , ,
其中 S 0 为初始存款总额.
例7（贷款模型） 设某房屋总价为a 元,先付一半
一直循环下，在完全自由竞争的市场体系中，这种
现象是永远不可避免的.由于商品的价格主要由需求
关系来决定的，商品数量越多，意味需求量减少，
因而价格越低.而下一个时期商品的数量是由生产者
的供求关系决定，商品价格越低，生产的数量就越
少.当商品数量少到一定程度时，价格又出现反弹.
这样的需求和供给关系决定了市场经济中商品的价 格和数量必然是振荡的. 有的商品这种振荡的振幅 越来越小，最后趋于平稳，有的商品的振幅越来越 大，最后导致经济崩溃.
2
r 12
)
12 n 1
] 12 nx
x [1 (1
r 12
) (1
r 12
) (1
2
r 12
)
12 n 1
]
a 2
(1
r 12
)
12 n
a 2
(1 12 nx
r 12
) r
12 n
1 x.
12
由于上式中
I a 2
12 nx
r 12
a 2
也是总利息，所以有
(1 r 12 ) r 12
12 n
1 x,
(1
)
12 n
I
从而得
a x 2
12 12 , r 12 n (1 ) 1 12 a r 12 n r (1 ) 12 12 x 2 因此，平均每月付 r 12 n (1 ) 1 12 a r r
S 0 C 200000 x 0000 1.005
120
90073.45.
从现在到20 年内， In满足的差分方程为
I n 1 1 .005 I n a ,
(10)
且 I 0 0 , I 240 90073 .45 . 解方程(10), 得通解
dx ( t ) dt
正比于销售量 x ( t ) 与销售接近饱和水平的程度
a x (t ) 之乘积( a 为饱和水平），求销售函数 x (t ).
解
根据题意，可建立微分方程
dx ( t ) dt kx ( t )[ a x ( t )],
这里k 是比例因子.
这是一个可分离变量的微分方程，求得其通解为
其中
P (t )
表示 t 时刻的价格，
dP dt
表示价格关于时间
的变化率. 设某商品的供给和需求函数分别满足
S ( t ) 30 P 5 dP dt , D ( t ) 51 2 P 4
dP dt
.
如果 t 0 时，价格是12，试将市场均衡价格表示 为时间 t 的函数. 解 我们知道，要求市场的均衡价格，只要令
I n 1 . 005 C 1
n
a 1 1 . 005
1 . 005 C 1 200 a .
n
，
以及 I 240 1 .005 240 C 1 200 a 90073 .45 ,
I 0 C 1 200 a 0 .
从而有 a 194 .95 .
即要达到投资目标，20 年内要筹措资金 90073.45 元， 平均每月要存入银行 194.95 元.
例9 (动态经济系统的蛛网模型) 在自由市场上一定注意过这样的现象：一个时期由 于猪肉的上市量你远大于需求量时，销售不畅会导
致价格下跌，农民觉得养猪赔钱，于是转而经营其
它农副产品.过一段时间猪肉上市量减少，供不应求 导致价格上涨，原来的饲养户觉得有利可图，又重 操旧业，这样下一个时期会重新出现供大于求, 价格 下跌的局面. 在没有外界干预的条件下，这种现象将
x a 1 Ce
akt
,
其中C为大于0的任意常数, 可由给定的初始条件确定.
该函数的图像称为逻辑斯谛曲线.
二、 二阶微分方程在经济学中的应用 例4（市场均衡价格模型） 设市场上某商品的需求和 供给函数分别满足