生成树的关键概念
生成树的计数
生成树的计数郑艺容;周雪【摘要】In this paper, we explored the possibility of counting spanning tree in a combinatorial approach. We got three combinatorial identifies applying the inclusion-exclusion principle. Based on these identifies and mathematics induction, we gave an easy proof for the Cayley’s formula using a combinatorial argument. The approach combines the problem of graphical enumeration with classical problems in combinatorial mathematics and reveals the essence of the problem of counting spanning trees with better effect.%从组合数学的角度研究生成树的计数。
先利用容斥原理，得到3个组合恒等式，再从组合数学的角度出发，并利用数学归纳法给出了Cayley’s 公式的又一简便证明。
该计数方法将图的计数问题与组合数学中的经典问题联系起来，更好地揭示了生成树计数的本质。
【期刊名称】《厦门理工学院学报》【年(卷),期】2015(000)001【总页数】3页(P95-97)【关键词】Cayley’s 公式;生成树;容斥原理;数学归纳法【作者】郑艺容;周雪【作者单位】厦门理工学院应用数学学院，福建厦门361024; 福州大学离散数学中心，福建福州350003;福州大学离散数学中心，福建福州350003【正文语种】中文【中图分类】O157计算图的不同生成树的个数是图的计数问题中的一个重要研究课题.1857年，Cayley [1] 在研究给定碳原子数n的饱和碳氢化合物(CnH2n+2)的同分异构体的数目时，提出“树”的概念，即不含圈的连通图.如果连通图G的一个子图T是一棵树，且包含G的所有顶点，则该子图T称为G的生成树(Spanning Tree).设G 是一个图，t(G)表示G中不同生成树的个数.Cayley于1889年给出计算n阶完全图的不同生成树个数的公式，即著名的Cayley’s 公式.定理1 [2] (Cayley’s 公式) n阶完全图的不同生成树的个数Cayley’s 公式有很多不同的证明方法，参见文献[2-5].本文又给出Cayley’s 公式的又一简单证明.首先介绍一些基本概念和结论.容斥原理是组合数学中一个非常重要的定理，其内容如下：定理2[6 ] (容斥原理) 设A是有限集，Ai⊆A(i=1,2,…,n,n≥2)，则设N={1,2,…,n}，M={1,2,…，m}，A表示N上所有p维数组构成的集合，其中p<m≤n.因为p<m，那么对A中的任意一个p维数组s，存在M中的元素i∉s.令Ai(i=1,2,…，m)表示A中不含有i的p维数组构成的集合，易知A=A1∪A2∪…∪Am.引理m.定理3 设n,m,p∈N+,p<m≤n，则以下组合恒等式成立证明A，Ai(i=1,2,…，m)定义如上.首先，由乘法原理可知.又A=A1∪A2∪…∪Am，根据容斥原理、对称性及引理1可得：特别地，当p=n-2时可得以下推论：推论(n≥3).以下给出Cayley’s 公式的另一简单证明.设T表示所有n阶生成树构成的集合，tn表示所有n阶生成树的个数，即.Ti(i=1,2,…，n)表示顶点i为树叶的所有n阶生成树构成的集合.引理2 集合T1∩T2∩…∩Tk满足：.证明由上述定义可知：T1∩T2∩…∩Tk那么表示顶点1,2,…,k(1≤k≤n)均为树叶的n阶生成树构成的集合，这样的任意一棵树可经过下述两个步骤得到.(i)由顶点k+1,k+2,…,n导出的子图T是一棵树，易知恰好有tn-k个这样的T；(ii)把顶点1,2,…,k添加到T中得到树T，使得顶点i(1,2,…,k)为T的树叶，即顶点i 恰好与顶点k+1,k+2,…,n中的某一个顶点相邻，这样的方式共有(n-k)k种，根据乘法计数原理可得：=(n-k)ktn-k .引理3 n阶不同生成树的个数tn满足：tn=1(n=1,2)；(n≥3).证明T表示所有n阶生成树构成的集合，Ti(i=1,2,…n)表示所有n阶生成树中顶点i为树叶的生成树构成的集合，由于每棵非平凡树至少有两片树叶，故T=T1∪T2∪…∪Tn，由容斥原理、对称性及引理2可知：以下给出Cayley’s 公式的另一证明.定理4 所有不同n阶生成树的个数tn=nn-2 ( Cayley’s 公式)证明用数学归纳法(i)易知t1=t2=1，t3=3 结论显然成立.(ⅱ)假设定理对小于n的正整数都成立.(ⅲ)以下证明对n结论成立.根据引理3Cayley’s 公式是图计数中的经典公式，已有很多不同的证明方法，本文利用由容斥原理得到的组合恒等式并借助数学归纳法给出Cayley’s 公式的又一简单证明.接下来可进一步研究Cayley’s 公式的不同证明方法，特别是能将图的其它经典问题与图的计数问题联系起来证明Cayley’s 公式，更好地揭示图论中的一些本质联系.2【相关文献】[1]CAYLEY A.On the theory of the analytical forms called trees[J].Philophical Magazine,1857,13(4):172-176.[2]CAYLEY A.A theorem on trees[J].Quart J Math,1989,23:376-378.[3]SHOR P W.A new proof of Cayley’s formula for counting l abeled trees[J].J Combin Theory:Series A,1995,71:154-158.[4]ARIANNEJAD M,EMAMI M.A new proof of Cayley’s formula for counting labeled spanning trees[J].Electronic Notes in Discr Math,2014,45:99-102.[5]GODSIL C,ROYLE G.Algebraic graph theory[M].New York:Springer-Verlag,2001.[6]曹汝成.组合数学[M].广州：华南理工大学出版社,2000.。
生成树协议原理
生成树协议原理生成树协议是一种基于链路层的协议，它通常在以太网交换机上实现，用于管理以太网局域网中的网络拓扑。
生成树协议的工作原理是通过使用一个根桥（Root Bridge）和多个非根桥（Non-Root Bridge）来建立一颗树状结构，以确保网络中没有环路存在。
生成树协议的核心算法是通过一种称为生成树算法（Spanning Tree Algorithm）来找到从根桥到每个非根桥的最短路径，从而构建一颗最小生成树。
最小生成树是一种能够连接所有节点并且没有环路的树状结构，它是生成树协议的基础，用于确定网络中数据包的传输路径。
生成树协议的工作流程包括以下几个关键步骤：1. 选择根桥：在网络中通过比较桥（Bridge）的优先级和MAC地址来确定根桥，根桥是生成树中的根节点，所有数据包都将通过根桥进行转发。
2. 计算生成树：每个非根桥通过生成树算法计算到根桥的最短路径，确定自己在生成树中的位置，并将该信息传播到整个网络中。
3. 确定端口状态：每个桥根据生成树信息确定哪些端口可以用于数据包的传输，哪些端口需要阻断以避免环路的产生。
4. 更新生成树：在网络拓扑发生变化时，生成树协议会重新计算生成树，并更新每个桥的状态，重新确定最佳路径。
5. 数据包转发：根据生成树确定的路径，数据包会被从源地址传输到目的地址，通过生成树结构保证数据包的正常传输。
生成树协议的优点是可以有效避免数据包在网络中的循环传输，提升网络通信的稳定性和可靠性。
生成树协议能够自动适应网络拓扑的变化，快速重新计算生成树，并重新确定最佳传输路径，从而保证网络快速恢复到正常状态。
然而，生成树协议也存在一些局限性。
生成树协议在网络中设置大量的桥和端口时，会造成网络拓扑复杂，生成树的计算和更新会消耗大量的网络资源。
此外，生成树协议需要在所有交换机上进行配置和管理，当网络规模较大时，配置和管理网络可能会变得困难。
为了解决生成树协议的一些局限性，IEEE制定了一系列的生成树协议标准，包括802.1D、802.1w和802.1s等。
图论中的生成树计数算法
图论中的生成树计数算法生成树是图论中重要的概念之一，它是指由给定图的节点组成的树形结构，其中包含了原图中的所有节点，但是边的数量最少。
生成树的计数问题是指在一个给定的图中，有多少种不同的生成树。
生成树计数算法是解决这个问题的关键步骤，本文将介绍一些常见的生成树计数算法及其应用。
1. Kirchhoff矩阵树定理Kirchhoff矩阵树定理是图论中经典的生成树计数方法之一。
该定理是由Kirchhoff在19世纪提出的，它建立了图的Laplacian矩阵与其生成树个数的关系。
Laplacian矩阵是一个$n\times n$的矩阵，其中$n$是图中的节点数。
对于一个连通图而言，Laplacian矩阵的任意一个$n-1$阶主子式，其绝对值等于该图中生成树的个数。
应用示例：假设我们有一个无向连通图，其中每个节点之间的边权均为1。
我们可以通过计算图的Laplacian矩阵的任意一个$n-1$阶主子式的绝对值来得到该图中的生成树个数。
2. Prufer编码Prufer编码是一种编码方法，可用于求解生成树计数问题。
它是基于树的叶子节点的度数的编码方式。
Prufer编码将一个树转换为一个长度为$n-2$的序列，其中$n$是树中的节点数。
通过给定的Prufer序列，可以构造出对应的生成树。
应用示例：假设我们有一个具有$n$个节点的有标号的无根树。
我们可以通过构造一个长度为$n-2$的Prufer序列，然后根据Prufer编码的规则构造出对应的生成树。
3. 生成函数方法生成函数方法是一种利用形式幂级数求解生成树计数问题的方法。
通过将图的生成树计数问题转化为生成函数的乘法运算，可以得到生成函数的一个闭形式表达式，从而求解生成树的个数。
应用示例：假设我们有一个具有$n$个节点的有根树，其中根节点的度数为$d$。
我们可以通过生成函数方法求解出该有根树中的生成树个数。
4. Matrix-Tree定理Matrix-Tree定理是对Kirchhoff矩阵树定理的一种扩展，适用于带权图中生成树计数的问题。
c2-3
树
树
树
树
树
进一步思考：若从 进一步思考：若从K4中任去一边 e ，其生成 树棵数是多少？ 树棵数是多少？
τ ( K4 − e) = ?
τ ( Kn − e) = ?
τ ( Kn − e) = (n − 2)nn−3
树
进一步思考续….. 进一步思考续 .. 画出K 的所有非同构生成树。 画出 4的所有非同构生成树。 求如下图的所有非同构生成树。 求如下图的所有非同构生成树。
树
2 1 4
6
4 2，4， 5，5， ， ， ， ，
5 3
7
树
2，4，5，5，4 ， ， ， ，
2 4 1 5
4，5，5，4 ， ， ，
2 4 1 5
树
5，5，4 ， ，
2 4 1 3 5
5，4 ，
6 2 4 1 3 5
树
4
6 2 4 1 3 5 1 3 2 4 5 6
7
树
画出K 的所有生成树。 画出 4的所有生成树。
树
§2.3 生成树 定义1 定义 生成树 每个连通图至少包含一棵生成树 生成树的构造－－破圈法 生成树的构造－－破圈法 －－ 图G的生成树棵数计算 的生成树棵数计算
τ (G ) = τ (G − e ) + τ (G e )
树
τ(G)=
=
+
=(
+
)+(
树
+
)=
+(
+
) + (
+
) + (
+
)
树
树
更一般的呢？ 更一般的呢？ τ(Kn)=？ ？
数据结构复习题汇总
数据结构复习题汇总黄⽼师：题型结构如下：单项选择题，15⼩题，30分；填空题，5⼩题，10分；综合应⽤题，50分（树、图、查找）算法设计与分析，2选1,10分（线性结构）试卷中⼀些算法只给英⽂名称；考查范围(⿊体字为建议的重点考查内容；红字为备注；蓝字为拟纳⼊的考研⼤纲内容)⼀、绪论（⼀）算法、数据结构基本概念（⼆）算法分析中O（f（n））符号的含义（三）时间复杂度简单分析表⽰⼆、线性表（⼀）线性表的定义和基本操作（⼆）线性表的实现1.顺序存储2.链式存储3.线性表的应⽤三、栈、队列（⼀）栈和队列的基本概念（⼆）栈和队列的顺序存储结构（三）栈和队列的链式存储结构（四）栈和队列的应⽤四、树与⼆叉树（⼀）树的概念（⼆）⼆叉树1.⼆叉树的定义及其主要特征2.⼆叉树的顺序存储结构和链式存储结构3.⼆叉树的遍历及应⽤（三）树、森林1. 森林与⼆叉树的转换2. 树的存储结构；3.树和森林的遍历4.线索⼆叉树的基本概念和构造（四）⼆叉树的应⽤1.哈夫曼（Huffman）树和哈夫曼编码2.⼆叉排序树五、图（⼀）图的基本概念（⼆）图的存储及基本操作1.邻接矩阵法2.邻接表法（三）图的遍历1.深度优先搜索2.⼴度优先搜索（四）图的基本应⽤1.最⼩（代价）⽣成树2.最短路径3.拓扑排序4.关键路径六、查找（⼀）查找的基本概念（⼆）顺序查找法（三）折半查找法（四）⼆叉查找树及其基本操作（只考察基本概念）（五）平衡⼆叉树（只考察基本概念）（六）散列（Hash）表（七）查找算法的分析及应⽤七、排序（⼀）排序的基本概念（⼆）直接插⼊排序（三）⽓泡排序（bubble sort）（四）简单选择排序（五）希尔排序（shell sort）（六）快速排序（七）堆排序（⼋）⼆路归并排序（merge sort）（九）各种排序算法的⽐较（⼗）排序算法的应⽤选择题1、顺序队列的出队操作，正确修改队⾸指针的是（ B ）（A）sq.front = (sq.front+1)%maxsize; （B）sq.front = sq.front+1;（C）sq.rear = (sq. rear +1)%maxsize; （D）sq.rear = sq. rear +1;2、⾮空的循环单链表head的尾结点（由指针p指）满⾜（ C ）（A）p->next = NULL （B）p = NULL （C）p->next = head （D）p = head3、在单键表中，删除p所指结点的直接后继，其中指针修改为（ A ）（A）p->next = p->next ->next; （B）p = p->next; p->next = p->next->next;（C）p->next = p->next; （D）p = p->next ->next;4、通常要求同⼀逻辑结构中的所有数据元素具有相同的特性，这意味着（ B ）（A）数据元素具有同⼀特点（B）不仅数据元素所包含的数据项的个数要相同，⽽且对应数据项的类型也要⼀致（C）每个数据元素都⼀样（D）数据元素所包含的数据项的个数要相等5、关于线性表，下列说法正确的是（ D ）（A）每个元素都有⼀个直接前驱和直接后继（B）线性表中⾄少要有⼀个元素（C）表中诸元素的排列顺序必须是由⼩到⼤或由⼤到⼩的（D）除第⼀元素和最后⼀个元素外，其余每个元素都有⼀个且仅有⼀个直接前驱和直接后继6、带头结点的单链表，其表头指针为head，则该单链表为空的判断条件是（ B ）（A）head == NULL （B）head->next == NULL（C）head->next == head （D）head !== NULL7、含n个顶点的连通图中的任意⼀条简单路径，其长度不可能超过（C ）（A）1 （B）n/2 （C）n-1 （D）n8、设有⼀个顺序栈S，元素S1, S2, S3, S4, S5, S6依次进栈，如果6个元素出栈的顺序是S2, S3, S4, S6, S5, S1，则栈的容量⾄少应该是（ B ）（A）2 （B）3 （C）5 （D）69、设深度为k的⼆叉树上只有度为0和度为2的结点，则这类⼆叉树上所含结点的总数最少为（ C ）个（A）k+1 （B）2k （C）2k -1 （D）2k +110、从具有n个结点的单链表中查找指定结点时，若查找每个结点的概率相等，在查找成功的情况下，平均需要⽐较（ D ）个结点。
stp生成树协议的原理和应用
Stp生成树协议的原理和应用1. 概述STP（Spanning Tree Protocol）是一种用于构建和维护割除冗余链路的树状拓扑结构的链路层协议。
它能够避免网络环路以及广播风暴的发生，确保数据在网络中的可靠传输。
2. 原理STP的原理基于以下几个关键概念：2.1 网桥(Bridge)网桥是连接不同网络的设备，它有多个网口用于接收和转发数据帧。
2.2 网桥标识(Bridge Identifier)每个网桥都有一个唯一的标识，用于在网络中区分不同的网桥。
网桥标识由优先级和MAC地址组成。
2.3 端口状态每个网桥端口都有不同的状态，包括： - Disabled（禁用）：端口不参与生成树计算。
- Blocking（阻塞）：端口不转发数据帧，只接收配置和STP BPDU （Bridge Protocol Data Units）帧。
- Listening（监听）：端口仅接收配置和STP BPDU帧。
- Learning（学习）：端口接收和转发数据帧，并学习源MAC地址。
- Forwarding（转发）：端口接收和转发所有数据帧。
2.4 根桥(Root Bridge)生成树中的起始点，用于确定整个网络的拓扑结构。
根桥的网桥标识具有最小优先级。
2.5 生成树生成树是一种无环的树状拓扑结构，其中只有一条路径可用于发送数据帧。
其它路径被阻塞以避免网络环路的发生。
生成树的构建是通过选择根桥和确定端口状态来实现的。
2.6 BPDU帧BPDU帧是STP协议使用的消息格式，用于实现生成树的构建和维护。
BPDU 帧包含了网桥标识、优先级、路径代价等信息。
3. 应用STP协议在网络中的应用主要有以下几个方面：3.1 网络环路的割除在复杂的网络中，往往存在多条路径连接不同的网桥。
如果没有STP协议进行环路割除，数据帧可能会在环路中不断转发，导致广播风暴和网络拥塞。
STP协议通过选择一条最短路径，将其它路径阻塞，确保网络中不存在环路。
数据结构与算法课程总结
本课程的先修可称为离散数学和高级语言程序设计，后续课程为操作系统、数据库系统 原理和编译原理等。
数据结构中的存储结构及基本运算的实现需要程序设计的基本知识和编程能力和经验， 本课程大部分实例和实验均是用 C 语言实现的，故要求叫熟练地掌握 C 语言。 三、选用的教材及参考书
教材选用《数据结构与算法》，大连理工大学出版社，作者郭福顺、廖明宏等。参考书 为《数据结构（C 语言版》，清华大学出版社出版，严蔚敏、吴伟民编著。 四、教学内容
第六章 树 教学要求： 本章目的是二元树的定义、性质、存储结构、遍历、线索化，树的定义、存储结构、 遍历、树和森林与二元树的转换，哈夫曼树及其应用（优化判定过程和哈夫曼编码）等内容。 要求在熟悉这些内容的基础上，重点掌握二元树的遍历算法及其有关应用，难点是使用本章 所学到的有关知识设计出有效算法，解决与树或二元树相关的应用问题。 教学内容 1．树的概念（领会） 1．1 树的逻辑结构特征。 1．2 树的不同表示方法。 1．3 树的常用术语及含义。
斯坦纳树解法-概述说明以及解释
斯坦纳树解法-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述部分是文章的开篇部分，用于介绍主题和问题背景。
下面是一个示例：概述斯坦纳树（Steiner Tree）是图论中的一个经典问题，旨在找到一个具有最小总权重的联通子图，以连接给定一组节点。
斯坦纳树问题在实际生活中有着广泛的应用，例如通信网络设计、电力系统规划和生物信息学等领域。
本文将详细介绍斯坦纳树的概念、应用领域以及解法的基本原理。
首先，我们将给出斯坦纳树的定义和问题描述，以便读者对该问题有一个清晰的认识。
然后，我们将探讨斯坦纳树在不同领域中的应用，以展示它在实际问题中的重要性。
接下来，我们将介绍一些经典的斯坦纳树解法，包括近似算法和精确算法，并详细讨论它们的基本原理和优缺点。
通过本文的阅读，读者将能够了解斯坦纳树问题的背景和意义，掌握不同领域中的应用案例，并对斯坦纳树解法的基本原理有一定的了解。
此外，我们还将对斯坦纳树解法的优点和局限性进行讨论，并展望未来在这一领域的发展方向。
接下来，在第二节中，我们将开始具体介绍斯坦纳树的概念和应用领域。
1.2 文章结构【文章结构】本文主要分为引言、正文和结论三个部分。
下面将对每个部分进行详细介绍。
1. 引言引言部分主要包括概述、文章结构和目的三个方面的内容。
在概述部分，将简要介绍斯坦纳树解法的背景和重要性。
2. 正文正文部分是文章的核心部分，主要包括斯坦纳树的概念、应用领域和解法的基本原理三个方面的内容。
2.1 斯坦纳树的概念在本小节中，将详细解释什么是斯坦纳树，斯坦纳树的定义和特点。
2.2 斯坦纳树的应用领域本小节将介绍斯坦纳树的应用领域，包括网络通信、电力系统、交通规划等方面的应用案例。
2.3 斯坦纳树解法的基本原理在本小节中，将详细介绍斯坦纳树解法的基本原理和算法，包括构建斯坦纳树的思路和具体步骤。
同时，可以提及一些经典的斯坦纳树解法算法和优化方法。
3. 结论结论部分对斯坦纳树解法的优点和局限性进行总结，并对未来的发展方向进行展望。
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生成树的关键概念
解决循环连接的方案就是STP。
通过一定算法，STP使任意两个节点间有且只有一条路径连接，而其他的冗余链路则被自动阻塞，作为备份链路，如图8-6所示。
只有当活动链路失败时，备份链路才会被激活，从而恢复设备之间的连接，保证网络的畅通。
与EtherChannel技术不同，Spanning-Tree只能保证在两台设备间拥有一条活动链路，因此，也就无法实现带宽加倍和负载均衡。
这就好比一棵真实生长树，从树根开始长起，然后是树干、树枝，最后到树叶，从而保证任意两片树叶间只有一条路。
而链路选举的标准就是优先级值（Priority）和端口费用（Cost）。
Spanning-Tree的优点是可以在任何端口实现，而不一定是固定的双绞线端口或光纤端口。
网络环路侦测和预防（Network loop detection and prevention）的意义在于任何两个局域网之间应该只有一条路径，否则，网络中将出现环路。
如果存在着多于一条的路径，那么生成树算法将会侦测到环路的发生，并自动选择开销值（Cost）最低的那条路径作为可使用的路径（主链路），而阻断其他路径，将它们作为备用路径（备用链路）。
自动拓扑重构（Automatic topology re-configuration）是指当主链路出现故障时，生成树算法将自动启用备用链路，重构网络结构。
生成树运算在无环路逻辑拓扑时，使用3个关键概念：网桥ID（Bridge ID）、路径开销（PC）及桥接协议数据单（BPDU）通知功能。
1．网桥ID（Bridge ID）
每台网桥都有一个ID表示，Bridge ID称为BID。
它是由一个2字节加6字节，总共8字节组成的存储域组成，如图8-7所示。
低6字节MAC地址由交换机分配好，高2字节BID 为网桥优先级，范围从0~65 535，默认为32 768。
2．路径开销（Path Cost）
IEEE 802.1D早期定义采用1 000Mbps来除以实际的带宽获得的数据作为路径开销值，但由于后来实际带宽超过1 000Mbps，得到了小数，不方便计算；后来IEEE 802.1D修正了新值，目前采用新值，如表8-1所示。
表8-1 生成树路径开销值
3．桥接协议数据单元（BPDU）
生成树在运算选举中，还通过相互比较桥接协议数据单元（Bridge Protocol Data Units，BPDU）实现。
BPDU有两种类型，配置BPDU和拓扑改变通知（TCN BPDU）。
BPDU配置消息是以以太网数据帧的格式进行传递的，采用多播MAC地址
01-80-C2-00-00-00为目的MAC地址，网络中的网桥收到该地址后，能够判断出该数据帧是生成树协议的数据帧，源MAC地址域中的本网桥的MAC地址，数据帧的具体内容如表8-2
所示。
表8-2 BPDU配置消息格式
DMA：目的MAC地址，固定的组播地址，0X0180C2000000。
SMA：源MAC地址，发送BPDU配置消息的桥MAC地址。
L/T：帧长。
LLC Header：配置消息固定的链接头。
PayLoad：BPDU数据区。
IEEE 802.1D指定17个多播地址，范围从0x00180c2000000~0x00180c2000010，用于不同网桥版本，如果交换机端口开启STP，交换机CPU接收目标来地址
0x0180C2000000~0x0180C2000010，如果STP被关闭，则认为这些多播地址为未知的。
表8-2中的Payload是BPDU的核心配置部分，具体组成信息如表8-3所示。
表8-3 BPDU值域
拓扑改变BPDU（TCN BPDU），顾名思义就是拓扑改变时发出的BPDU，这是由拓扑改变的网桥发出的，与配置网桥区别在于，表8-3中的Type值为1。