分式型函数求值域的方法探讨
简单分式型三角函数最值(值域)问题的求解策略
1 所以原函数的值域为 ( ， ] [7 ， ) ． 3 点评 上述解法第一步进行的是用 y 来表示 x ，
这与求反函数的思路是一致的，进而利用正弦函数 的有界性求出 y 的范围，即为函数的值域． 策略 2 分离常量和部分分式分析相结合 例 2 同例 1． 5 解 原函数可化为： y 2 ， 2sin x 1 由 1 sin x 1 得到： 3 2sin x 1 1 且 2sin x 1 0 ． 1 1 当 3 2sin x 1 0 时， ， 2sin x 1 3 5 5 则 ， 2sin x 1 3 5 1 1 从而 2 ，即 y ； 3 2sin x 1 3 1 当 0 2sin x 1 1 时， 1， 2sin x 1 5 则 5， 2sin x 1
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福建中学学
2015 年第 2 期
简单分式型三角函数最值（值域）问题的求解策略
肖笃光 江西省吉安市泰和中学（343700） 从而 2
5 2sin x 1 7 ，即 y 7 ．
三角函数的最值（值域）问题是每年高考重点 考查的知识点之一，它不仅与三角函数自身的常见 的基础知识密切相关，而且与代数及一些几何中的 有关知识有密切联系． 而分式型三角函数的最值 （值 域）问题却是这类问题的难点，这类考题综合性强， 解法灵活，对能力要求较高．本文结合全国各省市 历年高考试卷中涉及分式型三角函数最值（值域） 问题，归纳其解题策略，以提高同学们的思维能力 和解题能力． 策略 1 反求函数和函数有界性相结合 4 sin x 3 例 1 求函数 y 的值域． 2sin x 1 y3 解 原函数可变形为 sin x ， 2y 4 由 sin x 1 得到： y 3 2 y 4 ． 两边平方并整理，得 3 y 2 22 y 7 0 ， 解之得 y 7 ，或 y
分式函数求值域问题
分式函数求值域问题的通用解法韩善豪我这里所讲的分式函数指的是一次除一次,二次除一次,一次除二次,二次除二次,具体来看是指一下四种形式： 一次除以一次dcx b ax y ++= 二次除以一次nmx c bx ax y +++=2 一次除以二次cbx ax n mx y +++=2 二次除以二次rnx mx c bx ax y ++++=22 下面我以一些具体的例子来说一说分式函数值域的具体求法;例1.求函数212-+=x x y 的值域; 解析：此题的标准解法叫分离常数 则该函数是由xy 5=向右平移两个单位,向上平移2个单位得到,显然值域为()()+∞⋃∞-,22, 说明：d cx b ax y ++=该函数可以称为是反比例型函数,其值域为⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-,,c a c a 即⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠c a y y ;另外此函数的对称性和单调性规律也很简单,大家可以试着总结一下; 再随便举一个例子：231-+=x x y 其值域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠31y y 例2.求函数xx x y 422++=的值域; 解析：此例子比较简单,分母上的一次只是x ,显然我们可以化简得24++=xx y 则可以用对号函数的单调性解决值域为(][)+∞⋃-∞-,62, 例3.求函数1422+++=x x x y 的值域; 解析：此题和例2其实一样,只不过分母稍复杂一点;令1),0(1-=≠+=t x t x t 代入上式得 所以值域为(][)+∞⋃-∞-,3232,例4.求函数4212+++=x x x y 的值域;解析：此题为一次除以二次的形式,则根据例3当01≠+x 时,我们可以先求出y1的值域为(][)+∞⋃-∞-,3232,,则此时⎥⎦⎤ ⎝⎛⋃⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡-∈63,00,63y ,当01=+x 时,0=y ,综上进得到该函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈63,63y 例5.求函数113222++++=x x x x y 的值域; 解析：此题可以转化成例4来求;121)1(2123222222+++=+++++=++++=x x x x x x x x x x x x y 仍然是一次除以二次的情况 当0=x 时2=y当0≠x 时[)⎥⎦⎤ ⎝⎛⋃∈+++=37,22,11112xx y 综上⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈37,1y 说明：分式函数求值域的问题,除了一次除以一次可以口算之外,其余的几种情况基本上都可以转化成对号函数来求;以上几个题目都是我随手编的几个题,只是想给大家展示一下分式求值域通用的规律;后面我会再给大家补充几道涉及到分式求值域的高考题以及高考模拟题;。
分式函数最值及函数值范围问题
分式函数最值及函数值范围问题
在数学中，分式函数是由分子和分母分别是多项式的函数。
分式函数的最值和函数值范围问题是研究该类型函数的关键内容。
本文将介绍分式函数的最值以及如何确定函数值的范围。
1. 分式函数的最值问题
1.1 分式函数的最大值
要确定分式函数的最大值，我们可以通过以下步骤进行分析：
1. 找出函数的定义域，即使得分母不等于零的变量取值范围。
2. 找出函数的极值点，即导数为零或不存在的点，这些点可能是函数的最大值点。
3. 将定义域中的边界点和极值点一起代入函数，比较函数值，找出最大值。
1.2 分式函数的最小值
要确定分式函数的最小值，我们可以通过以下步骤进行分析：
1. 找出函数的定义域，即使得分母不等于零的变量取值范围。
2. 找出函数的极值点，即导数为零或不存在的点，这些点可能是函数的最小值点。
3. 将定义域中的边界点和极值点一起代入函数，比较函数值，找出最小值。
2. 分式函数的函数值范围问题
要确定分式函数的函数值范围，我们可以通过以下步骤进行分析：
1. 找出函数的定义域，即使得分母不等于零的变量取值范围。
2. 分析分子和分母的符号和关系，找出函数的正负性。
3. 综合考虑定义域边界点、极值点以及正负性，确定函数值的范围。
总结
分式函数的最值和函数值范围问题是研究分式函数的关键内容。
通过分析函数的定义域、极值点、边界点以及分子分母的符号和关系，我们可以确定分式函数的最值和函数值范围。
这些分析步骤可
以帮助我们更好地理解和运用分式函数。
分式型函数求值域的方法探讨
分式型函数求值域的方法探讨在教学中，笔者常常遇到一类函数求值域问题，此类函数是以分式函数形式出现，有一次式比一次式，二次式比一次式，一次式比二次式，二次式比二次，现在对这类问题进行探讨。
一、形如d cx bax x f ++=)((0,≠≠b o a )（一次式比一次式）在定义域内求值域。
例1：求2312)(++=x x x f （)32-≠x 的值域。
解：23134)32(3)32(2)(+--++=x x x x f =233132+-x Θ32233132,02331≠+-∴≠+-x x∴其值域为}⎩⎨⎧≠32/y y一般性结论，d cx b ax x f ++=)((0,≠≠b o a )如果定义域为{/x cdx -≠},则值域}⎩⎨⎧≠c a y y /例2：求2312)(++=x x x f ，()2,1∈x 的值域。
分析：由于此类函数图像可以经过反比列函数图像平移得出，所以解决在给定区间内的值域问题，我们可以画出函数图像，求出其值域。
解：2312)(++=x x x f =233132+-x ，是由xy 31-=向左平移32，向上平移32得出，通过图像观察，其值域为⎪⎭⎫⎝⎛85,53小结：函数关系式是一次式比一次式的时候，我们发现在此类函数的实质是反比例函数通过平时得出的，因此我们可以作出其图像，去求函数的值域。
二、形如求xax x f +=)(（)0≠a 的值域。
分析：此类函数中，当0<a ，函数为单调函数，较简单，在此我们不做讨论，当0>a 时，对函数求导，,1)(2'xa x f -=0)('>x f 时，),(a x -∞∈⋃+∞,a ），0)('<x f 时，),0()0,(a a x ⋃-∈，根据函数单调性，我们可以做出此类函数的大致图像，其我们常其图像例3：求)4,1((,42)(∈+=x xx x f 上的值域。
求二次分式型函数的值域
求二次分式型函数的值域【自我诊断】1．求函数y ＝2x 2－x ＋2的值域． 【答案】(0，87]． 【解析】方法一、令t ＝x 2－x ＋2＝(x －12)2＋74，x ∈R ，则t ∈[74，＋∞)，得y ＝2t ，t ∈[74，＋∞)，1t ∈(0，47]，2t ∈(0，87]，所以函数y ＝2x 2－x ＋2的值域为(0，87]．方法二、原题转化为x 2y －xy ＋2y －2＝0，（1）当y ＝0，－2＝0不成立； （2）当y ≠0，关于x 的方程x 2y －xy ＋2y －2＝0有实根，所以Δ＝y 2－4y (2y －2)≥0，解得0＜y ≤87， 所以函数y ＝2x 2－x ＋2的值域为(0，87]． 2.函数y ＝x ＋1x 2－x ＋2的值域为_____________． 【答案】[－17，1]． 【解析】方法一、令t ＝x ＋1，x ∈R ，则x ＝t －1，且t ∈R ，得y ＝t (t －1)2－(t －1)＋2＝t t 2－3t ＋4，t ∈R ，（1）当t ＝0，y ＝0； （2）当t ≠0，y ＝1t ＋4t－3，t ＋4t ∈(－∞，－4]∪[4，＋∞)，t ＋4t －3∈(－∞，－7]∪[1，＋∞)， 1t ＋4t－3∈[－17，0)∪(0,1]．所以函数y ＝x ＋1x 2－x ＋2的值域为[－17，1]．方法二、原题转化为yx 2－(y ＋1)x ＋2y －1＝0，（1）当y ＝0，x ＝－1，成立； （2）当y ≠0，关于x 的方程yx 2－(y ＋1)x ＋2y －1＝0有实根，所以Δ＝(y ＋1)2－4y (2y －1)≥0，解得－17＜y ≤1，且y ≠0．所以函数y ＝x ＋1x 2－x ＋2的值域为[－17，1]． 3. 函数y ＝x ＋1x 2－x ＋2(－1≤x ≤2)的值域为_____________． 【答案】[0，1]．【解析】令t ＝x ＋1，x ∈[－1，2]，则x ＝t －1，且t ∈[0，3]，得y ＝t (t －1)2－(t －1)＋2＝t t 2－3t ＋4，t ∈R ，（1）当t ＝0，y ＝0； （2）当t ∈(0，3]，y ＝1t ＋4t－3，t ＋4t ∈[4，＋∞)，t ＋4t －3∈[1，＋∞)，1t ＋4t －3∈ (0,1]． 所以函数y ＝x ＋1x 2－x ＋2的值域为[0，1]． 5. 函数y ＝2x 2－3x ＋3x 2－x ＋2的值域为_____________． 【答案】[1，157]． 【提示】方法一、原函数转化为y ＝2(x 2－x ＋2)＋2x －4－3x ＋3x 2－x ＋2＝2－x ＋1x 2－x ＋2．方法二、同上．6. 函数y ＝2x 2－3x ＋3x 2－x ＋2(－1≤x ≤2)的值域为_____________． 【答案】[1，2]．【跟踪训练】1．函数y ＝x 2－x ＋1x 2＋x ＋1的值域为_____________． 【答案】[13，3]． 2. 函数y ＝2x 2＋11x ＋7x ＋3(0＜x ＜1)的值域为_____________． 【答案】(73，5)．。
例析用判别式法求分式函数值域之困惑
百花园地新课程NEW CURRICULUM判别式法是求形如y =ax 2+bx+c dx 2+ex+f（a 2+d 2≠0）的分式型二次函数值域的常用方法。
但是很多学生在学习和运用判别式法的过程中，发现运用判别式法求值域时，有时候是对的，有时候又是错的，其中的原因究竟为何并不清楚，后来干脆不用判别式法而改用其他方法。
其实只要你掌握了判别式法的理论依据及易错点，一般来说，求形如y =ax 2+bx+c dx 2+ex+f（a 2+d 2≠0）的分式型二次函数值域还是比较方便的。
下面就本人对判别式法的一些理解，来分析一下为什么用判别式法有时是对的，有时候又是错的。
首先，让我们通过一道例题来看一下，判别式法求形如y =ax 2+bx+c dx 2+ex+f （a 2+d 2≠0）的分式型二次函数值域的一般步骤及其理论依据。
例1：求函数y =x 2+x -1x 2+x -6的值域。
解：由y =x 2+x -1x 2+x -6可得（y -1）x 2+（y -1）x -6y +1=0★10当y -1=0即y =1时，★式可化为-5=0显然不成立。
20当y -1≠0即y ≠1时，★式为关于x 的一元二次方程Δ=（y -1）2-4（y -1）（1-6y ）≥0得y ≥1或y ≤15由10、20可得y ∈（-∞，15）∪（1，+∞）即所求函数的值域为y ∈（-∞，15）∪（1，+∞）。
例2：求函数y =2x 2-x +1x 2+2x -3的值域。
解：由y =2x 2-x +1x 2+2x -3可得（y -2）x 2+（2y +1）x -3y -1=0★10当y -2=0即y =2时，★式可化为5x -7=0得x =75因为函数y =2x 2-x +1x 2+2x -3的定义域为（-∞，-3）∪（-3，1）（1，+∞）而x =75∈（-∞，-3）∪（-3，1）（1，+∞）所以，y =2符合题意。
20当y -2≠0即y ≠2时，★式为关于x 的一元二次方程Δ=（2y +1）2+4（y -2）（3y+1）≥0得y ≥2+11√4或y ≤2-11√4由10、20可得y ≥2+11√4或y ≤2-11√4即所求函数的值域为(-∞,2-11√4］∪［2+11√4，+∞）注：由上述例1和例2可以看出，用判别式法求值域大致可分为四步：1.将分式形如y =ax 2+bx +c dx 2+ex+f （a 2+d 2≠0）的分式型二次函数转化为关于x 的整式方程（dy-a ）x 2+（ye-b ）x +yf -c =0★。
分式函数三种值域求法
分式函数三种值域求法
在求解分式函数的值域时，通常可以使用以下三种方法：
1. 构造法：通过对分式函数进行构造，确定函数的值域范围。
具体步骤如下：
- 将分式函数表示为一个等式，将等式中的分母进行因式分解，找出分母的零点，得到不可取的值。
- 根据分式函数的定义域限制和函数的性质，确定分子函数和分母函数的值域范围。
- 根据值域范围的限制，求解分式函数的值域。
2. 导数法：对分式函数求导，利用导数的性质来确定值域范围。
具体步骤如下：
- 首先找到分式函数的定义域，并求出其导数。
- 根据导数的增减性分析函数的单调性，并确定函数的极值点。
- 根据函数的单调性和极值点，确定值域范围。
3. 图像法：通过绘制函数的图像，观察其图像特征来确定函数的值域范围。
具体步骤如下：
- 绘制分式函数的图像，可以使用计算机软件、图
形计算器等工具。
- 观察图像的函数曲线，确定函数的最大值、最小值和区间。
- 根据图像的特征，确定函数的值域范围。
这三种方法可以根据具体情况选择使用，有时也可以结合使用以求得更准确和全面的值域范围。
在实际应用中，可以根据具体的分式函数和问题的要求来选择适合的方法。
“几何法”求分式型函数的值域
斜率的 猿 倍援
源 易求得 噪逸猿伊 越 源援
猿
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点评摇
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表 示 的 是 椭 圆袁 从 而 解 法 较 繁袁故 代 换 时 多 用 圆 而 避 免
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原糟燥泽圆 曾 垣源 泽蚤灶曾 垣远
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从以上几例可以看出袁用野 几何法冶 求分式型函数值
域的关键是作一个恰当的变量替换袁替换后两个新变量
通过某种算术运算能化为直线或二次曲线方程袁原函数
变成直线的斜率渊 或截距冤 袁结合图形确定函数的值域援
渊 收稿日期院圆园员园园缘员猿冤
例 猿摇 求函数 枣渊 曾冤越
的值域援
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解摇 函数可变形为
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枣渊 曾冤 越
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泽蚤灶曾原猿
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分式型函数求值域的方法探讨
在教学中，笔者常常遇到一类函数求值域问题，此类函数是以分式函数形式出现，有一次式比一次式，二次式比一次式，一次式比二次式，二次式比二次，现在对这类问题进行探讨。
一、形如d cx b
ax x f ++=
)((0,≠≠b o a )（一次式比一次式）在定义域内求值域。
例1：求2312)(++=x x x f （)32
-≠x 的值域。
解：231
34)
3
2(3)32(2)(+--++=x x x x f =233132+-x 32233132,02331≠+-∴≠+-x x
∴其值域为}⎩
⎨⎧
≠
32/y y
一般性结论，d cx b ax x f ++=
)((0,≠≠b o a )如果定义域为{/x c
d
x -≠},则值域
}⎩
⎨
⎧
≠c a y y /
例2：求2
31
2)(++=
x x x f ，()2,1∈x 的值域。
分析：由于此类函数图像可以经过反比列函数图像平移得出，所以解决在给定区间内的值域问题，我们可以画出函数图像，求出其值域。
解：2312)(++=x x x f =233132+-x ，是由x
y 31
-=向左平移32，向上平移32
得出，通过图
像观察，其值域为⎪⎭
⎫ ⎝⎛85,53
小结：函数关系式是一次式比一次式的时候，我们发现在此类函数的实质是反比例函数通过平时得出的，因此我们可以作出其图像，去求函数的值域。
二、形如求x
a
x x f +
=)(（)0≠a 的值域。
分析：此类函数中，当0<a ，函数为单调函数，较简单，在此我们不做讨论，当0>a 时， 对函数求导，,1)(2
'
x
a x f -
=0)('
>x f 时，),(a x -∞∈⋃+∞,a ），0)('
<x f 时，
),0()0,(a a x ⋃-∈，根据函数单调性，我们可以做出此类函数的大致图像，其我们常
说的双勾函数，通过图像求出其值域。
当然在某些时候可以采用基本不等式来解决 其图像
例3：求)4,1((,4
2)(∈+
=x x
x x f 上的值域。
解：将函数整理成)2
(2)(x
x x f +=，根据双钩函数的性质，我们可以判断此函数在)
2,0(单调递减，在),2(+∞上递增，其在2处取最小值，比较1，4出的函数值，我们可以知道在1处取的最大值，所以其值域为[)
6,24
三、用双钩函数解决形如c
bx ax n
mx x f +++=2)(（0,0≠≠a m ），n mx c bx ax x f +++=
2)(
（0,0≠≠a m ）在定义内求值域的问题。
例3：（2010重庆文数）已知0t >，则则函数241
t t y t -+=的最小值为_______.
解：41
142-+=+-=
t
t t t t y ，∴>o t 由基本不等式地2-≥y
例4:求)1(2
1
)(2
>++-=
x x x x x f 的值域。
解：令,1,1+==-t x t x 则则2)1()1()(2++++=
t t t x f =
341
4
32++=++t
t t t t
， 其中t .0>则由基本不等式得7
1)(≤
x f 例5:求)2
1
(12224)(2->+++=
x x x x x f 的值域。
解：令,12+=x t 则21-=t x ，t
t t x f 2)21(2214)(2
+-+⎪
⎭⎫
⎝⎛-==t t t 22+-=12-+t t
，其中0>t ，由基本式得122)(-≥x f
小结：对于此类问题，我们一般换元整理后，将函数变成)0()(>+
=a x
a
x x f 这类型的函数，解决此类函数注意应用基本不等式，当基本不等式不行的时候，注意应用双勾函数的思想去解决此类问题
三、形如)0,0()(2
2≠≠++++=m a c bx mx c
bx ax x f 在定义域内求值域。
例5：求1
1
222++++=x x x x y 的值域。
分析：当定义域为R 时，我们采用判别式法求此类函数的值域。
当定义域不为R 时，不应采用此法，否则有可能出错。
此时，我们要根据函数关系的特征，采用其他方法。
解：012
>++x x 恒恒成立，所以此函数的定义域为R x ∈，将函数整理成关于x 的方程，
1222++=++x x y yx yx ，,0)1()1()2(2=-+-+-y x y x y 当,02≠-y 关于x 的方程
恒有解，则)1)(2(4)1(2
----=∆y y y ,0≥即3
7
1≤≤y ，显然，2=y 也成立，所以其值域为{}3
71/≤
≤y y
以上是求此类函数的常见方法，但同学们在解题过程中。
不要拘泥以上方法，我们要根据具体函数的特征采用相对应的方法，多思考，举一反三，那以后解决此类问题就很容易了。