初中数学条件求值问题的解法 学法指导 不分版本
初中数学分式求值的技巧点拨学法指导
初中数学分式求值的技巧点拨在分式运算中，常遇到求值问题，这类问题题型多样，技巧性强，若根据题目中分式的结构特点，采用适当方法，则可巧妙获解。
一、巧用配方法求值 例1 已知01x 5x 2=+-求44x1x +的值。
解：由0x 01x 5x 2≠=+-知，由此得5x1x =+ ∴2)x1x (x 1x 22244-+=+ 5272]2)x1x [(22=--+= 说明：在求解有关分式中两数（或两式）的平方和问题时，可考虑用完全平方公式进行解答。
二、巧用因式分解法求值例2 先化简，再求值： 1n mn )n m n mn n mn 2m n m (22222--+-+--。
其中231m -=，231n +=。
解：原式=1n mn ])n m )(n m ()n m (n )n m (n m [2--++--- nm mn 1n mn n m n 11n mn )n m n n m 1(--=-⋅--=----= ∵23231m --=-=，23231n +-=+= ∴1)23)(23(mn -=+---=，4)23()23(n m -=+----=- ∴41n m mn -=--=原式 说明：因式分解法是一种重要的数学方法，解决很多数学问题都要用到它，尤其是在分式化简和分式的四则运算中运用较多。
因此，希望同学们对因式分解的各种方法熟练掌握。
三、巧用整体代入法求值例3 已知3b 1a 1=-，求bab 2a b 2ab 3a 2---+的值。
解：由3b1a 1=-变形得ab 3b a -=-，代入所求式得： 原式ab2)b a (ab 3)b a (2--+-=53ab 2ab 3ab3ab 6=--+-=说明：在解答给定条件下求分式的值这类问题时，需要把待求值的分式进行恒等变形，转化成能用已知条件表示的形式，再代入计算，或先把条件进行化简再采用上述方法求值。
四、巧设参数（辅助未知数）求值例4 已知实数x 、y 满足x:y=1:2，则=+-yx y x 3__________。
条件最值问题的几种基本解法
条件最值问题的几种基本解法作者：赵玉香来源：《读写算》2011年第15期条件最值是最值问题中的一种常见题型，这类问题可以较好考查学生的数学应用能力。
分析和解决条件最值问题的思路和方法多种多样，笔者认为方法不宜分太细，学生只要掌握其中最基本的几种就行了，在应用中可以以不变应万变。
笔者在实践中归纳出了这类问题的几种基本解法：一、构造函数法利用所给条件，将所求式转化成关于某个自变量的函数形式，再利用求函数在给定区间上最值的方法来解题，这种方法就是笔者所说的函数构造法。
函数构造法又分为直接构造法和间接构造法两种。
(一)直接构造法又称代入消元法，直接将条件式简单变形后代入所求式，使之转化成关于某个自变量的函数形式再来求解，这种方法主要适用于条件式的次数不高于所求式的次数的题型。
例1:若，求的最小值。
解：由得，所以，从而的最小值为-45。
变式：若，求的最小值。
（注意字母的取值范围，如变式中,所以。
）(二)间接构造法又称参数法，在不容易直接代入的情况下根据条件式的特征及常见曲线参数方程的形式引入一个新的参数，将所求式转化成关于新参数的函数，再利用函数的性质求解问题的方法。
例2:若求的最大值。
解：由可令所以=，则的最大值是变式1若求的最大值。
（）变式2若求的最小值（令，则==，其中，所以的最小值为）参数法主要适用于条件式为两个平方式之和为1（或其它正数），求一次或二次代数式最值的问题，（条件为两式之和等于一个正数的情况也可以使用），通常会涉及到三角函数的化简及最值的求解问题。
练习1：若试分别用两种方法求的最大值。
（4）二、方程与不等式法题目中出现两个齐次式，特别是两个字母的和或者积式且其中一个为等式，求另一个式子的最值时，常通过根与系数的关系将问题转化成方程根的分布问题，或者利用放缩法将问题变成解不等式或应用均值不等式的问题，利用均值不等式时必须注意“一正，二定，三相等”的条件限制，特别是要验证等号能否成立。
例3:已知正数满足，求的最小值。
【word】条件最值问题的几种基本解法
条件最值问题的几种基本解法数学教育研究2011年第15期读写算条件最值问题的几种基本解法赵玉香(广州培英中学广东广州510000)条件最值是最值问题中的一种常见题型,这类问题可以较好考查学生的数学应用能力.分析和解决条件最值问题的思路和方法多种多样,笔者认为方法不宜分太细,学生只要掌握其中最基本的几种就行了,在应用中可以以不变应万变.笔者在实践中归纳出了这类问题的几种基本解法:一,构造函数法利用所给条件,将所求式转化成关于某个自变量的函数形式,再利用求函数在给定区间上最值的方法来解题,这种方法就是笔者所说的函数构造法.函数构造法又分为直接构造法和间接构造法两种.(一)直接构造法又称代入消元法,直接将条件式简单变形后代入所求式,使之转化成关于某个自变量的函数形式再来求解,这种方法主要适用于条件式的次数不高于所求式的次数的题型.例1:若2x—Y=3,求5x一Y的最小值.解:由2x—Y:3得Y=2x一3,所以5x一Y=5x一(2x一3):+12一9=(十6)一45,从而5x一Y的最小值为一45.变式:若2x—=3,求X一2y的最小值.(注意字母的取值范围,如变式中2x—Y=3==>Y=2x一3≥0,所以≥.)(二)问接构造法又称参数法,在不容易直接代入的情况下根据条件式的特征及常见曲线参数方程的形式引入一个新的参数,将所求式转化成关于新参数的函数,再利用函数的性质求解问题的方法.例2:若+=1,求X—Y的最大值.解:由+v2:1.可令X=COS,Y:sin,∈R所以x—Y=cos口一sin=42COS(a+),则X—Y的最大值叶是√变式1若X+Y=4,求—Y的最大值.(2√)r2变式2若+Y=1,求2x—的最小值斗(令=2COS口,=sin口,∈R,则2x一=4cos~z—sin4i5COS(a+妒),其中tan~o=4,所以2x—Y的最小值为一√)参数法主要适用于条件式为两个平方式之和为l(或其它正数),求一次或二次代数式最值的问题,(条件为两式之和等于一个正数的情况也可以使用),通常会涉及到三角函数的化筒及最值的求解问题.练习1:若+2=4,试分别用两种方法求y一2x的最大值.(4)二.方程与不等式法题目中出现两个齐次式,特别是两个字母的和或者积式且其中一个为等式,求另一个式子的最值时,常通过根与系数的关系将问题转化成方程根的分布问题,或者利用放缩法将问题变成解不等式或应用均值不等式的问题,利用均值不等式时必须注意”二正,二定,三相等”的条件限制,特别是要验证等号能否成立.31.例3:已知正数x,Y满足一,求+2的最小值.142?分研:条件丰口结伦郡是l开次,口J考虑用均值小等式.解:因为正数,满足3+1一,所以)=(+)+>5+VrV一.24g(当且仅当正数五同时满足j和--+～y631,即:3+√,:时等号成立.)别解一,考虑到条件中31=l,也可用参数法今:,y:——1-,+2:_3(cos2a+sin2a)+令—COS—~O’,y,—__2(cos+sin.1——别解二:正数,满足3+1=lj=1.=c川以x+2y=+2y-.~-2y=音+2(y—I1+55+2√6(‘)(得出关于y的函数后也可用求导判断单调性的方法来求解.)三.数形结合法华罗庚先生说过:”数与形本是两相倚,焉能分作两边飞.数缺形时少直观,形少数时难人微.”数形结合本就是一种重要的数学思想,条件最值问题有时可以借助几何图形来处理.数形结合法求条件最值的前提条件是对常见代数式或方程对应的几何图形比较熟悉,非常了解基本几何图形的定义与性质.例4:圆X.+=4有动点P(x,Y),求X—Y的最小值.解:方法一:参数法(类似例2)方法二:令X—Y=t,可变形为Y=X—t,由条件可知这组斜率为l的直线与圆+=4有公共点,其中f是这组直线纵截距的相反数,问题变为求截距的最大值. 3一z/‘1/I-3I-2一10I1/I2I3,/’/彳///一-2./’’3显然,直线与圆相切且截距为正时所求式子的值最小,利用点到直线的距离公式列方程计算可得结果.。
1. 对初中数学“求值问题”的解题方法探究
对初中数学“求值问题”的解题方法探究四川省高级教师 蒋仁发1．用主元法求值例1．（2001年全国初中数学联赛题）求实数y x ,的值，使得222)62()3()1(-++-++-y x y x y 达到最小值。
解法1：（视x 为主元）原式＝46203036522+--++y x y xy x＝⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-+-+5462035306522y y x y x ＝⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-+54620310306103065222y y y y x ＝1256353522+-+⎪⎭⎫⎝⎛-+y y y x＝616556353522+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫⎝⎛-+y y x∴当0353=-+y x 且065=-y 时，上式取得最小值，即65,25==y x 时，原式取得最小值61解法2：（视y 为主元）原式＝()46305206322+-+-+x x y x y＝⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-+-+3463053206322x x y x y ＝⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-+346305620662063222x x x x y ＝328102310322+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+x x x y＝61252310322+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+x x y∴当0310=-+x y 且025=-x 时，上式取得最小值，即65,25==y x 时，原式取得最小值61 例2．（2006年山东省初中数学竞赛题）已知4,0222=++=++c b a c b a 求：444cb a ++的值。
解：（视b a ,为主元）由已知得，2224,c b a c b a -=+-=+∴()()[]()()[]242121222222-=---=+-+=c c c b a b a ab ∴()()()42222222224482242c c c b a b a b a -=---=-+=+∴8444=++c b a例3．已知007186,0223≠=+-=-+c c b a c b a 且求cabc ab c b a ++++222的值。
条件分式求值的方法与技巧(含解析)-
条件分式求值的方法与技巧(含解析)-求条件分式的值是分式化简、计算的重要内容，解题要紧有以下三个方面：【一】将条件式变形后代入求值例1432z y x ==，z y x z y x +--+22求的值、 解：设432z y x ==＝k ， 那么x ＝2k ，y ＝3k ，z ＝4k 、 ∴原式＝545443224322==+-⨯-⨯+k k k k k k k k 、 说明：连比，常设比值k 为参数，这种解题方法叫参数法、 例2的值求b a b a b ab a +-=-+,0622、 解：由0622=-+b ab a 有〔a ＋3b 〕〔a －2b 〕＝0，∴a ＋3b ＝0或a －2b ＝0，解得a ＝－3b 或a ＝2B 、当a ＝－3b 时，原式＝233=+---bb b b ； 当a ＝2b 时，原式＝3122=+--b b b b 、 【二】将求值变形代入求值、例3)11()11()11(,0cb a ac b b a c c b a +++++=++求的值、 解：原式＝1)111(1)111(1)111(-+++-+++-++ac b a b a c b c b a c ＝3))(111(-++++a b c c b a ∵a ＋b ＋c ＝0，∴原式＝－3、例431=+xx ，的值求1242++x x x 、 分析：∵1)1(111222224-+=++=++x x x x x x x ， ∴可先求值式的倒数，再求求值式的值、 解：∵1)1(12224-+=++x x xx x 8132=-=，∴811242=++x x x 、 【三】将条件式和求值式分别变形后代入求值、例5yxy x y xy x y x ---+=-2232,311则分式的值为__________、 解法一：∵311=-yx ， ∴y －x ＝3xy ⇒x －y ＝－3xy 、 ∵原式＝xyy x xy y x 2)(3)(2--+- 53233)3(2=--+-=xy xy xy xy 、 解法二：将分子、分母同除以xy 〔≠0〕、 ∴原式＝xy x y 121232---+ 5332323)11(2)11(23=--⨯-=-----=yx y x 分析：∵填空题不需要写出解题过程，故可取满足等式的特别值求解、解法三：取x ＝21，y ＝－1， )31211(=+=-yx 、 ∴原式.532/52/3)1()1(21221)1(2)1(213212==---⨯⨯--⨯--⨯⨯+⨯=注意：特别值法是解填空题或选择题常用的解题方法或技巧、取特别值要注意满足条件等式，其原那么是要便于计算、例6a 2＋2a －1＝0，求分式24)44122(22+-÷++--+-a a a a a a a a 的值、 解：原式＝42])2(1)2(2[2-+⋅+--+-a a a a a a a 42)2()1()2)(2(2-+⋅+--+-=a a a a a a a a 42)2(42-+⋅+-=a a a a a aa a a 21)2(12+=+= ∵0122=-+a a ，∴122=+a a ，∴原式＝1、注意：本例是将条件式化为“122=+a a ”代入化简后的求值式再求值，这种代入的技巧叫做整体代入、练习1、231=-x x ，求分式221xx +的值、 2、01342=+++x x x ，先化简后求xx x -+-3932的值、 3、化简求值43326512222-+---+÷+--a a a a a a a a ，其中a ＝－3、 4、abc ＝1，那么111++++++++c ca c b bc b a ab a 的值为________、 参考答案1、417； 2、0〔原式＝x ＋3〕； 3、)42(522--=-a 原式； 4、1〔取a ＝b ＝c ＝1〕、。
初中取值范围的解题技巧
初中取值范围的解题技巧各位小伙伴们，今天咱们聊聊那个让人头疼的问题——怎么在初中数学里搞定取值范围的题？别急，跟着我一起慢慢来，保证你也能成为数学小能手！你得明白，这取值范围啊，就像是一个神秘的宝藏地图，上面密密麻麻地标着各种数字和条件。
比如说吧，如果你要计算一个数的平方，结果得是168，那这个数就得在15到17之间，这就是一个取值范围。
怎么找到这个宝藏呢？秘诀就在于细心和耐心。
比如，当你看到一道题说“某数的平方大于24”，这时候，你就得仔细算算23的平方是多少，再看看24的平方是不是也超过了这个数字。
如果都没问题，那答案就是23和24之间的某个数。
再来说说“小于24”的情况，这时候你就要想想了，23的平方加上一点点会不会超过24？或者反过来，24的平方减去一点点会不会等于23？这样一对比，就能找出符合条件的数啦。
还有哦，有时候题目会告诉你一个范围，比如说“大于0且小于5”，这时候你就得用上你的小聪明了。
你可以把范围想象成一个大箱子，里面装的东西有正有负，你要找到那个既不是负数也不是零、却又比0大比5小的神奇东西。
举个例子，要是有个题目说“某数比5大且比5小”，那你可得好好琢磨琢磨了。
你可以试着往中间靠靠看，是不是能找到一个数，它既不是个负数也不只是个正数？对啦！这个数就是0！因为0既不是负数也不是正数，所以它就满足了题目的要求。
不过呢，有时候题目可能会让你头疼，因为它会让你找一些不在常规范围内的数。
这时候，你就得发挥你的想象力了。
比如，要是有个题目说“某数的平方比100大”，那你就得想想100的平方是多少，然后再找找有没有哪个数的平方会比它大一点点。
这时候，你可能会惊讶地发现，原来有一个数的平方正好就是100！最后再给大家分享一个小窍门：遇到难题不要急，先放一放，去做点别的事，比如吃个苹果、喝杯茶。
等心情平静下来，再回头看问题，说不定就能找到答案了呢！以上就是关于初中取值范围的一些解题技巧啦。
八年级数学上册 小专题(十三)条件分式求值攻略练习 (新版)新人教版
小专题(十三) 条件分式求值攻略(本专题部分习题有难度，请根据实际情况选做)类型1 归一代入法将条件式和所求分式作适当的恒等变形，然后整体代入，使分子、分母化归为同一个只含相同字母积的分式，便可约分求值．1．已知1a ＋1b ＝3，求5a ＋7ab ＋5ba －6ab ＋b的值．类型2 整体代入法将条件式和所求分式作适当的恒等变形，然后整体代入求值．2．已知a 2－a ＋1＝2，求2a 2－a＋a －a 2的值．3．已知1x －1y ＝5，求3x ＋5xy －3yy －3xy －x 的值．4．已知a ＋b ＋c ＝0，求c(1a ＋1b )＋b(1c ＋1a )＋a(1b ＋1c )的值．类型3 设辅助元代入法在已知条件中有连比或等比时，一般可设参数k ，往往立即可解．5．已知a 2＝b 3＝c 4，求3a －2b ＋5ca ＋b ＋c 的值．6．已知x 3＝y 4＝z 7≠0，求3x ＋y ＋zy 的值．类型4 构造互倒式代入法 构造x 2＋1x 2＝(x ±1x)22迅速求解，收到事半功倍之效．7．已知m 2＋1m 2＝4，求m ＋1m 和m －1m 的值．8．若x ＋1x ＝3，求x 2＋1x 2的值．类型5 主元法若两个方程有三个未知数，故将其中两个看作未知数，剩下的第三个看作常数，联立解方程组，思路清晰，解法简洁．9．已知3x －4y －z ＝0，2x ＋y －8z ＝0，求x 2＋y 2＋z2xy ＋yz ＋2xz 的值．10．若4x －3y －6z ＝0，x ＋2y －7z ＝0(xyz ≠0)，求代数式5x 2＋2y 2－z22x 2－3y 2－10z2的值．类型6 倒数法已知条件和待求式同时取倒数后，再逆用分式加减法法则对分式进行拆分，然后将三个已知式相加，这样解非常简捷．11．已知x ＋1x ＝3，求x2x 4＋x 2＋1的值．12．已知三个数x 、y 、z 满足xy x ＋y ＝－2，yz y ＋z ＝43，zx z ＋x ＝－43.求xyz xy ＋yz ＋zx的值．参考答案1.由已知条件1a ＋1b＝3，得a ＋b ＝3ab.对待求式进行变形，得5a ＋7ab ＋5b a －6ab ＋b ＝5（a ＋b ）＋7ab（a ＋b ）－6ab.将a ＋b 视为一个整体，代入得5a ＋7ab ＋5b a －6ab ＋b ＝5×3ab ＋7ab 3ab －6ab ＝22ab －3ab ＝－223.2.由条件式得a 2－a ＝1，故原式＝2a 2－a －(a 2－a)＝21－1＝1.3.显然xy ≠0.将待求式的分子、分母同时除以xy ，得3x ＋5xy －3yy －3xy －x ＝－3（1x －1y ）＋51x －1y －3＝－3×5＋55－3＝－5.4.原式＝(1a ＋1b ＋1c )(c ＋b ＋c)－3.∵a ＋b ＋c ＝0， ∴原式＝－3.5.令a 2＝b 3＝c4＝k ，则a ＝2k ，b ＝3k ，c ＝4k ，代入原式，原式＝3×2k －2×3k ＋5×4k 2k ＋3k ＋4k ＝20k 9k ＝209.6.设x 3＝y 4＝z7＝k ≠0，则x ＝3k ，y ＝4k ，z ＝7k.∴原式＝3×3k ＋4k ＋7k 4k ＝20k4k＝5.7.在m 2＋1m 2＝4的两边都加上2，得(m ＋1m )2＝6，故m ＋1m ＝± 6.同理(两边都减2)，可得m －1m ＝± 2.8.x 2＋1x 2＝(x ＋1x)2－2＝32－2＝7.9.以x 、y 为主元，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －4y －z ＝0，2x ＋y －8z ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3z ，y ＝2z.∴原式＝（3z ）2＋（2z ）2＋z 23z ·2z ＋2z ·z ＋2×3z ·z ＝14z214z2＝1.10.将已知条件看作关于x 、y 的二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧4x －3y ＝6z ，x ＋2y ＝7z ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3z ，y ＝2z.故原式＝45z 2＋8z 2－z218z 2－12z 2－10z2＝－13.11.∵x 4＋x 2＋1x 2＝(x ＋1x )2－1＝32－1＝8， ∴x 2x 4＋x 2＋1＝18. 12.先将三个已知条件中的分子化为相同，得到xyz zx ＋yz ＝－2，xyz xy ＋zx ＝43，xyz xy ＋yz ＝－43.取倒数，有zx ＋yz xyz ＝－12，xy ＋zx xyz ＝34，xy ＋yx xyz ＝－34.将以上三个式子相加，得xy ＋yz ＋zx xyz ＝－14.两边再同时取倒数，得xyzxy ＋yz ＋zx＝－4.。
初中取值范围的解题技巧
初中取值范围的解题技巧初中生们，你们好！今天我们要来聊聊一个很重要的话题：初中取值范围的解题技巧。
你们知道吗，这个技巧可是关系到你们考试成绩的关键哦！那么，我们就来一起看看吧。
我们来说说什么是取值范围。
取值范围就是题目中给出的一个数值区间，要求我们在这个区间内找到符合条件的答案。
比如说，一道题目问：“在1到10之间，哪个数是3的倍数？”这就是一个取值范围的问题。
那么，如何解决这类问题呢？其实，我们可以运用一些简单的方法。
我们要仔细阅读题目，看清楚题目中的条件和要求。
然后，我们可以根据这些条件和要求，列出方程或者不等式。
接下来，我们就要开始解这个方程或者不等式了。
这个过程可能会比较复杂，但是只要我们耐心地去思考，一定能找到答案的。
下面，我就给大家举几个例子，让大家更好地理解这个技巧。
例子一：在5到8之间，哪个数是素数？这个问题看起来有点难，但是我们可以通过一些简单的方法来解决它。
我们要知道什么是素数。
素数就是只能被1和它本身整除的大于1的整数。
比如说2、3、5、7等都是素数。
现在题目给出了一个范围：5到8。
我们要在这个范围内找到素数。
我们可以这样想：既然5到8之间的数都是奇数(因为偶数都可以被2整除),那么我们就可以从最小的奇数开始判断了。
首先判断5是否是素数，发现5不能被除了1和5以外的其他数整除，所以5是素数。
接下来判断6、7、8是否是素数，发现它们都不能被除了1和它们本身以外的其他数整除，所以它们也是素数。
因此，在5到8之间有3个素数：5、7、8。
例子二：在1到20之间，有多少个偶数？这个问题也很简单吧？我们只需要知道偶数是可以被2整除的整数就可以了。
现在题目给出了一个范围：1到20。
我们要在这个范围内找出所有的偶数。
我们可以这样想：既然偶数可以被2整除，那么我们就可以用2去除每一个数，看结果是否为整数。
如果结果为整数，那么这个数就是偶数。
例如，用2去除1得到1,是整数；用2去除2得到2,也是整数；用2去除3得到1.5,不是整数；用2去除4得到2,是整数；以此类推。
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初中数学条件求值问题的解法 学法指导 不分版本
满足一定条件的求值问题，是常见题型，也是中考和数学竞赛中的一个亮点；由于它涉及知识广泛，解法灵活多变，使不少学生感到困惑不解。
尽管求值问题在具体表现形式上“千姿百态”，但若认真分析一下，我们就会发现，条件求值问题的解法主要有三种类型，下面举例说明其变形求值的方法。
1. 条件式→求值式
根据求值式的结构把条件式恒等变形后再代入求值，如：
例1. 已知37315x y z ++=.，410420x y z ++=.，求x y z ++的值。
分析：可先将y 看作常数。
解：由方程组37315410420x y z x y z ++=++=⎧⎨⎩
.
.
解得 x y
z y =-=⎧⎨⎩10532.
故x y z y y y ++=-++=10532105..
例2. 设x ，y 都是实数，且 24
351224
533x x y x x +-+-++-=
求84352x y x y +-的值。
分析：注意到根号内两个数互为相反数。
解：因为x ，y 都是实数 24530x x +-≥且24
350x
x +-≥
由此可得x y =-=-21，
故 原式＝8×(－2)3＋(－1)5－4×(－2)2×(－1)
＝－49
例3. 已知x =+31，求x x x 2
272-+的值。
解：由已知，得x -=13
两边平方，得x x 2213-+=
所以 x x 2279-+=
故 原式=+=+()31931
32
例4. 若x y z 347==，求3x
y z
y ++的值。
解：设x y z k 347===，则 x k y k z k ===347，，
故 原式=++=94745k k k k
例5. 设实数s ，t 分别满足1999102s s ++=，t t 299190++=，且st ≠1，求
st t s
++41的值。
分析：注意到二次方程系数的顺序倒置。
解：由1999102s s ++=得 ()()1991
1902s
s
++= 因为 t s
≠1， 显然t ，1s
是二次方程x x 299190++=的两不等实根， 所以 t s t s
+=-=199119，· 故 原式=++t s t s 141· =-+=-9941923×
2. 求值式→条件式
把待求的式子依照条件式的特点进行恒等变换，然后代入求解，如：
例6. 已知213
x y -=，xy =2，求24334x y x y -的值。
分析：将所求式变形，向已知条件靠拢。
解：原式=-x y x y 332() ==21
383
3×() 例7. 已知m ，n 是一元二次方程x x 2310-+=的两根，求代数式246200622m n n +-+的
值。
解：由根与系数的关系知
m n mn +==31，
原式=++-+2232006222
()()m n n n
=+-+-++-222312006222[()]()m n mn n n
=-+=232200420182()
例8. 若a a 2390++=，求a 3
的值。
分析：利用a a a a 32111-=-++()()进行降幂。
解：a a 3311=-+
=-+++()()a a a 1112 =-++--+=---+=--+()()()()a a a a a a a a 139281
1281269
22
=-++-+=+=23999
18927
2()a a
3. 条件式和求值式同时变形
依照条件式和求值式的特点，利用综合分析法进行恒等变换，沟通条件式和求值式的关系。
如：
例9. 已知x =+22，求x x x 432
34--＋15x ＋1的值。
分析：若将x 的值直接代入，运算冗长，观察条件式和待求式，可将它化为方程问题，利用多项式除法运算求解。
解：因为x =+22
所以 ()x -=222
即 x x 2420-+=
故原式=-++-++()()x x x x x 2242255 =+=+551552x 例10. 已知x x x <-=015，，求x x x x x 74841291
++++的值。
分析：条件中给出了x 与
1x ，令1x y =，化分式为整式降低难度。
解：设1x
y = 则 x y -=5，xy =1
所以 x y x y xy +=--+=-()243
x y x y xy 222
27+=-+=()
故 原式=++
++=++++x x x x x y x y 33443344121
91129 =++-++-+=-()()()x y x y xy x y x y 22222221229328
例11. 已知a ，b ，c 为实数，且ab a b +=13，bc b c ca c a
+=+=1415，，求abc ab bc ca ++的值。
分析：原条件取倒数后易于计算。
解：由已知得 1
1311411
5a b b c c a +=+=+=，，，
所以 111
6a b c ++=
又 111a b c ab bc ca
abc ++=++
故 原式=1
6。