树的基本概念
数据结构树的知识点总结
数据结构树的知识点总结一、树的基本概念。
1. 树的定义。
- 树是n（n ≥ 0）个结点的有限集。
当n = 0时，称为空树。
在任意一棵非空树中：- 有且仅有一个特定的称为根（root）的结点。
- 当n>1时，其余结点可分为m（m>0）个互不相交的有限集T1、T2、…、Tm，其中每个集合本身又是一棵树，并且称为根的子树（sub - tree）。
2. 结点的度、树的度。
- 结点的度：结点拥有的子树个数称为结点的度。
- 树的度：树内各结点的度的最大值称为树的度。
3. 叶子结点（终端结点）和分支结点（非终端结点）- 叶子结点：度为0的结点称为叶子结点或终端结点。
- 分支结点：度不为0的结点称为分支结点或非终端结点。
- 除根结点之外，分支结点也称为内部结点。
4. 树的深度（高度）- 树的层次从根开始定义起，根为第1层，根的子结点为第2层，以此类推。
树中结点的最大层次称为树的深度（或高度）。
二、二叉树。
1. 二叉树的定义。
- 二叉树是n（n ≥ 0）个结点的有限集合：- 或者为空二叉树，即n = 0。
- 或者由一个根结点和两棵互不相交的、分别称为根结点的左子树和右子树的二叉树组成。
2. 二叉树的特点。
- 每个结点最多有两棵子树，即二叉树不存在度大于2的结点。
- 二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒。
3. 特殊的二叉树。
- 满二叉树。
- 一棵深度为k且有2^k - 1个结点的二叉树称为满二叉树。
满二叉树的特点是每一层上的结点数都是最大结点数。
- 完全二叉树。
- 深度为k的、有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为k的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时，称之为完全二叉树。
完全二叉树的叶子结点只可能在层次最大的两层上出现；对于最大层次中的叶子结点，都依次排列在该层最左边的位置上；如果有度为1的结点，只可能有一个，且该结点只有左孩子而无右孩子。
三、二叉树的存储结构。
1. 顺序存储结构。
- 二叉树的顺序存储结构就是用一组地址连续的存储单元依次自上而下、自左至右存储完全二叉树上的结点元素。
树的基本概念与特点
树的基本概念与特点树，被广泛应用于生物学、计算机科学、数学等领域，是一种重要的数据结构。
本文将介绍树的基本概念与特点，并对其进行详细论述。
一、概念树是一种由节点和边组成的非线性数据结构。
它以一个称为根节点的特殊节点作为起点，每个节点可以有零个或多个子节点，且子节点之间没有任何顺序关系。
二、特点1. 分层结构：树的节点可以按照层次分布。
根节点处于第一层，根节点的子节点处于第二层，依次类推。
2. 唯一路径：树中的任意两个节点之间只存在唯一的路径。
即从根节点到任意一个节点，只有一条路径可达。
3. 无环结构：树是无环的，即不存在环形路径。
每个节点只能通过一条路径与其他节点相连。
4. 子树概念：树中的每个节点都可以看作是一个子树的根节点。
子树是由其下属的节点及其子节点构成的一颗完整树。
三、常见类型树有许多常见的类型，每种类型都有其特定的应用场景和特点。
以下列举几种常见的树类型：1. 二叉树：每个节点最多只有两个子节点的树称为二叉树。
二叉树有许多变种，例如满二叉树、完全二叉树等。
2. 二叉搜索树：在二叉搜索树中，每个节点的值都大于其左子树中的任意节点的值，小于其右子树中的任意节点的值。
这个特性使得查找、插入和删除操作具有较高的效率。
3. 平衡二叉树：平衡二叉树是一种特殊的二叉搜索树，它的左右子树的高度差不超过1。
这保证了树的整体高度较低，提高了查找、插入和删除操作的效率。
4. B树：B树是一种自平衡的搜索树，它可以拥有多个子节点。
它的出色特性使得它被广泛应用于文件系统和数据库的设计中。
5. 红黑树：红黑树是一种特殊的二叉搜索树，具有一些平衡性质。
红黑树的高度近似于log(n)，使得它的查找、插入和删除操作具有较好的性能。
四、应用场景树的应用场景非常广泛。
下面列举几个常见的应用场景：1. 文件系统：文件系统通常使用树的结构来组织文件和目录。
每个目录可以包含多个子目录或文件。
2. 数据库：数据库中的索引通常使用树的结构，如B树和红黑树，以提高查询效率。
离散数学7-树
(b)
(a)
V5
2
1
V7
8
9
V2
V4
2
3
V8
5
V1
V1
V4
V5
1
3
V7
V6
8
V4
2
V8
5
6
V1
1
V5
6
V7
V6
8
3
V8
5
6
V7
9
V3
(e)
V3
(f)
(g)
22
V2
V3
(h)
五.应用举例——求最小生成树
例3 用管梅谷算法求下图的最小生成树。
23
五.应用举例——求最小生成树
例3 用管梅谷算法求下图的最小生成树。
成圈。
首先证明T无简单回路。对n作归纳证明。
(i) n=1时,m=n-1=0,显然无简单回路；
(ii)假设顶点数为n-1时无简单回路，现考察顶点数是n的情况：此时至少有一
个顶点v其次数d(v)=1。因为若n个顶点的次数都大于等于2，则不少于n条边，但这与
m=n-1矛盾。
删去v及其关联边得到新图T’，根据归纳假设T’无简单回路，再加回v及其关联
边又得到图T，则T也无简单回路。
再由图的连通性可知，加入任何一边后就会形成圈，且只有一个圈，否则原图
中会含圈。
9
二. 基本定理——证明
证明(4):(3)(4)，即证一个无圈图若加入任一边就形成圈，
则该图连通，且其任何一边都是桥。
若图不连通,则存在两个顶点vi和vj，在vi和vj之间没有路，若
加边(vi,vj)不会产生简单回路，但这与假设矛盾。由于T无简单回
数据结构树知识点总结大全
数据结构树知识点总结大全本文将对树结构的知识点进行详细的总结，包括树的基本概念、树的分类、树的遍历、树的应用以及一些相关的算法和数据结构。
通过本文的学习，读者将对树结构有一个全面的了解，并可以在实际的编程和问题解决中灵活运用树结构。
一、树的基本概念1.1 节点和边1.2 根节点、叶子节点和内部节点1.3 子树和森林1.4 高度和深度1.5 有序树和无序树1.6 二叉树二、树的分类2.1 二叉搜索树2.2 平衡二叉树2.3 B树和B+树2.4 红黑树2.5 AVL树2.6 Trie树2.7 堆和堆排序2.8 Huffman树2.9 伸展树2.10 Splay树三、树的遍历3.1 深度优先遍历3.1.1 前序遍历3.1.2 中序遍历3.1.3 后序遍历3.2 广度优先遍历四、树的应用4.1 数据库索引4.2 文件系统4.3 图形学中的场景图4.4 解析树4.5 代码优化4.6 线段树4.7 树状数组4.8 字典树4.9 贝叶斯分类器中的朴素贝叶斯算法五、树的相关算法和数据结构5.1 查找5.1.1 二叉搜索树的插入和删除5.1.2 二叉搜索树的查找5.1.3 递归查找和非递归查找5.2 排序5.2.1 二叉搜索树的中序遍历5.2.2 堆排序5.2.3 AVL树的平衡调整5.2.4 红黑树的插入和删除5.3 最短路径5.3.1 二叉堆的应用5.3.2 AVL树的应用5.4 动态规划5.4.1 线段树的应用5.4.2 树状数组的应用六、结语树结构是数据结构中非常重要的一部分，它有着广泛的应用领域。
通过本文的学习，读者可以对树结构有一个全面的了解，并可以在实际的编程和问题解决中灵活运用树结构。
希望本文对读者有所帮助，也希望读者可以通过学习树结构，提高自己在算法和数据结构方面的能力，为未来的编程之路打下坚实的基础。
树的组成结构
树的组成结构一、引言树是一种重要的数据结构，在计算机科学中被广泛应用。
它具有分支结构和层次关系，可以用于表示各种实际问题的数据和关系。
本文将探讨树的组成结构，包括根节点、子节点、叶节点和边。
二、树的基本概念1. 根节点：树的最顶层节点，是整个树的起点，没有父节点。
2. 子节点：根节点的直接后继节点，可以有多个子节点。
3. 叶节点：没有子节点的节点，也称为终端节点。
4. 边：连接节点的线段，表示节点之间的关系。
三、树的分类树可以分为多种类型，常见的有二叉树、平衡二叉树、B树和红黑树等。
1. 二叉树：每个节点最多有两个子节点，分为左子节点和右子节点。
2. 平衡二叉树：左右子树的高度差不超过1的二叉树，目的是提高树的查找效率。
3. B树：多路搜索树，每个节点可以有多个子节点，用于数据库和文件系统的索引结构。
4. 红黑树：一种自平衡二叉查找树，通过节点的颜色和旋转操作来保持平衡。
四、树的表示方法1. 嵌套列表表示法：用嵌套的列表来表示树的层次结构，每个子列表表示一个节点及其子节点的列表。
2. 链表表示法：每个节点包含一个值和指向其子节点的指针。
五、树的遍历方式遍历树是指按照一定的规则访问树的所有节点，常见的遍历方式有前序遍历、中序遍历和后序遍历。
1. 前序遍历：先访问根节点，然后递归地遍历左子树和右子树。
2. 中序遍历：先递归地遍历左子树，然后访问根节点，最后递归地遍历右子树。
3. 后序遍历：先递归地遍历左子树和右子树，然后访问根节点。
六、树的应用场景树作为一种灵活的数据结构，被广泛应用于各个领域。
1. 文件系统：文件系统通常使用树的结构来表示目录和文件的层次关系。
2. 数据库索引：B树和红黑树等平衡树结构被用于数据库索引，提高数据的检索效率。
3. 表达式求值：树结构可以用于表示数学表达式和逻辑表达式，方便求值和计算。
4. 组织结构：树可以用于表示组织结构，如公司的部门和员工关系等。
七、总结树是一种重要的数据结构，具有分支结构和层次关系。
《图论》第3章_树
② Bi中有某一列只含一个+1或-1，按此列作展开，
得到一个降一阶子式det(Bi-1)，且det(Bi)=det(Bi-1)
或det(Bi)=-det(Bi-1)；
10
3.2 关联矩阵
[证明] (续) ③ i=i-1，若 i >2 转 ② ；否则计算结束，此时
det(Bk) = det(B2) 或 det(Bk) = -det(B2) ，易知 B2的
3.1 树的基本概念
[割边] 图 G=(V,E) 中，eE。设 G=(V,E{e})，若G 的连通分支数目比G多1，则称e为G的一条割边。 [定理3-1-1] 上述e、G中，e是G的一条割边当且仅当e 不属于G中任何回路。 [树] 连通图G=(V,E)，若G中不含任何回路，则称G为 树。|V|=1时称之为平凡树。
Dk=
D1k 0
l
lk 行
n-1-lk 行
16
3.2 关联矩阵
① 若C不经过 vk，则从B生成Bk时从D中划去的是全0 (不在 D1中) 的行向量，lk=l，D1k=D1 ，即D1k每列都含+1和-1。
故 D1k不满秩，或 r(D1k) < l ；
② 若C经过vk，则从B生成Bk时从D中划去了D1中的一行，此 时 lk=l -1，即D1k中最多有l -1个非0行向量，故
是从v到T的叶子的最长路的长度。
根结点深度为0，称为第0层；
深度同为i 的结点构成树的第i 层；
具有最大深度的结点的深度称为树的深度（高 度）。
28
3.4 有向树
[有序树] 将各树的每个结点的所有儿子按次序排列， 称这样的根树为有根有序树。
有序树的每个结点的出度小于或等于m时，称为m
离散数学-树
离散数学导论
. 树
1.2 生成树
➢定义9.10
图T称为无向图G的生成树（spanning tree）， 如果T为G的生成子图且T为树。
✓定理9.17
任一连通图G都至少有一棵生成。
.. 树树
1.2 生成树
✓ 定理9.18
设G为连通无 向图，那么G的 任一回路与任一生 成树T的关于G的补 G – T ，至少有一 条公共边。
1.3 根树
➢ 定义9.15
每个结点都至多有两个儿子的根树称为 二元树（quasibinary tree）。类似地，每个结点都
至多有n个儿子的根树称为n元树。 对各分支结点 的诸儿子规定了次序（例如左兄右弟）的n 元树称
为n元有序树；若对各分支结点的已排序的诸儿子
规定了在图示中的位置（例如左、中、右），那么
弦组成G的一个割集，它被称为枝t-割集（t-cut set）；
而每一条弦e与T中的通路构成一回路，它被称为弦e-回
路（e-circuit）。
. 树
1.2 生成树
✓ 定理9.20
在连通无向图G中，任一回路与任 一割集均有偶数条公共边。
. 树
1.2 生成树
✓ 定理9.21
设G为一连通无向图，T是G的生成树， S = {e1, e2, e3,…,ek}
✓ 定理9.19
设G为连通无 向图，那么G的任 一割集
与任一生成树至少
有一条公共边。
.. 树树
1.2 生成树
➢ 定义9.11
设T为图G的生成树，称T中的边为树枝（branch） 称G – T 中的边为弦（chord）。对每一树枝t，T–t分为
树的实现及其应用
树的实现及其应用树（Tree）是一种非常重要的数据结构，它在计算机科学中有着广泛的应用。
树是由节点（Node）和边（Edge）组成的一种层次结构，其中一个节点可以有零个或多个子节点。
树结构中最顶层的节点称为根节点（Root），最底层的节点称为叶节点（Leaf），除了根节点外，每个节点有且仅有一个父节点。
一、树的基本概念在树的结构中，每个节点可以有多个子节点，这些子节点又可以有自己的子节点，以此类推，形成了树的层次结构。
树的基本概念包括以下几个要点：1. 根节点（Root）：树结构的最顶层节点，没有父节点。
2. 叶节点（Leaf）：树结构的最底层节点，没有子节点。
3. 父节点（Parent）：一个节点的直接上级节点。
4. 子节点（Child）：一个节点的直接下级节点。
5. 兄弟节点（Sibling）：具有相同父节点的节点互为兄弟节点。
6. 子树（Subtree）：树中的任意节点和它的子节点以及这些子节点的子节点构成的子树。
7. 深度（Depth）：从根节点到某个节点的唯一路径的边的数量。
8. 高度（Height）：从某个节点到叶节点的最长路径的边的数量。
二、树的实现树的实现可以通过多种方式来完成，其中最常见的是使用节点和指针的方式来表示树结构。
在实际编程中，可以通过定义节点类（NodeClass）来表示树的节点，然后通过指针来连接各个节点，从而构建出完整的树结构。
下面是一个简单的树节点类的示例代码：```pythonclass TreeNode:def __init__(self, value):self.value = valueself.children = []```在上面的示例中，TreeNode类表示树的节点，每个节点包含一个值（value）和一个子节点列表（children）。
通过不断地创建节点对象并将它们连接起来，就可以构建出一棵完整的树。
三、树的遍历树的遍历是指按照一定顺序访问树中的所有节点。
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备注：
树是边最少的连通图
树是边最多的无简单回路的图
树中边和点的数量关系
设T是树，令n=|VT|, m=|ET|, 则m=n-1。 证明. 对n进行归纳证明。当n=1, T是平凡树，结论显然成立。 假设当nk是结论成立。 若n=k+1。因为T中每条边都是割边，任取eET, T-{e}含两 个连通分支，设其为T1, T2, 并设它们边数分别是m1, m2, 顶点数分别是n1, n2, 根据归纳假设：m1=n1-1, m2=n2-1。 注意：n1+n2=n, m1+m2=m-1。 m= m1+m2+1=n-1。
连通图边数的下限
顶点数为n（ n2）的连通图，其边数mn-1。
(对于树，m=n-1, “树是边最少的连通图”)
证明：对n进行一般归纳。当n=2时结论显然成立。
设 G 是 边 数 为 m 的 连 通 图 ， 且 |VG|=n>2 。 任 取 vVG ， 令 G’=G-v,设G’有(1)个连通分支G1,G2,…,G，且Gi的边数 和顶点数分别是mi和ni。
n-1 = mi （入度总数=出度总数） n=i+l （顶点分为内点和树叶）
高度为h的m元树的顶点数叶。
按照高度h进行归纳证明。（第1层顶点最多为m个）
若高度为h的m元树有l个树叶，则h logml.
如果这棵树是完全的且平衡的，则有h= logml.
入度>1
假设从 vn 到 v0 也有通路
(c)
根树的图形表示
边上的方向用约定的位置关系表示
根也是内点，除非 它是图中唯一顶点。
第 0层
根 内点（有子女）
第 1层
树叶（无子女） 树高=3（最大的通路长度）
第 2层
第 3层
根树与家族关系
用根树容易描述家族关系，反之，家族关系术语被用于描 述根树中顶点之间的关系。
u x
P1 y
v
P2
有关树的几个等价命题
设T是简单无向图，下列四个命题等价：
(1) T是不包含简单回路的连通图。//树的定义
(2) T中任意两点之间有唯一简单通路。 (3) T连通，但删除任意一条边则不再连通。
(4) T不包含简单回路，但在任意不相邻的顶点对之间加一 条边则产生唯一的简单回路。
平衡：树叶都在h层或(h-1)层, h为树高。 有序：同层中每个顶点排定次序
有序二叉树通常也简称为二叉树
根树的几个术语（续）
定义：设T是根树，T中任一顶点v及其所有后代的导 出子图显然也是根树(以v为根)，称为T的根子树。
有序二叉树的子树分为左子树和右子树
即使不是完全二叉数，也可以 分左、右，必须注意顶点位置
我们有n=n1+n2+…+n+1, mm1+m2+…+m+ (每个连通分 支中至少有一个顶点在G中与删除的v相邻)。 由归纳假设，mini-1(i=1,2,…)。 所以：m m1+m2+…+m+n1+n2+…+n-+=n-1。
与边点数量关系有关的等价命题
设T是简单无向图，下列三个命题等价： (1) T是树。
(2) T不含简单回路，且m=n-1。
(3) T连通，且m=n-1。
(1)(2), 已证。
(2)(3), 若不连通，分支数2，各分支为树（无简单回 路、连通），则m=n-<n-1，矛盾。
(3)(1), 设e是T中任意一条边，令T’=T-e, 且其边数和顶点 数分别是m’和n, 则m’=m-1=n-2<n-1, T’是非连通图。因 此，G的任意边均不在简单回路中，G中无简单回路。
根树的定义
定义：底图为树的有向图称为有向树。 定义：若有向树恰含一个入度为0的顶点，其它顶 点入度均为1，则该有向树称为根树，那个入度为 0的顶点称为根。
根树中的有向通路
若v0是根树T的根,则对T中任意其它顶点vn ,存在唯 一的有向v0vn-通路,但不存在vnv0-通路。
v0
v0 vn vk 假设v0 vn-通路 p 多于１条 vi w1 (a) vn (b) vn v0
有序根树的遍历
后序遍历 （postorder）
树的基本概念
离散数学─树
南京大学计算机科学与技术系
内容提要
树的定义 树的性质 根树 有序根树的遍历
树的定义
定义：不包含简单回路的连通无向图称为树。
森林（连通分支为树） 树叶/分支点（度为1？）
互不同构的6个顶点的树
树中的通路
设T是树，则u,vVT, T中存在唯一的 uv-简单通路。
mh-1 l mh
有序根树的遍历
前序遍历 （preorder）
T只包含根r，则为 r；
T的子树为T1, …, Tn, 则为 r, preorder(T1), …, preorder(Tn)
r
T1
…
Tn
有序根树的遍历
前序遍历 （preorder）
a b c e f j g h k i d
John's ancestors John's parent
John John's child
John’s siblings
John's descendants
根树的几个术语
m元树：每个内点至多有m个子女
2元树也称为二叉树 每个内点恰好有m个子女
完全m元树(full m-ary tree)
证明：T是连通图，u,vVT, T中存在uv-简单通路。
假设T中有两条不同的uv-简单通路P1,P2。不失一般性，存在 e=(x,y)满足：eP1但eP2，且在路径P1上x比y靠近u。令 T*=T-{e}，则T*中包含P2, 于是(P1中的xu-段)+P2+( P1中的vy段)是T*中的xy-通路，T*中含xy-简单通路(记为P’)，则 P’+e是T中的简单回路，与树的定义矛盾。
左子树 右子树
根树（举例）
树的高度、各顶点所处的层数 完全、平衡
完全m元树的顶点数
设T是完全m元树，
若T有n个顶点, 则有i=(n-1)/m个内点和l=[(m-1)n+1]/m个树叶. 若T有i个内点，则有n=mi+1顶点和l=(m-1)i+1个树叶. 若T有l个树叶，则有n=(ml-1)/(m-1) 个顶点和i=(l-1) )/(m-1) 个内点.