3.2.2 空间线面关系的判定(一)

3.2.2空间线面关系的判定(一)

——平行关系的判定

一、基础过关

1．空间直角坐标系中A(1,2,3)，B(－1,0,5)，C(3,0,4)，D(4,1,3)，则直线AB与CD的位置关系为________(平行、垂直或无法确定)．

2．已知平面α的一个法向量是n＝(1,1,1)，A(2,3,1)，B(1,3,2)，则直线AB与平面α的关系是______________．

3．已知直线l与平面α垂直，直线的一个方向向量为u＝(1,3，z)，向量v＝(3，－2,1)与平面α平行，则z＝________.

4．已知A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0,1,0)，D(1,1，x)，若AD⊂平面ABC，则实数x的值是_____．5．若平面α的一个法向量为u1＝(－3，y,2)，平面β的一个法向量为u2＝(6，－2，z)，且α∥β，则y＋z＝________.

6．

如图，在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，M、P、Q分别为棱AB、CD、BC的中点，若平行六面体的各棱长均相等，则

①A1M∥D1P；

②A1M∥B1Q；

③A1M∥平面DCC1D1；

④A1M∥平面D1PQB1.

以上结论中正确的是__________(填序号)．

二、能力提升

7．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，棱长为a，M、N分别为A1B、AC上的点，A1M＝AN＝2

3a，则MN与平面BB1C1C的位置关系是________．

8．

如图所示，正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是CC1、C1D1、D1D、DC 的中点，N是BC中点，点M的四边形EFGH及其内部运动，则M只须满足条件________

时，MN∥平面B1BDD1(请填上你认为正确的一条即可)．

9．

如图，已知正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G、H、M、N分别是正方体六个表面的中心，试确定平面EFG和平面HMN的位置关系．

10．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，O是B1D1的中点，求证：B1C∥平面ODC1.

11．

如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝2，AF＝1，M是线段EF的中点．求证：AM∥平面BDE.

12．

如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC＝2，BB1＝3，D是A1C1的中点．证明：A1B∥平面B1DC.

三、探究与拓展

13．

如图所示，在正方体AC1中，O为底面ABCD中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面P AO?

答案

1．平行 2．AB ∥α或AB ⊂α 3．3 4．0 5．－3 6．①③④ 7．平行 8．M 在FH 上 9．

解 如图，建立空间直角坐标系D —xyz ，设正方体的棱长为2， 易得E (1,1,0)，F (1,0,1)，G (2,1,1)，H (1,1,2)，M (1,2,1)，N (0,1,1)． ∴EF →＝(0，－1,1)，EG →

＝(1,0,1)， HM →＝(0,1，－1)，HN →

＝(－1,0，－1)．

设m ＝(x 1，y 1，z 1)，n ＝(x 2，y 2，z 2)分别是平面EFG ，平面HMN 的法向量，

由⎩⎪⎨⎪⎧

m ·EF →＝0m ·

EG →＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧

－y 1＋z 1＝0，x 1＋z 1＝0，

令x 1＝1，得m ＝(1，－1，－1)．

由⎩⎪⎨⎪⎧

n ·HM →＝0，n ·

HN →＝0，得⎩⎪⎨⎪

⎧

y 2－z 2＝0，－x 2－z 2＝0，

令x 2＝1，得n ＝(1，－1，－1)． ∴m ＝n ，故m ∥n ， 即平面EFG ∥平面HMN . 10．证明

建系如图，设正方体的棱长为1，则可得 B 1(1,1,1)，

C (0,1,0)，

O (12，1

2，1)，C 1(0,1,1)， B 1C →

＝(－1,0，－1)，

OD →

＝⎝⎛⎭⎫－12，－12，－1， OC 1→

＝⎝⎛⎭

⎫－12，12，0.

设平面ODC 1的法向量为n ＝(x 0，y 0，z 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧

n ·

OD →＝0n ·

OC 1→＝0

得⎩⎨⎧

－12x 0－1

2

y 0－z 0＝0 ①－12x 0

＋1

2y 0

＝0 ②

令x 0＝1，得y 0＝1，z 0＝－1，

∴n ＝(1,1，－1)． 又B 1C →·n ＝－1×1＋0×1＋(－1)×(－1)＝0， ∴B 1C →

⊥n ，又B 1C ⊄平面ODC 1， ∴B 1C ∥平面ODC 1. 11．

证明 建立如图所示的空间直角坐标系． 设AC ∩BD ＝N ，连结NE ， 则点N 、E 的坐标分别是 ⎝⎛⎭

⎫22，22，0、(0,0,1)．

∴NE →

＝⎝⎛⎭

⎫－22，－22，1.

又点A 、M 的坐标分别是(2，2，0)、⎝⎛⎭

⎫22，22，1， ∴AM →

＝⎝⎛⎭

⎫－22，－22，1.

∴NE →＝AM →

，且A ∉NE ，∴NE ∥AM . 又∵NE ⊂平面BDE ，AM ⊄平面BDE ， ∴AM ∥平面BDE . 12．

证明 如图，以B 为坐标原点，分别以BA ，BC ，BB 1所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则B 1(0,0,3)， C (0，2，0)，

D ⎝⎛⎭

⎫22，2

2，3，