7-6 玻耳兹曼能量分布律
Boltzmann 分布定律及适用条件
3
虽根据定域子系统导得，但对于离域子系统，同样能够得到这个关系式。 式(33-28)表明，粒子占据 j 能级的概率不仅与该能级的简并度成正比，而且也与它的
( ) Boltzmann 因子 exp − ε j / kT 成正比。后者意即能级的能量 ε j 愈高，粒子占据的概率愈小，
而且是呈指数降低。至于式中子的配分函数 q 是一个表征粒子在能级中分布特征的函数，它
h2 2π mkT
⎟⎟⎠⎞3 /
2
<< 1
(33-34)
式(33-33)便必能满足。据此，不难看出，要满足式(33-34)，温度不能太低、气体的密度不 能太高、子的质量不能太小。这是因为只有在温度不太低时，才能保证在能级间隔不变的条 件下使子向高能级散布；气体密度不能太高和子的质量不能太小是为了使离域子的能级间隔
此外，Boltzmann 分布定律是用 Lagrange 未定乘数法导得，这是一个求解条件极值的方 法，式(33-2)和式(33-3)就是约束条件。特别是式(33-3)，表示系统的能量等于子的能量之和， 这就是说，子与子之间没有作用势能，因为微粒间的作用势能是不属于一个子所有，故这个 定律仅适用于独立子或近独立子系统，而不能应用于微粒间存在作用势能的相倚子系统。
⎜⎛ ∂S ⎟⎞ = 1 ⎝ ∂E ⎠N ,V T
(33-26)
所以，
β =− 1 kT
现将式(33-23)和(33-27)代入式(33-21)，便得
(33-27)
∑ N j =
N
g je−ε j / kT g je−ε j / kT
= g je−ε j / kT q
j
(33-28)
∑ 这就是 Boltzmann 分布定律，式中 q = g je−ε j / kT 称为子的配分函数。应该指出，式(33-25)
玻尔兹曼分布律重力场中粒子按高度分布
玻尔兹曼分布律在物理学中的应用
气体分子运动论
01
玻尔兹曼分布律是气体分子运动论的基础，可以用来描述气体
分子在平衡态下的速度分布和能量分布。
热力学
02
玻尔兹曼分布律在热力学中也有广泛应用，如热力学第二定律、
熵的概念等都涉及到玻尔兹曼分布律。
固体物理
03
在固体物理中，玻尔兹曼分布律可以用来描述电子在金属中的
05 结论与展望
研究结论
玻尔兹曼分布律在重力场中粒 子按高度分布的研究表明，在 一定条件下，粒子分布符合玻
尔兹曼分布。
随着高度的增加，粒子分布 逐渐稀疏，但仍保持玻尔兹
曼分布特征。
重力场对粒子分布的影响表现 为在低处粒子聚集，高处粒子 较少，这与玻尔兹曼分布的特
性相符合。
研究限制与不足
01
本研究仅限于理论分析和模拟，未能进行实际实验验证。
能量状态
根据能量守恒，可以得出 粒子在重力场中的能量状 态由动能和势能共同决定。
能量变化
在重力场中，粒子的能量 会发生变化，主要表现在 动能和势能之间的转换。
03 玻尔兹曼分布律与重力场 的结合
玻尔兹曼分布律在重力场中的适用性
玻尔兹曼分布律适用于粒子在平衡态 下的分布情况，当粒子受到重力作用 时，其分布情况同样适用玻尔兹曼分 布律。
玻尔兹曼分布律重力 场中粒子按高度分布
目录
CONTENTS
• 玻尔兹曼分布律的概述 • 重力场中粒子的运动规律 • 玻尔兹曼分布律与重力场的结合 • 实验验证与结果分析 • 结论与展望
01 玻尔兹曼分布律的概述
定义与特性
定义
玻尔兹曼分布律是描述粒子在平衡态下按能量分布的规律，其数学表达式为f(E) = exp(-E/kT)，其中E为粒子能量，k为玻尔兹曼常数，T为绝对温度。
波尔兹曼分布律的推导
波尔兹曼分布律的推导一、波尔兹曼分布律的推导波尔兹曼分布律阐明众多独立粒子在各不同能级分布的规律。
按假设，只有总分子数N和总能U分别为恒定体系的那些分布方式（观状态）才能存在，即体系必需满足：粒子数守(7-1)恒和能量守恒(7-2)根据等概率原理：能量相同的可区别的量子态其出现概率相等。
能满足式(7-1)和(7-2)的分布形式不只一种。
根据排列组合公式：实现n1个分子处于ε1，n2分，……，n i个分子处于εi等非简并能级这一种定域子体系(D)分布方子处于ε2式的热力学概率（微观状态数）W D可表示为：(7-5)而系统的总热力学概率（总微观状态数）Ω为各种可能的分布（分配）形式热力学概率的总和：(7-3a)由7.2节〔例1〕可知，分布方式Ⅱ的热力学概率为最大几率分布函数。
如图7-1所示。
其中最高峰处相当于最概然值。
通常所遇到的体系，分子数目众多，曲线高峰收缩在一极窄范围内，在这种情况下，最概然值接近于W的平均值，故可以最概然值表示W的平均值。
而统计热力学研究系统的平衡性质，点是引用最概然分布的结果这就是摘取最大项法的根据。
为摘取最大项，考虑到 ln W D随W D单调增长，ln W D极大处也是W D的极大，故对式(7-5)取对数：(7-5a) 在 ln W D极大处δln W D =0 又N! 为常数，故(7-5b) 因n i数值很大，应用史特林(Stirling)公式：(7-6)(7-7)式(7-7)为摘取最大项的限制条件，结合式(7-1)、(7-2)等，共有三个涉及变量N i 的限制条件：(7-8)(7-9)(7-7)为求极值，可用拉格朗日(Lagrange)待定系数法（﹡附录），将式(7-8)乘以任意常数α，式(7-9)乘以任意常数β，然后与式(7-7)相加：或(7-10)上式加和遍及各能级，即i=1,2,……,i-1，i。
由于存在着两个附加条件(7-8)和(7-9)，i个N i中仅有i -2 个是独立的。
玻尔兹曼能量分布
m0
2π kT
⎟⎟⎠⎞3
2 −εk +ε p
e kT
dv x dv y dv z dxdydz
玻尔兹曼能量分布
dN
=
n0 ⎜⎜⎝⎛
m0
2π kT
⎟⎟⎠⎞3
2 −εk +ε p
e kT
dv x dv y dv z dxdydz
能量较大的分子数较小 能量较小的分子数较大
分子总是优先占据低能量状态
由麦克斯韦速率分布的归一化条件:
动能与速度有关，势能与位置有关.
系统处于平衡态时, 坐标、速度介于
空间区域: x → x + dx , y → y + dy , z → z + dz
速度区间: vx → vx + dvx , vy → vy + dvy , vz → vz + dvz
玻耳兹曼能量分布律:
内的分子数为
dN
=
n0 ⎜⎜⎝⎛
解得
dp = γ p dT γ −1T
因为
− m0 gz
p = p0e kT所以d Nhomakorabeap
=
−
p kT
m0 gdz
dT = − γ −1 m0g = − γ −1 Mg
dz γ k
γR
玻尔兹曼能量分布
空气分子平均摩尔质量: M = 29×10-3 kg. mol-1;
比热容比 : γ = 1.4
dT = −9.8 ×10−3 K ⋅ m −1 dz
大学物理
气体动理论
第4讲 玻尔兹曼能量分布
一、玻耳兹曼能量分布
奥地利物理学家玻耳兹 曼(Boltzmann,1844 — 1906), 在麦克斯韦速率分布的基础 上考虑到外力场对气体分子 分布的影响,建立了气体分子 按能量的分布规律.
玻尔兹曼分布律
分布函数的概念有着普遍的意义，在速度空间有 麦克斯韦速度分布函数。
6
*力学量的平均值
x
xdN
N
xf ( x)dx
g( x)
g( x)dN
N
g( x) f ( x)dx
7
4.2 玻尔兹曼分子数密度分布
重力场中粒子按高度的分布（ P ）mgh
热运动使分子趋于均匀分布而重力使之位于低处。 在重力加速度可以认为不变的范围,取地面为势能 零点.分布在高度为h的地方单位体积内的分子数?
上式右方仅与速率有关.与速度方向无关.具有各向同性的特点.
分布在任一速率v ~ v +dv区间的体积是
4v2 dv 17
结论：在平衡态下，当气体分子间的相互作用 可以忽略时，分布在任一速率区间v ~ v +dv 的 分子数占总分子数的比率为
dN v (
m
3
) 2 e mv2 2kT 4v2 dv
§4 玻尔兹曼分布律
4.1 统计分布律与分布函数的概念 • 分布函数
4.2 玻尔兹曼分子数密度分布 • 等温大气压强公式（高度计原理）
• 玻尔兹曼密度分布律
• 玻尔兹曼分子按能量分布律
§5 麦克斯韦速度分布律
5.1 麦克斯韦速度分布律
5.2 麦克斯韦速率分布律
平均速率 v和方均根速率 v2, 最可几速率vp
3
• 分布函数 以伽尔顿板实验为例说明。
设一定量的分子总数为N
dN(x) 表示分布在某区间 x~ x +d x 内的分子数， dN (x) /N表示分布在此区间内的分子数占总分子数 的比率（或百分比）。
dN(x)/N 是 x 的函数，在不同区间附近取相等的 间隔，此比率一般不相等。
2020-2021学年高二物理竞赛玻耳兹曼分布律课件
v0
3 vdN
0 v0
v0 3
0
N
6
v
3 0
v 2 (v0
v)dv
3v0
7N 27
14
3 dN 0
讨论：速率介于v1~v2之间的气体分子的平均速率 的计算
v v1~v2
v2 vf (v)dv
v1
v2 f (v)dv
v1
v v1~v2
v2 vf (v)dv
v1
对于v的某个函数g(v)，一般地，其平均值可以表示为
气体分子 平均速率
矛盾
RT v 1.60
M mol
氮气分子在270C时的 平均速率为476m.s-1.
气体分子热运动平均速率高，
但气体扩散过程进行得相当慢。
克劳修斯指出：气体分子的速度 虽然很大，但前进中要与其他分 子作频繁的碰撞，每碰一次，分 子运动方向就发生改变，所走的 路程非常曲折。
在相同的t时间内，分子由A到
一切分子都在运动
Z d 2vn
Z 2d 2vn
平均自由程
一秒钟内分子A经过路程为 v
一秒钟内A与其它分子发生碰撞的平均次数 Z
平均自由程 v 1
Z
2d 2n
与分子的有效直径的平方和分子数密度成反比
p nkT
kT 2d 2 p
当温度恒定时,平均自由程与气体压强成反比
在标准状态下，几种气体分子的平均自由程
由归一化条件
f (v)dv 1
0
v0
0
Av(v0
v)dv
A 6
v03
1
A
6 v03
o
v
v0
(2)最概然速率由 df (v) 0 决定，即
玻尔兹曼能量分布定律
玻尔兹曼能量分布定律玻尔兹曼能量分布定律是描述物体在不同温度下能量分布的一种定律。
根据这个定律，物体的能量分布与其温度有关，温度越高，能量分布越广，峰值越低；温度越低，能量分布越窄，峰值越高。
玻尔兹曼能量分布定律是热力学的基本原理之一，它可以解释许多与能量分布有关的现象。
在自然界中，物体的能量分布是非常普遍的，无论是热力学系统中的粒子分布，还是宏观物体的能量分布，都可以用玻尔兹曼能量分布定律来描述。
玻尔兹曼能量分布定律的形式是一个指数函数，其中包含了玻尔兹曼常数和温度两个参数。
根据这个定律，物体的能量分布可以通过温度来确定，温度越高，能量分布越广，物体的能量分布趋于均匀；温度越低，能量分布越窄，物体的能量分布趋于集中。
玻尔兹曼能量分布定律的应用非常广泛。
在热力学系统中，通过对物体的能量分布进行分析，可以得到系统的热力学性质，如熵、内能等。
在材料科学中，通过对材料的能量分布进行研究，可以了解材料的热导性、电导性等性质。
在天体物理学中，玻尔兹曼能量分布定律可以解释星体的辐射特性，如黑体辐射等。
除了在科学研究中的应用，玻尔兹曼能量分布定律还有许多实际的应用。
例如，在工程中，通过对能量分布的分析，可以确定材料的热传导性能，从而优化材料的设计。
在能源领域，通过对能量分布的研究，可以改进能源的利用效率，提高能源的利用率。
玻尔兹曼能量分布定律是描述物体能量分布的一种定律，它可以解释许多与能量分布有关的现象。
通过对能量分布的研究，可以深入了解物体的热力学性质，优化材料的设计，改进能源的利用效率。
玻尔兹曼能量分布定律在科学研究和工程应用中具有重要的作用，对于推动科学技术的发展有着重要的意义。
7.6玻尔兹曼分布律
•分子质量越大，受重力的作用越大，分 子数密度减小得越迅速； •对于温度较高的气体，分子的无规则运 动剧烈。分子数密度随高度减小比较缓 慢。
法国物理学家佩兰据此测量 了玻耳兹曼常数进而得到了 阿伏伽德罗常数，于1922 年获得了诺贝尔物理奖。
三、重力场中等温气压公式
假设： 大气为理想气体,不同高度处温度相等,重力加速度
7.6 玻尔兹曼分布律
一、玻尔兹曼能量分布律
其指数仅包含分子运动动能
麦克斯韦速度分布函数
3
m 2vx 2v2 yvz2 1 2m2v k
dN vxvyvz
N
2m kT 2em vx 2v2 yvz 22kT dxv dyv dzv
问题：对于更一般的情形，如在外力场中的气体分子的分布
将如何？
3
2m kT2eK k Tdxvdyvdzv1
nddxNxd,y,zydnz0eP kT
二、重力场中粒子按高度的分布(εp= mgh)
nn0emg kT hn0egh RT
•重力场中，一方面是无规则的热运动使气体分子 均匀分布于它们所能够到达的空间。另一方面是 重力要使气体分子聚集到地面上。这两种作用平 衡时，气体分子则在空间作非均匀分布，即气体 分子数密度随高度的增加按指数规律减小；
3
dN x,y,z,vx,vy,vz n 0 2m kT 2e K Pkd T xdx y dd yv dz zvd
n0 为在εp=0处，单位体积内具有各种速度的分子总数。
•d单N 位x,y,体z 积n0 分e子P数kT dn xd ydz2m kT2 3eKkT dxvdyvdzv
n0eP k T dxdydz
也不变化 利用： p = nkT
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Nantong University
7-6 玻耳兹曼能量分布律
一
玻耳兹曼能量分布律
mv
2
麦克斯韦速率分布公式中的因子e 写成 e kT ，于是有
k
2 kT
m 2 k kT 2 dN N e 4 v dv 2kT
3
在保守力场中，用分子的总能量 Nhomakorabea k p 代替 k ，用微分元 dvx dv y dvz 代替 4v2 dv
第7章 气体动理论
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4
p nkT
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7-6 玻耳兹曼能量分布律
二
等温气压公式
假定大气为理想气体，且忽略地球表面 的大气层上下温度的差异,得到等温气压公式
p n0 kTe p0e
mgz kT RT
p0e
mgz
kT
M mol gz
在航空、登山等活动中，估计上升的高度 p0 RT z ln M mol g p
n0 表示势能 p 0 处单位体积内具有各 种速度的分子总数 .
3
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7-6 玻耳兹曼能量分布律
利用麦克斯韦分布函数的归一化条件
m 2 k kT dv x dv y dv z 1 e 2kT
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5
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7-6 玻耳兹曼能量分布律 玻耳兹曼（Ludwig Boltzmann， 1844～1906），奥地利物理学家， 气体动理论的奠基人之一，在热力 学和统计物理学方面做出了卓越的 贡献．玻尔兹曼推广麦克斯韦的分 子速度分布律，建立了平衡态气体 分子的能量分布律——玻耳兹曼分 布律，提出了输运方程（后称为玻 耳兹曼输运方程）、H定理以及熵 的统计诠释．玻耳兹曼通过熵与概 率的联系，揭示了热力学系统的宏 观与微观之间的关联，并对热力学 第二定律进行了微观解释．
第7章 气体动理论
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7-6 玻耳兹曼能量分布律
可把麦克斯韦分布律推广到分子在保守力场 中运动的情形 ，得到玻耳兹曼能量分布律
m 2 k p kT dN n0 dv x dv y dv z dxdydz e 2kT
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6
3
可得
dN n0 e
p
kT
dxdydz
于是分子数密度按势能的分布为
n n0 e
p
kT
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7-6 玻耳兹曼能量分布律
地球表面附近的气体分子势能
p mgz
重力场中气体分子数密度随高度变化公式
n n0 e
mgz kT