循环群子群讲解学习
第7讲_循环群
P204，26-28
2013-7-14
31
f1 H = {f1, f2} = f2 H = H f3 H = {f3, f6} = f6 H f4 H = {f4, f5} = f5 H
2013-7-14
6
比较
集合A={1,2,3}上所有的双射函数关于映射复合 构成群S3={f1, f2, f3, f4, f5, f6}，H={f1, f2}
2013-7-14 19
例10.14(1-3)
(1) <Z,+>整数加群,
1,-1都是生成元 除0外，每个元都是生成元
(2) <Zp,+p>模p整数加群
生成元不唯一
(3) <Zn,+n>模n整数加群
与n互素的元都是生成元
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20
Euler函数
Eulerφ函数φ(n)：当n＝1 时，φ(1)＝1； 当n>1时，它的值φ(n)等于比n小而与n 互素的正整数的个数。 考虑群(Zn*,×)， Zn* 是Zn中所有可逆元 组成的集合，则|Zn*|= φ (n)
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证明思路：
(1) 子群H 中最小正方幂元am 为H 的生成 元 (2) 若子群H=<am>有限，a≠e, 则推出 |a| 有 限. (3) H=<am>, |H|=|am|, (am)n=e. 从而 |am| 是n 的因子. (4) <an/d>是d 阶子群，然后证明唯一性.
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9
Lagrange定理推论
推论 (1) 群的元素的阶是群的阶的因子. 证明：构造子群 <a>，|<a>| = |a|. (2) 素数阶群一定是交换群（实际上是循环 群）. 证明：|G| = p, p>1, 存在非单位元a, |a| 的阶是p 的因子，只能是 |a| = p. 故 G=<a>.
循环群讲义——精选推荐
§7循环群本节将讨论一类结构简单又富有代表性的特殊群――循环群.(它是一类基本而又重要的群,数学的一些分支（数论、有限域论等）和它有密切的联系.)通过对循环群的学习,可初步了解抽象代数研究问题的基本方法和格式以及论文的写作方法.本节主要内容是循环群的三大问题:存在问题/数量问题/构造问题. 先看一个简单的例子：{} ,10,10,10,1,10,10,10,32123---=G 对数的乘法作成群.特点是每个元都是固定元10的方幂.一、循环群的概念1.定义 G 称为循环群⇔群G 的每个元都是G 中某个固定元．．．a 的方幂⎩⎨⎧倍数－－针对加法乘方－－针对乘法. 记为)(a G =，a 称为G 的生成元. 即 G a G ⇔=)(是群，且⎩⎨⎧==∈∃∈∀)()(.,,加法乘法ka x a x st Z k G x k .（注意:k 与x 有关！）【一般情况下，如果没有特别声明运算是乘法或是加法，就默认是乘法形式.】2.注意:(一般情况下)生成元不唯一.a 是生成元1-⇔a 是生成元.【理由：k k a a --=)(1】3.范例【解决了循环群的存在问题.同时，将得到结论：循环群在同构意义下只有这两种！】 ①整数加群),(+Z ，)1()1(-==Z .【1±是∞阶.00)1(=⇒=±n n 】问题:还有其他生成元?(无)【设1),(1)(1)(±=⇒∈==∈⇒=k Z k n nk k k Z 】*实际上可进一步证明：)()(a G a o =⇒∞=只有两个生成元1,-a a .【课外思考题】【设)(b G =，则有111,,)(-=⇒=⇒=⇒==∈∞=or s st aa b a a b Z t s a o st t s 】 ②模n 剩余类加群),(+n Z ，])1([=n Z .问题:还有其他生成元?(有)【])1([])1([-=-=n Z n 】*实际上可进一步证明：)()(a G n a o =⇒=的生成元为r a 当且仅当1),(=n r .【习题】【若1),(=n r ，则)()()()()()(1r u r v u r v n u r vn ur a a a e a a a a a vn ur =⇒====⇒=++. 反之，r a 是生成元，1),(1|)()()()(1=⇒-⇒=⇒=⇒===-n r rk n e a a a a a G na o rk k r r .】 ◎设p 为素数，则p 阶循环群)(a G =有1-p 个生成元：12,,,-p a a a .◎设p 为素数，则模p 剩余类加群p Z 的所有非零元都是生成元.二、循环群的种类1.结构定理 设循环群)(a G =同构于⎩⎨⎧=+∞=+n a o if Z a o if Z n)(),,()(),,(. 证明 注意体会生成元a 的阶在证明过程中的用处!(1)设∞=)(a o 【作用：0=⇔=k e a k 】此时，令k a Z G k →→,:ϕ，可证ϕ是同构映射.(证略)【ϕ是映射：若h k a a =，则h k h k e aa o h k =⇒=-⇒=∞=-0)(，说明对应元唯一. 易证ϕ是满射/单射. 再证ϕ的同态性:)()()()()()(,,y x a a h k axy a y a x G y x h k h k h k ϕϕϕϕϕϕϕ+=+=+==⇒==⇒∈∀+.】 (2)设n a o =)(【作用：k n e a k|⇔=】此时，令][,:k a Z G k n →→ϕ ϕ是映射：若h k a a =，则][][|)(h k h k n e a na o h k =⇒-⇒==-，说明对应元唯一. ϕ是单射：若][][h k =,则e e a a mn h k h k n m n a o m n h k ===⇒=-⇒-=-)()(|.ϕ是满射：][)(.,,][k a st G a Z k k k n =∈∃∈∀ϕ再证ϕ的同态性: )()()()(][][)()(,,y x a a h k a xy a y a x G y x h k h k h k ϕϕϕϕϕϕϕ+=+=+==⇒==⇒∈∀+.例1:循环群)(a G =的阶为⇔n 生成元a 的阶为n .【常用结论】证法 同构必同阶.若n a o =)(，则n Z G Z a n n ==⇒≅)(.反之，设n G =，若n a o ≠)(，则 ①∞=)(a o ,则∞==⇒≅Z G Z a )(矛盾；②n k a o ≠=)(,则n k Z G Z a k k ≠==⇒≅)(也矛盾. 循环群的结构定理说明了什么？【凡是无限循环群都彼此同构；有限循环群中，同阶则同构、不同阶则不同构.】例2:n 次单位根群{}1|=∈=n n x C x U 与n Z 同构.证法1 利用结构定理. )1,,1,0(2sin 2cos 12-=+==⇔=n k n k i n k ex x i n k k n πππ )()(222i n n k i n i n k e U e e πππ=⇒=是循环群,且生成元i n e π2的阶为n ,所以n i n n Z e U ≅=)(2π.证法2 直接建立同构映射. 令][:2k e i n k →πϕ,可证ϕ是同构映射.2.意义：从同构观点看，循环群只有两类――整数加群与模n 剩余类加群.【解决了循环群的数量问题】最后，讨论循环群的构造问题.这个问题从结构定理的证明过程就可得到.三、循环群的构造[构造定理] 设循环群)(a G =，则有{}Z k a a G a o k ∈==⇒∞=|)()(；{}1,,2,1,0|)()(-===⇒=n k a a G n a o k .证明 由结构定理的证明过程即得.另证：直接证明两个集合互相包含.【由运算封闭性，右集⊆左集；反之，m a x a G x =⇒=∈∀)(.若)()(Z k a a o k ∈⇒∞=彼此互异， 此时∈=m a x 右集1；若n a o =)(，设)0(n r r kn m <≤+=，则∈==r r kn m a a a a 右集2】至此，循环群所要研究的三大问题:存在问题/数量问题/构造问题圆满得到解决.好比线性方程组解的讨论包括判定、数量、结构三大问题.当然，还可进一步把循环群和其他概念相结合，研究新的性质.比如在今后学习中可以得到：循环群是交换群；循环群的子群还是循环群；循环群的同态像还是循环群等等.四、课后思考题n or a o ∞=)(时，循环群)(a G =的生成元有哪几个？在结构定理证明中a 的阶用途是什么？◎3S 是不是循环群？◎),(+Q 不是循环群.【设)(a Q =,则210)12()(220=⇒=-⇒∈=⇒∈⇒∈≠n a n Z n na a Q a Q a a 】 ◎循环群是交换群(习题)；但交换群未必是循环群.比如:{}1|=∈=n n x C x A 是循环群， ∞==1n n AU 是交换群但不是循环群. ◎循环群是少数研究清楚的群.此外,有限单群也是.【单群】没有非平凡不变子群的群.有限单群的完全分类，即找出有限单群所有的同构类，经全世界上百名的数学家约40年的共同努力，终于在1981年得到解决，这是数学史上的又一个非凡成就.有限单群分类的整个论证用了5000页以上的篇幅，散布在超过300篇文章之中,引用了很多新的群论概念和证明了大量的定理.《简爱》是一本具有多年历史的文学着作。
Ch 17.2-3 子群与循环群
17.2 子群
子群定义 子群判别定理 重要子群的实例
生成子群 中心 正规化子 共轭子群 子群的交
子群格
第三编 代数结构
1
子群定义
为群, 关于G 定义 设G为群 H是G 的非空子集，若H 关于 中运 为群 是 的非空子集， 算构成群，则称 子群，记作H≤G. 算构成群，则称H 为G 的子群，记作 如果子群H 的真子集，则称为真子群 记作H<G. 真子群， 如果子群 是G 的真子集，则称为真子群，记作
第三编 代数结构
19
证明
的子群， 证 (1) 设H 是G=<a>的子群，不妨设 的子群 不妨设H≠{e}. 中最小正方幂元a 取H 中最小正方幂元 m ,<am>⊆H. ⊆ 对于任意整数i, 对于任意整数 i = lm+r, r∈{0,1,…,m−1} ∈ ai∈H ⇒ ar=ai(am)−l∈H ⇒ r=0 ⇒ ai∈<am> H⊆<am> ⊆ (2) 设H 为G 的子群，若H≠{e}, 必有 的子群， 必有H=<am>, am 为H 中最小正方幂元 中最小正方幂元. 假设 |H| =t, 则 (am)t = e ⇒ amt = e,与a 为无限阶元矛盾 与 为无限阶元矛盾.
第三编 代数结构
13
符号(n,r)与[n,r]
(n,r) 定义：n 与r 的最大公约数 性质：∃u,v∈Z (un+rv = (n,r)) ∃ (n,r)=1, n 与r 互质（互素） ⇔∃ ∃u,v∈Z (un+rv=1) [n,r] 定义：n 与r 的最小公倍数
14-循环群
循环群的直积
注意：sm=e1, tn=e2,
Cm×Cn≅Cmn当且仅当m,n互质。其中Ck表示k阶循环群。 ≅
–
若m,n互质，要证明Cm×Cn≅Cmn只需证明Cm×Cn是循环群。这只 ≅ 需证明Cm×Cn含有阶为mn的元素。 (a,b)mn = e, 其中a,b分别是Cm和Cn的生成元素。 若(a,b)k = e, k必是m,n的公倍数，如果k<mn, 则m,n有公约数 mn/k>1, 这与m,n互质矛盾。 所以: (a,b)的阶是mn。 若Cm×Cn≅Cmn，则Cm×Cn是循环群，设其生成元是(s,t), 则(s,t)的 阶是mn, 若gcd(m,n)=k>1, 则(s,t)mn/k =e, 这与(s,t)的阶是mn矛盾。
–
⇒ 令 k = mr+i (m, i均为正整数，且0 ≤ i ≤ r-1), 则a mr+i = (ar)m*ai = ai = e 因为i<r, i只能是0, 即k = mr ⇐ 令k = mr，则ak = a mr = (ar)m = em = e
–
任何元素与其逆元素有相同的阶
–
设|a|=r, (a-1)r=(ar)-1=e, 因此|a-1||r 。令| a-1|=t, at=((a-1)-1)t = ((a-1)t)-1 = e，因此r|t, 即r|| a-1|, 所以| a-1|=r
循环群与生成元素
定义
–
– –
设G是群，若存在a∈G，使得G={ak|k∈Z}, 则G称为循 环群。 记法：<a>。 a 称为 生成元。
循环群的阶与生成元素的阶
有限(n阶)循环群：
– –
第8节循环群
G|=6, |b|=6, 所以 b 为生 成元. G=(b)为循环群. |f |=6, 因 而 f 也是生成元 |c|=3, |d|=2, |e|=3, 因此 c,d, e不 是生成元. 子群：(a)={a}, (c)={c, e, a}, (d)={d, a}, G .
(n)称为欧拉函数：小于或等于n且与n互质的正整
数的个数. 例如 n=12，小于或等于12且与12互质的正整数有 4个： 1, 5, 7, 11，所以(12)=4.
7
近世代数
证明
证 (1) 显然(a1)G. ak∈G， ak=(a1)k (a1)， 因此G(a1)，a1是G的生成元. 再证明G只有a和a1这两个生成元. 假设 b 也是G 的生成元， 则 G=(b). 由a∈G 可知存在整数 t 使得a = bt. 由b∈G = (a) 知存在整数 m 使得 b = am. 从而得到 a = bt = (am)t = amt 由G中的消去律得 amt1 = e 因为G是无限群，必有mt1 = 0. 从而证明了m = t = 1或 m = t = 1，即 b = a 或 b = a1.
2
近世代数
循环群的实例
例1 整数加法群(Z,+)是循环群，(1)=Z. 例2 模n同余类加群(Zn, ⊕)是循环群，([1])=Zn ，其中 [p]⊕[q]=[p+q]
3
近世代数
循环群的结构
循环群的结构：n 阶循环群和无限循环群. 设G=(a)是循环群， (1)若a是n 阶元，则 G = { a0=e, a1, a2, … , an1 } 那么|G| = n，称 G 为 n 阶循环群. (2)若a 是无限阶元，则 G = { a0=e, a±1, a±2, … } 称 G 为无限循环群.
例：循环群的每个子群一定是循环群。证明：设H是循环群G
三、拉格朗日定理
▪ 定理:G是群,H是G的子群,则H在G中的左 陪集数与右陪集数相等.
证明：设S和T分别为G的关于H的所有右和左陪 集的集合。现在要证明的是|S|=|T|。考虑证明 存在S→T的双射。
定义: S→T, (Ha)=a-1H。 (1) 是映射。关键是说明当Ha=Hb时,
(Ha)=a-1H，(Hb)=b-1H，有 a-1H=b-1H ( 2 ) 是 一 对 一 的 。 对 任 意 的 Ha,Hb, 若
▪
对称
▪
传递
▪ [a]={x|xG,且xa(mod H)} ={x|xG,且xa-1H}
={ha|hH} ▪ 以a为代表元的等价类实质上是a从右边
乘H中的每个元素而得到的集合，
▪ Ha ▪ Ha={ha|hH}，称为H在[G;]中的右陪
集。
▪ 设[H;]是H (2)baH当且仅当a-1bH
▪ 定 义 ： 设 [ H;] 是 群 [ G;] 的 子 群 ， 对 任 意
a,bG，a和b关于模H同余当且仅当ab-1H
记为ab(mod H)。
▪ 定理14.15:[G;]为群,HG,H为G的子群, 当且仅当,对任 a,bH,有ab-1H。
▪ 定理：G上的关于模H同余关系是等价关系。
▪ 证明:自反
▪ 定义14.13：设[H;]为群[G;]的子群, 取G 中一个固定元素g,用g与H中的每个元素进 行乘法运算, 将其结果组成一个集合, 记为
gH,即:gH={gh|hH}称它为H的左陪集,同 理定义Hg={hg|hH}为H的右陪集。
G Ha aH
aG
aG
▪ 例：[E;+]是群[Z;+]的子群，求它的所有 右陪集。这里E表示偶数全体。
第三章_循环群_群的结构
这m个剩余类称为模m剩余类．记为Zm
第三章 循环群、群的结构
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剩余类群
设 i 和 j 是两个模m的剩余类，定义剩余类的加法 如下：
i j i j
24 6
如Z8的两个剩余类 2 和 4
第三章 循环群、群的结构
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e
8
第三章 循环群、群的结构
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Z={0, ±1, ±2,….}关于加法构成群，单位元 为0. 元素1的k倍。
第三章 循环群、群的结构
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存在群不能由一个元素生成； 存在由一个元素生成的有限群； 存在由一个元素生成的无限群。
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思考题
当n = pq，p，q是两个素数，求(n)？
第三章 循环群、群的结构
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循环群与其子群
定理3 1）循环群的子群是循环群，它或者 仅由单位元构成，或者由子群中具有最小 正指数的元素生成，即生成元为具有最小 正指数的元素； 2）无限循环群的子群除{e}外都是无限循环群； 3）有限n阶循环群的子群的阶是n的正因子， 且对n的每一个正因子q，有且仅有一个q阶 子群．
第三章 循环群、群的结构
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注意:
在证明元素a的阶为k的过程中分2步： 1) ak = e(单位); 2) 任意 i 满足ai = e，则 k | i.
第10讲 第2章第7节 循环群
因此
G {, a , a , a , a, a ,}
2
1
0
2
例1：G={1,i,-1,-i}对于数的乘法是一个4阶循 环群。
i是其一个生成元。
1 i 1 i
0 2
ii i i
1
3
例2
整数加群Z
1 Z ,
m 1 1 1 m 1 m m (1) (1) (1) m （ 1） ( m)1，
m
(无限阶循环群)
0 01
例3
模n的剩余类加群 Zn {[0],[1],[2],,[n 1]} i (n阶循环群) 1 i n 1, [i ] [1] [1] [1] i [1]
n [0] [n] [1] [1] [1] n [1]
即整数加群；n阶循环群只有一个，即模n的剩余
类加群。 （2）任意阶有限循环群均存在。 两个有限循环群同构充要条件是它们的阶相同。
▲循环群一定是交换群.
设G (a), 则x, y G, h, k , 使得 xa ,ya
h k
xy a a a a a a yx
h k hk kh k h
思考:以下三个群有什么特殊的共性？ 整数加群Z 模m的剩余类加群 Zm {[0],[1],[2],,[m 1]}
G={1,i,-1,-i}对于数的乘法作成的群
注：群中所有元都能由一个元表示，具体表示形式由运算 决定。
一、存在性
定义： 若群G中每个元都能表示成某个固定元 a的方幂，就称群G为循环群, 也称群G为 由元a生成的群，记为G=(a)= a ,称a是 G的一个生成元.
密码学基础群 循环群,生成元 ppt课件
19岁时,他解决了一个让一些著名数学家烦脑 了数百年的难题.
他证明了虽然一元二次、三次甚至四次方程都 有求根公式, 但是对于一般的五次方程却不存 在这样的求根公式.
他对于五次方程求解问题的解决为近世代数的 创立做出了基础性的工作.
密码学基础群 循环群,生成元
例: 整数加群(Z,+); 有理数加群(Q,+); 实数加群(R,+); 复 数加群(C,+).
令Q*=Q-{0}, (Q*, ×)是群; Q+={q∈Q| q>0}, (Q+, ×)是群.
密码学基础群 循环群,生成元
5
群的概念
例1 设G={1, -1, i, -i}, 则(G, ×) 是一个有限交 换群.
密码学基础群 循环群,生成元
21
如果G是一个n阶循环群, 且元素a∈G 的阶 = 群G的阶, 则a是G的一个生成元.
例8 设m∈Z+, Zm={0,1,…, m-1}, 则(Zm, ⊕) 是m阶循环群.1是一个生成元.
密码学基础群 循环群,生成元
22
特别地: 取m=6, Z6={0,1,2,3,4,5}的生成元有: 1, 5.
1
2
3
4
6
3
2
3
密码学基础群 循环群,生成元
5 6
20
设G是一个群, 如果存在a∈G, 使得 G={a1, a2,…}=<a>, 则称G是一个循环群(cyclic group), 并称a是
的一个生成元(generator). 如果G是一个n阶循环群, 则
G={a1, a2,…,an}=<a>. 提示:计算时请从a1开始
离散数学 ch6-2.4、2.5循环群和子群
2. 陪集性质 1)定理.4 （H,）是群（G,）的子群,任何 a,b∈G,有 ⑴ aH=bH 或者 aH∩bH=Φ ⑵ Ha=Hb 或者 Ha∩Hb=Φ 2)定理 5 .设（G,）是有限群，（H,）是群 （G,） 的子群，任何a,b∈G，则 ⑴ bH中任何两个元素都不相同。 ⑵ abH，则 aH∩bH=Φ。 定理6 . (H,）是群（G,）的子群，任何 a∈G，a必属于且仅属于一个陪集。
【证】显然 I={…-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...} ，是半群且它有单位 元为0，任意一个元素a皆有逆元 –a，所以（I,+） 是群。生成 元为1，对于任意一个正整数m皆有m＝1m , 0＝10 ,负整数－m 皆有 m＝1-m , 所以 I={… 1-3,1-2,1-1, 10,11 ,12,13 ...} 是循环群 例3.证明:（Nm，+m ）是个群，且是循环群。 【证】:显然（Nm，+m ）是半群，有单位元 [0]，任意一个元 素[i] 皆有逆元[m-i]。又[1]为生成元，任意一个元素[i]可由[1] 生成：因为[i]＝ [1]i 。所以它是循环群，且称之周期为m 。 3.循环周期: 设（G,）是个以g为生成元的循环群，如果存在使得 gm=e 的最小正整数m， 则称m是g的周期（阶），也叫该循环群的循 环周期 。如果不存在最小正整数m, 使 gm=e (则称g的阶是无限 的)，则称该循环群的循环周期是无限的。 例4（N4,+4 ） N4 ={0,1,2,3}={14,1,12,13} ， 14 =0 循环周期是4. 例5（I,+）是周期为无限的循环群.
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例5 设G={0, 1, 2}是由x3=1的三个复根组成的集合，而
G中的代数运算“○”是通常的乘法，那么< G , ○ >必为一 个乘法群。习惯上记为G3，叫做3次单位根群。这里
01,11 23,21 23.
（∵r<n）； r=0m=ngn|m.
性质3 设aG且|a|=n,那么n|m a m=e. 证明 “”正是性质2.
“”nmmng a m a n ga ng e g e .
性质4 设群G中元素a的阶是m,则|ak|=m/(m,k),其中k为任 意整数．
证明 首先，设(k,m)=d，且m=dm1,k=dk1,(m1,k1)=1, 则由于|a|=m,就有
（2）阶的计算方法 按照定义寻找使成立的最小正整数。 例1 乘法群Z5*= {[1], [2], [3], [4]}中，[1]是单位元，显然
|[1]|=1，而[2]12=[2]8=[2]4=[1]，|[2]|=4,同理知 |[3]|=4,|[4]|=2。 例2 加法群<Z5 ,+ >= {[0], [1], [2], [3], [4]}中，[0]是单位元，
证明 由于a m=e ，这本身说明|a|<+∞，令|a|=k， 若k > m，则与元素的阶的定义矛盾，故知k m 。 性质2 设aG, 且若存在mZ+使a m=e |a|=n <+∞, 且
n|m(但不能保证n=m)。 证明 由整数的带余除法知,g,rZ使m=ng+r, r=0或者
0<r<n. 如果r≠0,那么e=a m=ang+r=angar=(an)gar=(e)gar=ar矛盾
( a k ) m 1 a k m 1 a d k 1 m 1 a m k 1 ( a m ) k 1 e
,即 (ak )m1 e
其次,设(ak)n=e,则akn=e.于是由性质1,m|kn，从而m1|k1n, 但(m1,k1)=1,故m1|n,因此, ak的阶是m1,所以|ak|= m1=m/(k,m).
证 事实上
（1） i,j G ,(i j) 3 i3j3 1 1 1 i j G .
（2）结合律显然成立（因为复数集C中满足结合律）.
（3）0=1是G中的单位元.
（4）0的逆元是0，1与2互为逆元.
所以< G , ○ >为一个乘法群。不仅如此，我们还知：
0 1,1 2 3。
但|b|=n,则n|sm. 又因为(m,n)=1,所以n|s. 同理可得m|s,再根据(m,n)=1,故mn|s,从而|ab|=mn. 说明 值得注意的是:当元素a与b不满足定理中的假设条件 时,其乘积的阶会出现各种各样的情况,将无法根据a,b的阶 来作出判断。
第十一讲 循环群、子群
课时安排 约2课时 教学内容
例6 在非零有理数乘群Q*中，1的阶是1，-l的阶是2，其 余元素的阶均无限．
例7 在4次单位根群G={1, -1, i, -i}中,1的阶是l，-l的阶是2， i与-i的阶都是4．
2．群中元素的阶的性质
性质1 设G是群，那么aG，若存在mZ+，使a m=e |a| m（可知a的阶是有限的）。
说明 若有[m,n]的约数h,使[m,n]=hk，则可得 |ck|=h，于是结论（3）又可以改为： 对[m,n]的任一正因数h,G中有阶是h的元素。
性质9 群的元a素和m 它 的x 逆G元 x m 有. 相同的阶. 证明 设群G的元素a与a-1的阶分别为m,n，
由于a m=e，于是 (a-1)m= (am)-1 =e-1=e， 由性质l，n|m，而
1．循环群的思想，理想在循环群结构中的主要的结果 （i）数量总数，(ii)构造问题，（iii）循环群的生成元；
2．子群包括的三层意思、子群的判定方法和构造群的 子群的方法；
3．循环群的阶与生成元的阶的关系； 4．两类循环群的本质区别及各自的同构象； 5．循环群中元素之间的联系和性质； 6．子群的构成判断和彼此等价的判断条件； 7．有限群的判断定理； 8．子群（集）的乘积和生成子群的概念； 9．循环群的子群所具有的特性。
an=[(a-1)-1]n= [(a-1) n]-1 =e-1=e， 于是m|n，因此，m=n。
性质10 设群G中元素a的阶是m，b的阶是n,则当ab=ba且 (m,n)=1时,|ab|=m。
证明 首先，由于|a|=m,|b|=n,ab=ba,则 (ab)mn=(am)n(bn)m=e;
其次,若有正整数s使得(ab)s=e,则 (ab) sm=(am)sbsm=bsm=e,
循环群子群
二、群中元素的阶
前面已介绍了群的阶：|G|=G中所含元素的个数。下面利 用单位元e，引入另一个新概念。
1．阶的定义与计算 （1）定义 设G为群，而aG. 如果有整数k，使ak=e，那么使这个等
式成立的最小正整数m叫做G的阶，记为|a|=m.如果这样的 m不存在，则称a的阶是无限的，记为|a|=+∞。
教学重点
1．G=<2．子群定义，利用子群定义证明有关的问题，群的一 个非空集组成子群的充要条件；
3．循环群的结构定理、循环群的子群的性质；子群之 积的性质。
教学难点
1． G=(a)的构选问题，利用G=(a)的定义证明<i>若a 为无限阶的，则（a）≌{Z,+}；<ii>若a的阶为n，则 （a）≌{Zn，+}；
[ 0 ] 1 ,[ 1 ] 5 ,[ 2 ] 5 ,[ 3 ] 5 ,[ 4 ] 5
例3 加法群<Z,+ >中，0是单位元。|0|=1，而其它元素
a,|a|=+∞。 例4 乘法群< R* , >中，1是单位元，|1|=1,|-1|=2，而其
它元素的阶都是无限。
说明 加法群<G,+ >中，元素的阶的定义自然需做相应的 变化：
2．作成子群的充分必要条件的证明过程，子群的判定 方法；
3．循环群的生成元个数（谁有资格作为生成元）和循 环群的子群的性质和子群的生成元问题。