thermal6 玻尔兹曼分布律
玻尔兹曼分布律重力场中粒子按高度分布
玻尔兹曼分布律在物理学中的应用
气体分子运动论
01
玻尔兹曼分布律是气体分子运动论的基础，可以用来描述气体
分子在平衡态下的速度分布和能量分布。
热力学
02
玻尔兹曼分布律在热力学中也有广泛应用，如热力学第二定律、
熵的概念等都涉及到玻尔兹曼分布律。
固体物理
03
在固体物理中，玻尔兹曼分布律可以用来描述电子在金属中的
05 结论与展望
研究结论
玻尔兹曼分布律在重力场中粒 子按高度分布的研究表明，在 一定条件下，粒子分布符合玻
尔兹曼分布。
随着高度的增加，粒子分布 逐渐稀疏，但仍保持玻尔兹
曼分布特征。
重力场对粒子分布的影响表现 为在低处粒子聚集，高处粒子 较少，这与玻尔兹曼分布的特
性相符合。
研究限制与不足
01
本研究仅限于理论分析和模拟，未能进行实际实验验证。
能量状态
根据能量守恒，可以得出 粒子在重力场中的能量状 态由动能和势能共同决定。
能量变化
在重力场中，粒子的能量 会发生变化，主要表现在 动能和势能之间的转换。
03 玻尔兹曼分布律与重力场 的结合
玻尔兹曼分布律在重力场中的适用性
玻尔兹曼分布律适用于粒子在平衡态 下的分布情况，当粒子受到重力作用 时，其分布情况同样适用玻尔兹曼分 布律。
玻尔兹曼分布律重力 场中粒子按高度分布
目录
CONTENTS
• 玻尔兹曼分布律的概述 • 重力场中粒子的运动规律 • 玻尔兹曼分布律与重力场的结合 • 实验验证与结果分析 • 结论与展望
01 玻尔兹曼分布律的概述
定义与特性
定义
玻尔兹曼分布律是描述粒子在平衡态下按能量分布的规律，其数学表达式为f(E) = exp(-E/kT)，其中E为粒子能量，k为玻尔兹曼常数，T为绝对温度。
2020-2021学年高二物理竞赛玻耳兹曼分布律课件
v0
3 vdN
0 v0
v0 3
0
N
6
v
3 0
v 2 (v0
v)dv
3v0
7N 27
14
3 dN 0
讨论：速率介于v1~v2之间的气体分子的平均速率 的计算
v v1~v2
v2 vf (v)dv
v1
v2 f (v)dv
v1
v v1~v2
v2 vf (v)dv
v1
对于v的某个函数g(v)，一般地，其平均值可以表示为
气体分子 平均速率
矛盾
RT v 1.60
M mol
氮气分子在270C时的 平均速率为476m.s-1.
气体分子热运动平均速率高，
但气体扩散过程进行得相当慢。
克劳修斯指出：气体分子的速度 虽然很大，但前进中要与其他分 子作频繁的碰撞，每碰一次，分 子运动方向就发生改变，所走的 路程非常曲折。
在相同的t时间内，分子由A到
一切分子都在运动
Z d 2vn
Z 2d 2vn
平均自由程
一秒钟内分子A经过路程为 v
一秒钟内A与其它分子发生碰撞的平均次数 Z
平均自由程 v 1
Z
2d 2n
与分子的有效直径的平方和分子数密度成反比
p nkT
kT 2d 2 p
当温度恒定时,平均自由程与气体压强成反比
在标准状态下，几种气体分子的平均自由程
由归一化条件
f (v)dv 1
0
v0
0
Av(v0
v)dv
A 6
v03
1
A
6 v03
o
v
v0
(2)最概然速率由 df (v) 0 决定，即
高二物理竞赛玻尔兹曼分布律重力课件
vz2
1 v2 3
1 2
m0
vx2
1 2
m0
v2y
1 2
m0
vz2
1 2
kT
13
气体处于平衡态时，分子任何一个自由度的平
均能量都相等，均为 1 k T，这就是能量按自由度
2
均分定理 . 分子的平均总动能
k
i kT 2
分 子 平 动 转 动 平均平 平均转 平 均 类 型 自由度 自由度 动动能 动动能 总动能
xyz
dN C e E p kT dxdydz
则分子数密度 n dN C eEp kT dxdydz
E p 0 时 , C n0 为势能等于零处的分子数密度
n n0e Ep kT 粒子数按势能分布
6
（2）玻耳兹曼分布适用于一切保守场中的自由粒子
（3）气体等温气压公式：
n n0eEp kT
Ep mgh
n n0emgh kT
P nkT
P P0 e mgh kT
7
例 求上升到什么高度时大气压强减为地面的75%？设
空气温度为0C， 空气的摩尔质量为0.0289 Kg/mol。
解：
gh
P P0 e RT
P gh
ln
P0
RT
P
gh
e RT
P0
h RT ln P
g P0
葛正权实验
O ---铋蒸气源, 温度为T S1,S2,S3 --- 狭缝
Q ---圆筒,转速可达 500转/秒
G --- 玻璃薄板 2
在麦克斯韦速度分布律中，
dN N
=( m
2 kT
) e dv dv dv 3 2
玻耳兹曼分布律
1. 玻尔兹曼分布律 平衡态下（温度一定） 速度区间 vx — vx+dvx vy — vy+dvy vz — vz+dvz
位置区间
x —x+ dx y —y+ dy z —z+ dz
1
*§9.11
求状态区间dvxdvy dvz dxdydz的分子数为?
dxdydz
体积元 dxdydz 中的分子数密度为 dN E p / kT E p / kT n C e n0e dxdydz n0 C ——分子在EP=0处分子的数密度
4
EP=mgh，则
n n0e
mgh / kT
n0e
M mol gh / RT
重力场中气体分子的密度 n随高度h的增加按指数规律而 减小。 1909年的皮兰实验的验证
由理想气体的压强 P= nkT
mg h kT M mol g h RT
P n0e
kቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ P0e
——恒温气压公式
5
dv x dv y dv z dxdydz
3
求体积元 dxdydz 中的分子数 dN
C[ e
2 2 (v2 x v y v z ) / 2 kT
dv x dv y dv z ]e
EP / kT
dxdydz
C与[ ]中的定积分合并为常数C′
dN Ce
E P kT
——玻尔兹曼分布 E / kT e —— 称为玻尔兹曼因子
2
2. 重力场中分子按位置的分布
状态区间dvxdvy dvz dxdydz 分子的总能量
玻尔兹曼分布律
就此空气柱求玻耳兹曼分布律中的n0
解 根据玻耳兹曼分布律，在重力场中，存在于x~x+dx ， y~y+dy ， z~z+dz 区间内，具有各种速度的分子数为
dN = ndV = n0e-e p / kTdxdydz
取z 轴垂直向上，地面处 z=0， 可得
求 27℃ 时单位体积内的空气分子数、平均自由程、平均碰撞 次数 。
解 由气体的状态方程, 有
n
=
p kT
=
1.33 ´ 10-3 1.38 ´10-23 ´ 300
=
3.21´1017 m-3
l=
1 2π d 2n =
1 2π (3´10-10 )2 ´ 3.21´1017
= 7.79 m
12/13
一. 分子的平均碰撞频率 Z
一个分子单位时间内 和其它分子碰撞的平 均次数，称为性小球，分子间的碰撞 为完全弹性碰撞。大量分子中，只有被考察的特定分子A
以平均速率 u 运动，其它分子都看作静止不动。
8/13
·单位时间内与分子 A 发生碰撞的分子数为 nπ d 2u
dN (rv,vv) = Ce-e / kTdvxdvydvzdxdydz
式中e =ek+ep 是分子的总能量， C 是与位置坐标和速度无关 的比例系数。 这一结论，称为麦克斯韦–玻耳兹曼分布定律。它给出了 分子数按能量的分布规律。
5/13
例 在大气中取一无限高的直立圆柱体，截面积为A ， 设柱体
一. 重力场中粒子按高度的分布
dp = -r gdh dp = -nm gdh
平衡态下气体的温度处处 相同，气体的压强为
玻尔兹曼能量分布定律
玻尔兹曼能量分布定律玻尔兹曼能量分布定律是描述物体在不同温度下能量分布的一种定律。
根据这个定律，物体的能量分布与其温度有关，温度越高，能量分布越广，峰值越低；温度越低，能量分布越窄，峰值越高。
玻尔兹曼能量分布定律是热力学的基本原理之一，它可以解释许多与能量分布有关的现象。
在自然界中，物体的能量分布是非常普遍的，无论是热力学系统中的粒子分布，还是宏观物体的能量分布，都可以用玻尔兹曼能量分布定律来描述。
玻尔兹曼能量分布定律的形式是一个指数函数，其中包含了玻尔兹曼常数和温度两个参数。
根据这个定律，物体的能量分布可以通过温度来确定，温度越高，能量分布越广，物体的能量分布趋于均匀；温度越低，能量分布越窄，物体的能量分布趋于集中。
玻尔兹曼能量分布定律的应用非常广泛。
在热力学系统中，通过对物体的能量分布进行分析，可以得到系统的热力学性质，如熵、内能等。
在材料科学中，通过对材料的能量分布进行研究，可以了解材料的热导性、电导性等性质。
在天体物理学中，玻尔兹曼能量分布定律可以解释星体的辐射特性，如黑体辐射等。
除了在科学研究中的应用，玻尔兹曼能量分布定律还有许多实际的应用。
例如，在工程中，通过对能量分布的分析，可以确定材料的热传导性能，从而优化材料的设计。
在能源领域，通过对能量分布的研究，可以改进能源的利用效率，提高能源的利用率。
玻尔兹曼能量分布定律是描述物体能量分布的一种定律，它可以解释许多与能量分布有关的现象。
通过对能量分布的研究，可以深入了解物体的热力学性质，优化材料的设计，改进能源的利用效率。
玻尔兹曼能量分布定律在科学研究和工程应用中具有重要的作用，对于推动科学技术的发展有着重要的意义。
玻耳兹曼分布律
玻耳兹曼分布律1. 介绍玻耳兹曼分布律（Boltzmann Distribution），又称能级分布定律或热力学分布定律，是描述粒子在热平衡时能量分布的统计规律。
它是由物理学家玻耳兹曼（Ludwig Boltzmann）在19世纪末提出的，对理解热力学平衡和统计力学起到了重要作用。
2. 能级与分布2.1 能级的定义在经典力学中，一个具有N个微观粒子的系统的能量是由粒子各自的能级所确定的。
能级（Energy level）是指一个粒子所处的状态或能量状态。
2.2 蒙特卡洛方法蒙特卡洛方法是以概率统计理论为基础，通过模拟随机抽样的方法，通过数学计算机模拟的形式，解决一些无法用传统数学方法解决的问题。
3. 玻耳兹曼分布律的推导以下是推导玻耳兹曼分布律的基本思路：3.1 假设•假设每个能级之间的间隔是常数，即能级数之比是整数。
3.2 系综理论•系综是对系统可能的状态进行统计的一种方法。
根据统计力学的观点，与一个给定的宏观信息相对应的，不同的微观状态可以构成一个系综。
3.3 统计力学的基本假设•统计力学的基本假设是，处于热平衡的系统会等可能地在所有可行的微观状态中进行跃迁。
这个假设被称为均等性原理。
3.4 玻耳兹曼分布律的推导•基于均等性原理，可以得出所有可能的微观状态的数目是相同的。
由此可以推导出玻耳兹曼分布律的表达式。
4. 玻耳兹曼分布律的表达式玻耳兹曼分布律的表达式如下：P i=e−E i/(kT)∑e−E j/(kT) nj=1其中，P i表示处于能级i的概率，E i表示能级i的能量，k表示玻尔兹曼常数，T表示系统的温度，n表示能级的总数。
5. 玻耳兹曼分布律的应用5.1 热力学平衡利用玻耳兹曼分布律，可以计算系统在热力学平衡状态下各个能级的占据概率。
通过能级的占据概率，可以推导出各种热力学性质，如熵、内能等。
5.2 电子能级分布玻耳兹曼分布律可以应用于描述电子在原子、分子中的能级分布。
这对于理解原子、分子的能级结构以及电子在能带中的行为具有重要意义。
玻尔玆曼分布定律
玻尔兹曼分布定律是一个描述一定温度下微观粒子运动速度的概率分布的定律，以奥地利物理学家路德维希·玻尔兹曼命名。
在物理学和化学中，这个定律被广泛应用于描述气体分子的速度分布。
任何宏观物理系统的温度都是组成该系统的分子和原子的运动的结果。
这些粒子有一个不同速度的范围，而任何单个粒子的速度都因与其他粒子的碰撞而不断变化。
然而，对于大量粒子来说，处于一个特定的速度范围的粒子所占的比例几乎不变，如果系统处于或接近处于平衡状态。
玻尔兹曼分布定律具体说明了处于任何速度范围的粒子数量与系统温度的关系，这个关系由一个数学公式表示。
这个公式表明，随着系统温度的升高，高速运动的粒子数量会增加，而低速运动的粒子数量会减少。
这个定律在物理学中有广泛应用，不仅限于气体分子的研究，还涉及到其他领域如电磁学、热力学等。
此外，它也为统计力学的理论框架提供了基础，使得我们能够更好地理解物质的热性质和动力学行为。
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k p
kT
dv x dv y dvz dx dy dz
n n0 e kT
p
平衡态理想气体分子热运动遵从1个统计规律：
m 3/ 2 dN n0 ( ) e 2 kT
k p
kT
第三章 …速率和能量的统计分布律
§3.1 气体分子的速率分布律
§3.2 分子射线束实验验证Maxwell §3.3 玻尔兹曼分布律 重力场中微粒按高度的分布 §3.4 能量按自由度均分定理
平衡态理想气体分子热运动Maxwell分布律：
dN m f ( v )dv 4 ( N 2 kT
对 立 作 用
p
kT
p mgz
mgz e kT
n n0e
z~n
m~n
T~n
n
n n0
n0
T2 >T1 T1
z
四 四. . 等温大气压强公式 等温大气压强公式
因为大气中存在十分复杂的流动，因而大气
的温度和压强变化十分复杂。 假设大气是等温的且
处于平衡态，则大气压强随高度变化是怎样的？
p
kT
dx dy dz
dV dx dy dz
dN ' n0e dV
p
kT
p
kT
n( x, y, z ) n0e
——主态空间单位体积内具有 各种速度的分子数 ——分子按位能的分布律
p
n n0e
n
p
kT
——玻尔兹曼分布律常用形式
m 3/ 2 dN n0 ( ) e 2 kT
*.气体分子碰壁数…
（1）泻流
（2）分子束技术和分子束速率分布
（3）热电子发射
（4）地球大气分子逃逸· 月球大气· 太阳风
Maxwell分布律中e 指数项
e
kT
mv 2 e 2 kT
e
k
kT
1 k mv 2 2
1 k mv 2 2
——分子平动动能 平衡态下气体分子数密度 n 处处相等， ———————————仅在无外力场下才成立！
1 N ' nv Adt 4 1 ' dN v nvf (v )dv dAdt 4
分子束中的速率分布 F(v)dv。
n vf (v )dvdAdt dN 'v vf ( v )dv 4 F (v )dv n N' v vdAdt 4
vf ( v )dv F (v )dv v
故，虽然阳光很强,但是天空是黑色的。
（c）太阳风
从太阳的高层大气中逃逸出来的粒子流称为太阳风。 氢原子核（质子）为主的粒子流，其平均速率为 400km· s-1（在太阳活动期可高达1000 km· s-1)，这就是 宇宙射线。 它对生物会产生巨大损害。 太阳风（质子流，即电流）产 生的磁场和地球磁场相互作用 把地球磁场压缩成为地球磁层。 地球磁层能够把太阳风抵挡在 地球外面。使得地球上的生物 避免受到宇宙射线的危害。
若分子受到重力场、惯性力场、电场力等的作用， 气体分子数密度将有一定的空间分布.
第三章
§3.1 气体分子的速率分布律
§3.2 分子射线束实验验证Maxwell §3.3 玻尔兹曼分布律 重力场中微粒按高度的分布
§3.4 能量按自由度均分定理
§3.3 玻耳兹曼分布律 重力场中 微粒按高度的分布
一. 玻尔兹曼分布律
1 nv 4
（3）热电子发射
（4）地球大气分子逃逸· 太阳风· 月球大气
（1）泻流
1 nv 4 气体从薄壁容器很小的小孔中逸出称为泻流。
处于平衡态的气体，在dt时间内，从△A 面积小孔逸 出的分子数△N’
1 N ' nv Adt 4
•只要很短时间dt内,逸出的气体分子数与容器中总分子
• h>R+500km 以上的大气散逸层中的气体十分稀薄，
是地球大气的最外层，
• 这称为地球大气逃逸。
vmin 2GM E h
（b）月球大气
• 上世纪70年代初美国太阳神16号宇宙飞船登上月球表 面时拍摄的照片。
可以看见,虽然阳光很强,但是天空是黑色的?
（c）月球大气
2GM moon vmin R
dv x
#、Maxwell速度分布律
1. 速度空间的概念 2. Maxwell速率分布律的几何意义 3. Maxwell速度分布律（几何意义） 4. Maxwell速度分量的分布规律 5. 气体分子碰壁数… 在多方面的应用
1 nv 4
*.气体分子碰壁数…
（1）泻流
（2）分子束技术和分子束速率分布
p p0e
Mgz RT
z p0e H
等温气压公式的应用范围：
由于在地球表面附近大气的温度是随高 度变化的，该公式只有在高差相差不大的范 围内才与实际符合。
p0 z H ln p
——测高仪的理论依据
北京某旅游公司的经典广告：
只要半个平米的价格，日韩新马泰都玩了一圈； 一两个平米的价格，欧美列国也回来了； 下一步只好策划去埃及南非这些更为神奇的所在；
2
mv 2 e 2 kT
v 3dv
分子束的平均速率及均方根速率分别为
v束
9 kT 8m
2 v束
4kT m
*.气体分子碰壁数…
（1）泻流 （2）分子束技术和分子束速率分布 （3）热电子发射 （4）地球大气分子逃逸· 太阳风· 月球大气
（3）热电子发射
• 自由电子经典模型：金属中的自由电子的能量
利用气体分子平均速率公式，分子束速率分布F(v)dv可表示为
mv 2 3/ 2 ) e 2 kT
F (v )dv
m 4 ( 8kT 2 kT
2 mv 2 e 2 kT
m
v 3 dv
m F (v )dv 2( kT )2
v 3dv
•分子束速率分布为
m F (v )dv 2( kT )2
dN ' ( v x ) n f (v x )dv x v x dtdA
热电子发射强度Je就是：
Je
v
min x
nf (v x )v x dv x
Je
min
vx
nf (v x )v xdv x
假定金属中自由电子遵从麦克斯韦分布,可以得到Je
kT 1/2 kT J e n( ) e 2 m
数相比小得多，则n和平均速率在 t 时刻有确定数值。
（2）分子束技术和分子束速率分布
具体求出分子束速率分布。
• dt 时间内从dA 面积的小孔逸出的分子数可写为，
N'
1 1 nvdAdt n vf (v )dv dAdt 4 4 0
其中速率为v 到v +dv 范围内的分子数是
' 1 nvf ( v )dAdt dv dN v 4
原始月球也有大气，但由于月球表面的重力加速度仅 为地球表面的1/6。
• 月球表面气体分子的最小逸出速率仅为地球表面最小逸 出速率的0.4倍。
因此在月球大气分子 中能逸出月球吸引力范围
的概率较地球大气大得多。
月球最小 逸出速率 地球最小 逸出速率
• 经过太阳系约47亿年时间流逝，月球大气分子已几乎 全部散逸光。其表面大气压强仅3×10-10 Pa。
e
kT ——玻尔兹曼因子
1876年任维也纳物理研究所所长
在玻尔兹曼假设基础上建立了分 子按能量的分布律…
二. 分子按坐标的分布律
m 3/2 dN n0 ( ) e 2 kT
k p
kT
dv xdv ydvz dxdydz
x ~ x dx y ~ y dyn0e
mgz kT
p kT n0 e
mgz kT
p0e
mgz kT
Mgz RT
p0e
四. 等温大气压强公式
p p0
mgz e kT
H
p p0e
Mgz RT
kT RT mg Mg
——等温气压公式
•大气标高是粒子按高度分布的特征量！ •气体分子热运动与分子受重力场作用这一对矛盾的 相互协调形成稳定的大气压强分布。
气体处于保守力场中时
k p
v x ~ v x dv x v y ~ v y dv y v z ~ v z dv z
气体分子速度在 v ~ v dv
x ~ x dx 且空间位置在 r ~ r dr y ~ y dy z ~ z dz
§3.4 能量按自由度均分定理
平衡态理想气体分子热运动Maxwell速度分布律：
dN m 3/ 2 ( ) e N 2 kT
2 2 m(v2 x v y vz )
2 kT
dv x dv y dvz
系统在力场中处于平衡时分子的Boltzmann分布律：
m 3/2 dN n0 ( ) e 2 kT
电子发射 加热 光的照射 强电场
光电效应 场致电子发射
（4）地球大气分子逃逸· 月球大气· 太阳风
（a）地球大气逃逸
• 在离地球中心距离为 h 的高层大气中，必有某
些气体分子的速率大于从该处脱离地球引力而 逃逸的最小速率vmin,
GM E m 1 mv 2min h 2
vmin
2GM E h
W me (vx )2 / 2