三角形的三线练习题(1)
最新人教中考总复习知识点专题三线合一三角形证明的应用专题
专题训练(一)
类型二 证明两线垂直
3．如图1－ZT－3，在五边形ABCDE中，AB＝AE，BC＝ED， ∠ABC＝∠AED，F是CD的中点．求证：AF⊥CD.
图1－ZT－3
专题训练(一)
证明：如图，连接AC，AD. 在△ABC和△AED中， ∵AB＝AE，∠ABC＝∠AED，BC＝ED， ∴△ABC≌△AED(SAS)， ∴AC＝AD. 又∵AF是CD边上的中线， ∴AF⊥CD.
第一章 三角形的证明
专题训练(一) “三线合一”的灵活应用
第一章 三角形的证明
专题训练(一)
“三线合一”的灵活应用
专题训练(一)
等腰三角形“顶角的平分线、底边上的高线、底边上的中线”只 要知道其中“一线”，就可以说明是其他“两线”．运用等腰三 角形“三线合一”的性质证明角相等、线段相等或垂直关系，可 减少证全等的次数，简化解题过程．
类型一 证明线段相等或求线段的长
1．如图1－ZT－1，已知AD＝AE，BD＝CE，试探究AB和AC的 大小关系，并说明理由．
图1－ZT－1
专题训练(一)
解： AB＝AC. 理由：∵AD＝AE， ∴△ADE是等腰三角形．取线段DE的中点F，连接AF，则AF既是 △ADE的中线，又是△ADE底边上的高，即AF⊥DE，DF＝EF. 又∵BD＝CE， ∴BD＋DF＝CE＋EF，即BF＝CF， ∴AF是线段BC的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可得 AB＝AC.
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专题训练(一)
类型三 证明角度之间的关系
4．已知：如图 1－ZT－4，AB＝AC，BD⊥AC 于点 D.求证：∠DBC ＝12∠B过点 A 作 AF⊥BC 于点 F. ∵AB＝AC，AF⊥BC， ∴∠CAF＝∠BAF＝12∠BAC. ∵AF⊥BC，BD⊥AC， ∴∠CAF＋∠C＝∠DBC＋∠C＝90°， ∴∠DBC＝∠CAF， ∴∠DBC＝12∠BAC.
(完整word)等腰三角形三线合一练习
等腰三角形三线合一
1、如图1，已知在△ABC 中,AB=AC
（1）若∠BAD=∠CAD ，则 ；
（2）若BD=CD ，则 ； （3）若AD ⊥BC 于D ，则 。
2、在△ABC 中，已知AB ＝AC ，AD 是中线，∠B ＝70°，BC ＝15cm ， 则∠BAC ＝________，∠DAC ＝________，BD ＝________cm 。
3、已知:如图，△ABC 中,AB=AC 。
小强想做∠BAC 的平分线,但他没有量角器，只有刻度尺，他如何做出∠BAC 的平分线？
4、如图所示,在△ABC 中，AB=AC ，AD 是BC 边上的中
线，点E 在AD 上。
说明：
BE=CE.
5、第4题变式：如图,在△ABC 中，AB=AC ，点E 在AD 上，且BE=CE.
说明：AD 垂直平分BC 。
A C
B D
图1 A
C B
6、已知：如图,B 、D 、E 、C 在同一直线上，AB=AC ，AD=AE.求证：BD=CE 。
7、练习册P88/8、44期报纸第2版《简单的轴对称图形》3、4
作业：1、如图，在△ABC 中，AB=AC ，D 是三角形外一点，且
BD=CD 。
说明：AD 垂直平分BC 。
2、已知：如图2,B 、D 、E 、C 在同一直线上， AB=AC ，AD=AE 。
说明：∠BAD=∠CAE 。
A C
B D E A
C
B
D E。
三线合一专题
个人收集整理—仅供参考学习“三线合一”专题等腰三角形有一个重要的性质：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。
这就是著名的等腰三角形“三线合一”性质。
“三线合一”性质常用来证明两线垂直、两线段相等和两角相等。
反之，如果三角形一边上的中线、这边上的高、这边所对角的角平分线中有两条重合，那么这个三角形就是等腰三角形。
【例题讲解】例L 求证：BE=CE。
如图所示，在等腰^ ABC 中，AD是BC边上的中线，点E 在AD上。
变式练习1-1如图，在△ABC 中，AB=AC，D 是形外一点，且BD=CD。
求证： AD垂直平分BC。
变式练习1-2已知，如B图所示，却是 4 ABC，DE、DF 分别是△2E1 / 6ABD和△ACD的高。
求证：曲垂直平分EF。
如图△ ABC 中，AB=AC,NA=36°, BD平分N ABC, DE±AB 于 E,若 CD =4,且4BDC周长为24,求AE的长度。
例 3.如图，已知在等边三角形 ABC中,D 是AC 的中点，E为BC 延长线上一点，且CE=CD, DMLBC,垂足为M。
求证: M是BE的中点。
BD 、CE 分别为N ABC 与NACB 的角平分线，且相交于点F, 中的等腰三角形有（） A. 6个 8个 D. 9个2.）已知：如图，在△ ABC 中，AB=AC, D 是 BC 的中点，DE±AB, DF±AC, E、B. 7个例 5.已知：如图，AABC 中，AB 二 AC ,C “ AB 于 D。
AF分别是垂足。
求证：AE=AF。
个人收集整理—仅供参考学习于D,交CA延长线于E,求证：口「人「。
DE = — BC2 【巩固练习】 1、等腰三角形一边等于5另一边等于8,则周长是在4ABC中，已知AB=AC, B = 70 ° , BC = AD是中线，N 则 N BAC = ___ , BD =15cm , , N DAC =个人收集整理—仅供参考学习_______ cm。
(2021年整理)三角形的三线练习题
三角形的三线练习题编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（三角形的三线练习题）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
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三角形的中线、角平分线和高一、填空.1．一个三角形有______条中线，______条角平分线，______条高.2．在一个三角形中，有两条高就是三角形的边,这个是_______三角形。
3．在一个三角形中，有两条高在三角形的外部，这个是_______三角形.4．三角形的角平分线、中线、高都是____（填“直线”、“射线”或“线段”)。
二、选择题.5．如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点,那么这个三角形是（）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．都不对6．下列语句正确的是（ )A．三角形的角平分线、中线和高都在三角形内部B．直角三角形的高只有一条C．三角形的高至少有一条在三角形内部D．钝角三角形的三条高都在三角形外部7．三角形的三条角平分线的交点在三角形的（）A．内部 B．外部 C．一条边上 D．都可能8．三角形的三条中线的交点在三角形的( ）A．内部 B．外部 C．一条边上 D．都可能9．三角形的一条高是一条（）A．直线 B．垂线 C．垂线段 D．射线三、作图题。
10．画出下面三角形的三条高.（标出每一条高的垂足）D C B A 图2C 图1B C D11．画出下面三角形的三条中线。
12．画出下面三角形的三条角平分线。
13．如右图所示：（1）∵AD 是△ABC 的角平分线∴______=______=21_______(2）∵∠BAD=∠DAC∴AD 是△ABC 的________线14．如图（2)所示：(1）∵EC 是△ABC 的角平分线∴______=______=21_______（2）∵AD 是△ABC 的中线∴______=______=21_______（3）∵∠ACE=∠ECB∴EC 是△ABC 的________线（4)∵BD=DC∴AD 是△ABC 的________线15．如图（1）所示:（1）∵AD 是△ABC 的高∴______ = ______ = 90°(2）∵∠ADB = 90°B∴AD是△ABC的_________。
三角形的内、外角和三线综合练习题
三角形的内、外角和三线综合练习题三角形的内、外角和三线综合练习题一．解答题（共30小题）1．（2010•玉溪）平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系（1）如图a，若AB∥CD，点P在AB、CD外部，则有∠B=∠BOD，又因∠BOD是△POD的外角，故∠BOD=∠BPD+∠D，得∠BPD=∠B﹣∠D．将点P移到AB、CD内部，如图b，以上结论是否成立？若成立，说明理由；若不成立，则∠BPD、∠B、∠D之间有何数量关系？请证明你的结论；（2）在图b中，将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q，如图c，则∠BPD﹑∠B﹑∠D﹑∠BQD之间有何数量关系？（不需证明）（3）根据（2）的结论求图d中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．2．（2006•浙江）已知：如图，AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于点E、F，∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点P．求证：∠P=90°．3．（2000•内蒙古）如图，已知在三角形ABC中，∠C=∠ABC=2∠A，BD是AC边上的高，求∠DBC的度数．4．（2013•响水县一模）探究与发现：探究一：我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在何种数量关系呢？已知：如图1，∠FDC与∠ECD分别为△ADC的两个外角，试探究∠A与∠FDC+∠ECD的数量关系．探究二：三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系？已知：如图2，在△ADC中，DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，试探究∠P与∠A的数量关系．探究三：若将△ADC改为任意四边形ABCD呢？已知：如图3，在四边形ABCD中，DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD，试利用上述结论探究∠P与∠A+∠B的数量关系．探究四：若将上题中的四边形ABCD改为六边形ABCDEF（图4）呢？请直接写出∠P与∠A+∠B+∠E+∠F的数量关系：_________．5．如图，△ABC中，∠A=40°，∠B=72°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，DF⊥CE交CE于F，求∠CDF的度数．6．如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠AOC=60°．将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．（1）将图1中的三角板绕点O顺时针旋转至图2，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC，求∠CON的度数；（2）将图1中的三角板绕点O按每秒10°的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC，则t的值为_________秒（直接写出结果）；（3）将图1中的三角板绕点O顺时针旋转至图3，使ON在∠AOC的内部，请探究∠AOM与∠NOC之间的数量关系，并说明理由．7．如图，AD、BC交于O点，且∠A=∠B，∠C=∠D．求证：AB∥CD．8．如图，已知点A，D，B在同一直线上，∠1=∠2，∠3=∠E．求证：DE∥BC．9．如图，∠D=∠1，∠E=∠2，DC⊥EC．求证：AD∥BE．10．如图，若∠CAB=∠CED+∠CDE，求证：AB∥CD．11．直线AB、CD被直线EF所截，EF分别交AB、CD于M，N，∠EMB=50°，MG平分∠BMF，MG交CD于G．（1）如图1，若AB∥CD，求∠1的度数．（2）如图2，若∠MNC=140°，求∠1的度数．12．如图，四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，AE平分∠BAD，若AE∥CF，∠BCF=60°，请你求出∠DCF的度数．并说明你的理由．13．已知AB∥CD，直线l与AB、CD分别交于点E、F，点P是直线CD上的一个动点（点P不与F重合），点M 在EF上，且∠FMP=∠FPM，（1）如图1，当点P在射线FC上移动时，若∠AEF=60°，则∠FPM=_________；假设∠AEF=a，则∠FPM= _________；（2）如图2，当点P在射线FD上移动时，猜想∠FPM与∠AEF有怎样的数量关系？请你说明理由．14．如图（1）直线GC∥HD，EF交CG、HD于A、B，三条直线把EF右侧的平面分成①、②、③三个区域，（规定：直线上各点不属于任何区域）．将一个透明的直角三角尺放置在该图中，使得30°角（即∠P）的两边分别经过点A、B，当点P落在某个区域时，连接PA、PB，得到∠PBD、∠PAC两个角．（1）如图（1），当点P落在第②区域时，求∠PAC+∠PBD的度数；（2）如图（2），当点P落在第③区域时，∠PAC﹣∠PBD=_________度（3）如图（3），当点P落在第①区域时，直接写出∠PAC、∠PBD之间的等量关系．15．如图，直线a∥b，直线AC分别交a、b于点B、点C，直线AD交a于点D．若∠1=20°，∠2=65°，求∠3的度数．16．（1）如图（1），AB∥CD，点P在AB、CD外部，若∠B=40°，∠D=15°，则∠BPD=_________．（2）如图（2），AB∥CD，点P在AB、CD内部，则∠B，∠BPD，∠D之间有何数量关系？证明你的结论；（3）在图（2）中，将直线AB绕点B按逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点M，如图（3），若∠BPD=90°，∠BMD=40°，求∠B+∠D的度数．17．（2012•樊城区模拟）下面是有关三角形内外角平分线的探究，阅读后按要求作答：探究1：如图（1），在△ABC中，O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，通过分析发现：∠BOC=90°+∠A（不要求证明）．探究2：如图（2）中，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A有怎样的数量关系？请说明理由．探究3：如图（3）中，O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的数量关系？（只写结论，不需证明）．结论：_________．18．（2011•宜兴市二模）操作示例如图1，△ABC中，AD为BC边上的中线，则S△ABD=S△ADC．实践探究（1）在图2中，E、F分别为矩形ABCD的边AD、BC的中点，则S阴和S矩形ABCD之间满足的关系式为_________（2）在图3中，E、F分别为平行四边形ABCD的边AD、BC的中点，则S阴和S平行四边形ABCD之间满足的关系式为_________；（3）在图4中，E、F分别为任意四边形ABCD的边AD、BC的中点，则S阴和S四边形ABCD之间满足的关系式为_________；解决问题：（4）在图5中，E、G、F、H分别为任意四边形ABCD的边AD、AB、BC、CD的中点，并且图中阴影部分的面积为20平方米，求图中四个小三角形的面积和，即S1+S2+S3+S4=_________．19．如图，在△BCD中，BE平分∠DBC交CD于F，延长BC至G，CE平分∠DCG，且EC、DB的延长线交于A 点，若∠A=33°，∠DFE=63°．（1）求证：∠DFE=∠A+∠D+∠E；（2）求∠E的度数；（3）若在上图中作∠CBE与∠GCE的平分线交于E1，作∠CBE1与∠GCE1的平分线交于E2，作∠CBE2与∠GCE2的平分线于E3，以此类推，∠CBE n与∠GCE n的平分线交于E n+l，请用含有n的式子表示∠E n+l的度数（直接写答案）．20．已知：△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，请根据题中所给的条件，解答下列问题：（1）如图1，若∠BAD=60°，∠EAD=15°，求∠ACB的度数．（2）通过以上的计算你发现∠EAD和∠ACB﹣∠B之间的关系应为：_________．（3）在图2的△ABC中，∠ACB＞90°，那么（2）中的结论仍然成立吗？为什么？21．如图（甲），D是△ABC的边BC的延长线上一点．∠ABC、∠ACD的平分线相交于P1．（1）若∠ABC=80°，∠ACB=40°，则∠P1的度数为_________；（2）若∠A=α，则∠P1的度数为_________；（用含α的代数式表示）（3）如图（乙），∠A=α，∠ABC、∠ACD的平分线相交于P1，∠P1BC、∠P1CD的平分线相交于P2，∠P2BC、∠P2CD的平分线相交于P3依此类推，则∠Pn的度数为_________（用n与α的代数式表示）22．在△ABC中，∠C＞∠B，AE是△ABC中∠BAC的平分线；（1）若AD是△ABC的BC边上的高，且∠B=30°，∠C=70°（如图1），求∠EAD的度数；（2）若F是AE上一点，且FG⊥BC，垂足为G（如图2），求证：；（3）若F是AE延长线上一点，且FG⊥BC，G为垂足（如图3），②中结论是否依然成立？请给出你的结论，并说明理由．23．已知，如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE，DF分别是△ADC的高和角平分线（∠C＞∠DAC），若∠B=80°，∠C=40°．（1）求∠DAE的度数；（2）试猜想∠EDF、∠C与∠DAC有何关系？并说明理由．24．如图，在△ABC中，已知∠ACB=67°，BE是AC上的高，CD是AB上的高，F是BE和CD的交点，∠DCB=45°，求∠ABE和∠BFC的度数．25．如图，已知△ABC中，∠B=40°，∠C=62°，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线．求：∠DAE的度数．（写出推导过程）26．已知△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°，点D为BC边上一点，连接AD，作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．（1）若AD为△ABC的角平分线（如图1），图中∠1、∠2有何数量关系？为什么？（2）若AD为△ABC的高（如图2），求图中∠1、∠2的度数．27．如图，（1）在△ABC中，∠A=52°，∠ABC与∠ACB的角平分线交于D1，∠ABD1与∠ACD1的角平分线交于点D2，依此类推，∠ABD4与∠ACD4的角平分线交于点D5，则∠BD5C的度数是_________．（2）在△ABC中，∠ABC与∠ACB的角平分线交于D1，∠ABD1与∠ACD1的角平分线交于点D2，∠ABD2与∠ACD2的角平分线交于点D3，若∠BD3C的度数是n°，则∠A的度数是_________（用含n的代数式表示）．28．已知△ABC．（1）若∠BAC=40°，画∠BAC和外角∠ACD的角平分线相交于O1点（如图①），求∠BO1C的度数；（2）在（1）的条件下，再画∠O1BC和∠O1CD的角平分线相交于O2点（如图②），求∠BO2C的度数；（3）若∠BAC=n°，按上述规律继续画下去，请直接写出∠BO2012C的度数．29．（1）如图1，在锐角△ABC中，BD、CE分别是AC、AB边上的高线，BD与CE相交于点P，若已知∠A=50°，∠BPC的度数为多少；（2）如图2，在钝角△ABC中，BD、CE分别是AC、AB边上的高线，BD与EC的延长线相交于点P，若已知∠A=50°，则∠BPC的度数为多少；（3）在△ABC中，若∠A=α，请你探索AB、AC边上的高线（或延长线）相交所成的∠BPC的度数．（可以用含α的代数式表示）30．如图（1），△ABC中，AD是角平分线，AE⊥BC于点E．（1）．若∠C=80°，∠B=50°，求∠DAE的度数．（2）．若∠C＞∠B，试说明∠DAE=（∠C﹣∠B）．（3）．如图（2）若将点A在AD 上移动到A´处，A´E⊥BC于点E．此时∠DAE变成∠DA´E，（2）中的结论还正确吗？为什么？三角形的内、外角和三线综合练习题参考答案与试题解析一．解答题（共30小题）1．（2010•玉溪）平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系（1）如图a，若AB∥CD，点P在AB、CD外部，则有∠B=∠BOD，又因∠BOD是△POD的外角，故∠BOD=∠BPD+∠D，得∠BPD=∠B﹣∠D．将点P移到AB、CD内部，如图b，以上结论是否成立？若成立，说明理由；若不成立，则∠BPD、∠B、∠D之间有何数量关系？请证明你的结论；（2）在图b中，将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q，如图c，则∠BPD﹑∠B﹑∠D﹑∠BQD之间有何数量关系？（不需证明）（3）根据（2）的结论求图d中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．分析：（1）延长BP交CD于E，根据两直线平行，内错角相等，求出∠PED=∠B，再利用三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和即可说明不成立，应为∠BPD=∠B+∠D；（2）作射线QP，根据三角形的外角性质可得；（3）根据三角形的外角性质，把角转化到四边形中再求解．解答：解：（1）不成立．结论是∠BPD=∠B+∠D延长BP交CD于点E，∵AB∥CD∴∠B=∠BED又∵∠BPD=∠BED+∠D，∴∠BPD=∠B+∠D．（2）结论：∠BPD=∠BQD+∠B+∠D．（3）连接EG并延长，根据三角形的外角性质，∠AGB=∠A+∠B+∠E，又∵∠AGB=∠CGF，在四边形CDFG中，∠CGF+∠C+∠D+∠F=360°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°．2．（2006•浙江）已知：如图，AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于点E、F，∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点P．求证：∠P=90°．分析：由AB∥CD，可知∠BEF与∠DFE互补，由角平分线的性质可得∠PEF+∠PFE=90°，由三角形内角和定理可得∠P=90度．解答：证明：∵AB∥CD，∴∠BEF+∠DFE=180°．又∵∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点P，∴∠PEF=∠BEF，∠PFE=∠DEF，∴∠PEF+∠PFE=（∠BEF+∠DFE）=90°．∵∠PEF+∠PFE+∠P=180°，∴∠P=90°．3．（2000•内蒙古）如图，已知在三角形ABC中，∠C=∠ABC=2∠A，BD是AC边上的高，求∠DBC的度数．分析：根据三角形的内角和定理与∠C=∠ABC=2∠A，即可求得△ABC三个内角的度数，再根据直角三角形的两个锐角互余求得∠DBC的度数．解答：解：∵∠C=∠ABC=2∠A，∴∠C+∠ABC+∠A=5∠A=180°，∴∠A=36°．则∠C=∠ABC=2∠A=72°．又BD是AC边上的高，则∠DBC=90°﹣∠C=18°．4．（2013•响水县一模）探究与发现：探究一：我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在何种数量关系呢？已知：如图1，∠FDC与∠ECD分别为△ADC的两个外角，试探究∠A与∠FDC+∠ECD的数量关系．探究二：三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系？已知：如图2，在△ADC中，DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，试探究∠P与∠A的数量关系．探究三：若将△ADC改为任意四边形ABCD呢？已知：如图3，在四边形ABCD中，DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD，试利用上述结论探究∠P与∠A+∠B的数量关系．探究四：若将上题中的四边形ABCD改为六边形ABCDEF（图4）呢？请直接写出∠P与∠A+∠B+∠E+∠F的数量关系：∠P=（∠A+∠B+∠E+∠F）﹣180°．分析：探究一：根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠FDC=∠A+∠ACD，∠ECD=∠A+∠ADC，再根据三角形内角和定理整理即可得解；探究二：根据角平分线的定义可得∠PDC=∠ADC，∠PCD=∠ACD，然后根据三角形内角和定理列式整理即可得解；探究三：根据四边形的内角和定理表示出∠ADC+∠BCD，然后同理探究二解答即可；探究四：根据六边形的内角和公式表示出∠ADC+∠BCD，然后同理探究二解答即可．解答：解：探究一：∵∠FDC=∠A+∠ACD，∠ECD=∠A+∠ADC，∴∠FDC+∠ECD=∠A+∠ACD+∠A+∠ADC=180°+∠A；探究二：∵DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，∴∠PDC=∠ADC，∠PCD=∠ACD，∴∠DPC=180°﹣∠PDC﹣∠PCD，=180°﹣∠ADC﹣∠ACD，=180°﹣（∠ADC+∠ACD），=180°﹣（180°﹣∠A），=90°+∠A；探究三：∵DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD，∴∠PDC=∠ADC，∠PCD=∠BCD，∴∠DPC=180°﹣∠PDC﹣∠PCD，=180°﹣∠ADC﹣∠BCD，=180°﹣（∠ADC+∠BCD），=180°﹣（360°﹣∠A﹣∠B），=（∠A+∠B）；探究四：六边形ABCDEF的内角和为：（6﹣2）•180°=720°，∵DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，∴∠P=∠ADC，∠PCD=∠ACD，∴∠P=180°﹣∠PDC﹣∠PCD，=180°﹣∠ADC﹣∠ACD，=180°﹣（∠ADC+∠ACD），=180°﹣（720°﹣∠A﹣∠B﹣∠E﹣∠F），=（∠A+∠B+∠E+∠F）﹣180°，即∠P=（∠A+∠B+∠E+∠F）﹣180°．5．如图，△ABC中，∠A=40°，∠B=72°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，DF⊥CE交CE于F，求∠CDF的度数．分析：首先根据三角形的内角和定理求得∠ACB的度数，再根据CE平分∠ACB求得∠ACE的度数，则根据三角形的外角的性质就可求得∠CED=∠A+∠ACE，再结合CD⊥AB，DF⊥CE就可求解．解答：解：∵∠A=40°，∠B=72°，∴∠ACB=180°﹣40°﹣72°=68°，∵CE平分∠ACB，∴∠ACE=∠BCE=34°，∴∠CED=∠A+∠ACE=74°，∴∠CDE=90°，DF⊥CE，∴∠CDF+∠ECD=∠ECD+∠CED=90°，∴∠CDF=74°．6．如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠AOC=60°．将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．（1）将图1中的三角板绕点O顺时针旋转至图2，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC，求∠CON的度数；（2）将图1中的三角板绕点O按每秒10°的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC，则t的值为12或30秒（直接写出结果）；（3）将图1中的三角板绕点O顺时针旋转至图3，使ON在∠AOC的内部，请探究∠AOM与∠NOC之间的数量关系，并说明理由．分析：（1）由角的平分线的定义和等角的余角相等求解；（2）由∠BOC=120°可得∠AOC=60°，则∠AON=30°或∠NOR=30°，即顺时针旋转300°或120°时ON平分∠AOC，据此求解；（3）因为∠MON=90°，∠AOC=60°，所以∠AOM=90°﹣∠AON、∠NOC=60°﹣∠AON，然后作差即可．解答：解：（1）已知∠AOC=60°，∴∠BOC=120°，又OM平分∠BOC，∠COM=∠BOC=60°，∴∠CON=∠COM+90°=150°；（2）延长NO，∵∠BOC=120°∴∠AOC=60°，当直线ON恰好平分锐角∠AOC，∴∠AOD=∠COD=30°，即顺时针旋转300°时NO延长线平分∠AOC，由题意得，10t=300°∴t=30，当NO平分∠AOC，∴∠NOR=30°，即顺时针旋转120°时NO平分∠AOC，∴10t=120°，∴t=12，∴t=12或30；（3）∵∠MON=90°，∠AOC=60°，∴∠AOM=90°﹣∠AON、∠NOC=60°﹣∠AON，∴∠AOM﹣∠NOC=（90°﹣∠AON）﹣（60°﹣∠AON）=30°，所以∠AOM与∠NOC之间的数量关系为：∠AOM﹣∠NOC=30°．7．如图，AD、BC交于O点，且∠A=∠B，∠C=∠D．求证：AB∥CD．分析：证两直线平行，需证得两直线的内错角相等．结合已知，可用△AOB和△COD的外角∠AOC为媒介，证得∠A=∠D或∠B=∠C，由此来证得AB∥CD．解答：证明：∵∠AOC=∠A+∠B，∠A=∠B，∴∠AOC=2∠B．∵∠AOC=∠C+∠D，∠C=∠D，∴∠AOC=2∠C．∴∠C=∠B．∴AB∥CD．8．如图，已知点A，D，B在同一直线上，∠1=∠2，∠3=∠E．求证：DE∥BC．分析：由∠1=∠2，∠AOE=∠COD可证得∠CDO=∠E；再由∠3=∠E得∠CDO=∠3，即得DE∥BC（内错角相等，两直线平行）．解答：证明：∵∠1=∠2，∠AOE=∠COD（对顶角相等），∴在△AOE和△COD中，∠CDO=∠E（三角形内角和定理）；∵∠3=∠E，∴∠CDO=∠3，∴DE∥BC（内错角相等，两直线平行）．9．如图，∠D=∠1，∠E=∠2，DC⊥EC．求证：AD∥BE．分析：根据DC⊥EC，得∠1+∠2=90°，再结合已知条件，得∠D+∠1+∠E+∠2=180°，利用三角形的内角和定理就可求得∠A+∠B的值，从而证明结论．解答：证明：∵DC⊥EC，∴∠1+∠2=90°，又∠D=∠1，∠E=∠2，∴∠D+∠1+∠E+∠2=180°．根据三角形的内角和定理，得∠A+∠B=180°，∴AD∥BE．10．如图，若∠CAB=∠CED+∠CDE，求证：AB∥CD．分析：利用三角形的内角和定理得∠C+∠CED+∠CDE=180°，已知∠CAB=∠CED+∠CDE，所以∠C+∠CAB=180°，根据同旁内角互补，两直线平行可证AB∥CD．解答：证明：在△ECD中∵∠C+∠CED+∠CDE=180°（三角形内角和定理），又∵∠CAB=∠CED+∠CDE（已知），∴∠C+∠CAB=180°（等量代换），∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）．11．直线AB、CD被直线EF所截，EF分别交AB、CD于M，N，∠EMB=50°，MG平分∠BMF，MG交CD于G．（1）如图1，若AB∥CD，求∠1的度数．（2）如图2，若∠MNC=140°，求∠1的度数．分析：（1）根据两角互补及角平分线的性质可求出∠BMG的度数，再根据平行线的性质即可求解；（2）先根据两角互补及角平分线的性质可求出∠NMG的度数，再由三角形内角与外角的性质及∠MNC=140°即可求出∠1的度数．解答：解：（1）∵∠BMF+∠EMB=180°，∴∠BMF=180°﹣∠EMB，∵∠EMB=50°，∴∠BMF=180°50°=130°，（2分）∵MG平分∠BMF，∴∠BMG=∠GMN=∠BMF=65°，（4分）∵AB∥CD，∴∠1=∠BMG=65°；（5分）（2）∵∠MNC=∠1+∠GMN，∴∠1=∠MNC﹣∠GMN，（7分）∵∠MNC=140°，∠GMN=65°，∴∠1=140°﹣65°=75°．（8分）12．如图，四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，AE平分∠BAD，若AE∥CF，∠BCF=60°，请你求出∠DCF的度数．并说明你的理由．解答：解：∠DCF=60°，理由如下：∵∠B=90°∴∠1+∠BCF=90°∵∠BCF=60°∴∠1=30度．∵AE∥CF∴∠2=∠1=30度∵AE平分∠BAD∴∠3=∠2=30度又∵∠D=90°∴∠3+∠4=90°∴∠4=60°∵AE∥CF∴∠DCF=∠4=60°．13．已知AB∥CD，直线l与AB、CD分别交于点E、F，点P是直线CD上的一个动点（点P不与F重合），点M 在EF上，且∠FMP=∠FPM，（1）如图1，当点P在射线FC上移动时，若∠AEF=60°，则∠FPM=30°；假设∠AEF=a，则∠FPM=α；（2）如图2，当点P在射线FD上移动时，猜想∠FPM与∠AEF有怎样的数量关系？请你说明理由．分析：（1）根据两直线平行，同旁内角互补以及△PFM的内角和是180°填空；（2）根据两直线平行，内错角相等和三角形的内角和为180度，易得∠FPM=90°﹣∠AEF．解答：解：（1）∵AB∥CD，∴∠AEF+∠MFP=180°．∵∠MFP+∠FMP+∠FPM=180°，∴∠FMP+∠FPM=∠AEF；∵∠FMP=∠FPM，∴∠FPM=∠AEF；∴若∠AEF=60°，则∠FPM=30°；若∠AEF=a，则∠FPM=α；（2）∠FPM=90°﹣∠AEF．理由：∵AB∥CD，∴∠AEF=∠MFP（两直线平行，内错角相等）．∵∠MFP+∠FMP+∠FPM=180°，∴∠FMP+∠FPM=180°﹣∠MFP=180°﹣∠AEF；∵∠FMP=∠FPM，∴∠FPM=90°﹣∠AEF．14．如图（1）直线GC∥HD，EF交CG、HD于A、B，三条直线把EF右侧的平面分成①、②、③三个区域，（规定：直线上各点不属于任何区域）．将一个透明的直角三角尺放置在该图中，使得30°角（即∠P）的两边分别经过点A、B，当点P落在某个区域时，连接PA、PB，得到∠PBD、∠PAC两个角．（1）如图（1），当点P落在第②区域时，求∠PAC+∠PBD的度数；（2）如图（2），当点P落在第③区域时，∠PAC﹣∠PBD=30度（3）如图（3），当点P落在第①区域时，直接写出∠PAC、∠PBD之间的等量关系．分析：解答：（1）过点P作PQ∥GC，则由平行线的性质求出∠PAC+∠PBD=∠P，从而得出答案．（2）由GC∥HD，得∠EAC=∠EBD，再由外角的性质得出∠PAE=∠P+∠ABP，从而得出∠PAC=∠PBD+∠P；（3）由GC∥HD，得∠1=∠PBD，再由外角的性质得出∠1=∠P+∠CAP，从而得出∠PBD=∠PAC+∠P．解：（1）过点P作PQ∥GC，∴∠PAC=∠APQ，∠BPQ=∠PBD，∴∠PAC+∠PBD=∠APQ+∠QPB，即∠PAC+∠PBD=∠P，∵∠P=30°，∴∠PAC+∠PBD=30°．（2）∵GC∥HD，∴∠EAC=∠EBD，∵∠PAE=∠P+∠ABP，∴∠PAC=∠PBD+∠P，∴∠PAC﹣∠PBD=30°；（3）∵GC∥HD，∴∠1=∠PBD，∵∠1=∠P+∠CAP，∴∠PBD=∠PAC+∠P，即∠PBD﹣∠PAC=∠P．∴∠P=30°．15．如图，直线a∥b，直线AC分别交a、b于点B、点C，直线AD交a于点D．若∠1=20°，∠2=65°，求∠3的度数．分析：根据两直线a∥b推知，内错角∠2=∠4；然后由三角形的外角性质及等量代换求得∠3的度数即可．解答：解：∵a∥b，∴∠2=∠4（两直线平行，内错角相等），又∵∠4=∠1+∠3（外角定理），∠1=20°，∠2=65°，∴∠3=∠2﹣∠1=45°，即∠3=45°．16．（1）如图（1），AB∥CD，点P在AB、CD外部，若∠B=40°，∠D=15°，则∠BPD=25°．（2）如图（2），AB∥CD，点P在AB、CD内部，则∠B，∠BPD，∠D之间有何数量关系？证明你的结论；（3）在图（2）中，将直线AB绕点B按逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点M，如图（3），若∠BPD=90°，∠BMD=40°，求∠B+∠D的度数．分析：（1）由AB∥CD，∠B=40°，根据两直线平行，内错角相等，即可求得∠BOD的度数，又由三角形外角的性质，可求得∠BPD的度数；（2）首先过点P作PE∥AB，由AB∥CD，可得AB∥PE∥CD，然后由两直线平行，内错角相等，即可证得∠BPD=∠1+∠2=∠B+∠D；（3）首先延长BP交CD于点E，利用三角形外角的性质，即可求得∠B+∠D的度数．解答：解：（1）∵AB∥CD，∠B=40°，∴∠BOD=∠B=40°，∴∠P=∠BOD﹣∠D=40°﹣15°=25°．故答案为：25°；（2）∠BPD=∠B+∠D．证明：过点P作PE∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥PE∥CD，∴∠1=∠B，∠2=∠D，∴∠BPD=∠1+∠2=∠B+∠D．（3）延长BP交CD于点E，∵∠1=∠BMD+∠B，∠BPD=∠1+∠D，∴∠BPD=∠BMD+∠B+∠D，∵∠BPD=90°，∠BMD=40°，∴∠B+∠D=∠BPD﹣∠BMD=90°﹣40°=50°．17．（2012•樊城区模拟）下面是有关三角形内外角平分线的探究，阅读后按要求作答：探究1：如图（1），在△ABC中，O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，通过分析发现：∠BOC=90°+∠A（不要求证明）．探究2：如图（2）中，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A有怎样的数量关系？请说明理由．探究3：如图（3）中，O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的数量关系？（只写结论，不需证明）．结论：∠BOC=90°﹣∠A．分析：（1）根据提供的信息，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，用∠A与∠1表示出∠2，再利用∠O与∠1表示出∠2，然后整理即可得到∠BOC与∠O的关系；（2）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和以及角平分线的定义表示出∠OBC与∠OCB，然后再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解．解答：解：（1）探究2结论：∠BOC=∠A，理由如下：∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACD的角平分线，∴∠1=∠ABC，∠2=∠ACD，又∵∠ACD是△ABC的一外角，∴∠ACD=∠A+∠ABC，∴∠2=（∠A+∠ABC）=∠A+∠1，∵∠2是△BOC的一外角，∴∠BOC=∠2﹣∠1=∠A+∠1﹣∠1=∠A；（2）探究3：∠OBC=（∠A+∠ACB），∠OCB=（∠A+∠ABC），∠BOC=180°﹣∠0BC﹣∠OCB，=180°﹣（∠A+∠ACB）﹣（∠A+∠ABC），=180°﹣∠A﹣（∠A+∠ABC+∠ACB），结论∠BOC=90°﹣∠A．18．（2011•宜兴市二模）操作示例如图1，△ABC中，AD为BC边上的中线，则S△ABD=S△ADC．实践探究（1）在图2中，E、F分别为矩形ABCD的边AD、BC的中点，则S阴和S矩形ABCD之间满足的关系式为；（2）在图3中，E、F分别为平行四边形ABCD的边AD、BC的中点，则S阴和S平行四边形ABCD之间满足的关系式为；（3）在图4中，E、F分别为任意四边形ABCD的边AD、BC的中点，则S阴和S四边形ABCD之间满足的关系式为；；解决问题：（4）在图5中，E、G、F、H分别为任意四边形ABCD的边AD、AB、BC、CD的中点，并且图中阴影部分的面积为20平方米，求图中四个小三角形的面积和，即S1+S2+S3+S4=20．分析：（1）利用E、F分别为矩形ABCD的边AD、BC的中点，分别求得S阴和S矩形ABCD即可．（2）利用E、F分别为平行四边形ABCD的边AD、BC的中点，分别求则S阴和S平行四边形ABCD即可．（3）利用E、F分别为任意四边形ABCD的边AD、BC的中点，分别求得则S阴和S四边形ABCD即可．（4）先设空白处面积分别为：x、y、m、n由上得，，分别求得S1、S2、S3、S4．然后S1+S2+S3+S4=S阴即可．解答：解：（1）由E、F分别为矩形ABCD的边AD、BC的中点，得S阴=BF•CD=BC•CD，S矩形ABCD=BC•CD，所以；（2）同理可得；；（3）同理可得；；（4）设空白处面积分别为：x、y、m、n（见右图），由上得，，∴S1+x+S2+S3+y+S4=．S1+m+S4+S2+n+S3=，∴（S1+x+S2+S3+y+S4）+（S1+m+S4+S2+n+S3）=S四边形ABCD．∴（S1+x+S2+S3+y+S4）+（S1+m+S4+S2+n+S3）=S1+x+S2+n+S3+y+S4+m+S阴∴S1+S2+S3+S4=S阴=20．故答案分别为：（1）；（2）；（3）；（4）20．19．如图，在△BCD中，BE平分∠DBC交CD于F，延长BC至G，CE平分∠DCG，且EC、DB的延长线交于A 点，若∠A=33°，∠DFE=63°．（1）求证：∠DFE=∠A+∠D+∠E；（2）求∠E的度数；（3）若在上图中作∠CBE与∠GCE的平分线交于E1，作∠CBE1与∠GCE1的平分线交于E2，作∠CBE2与∠GCE2的平分线于E3，以此类推，∠CBEn与∠GCEn的平分线交于En+l，请用含有n的式子表示∠En+l的度数（直接写答案）．分析：（1）根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，得出∠DCE=∠A+∠D，∠DFE=∠DCE+∠E，将第一式代入第二式即可得证；（2）根据角平分线及三角形外角的性质得出∠ECG=∠DCG=（∠D+∠DBC），∠ECG=∠E+∠EBC=∠E+∠DBC，则∠D=2∠E，再利用上题结论∠DFE=∠A+∠D+∠E，将已知条件代入，即可求出∠E的度数；（3）先根据角平分线及三角形外角的性质得出∠E1=∠E，同理得出∠E2=∠E1，则∠E2=∠E=∠E，由此得出规律∠E n+l=∠E．解答：（1）证明：∵∠DCE=∠A+∠D，∠DFE=∠DCE+∠E，∴∠DFE=∠A+∠D+∠E；（2）解：∵∠DCG=∠D+∠DBC，CE平分∠DCG，∴∠ECG=∠DCG=（∠D+∠DBC），∵BE平分∠DBC，∴∠EBC=∠DBC，∵∠ECG=∠E+∠EBC=∠E+∠DBC，∴∠E+∠DBC=（∠D+∠DBC），∴∠E=∠D，∴∠D=2∠E．∵∠DFE=63°，∠A=33°，∠DFE=∠A+∠D+∠E，∴∠D+∠E=∠DEF﹣∠A=63°﹣33°=30°，∴2∠E+∠E=30°，∴∠E=10°；（3）∵∠ECG=∠E+∠EBC，CE1平分∠ECG，∴∠E1CG=∠ECG=（∠E+∠EBC）．∵BE1平分∠EBC，∴∠E1BC=∠EBC．∵∠E1CG=∠E1+∠E1BC=∠E1+∠EBC，∴∠E1+∠EBC=（∠E+∠EBC），∴∠E1=∠E．同理：∠E2=∠E1，∴∠E2=∠E=∠E，∴∠E n+l=∠E．20．已知：△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，请根据题中所给的条件，解答下列问题：（1）如图1，若∠BAD=60°，∠EAD=15°，求∠ACB的度数．（2）通过以上的计算你发现∠EAD和∠ACB﹣∠B之间的关系应为：∠ACB﹣∠B=2∠EAD．（3）在图2的△ABC中，∠ACB＞90°，那么（2）中的结论仍然成立吗？为什么？分析：（1）先求出∠BAE=∠BAD﹣∠EAD=45°，再根据角平分线的定义，得出∠BAC=90°，则根据三角形内角和定理得出∠ACB=90°﹣∠B，故求出∠B的度数即可．而在直角△ABD中，∠B=90°﹣∠BAD=30°；（2）由（1）的计算发现∠EAD和∠ACB﹣∠B之间的关系应为：∠ACB﹣∠B=2∠EAD；（3）先根据三角形内角和定理及垂直的定义，得出∠ACB﹣∠B=∠BAD﹣∠CAD，再由角平分线的定义得出结论∠ACB﹣∠B=2∠EAD．解答：解：（1）∵∠BAD=60°，∠EAD=15°，∴∠BAE=∠BAD﹣∠EAD=45°，∵AE平分∠BAC，∴∠BAC=2∠BAE=90°．∵AD⊥BC，∠BAD=60°，∴∠B=30°，∴∠ACB=90°﹣30°=60°；（2）∵（1）中∠EAD=15°，∠ACB﹣∠B=60°﹣30°=30°，发现∠ACB﹣∠B=2∠EAD，∴推测∠ACB﹣∠B=2∠EAD；（3）在图2的△ABC中，∠ACB＞90°，那么（2）中的结论仍然成立．理由如下：∵在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，∴∠ADC=∠ADB=90°，∠BAE=∠CAE，∴∠ACB﹣∠B=90°﹣∠CAD﹣（90°﹣∠BAD）=∠BAD﹣∠CAD，又∵∠BAD=∠BAE+∠EAD，∠CAD=∠CAE﹣∠EAD，∴∠ACB﹣∠B=2∠EAD．21．如图（甲），D是△ABC的边BC的延长线上一点．∠ABC、∠ACD的平分线相交于P1．（1）若∠ABC=80°，∠ACB=40°，则∠P1的度数为30°；（2）若∠A=α，则∠P1的度数为α；（用含α的代数式表示）（3）如图（乙），∠A=α，∠ABC、∠ACD的平分线相交于P1，∠P1BC、∠P1CD的平分线相交于P2，∠P2BC、∠P2CD的平分线相交于P3依此类推，则∠Pn的度数为（）nα（用n与α的代数式表示）分析：由∠P1CD=∠P1+∠P1BC，∠ACD=∠ABC+∠A，而P1B、P1C分别平分∠ABC和∠ACD，得到∠ACD=2∠P1CD，∠ABC=2∠P1BC，于是有∠A=2∠P1，同理可得∠P1=2∠P2，即∠A=22∠P2，因此找出规律．解答：解：∵P1B、P1C分别平分∠ABC和∠ACD，∴∠ACD=2∠P1CD，∠ABC=2∠P1BC，而∠P1CD=∠P1+∠P1BC，∠ACD=∠ABC+∠A，∴∠A=2∠P1，∴∠P1=∠A，（1）∵∠ABC=80°，∠ACB=40°，∴∠A=60°，∴∠P1=30°；（2）∵∠A=α，∴∠P1的度数为α；（3）同理可得∠P1=2∠P2，即∠A=22∠P2，∴∠A=2n∠P n，∴∠Pn=（）nα．故答案为：30°，α，（）nα．22．在△ABC中，∠C＞∠B，AE是△ABC中∠BAC的平分线；（1）若AD是△ABC的BC边上的高，且∠B=30°，∠C=70°（如图1），求∠EAD的度数；（2）若F是AE上一点，且FG⊥BC，垂足为G（如图2），求证：；（3）若F是AE延长线上一点，且FG⊥BC，G为垂足（如图3），②中结论是否依然成立？请给出你的结论，并说明理由．分析：（1）根据三角形内角和定理得∠A=180°﹣30°﹣70°=80°，再根据角平分线定义得∠EAC=×80°=40°，由AD是△ABC的BC边上的高，得∠ADC=90°，计算出∠DAC=90°﹣70°=20°，则∠EAD=∠EAC﹣∠DAC=40°﹣20°=20°；（2）根据三角形内角和定理得∠A=180°﹣∠B﹣∠C，再根据角平分线定义得∠EAC=（180°﹣∠B﹣∠C）=90°﹣（∠B+∠C），而∠DAC=90°﹣∠C，可计算得∠EAD=∠EAC﹣∠DAC=90°﹣（∠B+∠C）﹣90°﹣∠C=（∠C﹣∠B），然后利用平行线的性质得到结论；（3）与（2）证明方法一样．解答：（1）解：∵∠B=30°，∠C=70°，∴∠A=180°﹣30°﹣70°=80°，∵AE是△ABC中∠BAC的平分线，∴∠EAC=×80°=40°，∵AD是△ABC的BC边上的高，∴∠ADC=90°，∴∠DAC=90°﹣70°=20°，∴∠EAD=∠EAC﹣∠DAC=40°﹣20°=20°；（2）证明：过A点作高AD，如图，∠A=180°﹣∠B﹣∠C，∵AE是△ABC中∠BAC的平分线，∴∠EAC=（180°﹣∠B﹣∠C）=90°﹣（∠B+∠C），而∠DAC=90°﹣∠C，∴∠EAD=∠EAC﹣∠DAC=90°﹣（∠B+∠C）﹣90°﹣∠C=（∠C﹣∠B），∵FG⊥BC，∴∠EFG=∠EAD，∴∠EFG=（∠C﹣∠B）；（3）②中结论依然成立．理由如下：过A点作高AD，如图，在（2）中得到∠EAD=（∠C﹣∠B），∵FG⊥BC，∴∠EFG=∠EAD，∴∠EFG=（∠C﹣∠B）．23．已知，如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE，DF分别是△ADC的高和角平分线（∠C＞∠DAC），若∠B=80°，∠C=40°．（1）求∠DAE的度数；（2）试猜想∠EDF、∠C与∠DAC有何关系？并说明理由．分析：（1）先根据三角形内角和定理求出∠BAC的度数，再根据三角形的角平分线的定义即可求出∠DAE 的度数；（2）先根据三角形内角和定理及角平分线的定义求出∠CDF=（180°﹣∠DAC﹣∠C），再由直角三角形两锐角互余得出∠CDE=90°﹣∠C，则根据∠EDF=∠CDF﹣∠CDE即可得出∠EDF=（∠C﹣∠DAC）．解答：解：（1）∵在△ABC中，∠B=80°，∠C=40°，∴∠BAC=180°﹣80°﹣40°=60°，∵AD平分∠BAC，∴∠DAE=∠BAC=30°；（2）∠EDF=（∠C﹣∠DAC）．理由如下：在△DAC中，∵∠ADC+∠DAC+∠C=180°，∴∠ADC=180°﹣∠DAC﹣∠C，∵DF平分∠ADC，∴∠CDF=∠ADC=（180°﹣∠DAC﹣∠C），∵DE是△ADC的高，∴∠CDE=90°﹣∠C，∴∠EDF=∠CDF﹣∠CDE=（180°﹣∠DAC﹣∠C）﹣（90°﹣∠C）=（∠C﹣∠DAC）．故∠EDF=（∠C﹣∠DAC）．24．如图，在△ABC中，已知∠ACB=67°，BE是AC上的高，CD是AB上的高，F是BE和CD的交点，∠DCB=45°，求∠ABE和∠BFC的度数．分析：根据三角形高的定义得到∠CDB=90°，∠BEC=90°，先利用三角形内角和定理得∠DBC=180°﹣90°﹣45°=45°，∠EBC=180°﹣∠ECB﹣∠BEC=180°﹣67°﹣90°=23°，则∠ABE=∠ABC﹣∠EBC=45°﹣23°=22°，然后利用三角形外角性质可计算∠BFC=22°+90°=112°．解答：解：∵CD是AB上的高，∴∠CDB=90°，∵∠CDB+∠DBC+∠DCB=180°，∴∠DBC=180°﹣90°﹣45°=45°，∵BE是AC上的高，∴∠BEC=90°，∴∠EBC=180°﹣∠ECB﹣∠BEC=180°﹣67°﹣90°=23°，∴∠ABE=∠ABC﹣∠EBC=45°﹣23°=22°；∵∠BFC=∠FDB+∠DBF，∴∠BFC=22°+90°=112°．25．如图，已知△ABC中，∠B=40°，∠C=62°，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线．求：∠DAE的度数．（写出推导过程）分析：根据三角形的内角和定理，可求得∠BAC的度数，由AE是∠BAC的平分线，可得∠EAC的度数；在直角△ADC中，可求出∠DAC的度数，所以∠DAE=∠EAC﹣∠DAC，即可得出．解答：解：∵△ABC中，∠B=40°，∠C=62°，∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=180°﹣40°﹣62°=78°，∵AE是∠BAC的平分线，∴∠EAC=∠BAC=39°，∵AD是BC边上的高，∴在直角△ADC中，∠DAC=90°﹣∠C=90°﹣62°=28°，∴∠DAE=∠EAC﹣∠DAC=39°﹣28°=11°．26．已知△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°，点D为BC边上一点，连接AD，作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．（1）若AD为△ABC的角平分线（如图1），图中∠1、∠2有何数量关系？为什么？（2）若AD为△ABC的高（如图2），求图中∠1、∠2的度数．分析：（1）根据已知得出∠1=∠DAC，∠2=∠DAB，以及AD平分∠BAC，即可得出∠1=∠2；（2）首先得出DE∥AC，再利用∠1=∠ADB﹣∠BDE=30°，进而求出∠FDC=180°﹣∠DFC﹣∠C=60°，即可求出∠2=∠ADC﹣∠FDC的度数．解答：解：（1）∠1=∠2，理由如下：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠DEB=∠DFC=∠BAC=90°，∴DE∥AC，DF∥AB，∴∠1=∠DAC，∠2=∠DAB，∵AD平分∠BAC，∴∠DAC=∠DAB，∴∠1=∠2；（2）∵DE⊥AB，DF⊥AC，AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=∠DEB=∠DFC=∠BAC=90°，∴DE∥AC，∴∠BDE=∠C=30°，∴∠1=∠ADB﹣∠BDE=30°，∵∠FDC=180°﹣∠DFC﹣∠C=60°，∴∠2=∠ADC﹣∠FDC=60°．27．如图，（1）在△ABC中，∠A=52°，∠ABC与∠ACB的角平分线交于D1，∠ABD1与∠ACD1的角平分线交于点D2，依此类推，∠ABD4与∠ACD4的角平分线交于点D5，则∠BD5C的度数是56°．（2）在△ABC中，∠ABC与∠ACB的角平分线交于D1，∠ABD1与∠ACD1的角平分线交于点D2，∠ABD2与∠ACD2的角平分线交于点D3，若∠BD3C的度数是n°，则∠A的度数是（用含n的代数式表示）．分析：（1）根据角平分线的性质可得到：∠ABD1=∠CBD1=∠ABC，∠ACD1=∠BCD1=∠ACB，再根据三角形的内角和定理可得：∠BD1C的度数，再根据∠ABD1与∠ACD1的角平分线交于点D2，可得∠D2BC=∠ABC，∠D2CB=∠ACB，进而求出∠BD2C=180°﹣（∠ABC+∠ACB），以此类推可得到：∠BD5C=180°﹣（∠ABC+∠ACB），再次利用三角形内角和代入∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A，即可求出答案．（2）根据（1）中所求即可得出答案．解答：解：（1）∵∠A=52°，∴∠ABC+∠ACB=180°﹣52°=128°，又∠ABC与∠ACB的角平分线交于D1，∴∠ABD1=∠CBD1=∠ABC，∠ACD1=∠BCD1=∠ACB，∴∠CBD1+∠BCD1=（∠ABC+∠ACB）=×128°=64°，∴∠BD1C=180°﹣（∠ABC+∠ACB）=180°﹣64°=116°，同理∠BD2C=180°﹣（∠ABC+∠ACB）=180°﹣96°=84°，依此类推，∠BD5C=180°﹣（∠ABC+∠ACB）=180°﹣124°=56°．故答案为：56°；（2）由（1）可得：∠BD3C=180°﹣（∠ABC+∠ACB）=180°﹣（180°﹣∠A）=n°．解得：∠A=．故答案为：．28．已知△ABC．（1）若∠BAC=40°，画∠BAC和外角∠ACD的角平分线相交于O1点（如图①），求∠BO1C的度数；（2）在（1）的条件下，再画∠O1BC和∠O1CD的角平分线相交于O2点（如图②），求∠BO2C的度数；（3）若∠BAC=n°，按上述规律继续画下去，请直接写出∠BO2012C的度数．分析：由∠O1CD=∠O1+∠O1BC，∠ACD=∠ABC+∠A，而O1B、O1C分别平分∠ABC和∠ACD，得到∠ACD=2∠O1CD，∠ABC=2∠O1BC，于是有∠A=2∠O1，同理可得∠O1=2∠O2，即∠A=22∠O2，因此找出规律．解答：解：∵O1B、O1C分别平分∠ABC和∠ACD，∴∠ACD=2∠O1CD，∠ABC=2∠O1BC，而∠O1CD=∠O1+∠O1BC，∠ACD=∠ABC+∠A，∴∠A=2∠01=40°，∴∠O1=20°，同理可得∠O1=2∠O2，即∠A=22∠02=40°，∴∠O2=10°，∴∠A=2n∠A n，∴∠A n=n°×（）n．则∠BO2012C=0．29．（1）如图1，在锐角△ABC中，BD、CE分别是AC、AB边上的高线，BD与CE相交于点P，若已知∠A=50°，∠BPC的度数为多少；（2）如图2，在钝角△ABC中，BD、CE分别是AC、AB边上的高线，BD与EC的延长线相交于点P，若已知∠A=50°，则∠BPC的度数为多少；（3）在△ABC中，若∠A=α，请你探索AB、AC边上的高线（或延长线）相交所成的∠BPC的度数．（可以用含α的代数式表示）分析：（1）根据直角三角形两锐角互余求出∠ABD，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式进行计算即可得解；（2）根据直角三角形两锐角互余可得∠A+∠ACE=90°，∠BPC+∠PCD=90°，再根据∠ACE和∠PCD是对顶角解答即可；。
(完整版)等腰三角形三线合一专题练习[1]
![(完整版)等腰三角形三线合一专题练习[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/8aae49df844769eae109ed54.png)
等腰三角形三线合一专题训练1例1 如图，四边形ABCD中，AB // DC, BE、CE分别平分/ ABC、/ BCD，且点E在AD上。
求BC=AB+DC 。
变 1 如图，AB // CD，/ A = 90° AB = 2, BC = 3, CD = 1, E 是AD 边中点。
求证：CE丄BE。
变2：如图，四边形ABCD中，AD / BC, E是CD上一点，且AE、BE分别平分/ BAD、/ ABC.(1)求证：AE丄BE; (2)求证：E是CD的中点；(3)求证：AD+BC=AB.A n变3:\ ABC是等腰直角三角形，/ BAC=90 ,AB=AC.⑴若D为BC的中点，过D作DM丄DN分别交AB、AC 于M、N，求证：（1）DM = DN。
A⑵若DM丄DN分别和BA、AC延长线交于M、N。
问DM和DN有何数量关系。
|\/|⑴已知：如图，AB=AC , E为AB上一点，F是AC延长线上一点，且BE=CF , EF交BC于点D .求证：DE=DF .⑵已知：如图，AB=AC , E为AB上一点，F是AC延长线上一点，且，EF交BC于点D，且D为EF的中点. 求证：BE=CF .利用面积法证明线段之间的和差关系1、如图，在△ ABC中, AB=AC P为底边BC上的一点，PC L AB于D, PEL AC于E, ?CF丄AB于F,那么PD+PE与CF相等吗？变1若P点在直线BC上运动，其他条件不变，则PD、PE与CF的关系又怎样，请你作图，证明。
1、已知等腰三角形的两边长分别为4、9,则它的周长为（）A 17B 22C 17 或22D 13根据等腰三角形的性质寻求规律1 1例1.在△ ABC中，AB=AC /仁一 / ABC / 2= —/ ACB BD与CE相交于点0,如图，/ B0C勺大小2 2与/A的大小有什么关系？1 1若/ 1= / ABC / 2= / ACB则/ BOC WZ A大小关系如何？3 31 1若/ 1= / ABC / 2= / ACB则/ B0C与Z A大小关系如何?n n会用等腰三角形的判定和性质计算与证明例2.如图，等腰三角形ABC中，AB=AC —腰上的中线BD?各这个等腰三角形周长分成15和6两部分,利用等腰三角形的性质证线段相等例3.如图，P是等边三角形ABC内的一点，连结PA PB PC, ?以BP为边作/ PBQ=60，且BQ=BP 连结CQ （1）观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论.2）若PA PB: PC=3: 4: 5,连结PQ试判断△ PQC的形状，并说明理由.例1、等腰三角形底边长为5cm,腰上的中线把三角形周长分为差是3cm的两部分，则腰长为（）A、2cm B 、8cm C 、2cm 或8cm D 、不能确定例2、已知AD^^ ABC的高，AB=AC △ ABC周长为20cm,A ADC的周长为14cm,求AD的长。
等腰三角形三线合一练习题
等腰三角形三线合一练习题十一初中八班姓名：1、已知?ABC的周长为36cm，且AB?AC，又AD?BC，D 为垂足，?ABD的周长为30cm，那么AD的长为A．6cmB.cm C. 12cmD.0cm如图2，在△ABC中，AB=AC，∠BAD=30，AD=AE，则∠EDC= 0000A．10B.12.C.1D.20DC第3题图FDC第4题图第2题图3、如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，DE⊥AB 于E，DF⊥AC于F，则图中全等三角形共有A、对B、3对C、4对D、5对、如图，在等腰直角△ABC中，AD为斜边上的高，以D为端点任作两条互相垂直的射线与两腰相交于E、F，连结EF与AD相交于G，则∠AED与∠AGF的关系为 A．∠AED>∠AGF B．∠AED＝∠AGFC．∠AED 5、如图，在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，且BD=BE，∠A=84°，则∠DEC=6、如图，CE平分∠ACB，且CE⊥BD，DA=DB，又知AC=18，△CDB 的周长为28，那么BE的长为。
CC第5题图B第7题图 F C第6题图7、如图，在等腰△ABC中，∠ABC=90°，D为AC边上中点，过D点作DE⊥DF，交AB于E，交BC于F，若AE=4，FC=3，则△ABC的面积为、、如图，四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于E点，若AC平分∠DAB，且AB=AE，AC=AD，有如下四个结论：①AC⊥BD；②BC=DE；③∠DBC=1∠DAB；④△ABE是等边三角形．请写出正确结论的序号．19、已知：如图2，△ABC中，AB=AC，CE⊥AE于E，CE?证：∠ACE=∠B。
10、如图△ABC中，AB=AC D为AC上任意一点，延长BA到E 使得AE=AD 连接DE，求证DE⊥BCBC，E在△ABC外，求2EADBC11、已知：如图１，△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，Ｄ是ＢＣ上一点，Ｅ、Ｆ分别为ＡＢ、ＡＣ上的点，且ＢＤ＝ＣＦ，ＣＤ＝ＢＥ，Ｇ为ＥＦ的中点，求证：ＤＧ⊥ＥＦ． 12、如图，以△ABC的边AB，AC为边分别向形外作正方形ABDE和ACFG，DM、FN分别垂直直线BC于M、N.若DM=FN,求证：∠ABC=∠ACBEADGFMBCN三线合一专项练习一、选择题：1、已知?ABC的周长为36cm，且AB?AC，又AD?BC，D 为垂足，?ABD的周长为30cm，那么AD的长为A．6cmB.cm C. 12cmD.0cm2、如图2，在△ABC中，AB=AC，∠BAD=30，AD=AE，则∠EDC= A．10B.12.C.1D.20D第2题图C第3题图FDC第4题图3、如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，DE⊥AB 于E，DF⊥AC于F，则图中全等三角形共有A、对B、3对C、4对D、5对、如图，在等腰直角△ABC中，AD为斜边上的高，以D为端点任作两条互相垂直的射线与两腰相交于E、F，连结EF与AD相交于G，则∠AED与∠AGF的关系为 A．∠AED>∠AGF B．∠AED＝∠AGFC．∠AED 5、如图，在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，且BD=BE，∠A=84°，则∠DEC=6、如图，CE平分∠ACB，且CE⊥BD，DA=DB，又知AC=18，△CDB的周长为28，那么BE的长为。
等腰三角形性质_三线合一专题
等腰三角形性质：三线合一”专题等腰三角形有一个重要的性质：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。
这就是 著名的等腰三角形“三线台一”性质。
“三线合一”性质常用来证明两线垂直、两线段相等和两角相等。
反之， 如果三角形一边上的中线、 这边上的高、这边所对角的角平分线中有两条重合， 那么这个三角形就是等腰三角形。
【例题讲解】垂直平分 BC 。
AD 是△ABC ，DE 、DF 分别是△ ABD 和△ ACD 的高。
求证： AD 垂直平分EF 。
例二：如图△ ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝36°，BD 平分∠ ABC ， DE ⊥AB 于 E ，若 CD ＝4 ，且△ BDC 周长为24 ，求 AE 的长度。
例 1 ． 如图所示，在等腰△ ABC 中， AD 是 BC 边上的中线，点 求证：BE=CE 。
变式练习 1-1 如图，在△ ABC 中， AB=AC ，D 是形外一点，且 BD=CD 。
求证： AD变式练习 1-2 已知，如图所示，∴ Rt △ABD ≌Rt △ACE （HL ）。
∴∠ ACE= ∠B例五 . 已知：如图 3，等边三角形 ABC 中， M ，求证： M 是 BE 的中点。
图3分析：欲证 M 是 BE 的中点，已知 DM ⊥BC ，因此只需证 DB=DE ，即证∠ DBE= ∠E ，根据等边△ ABC ， BD 是中线，可知∠ DBC=30 °，因此只需证∠ E=30 °。
证明：联结 BD ， ∵△ ABC 是等边三角形， ∴∠ ABC= ∠ACB=60 ° ∵CD=CE ，∴∠ CDE= ∠E=30 ° ∵BD 是 AC 边上中线，∴BD 平分∠ ABC ，即∠ DBC=30 °例三 . 等腰三角形顶角为 ，一腰上的高与底边所夹的角是 的关系式为图1分析：如图 1， AB=AC ，BD ⊥ AC 于 D ，作底边 BC 上的高 AE为垂足，则可知∠ EAC= ∠ EAB1，2又∠ EAC 90 ∠C ，90° ∠C ，所以 ∠EAC例四 . 已知：如图2，△ ABC 中， AB=AC ， CE ⊥AE 于E ， CE BC ，E 在△ ABC 外，求证：∠ ACE= ∠B 。
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三角形的中线、角平分线练习题
一、选择题：
1、△ABC 中，∠A+∠B=120°，∠C=∠A，则△ABC 是( )
A 、钝角三角形
B 、等腰直角三角形
C 、直角三角形
D 、等边三角形
2、下列长度的三条线段能否组成三角形？为什么？
（1）3，4，8； （2）5，6，11； （3）5，6，10
3、 一个等腰三角形的两边长分别是2和5，则它的周长是（ ）
A 、7
B 、9
C 、12
D 、9或12
4、如果三角形的两边长分别是3和5，那么第三边长可能是（ ）
A 、1
B 、9
C 、3
D 、10
二、填空题：
5、有四根木条，长度分别是12cm 、10cm 、8cm 、4cm ，选其中三根组成三角形，能组成三角形的个数是_______个。
6、等腰三角形的一个角是70°，则它的顶角的度数是 。
7、在△ABC 中，∠B：∠C ＝7：5,且∠B 比∠C 大20°,则∠A＝ 。
8、在直角三角形ABC ∆中，C ∠＝900 ，=∠A 200，则=∠B
9、在△ABC 中， ∠A ＝40°，∠B ＝∠C ，则∠C ＝ 。
10、在等腰三角形中，已知顶角是500，则底角是
11、在等腰三角形中，有一个角是70度，则另外两个角是
12、若三角形的周长是60cm ，且三条边的比为3：4：5，则三边长分别为___________.
13、若△ABC 的三边长都是整数，周长为11，且有一边长为4，则这个三角形可能的最大边长是___________.
14、已知线段3cm,5cm,xcm,x 为偶数，以3，5，x 为边能组成______个三角形
15、用一条长为18cm 的细绳围成一个等腰三角形，如果腰长是底边的2倍，那么各边
的长是多少？
解：设底边长为xcm ，则腰长是 cm ，因为三角形的周长
为 cm ， 所以：
所以x= cm
答：三角形的三边分别
是 、 、 。
三、解答题：
1、等腰三角形周长为22，一边长为10，求另两边长。
2、已知∠B=45°，∠A=30°，∠C=25°，求∠ADC 的度数。
3、如图，AD 平分∠BAC ，其中∠B ＝50°，∠ADC ＝80°，求∠BAC 、∠C 的度数。
4、已知,如图所示，△ABC 中，BO 、CO 分别平分∠ABC、∠ACB，求证：∠BOC＝90°＋21∠A
5、在△ABC 中，AB=AC ，AC 边上的中线BD 把三角形的周长分为12cm 和15cm 两部分，求三角形各边的长．
6、如图AD 是△ABC 的角平分线，∠BAD=∠ADE，∠BDE=76°，求∠C 的度数．
7、如图，已知E 是BC 上一点，且∠1=∠2，∠3=∠4，且AB∥CD．试说明AE⊥DE．
B D
C C A
一.选择题。
1.下列各组数可以成为三角形的三边长度的是（）
A．1，2，3 B．a+1，a+2，a+3，其中a＞0
C．a，b，c，其中a+b＞c D．1，m，n，其中1＜m＜n
2.给出下列说法：①三条线段组成的图形叫三角形；②三角形的角平分线是射线；③三
角形的中线将三角形分成面积相等的两部分；○4三角形的三条角平分线交于一点，且这
点在三角形内．⑤三角形的内角中最多有一个钝角。
正确的说法有（）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题。
1.现有长度分别为2cm、4cm、6cm、8cm的木棒，从中任取三根，能组成三角形的个数
为 .
2.周长为13，边长为整数的等腰三角形共有个．
3.已知一等腰三角形两边为2，4，则它的周长． 4题图
4.如图，在△ABC中，AD、BF、CE相交于O点，则图中的三角形的个数是 .
5.已知△ABC的边长分别为a，b，c，化简|a+b-c|-|b-a-c|的结果是 .
6．用火柴棒搭三角形时，大家都知道，3根火柴棒只能搭成1种三角形，不妨记作它的
边长分别为1，1，1；4根火柴棒不能搭成三角形；5根火柴棒只能搭成一种三角形，其
边长分别为2，2，1；6根火柴棒只能搭成一种三角形，其边长分别为2，2，2；7根火柴
棒只能搭成2种三角形，其边长分别为3，3，1和3，2，2；…；那么20根火柴棒能搭成
三角形个数是
7.如图，若AB∥CD，EF与AB、CD分别相交于点E、F，且EP⊥EF，∠EFD的平分线与
EP相交于点P，∠BEP=40°，则∠EPF等于。
8.如图，三角形ABC是直角三角形，EG垂直于AC，EG等于3厘米，AB、BC、AC的长度
分别是30厘米，40厘米，50厘米，求正方形BDEF的面积为．
三、解答题
1.生活中到处都存在着数学知
识，只要同学们学会用数学的
眼光观察生活，就会有许多意
想不到的收获，如图两幅图都
是由同一副三角板拼凑得到
的：
（1）请你计算出图1中的∠ABC的度数．
（2）图2中AE∥BC，请你计算出∠AFD的度数．
2.已知：△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，
请根据题中所给的条件，解答下列问题：
（1）如图1，若∠BAD=60°，∠EAD=15°，求∠ACB的度数．
（2）通过以上的计算你发现∠EAD和∠ACB-∠B之间的关系应为：．
（3）在图2的△ABC中，∠ACB＞90°，那么（2）中的结论仍然成立吗？为什么？
7.学习数学应该积极地参加到现实的、探索的数学活动中去，努力地成为学习的主人．下面，请你探究：随着P点位置的变化，∠BPC与∠A的大小关系．（1）、（2）问用“＞”表示其关系，（3）、（4）、（5）用“=”表示其关系．
1如图（1），点P在AC上（不同于A、C两点），∠BPC与∠A的关系是，用一句话说出你判断的依据；
②如图（2），点P在△ABC内部，∠BPC与∠A的关系是；
③如图（3），点P是∠ABC、∠ACB平分线的交点，此时∠BPC与∠A的关系
是；
④如图（4），点P是∠ABC平分线和∠ACB外角平分线的交点，∠BPC与∠A的关系是；
⑤如图（5），点P是∠ABC与∠ACB两外角平分线的交点，∠BPC与∠A的关系
是；
⑥在上述五种情形中，选择其中一种情形给予说明理由．
⑦问题解决：如图（6），在△ABC中，∠C=90°，点P是∠ABC平分线和∠BAC外角平分线的交点，则∠P的度数为。