线性规划和方程参数
04-06线性规划-1
最优解（optimal solution）
使目标函数取得最大值（或最小值）的可行解 称为最优解。
LP一般形式
一组决策变量
满足这三个要素的 问题就是线性规划 问题
每个问题都用一组决策变量表示某个方案，通 常要求这些未知数取值是非负的。
一个线性目标函数
max s CX s.t. AX b X 0
一般称C为价值向量，b为资源向量，A为技术系数矩阵
关于标准型要把握几点
决策变量大于等于0 约束条件均为等式 约束条件右端项bi大于等于0 目标函数为求max
如何将一般问题化为标准型？
若目标函数是求最小 值 Min z = CX 令 z’= - z, 则 Max z’= - CX
该问题可行域为空集， 即无可行解，也不存在 最优解
第3部分 线性规划的标准型(SLP)
线性规划标准型(SLP)
写成缩小形式或矩阵形式
max s c j x j
j 1
n
n aij x j bi , i 1,2,, m s.t. j 1 x 0, j 1,2,, n j
产品A 9 4 3 产品B 4 5 10 资源限额
360工时 200台时 300公斤
70
120
问：如何安排生产使该厂获利最大？
解：设x1,x2分别表示A、B两种产品的产量 那么其总利润为： z=70x1+120x2 并且由于资源限制，应有： 9x1＋4x2≤360
4x1+5x2≤200
3x1+10x2≤300 我们的目标是使z最大
可加性假定：每个决策变量对目标函数和约束方程的
影响独立于其他变量的，目标函数值是每个决策变量对 目标函数贡献的总和
2 线性规划
第一节 线性规划问题及其数学模型
可加性假定：每个决策变量对目标函数和约
束方程的影响是独立于其他变量的，目标函 数值是每个决策变量对目标函数贡献的总和 连续性假定：线性规划问题中的决策变量应 取连续值。 确定性假定：线性规划问题中的所有参数都 是确定的参数。线性规划问题不包含随机因 素。
约 束 方 程
约束条件
变量约束
第一节 线性规划问题及其数学模型
线性规划问题隐含的假定： 比例性假定 可加性假定 连续性假定 确定性假定
比例性假定：决策变量变化引起的目标函数
的改变量和决策变量的改变量成比例，同样， 每个决策变量的变化引起约束方程左端值的 改变量和该变量的改变量成比例
≥0
=
≥0
第一节 线性规划问题及其数学模型
标准型的简缩形式
max Z
c x
j j 1
n
j
s .t
n aij x j bi , i 1,2 , , m j 1 x j 0 , i 1,2 , , m
第一节 线性规划问题及其数学模型
或
松弛变量
a i 1 x 1 a i 2 x 2 a in x n bi
a i 1 x1 a i 2 x 2 a in x n x p bi , x p 0
剩余变量
练习
例:将下列线性规划问题划为标准形式： min Z = x1+3x2
s.t.
6x1+7x28 -x1+3x2-6 x1-x2=3 x10
可行域无界
x1+2x2 10 x2 0 x1
可行域无界
x2
x1 0
最优化方法-线性规划
引言
对线性规划贡献最大的是美国数学家G.B.Dantig(丹捷格)，他 在1947年提出了求解线性规划的单纯形法（Simple Method），并同时给出了许多很有价值的理论，为线性规划 奠定了理论基础。在1953年，丹捷格又提出了改进单纯形法， 1954年Lemke(兰母凯)提出了对偶单纯形法（dual simplex method）。 在1976年， R. G. Bland 提出避免出现循环的方法后，使线 性规划的理论更加完善。但在1972年，V. Klee和G .Minmty 构造了一个例子，发现单纯形法的迭代次数是指数次运算，不 是好方法——并不是多项式算法（多项式算法被认为是好算 法），这对单纯形法提出了挑战。
B2
B3
70
50 60
A2
60 110 160
[解] 设xij 表示 Ai运往Bj的运量（万块） minS=50x11+60x12+70x13+60x21+110x22+160x23 S.t. x11+x12+x13=23 x21+x22+x23=27 x11+x21=17 x12+x22=18 x13+x23=15 xij≥0, i=1,2、j=1,2,3
2.线性规划问题的几何意义
2.1基本概念 凸集：设k为n维欧氏空间的一点集，任取X,Y∈K,若 连接X,Y的线段仍属于K,则称K为凸集。即任取α ,0<α <1 α X+(1-α )Y∈K 称K为凸集。 顶点（极点）：设K是凸集，X∈K,若X不能用不同的两
点 X(1) ∈K,X2) ∈K 的线性组合表示为 X=α X(1)+(1-α )X(2) (0<α <1) 则称X为极点。
线性规划的定义及解题方法
线性规划的定义及解题方法线性规划是一种数学建模技术，旨在解决在约束条件下，寻求最优解的问题。
它的实际应用十分广泛，例如管理学、经济学、物流学等领域。
线性规划可以分为单目标和多目标两种，但其中比较常见的是单目标线性规划。
本文将从线性规划的定义、模型建立、求解方法等方面阐述其原理与应用。
一、线性规划的定义线性规划的定义是：在有限约束条件下，目标函数为线性的最优化问题。
它通过数学模型的建立，将涉及到的变量、约束条件与目标函数转化为线性等式或不等式的形式，从而寻找最优解。
通常，线性规划的目标是最大化或最小化某个变量，可以用以下的形式去表示：$$Z=C_1X_1+C_2X_2+……+C_nX_n $$其中，$Z$为目标函数值，$X_1, X_2,……,X_n$为待求变量，$C_1, C_2,……,C_n$为相应的系数。
在线性规划中，会涉及到许多变量，这些变量需要受到一些限制。
这些限制可以用不等式或等式来表示，这些方程式被称为约束条件。
例如：$$A_1X_1+A_2X_2+……+A_nX_n≤B$$$$X_i≥0, i=1,2,……, n $$这两个方程就代表了一些约束条件，例如目标函数系数的和不能超过某个值，若$X_i$为生产的产品数量，则需保证产量不能小于零等。
这些约束条件用于限制变量的取值范围，而目标函数则用于求解最优解。
二、线性规划的模型建立在建立线性规划模型时，需要考虑几个要素：1. 决策变量：它是模型求解的关键。
决策变量是指在模型中未知的数量，也就是需要我们寻找最优解的那些变量。
2. 目标函数：确定目标函数，既要知道最大化还是最小化，还要知道哪些变量是影响目标函数的。
3. 约束条件：约束条件通常是一组等式或不等式，代表问题的限制。
例如在一个工厂中最大的生产量、原材料的数量限制、人工的数量等等，这些都是约束条件。
4. 模型的参数：模型参数是指约束条件的系数和模型中的常数。
它们是从现实问题中提取出来的，由于模型的解法通常是数学的，因此需要具体的数值。
【最优化】线性规划基本概述
【最优化】线性规划基本概述什么是线性规划：线性规划就是特殊的有约束优化问题，⽬的是通过⼀组线性等式或者不等式下得可⾏集合点，来寻找⼀个⽬标函数的极值；通常来说，极值可以是极⼤极⼩，但是⼀般采⽤极⼩，看到相关的案例，求极⼤值直接前⾯加负号变为极⼩值即可；线性规划的基本问题形式：线性规划问题可以采⽤最基本的数学符号进⾏描述：minimize c T xsubject to Ax=bx>=0;对于上述可以这样理解，对于某个参数向量x，所满⾜的可⾏域条件为Ax=b，也成为约束⽅程，可⾏域内点集由该⽅程组确定，其中值得注意的是可⾏域条件不⼀定为等式，只需要线性即可；c T x为⽬标等式，两个都为向量，所以值为⼀个单值，旨在找到⼀个极⼩值，使得满⾜minimize的要求；因此，对于任何的问题，都可以转为标准的问题形式进⾏求解；其中，⽐较有意思的是约束条件实际定义了求解的维数，也就是如何直观的通过对x的选择，使得c T x最⼤；如果从空间思想来考虑，就可以分为简单⼆维和三位情况下的最优化；如果是简单的⼆维情况：c T x相当于ax1+bx2，相当于⼆维平⾯上的⼀条直线，其中要求的是如何选定x1,x2的值，使得k=ax1+bx2存在最⼤最⼩值（因为向量c相当于已经确定了斜率）；⽽约束条件也为围成的⼀系列可⾏域，在⼆维平⾯内选择点，使得k=ax1+bx2最⼤，也就是和x2轴交点值最⼤；如下图所⽰，书上也给了⼀个很好的例⼦：⽽对于多维情况，则需要涉及凸多⾯体问题：c T x中的c的个数已经限定了多维空间下n的⽬标函数；约束条件Ax=b，其中A为m*n维数向量，定义了m个超平⾯所围成的⼀个凸多⾯体，并且假设该多⾯体⾮空有界；书上讨论了很多种情况，例如多⾯体超平⾯的维数问题；但是这⾥还是说⼀下常规的转换求法；根据c T x得到⼀个超平⾯c T x=0；找到⼀个⽀撑超平⾯c T x=β，使得整个胞体M在半平⾯，且M和超平⾯交集为M'；所以⽆论任何属于负半区的点y，都会有c T y<β；⽽任何属于M’的点y，都有c T y=β；所以可得到⽀撑超平⾯的点是极值点，同样如果⽀撑超平⾯为单点情况下，仍然适⽤；线性规划问题的标准型：对于标准型，和之前谈到的基本形式类似，实对所有⾼维线性规划下的问题做⼀个基本的形式定义；minimize c T xsubject to Ax=bx>=0值得注意的是Ax=b的条件，所有⼤于等于的线性条件都应该转为等于进⾏讨论，个⼈认为是使得所构成的解集范围是多胞体⽽⾮多个超平⾯围成的范围；⽽对于⾮标准形式，往往有Ax>=b或者Ax<=b，所以通过变换来变成⼀般的标准形式；其中注意下不同的说辞，Ax>=b,Ax<=b，⽆⾮就是加减y⽽已，保持y>=0即可，两种情况称之为剩余变量y和松弛变量y，名字记不记住感觉⽆伤⼤雅；基本解：当给出线性规划的基本形式之后，就可以对基本解进⾏构造；总的来说，解和传统的线性齐次、⾮齐次⽅程组不同，主要关注两个类型：1.基本解；2.可⾏解；两者其实有交集，交集的形式为基本可⾏解；基本解求法：可⾏解求法：可⾏解本质就是满⾜标准形式的解，也就是满⾜Ax=b,且x>=0的解，两个条件缺⼀不可；⽽基本可⾏解就是既为基本解满⾜x>=0的解；对于书上，有给出的相关例题，说明怎么求解可⾏解和基本解：基本解的性质：最优可⾏解：能够使得⽬标函数c T x取最⼩值的解；最优基本可⾏解：该最有可⾏解为基本解；其中对于线性规划来说，有挺重要的⼀条性质：1.如果存在可⾏解，则⼀定存在基本可⾏解；2.如果存在最优可⾏解，则必定存在最优基本可⾏解；基本可⾏解的实际意义：如果对于⼀个凸集，求⽬标函数极值，则必定取值点必定是凸集上的极点，对应的就是可⾏基本解；所以最后只需要寻找可⾏基本解中哪⼀个可以使得⽬标函数c T x最⼤(最⼩)，就可以得到最优基本可⾏解；【注意】关于为什么要找极点：根据前⾯⼆维推⼴⾄多维的推导，都是根据⽀撑超平⾯来进⾏极值寻找，所以找极值点也就相当于找使得距离原点超平⾯最远的⽀撑超平⾯；所以有定理：如若存在⼀个可⾏解组成的凸集，集合中的所有n维向量x满⾜Ax=b，x>=0，其中A维m*n维向量，则x是凸集中的极值点当且仅当x是Ax=b，x>=0的基本可⾏解；证明过程如下所⽰：。
线性规划
1
2/3 1/ 2 2/3
x4 x4 x4
1 / 3 0 0 1 1 / 3 0
4 c4 cB B
1 3 x5
1
p 4 为非基变量
x 4 的检验公式
T
c 4 0 , c B ( 3 , 5 , 0 ), p 4 ( 0 ,1 , 0 )
s .t .
1 3 x5
1/3 x4 0 x 5 1 / 3
xB B-1b
B-1P4 B-1P5 xN
如果所有的检验数都小于等于零，当前解就是最优解； 如果存在至少一个检验数大于零，且该检验数对应的列
向量B-1Pj中至少有一个正分量，则问题没有达到最优；
单纯形计算表
Cj-CBB-1Pj中B是单位矩 阵，实际计算Cj-CBPj
单纯形计算表
单纯形计算表
单纯形计算表
单纯形计算表
单纯形计算表
单纯形计算表
单纯形计算表
单纯形计算表
单纯形计算表
单纯形计算表
单纯形计算表
单纯形计算表
单纯形计算表
单纯形计算表
单纯形计算表
单纯形计算表
单纯形计算表
1 1
单纯形法Байду номын сангаас法
max z c B B s .t . xB B
1
b (c N c B B
1
1
N )xN
1
b B
Nx
N
xB , xN 0 1、将问题转化为标准型 2 、最优性检验 如果存在 否则计算 : ，找到一个初始可行基 ；
j 0 , 且 B p j 0 ，该问题无界，停止计 k max{ c j c B B
线性规划
第二章线性规划线性规划（linear programming，简称LP）是运筹学的一个重要分支，研究得比较早，尤其自1947年丹捷格（G.B.Dantzig）提出了单纯形法之后，线性规划在理论上趋向成熟．线性规划研究的对象大体可分为两大类：一类是在现有的人、财、物等资源的条件下，研究如何合理地计划、安排，可使得某一目标达到最大，如产量、利润目标等；另一类是在任务确定后，如何计划、安排，使用最低限度的人、财等资源，去实现该任务，如使生产成本、费用最小等．这两类问题从本质上说是相同的，即都在一组约束条件下，去实现某一个目标的最优（最大或最小）．线性规划研究的问题要求目标与约束条件函数均是线性的，而目标函数只能是一个．在经济管理问题中，大量的问题是线性的，有的可以转化为线性的，从而使线性规划有极大的应用价值．据美国《财富》杂志对全美500家大公司的调查，线性规划的应用名列前茅，有85%左右的公司频繁地使用线性规划．第一节线性规划问题及其数学模型一、线性规划问题的数学模型在生产实践和日常生活中，经常会遇到如何合理地使用有限资源（如资金、劳力、材料、机器、仪器设备、时间等），以获得最大效益的问题．例2-1 某制药厂在计划期内要安排生产Ⅰ、Ⅱ两种药品，这些药品分别需要在D、、四种不同的设备上加工．按工艺规定，每千克药品Ⅰ和Ⅱ在各BCA、台设备上所需要的加工台时数如表2-1．已知各设备在计划期内有效台时数（1台设备工作1小时称为1台时）分别是12、8、16和12．该制药厂每生产1千克药品Ⅰ可得利润200元，每生产1千克药品Ⅱ可得利润300元．问应如何安排生产计划，才能使制药厂利润最大？A、两种药品每千克在各台设备上所需的加工台时数表2-1 B药品A B C DⅠ 2 1 4 0Ⅱ 2 2 0 4这是一个资源有限，但需利润最大的线性规划问题．解 设1x ，2x 分别表示在计划期内药品Ⅰ和Ⅱ的产量（千克），Z 表示这个期间的制药厂利润．则计划期内生产Ⅰ、Ⅱ两种药品的利润总额为21300200x x Z +=（元）．但是生产Ⅰ、Ⅱ两种药品在A 设备上的加工台时数必须满足122221≤+x x ；在B 设备上的加工台时数必须满足8221≤+x x ；在C 设备上的加工台时数必须满足1641≤x ；在D 设备上的加工台时数必须满足1242≤x ；生产Ⅰ、Ⅱ两种药品的数量应是非负的数，即0,21≥x x ．于是上述的问题归结为：目标函数 21300200Max x x Z += 122221≤+x x8221≤+x x约束条件 1641≤ x1242≤x0,21≥x x同样，在经济生活和生产活动中也遇到另一类问题，即为了达到一定的目标，应如何组织生产，或合理安排工艺流程，或调整产品的成分等，以使消耗（人力、设备台时、资金、原材料等）为最少．例2-2 用3种原料321B B B 、、配制某种食品，要求该食品中蛋白质、脂肪、糖、维生素的含量不低于15、20、25、30单位．以上3种原料的单价及每单位原料所含各种成分的数量，如下表2-2所示．问应如何配制该食品，使所需成本最低？表2-2 3种原料所含成分营养成分 原料 食品中营养成分的最低需要量（单位） 1B 2B3B蛋白质（单位/千克）5 6 8 15 脂肪（单位/千克）3 4 6 20 糖（单位/千克）8 5 4 25 维生素（单位/千克）10 12 8 30 原料单价（元/千克）20 25 30这个问题是在食品的营养要求得到满足的前提下，如何通过适当的原料配比，使食品的成本最低．解 设321x x x 、、分别表示原料321B B B 、、的用量（千克），Z 表示食品的成本（元），则这一食品配制问题变为：目标函数 321302520Min x x x Z ++= 15865321≥++x x x20643321≥++x x x约束条件 25458321≥++x x x3081210321≥++x x x0,,321≥x x x例2-3 某医院每天至少需要下列数量的护士（见表2-3）．表2-3 某医院每天至少需要的护士数班次 时间 护士数1 上午6时－上午10时 602 上午10时－下午2时 703 下午2时－下午6时 604 下午6时－晚10时 505 晚10时－凌晨2时 206 凌晨2时－上午6时 30每班的护士在值班开始时向病房报到，连续工作8小时．试问：为满足每班所需要的护士数，医院最少应雇用多少护士？请列出线性规划问题的数学模型．解 设1x 表示第1班次向病房报到的护士数；2x 表示第2班次向病房报到的护士数；3x 表示第3班次向病房报到的护士数；4x 表示第4班次向病房报到的护士数；5x 表示第5班次向病房报到的护士数；6x 表示第6班次向病房报到的护士数．则有目标函数 ∑==61Min Z j j x 6016≥+x x7021≥+x x6032≥+x x约束条件 5043≥+x x2054≥+x x3065≥+x x0≥j x 且为整数 6,,2,1Λ=j例2-4 某一卫生所配有1名医生和1名护士．医生每天工作8小时，护士每天工作9小时．服务的项目是接生和做小手术．一次接生，医生要花0.5小时，护士同样要花0.5小时；一次小手术，医生要花1小时，护士要花1.5小时．这是一所小规模的卫生所，每天容纳的手术数和接生数合计不能超过12次．假定一次手术的收入为200元，一次接生的收入为80元．问怎样合理安排接生和手术的数量，使医生和护士一天工作能收入最多？解 设每天手术数为1x ，每天接生数为2x ，则目标函数 2180200Max x x Z +=82121≤+x x 9212321≤+x x 12 21≤+x x0,21≥x x 且为整数二、线性规划问题的结构特征从上面4个例子可见，线性规划的数学模型（model of LP ）有如下特征：1．都有一组未知变量（n x x x ,,,21Λ）代表某一方案，它们取不同的非负值，代表不同的具体方案；2．都有一个目标要求，实现极大或极小．目标函数要用未知变量的线性函数表示；3．未知变量受到一组约束条件的限制，这些约束条件用一组线性等式或不等式表示．正是由于目标函数和约束条件都是未知变量的线性函数，所以我们把这类问题称为线性规划问题．线性规划问题的一般形式：目标函数 n n x c x c x c Z +++=Λ2211 (Min)Max11212111),(b x a x a x a n n ≥=≤+++Λ22222121),(b x a x a x a n n ≥=≤+++Λ约束条件 …………………………m n mn m m b x a x a x a ),(2211≥=≤+++Λ0,,,21≥n x x x Λ这里，n n x c x c x c +++Λ2211称为目标函数，记为Z ，其中，j c （n j ,,2,1Λ=）称为成本或利润系数；ij a （m i ,,2,1Λ=；n j ,,2,1Λ=）称为约束条件中未知变量的系数；i b （m i ,,2,1Λ=）称为限定系数．约束条件三、线性规划问题的标准形式建立线性规划的标准形式有助于我们研究它的求解方法，至于其他各种形式的线性规划问题，我们可以先将非标准形式变成标准形式，然后再用标准形式的求解方法求解．（一）线性规划问题的标准形式线性规划的标准形式（standard form of LP ）为：目标函数 n n x c x c x c Z +++=Λ2211Max 11212111b x a x a x a n n =+++Λ22222121b x a x a x a n n =+++Λ…………………………m n mn m m b x a x a x a =+++Λ22110,,21≥n x x x Λ0≥i b (m i ,,2,1Λ=)式中，jc （n j ,,2,1Λ=）称为成本或利润系数；ij a （m i ,,2,1Λ=；n j ,,2,1Λ=）称为未知变量的系数；i b （m i ,,2,1Λ=）称为限定系数．标准形式的主要特点是：①目标函数最大化；②所有的约束条件由等式表示；③所有的变量和每一约束条件右端的常数项均为非负值．（二）书写形式为书写简便，我们可以将上述线性规划问题的标准形式写成如下两种形式，其中..t s 代表约束条件．1．简缩形式∑==nj j j x c Z 1Max∑==nj i j ij b x a 1 m i ,,2,1Λ=..t s 0≥j x n j ,,2,1Λ=约束条件0≥i b m i ,,2,1Λ=2．矩阵形式CX Z =Max b AX = ..t s 0≥X0≥b其中， ),,,(21n c c c C Λ=mn m m n n a a a a a a a a a A ΛΛΛΛΛΛΛ212222111211= n x x x X Λ21= m b b b b Λ21 = 000 0Λ= 这里C 为成本或利润向量，X 为决策向量，A 为系数矩阵（或称约束矩阵），b 为限定向量（或称右端向量），条件0≥X 称为非负约束． （三）标准形式的转化当给出的线性规划为非标准形式时，可以按照下述的方法化为标准形式．1．目标函数的转换 若给出的线性规划要求目标函数极小化，即 ∑==nj j j x c Z 1Min ，因)(Max Min Z Z --=，所以只须令Z Z '=-，即有j nj j x c Z Z ∑=-=-='1)(Max )(Max Max这就是标准形式的目标函数了．2．约束条件的转换 由于标准形式要求所有的约束条件是等式，必须把不等式的约束条件化为等式．须引入新的变量，代表每个不等式左右端之间的差额．这些新的变量称为松弛变量或剩余变量．这里有2种情况：一种是约束条件为“≤”形式的不等式，则可在“≤”的左端加入非负的松弛变量，把原“≤”形式的不等式变为等式；另一种是约束条件为“≥”形式的不等式，则可在“≥”号的左端减去一个非负的剩余变量（也可称松弛变量），把不等式改为等式．例如前面例2-1中线性规划问题的标准形式可写为：目标函数 21300200Max x x Z += 12 22321＝x x x ++8 2421＝x x x ++..t s 16 451＝x x + 12 4 62＝x x +0,,,621≥x x x Λ式中6543x x x x 、、、为松弛变量．例2-2中线性规划的标准形式可写成：321302520Max x x x Z ---='15 86 5 4321=-++x x x x20 64 3 5321=-++x x x x..t s 25 45 8 6321=-++x x x x30 812107321=-++x x x x0,,,721≥x x x Λ式中Z Z '-=，74~x x 为剩余变量（也可称松弛变量）．要注意的是松弛变量或剩余变量都是非负值，它们的实际意义是未被利用的资源或额外的提供量．由于松弛变量或剩余变量都不会影响目标函数的增加或减少，所以在目标函数中它们的系数都应当为零．3．变量的非负转换 若存在无非负要求的变量，即变量k x 取正值或负值都可以，在物理、经济意义上都是合理的，这时为了满足标准形式对变量的非负要求，可令k x ＝k x '－k x ''，其中，0≥'k x ，0≥''k x ．由于k x '可能大于k x ''，k x '也可能小于k x ''，故k x 可为正值也可为负值．以上讨论说明，任何形式的线性规划问题都可化成标准形式．第二节 线性规划问题的图解法讨论两变量的线性规划问题的图解法（graphical solution of LP problems ），是为了更直观地了解线性规划问题及其解的基本概念，从而了解求解线性规划问题的一般方法——单纯形法的基本原理．一、线性规划问题解的基本概念设线性规划问题的标准形式为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≥=≥===∑∑==mi b n j x m i b x a t s x c Z ij nj i j j i nj jj ,,2,10,,2,10,,2,1..11ΛΛΛMax 1．可行解 满足约束条件的解T n x x x X ),,,(21Λ=，称为线性规划问题的可行解．所有可行解的集合称为可行域．2．最优解 满足目标函数式的可行解，称为线性规划问题的最优解．3．最优值 对应于最优解的目标函数之值，称为最优值．二、两个变量的线性规划问题的图解法例2-5 以上一节例2-1为例:⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≤≤≤+≤++=0,124164821222..3002002121212121x x x x x x x x t s x x Z Max由于此问题是两变量的线性规划问题，因而可用图解法求解．求解过程是先求出满足约束条件的可行解区域；然后从可行解区域中找出最优解．具体步骤如下：第1步 建立平面直角坐标系，取1x 为横轴，2x 为纵轴．第2步 求满足约束条件的可行解区域．本例中作直线①：122221=+x x ,第一个约束不等式的解由直线122221=+x x 及其左下方半平面表示；作直线②：8221=+x x ，第二个约束不等式的解由直线8221=+x x 及其左下方半平面表示；作直线③：1641=x ，第三个约束不等式的解由直线1641=x 及其左方半平面表示；作直线④：1242=x ，第四个约束不等式的解由直线1242=x 及其下方半平面表示；1x 和2x 变量非负条件的区域为第1象限．满足所有约束条件的可行解区域（也称可行域）是由上述5个区域的公共部分表示，即图2-1中OABCD 的区域（包括边界）．在这个区域里的每一点(包括边界上的点)都是可行解．从图上我们可以看到这个可行域是一个凸多边形，我们把它称为凸集（如果在形体中任意取两点连接一根直线，若线段上所有的点都在这个形体中，则称该形体为凸集）．第3步 作目标函数的等值线簇，确定目标函数值增加方向．本例中，由目标函数21300200 x x Z +=可知，当Z 值取不同的数值时，在图上可得到一簇以Z 为参数的平行线．位于同一直线上的点，具有相同的目标函数值，因而称每条直线为“等值线”．对于直线21300200 x x Z +=来说，当Z 值由小变大时，直线3003212Z x x +-=向右上方平行移动．作直线600300200 21=+x x （Z ＝600），在这条直线上的所有点其Z 值均为600．第4步 从可行解区域内找满足目标函数的最优解．从图2-1中可以看到，当等值线600300200 21=+x x 向右上方平移到距原点最远且仍与可行域有一交点时，那个交点便是使Z 值取值最大的可行解，即最优解．在本例中C 点是最优解，此时1x ＝4，2x ＝2，Z ＝1400． 简单表示为：X *＝()T24，Z *=1400．例2-6 用图解法解线性规划： 212Max x x Z +=10221≤+x x 1 21≥+x x..t s 0 1≥x 0 2≥x 4 2≤x解 按照例2-5的步骤作出图2-2，求出凸五边形ABCDE 所围成的可行区域，并作目标函数的等值线)2(2221==+Z x x ，随着Z 值的逐渐增大，等值线不断向右上方平行移动，最后与可行域的边AB 重叠．所以线段AB 上的每一点所对应的（21 ,x x ）都为最优解，即该线性规划问题有无穷多个最优解，不过最优值是唯一的，10*=Z ．例2-7 解下列线性规划：⎩⎨⎧≥≤-+=0,80810..123212121x x x x t s x x Z Max 解 从图2-3可看出，规划的可行域是无界的，并且无最优解（最优解无限大）．这个例子中出现的情况在实际问题中并不存在，因为资源是有限的，所以不可能取得无限大的收益．出现这种情况往往是由于建立数学模型时考虑不周，忽略了某些约束条件而造成．三、线性规划问题解的特点由上面的图解法可以直观地看出线性规划问题的解具有如下几个特点：1．可行域总是凸多边形；2．如果一个线性规划问题确实存在唯一的最优解，那么它必定可在其可行域的一个顶点上达到；3．如果一个线性规划问题存在多重最优解，那么至少在其可行域有两个相邻的顶点所对应的目标函数值相等，且达到最大值（或最小值）；4．如果可行域中一个顶点的目标函数值比其相邻顶点的目标函数值要好的话，那么它就比其他所有顶点的目标函数值都要好，或者说它就是一个最优解．有时在求解线性规划时，会发现线性规划的约束条件矛盾，无法找到可行域，这时线性规划无解；有时也会遇到可行域无界且无最优解，这时称为无界解．第三节单纯形法在实际问题中，我们常常遇到的线性规划问题不是仅涉及两个变量，而是两个以上的多变量线性规划问题．对两个以上的多变量线性规划问题无法用图解法求解，必须使用简便有效的求解方法——单纯形法（simplex method）．一、单纯形法的基本原理（一）典型方程组一般线性规划问题标准形式的约束条件如下式（2-1），是一个有n个未知数、m个方程的线性方程组．如果这m个方程是独立的（即其中任一方程均不能由其它方程代替），则通过初等变换，必能使式（2-1）化成式（2-2）形式的同解方程组：∑==njijijbxa1mi,,2,1Λ=（2-1）1x ' +11221111b x a x a x a n n m m m m '=''+⋅⋅⋅+''+''++++ 2x ' +22222112b x a x a x a n n m m m m '=''+⋅⋅⋅+''+''++++ （2-2）…………………………………………………………mx '+m n mn m mm m mm b x a x a x a '=''+⋅⋅⋅+''+''++++2211 式中n x x x '⋅⋅⋅'',,,21是重新排序后的变量．式（2-2）被称为典型方程组．即如果在一个线性方程组中的每一个方程中都有系数为1，并且不再出现在其它方程的一个未知量，则此方程组称为典型方程组．（二）基本变量如果变量j x 在某一方程中系数为1，而在其它一切方程中的系数为零，则称j x 为该方程中的基本变量．否则为非基本变量．如式（2-2）中的m x x x '⋅⋅⋅'',,,21为基本变量，n m mx x x '⋅⋅⋅''++,,,21为非基本变量．基本变量的个数为线性无关的方程的个数．事实上，n 个变量中任意m 个都可能作为基本变量，因此由排列组合知识可知，基本变量的组数为mn c 个，n 为未知变量的个数，m 为线性无关的方程的个数．（三）基本解在典型方程中，设非基本变量为零，求解基本变量得到的解，称为基本解．基本解的个数为m n c 个．（四）基本可行解基本变量为非负的一组基本解称为基本可行解，基本可行解的个数最多不超过m n c 个．例如，对方程组32 4321=+-+x x x x ① 13 2421=+x x x － ②施行初等变换[①×（－2）＋②],可以得到：32 4321=+-+x x x x ① 572 432-=-+-x x x ③ [③×(－1)] : 32 4321=+-+x x x x ① 572432=+-x x x ④ [④×（－1）＋①]: 25431-=-+x x x ⑤ 572432=+-x x x ④式⑤和④为典型方程组，基本变量是1x 和2x ，非基本变量为3x 和4x ．设非基本变量3x 和4x 为零，则1x 和2x 分别等于-2和5，即对应于典型方程组⑤和④，基本解为：X =()T0052-．因基本变量中1x 为负值，所以此解不是基本可行解．根据方程组①和②有4个未知变量，因此通过初等变换可得到24c 组（即6组）典型方程组和基本解．若令2x 和4x 为基本变量，通过初等变换，方程组①和②可变换为： [①×（－1）＋②]: 32 4321=+-+x x x x ① 25 431－=-+x x x ③ [③×（－1/5）]: 324321=+-+x x x x ① 4.0202.0431=+--x x . x ④ [④×（－2）＋①] : 2.2604.1321=-+ x . x x ⑤ 4.0202.0431=--x x . x ＋ ④此时，典型方程组的基本变量为2x 和4x ，非基本变量为1x 和3x ．基本解为：T X ）（0.4 0 2.2 0 =，因为基本变量为非负值，所以此基本解也为基本可行解．（五）单纯形法的原理理论上已经证明，线性规划的基本可行解与可行域的顶点是一对一的．这就决定了线性规划可行域的顶点个数最多也不超过m n c 个．上面讨论线性规划问题解的特点时已指出，如果线性规划有最优解，一定可以在可行域的某个顶点处达到．因此，单纯形法的基本思路是：根据问题的标准形式，从可行域中的一个基本可行解（一个顶点）开始，转换到另一个基本可行解（顶点），并且使目标函数的值逐步增大；当目标函数达到最大值时，问题就得到了最优解．在用单纯形法求解线性规划问题时，应考虑的问题：1．建立初始基本可行解 在用单纯形法求解时，首先应将线性规划问题以标准形式表达、约束条件以右端常数非负的典型方程组表示，确定初始基本可行解．在前面的阐述中，已讨论了如何将一般线性规划问题转化为标准形式的线性规划问题，如何将约束条件通过初等变换以典型方程组形式表示，以及如何得出基本可行解（最初得到的基本可行解也称初始基本可行解），此处不再赘述．经过变换，典型方程组和初始基本可行解可用式（2-3）表示：1x +11221111b x a x a x a n n m m m m '='+⋅⋅⋅+'+'++++ 2x +22222112b x a x a x a n n m m m m '='+⋅⋅⋅+'+'++++ （2-3）………………………………………………………m x +m n mn m mm m mmb x a x a x a '='+⋅⋅⋅+'+'++++2211 初始基本可行解：T mb b X )00(10ΛΛ''=． 2．最优性检验 得到一个基本可行解后，我们要判断它是不是最优解．一般情况下，经过迭代后式（2-3）变为∑+='-'=nm j jiji i xa b x 1（m i ,,2,1Λ=） （2-4）将式（2-4）代入目标函数式，整理后得∑∑∑+==='-+'=n m j mi j iji jmi i i x a c c b c Z 111)( （2-5）令∑='=mi i i b c Z 10 , ∑='=mi iji j a c Z 1, n m m j ,,2 ,1Λ++= 于是∑+=-+=nm j j j jx Z cZ Z 10)( （2-6）由于当m j ,,2 ,1Λ=时，j mi ij i j c a c Z ='=∑=1，即0=-j j Z c （m j ,,2 ,1Λ=），所以式（2-6）也可写作∑∑∑=+=+=-+-+=-+=mj j j j nm j nm j j j jj j jx Z c x Z cZ x Z cZ Z 11100)()()(∑=-+=nj j j j x Z c Z Z 10)( n j ,,2 ,1Λ=再令j j j Z c C -= n j ,,2 ,1Λ=j C 为变量j x 的检验数．则∑=+=nj j j x C Z Z 10 （2-7）（1）最优解判别 若)0(X ＝T m b b b )00(21⋅⋅⋅'⋅⋅⋅''为基本可行解，且对一切n j ,,2 ,1Λ=,有0≤j C ，则)0(X 为最优解．（2）无有限最优解判别 若)0(X ＝T m b b b )00(21⋅⋅⋅'⋅⋅⋅''为一基本可行解，有一个k C >0，且对一切m i ,,2,1Λ=有0≤ik β（ik β为约束条件方程中的系数，n k ,,2,1Λ=），那么该线性规划问题无有限最优解（或称有无界解或无最优解）． 事实上，应用向量的乘法，可以将检验数的求法表示得简明一些．令j c 表示目标函数中变量j x 的系数，B C 表示基本变量在目标函数中的系数行向量，j P 表示变量j x 在典型方程中的系数列向量，则⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅-=⋅-=-=mj j j B j j B j j j j a a a C c P C c Z c C Λ21 n j ,,2 ,1Λ= （2-8）基本变量的检验数总等于0．目标函数值b C Z B ⋅=.3．基本可行解的改进 若初始基本可行解)0(X 不是最优解及不能判别无最优解时，需找一个新的基本可行解．具体方法是：首先确定进基变量，再确定出基变量．进基变量的确定：由式（2-7）可知，检验数j C 对线性规划问题的实际意义是：j C 表示当变量j x 增加1个单位时，目标函数的增加量；其经济意义表示相对利润．当0>j C 时，说明非基本变量j x 增加1个单位，目标函数可以增加，即现在的函数值不是最优，还能增加．这时要将某个非基本变量换到基本变量中去（称为进基变量）．为了使目标函数值增长最快，所以应选择j C 值最大的一项所对应的非基本变量进基,k C =>)0j C (max . 则对应的k x 为进基变量．进基变量所在的列（k ）称为枢列．出基变量的确定：当进基变量确定后（假设i x 是进基变量），出基变量的选定是应用“最小比值规则”．即用此时的各约束方程右端的常数项i b （非负数）与相应方程中k x 的正系数ik β相比，并选取最小商值的基本变量l x 为出基变量（将由基本变量变为非基本变量）．{}lkl ik ik i i bb βββθ=⎭⎬⎫⎩⎨⎧>=0min min出基变量所在的行（l ）称为枢行．枢行与枢列交点处的元素（lk β）称为枢元．然后通过初等变换，将约束条件转为关于新的基本变量的典型方程组，并求得新的基本可行解．对于新的基本可行解可再进行上述的最优性检验．二、单纯形解法上面介绍的单纯形法原理看似复杂，但如用表格形式计算，则比较容易操作．单纯形法的计算步骤：第1步：找出初始基本可行解，建立初始单纯形表．第2步：检验对应于非基本变量的检验数j C ，若对所有的0≤j C（n j ,,2 ,1Λ=），则已得到最优解，计算最优值∑==mi i i b c Z 1，即可结束．否则，转入下一步．第3步：在所有0>j C 中，若有一个k C 对应k x 的系数列向量，即对m i ,,2,1Λ=均有0≤ik β，则此问题无有限最优解（或称有无界解或无最优解），停止计算．否则转入下一步．第4步：根据()0max >j C ＝k C ，确定k x 为进基变量，再依据“最小比值规则”（{}lk l ik ik i i b b βββθ=⎭⎬⎫⎩⎨⎧>=0min min ）确定l x 为出基变量． 第5步：实施以枢元素为中心的初等变换，使约束方程组变为关于新的基本变量的典型方程组，得到新的单纯形表，重复第二步…，一直到没有新的非基本变量可以改善目标函数为止．若线性规划模型为：CX Z =Min ..t s b AX = 0≥X上述单纯形法的计算步骤仍有效，只是其中的第二步改为：若对所有的0≥j C （n j ,,2,1Λ=），则已得到最优解；第三步改为在所有0<j C 中，若有一个k C 对应k x 的系数列向量，即对m i ,,2,1Λ=均有0≤ik β，则此问题无有限最优解（或称有无界解或无最优解）；第四步改为)0min(<j C ＝k C ，确定k x 为进基变量．例2-8 现以例2-1来说明单纯形法的表上解法．⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≤≤≤+≤++=0,124164821222..3002002121212121x x x x x x x x t s x x Z Max解 首先将线性规划问题标准化，即在约束条件中引入松弛变量3x 、4x 、5x 、6x ，则标准化后的线性规划模型为：21300200Max x x Z +=12 22321＝x x x ++ 8 2421＝x x x ++..t s 16 451＝x x + 12 462＝x x + 0,,,621≥x x x Λ此时约束方程组已为典型方程组，根据上述线性规划模型可以列出初始单纯形表（表2-4）：表2-4 单纯形法求解例2-1（1）表2-4中：10040010004001021000122 为典型方程组中变量的系数，j x 为规划中出现的变量，j c 为变量j x 在目标函数中的系数，B X 为基本变量，B C 为基本变量在目标函数中的系数，b 为典型方程组右端常数项（非负值），θ为确定出基变量的商值，ikii b βθ=（0>ik β），j C 为变量j x 的检验数，j P C c C B j j ⋅-=，Z为此时目标函数值，b C Z B ⋅=． 根据初始单纯形表可以看出：初始基本可行解是01=x ，02=x ，123=x ，84=x ，165=x ，126=x此时目标函数值()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅=12168120000Z ＝0检验数111P C c C B ⋅-=＝200－()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅04120000＝200222P C c C B ⋅-=＝300－()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅40220000＝3003C =4C =5C ＝6C ＝0（基本变量的检验数总等于零）由于01>C ，02>C ，所以初始基本可行解非最优解．又由于12C C >，所以确定2x 为进基变量．进一步求最小θ值：{}{}33,4,6min 412,28,212min 0min min ==⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⎭⎬⎫⎩⎨⎧>=ik ik i i b ββθ即从第4个方程中算出的商值最小，而第4个方程中的基本变量是6x ，于是6x 为出基变量．表中给第4个约束方程中2x 的系数4加上方括号以突出其为枢元．接下去的工作是将2x 取代6x ，表2-4中的约束方程化为以3x 、4x 、5x 和2x 为基本变量，1x 和6x 为非基本变量的典型方程，以便求出新的基本可行解．从表2-4中可以看到，只需对方程组实行初等变换，使枢元位置变成1，而枢列中的其它元素变为零（即以枢元为中心的初等变换）就可以了．此处可先将第4个方程除以4，使枢元位置变成1；然后用新得到的第4个方程乘以（-2）后分别加到第1个和第2个方程上，使枢列中的第1个和第二个方程所在位变为零．这样我们可以得到新的单纯形表（表2-5）．表2-5给出的新的基本可行解是1x ＝0，2x ＝3，3x ＝6，4x ＝2，5x ＝16，6x ＝0此时目标函数值()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅=31626300000Z ＝900检验数111P C c C B ⋅-=＝200-()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅0412300000＝200666P C c C B ⋅-=＝0-()⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⋅4102121300000＝75-2C ＝3C =4C =5C ＝0（基本变量的检验数总等于零）表2-5 单纯形法求解例2-1（2）由于01>C ，所以此时基本可行解非最优解，确定1x 为进基变量． 进一步计算最小θ值：{}{}24,2,3min 416,12,26min 0min min ==⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⎭⎬⎫⎩⎨⎧>=ik ik i i b ββθ即从第2个方程中算出的商值最小，而第2个方程中的基本变量是4x ，于是4x 为出基变量．接着进行第二次迭代，将1x 取代4x ，表2-5中的约束方程化为以3x 、1x 、5x 和2x 为基本变量，4x 和6x 为非基本变量的典型方程，以便求出新的单纯形表．重复单纯形法计算第2 步～第5步，一直到没有新的非基本变量可以改善目标函数为止（见表2-6和表2-7）．表2-6 单纯形法求解例2-1（3）表2-7 单纯形法求解例2-1（4）表2-7中：目标函数值()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=244030002000Z =1400检验数444P C c C B ⋅-==0-()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⋅2120130002000=-150555P C c C B ⋅-==0-()⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⋅8121414130002000=225- 1C =2C =3C =6C =0（基本变量的检验数总等于零）由于0≤j C ，6,,2,1Λ=j ，所以此基本可行解41=x ，22=x ，03=x ，04=x ，05=x ，46=x ，即为最优解，最优值为Z *＝1400．与前面图解法求解结果一致．为了加深对单纯形法基本思想的理解，不妨将表2-4、表2-5、表2-6、表2-7和图2-1进行对照，可以发现表2-4给出的基本可行解对应于图中可行域顶点0，表2-5给出的基本可行解对应于顶点A ，表2-6给出的基本可行解对应于顶点B ，表2-7给出的最优解对应于顶点C ．线性规划问题有无穷多个可行解，应用单纯形法可以高效率地求解此类问题．例2-9 用单纯形法求解下列规划问题43213Min x x x x Z +++=4 22321=++-x x x..t s 6 3421=++x x x0,,,4321≥x x x x解 令Z Z -='，于是原线性规划问题变为标准形式：43213Max x x x x Z ----='4 22321=++-x x x..t s 6 3421=++x x x 0,,,4321≥x x x x由于约束方程组已是典型方程组，所以可直接用单纯形表求解，见表2-8．表2-8 单纯形法求解例2-9表2-8计算得最优解是1x ＝0，2x ＝2，3x ＝0，4x ＝4，最优值为Z *＝-Z '*=6． 实际上，此线性规划问题也可根据单纯形法求解的基本思想，按照前面单纯形法计算步骤中提到的改变检验数判断方法，直接用单纯形表求解极小化问题，见表2-9．若对所有的0≥j C （n j ,,2,1Λ=），则已得到最优解；所有0<j C 中，若有一个k C 对应k x 的系数列向量，即对m i ,,2,1Λ=均有0≤ik β，则此问题无有。
第二章 线性规划
第二章线性规划一.线性规划所研究的问题可以归结为两方面：1）在现有的资源条件下，如何充分利用资源，使目标完成的最好。
（求极大问题）.2)在给定的目标和任务下，以最少的资源消耗或代价，去实现目标。
（求极小化问题）。
二.线性规划的标准型：1.标准型： max z=c1x1+c2x2+…+c n x ns.t. a11x1+a12x2+…a1n x1n=b1a21x1+a22x2+…+a2n x2=b2…a m1x1+a m2x2+…a mn x n=b mx1,x2,…,x n≥02.线性规划变换方法：1）min转换为max 目标函数乘以(-1);2）对于≤引进松弛变量，将其变成取等号。
对于≥引进剩余变量，将其变成取等号。
3）将变量中的非正限制或无限制转化为非负限制。
3.二维线性规划的图解法：1）正法向量：由目标函数系数组成的与等值线垂直的向量，称正法向量。
2）等值线：使目标函数取相等值的所有点的集合，称等值线。
4.二维线性规划解的形式：1）唯一最优解 2)无穷多个最优解 3)有可行解但无最优解 4）无可行解5.线性规划解的概念：1）解：满足约束方程条件的点。
2）可行解：满足所有约束条件的点。
（非负性约束）3）最优解：使目标函数得到极值的可行解。
4）基：由最大的线性无关的列向量所构成的子矩阵。
（基向量/非基向量）5）基变量：与基向量对应的变量称为基变量。
同理（非基变量）6）基本解：X=（B-1b）（ 0 ）7）基本可行解：对于基本解，同时又满足非负性要求称基本可行解。
（可行解与基本解之间相交的部分）有图。
8）可行基：基本可行解对应的基。
9）基本最优解：满足目标函数要求的基本解。
10）退化基本可行解：基本可行解中存在取值为零的基变量。
6.线性规划的基本定理：1）如果一个线性规划问题存在可行解，则一定有基本可行解。
2）若线性规划问题存在最优解，则一定存在最优基本可行解。
三 线性规划的求解1.单纯形方法（消去发）：1）标准化处理。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
5.在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为,
4x t y t
=⎧⎨=+⎩（t 为参数）．以原点O 为极点，
以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为42sin()4
ρθπ=+，则直
线l 和曲线C 的公共点有
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．无数个 7.直线y x =与函数2
2,,()42,
x m f x x x x m
>⎧
=⎨++≤⎩的图象恰有三个公共点，则实数m 的取
值范围是
A ．[1,2)-
B ．[1,2]-
C ．[2,)+∞
D ．(,1]-∞-
（3）若实数x ，y 满足不等式组1,2,0,y x y x y +≤⎧⎪
-≤⎨⎪≥⎩
则y x z 2-=的最小值为
（A ）2
7-
（B ） 2- （C ）1 （D ）
2
5
2．参数方程2cos (sin x y θθθ=⎧⎨=⎩，
，
为参数)和极坐标方程6cos ρθ=-所表示的图形分别是
（ ） (A) 圆和直线 (B) 直线和直线 (C) 椭圆和直线 (D) 椭圆和圆 5．若x ，y 满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≤≤≥+-≥+30030x y x y x ，则y x z -=2的最大值为（ ）
（A ）9 （B ）8 （C ）7 （D ）6
7．圆2220x y ax +-+=与直线l 相切于点(3,1)A ，则直线l 的方程为( ) (A) 250x y --= (B) 210x y --= (C)20x y --= (D) 40x y +-=
6.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≥-+<--=0
,120
,12)(22x x x x x x x f ，则对任意R ∈21,x x ，若120x x <<，下列不等
式成立的是( ) （A ）12()()0f x f x +< （B ）12()()0f x f x +> （C ）12()()0f x f x -> （D ）12()()0f x f x -<
（3）直线11x t y t
=+⎧⎨
=-⎩（t 为参数）的倾斜角的大小为
（A ）4
-
π （B ）4
π （C ）2
π
（D ）
34
π
（4）若整数,x y 满足1,1,3,2x y x y y ìïï
ï- ïï
ï+ íïïïï£ïïî
则2x y +的最大值是（A ）1（B ）5（C ）2（D ）3
（3）在极坐标系中，过点3(2,
)2
π且平行于极轴的直线的极坐标方程是
（A ）sin 2ρθ=- （B ）cos 2ρθ=- （C ）sin 2ρθ= （D ）cos 2ρθ=
（7）已知函数2,1,
()1,
1,x ax x f x ax x ⎧-+≤=⎨->⎩ 若1212,,x x x x ∃∈≠R ，使得12()()f x f x =成立，则
实数a 的取值范围是
（A ）2a < （B ）2a > （C ）22a -<< （D ）2a >或2a <-
5.已知直线l ：10x y --= 和圆C ：cos 1sin x y θ
θ
=⎧⎨=+⎩（θ为参数，R θ∈），则直线l 与圆C
的位置关系为
A. 直线与圆相交
B. 直线与圆相切
C. 直线与圆相离
D.直线与圆相交但不过圆心 A. 直线与圆相切 B. 直线与圆相离 3．椭圆 3cos 5sin x y ϕ
ϕ
=⎧⎨=⎩(ϕ是参数)的离心率是（ ）
（A ）
35
（B ）
45
（C ）
925
（D ）
1625
3．若实数x ，y 满足条件0,30,03,x y x y x +≥⎧⎪
-+≥⎨⎪≤≤⎩
则2x y -的最大值为（ ）
（A ）9 （B ）3 （C ）0 （D ）3-
4. 已知直线l ：为参数）t t y t
x (1
⎩⎨⎧+==，圆C ：2cos ρθ=，则圆心C 到直线l 的距离是
A. 2
B.
3
C. 2
D. 1。