人教版高中数学选修4-4-1.1平面直角坐标系ppt课件

2
x
O
y=sinx
在正弦曲线y=sinx上任取一点P(x,y)，保持纵坐标不变，将横坐标x缩为原 1 来的，就得到正弦曲线y=sin2x. 2 上述的变换实质上就是一个坐标的压缩变换，即：设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，保持纵坐标不变，将横坐标x 1 缩为原来，得到点 p x, y 2 坐标对应关系为：
1 x 3 1 y 2
2.在同一直角坐标系下经过伸缩变换曲线C变为
x 后， 3x y y
2 2 ，求曲线 C的方程并画出图形。 x 9y 9
x 3x 2.解：将代入 y y
x -9y =9
2 2
得9x -9y =9
2
2即x -y =14为平面直角坐标系中的伸缩变换。
0, 0 注（1）（2）把图形看成点的运动轨迹，平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换得到；（3）在伸缩变换下，平面直角坐标系不变，在同一直角坐标系下进行伸缩变换。
例2：在直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换
后的图形。（1）2x+3y=0; (2)x2+y2=1 x x 2 x 解： 1由伸缩变换得 y 3y y 代入2x+3y=0
x x y 3 y
p x, y
2
通常把
2 叫做平面直角坐标系中的一个坐标伸长变换。
（3）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sin2x? 写出其坐标变换。 y y=3sin2x y=sinx 2
O

x
（3）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sin2x? 写出其坐标变换。在正弦曲线y=sinx上任取一点P(x,y)，保持纵坐标不变，将横坐 1 标x缩为原来的，在此基础上，将纵坐标变为原来的 3 倍，就得 2 到正弦曲线y=3sin2x. 设点P（x,y）经变换得到点为
x y 1
2 2
x x 1解：设伸缩变换， 0 y y
代入x +y =1得 x y 1
2 2
2 2 2 2
又4 x 9 y 36
2 2
1 3 则 1 2
x 得 y
1 x x 2 y 3 y
3
3 通常把叫做平面直角坐标系中的一个坐标伸缩变换。
定义：设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，在变换
x' x : y' y 的作用下，点P(x,y)对应 ( 0) ( 0) p x, y 称
2
2
课堂小结：
（1）体会坐标法的思想，应用坐标法解决几何问题；（2）掌握平面直角坐标系中的伸缩变换。

1 x x 2 y y
1
通常把
1 叫做平面直角坐标系中的一个压缩变换。
（2）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sinx? 写出其坐标变换。 y y=3sinx
y=sinx 2
O

x
（2）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sinx?写出其坐标变换。在正弦曲线上任取一点P（x,y），保持横坐标x不变，将纵坐标伸长为原来的3倍，就得到曲线y=3sinx。设点P（x,y）经变换得到点为
根据几何特点选择适当的直角坐标系的一些规则：（1）如果图形有对称中心，可以选择对称中心为坐标原点；
（2）如果图形有对称轴，可以选择对称轴为坐标轴；
（3）使图形上的特殊点尽可能地在坐标轴上。
二.平面直角坐标系中的伸缩变换
思考：
（1）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=sin2x?
y=sin2x
B
x
即 x2 y 2 c2 5[( x c)2 y 2 ]. 2 2 2 整理得 2x 2 y 2c 5cx 0.
因为
x c y 所以BE CF ( c)( x) 0. 因此，BE与CF互相垂直. 2 2 2
x y c BE ( c, ), CF ( x, y ), 2 2 2 2
x 2 x y 3 y
1 x x x 2 x 2 2 由伸缩变换得 y 3y y 1 y 3 2 y2 x 代入x2 +y2 =1得 4 + 9 =1
得x+y=0
1 x 2 1 y 3
1.在同一直角坐标系下，求满足下列图形的伸缩变换：曲线4x2+9y2=36变为曲线
例1.已知△ABC的三边a,b,c满足b2+c2=5a2,BE,CF分别为边AC,CF上的中线，建立适当的平面直角坐标系探究BE与CF的位置关系。
y
解：以△ABC的顶点Ａ为原点Ｏ， C 边AB所在的直线x轴，建立直角坐标系，由已知，点A、B、F的 E 坐标分别为 c A ( 0, 0 ) , B ( c ,0 ) , F ( ,0 ). 2 O (A) xF y 设点C的坐标为(x,y),则点E的坐标为（，）. 2 22 2 2 2 2 2 由b c 5a ，可得到 | AC | | AB | 5 | BC | ，

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高二数学选修4-44.1.21极坐标系课堂PPT.ppt

（x , y , z）的集合建立一一对应；
授课：XX
1
复习回顾
4.1.1 直角坐标系
数
平面直角
轴
坐标系
空间直角坐标系
R
（x , y)
（x , y , z)
授课：XX
2
复习回顾
建立坐标系是为了确定点的位置。由此，在所创建的坐标系中，应满足：任意一点都存在一个坐标与之对应；反之，依据一个点的坐标就能确定这个点的位置；而确定点的位置即为求出此点在设定的坐标系中的坐标。
OM= 3
M
给定ρ,θ在极坐标系中描点的方法：先按极角找到极径所在的射线，后按极径的正负和数值在这条射线或其反向延长线上描点。
授课：XX
19
5、负极径的实质
从比较来看，负极径比正极径多了一个操作，将射
M
线OP“反向延长”。
而反向延长也可以看成是旋转 O
，因此，所谓“负极径”实
质是针对方向的。这与数学中
[1]作射线OP，使XOP=
P
[2]在OP的反向延长
线上取一点M，使OM= ;
O
X
如图示：
M
授课：XX
15
新课讲解
2、负极径的实例
在极坐标系中画出点:M（－3，/4）的位置
[1]作射线OP，使XOP= /4 [2]在OP的反向延长线上取一
P = /4
点M，使OM= 3;
O
X
如图示： M（－3，/4）
[3]一点的极坐标是否有统一的表达式？
有.（，2k ）或（- ，2k π）
授课：XX
27
课堂小结
1、极坐标（ρ，2kπ+θ）和（-ρ，2kπ+θ+π）k其Z

高中数学人教A版选修4-4第二讲一 1. 参数方程的概念课件

[思路点拨] 此类问题关键是参数的选取．本例中由于 A、 B 的滑动而引起点 P 的运动，故可以 OB 的长为参数，或以角为参数，不妨取 BP 与 x 轴正向夹角为参数来求解．
[解] 法一：设 P 点的坐标为(x，y)，过
P 点作 x 轴的垂线交 x 轴于 Q.如图所示，则 Rt△OAB≌Rt△QBP.
∴xy＝＝bascions
θ， θ.
这就是所求的轨迹方程．
9．如图所示，OA是圆C的直径，且OA＝2a，射线OB与圆交于Q点，和经过A点的切线交于B点，作PQ⊥OA，PB∥OA，试求点P 的轨迹方程．
解：设 P(x，y)是轨迹上任意一点，取∠DOQ＝θ，由 PQ⊥OA，PB∥OA，得 x＝OD＝OQcosθ＝OAcos2θ＝ 2acos2θ，y＝AB＝OAtan θ＝2atan θ. 所以 P 点轨迹的参数方程为xy＝＝22aatcaons2θθ，， θ∈－π2，π2.
解析：x轴上的点横坐标可取任意实数，纵坐标为0.
答案：D
2．若点P(4，a)在曲线x＝2t ， (t为参数)上，则a等于(
)
y＝2 t
A．4
B．4 2
C．8
D．1
解析：根据题意，将点P坐标代入曲线方程中得
4＝2t ， a＝2 t
⇒ta＝＝84，2.
答案：B
3．在方程
参数方程是曲线方程的另一种表达形式，点与曲线位置关系的判断，与平面直角坐标方程下的判断方法是一致的．
1．已知点 M(2，－2)在曲线 C：x＝t＋1t ， (t 为参数)上， y＝－2
则其对应的参数 t 的值为________．解：由 t＋1t ＝2 知 t＝1. 答案：1
2．已知某条曲线 C 的参数方程为xy＝＝a1t＋2 2t， (其中 t 为参数， a∈R)．点 M(5,4)在该曲线上，求常数 a.

§一平面直角坐标系

x′＝ λx（ λ>0），其中区分变换的前后方向是关键． y′＝ μy（μ>0）
课堂练习
1．若点P(x，y)按伸缩系数k向着x轴的伸缩变换后，得到Q(x′，
y′)，则此变换的代数形式是
kx＝ x′ A. y＝ y′ x＝ x′ C. ky＝ y′ x＝ kx′ B. y＝ y′ x＝ x′ D. y＝ ky′
要点一运用坐标法解决解析几何问题例 1 如图所示，圆 O1 与圆 O2 的半径都是 1，|O1O2|＝4，过动点 P 分别作圆 O1、圆 O2 的切线 PM、PN(M、N 分别为切点)，使得|PM|＝ 2|PN|，试建立适当的坐标系，并求动点 P 的轨迹方程．
解
以O1O2的中点O为原点，O1O2所在的直线为x轴，
解析 ∵椭圆 x2＋4y2＝16 向着 y 轴进行伸缩变换，伸缩系数 k＝2，∴伸缩变换 x′＝x，y′＝2y， 1 1 ∴x＝x′，y＝ y′，代入原方程得到 x′2＋4( y′)2＝16， 2 2 ∴x2＋y2＝16.
课堂小结
1．坐标系是现代数学中的重要内容，它在数学发展的历史上起着划时代的作用．坐标系的创建，在代数和几何之间架起了一座桥梁．利用坐标系，我们可以方便地用代数的方法确定平面内一个点的位置，也可以方便地确定空间内
C 在此变换下变为
1 x′＝2x， x＝ 2x′，解 (1)①由伸缩变换得 y＝ 3y′. y′＝1y， 3 将其代入 5x＋2y＝ 0，得到经过伸缩变换后的图形的方程是 5x′ ＋3y′＝0. 经过伸缩变换后，直线仍然是直线． x＝ 2x′， ②将代入 x2＋y2＝1， y＝ 3y′ x′2 y′2 得到经过伸缩变换后的图形的方程是＋＝1. 1 1 4 9 经过伸缩变换后，圆变成了椭圆． (2)设 P(x，y)为曲线 C 上任意一点．

人教A版数学【选修4-4】ppt课件：1-4第一讲-坐标系

3．点的空间坐标的互相转化公式设空间一点 P 的直角坐标为(x，y，z)，柱坐标为(ρ，θ，z)，球坐标为(r，φ，θ)，则空间直角坐标(x，y，z) x＝ y＝ z＝ x＝ y＝ z＝转换公式，，
柱坐标(ρ，θ，z)
球坐标(r，φ，θ)
，，
1.(ρ，θ，z) 空间的点自我校对 2.正向标系逆时针球坐标 ρsinθ z
(3)在极坐标中，方程 ρ＝ρ0(ρ0 为不等于 0 的常数)表示圆心在极点，半径为 ρ0 的圆，方程 θ＝θ0(θ0 为常数)表示与极轴成 θ0 角的射线．而在空间的柱坐标系中，方程 ρ＝ρ0 表示中心轴为 z 轴，底半径为 ρ0 的圆柱面，它是上述圆周沿 z 轴方向平行移动而成的．方程 θ＝θ0 表示与 Oxz 坐标面成 θ0 角的半平面．方程 z＝z0 表示平行于 Oxy 坐标面的平面．常把上述的圆柱面、半平面和平面称为柱坐标系的三族坐标面．
π π 2，6，4，则点 M 的柱坐
)
π π 2，4， 6 B. 2，4， 6 π π 2，6，2 2 D. 2，6， 2
解析因为点 M
的球坐标为2
π π π 2，6，4，即 r＝2 2，φ＝， 6
π θ＝，故点 M 的直角坐标为 4 π π x＝rsinφcosθ＝2 2sin cos ＝1， 6 4 π π y＝rsinφsinθ＝2 2sin sin ＝1， 6 4 π z＝rcosφ＝2 2cos ＝ 6. 6
2．球坐标系与球坐标
一般地，如图所示，建立空间直角坐标系 Oxyz.设 P 是空间任意一点，连接 OP，记|OP|＝r，OP 与 Oz 轴________所夹的角为 φ. 设 P 在 Oxy 平面上的射影为 Q，Ox 轴按________方向旋转到 OQ 时所转过的 ________ 为 θ. 这样点 P 的位置就可以用有序数组 ________表示．这样空间的点与有序数组(r，φ，θ)之间建立了一种对应关系．把建立上述对应关系的坐标系叫做 ________(或空间极坐标系)，有序数组(r，φ，θ)叫做 P 的________，记作 P(r，φ，θ)，其中 r≥0,0≤φ≤π，0≤θ<2π.

人教版高中数学选修4-4--第一讲-坐标系-1.4--柱坐标系与球坐标系简介ppt课件

• 一、释疑难 • 对课堂上老师讲到的内容自己想不通卡壳的问题，应该在课堂上标出来，下课时，在老师还未离开教室的时候，要主动请老师讲解清楚。如果老师已
经离开教室，也可以向同学请教，及时消除疑难问题。做到当堂知识，当堂解决。 • 二、补笔记 • 上课时，如果有些东西没有记下来，不要因为惦记着漏了的笔记而影响记下面的内容，可以在笔记本上留下一定的空间。下课后，再从头到尾阅读一
空间点 P 的直角坐标(x，y，z)与球坐标(r，φ 之间的变换关系为：____x_2_＋__y2_＋__z_2＝__r_2，___.
x＝rsin φcos θ ， y＝rsin φsin θ ， z＝rcos φ
预习思考
(1,1,1)
1．设
P
点
柱
坐
标
为

2，π4，1 . 则它的直角坐标为
____________．
2．设点 M 的球坐标为2，34π，34π，它的直角坐标为 ____ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ_______．
(－1,1，－ 2)
题型1 柱坐标、球坐标的确定
例1 如图所示，已知长方体 ABCD-A1B1C1D1 的边长 AB 6 3，AD＝6，AA1＝12，以这个长方体的顶点 A 为坐标原点以射线 AB、AD、AA1 分别为 x 轴、y 轴、z 轴的正半轴，立空间直角坐标系，求长方体顶点 C1 的空间直角坐标、柱标、球坐标．
变式训练
1．建立如下图所示的柱坐标系，写出棱长为 1 的正方
各顶点的柱坐标．
变式训练
变式训练
题型2 柱、球坐标与直角坐标的互化
例2
已知点
M
的
柱
坐
标
为

高二数学之人教版高中数学选修4-4课件：1

实数m的取值范围是m≤ 或m≥5. 3 2
2.四边形ABCD为矩形,P为矩形ABCD所在平面内的任意一点,求证:PA2+PC2=PB2+PD2.
【证明】如图所示, 以A为原点,AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴,建立平面直角坐标系,设 A(0,0),B(a,0),C(a,b),D(0,b),P(x,y), 则PA2=x2+y2,PB2=(x-a)2+y2, PC2=(x-a)2+(y-b)2,PD2=x2+(y-b)2.
x ＝ 2 0 1 6 x ， 2与.直将线曲x线=0y,=xs=iπn(,2y0=106围x)成按图φ形: 的y ＝面12 积y 为__变__换__后__的.曲线
【解析】设曲线y=sin(2016x)上任意一点的坐标为 P(x,y),按φ变换后的对应点的坐标为P′(x′,y′),
由代入φy: =xys＝＝ in212(0y2106x1， 6得 x),xy得＝＝222yy01， ′1=6xsi， nx′,所以y′=
2.伸缩变换的类型与特点伸缩变换包括点的伸缩变换,以及曲线的伸缩变换,曲线经过伸缩变换对应的曲线方程就会变化,通过伸缩变换可以领会曲线与方程之间的数形转化与联系. 特别提醒:实数与数轴上的点是一一对应的,所以一个实数就能确定数轴上一个点的位置.
类型一坐标法求轨迹方程【典例】已知△ABC的边AB长为2a,若BC的中线为定长m, 求顶点C的轨迹方程.
【解析】曲线x2+y2=1经过φ:x 3 x变, 换后,
即
x
代x3 ，入到圆的方程,可得
即所பைடு நூலகம்y 求新y4 ，曲线的方程为
y
4y
x2 y2 1， 9 16

人教版高中数学选修4-4 第一讲坐标系二极坐标系 (共34张PPT)教育课件

A. y 1
sin t
1
x t2
C.
1
yt 2
x cos t
B. y 1
cos t
x tan t
D. y 1
tan t
7.极坐标方程
2
arcsin化(为直0)角坐标方程的形
式是（）
A. x2 y2 x 0
B．y x(1 x)
C. 2x 1 4y2 1 D.．y (x 1)
2.极坐标（,）与(ρ，2kπ+θ)( k )表z 示同一个点.即一点的极坐标的统一的表达式为(ρ，2kπ+θ)
3.如果规定ρ＞0,0≤θ＜2π，那么除极点外,平面内的点和极坐标就可以一一对应了。
我们学了直角坐标,也学了极坐标，那么这两种坐标有什么关系呢? 已知点的直角坐标为,如何用极坐标表示这个点呢?
M (, )
0
x
2
4
5
6
C
1.如图，在极坐标系中，写出点 AF(,6B, ,4C3 ,)D的, G极(坐5, 标53，所) 并在标的出位E置( 72 , ) ,
E D BA
O
X
4 F
3
G 5
3
解：如图可得A,B,C,D的坐标分别为
(4,0)
(2, )
(3, )
(1, 5 )
4
2
6
点E,F,G的位置如图所示
1
4.极坐标方程ρ=cosθ与ρcosθ= 的2 图形是（） B
A
B
C
D
解x=：12把，ρc故os排θ=除A，、12 化D；为又直圆角ρ坐=c程os，θ显得然: 过点 (0,1)，又排除C，故选B。
5、若A、B的两点极坐标为A(4,

高二数学之人教版高中数学选修4-4课件：第一讲二极坐标

答案：(1)√ (2)× (3)× (4)√
2．已知 M 点的极坐标为－5，π3，下列极坐标不能表示点 M 的是( )
A.5，－π3 C.5，－23π
B.5，43π D.－5，－53π
解析：一般地，极坐标(ρ，θ)与(ρ，θ＋2kπ)、(－ρ， 2kπ＋π＋θ)(k∈Z)表示同一个点，检验应选 A.
A________ B________ C________ D________
E________ F________ G________
(2) 与极坐标－2，π6 不表示同一个点的极坐标是
()
A.2，76π
B.2，－76π
C.－2，－116π
D.－2，136π
解析：(1)根据极坐标定义，若 M 是平面上任一点，ρ 表示 OM 的长度，θ 表示以射线 Ox 为始边，射线 OM 为终边所成的角，则 M 的极坐标为(ρ，θ)．
4．写出下图中各点的极坐标：
A________，B________，C________．答案：(4，0) 2，π4 3，π2
5．极坐标系中，与点3，－π3关于极轴所在直线对称的点的极坐标是________．
答案：3，π3
类型 1 极坐标系与点的极坐标(自主研析) [典例 1] (1)写出下图中各点的极坐标(ρ>0，0≤ θ<2π，且各线之间间距相等)．
③点 A 关于直线 θ＝π2的对称点的极坐标是_______．解析：(1)如图所示，△OAB 为等腰直角三角形，斜边 AB＝于极轴对称点为 B3，116π. ②关于极点对称点 C3，76π. ③关于直线 θ＝π2的对称点为 D3，56π.
答案：(1)2 (2)①3，116π ②3，76π ③3，56π

选修4-4,极坐标与平面直角坐标的相互转化 (共22张PPT)

思考：
平面内一点M的直角坐标是(1, 3)，
其极坐标如何表示?
点Q的极坐标为 (4, ) ，其直角坐
标如何表示？
6
在直角坐标系中, 以原点 y M (1, 3)
作为极点,x轴的正半轴作 θ
为极轴, 并且两种坐标系 O
x
中取相同的长度单位。
点M的直角坐标为 (1, 3)
M (2, )
设点M的极坐标为(ρ,θ)
6
A
用余弦定理求
AB的长即可。 o
x
小结
1、极坐标系的四要素极点；极轴；长度单位；角度单位及它的正方向。
2、点与其极坐标一一对应的条件
0, [0,2 )
3、极坐标与直角坐标的互化公式
2 x2 y2, tan y ( x 0)
x
x cos , y sin
A (3, )
B (2, )
C (1, )
)
4
练习: 已知点的直角坐标, 求它们的极坐标.
A (3, 3) C (5,0)
B (1, 3) D (0,2)
E (3,3)
例2：已知两点 A(2, )，B(3, )
求两点间的距离。 3
2
B
解：AOB
极化直：x cos , y sin
例1：互化下列直角坐标与极坐标
直角坐标 (2 3,2) (0,1) (3,0)
极坐标 (4, ) (1, ) (3, )
6
2
直角坐标
极坐标
(3, 3 ) ( 3,1)
5
(2 3, )
7
(2, )
6
6
(5,0)
(5,0)
练习：已知下列点的极坐标，求它们的直角坐标。

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