专题21 概率分布与数学期望-2020年江苏省高考数学命题规律大揭秘(解析版)

专题21 概率分布与数学期望

【真题感悟】

1、【2019年江苏,23】在平面直角坐标系xOy 中，设点集{(0,0),(1,0),(2,0),,(,0)}n A n =?，

{(0,1),(,1)},{(0,2),(1,2),(2,2),

,(,2)},.n n B n C n n N *==∈令n n

n n M A B C =.从集合M n 中任取两

个不同的点，用随机变量X 表示它们之间的距离. （1）当n =1时，求X 的概率分布；

（2）对给定的正整数n （n ≥3），求概率P （X ≤n ）（用n 表示）. 【答案】（1）见解析；（2）见解析. 【解析】

（1）当1n =时，X 的所有可能取值是1225，，，．

X 的概率分布为22667744

(1),(2)C 15C 15

P X P X ==

====， 22662222

(2),(5)C 15C 15

P X P X ==

====．（2）设()A a b ，

和()B c d ，是从n M 中取出的两个点．因为()1()P X n P X n ≤=->，所以仅需考虑X n >的情况． ①若b d =，则AB n ≤，不存在X n >的取法；

②若01b d ==，，则22()11AB a c n =-+≤+，

所以X n >当且仅当21AB n =+，此时0 a c n ==，或 0a n c ==，

，有2种取法； ③若02b d ==，

，则22()44AB a c n =-+≤+，因为当3n ≥时，2(1)4n n -+≤，所以X n >当且仅当24AB n =+，此时0 a c n ==，或 0a n c ==，，有2种取法； ④若12b d ==，，则22()11AB a c n =-+≤+，

所以X n >当且仅当21AB n =+，此时0 a c n ==，或 0a n c ==，

，有2种取法．综上，当X n >时，X 的所有可能取值是21n +和24n +，且

2222

(1),(4)C C n n P X n P X n ++=+=

=+=

．

因此，22224

6()1(1)(4)1C n P X n P X n P X n +≤=-=

+-=+=-

．

2、【2010江苏，22】某工厂生产甲、乙两种产品，甲产品的一等品率为80%，二等品率为20%；乙产品的一等品率为90%，二等品率为10%．生产1件甲产品，若是一等品则获得利润4万元，若是二等品则亏损1万元；生产1件乙产品，若是一等品则获得利润6万元，若是二等品则亏损2万元．设生产各种产品相互独立．

（1）记X （单位：万元）为生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润，求X 的分布列；（2）求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率．

【答案】（1

）

（2）0.8192

【解析】解：（1）由题设知，X 的可能取值为10，5，2，-3，且 P （X=10）=0.8×0.9=0.72，P （X=5）=0.2×0.9=0.18， P （X=2）=0.8×0.1=0.08，P （X=-3）=0.2×0.1=0.02． ∴X 的分布列为：

（2）设生产的4件甲产品中一等品有n 件，则二等品有4-n 件．由题设知4n-（4-n ）≥10，解得n≥

又n ∈N ，得n=3，或n=4．

所求概率为P=C 43×0.83×0.2+0.84

=0.8192

答：生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率为0.8192．

3. 【2012江苏，22】设ξ为随机变量．从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ＝0；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，ξ＝1. (1)求概率P (ξ＝0)；

(2)求ξ的分布列，并求其数学期望E (ξ)．【答案】(1)

．(2) ξ

P (ξ)

411 611 111

()11

E ξ+=

【解析】解：(1)若两条棱相交，则交点必为正方体8个顶点中的1个，过任意1个顶点恰有3条棱，所以共有2

38C

对相交棱，因此

232128C 834

(0)C 6611

P ξ?====.

(2)若两条棱平行，则它们的距离为1或2，其中距离为2的共有6对，故21261

(2)C 11

P ξ==

=，于是P(ξ＝1)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝2)＝416

1111111

--=，所以随机变量ξ的分布列是

ξ 0

P(ξ)

411 611

111

因此

6162()12111111E ξ+=?

+?=

4. 【2014江苏，22】盒中共有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同. （1）从盒中一次随机抽出2个球，求取出的2个球的颜色相同的概率；

（2）从盒中一次随机抽出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别为123,,x x x ，随机变量X 表示123,,x x x 的最大数，求X 的概率分布和数学期望()E X . 【答案】（1）

518；（2）20

()9

E X =. 【解析】（1）由题意222

432295

C C C P C ++==

；（2）随机变量X 的取值可能为2,3,4，

4491

(4)126C P X C ===

， 313145364

913

(3)63

C C C C P X C +===， 11

(2)1(3)(4)14

P X P X P X ==-=-==

，

所以X 的分布列为

13120

()21434631269

E X =?+?

+?=

. 【考纲要求】

1. 离散型随机变量及其分布列（考查要求为了解）

2. 超几何分布（考查要求为了解）

3. 条件概率及相互独立事件（考查要求为了解）

4. n 次独立重复试验的模型及二项分布（考查要求为理解）

5. 离散型随机变量的均值与方差（考查要求为理解）

【考向分析】

1. 江苏高考中，一般考古典概型、相互独立、二项概型基础上的随机变量的分布，期望与方差。

2. 随机变量的概率分布及期望，内容多，处理方式灵活，可以考查其中一块，可以内部综合，可以作为问题的背景与其他内容结合考，复习时要注重基础，以不变应万变.

【高考预测】

考查方向为求离散型随机变量的期望和方差的应用问题，考查要点首先确定概率分布是不是一些熟知的类型时，否则需全面地剖析各个随机变量所包含的各种事件，并准确判断各事件的相互关系，从而求出各随机变量相应的概率

【迎考策略】

求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：

第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；

第二步是“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式(常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等)，求出随机变量取每个值时的概率；

第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率

1114 1363 1126

是否正确；

第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布(,)X

B n p )，则此随机变量的期望可直接利用

这种典型分布的期望公式(()E X np =)求得.因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度.

【强化演练】

1．【2019年高考浙江卷】设0＜a ＜1，则随机变量X 的分布列是

a 1

则当a 在（0,1）内增大时，（） A ．()D X 增大

B ．()D X 减小

C ．()

D X 先增大后减小

D ．()D X 先减小后增大

【答案】D

【解析】方法1：由分布列得1()3

E X +=

，则2222111111211

()(0)()(1)()333333926

a a a D X a a +++=-?+-?+-?=-+，则当a 在(0,1)内增大时，()D X 先减小后增大．故选D ．

方法2：则2222

21(1)222213

()()()0[()]3399924

a a a a D X E X E X a +-+=-=++-==-+，

则当a 在(0,1)内增大时，()D X 先减小后增大．故选D ．

【名师点睛】易出现的错误有，一是数学期望、方差以及二者之间的关系掌握不熟，无从着手；二是计算能力差，不能正确得到二次函数表达式．

2．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10:10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束．甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立．在某局双方10:10平后，甲先发球，两人又打了X 个球该局比赛结束．（1）求P （X =2）；

（2）求事件“X =4且甲获胜”的概率．【答案】（1）0.5；（2）0.1．

【解析】（1）X =2就是10∶10平后，两人又打了2个球该局比赛结束，则这2个球均由甲得分，或者均由乙得分．因此P （X =2）=0.5×0.4+（1–0.5）×（1–0.4）=0.5．

（2）X =4且甲获胜，就是10∶10平后，两人又打了4个球该局比赛结束，且这4个球的得分情况为：前两球是甲、乙各得1分，后两球均为甲得分．因此所求概率为[0.5×（1–0.4）+（1–0.5）×

0.4]×0.5×0.4=0.1． 3．【2019年高考天津卷理数】设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为2

．假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立．

（1）用X 表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量X 的分布列和数学期望；（2）设M 为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件M 发生的概率．【答案】（1）分布列见解析，()2E X =；（2）

20243

．【解析】（1）因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7：30之前到校的概率均为23

，故2

~(3,)3

X B ，从而3321()C ()(),0,1,2,33

P X k k -===．

所以，随机变量X 的分布列为

0 1 2 3

127 29 49 827

随机变量X 的数学期望2

()323

E X =?=．

（2）设乙同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数为Y ，则2~(3,)3

Y B ，且{3,1}{2,0}M X Y X Y =====．由题意知事件{3,1}X Y ==与{2,0}X Y ==互斥，

且事件{3}X =与{1}Y =，事件{2}X =与{0}Y =均相互独立，从而由（1）知()({3,1}{2,0})P M P X Y X Y =====

(3,1)(2,0)P X Y P X Y ===+== (3)(1)(2)(0)P X P Y P X P Y ===+==

824120279927243

?+?=．

4．【2019年高考北京卷理数】改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为

主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A ，B 两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中A ，B 两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A 和仅使用B 的学生的支付金额分布情况如下：

支付金额（元）

支付方式

（0，1000]

（1000，2000]

大于2000

仅使用A 18人 9人 3人仅使用B

10人

14人

1人

（1）从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A ，B 两种支付方式都使用的概率；

（2）从样本仅使用A 和仅使用B 的学生中各随机抽取1人，以X 表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，求X 的分布列和数学期望；

（3）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用A 的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元．根据抽查结果，能否认为样本仅使用A 的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由．

【答案】（1）0.4；（2）分布列见解析，E （X ）=1；（3）见解析．

【解析】（1）由题意知，样本中仅使用A 的学生有18+9+3=30人，仅使用B 的学生有10+14+1=25人，A ，B 两种支付方式都不使用的学生有5人．

故样本中A ，B 两种支付方式都使用的学生有100?30?25?5=40人．

所以从全校学生中随机抽取1人，该学生上个月A ，B 两种支付方式都使用的概率估计为40

0.4100

=．（2）X 的所有可能值为0，1，2．

记事件C 为“从样本仅使用A 的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于1000元”，事件D 为“从样本仅使用B 的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于1000元”．由题设知，事件C ，D 相互独立，且93141

()0.4,()0.63025

P C P D ++=

===．所以(2)()()()0.24P X P CD P C P D ====，

(1)()P X P CD CD == ()()()()P C P D P C P D =+ 0.4(10.6)(10.4)0.6=?-+-?

0.52=，

(0)()()()0.24P X P CD P C P D ====．

所以X 的分布列为

X 0 1 2 P

0.24

0.52

0.24

故X 的数学期望()00.2410.5220.241E X =?+?+?=．

（3）记事件E 为“从样本仅使用A 的学生中随机抽查3人，他们本月的支付金额都大于2000元”．假设样本仅使用A 的学生中，本月支付金额大于2000元的人数没有变化，则由上个月的样本数据得330

()C 4060P E ==．答案示例1：可以认为有变化．理由如下：

P （E ）比较小，概率比较小的事件一般不容易发生．

一旦发生，就有理由认为本月的支付金额大于2000元的人数发生了变化，所以可以认为有变化．答案示例2：无法确定有没有变化．理由如下：事件E 是随机事件，P （E ）比较小，一般不容易发生，但还是有可能发生的，所以无法确定有没有变化．

5．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为

此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得1-分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得1-分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X ．（1）求X 的分布列；

（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，(0,1,

,8)i p i =表示“甲药的累计得分为i 时，最终认

为甲药比乙药更有效”的概率，则00p =，81p =，11i i i i p ap bp cp -+=++(1,2,

,7)i =，其中

(1)a P X ==-，(0)b P X ==，(1)c P X ==．假设0.5α=，0.8β=．

(i)证明：1{}i i p p +-(0,1,2,

,7)i =为等比数列；

(ii)求4p ，并根据4p 的值解释这种试验方案的合理性．【答案】（1）分布列见解析；（2）(i)证明见解析，(ii) 45 1

p =，解释见解析．【解析】X 的所有可能取值为1,0,1-．

(1)(1)P X αβ=-=-，

(0)(1)(1)P X αβαβ==+--， (1)(1)P X αβ==-，

所以X 的分布列为

X 1- 0 1

(1)αβ-

(1)(1)αβαβ+-- (1)αβ-

（2）（i ）由（1）得0.4,0.5,0.1a b c ===．

因此110.40.5 0.1i i i i p p p p -+=++，故110.1()0.4()i i i i p p p p +--=-，即114()i i i i p p p p +--=-．又因为1010p p p -=≠，所以1{}(0,1,2,

,7)i i p p i +-=为公比为4，首项为1p 的等比数列．

（ii ）由（i ）可得88776100p p p p p p p p =-+-+

+-+

877610()()()p p p p p p =-+-++-

81413

p -=．

由于8=1p ，故183

p =

-，所以44433221101( 411

()327)(5())p p p p p p p p p p -=-+-+-+=

-=． 4p 表示最终认为甲药更有效的概率，

由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为41

0.0039257

p =

≈，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种试验方案合理．

6．某同学理科成绩优异，今年参加了数学，物理，化学，生物4门学科竞赛．已知该同学数学获一等奖的

概率为，物理，化学，生物获一等奖的概率都是，且四门学科是否获一等奖相互独立．

（1）求该同学至多有一门学科获得一等奖的概率；

（2）用随机变量表示该同学获得一等奖的总数，求的概率分布和数学期望．

【答案】（1）（2）见解析

【解析】

（1）解：记“该同学获得个一等奖”为事件，，

则，

，

所以该同学至多有一门学科获得一等奖的概率为

．

（2）随机变量的可能取值为0，1，2，3，4，

，，

，

所以的概率分布为

故．

7．从集合的所有非空子集中，等可能地取出个．

（1）若，求所取子集的元素既有奇数又有偶数的概率；

（2）若，记所取子集的元素个数之差为，求的分布列及数学期望．

【答案】(1) .

(2) 分布列见解析，.

【解析】

（1）当时，记事件：“所取子集的元素既有奇数又有偶数”.

则集合的非空子集数为，其中非空子集的元素全为

奇数的子集数为，全为偶数的子集数为，

所以，

（2）当时，的所有可能取值为

则

所以的数学期望.

8．已知正六棱锥的底面边长为，高为．现从该棱锥的个顶点中随机选取个点构成三角形，设随机变量表示所得三角形的面积.

（1）求概率的值；

（2）求的分布列，并求其数学期望．

【答案】(1) .

(2)分布列见解析，.

【解析】

（1）从个顶点中随机选取个点构成三角形，

共有种取法，其中的三角形如，

这类三角形共有个

因此.

（2）由题意，的可能取值为

其中的三角形如，这类三角形共有个；

其中的三角形有两类，，如（个），（个），共有个；

其中的三角形如，这类三角形共有个；

因此

所以随机变量的概率分布列为：

所求数学期望

9．袋中共有8个乒乓球，其中有5个白球，3个红球，这些乒乓球除颜色外完全相同.从袋中随机取出一球，如果取出红球，则把它放回袋中；如果取出白球，则该白球不再放回，并且另补一个红球放入袋中，重复上述过程次后，袋中红球的个数记为.

(I)求随机变量的概率分布及数学期望；

(Ⅱ)求随机变量的数学期望关于的表达式.

【答案】(Ⅰ)答案见解析；(Ⅱ).

【解析】 (1)由题意可知

当时，即二次摸球均摸到红球，其概率是；

当时，即二次摸球恰好摸到一红，一白球，其概率；

当时，即二次摸球球均摸到白白球球其概率是.

所以随机变量的概率分布如下表：

(一个概率得一分不列表不扣分)

数学期望

(Ⅱ)设，

则

，

，，

，

所以，

由此可知，.

又，所以.

10．如图，设P1，P2，…，P6为单位圆上逆时针均匀分布的六个点．现任选其中三个不同点构成一个三角形，记该三角形的面积为随机变量S．

（1）求S＝的概率；

（2）求S的分布列及数学期望E(S)．

【答案】（1）（2）见解析

【解析】

（1）从六个点任选三个不同点构成一个三角形共有种不同选法，

其中S＝的为有一个角是30°的直角三角形(如△P1P4P5)，共6×2＝12种，

所以P(S＝)＝＝.

（2）S的所有可能取值为，，.

S＝的为顶角是120°的等腰三角形(如△P1P2P3)，共6种，

所以P(S＝)＝＝.

S＝的为等边三角形(如△P1P3P5)，共2种，

所以P(S＝)＝＝.

又由（1）知P(S＝)＝＝，故S的分布列为

所以E(S)＝×＋×＋×＝.

11．某篮球运动员每次在罚球线投篮投进的概率是0.8，且各次投篮的结果互不影响．

（1）假设这名运动员投篮3次，求恰有2次投进的概率（结果用分数表示）；

（2）假设这名运动员投篮3次，每次投进得1分，未投进得0分；在3次投篮中，若有2次连续投进，而另外一次未投进，则额外加1分；若3次全投进，则额外加3分，记为该篮球运动员投篮3次后的总分数，

求的分布列及数学期望（结果用分数表示）．

【答案】（1）0.384；（2）见解析

【解析】

（1）设为该运动员在3次投篮中投进的次数，则. 在3次投篮中，恰有2次投进的概率

;

（2）由题意可知，的所有可能取值为0,1,2,3,6.

;;

所以的分布列是

0 1 2 3 6

P 0.008 0.096 0.128 0.256 0.512

12．甲、乙、丙三位学生各自独立地解同一道题，已知甲做对该题的概率为，乙、丙做对该题的概率分别为，且三位学生能否做对相互独立，设为这三位学生中做对该题的人数，其分布列为：

（1）求

的值；

（2）求的数学期望．

【答案】(1) ,

(2)

【解析】

（1）由题意，得

又

，解得

，

（2）由题意，

所以

13．盒子中装有四张大小形状均相同的卡片，卡片上分别标有数i,i,2,2,--其中是虚数单位．称“从盒中随机抽取一张，记下卡片上的数后并放回”为一次试验（设每次试验的结果互不影响）．（1）求事件A “在一次试验中，得到的数为虚数”的概率()P A 与事件B “在四次试验中，至少有两次得到虚数” 的概率()P B ；

（2）在两次试验中，记两次得到的数分别为,a b ，求随机变量a b ξ=?的分布列与数学期望.E ξ 【答案】(1) 11

(2)见解析【解析】

（1）∵卡片上分别标有数﹣i ，i ，﹣2，2其中i 是虚数单位， ∴P （A ）=

24=12

， P （B ）=1﹣P （B ）=1﹣[0041

3441111()()()2

22C C ??+?

?]=1﹣516=1116

（2）a，b，ξ的可能取值如下表所示：

由表可知：P（ξ=1）=

，P（ξ=2）=

，P（ξ=4）=