求二次函数的最大值,最小值的方法

Y=aX^2+bX+c

a>0 开口向上有最小值

a<0 开口向下有最大值

最值为顶点的纵坐标(4ac-b^2)/4a

或者配方成Y=a[x+b/(2a)]^2+(4ac-b^2)/4a=A(x-B)^2+C的形式,纵坐标自然就看出来了.

《用配方法解二次函数的相关问题》练习教学内容

-1 - 4 资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除用配方法解二次函数的相关问题的导练案一、选择题 1．下列函数中①y＝3x＋1；②y＝4x2－3x；③y=4 x2+x2; ④y＝5－2x2，二次函数的有（） A．②B．②③④C．②③D．②④ 2．抛物线y＝－3x2－4的开口方向和顶点坐标分别是（） A．向下，(0，4)B．向下，(0，－4)C．向上，(0，4)D．向上，(0，－4) 3．抛物线y=-1x2-x的顶点坐标是（） 2 A．(1，1) 2B．(-1，)C．(1，1)D．(1，0) 22 4．二次函数y＝ax2＋x＋1的图象必过点（） A．(0，a)B．(－1，－a)C．(－1，a)D．(0，－a) 5、已知方程x2-6x+q=0可配方成（x-p）2=7的形式，那么x2-6x+q=2可配方成下列的（） A．（x-p）2=5B．（x-p）2=9C．（x-p+2）2=9D．（x-p+2）2=5 6、把方程x2+3x-4=0左边配成一个完全平方式后，所得方程是（） 2 A．（x+3）2=-73B．（x+3）2=-15C．（x+3）2=15D．（x+3）2=73 416242416二、填空题 1．把二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)配方成y＝a(x－h)2＋k形式为，顶点坐标是，对称轴是直线．当x＝时，y最值＝；当a＜0时，x时，y随x增大而减小；x时，y随x 增大而增大．

2．抛物线y＝2x2－3x－5的顶点坐标为．当x＝时，y有最______值是，与x轴的交点坐标是，与y轴的交点坐标是，当x时，y随x增大而减小，当x时，y随x增大而增大． 3．抛物线y＝3－2x－x2的顶点坐标是，它与x轴的交点坐标是，与y轴的交点坐标是． 4．把二次函数y＝x2－4x＋5配方成y＝a(x－h)2＋k的形式，得，这个函数的图象有最点，这个点的坐标为． 5．已知二次函数y＝x2＋4x－3，当x＝时，函数y有最值是，当x时，函数y随x的增大而增大，当x＝时，y＝0．6．抛物线y＝ax2＋bx＋c与y＝3－2x2的形状大小完全相同，只是位置不同，则a＝． 7．抛物线y＝2x2先向平移个单位就得到抛物线y＝2(x－3)2，再向平移个单位就得到抛物线y＝2(x－3)2＋4．三、解答题 1．已知二次函数y＝2x2＋4x－6． (1)将其化成y＝a(x－h)2＋k的形式；

二次函数求最值之高级求法 (1)

二次函数求最值之高级求法问题阐述：对于二次函数2 y ax bx c =++(0a ≠)，我们都知道当0a >时，有最小值2 44ac b a -；当0a <时，有最大值2 44ac b a -。但是，我们真的在求最值过程中很少用这个公式直接计算，因为这里计算量比较大。因此，大多数人在求解最值过程中用的最多的方法便是配方法求最值，这也是普遍能够接受的方法。那有没有更快的方法来求解二次函数的最值呢？答案是肯定的，今天，我们用一种高级一点的方法来快速求解二次函数的最值。首先，我们来看一个基本的不等式()2 0a b -≥恒成立，因此得到222a b ab +≥，两边加上一个2ab ，得到()24a b ab +≥，即2 2a b ab +??≤ ???，当a b =时，这里就取到等号。求二次函数的最值问题时，我们要保证a b +是一个定值，然后就可以利用刚刚证明的一个基本不等式2 2a b ab +??≤ ??? 来求二次函数的最大值或最小值。【求最大值】例1：求二次函数246y x x =-++的最大值。解：原式化为，()46y x x =-+，因为()44x x +-=是一个定值，所以原式()2 4646102x x y +-??≤+=+= ???

32解：原式化为，71623y x x ??=-+ ???，到此，我们发现现在不能用基本不等式求出最大值，因为x 与7123 x -的和并不是定值，因此我们陷入了困境。实际上我们可以换一个角度思考，既然要出现和为定值，那么我们就只需要配出一个和为定值的形式即可。因此，原式可以这样变形：17136323y x x ????=?-+ ??????? ，这里就有1717=3232 x x ??+- ???为定值了，那么我们就可以利用基本不等式求解二次函数的最大值了，所以原式2 171492433233636=21616x x y ????+- ? ??? ?≤+=?+ ? ??? 【求最小值】例3：求二次函数246y x x =++的最小值。解：原式化为，()46y x x =++，因为()442x x x ++=+并不是一个定值，那么我们就不能够直接运用基本不等式求最值，那么我们就得从例2的求解方法中采用的配凑思想，因为()44x x -++=是定值. 因此原式()()46y x x =--++，由基本不等式22a b ab +??≤ ??? ，两边添一个负号，不等号改变方向，即2 2a b ab +??-≥- ??? 。所以原式()2464622x x y -++??≥-+=-+= ???

二次函数动点问题解答方法技巧(含例解答案)33935

函数解题思路方法总结： ⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程； ⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； ⑶ 根据图象的位置判断二次函数ax 2+bx+c=0中a,b,c 的符号，或由二次函数中a,b,c 的符号判断图象的位置，要数形结合； ⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式ax 2+bx+c ﹙a ≠0﹚本身就是所含字母x 的二次函数；下面以a ＞0时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：动点问题题型方法归纳总结动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。二、抛物线上动点 5、（湖北十堰市）如图①，已知抛物线32++=bx ax y （a ≠0）与x 轴交于点A (1，0)和点B (－3，0)，与y 轴交于点C ． (1) 求抛物线的解析式；

(2) 设抛物线的对称轴与x轴交于点M ，问在对称轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． (3) 如图②，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标．注意：第（2）问按等腰三角形顶点位置分类讨论画图再由图形性质求点P坐标----①C为顶点时，以C为圆心CM为半径画弧，与对称轴交点即为所求点P，②M为顶点时，以M 为圆心MC为半径画弧，与对称轴交点即为所求点P，③P为顶点时，线段MC的垂直平分线与对称轴交点即为所求点P。第（3）问方法一，先写出面积函数关系式，再求最大值（涉及二次函数最值）；方法二，先求与BC平行且与抛物线相切点的坐标（涉及简单二元二次方程组），再求面积。

二次函数面积最大值

二次函数面积最大值教学目标： 1.通过本节课学习，巩固二次函数y=2ax bx c ++（a ≠0）的图象与性质，理解顶点与最值的关系，会求解最值问题。 2.通过观察图象，理解顶点的特殊性，会把实际问题中的最值转化为二次函数的最值问题，通过动手动脑，提高分析解决问题的能力，并体会一般与特殊的关系，了解数形结合思想、函数思想。教学重点：利用二次函数y=2ax bx c ++（a ≠0）的图象与性质，求面积最值问题教学难点： 1、正确构建数学模型 2、对函数图象顶点与最值关系的理解与应用教学过程：一、复习旧知： 1.二次函数y=ax 2+bx+c 的图象是一条，它的对称轴是，顶点坐标是 . 当 a>0时，抛物线开口向，有最点，函数有最值，是_____；当a<0时，抛物线开口向，有最点，函数有最值，是. 2.二次函数y=2x 2-8x+9的对称轴是，顶点坐标是.当x=时，函数有最值，是. 二、创设情境：小明的家门前有一块空地，空地外有一面长10米的围墙，为了美化生活环境，小明的爸爸准备靠墙修建一个矩形花圃，他买回了32米长的不锈钢管准备作为花圃的围栏（如图所示），花圃的宽AD 究竟应为多少米才能使花圃的面积最大？（设计意图：寻找了学生熟悉的家门口的生活背景，从知识的角度来看，求矩形面积也较容易，我在此设计了一个条件墙长10米来限制定义域，目的在于告诉学生一个道理，数学不能脱离生活实际，估计大部分学生在求解时还会在顶点处找最值，导致错解，此时教师再提醒学生通过画函数的图象辅助观察、理解最值的实际意义，加深对知识的理解，做到数与形的完美结合，既培养了学生思维的严密性，又为今后能灵活地运用知识解决问题奠定了坚实的基础。）三、讲解新知：有一块三角形余料如图所示，∠A=90°，AM=30cm ，AN=40cm ，要利用这块余料截出一个矩形，怎样截取矩形的面积最大？

二次函数配方法练习

二次函数配方法练习 The latest revision on November 22, 2020

1．抛物线y ＝2x 2－3x －5配方后的解析式为顶点坐标为______．当x ＝______时，y 有最______值是______，与x 轴的交点是______，与y 轴的交点是______，当x ______时，y 随x 增大而减小，当x ______时，y 随x 增大而增大． 2．抛物线y ＝3－2x －x 2的顶点坐标是______，配方后为它与x 轴的交点坐标是______，与y 轴的交点坐标是______． 3．把二次函数y ＝x 2－4x ＋5配方成y ＝a (x －h )2＋k 的形式，得______，这个函数的图象有最______点，这个点的坐标为______． 4．已知二次函数y ＝x 2＋4x －3，配方后为当x ＝______时，函数y 有最值______，当x ______时，函数y 随x 的增大而增大，当x ＝______时，y ＝0． 5．抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与y ＝3－2x 2的形状完全相同，只是位置不同，则a ＝______． 6．抛物线y ＝2x 2如何变化得到抛物线y ＝2(x －3)2＋4．请用两种方法变换。 7．抛物线y ＝－3x 2－4的开口方向和顶点坐标分别是() A ．向下，(0，4) B ．向下，(0，－4) C ．向上，(0，4) D ．向上，(0，－4) 8．抛物线x x y --=221 的顶点坐标是() A ．)21,1(- B ．)21,1(- C ．)1,21 (- D ．(1，0)

求二次函数中三角形面积最大值压轴题专题汇编

M N B C x A O y 求二次函数中三角形面积最大值压轴题专题汇编 28．（甘肃白银）如图，已知二次函数24y ax bx =++的图象与x 轴交于点()2,0B -，点()8,0C ，与y 轴交于点A ．（1）求二次函数24y ax bx =++的表达式；（2）连接,AC AB ，若点N 在线段BC 上运动（不与点,B C 重合），过点N 作 //NM AC ，交AB 于点M ，当AMN ?面积最大时，求N 点的坐标；（3）连接OM ，在（2）的结论下，求OM 与A C 的数量关系．解：（1）将点B ，点C 的坐标分别代入24y ax bx =++，得：4240 64840a b a b -+=??++=? ， 1分解得：1 4 a =-，32 b =． ∴该二次函数的表达式为 213 442 y x x =-++． 3分（2）设点N 的坐标为（n ，0）（-2＜n ＜8），则2BN n =+，8CN n =-． ∵B （-2，0）, C （8，0）, ∴BC =10. 令0x =，解得：4y =， ∴点A （0，4），OA =4，

∵MN ∥AC ， ∴ 810 AM NC n AB BC -== ． 4分 ∵OA =4，BC =10， ∴1 14102022 ABC S BC OA =?=??=V ． 5分 11 22222 810ABN AMN ABN S BN OA n+n+S AM CN n , S AB CB = ?=?-===（）4=（）又V V V Q ∴2811 (8)(2)(3)51055 AMN ABN n S S n n n -= =-+=--+V V ． 6分 ∴当n =3时，即N （3，0）时，△AMN 的面积最大． 7 分（3）当N （3，0）时，N 为BC 边中点. ∴M 为AB 边中点，∴12 OM AB.= 8分 ∵AB = AC ∴12AB AC,= 9分 ∴1 4 OM AC =． 10分 24（海南）.抛物线23y ax bx =++经过点()1,0A 和点()5,0B 。（1）求该抛物线所对应的函数解析式；（2）该抛物线与直线3 35 y x = + 相交于C D 、两点，点P 是抛物线上的动点且位于x 轴下方。直线//PM y 轴，分别与x 轴和直线CD 交与点M N 、。 ①连结PC PD 、，如图12-1，在点P 运动过程中，PCD ?的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由； ②连结PB ，过点C 作CQ PM ⊥，垂足为点Q ，如图12-2。是否存在点P ，使得CNQ ?与PBM ?相似？若存在，求出满足条件的点P 的坐标；若不存在，说明理由。

二次函数中三角形面积最大值综合题

精心整理 2017中考数学全国试题汇编------二次函数中三角形面积最大值综合题 28．（2017甘肃白银）如图，已知二次函数24y ax bx =++的图象与x 轴交于点()2,0B -，点()8,0C ，与y 轴交于点A ．（1）求二次函数24y ax bx =++的表达式；（2）AB 于点M （3∴ 810 AM NC n AB BC -== ．4分 ∵OA =4，BC =10， ∴11 4102022ABC S BC OA =?=??=V ．5分 ∴2811(8)(2)(3)51055 AMN ABN n S S n n n -==-+=--+V V ．6分 ∴当n =3时，即N （3，0）时，△AMN 的面积最大．7分（3）当N （3，0）时，N 为BC 边中点.

∴M 为AB 边中点，∴12 OM AB.=8分 ∵2241625AB OB OA =+=+=， 22641645AC OC OA =+=+=， ∴12AB AC,=9分 ∴1 4 OM AC =．10分 24（2017海南）.抛物线23y ax bx =++经过点()和点()。（1）求该抛物线所对应的函数解析式；（2）该抛物线与直线3 35 y x = +相交于C D 、两点，点P 是抛物线上的动点且位于x 轴下方。直线//PM y 轴，分别与x 轴和直线CD 交与点M N 、。 ①连结PC PD 、，如图12-1，在点P 运动过程中，PCD ?的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由； ②连结PB ，过点C 作CQ PM ⊥，垂足为点Q ，如图12-2。是否存在点P ，使得CNQ ?与PBM ?相似？若存在，求出满足条件的点P 的坐标；若不存在，说明理由。【分析】（1）由A 、B 两点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）①可设出P 点坐标，则可表示出M 、N 的坐标，联立直线与抛物线解析式可求得C 、D 的坐标，过C 、D 作PN 的垂线，可用t 表示出△PCD 的面积，利用二次函数的性质可求得其最大值； ②当△CNQ 与△PBM 相似时有 = 或 = 两种情况，利用P 点坐标，可分别表示出线段的长，可得到关于P 点坐标的方程，可求得P 点坐标．【解答】解：（1）∵抛物线y=ax 2+bx +3经过点A （1，0）和点B （5，0）， ∴，解得， ∴该抛物线对应的函数解析式为y=x 2﹣x +3；（2）①∵点P 是抛物线上的动点且位于x 轴下方， ∴可设P （t ，t 2﹣ t +3）（1＜t ＜5）， ∵直线PM ∥y 轴，分别与x 轴和直线C D 交于点M 、N ，

二次函数及三角形周长,面积最值问题

二次函数与三角形周长，面积最值问题知识点：1、二次函数线段，周长问题 2、二次函数线段和最小值线段差最大值问题 3、二次函数面积最大值问题【新授课】考点1：线段、周长问题例1.(2018·)在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点坐标为（2，0），且经过点（4，1），如图，直线y=x与抛物线交于A、B两点，直线l为y=﹣1．（1）求抛物线的解析式；（2）在l上是否存在一点P，使PA+PB取得最小值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．拓展：在l上是否存在一点P，使PB-PA取得最大值？若存在，求出点P的坐标。

练习 1、如图，已知二次函数24 =-+的图象与坐标轴交于点A（-1，0）和点B（0，-5）． y ax x c （1）求该二次函数的解析式；

（2）已知该函数图象的对称轴上存在一点P，使得△ABP的周长最小．请求出点P的坐标． 2、如图，抛物线y=ax2-5ax+4（a＜0）经过△ABC的三个顶点，已知BC ∥x轴，点A在x轴上，点C在y轴上，且AC=BC．（1）求抛物线的解析式．（2）在抛物线的对称轴上是否存在点M，使|MA-MB|最大？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

例2. (2018?莱芜)如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣1，0），B（4，0），C （0，3）三点，D为直线BC上方抛物线上一动点，DE⊥BC于E．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，求线段DE长度的最大值；练习 1x2+bx－2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（一1，1、如图，抛物线y= 2

二次函数之配方法求顶点式以及与一元二次方程的关系

§6.2二次函数的图像与性质⑸ 【课前自习】 1. 根据y 2 2.抛物线y ＝2(x ＋2)2＋1的开口向，对称轴是；顶点坐标是，说明当x ＝时，y 有最值是；无论x 取任何实数，y 的取值范围是 . 3.抛物线y ＝－2(x －2)2－1的开口向，对称轴是；顶点坐标是，说明当x ＝时，y 有最值是；无论x 取任何实数，y 的取值范围是 . 4.抛物线y ＝－1 2(x ＋1)2－3与抛物线关于x 轴成轴对称；抛物线y ＝－1 2(x ＋1)2－3 与抛物线关于y 轴成轴对称；抛物线y ＝－1 2(x ＋1)2－3与抛物线关于原点对称. 5. y ＝a (x ＋m )2＋n 被我们称为二次函数的式. 一、探索归纳： 1.问题：你能直接说出函数y ＝x 2＋2x ＋2 的图像的对称轴和顶点坐标吗？ . 2.你有办法解决问题①吗？ y ＝x 2＋2x ＋2的对称轴是，顶点坐标是 . 3.像这样我们可以把一个一般形式的二次函数用的方法转化为式，从而直接得到它的图像性质. 练习1.用配方法把下列二次函数化成顶点式： ①y ＝x 2－2x －2 ②y ＝x 2＋3x ＋2 ③y ＝2x 2＋2x ＋2

④y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0) 4.归纳：二次函数的一般形式y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)可以被整理成顶点式：，说明它的对称轴是，顶点坐标公式是 . 练习2.用公式法把下列二次函数化成顶点式： ①y ＝2x 2－3x ＋4 ②y ＝－3x 2＋x ＋2 ③y ＝－x 2－2x 二、典型例题：例1、用描点法画出y ＝1 2x 2＋2x －1的图像. ⑴用法求顶点坐标： ⑶在下列平面直角坐标系中描出表中各点，并把这些点连成平滑的曲线： ⑷观察图像，该抛物线与y 轴交与点，与x 轴有个交点. 例2、已知抛物线y ＝x 2－4x ＋c 的顶点A 在直线y ＝－4x －1上，求抛物线的顶点坐标.

二次函数中面积最值问题

课题：二次函数中面积最值问题（复习课）教学目标：利用二次函数的最值求面积最值问题教学重点：利用二次函数的顶点公式或者配方法求解面积的最值教学难点：利用二次函数的性质和自变量取值范围求面积的最值教学过程：复习巩固：小题热身:1.二次函数 142--=x x y 的顶点是_________ 2.当x= 时, y=3（x-5）2+6 有最___值为________ . 3.当x= 时,y=-2x2+8x-7有最___值为_______ . 引入：王爷爷要用60米长的竹篱笆围矩形养鸡场,养鸡场一面用砖砌成,另三面用竹篱笆围成, 如何围才能使养鸡场的面积最大?最大面积是多少? 变一变王爷爷要用60米长的竹篱笆围矩形养鸡场,养鸡场一面用砖砌成,（墙长10米）另三面用竹篱笆围成, 如何围才能使养鸡场的面积最大?最大面积是多少? 巩固：（2016?绍兴）课本中有一个例题：有一个窗户形状如图1，上部是一个半圆，下部是一个矩形，如果制作窗框的材料总长为6m ，如何设计这个窗户，使透光面积最大？ 1.这个例题的答案是：当窗户半圆的半径约为0.35m 时，透光面积最大值约为1.05m2． 2.我们如果改变这个窗户的形状，上部改为由两个正方形组成的矩形，如图2，材料总长仍为6m ，利用图3，解答下列问题：（1）若AB 为1m ，求此时窗户的透光面积？（2）与课本中的例题比较，改变窗户形状后，窗户透光面积的最大值有没有变大？请通过计算说明．归纳总结：运用二次函数求几何图形面积最值一般步骤 1.审题 2.引入自变量 3.用含自变量的代数式分别表示与所求几何图形相关的量 4.根据几何图形的特征，列出其面积的计算公式，并且用函数表示这个面积，并求得自变量的取值范围. 5.根据函数关系式，求出最值及取得最值时自变量的值. 6.检验结果的合理性

二次函数—配方法

二次函数图像和性质（5）学习目标： 1．配方法求二次函数一般式y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点坐标、对称轴； 2．熟记二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点坐标公式； 3．会画二次函数一般式y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象．学习重点：配方法或公式法求二次函数一般式y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点坐标、对称轴；学习难点：配方法求二次函数一般式y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点坐标、对称轴；学习过程：一、复习引入 1、()k h x a y +-=2 的图像和性质填表： 2.抛物线()1222 ++=x y 的开口向，对称轴是；顶点坐标是，当x = 时，y 有最值是；无论x 取任何实数，y 的取值范围是 . 是由抛物线2 2x y =先向平移个单位，再向平移个单位得到的。二、自主探究探究一：配方法求顶点坐标、对称轴（1）问题：你能直接说出函数222++=x x y 的图像的对称轴和顶点坐标吗？（2）你有办法解决问题①吗？ 222++=x x y 222++=x x y 的对称轴是，顶点坐标是 . （3）像这样我们可以把一个一般形式的二次函数用的方法转化为式，从而直接得到它的图像性质. （4）用配方法把下列二次函数化成顶点式： ①222+-=x x y ②232 ++=x x y ③ y ＝12 x 2－6x ＋21 对称轴对称轴对称轴顶点顶点顶点 ④4322 +-=x x y ⑤232 ++-=x x y ⑥x x y 22 --= 对称轴对称轴对称轴顶点顶点顶点

探究二：用公式法求顶点坐标、对称轴 c bx ax y ++=2 = 对称轴顶点坐标用公式法把下列二次函数的顶点坐标、对称轴： ①4322 +-=x x y ②232 ++-=x x y ③x x y 22 --= 三、合作交流根据c bx ax y ++=2的图象和性质填表：四、精讲点拨 1、抛物线2 2()y x m n =++（m n ，是常数）的顶点坐标是（） A ．()m n ， B ．()m n -， C ．()m n -， D ．()m n --， 2、二次函数2 365y x x =--+的图象的顶点坐标是（） A ．(18)-， B ．(18)， C ．(12)-， D ．(14)-， 3、在平面直角坐标系中，将二次函数22x y =的图象向上平移2个单位，所得图象的解析式为 A ．222-=x y B ．222+=x y C ．2)2(2-=x y D ．2)2(2+=x y 4、抛物线3)2(2+-=x y 的顶点坐标是（） A ．（2，3） B ．（－2，3） C ．（2，－3） D ．（－2，－3） 5、二次函数2(1)2y x =++的最小值是（）． A ．2 B ．1 C ．－3 D ． 2 3 6、将抛物线22y x =向下平移1个单位，得到的抛物线是（） A ．22(1)y x =+ B ．22(1)y x =- C ．221y x =+ D ．221y x =- 7、抛物线1822-+-=x x y 的顶点坐标为（A ）（-2，7）（B ）（-2，-25）（C ）（2，7）（D ）（2，-9） 8、把二次函数3412+--=x x y 用配方法化成()k h x a y +-=2的形式 A.()22412+--=x y B. ()42412+-=x y C.()42412++-=x y D. 3212 12 +??? ??-=x y 9、把抛物线2 y x =-向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为 A ．2 (1)3y x =--- B ．2 (1)3y x =-+- C ．2(1)3y x =--+ D ．2 (1)3y x =-++

二次函数最值问题复习专题

二次函数之最值问题研究成都市天府新区籍田中学吴磊【教学目标】建立二次函数数学模型，并用数学模型求最值；【教学重点】根据题意建立数学模型运用适当的数学思想方法解决问题；【教学难点】建立二次函数的数学模型，运用数学思想方法解决问题；一、知识回顾求最值问题的基本解题步骤： 1．审题．读懂问题，分析问题各个量之间的关系； 2．列数学表达式．用数学方法表示它们之间的关系，即建立二次函数关系式； 3．求值．利用顶点坐标公式24,24b ac b a a ??-- ??? （对称轴法）或配方法求得最值；对称轴法：（1）把2b x a =- 代入2y ax bx c =++即可求出其最值；（2）自变量不能够取得2b x a =-时， ①当0a >时，离对称轴越远函数值越大，离对称轴越近，函数值越小； ②当0a <时，离对称轴越远函数值越小，离对称轴越近，函数值越大. 配方法：将二次函数2y ax bx c =++转化为2()y a x h k =-+的形式，对称轴为x h =． (1)当0a >时，y 有最小值，即当x =h 时，=y k 最小值； (2)当0a <时，y 有最大值，即当x =h 时，=y k 最大值． 4．检验．检验结果的合理性．（函数求最值需考虑实际问题的自变量的取值范围）二、分类问题处理: 第一类常规求最值问题【例1】（1）抛物线y=23 x 2－4x ＋21的最小值是（） A.21 B.－21 C. 15 D.－15 （2）二次函数281y x x k =++-的最小值是5，则k 的值是（） A.22 B －22 C.21 D.－21 〖变式训练〗（1）抛物线21432 y x x =--+的最大值是（） A.3 B.－3 C. -11 D.11 （2）抛物线24y x ax =--的最大值是（） A.24a B.2 4a - C.4 D.-4 第二类含自变量取值限制的求最值问题【例2】（1）二次函数245y x x =-++，求当61x -≤≤的最值。练习：1、二次函数2614y x x =--，求当19x -≤≤的最值。

配方法求二次函数的对称轴和顶点坐标

配方法求二次函数的对称轴和顶点坐标提取二次项系数加上再减去一次项系数一半的平方例1、试用配方法把二次函数①y =－2x 2+4x －4 ②5632+-=x x y 化为k h x a y +-=2)(的形式并完成下表：练习；一、填空题： 1．抛物线y=2x 2+4x+m 2－m 经过坐标原点，则m 的值为。 2．抛物y=x 2+bx+c 线的顶点坐标为（1，3），则b ＝，c ＝ . 3．抛物线y ＝x 2＋3x 的顶点在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4．若抛物线y ＝ax 2－6x 经过点(2，0)，则抛物线顶点到坐标原点的距离为( ) c bx ax y ++=2??? ? ?++=a c x a b x a 2??? ? ??+??? ??-??? ??++=a c a b a b x a b x a 22222????????-+??? ??+=222442a b ac a b x a .44222a b ac a b x a -+??? ??+=.2:a b x -=它的对称轴是直线.44,22???? ? ?--a b ac a b 它的顶点是

5．已知抛物线y ＝x 2＋(m －1)x －14 的顶点的横坐标是2，则m 的值是_ . 6．抛物线y=x 2+2x －3的对称轴是。 7．若二次函数y=3x 2+mx －3的对称轴是直线x ＝1，则m ＝。 8．当n ＝______，m ＝______时，函数y ＝(m ＋n)x n ＋(m －n)x 的图象是抛物线，且其顶点在原点，此抛物线的开口________. 9．已知二次函数y=x 2－2ax+2a+3，当a= 时，该函数y 的最小值为0. 10．已知二次函数y=mx 2+(m －1)x+m －1有最小值为0，则m ＝ ______ 。 11．已知二次函数y=x 2－4x+m －3的最小值为3，则m ＝。二、用配方法求二次函数的对称轴和顶点坐标 1、y=x 2-x-2 2、y=12 1212++-x 3、y=12 1212+--x x 4、y=22++-x x

二次函数中三角形面积最大值综合题

二次函数中三角形面积最大值综合题 Revised by Petrel at 2021

2017中考数学全国试题汇编------二次函数中三角形面积最大值综合题 28．（2017甘肃白银）如图，已知二次函数24y ax bx =++的图象与x 轴交于点 ()2,0B -，点()8,0C ，与y 轴交于点A ．（1）求二次函数24y ax bx =++的表达式；（2）连接,AC AB ，若点N 在线段BC 上运动（不与点,B C 重合），过点N 作 //NM AC ，交AB 于点M ，当AMN ?面积最大时，求N 点的坐标；（3）连接OM ，在（2）的结论下，求OM 与A C 的数量关系．解：（1）将点B ，点C 的坐标分别代入24y ax bx =++，得：4240 64840 a b a b -+=?? ++=?，1分解得：14a =-，32 b =． ∴该二次函数的表达式为21 344 2 y x x =-++．3分（2）设点N 的坐标为（n ，0）（-2＜n ＜8），则2BN n =+，8CN n =-． ∵B （-2，0）,C （8，0）, ∴BC =10. 令0x =，解得：4y =， ∴点A （0，4），OA =4， ∵MN ∥AC ， ∴ 810 AM NC n AB BC -== ．4分 ∵OA =4，BC =10， ∴11 4102022 ABC S BC OA =?=??=．5分

∴2811 (8)(2)(3)510 55 AMN ABN n S S n n n -= =-+=--+．6分 ∴当n =3时，即N （3，0）时，△AMN 的面积最大．7分（3）当N （3，0）时，N 为BC 边中点. ∴M 为AB 边中点，∴1 2 OM AB.=8分 ∵2241625AB OB OA =+=+=， 22641645AC OC OA =+=+=， ∴12AB AC,=9分 ∴1 4 OM AC =．10分 24（2017海南）.抛物线23y ax bx =++经过点()1,0A 和点()5,0B 。（1）求该抛物线所对应的函数解析式；（2）该抛物线与直线3 35 y x = +相交于C D 、两点，点P 是抛物线上的动点且位于x 轴下方。直线//PM y 轴，分别与x 轴和直线CD 交与点M N 、。 ①连结PC PD 、，如图12-1，在点P 运动过程中，PCD ?的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由； ②连结PB ，过点C 作CQ PM ⊥，垂足为点Q ，如图12-2。是否存在点P ，使得CNQ ?与PBM ?相似？若存在，求出满足条件的点P 的坐标；若不存在，说明理由。【分析】（1）由A 、B 两点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）①可设出P 点坐标，则可表示出M 、N 的坐标，联立直线与抛物线解析式可求得C 、D 的坐标，过C 、D 作PN 的垂线，可用t 表示出△PCD 的面积，利用二次函数的性质可求得其最大值； ②当△CNQ 与△PBM 相似时有 = 或 = 两种情况，利用P 点坐标，可分别表示出线段的长，可得到关于P 点坐标的方程，可求得P 点坐标．

二次函数的最大值和最小值问题

二次函数的最大值和最小值问题高一数学组主讲人---------蒋建平本节课的教学目标：重点：掌握闭区间上的二次函数的最值问题难点：理解并会处理含参数的二次函数的最值问题核心：区间与对称轴的相对位置思想：数形结合、分类讨论一、复习引入 1、二次函数相关的知识点回顾。（1）二次函数的顶点式：（2）二次函数的对称轴：（3）二次函数的顶点坐标： 2、函数的最大值和最小值的概念设函数)(x f 在0x 处的函数值是)(0x f ，如果不等式)()(0x f x f ≥对于定义域内任意x 都成立，那么)(0x f 叫做函数)(x f y =的最小值。记作)(0min x f y = 如果不等式)()(0x f x f ≤对于定义域内任意x 都成立，那么)(0x f 叫做函数)(x f y =的最小值。记作)(0max x f y = 二、新课讲解：二次函数最大值最小值问题探究类型一：无限制条件的最大值与最小值问题例1、(1)求二次函数322 ++-=x x y 的最大值 . (2)求二次函数x x y 422-=的最小值 . 本题小结：求无条件限制时二次函数最值的步骤 1、配方，求二次函数的顶点坐标。 2、根据二次函数的开口方向确定是函数的最大值还是最小值。 3、求出最值。

类型二：轴定区间定的最大值与最小值问题例2、(1)求函数])1,3[(,232-∈-+=x x x y 的最大值 ,最小值 . (2)求函数])3,1[(232∈-+=x x x y 的最大值 ,最小值 . (3)求函数])2,5[(232--∈-+=x x x y 的最大值与最小值 . 本题小结：求轴定区间定时二次函数最值的步骤 1、配方，求二次函数的顶点坐标或求对称轴，画简图。 2、判断顶点的横坐标（对称轴）是否在闭区间内。 3、计算闭区间端点的值，并比较大小。类型三：轴动区间定的最大值与最小值问题例3、求函数)(32 R a ax x y ∈++=在]1,1[-上的最大值。

二次函数配方法练习

二次函数配方法（练习）学习目标：能熟练地利用配方法求二次函数图象的对称轴和顶点坐标。学习重点：利用配方法求二次函数图象的对称轴和顶点坐标。学习难点：利用配方法求二次函数图象的对称轴和顶点坐标。学习过程：一、课前热身 1、写出下列二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标： ⑴ y=2x 2 (2) y ＝－12 x 2－1 （3） y ＝－12 (x ＋1)2 ⑷ y ＝－12 (x -1)2－1 (5) y=12 (x -6)2 ＋3 2、将二次函数2 (2)3y x =--化成一般形式y ＝ax 2＋bx ＋c ，结果是二、新授引入：当一个二次函数所给的关系式是顶点式的时候，我们都可以很熟练的求出它们的开口方向，对称轴，顶点坐标。那么当一个二次函数所给的关系式是一般形式时，我们又如何求它的开口方向，对称轴，顶点坐标呢？例如：如何求二次函数241y x x =-+的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标？通过课前热身2我们可以发现，其实241y x x =-+可以转化成2(2)3y x =--。也就是把一般形式转化成了顶点式。那么如何把一个二次函数的一般式转化成顶点式，这就是本节课所要探索的主要内容。三、探索过程： 1、用配方法解一元二次方程2 410x x -+= 2222212414212322,2x x x x x x x -=--+=-+=-=∴==+…………………①常数项移到方程右边 ………②两边加上一次项系数一半的平方（x-2)?………………③写成完全平方形式 ④直接开平方 ……⑤求出结果

在刚才的配方法解方程里其实已经告诉我们如何把一般式转化成顶点式。 2．把下列二次函数化成顶点式，并求出它们的开口方向，对称轴，顶点坐标。（1）261y x x =+- （2）2 241y x x =-+- 四、巩固练习：求下列二次函数的开口方向，对称轴，顶点坐标。（1）221y x x =+- （2）2 241y x x =-+ （3）2y 3x 2x?=+ （4）2y x 2x =-- (5)2y 2x 8x 8=-+- (6)21432 y x x = -+

二次函数的实际应用(面积最值问题)

二次函数的实际应用——面积最大(小)值问题知识要点：在生活实践中，人们经常面对带有“最”字的问题，如在一定的方案中，花费最少、消耗最低、面积最大、产值最高、获利最多等；解数学题时，我们也常常碰到求某个变量的最大值或最小值之类的问题，这就是我们要讨论的最值问题。求最值的问题的方法归纳起来有以下几点： 1．运用配方法求最值； 2．构造一元二次方程，在方程有解的条件下，利用判别式求最值； 3．建立函数模型求最值； 4．利用基本不等式或不等分析法求最值． [例1]：在矩形ABCD 中，AB=6cm ，BC=12cm ，点P 从点A 出发，沿AB 边向点B 以1cm ／s 的速度移动，同时点Q 从点B 出发沿BC 边向点C 以2cm ／s 的速度移动，如果P 、Q 两点同时出发，分别到达B 、C 两点后就停止移动．（1）运动第t 秒时，△PBQ 的面积y(cm2)是多少？（2）此时五边形APQCD 的面积是S(cm2)，写出S 与t 的函数关系式，并指出自变量的取值范围．（3）t 为何值时s 最小，最小值时多少？答案： 63 363 3360726612626262 1 )1(2222有最小值等于时；当）（）（）（）（）（）（S t t S t t t t t S t t t t y =∴+-=<<+-=+--?=+-=?-= [例2]：小明的家门前有一块空地，空地外有一面长10米的围墙，为了美化生活环境，小明的爸爸准备靠墙修建一个矩形花圃，他买回了32米长的不锈钢管准备作为花圃的围栏，为了浇花和赏花的方便，准备在花圃的中间再围出一条宽为一米的通道及在左右花圃各放一个1米宽的门（木质）．花圃的长与宽如何设计才能使花圃的面积最大？解：设花圃的宽为x 米，面积为S 平方米则长为：x x 4342432-=+-(米) 则：)434(x x S -=

二次函数的最大值和最小值问题

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二次函数的最大值和最小值问题高一数学组主讲人-－---－－－－蒋建平本节课的教学目标: 重点：掌握闭区间上的二次函数的最值问题难点:理解并会处理含参数的二次函数的最值问题核心: 区间与对称轴的相对位置思想: 数形结合、分类讨论一、复习引入 1、二次函数相关的知识点回顾。（１）二次函数的顶点式： (2）二次函数的对称轴：（3)二次函数的顶点坐标： 2、函数的最大值和最小值的概念设函数)(x f 在0x 处的函数值是)(0x f ,如果不等式)()(0x f x f ≥对于定义域内任意x 都成立,那么)(0x f 叫做函数)(x f y =的最小值。记作)(0min x f y = 如果不等式)()(0x f x f ≤对于定义域内任意x 都成立，那么)(0x f 叫做函数)(x f y =的最小值。记作)(0max x f y = 二、新课讲解:二次函数最大值最小值问题探究类型一:无限制条件的最大值与最小值问题例1、(１)求二次函数322 ++-=x x y 的最大值． (2)求二次函数x x y 422-=的最小值 . 本题小结：求无条件限制时二次函数最值的步骤 1、配方，求二次函数的顶点坐标。 2、根据二次函数的开口方向确定是函数的最大值还是最小值。 3、求出最值。

类型二:轴定区间定的最大值与最小值问题例2、(1)求函数])1,3[(,232-∈-+=x x x y 的最大值，最小值 . (2）求函数])3,1[(232∈-+=x x x y 的最大值，最小值 . (３)求函数])2,5[(232 --∈-+=x x x y 的最大值与最小值 . 本题小结:求轴定区间定时二次函数最值的步骤 1、配方,求二次函数的顶点坐标或求对称轴,画简图。 2、判断顶点的横坐标(对称轴）是否在闭区间内。３、计算闭区间端点的值,并比较大小。类型三:轴动区间定的最大值与最小值问题例3、求函数)(32R a ax x y ∈++=在]1,1[-上的最大值。

(824)求二次函数的解析式专项练习60题(有答案)ok

求二次函数解析式专项练习60题（有答案） 1．已知二次函数图象的顶点坐标是（1，﹣4），且与y轴交于点（0，﹣3），求此二次函数的解析式． 2．已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A（﹣1，12），B（2，﹣3）．（1）求这个二次函数的解析式．（2）求这个图象的顶点坐标及与x轴的交点坐标． 3．在平面直角坐标系xOy中，直线y=﹣x绕点O顺时针旋转90°得到直线l，直线l与二次函数y=x2+bx+2图象的一个交点为（m，3），试求二次函数的解析式． 4．已知抛物线y=ax2+bx+c与抛物线形状相同，顶点坐标为（﹣2，4），求a，b，c的值． 5．已知二次函数y=ax2+bx+c，其自变量x的部分取值及对应的函数值y如下表所示：（1）求这个二次函数的解析式；（2）写出这个二次函数图象的顶点坐标． x …﹣2 0 2 … y …﹣1 1 11 … 6．已知抛物线y=x2+（m+1）x+m，根据下列条件分别求m的值．（1）若抛物线过原点；（2）若抛物线的顶点在x轴上；（3）若抛物线的对称轴为x=2．

7．已知抛物线经过两点A（1，0）、B（0，3），且对称轴是直线x=2，求其解析式． 8．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图象解答下列问题：（1）写出y＞0时，x的取值范围_________；（2）写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围_________；（3）求函数y=ax2+bx+c的表达式． 9．已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A（﹣2，5），B（1，﹣4）．（1）求这个二次函数解析式；（2）求这个图象的顶点坐标、对称轴、与坐标轴的交点坐标；（3）画出这个函数的图象． 10．已知：抛物线经过点A（﹣1，7）、B（2，1）和点C（0，1）．（1）求这条抛物线的解析式；（2）求该抛物线的顶点坐标． 11．若二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴交于点A（0，3），且经过B（1，0）、C（2，﹣1）两点，求此二次函数的解析式．