一元函数微积分学重要公式
常用微积分式导数公式
常用微积分式导数公式微积分是数学中的一个重要分支，它研究函数的变化率和积分等。
函数的导数是微积分中的重要概念之一，它表示函数在其中一点上的变化率，也可以理解为函数曲线上其中一点的切线斜率。
式导数是求函数的导数的过程，是微积分中的基本运算之一、下面是常用的微积分式导数公式。
1.一元函数的导数公式：- 常数函数的导数为0：d(c) / dx = 0，其中c为常数。
- 幂函数的导数：d(x^n) / dx = nx^(n-1)，其中n为实数，x为自变量。
- 指数函数的导数：d(e^x) / dx = e^x，其中e为自然对数的底数。
- 对数函数的导数：d(ln(x)) / dx = 1 / x，其中ln表示自然对数。
-三角函数的导数：- d(sin(x)) / dx = cos(x)- d(cos(x)) / dx = -sin(x)- d(tan(x)) / dx = sec^2(x)- d(cot(x)) / dx = -csc^2(x)- d(sec(x)) / dx = sec(x) * tan(x)- d(csc(x)) / dx = -csc(x) * cot(x)2.复合函数的导数规则：- 链式法则：若y = f(u)和u = g(x)都是可导函数，则d(y) / dx= d(y) / du * d(u) / dx。
- 乘积法则：若y = u * v，则d(y) / dx = u * d(v) / dx + v *d(u) / dx。
- 商规则：若y = u / v，则d(y) / dx = (v * d(u) / dx - u *d(v) / dx) / v^23.高阶导数公式：- 若y = f(x)是可导函数，则它的n阶导数可以表示为d^n(y) /dx^n。
- 幂函数的n阶导数：d^n(x^n) / dx^n = n!，其中n!表示n的阶乘。
- 指数函数的n阶导数：d^n(e^x) / dx^n = e^x，其中e为自然对数的底数。
数学分析(一)：一元微积分 南京大学 4 第四章微积分基本公式 (4.1.1) 导数和高阶导数
速度和曲率
问题 1 我们坐高铁的时候车厢前的屏幕上会显示速度. 在数学上如何定义速度, 如何计算速 度?
问题 2 如何从数学上刻画曲线的弯曲程度? 质点做匀速直线运动和曲线运动的差别是由什 么因素引起的?
注1 我们用导数来刻画这些量. 速度是位移的导数, 加速度是速度的导数, 因此是二阶导 数; 曲率也用二阶导数来刻画. Einstein: 时空的弯曲等价于引力!
导数
定义 1 (导数)
设函数 f
在 x0
附近有定义,
如果极限 lim
x →x0
f (x) − f (x0) x − x0
存在且有限,
则称 f
在 x0
处
可导, 此极限称为 f 在 x0 处的导数, 记为 f (x0).
导数
定义 1 (导数)
设函数 f
在 x0
附近有定义,
如果极限 lim
x →x0
f (x) − f (x0) x − x0
三角函数的导数
例1 (sin x) = cos x, (cos x) = − sin x.
证明.
设 x0
∈ R, 利用 lim
x →0
sin x x
=1
可得
lim
x →x0
sin x x
− sin x0 − x0
=
lim
x →x0
sin[(x
− x0)/2] cos[(x (x − x0)/2
+ x0)/2]
导数
定义 1 (导数)
设函数 f
在 x0
附近有定义,
如果极限 lim
x →x0
f (x) − f (x0) x − x0
存在且有限,
自考高等数学(一)第五章 一元函数积分学.
第五章一元函数积分学5.1 原函数和不定积分的概念一、原函数与不定积分的概念定义：如果在区间I内，存在可导函数F（x）使都有F＇（x）=f（x）或dF（x）=f（x）dx，那么函数F（x）就称为f（x）在区间I内原函数。
例：，sinx是cosx的原函数。
Lnx是在区间（0，+∞）内的原函数。
原函数存在定理：如果函数f（x）在区间I内连续，那么在区间I内存在可导函数F（x），使，都有F＇（x）=f（x）。
简言之：连续函数一定有原函数。
问题：（1）原函数是否唯一？（2）若不唯一它们之间有什么联系？例：（sinx）＇=cosx （sinx+C）＇=cosx（C为任意常数）关于原函数的说明：（1）若F＇（x）=f（x），则对于任意常数C，F（x）+C都是f（x）的原函数。
（2）若F（x）和G（x）都是f（x）的原函数，则F（x）-G（x）=C（C为任意常数）证∵[F（x）-G（x）] ＇=F＇（x）-G＇（x）=f（x）=f（x）=0∴F（x）-G（x）=C（C为任意常数）不定积分的定义：函数f（x）的全体原函数的集合称f（x）的不定积分，记为∫f（x）dx。
,其中∫为“积分号”，f（x）为被积函数，f（x）dx为被积表达式，C为任意常数。
例：求。
【答疑编号11050101】解：例：求。
【答疑编号11050102】解：积分曲线例设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程。
【答疑编号11050103】解：设曲线方程为y=f（x）,根据题意知即f（x）是2x的一个原函数。
由曲线通过点（1，2）所求曲线方程为y =x2+1。
函数f（x）的原函数的图形称为f（x）的积分曲线。
显然，求不定积分得到一积分曲线族。
不定积分的性质结论：微分运算与求不定积分的运算是互逆的。
5.2 基本积分公式实例启示能否根据求导公式得出积分公式？结论既然积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出积分公式。
数学分析(一)：一元微积分 南京大学 5 第五章微分学的应用 (5.7.1) 常见函数的Taylor展开
一元微积分与数学分析—常见函数的T aylor展开梅加强南京大学数学系如果f在x0附近是光滑的,则称形式和∞n=0f(n)(x0)n!(x−x0)n为f在x0处的T aylor展开(级数)或(无限)T aylor公式.如果f在x0附近是光滑的,则称形式和∞n=0f(n)(x0)n!(x−x0)n为f在x0处的T aylor展开(级数)或(无限)T aylor公式.T aylor展开在x0=0的特殊情形也称Maclaurin展开(级数)或Maclaurin公式.如果f在x0附近是光滑的,则称形式和∞n=0f(n)(x0)n!(x−x0)n为f在x0处的T aylor展开(级数)或(无限)T aylor公式.T aylor展开在x0=0的特殊情形也称Maclaurin展开(级数)或Maclaurin公式.如果limn→∞n−1k=0f(k)(x0)k!(x−x0)k=f(x),则记f(x)=∞n=0f(n)(x0)n!(x−x0)n.此时称f在x0处的T aylor展开收敛到自身.如果f在x0附近是光滑的,则称形式和∞n=0f(n)(x0)n!(x−x0)n为f在x0处的T aylor展开(级数)或(无限)T aylor公式.T aylor展开在x0=0的特殊情形也称Maclaurin展开(级数)或Maclaurin公式.如果limn→∞n−1k=0f(k)(x0)k!(x−x0)k=f(x),则记f(x)=∞n=0f(n)(x0)n!(x−x0)n.此时称f在x0处的T aylor展开收敛到自身.注意:f光滑并不意味着其T aylor展开收敛到自身.例如,考虑函数f(x)=e−1 x2(x=0),f(0)=0,则f在0处的各阶导数均为零,其Maclaurin展开恒为零.问题1:对于给定的函数,如何较快地求出它的T aylor展开呢?问题2:T aylor展开有什么用?问题1:对于给定的函数,如何较快地求出它的T aylor展开呢?问题2:T aylor展开有什么用?定理1(T aylor公式系数的唯一性)设f在x0处n阶可导,且f(x)=nk=0a k(x−x0)k+o(x−x0)n(x→x0),则a k=1k!f(k)(x0),k=0,1,···,n.证明.根据带Peano余项的T aylor公式,f(x)又可写为f(x)=nk=01k!f(k)(x0)(x−x0)k+o(x−x0)n(x→x0).如果令b k=a k−1k!f(k)(x0),k=0,1,···,n,则两式相减可得nk=0b k(x−x0)k=o(x−x0)n(x→x0).首先,在上式中令x→x0即得b0=0.其次,上式两边除以x−x0,再令x→x0可得b1=0.这个过程可以继续,当等式两边除以(x−x0)k并令x→x0时就得到b k=0(0≤k≤n).T aylor展开的运算性质设f,g在x0=0处的Taylor展开分别为∞n=0a n x n,∞n=0b n x n,则(1)λf(x)+µg(x)的Taylor展开为∞n=0(λa n+µb n)x n,其中λ,µ∈R.(2)f(−x)的Taylor展开为∞n=0(−1)n a n x n;(3)f(x k)的Taylor展开为∞n=0a n x kn,其中k为正整数;(4)x k f(x)的Taylor展开为∞n=0a n x k+n,其中k为正整数;(5)f (x)的Taylor展开为∞n=1na n x n−1=∞n=0(n+1)a n+1x n;(6)x0f(t)d t的Taylor展开为∞n=0a nn+1x n+1;例子例11=1+x+x2+···+x n+···,x∈(−1,1).1−x例111−x=1+x+x2+···+x n+···,x∈(−1,1).证明.由等比级数求和公式可得1 1−x =1−x n1−x+x n1−x=1+x+x2+···+x n−1+x n1−x,固定x∈(−1,1),当n→∞时余项x n1−x→0.例111−x=1+x+x2+···+x n+···,x∈(−1,1).证明.由等比级数求和公式可得1 1−x =1−x n1−x+x n1−x=1+x+x2+···+x n−1+x n1−x,固定x∈(−1,1),当n→∞时余项x n1−x→0.例2ln(1−x)=−∞n=1x nn=−x−x22−···−x nn−···,∀x∈[−1,1).(1)对数函数的展开证明.利用积分可得ln(1−x)=−xd t1−t=−x1+t+···+t n−1+t n1−td t=−x−x22−···−x nn−xt n1−td t.如果−1≤x<0,则xt n1−td t≤xt n d t=|x|n+1n+1→0;(n→∞)如果0≤x<1,则xt n1−td t≤11−xxt n d t=x n+1(1−x)(n+1)→0.(n→∞)由此即得(1).将(1)中x换成−x,则得ln(1+x)=∞n=1(−1)n−1nx n=x−x22+x33−···,∀x∈(−1,1].(2)特别地,在上式中取x=1,得ln2=1−12+13−14+15−16+···.将(1)中x换成−x,则得ln(1+x)=∞n=1(−1)n−1nx n=x−x22+x33−···,∀x∈(−1,1].(2)特别地,在上式中取x=1,得ln2=1−12+13−14+15−16+···.例3arctan x=∞n=1(−1)n−1x2n−1(2n−1)!=x−x33+x55−x77+···,∀x∈[−1,1].(3)证明.利用积分可得arctan x=xd t1+t2=x−x33+x55+···+(−1)n−1x2n−12n−1+R n(x),其中余项R n(x)=(−1)nxt2n1+t2d t.当x∈[−1,1]时|R n(x)|≤|x|0t2n d t=|x|2n+12n+1→0(n→∞),这说明(3)式成立.特别地，取x=1,我们就重新得到了Leibniz公式π4=1−13+15−17+···.(Leibniz-Gregory)例4e x=1+x+x22!+x33!+···+x nn!···,∀x∈(−∞,∞).(4)例4e x=1+x+x22!+x33!+···+x nn!···,∀x∈(−∞,∞).(4)证明.e x的各阶导数仍为它自己,由Lagrange余项可得e x=n−1n=0x kk!+R n(x),R n(x)=eθxn!x n,其中θ∈(0,1).此时有如下估计|R n(x)|≤e|x||x|nn!→0(n→∞).这说明(4)式成立.例5sin x=∞n=1(−1)n−1x2n−1(2n−1)!=x−x33!+x55!+···+,∀x∈(−∞,∞).(5)cos x=∞n=0(−1)n x2n(2n)!=1−x22!+x44!−···,∀x∈(−∞,∞).(6)例5sin x=∞n=1(−1)n−1x2n−1(2n−1)!=x−x33!+x55!+···+,∀x∈(−∞,∞).(5)cos x=∞n=0(−1)n x2n(2n)!=1−x22!+x44!−···,∀x∈(−∞,∞).(6)证明.利用sin x=cos x,cos x=−sin x可得sin(2k+1)(0)=(−1)k,sin(2k)(0)=0.由带Lagrange余项的T aylor公式可得sin x=x−x33!+x55!+···+(−1)n−1x2n−1(2n−1)!+(−1)n x2n+1cosθx(2n+1)!,(θ∈(0,1))当n→∞时余项趋于零.cos x的展开类似可得.。
常用的等价无穷小及泰勒公式
常用的等价无穷小及泰勒公式常用的等价无穷小及泰勒公式一、等价无穷小等价无穷小是微积分中常用的概念，它在研究极限、无穷级数和泰勒公式等数学问题时具有重要的作用。
等价无穷小是指当自变量趋于某一特定值时，与之相对应的函数值的差异可以忽略不计。
在这里，我们将介绍几种常用的等价无穷小的概念。
1. 零阶无穷小零阶无穷小是最基本的一类等价无穷小。
它表示当自变量趋于某一特定值时，函数值的差异为无穷小，但它的阶数为0。
零阶无穷小通常表示为$o(x)$。
例如，当$x$趋于0时，$x^2$是一个零阶无穷小。
2. 一阶无穷小一阶无穷小是比零阶无穷小更高一级的概念。
它表示当自变量趋于某一特定值时，函数值的差异为无穷小，但它的阶数为1。
一阶无穷小通常表示为$O(x)$。
例如，当$x$趋于0时，$x$是一个一阶无穷小。
3. 高阶无穷小高阶无穷小是比一阶无穷小更高阶的概念。
它表示当自变量趋于某一特定值时，函数值的差异为无穷小，但它的阶数大于1。
高阶无穷小通常表示为$o(x^n)$或$O(x^n)$，其中$n>1$。
例如，当$x$趋于0时，$x^3$是一个三阶无穷小。
二、泰勒公式泰勒公式是一种重要的数学工具，用于将一个函数在某一点附近的局部信息转化为整体的近似信息。
泰勒公式可以将一个光滑函数表示为无穷级数的形式，使得我们可以通过有限项来近似计算函数的值。
1. 一元函数的泰勒公式一元函数的泰勒公式可以表示为以下形式：$$f(x) = \\sum_{n=0}^{\\infty} \\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$$其中，$a$为泰勒展开点，$f^{(n)}(a)$表示函数$f(x)$在点$a$处的$n$次导数。
2. 多元函数的泰勒公式多元函数的泰勒公式可以表示为以下形式：$$f(\\mathbf{x}) = f(\\mathbf{a}) + \abla f(\\mathbf{a}) \\cdot (\\mathbf{x}-\\mathbf{a}) + \\frac{1}{2!}(\\mathbf{x}-\\mathbf{a})^T \\cdotH(\\mathbf{a}) \\cdot (\\mathbf{x}-\\mathbf{a}) + \\ldots $$其中，$\\mathbf{x}$和$\\mathbf{a}$为多元函数的向量自变量，$\abla f(\\mathbf{a})$为函数$f(\\mathbf{x})$在点$\\mathbf{a}$处的梯度向量，$H(\\mathbf{a})$为函数$f(\\mathbf{x})$在点$\\mathbf{a}$处的Hessian矩阵。
第讲微积分的基本公式
第讲微积分的基本公式⾼等院校⾮数学类本科数学课程⼤学数学（⼀）——⼀元微积分学第⼆⼗三讲微积分的基本公式第五章⼀元函数的积分本章学习要求：熟悉不定积分和定积分的概念、性质、基本运算公式.熟悉不定积分基本运算公式.熟练掌握不定积分和定积分的换元法和分部积分法.掌握简单的有理函数积分的部分分式法.了解利⽤建⽴递推关系式求积分的⽅法.理解积分上限函数的概念、求导定理及其与原函数的关系. ?熟悉⽜顿—莱布尼兹公式.理解⼴义积分的概念.掌握判别⼴义积分收敛的⽐较判别法. 能熟练运⽤⽜顿—莱布尼兹公式计算⼴义积分。
掌握建⽴与定积分有关的数学模型的⽅法。
能熟练运⽤定积分表达和计算⼀些⼏何量与物理量：平⾯图形的⾯积、旋转曲⾯的侧⾯积、平⾏截⾯⾯积为已知的⼏何体的体积、平⾯曲线的弧长、变⼒作功、液体的压⼒等。
能利⽤定积分定义式计算⼀些极限。
第五章⼀元函数积分学第⼆节微积分的基本公式⼀. 积分上限函数⼆. 微积分基本公式请点击⼀. 积分上限函数 (变上限的定积分), , , )( 就有值每给定⼀对⽽⾔对可积函数b a x f . d )(I 与之对应确定的定积分值?=ba x x f 与它的上下限的定积分这意味着 d )( )( ?ba x x f x f. 之间存在⼀种函数关系 , ,则得到积让积分上限变化固定积分下限不变:分上限函数 . ],[ d )(d )()( b a x t t f x x f x F xa x a ∈==??O xya b x x )(x f yO xy a b x x )(x f y =?x a,d )(d )( 有由积分的性质：??-=ab b a x x f x x f ,d )(d )( ??-=x b b x t t f t t f 所以，我们只需讨论积分上限函数.. d )( 称为积分下限函数?bx t t f定理 1 证 . ]),([d )()( ]),,([)( b a C t t f x F b a R x f xa ∈=∈?则若, ],[ , ],[ 则且b a x x b a x ∈?+∈?)()()(x F x x F x F -?+=+?+=-=x x x x a xx a tt f t t f t t f d )(d )(d )( .|)(| ],[ )( ]),,([)( M x f b a x f b a R x f ≤∈上有界：在故⼜xM t t f t t f x F x x x xx x ?≤≤=?≤+?+ d |)(| |d )(| |)(|0 于是. ]),([)( , b a C x F x ∈即可得的任意性由夹逼定理及点.],[ : 1 积分上限函数是连续的上的定义在区间说明定理b a积分上限函数是否可导,d )()()( ??+=-?+xx x t t f x F x x F 由, ]),,([)( 得则由积分中值定理如果b a C x f ∈, )(d )()()( x f t t f x F x x F xx x ?==-?+??+ξ)(之间与在x x x ?+ξxx f x x F x x F x x ??=?-?+→?→?)(lim )()(lim 00ξ故)()(lim 0x f f x ==→?ξ这说明了什么？条件定理 2 ],[ d )()( ]),,([)( b a t t f x F b a C x f xa 在则若?=∈,且上可导 . )( )(d )(d d )( b x a x f t t f x x F x a≤≤=='? , )( 0处连续在点如果会不会有这样的结论：x x f ? )()( , d )()( 000 x f x F x t t f x F x a ='=?且处可导在点则, )(0即有处连续在点x x f .|)()(| , ),U( 0, ,0 00εδδε<-∈>?>?x f x f x x 时当),()( 00即要要x f x F =' ).(d )(lim )()(lim 0000000x f x x t t f x x x F x F x x x x x x =-=--?→→ d )(d )( )(d )( 000论成⽴.=-b a x a b d定理 3, ],[ ]),,([)( 0处连续且在点若b a x b a R x f ∈∈ . )()( , d )()( 000 x f x F x t t f x F x a ='=?且处可导在点则(在端点处是指的左右导数 )例1 ='?) d cos (xa t t d cos d d ?x a t t x .cos x = ?) d cos ( ='?xa x x 定积分与积分变量的记号⽆关.)(x F .cos ) d cos ( x x x xa ='?例 2 . )( , d )1sin()( 2 0 2x F t t x F x '+=?求设解 , )()( , d )1sin()( , 2 022x g x F t t u g x u u=+==?则令x u u g x F d d )()( ?'='故)()d )1sin((2 0 2'?'+=?x t t u. )1sin(22)1sin(42x x x u +=?+=这是复合函数求导, 你能由此写出它的⼀般形式吗?, ⼀般地, )( , )( 则可导若C x f x ∈?. )())(() d )( ()()( x x f t t f x F x a '?='='?例3 解.dlim21cos2xtex2 cos 121 cos d lim d lim 22xtexte x t xxtx-→-→-=2xe xx-→--=.21e=罗必达法则)())(()d)(()(xxfttfxa下⾯再看定理 2 .)()( d )()( 你会想到什么？及由x f x F t t f x F xa ='=?定理 2 ],[ d )()( ]),,([)(b a t t f x F b a C x f xa 在则若?=∈ ,且上可导 . )( )(d )(d d )(b x a x f t t f x x F x a≤≤=='?.)()())((,)(xfxFCxFxF=若.,)(则必有⽆穷多个若存在这样的xF.)()(),()(),()(2121CxFxFfxF=-='='则若.d)(,)(?b a xxfxF就可以计算定积分若能找到这样的CxxfxF xa=-?d)()((a F b F x x f b a -=。
高数(一)微积分公式(重要)
R(P)的导数
4.4 曲线的凹凸性和拐点 定理 1 如果 f(x)在[a,b]上连续，在（a,b）内具有二阶导数，若在（a,b）内 （1）f＇＇(x)＞0，则 f(x)在[a,b]上的图形是凹的； （2）f＇＇(x)＜0，则 f(x)在[a,b]上的图形是凸的。 曲线的拐点及其求法 1.定义 连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的拐点。 2．拐点的求法 拐点只可能是二阶导数为零的点以及二阶导数不存在的点。 设函数 f(x)在 x0 的邻域内二阶可导且 f＇＇(x0)=0 或者二阶不可导： （1）x0 两侧 f＇＇（x）变号，点（x0,f(x0)）即为拐点； （2）x0 两侧 f＇＇(x)不变号，点（x0,f(x0)）不是拐点。 4 3 例 2、求曲线 y=3x -4x +1 的拐点及凹凸的区间。 解：
特殊角的三角函数值
例 1.已知一个三角函数值，求其他的三角函数值。 （1）已知 tanx=3 求其他的三角函数值 斜边^2=a^2+b^2
Sinx=对/斜 cosx=邻/斜 tgX=对/邻 cotX=邻/对 sec x=1/cosx ①倒数关系：
②商的关系
③平方关系
两角和的正弦、余弦、正切公式
两角差的正弦、余弦、正切公式
关键：将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型 1、0.∞型
。
步骤：
，或
。
3、
型
步骤： 一、单调性的判别法
用导数取得极限值后代入原极限对数 E
定理 设函数 y=f(x)在[a,b]上连续，在（a,b）内可导， （1）如果在（a,b）内 f＇(x)＞0，那么函数 y=f(x),在[a,b]上单调增加； （2）如果在（a,b）内 f＇(x)＜0，那么函数 y=f(x)在[a,b]上单调减少。 例 1、讨论函数 解： 的单调性。
微积分基本定理—牛顿莱布尼茨公式
而原函数是与导函数互逆的一个概念，本质上属于
微分学，形式上看，与定积分没有关系。 Newton 和 Leibniz 却发现了这两个概念之间的内在联系：
函数在一个区间上的定积分等于它的原函数在该区间上的增量。 从此微分学与积分学形成一门完整学科——微积分学。
（2）为 定积分的计算提供了一个有效方法. 如果被积函数连续且其原函数易于求得，则只需 先求出原函数，再将上限和下限代入原函数后相减：
定理2 如果函数 f (x)在[a,b]上连续, 函数 F ( x)是 f ( x)
的一个原函数，则
∫b f ( x) dx = F (b) − F (a). a
（上式称为牛顿—莱布尼茨公式，也叫微积分基本公式）
证 因F ( x)与 Φ ( x) = ∫ x f (t )dt 都是 f ( x) 的原函数， a
证 设 F (t ) 是 f (t ) 的原函数，由 N-L 公式，得
∫ϕ(x)
ψ (x)
f
(t ) dt
=
[
F
(t
)]ψϕ
(x) ( x)
=
F
ϕ
( x)
−
F
ψ
( x)
，
于是，
∫ ϕ(x)
ψ ( x)
f
(t)
dt
′
=
F′ ϕ
( x)ϕ′(
x)
−
F′
ψ
(
x)ψ
′(x)
= f ϕ ( x)ϕ′( x) − f ψ ( x)ψ ′( x).
y
y = f (t)
定义了以 x 为自变量的一个
函数，记为Φ ( x), 即
Φ(x)
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几个重要极限与几个重要的等价无穷小
① 1sin lim 0=→x x x ，推广：1)
()(sin 0)(lim =→x x x ϕϕϕ，其中0)(≠x ϕ。
② ()e x x x =+∞→1
1lim ，推广：()()()()e x x x =+→ϕϕϕ101lim ，其中()0≠x ϕ。
③ )0a (1lim ,1lim >==∞
→∞→常数n n n n a n ，())00(0lim ,0ln lim 0>>==-∞
→→+k e x x x x k x k x ，常数δδδ ④ 当0→x 时，
()(),~11,~1ln ,~1,2
1~cos 1,~tan ,~sin 2ax x x x x e x x x x x a x -++--())
0k (~,1,0ln ~1,~arctan ,~arcsin >>+≠>-m x x x a a a x a x x x x m k m x 常数
（1）常用的导数（微分）运算法则
以下均设所涉及的函数可导，则有
① ()μυμυ'+'='+()υμυμd d d ±=±
② ()v u v u uv '+'='
()vdu udv uv d += ()u C Cu '='()Cdu Cu d =
③ )0(,2≠'-'='⎪⎭⎫ ⎝⎛v v v u u v v u )0(,2≠-=⎪⎭
⎫ ⎝⎛v v udv vdu v u d ④ 设，)(),(x u u f y ϕ==则有
,dy dx
du du dy dx ∙=即()()[]()()()x x f x f ϕϕϕ'∙'='. 与此相应的微分运算法则，就是微分形式不变性，即不论u 是自变量还是中间变量，均有 ()du u f dy '=.
（2）基本初等函数的倒数（微分）公式
① 为常数）（C C 0=')(0为常数C dC =
② ()为常数）（αααα1-='x x )(1为常数ααααdx x dx -=
③ ())1,0,(ln ≠>='a a a a a a x x 为常数
)1,0,(ln ≠>=a a a adx a da x x 为常数
()x x e e ='dx e de x x =
④ ())1,0(ln 1log ≠>=
'a a a x x a )1,0(ln 1log ≠>=a a dx a
x x d a ()x x 1ln ='dx x x d 1ln = ⑤ ()x x cos sin ='xdx x d cos sin =
⑥ ()x x sin cos -='xdx x d sin cos -=
⑦
()x x 2sec tan ='xdx x d 2sec tan = ⑧ ()x x 2csc cot -='xdx x d 2csc cot -=
⑨ ()x x x tan sec sec ='xdx x x d tan sec sec =
⑩
()x x x cot csc csc -='xdx x x d cot csc csc -= 11 ()211
arcsin x x -='dx x x d 211arcsin -=
12 ()211arccos x x --
='dx x x d 211arccos --= 13 ()211arctan x x +='dx x
x d 211arctan += 14 ()211cot x x arc +-='dx x
x darc 211cot +-= （3）变限积分求导公式
设)(t f 为连续函数，)(1x ϕ与)(2x ϕ均求导，则有
()())()()()()(1122)()(21x x f x x f dt t f x x ϕϕϕϕϕϕ'-'='⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎰
（4）n 阶导数运算法则
以下均设u,v 为n 阶可导，则有
()()()()n n n v u v u ±=±
()()()n n Cu Cu =
()()()()()()()n k k n k n n n n n uv v u C v u C v u uv ++++'+=-- (11)
后一公式称为乘积的高阶导数的莱布尼茨公式。
(5)几个常见的初等函数的n 阶导数公式
①
()ax n n ax e a e =)( ② ()⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=ax n a ax n n 2sin sin )(π ③ ()⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=ax n a ax n n 2cos cos )(π ④ ()()()
()()()n n n x n x +--=+-1!111ln 1 ⑤ ()()()n n x n x -++-∙∙∙-=+ααααα)1)(1()1(1
()θr r =θθsin ,cos r y r x ==其中⑤中，若α为某一正整数n,则()()()().,2,1,01,!1)()(∙∙∙==+=++j x n x j n n n n
(6)参数式所确定的函数的导数公式
设函数)(x f y =由参数式{
)
()(t x x t y y ==确定，并设想)(t x 与)(t y 均可导，0)(≠'t x 则 ()()3;t t tt tt t t t x xx t t x x y x y x x y y x y y ''''-'''='''''''='
设曲线 给出，由 便可得到L 的参数方程
()(){)
(,cos sin 为参数θθ
θθθr x r y ==。