§2.6.3 玻耳兹曼分布
玻尔兹曼分布律重力场中粒子按高度分布
玻尔兹曼分布律在物理学中的应用
气体分子运动论
01
玻尔兹曼分布律是气体分子运动论的基础，可以用来描述气体
分子在平衡态下的速度分布和能量分布。
热力学
02
玻尔兹曼分布律在热力学中也有广泛应用，如热力学第二定律、
熵的概念等都涉及到玻尔兹曼分布律。
固体物理
03
在固体物理中，玻尔兹曼分布律可以用来描述电子在金属中的
05 结论与展望
研究结论
玻尔兹曼分布律在重力场中粒 子按高度分布的研究表明，在 一定条件下，粒子分布符合玻
尔兹曼分布。
随着高度的增加，粒子分布 逐渐稀疏，但仍保持玻尔兹
曼分布特征。
重力场对粒子分布的影响表现 为在低处粒子聚集，高处粒子 较少，这与玻尔兹曼分布的特
性相符合。
研究限制与不足
01
本研究仅限于理论分析和模拟，未能进行实际实验验证。
能量状态
根据能量守恒，可以得出 粒子在重力场中的能量状 态由动能和势能共同决定。
能量变化
在重力场中，粒子的能量 会发生变化，主要表现在 动能和势能之间的转换。
03 玻尔兹曼分布律与重力场 的结合
玻尔兹曼分布律在重力场中的适用性
玻尔兹曼分布律适用于粒子在平衡态 下的分布情况，当粒子受到重力作用 时，其分布情况同样适用玻尔兹曼分 布律。
玻尔兹曼分布律重力 场中粒子按高度分布
目录
CONTENTS
• 玻尔兹曼分布律的概述 • 重力场中粒子的运动规律 • 玻尔兹曼分布律与重力场的结合 • 实验验证与结果分析 • 结论与展望
01 玻尔兹曼分布律的概述
定义与特性
定义
玻尔兹曼分布律是描述粒子在平衡态下按能量分布的规律，其数学表达式为f(E) = exp(-E/kT)，其中E为粒子能量，k为玻尔兹曼常数，T为绝对温度。
玻尔兹曼分布介绍
波茲曼分布的介绍所謂的分布函數(distribution function)是指當一個由多粒子所組成的物理系統處在絕對溫度T時，在系統達熱平衡的狀態下，粒子處在某一能量狀態的機率分布，而常見的分布函數有三種，即用於描述費米子(fermion)的費米-狄拉克分布函數(Fermi-Dirac distribution function)、用於描述玻色子(boson)的玻色-愛因斯坦分布函數(Bose-Einsein distribution)、以及常用於描述全同且可分辨之古典粒子的馬克士威-波茲曼分布函數[1]。
馬克士威-波茲曼分布函數是以物理學家馬克士威和波茲曼命名[2]。
此分布函數常用於描述氣體分子等古典粒子的統計分布。
雖然不同粒子間具有全同性（即粒子的本徵物理特性相同，像是粒子之質量、電荷、自旋等），但假設不同粒子間可被分辨，也就是說可將所有粒子編號且每個粒子可用牛頓力學來描述其運動軌跡，同時由於各粒子間分布距離較遠所以不同粒子的波函數重疊現象不嚴重，而使得氣體分子遵守馬克士威-波茲曼統計(Maxwell–Boltzmann statistics)[3]。
在統計力學中，馬克士威-波茲曼分布函數被表示成：f MB(ϵ)=Ae−ϵ/K B T⋯(1)，其中f MB(ϵ)便是指粒子處在能量ϵ的機率而K B=1.38×10−23（單位：焦耳/絕對溫度）是為了紀念波茲曼在統計學上的貢獻而用其名字而命名的波茲曼常數，另外係數A在此扮演機率歸一的角色，也就是說粒子處在所有能量狀態所發生的各種可能的機率總和為一，此外係數A也可與系統的粒子個數有關。
圖一三種常見的統計機率分布函數，MB指馬克士威-波茲曼分布。
圖一是當系統處在一明確溫度下，粒子處於不同能量的機率分布圖，由圖中我們可以了解到對於馬克士威-波茲曼分布來說，粒子處於較低能量態(ϵ≪K B T)的機率較高，也就是說多粒子系統中的大部分粒子容易處在低能量態，使得系統本身偏好保持最低能量。
玻尔兹曼分布
玻尔兹曼分布玻尔兹曼分布也叫吉布斯分布，是一种覆盖系统各种状态的概率分布、概率测量或者频率分布。
当有保守外力（如重力场、电场等）作用时，气体分子的空间位置就不再均匀分布了，不同位置处分子数密度不同。
玻耳兹曼分布律是描述理想气体在受保守外力作用、或保守外力场的作用不可忽略时，处于热平衡态下的气体分子按能量的分布规律。
通俗的讲，如下：我们假设有个星球叫Endor星，这上面生活的一个物种叫Ewok人。
为简单起见，星球上一共有 n=1000个Ewok人，Ewok人流通的货币就叫，，，，，Energeia 币吧。
在t=0时刻，上帝认为All Ewoks are created equal!于是把每个Ewok 人钱包里的钱重置为了e=20块Energeia币。
（这样世界上总共有 E=en=20000个Energeia币在流通。
）之后上帝决定做一个社会学实验：每一秒随机抽两个Ewok人，如果第一个Ewok人的钱包不是空的，就从ta钱包里拿走1块Energeia币，并把它送给第二个Ewok人。
num = 1000money_list = fill(20, num)for _ in 1:5e7i = rand(1:num)if money_list[i] > 0money_list[i] -= 1money_list[rand(1:num)] += 1endendbar(sort(money_list))经过很长时间，上帝决定统计一下大家的阶级分布。
上帝把所有Ewok人的财富排序之后做了张图。
<imgsrc="https:///50/v2-e10c575e8a4f7927515d020f6519ee4e_hd.jpg?source=1940ef5c" data-size="normal" data-rawwidth="1801"data-rawheight="1121"data-default-watermark-src="https:///50/v2-19cbf11d9ffe 9b5ac5537e7324f2ad2b_hd.jpg?source=1940ef5c" class="origin_imagezh-lightbox-thumb" width="1801"data-original="https:///v2-e10c575e8a4f7927515d020f6519 ee4e_r.jpg?source=1940ef5c"/>每个Ewok人的财富（已排序）delta = 5M = 100distrb = map(x->count(m -> (x <= m < x + delta), money_list), 0:delta:M)bar(0:delta:M, distrb)xlabel!("Money / Energeia Coin"); ylabel!("Number of Ewoks")<imgsrc="https:///50/v2-d871f8e8b3a15ba7cf6edb8d8365d652_hd .jpg?source=1940ef5c" data-caption="" data-size="normal"data-rawwidth="600" data-rawheight="400"data-default-watermark-src="https:///50/v2-d248c9e976c1 76805c1e2357a6016a70_hd.jpg?source=1940ef5c" class="origin_imagezh-lightbox-thumb" width="600"data-original="https:///v2-d871f8e8b3a15ba7cf6edb8d8365d652_r.jpg?source=1940ef5c"/>（经过调参后，上帝决定以5个Energeia币为分度，划分阶级。
玻尔兹曼分布
玻尔兹曼分布)exp()0()(RTgzM n z n m -⋅=等温大气重力场中分布公式式麦克斯韦速度分布2223/2()(,,)d d d ()exp d d d 2π2x y z x y z x y z x y z m m f kT kT ⎡⎤++=⋅-⋅⎢⎥⎢⎥⎣⎦v v v v v v v v v v v v )exp(kTε- 分布都是按粒子能量ε的分布，它们都有一个称为“玻尔兹曼因子”的因子1122exp()N N kTεε-=-)/exp(kT ε-1ε2ε 规律:这些分布中都有因子 ，称为玻尔兹曼因子。
具有玻尔兹曼因子的分布，称为玻尔兹曼分布（Bortzmann distribution ）若n 1和n 2分别是在温度为T 的系统中，处于粒子能量为的某一状态与粒子能量为的另一状态上的粒子数密度。
则玻尔兹曼分布可表示为)exp(2121kTn n εε--= 玻尔兹曼分布表示：粒子处于能量相同的各状态上的概率是相同的；粒子处于能量不同的各状态的概率是不同的，粒子处于能量高的状态上的概率反而小---能量最小原理。
exp()N kTε∝-1）玻尔兹曼分布能为我们提供用来表示温度的另一表达式1221ln()T n k n εε-=)exp(2121kTn n εε--=对于粒子只能取两个能级的系统：12εε>产生激光的系统，就处于粒子数反转（populationinversion ）的负温度状态。
12εε>讨论12n n <0T >若12n n >若T <2）有外力场时分子按能量的分布规律分子处于保守力场中时，分子能量既有动能又有势能分子动能是分子速度的函数，分子势能一般是位置的函数，分子数按能量分布关系与速度有关，也和空间位置有关.(p )3k 20d ()e d d d d d d 2πE E kT x y z m N n x y zkT-+=⋅v v v 其中n 0 表示E p =0处气体分子的数密度.（玻耳兹曼分子按能量分布定律）,d ~,d ~,d ~z z z y y y x x x v v v v v v v v v +++p222p 2p k )(2121E m E m E E E z y x +++=+=+=v v v v ,d ~,d ~,d ~z z z y y y x x +++x ),,(z y x ),,(z y x v v v ..(p )k d eE E kTN C -+∝⋅3）重力场中微粒按高度分布根据麦克斯韦速度分布函数的归一化性质则玻耳兹曼分布可以写为：（粒子数密度按势能的分布）3k 2- ()e d d d 12πE kT x y z m kT +∞-∞⋅=⎰⎰⎰v v v p- 0d ed d d E kTN n x y z=⋅zy x N n d d d d =P 0eE kTn n -=分子按势能的分布规律是玻耳兹曼分布律的另一常用形式.//3/20[d d d ]()d d d 2πp k E kTE kTVm n ex y z e kT --⎰⎰⎰⎰⎰⎰ x y z vv v v N=如果保守外力场为重力场，势能为 E p =mgz （z 为高度），则(重力场中粒子数密度按高度的分布)将其代入理想气体状态方程有0emgzkTp n kT -=⋅- 0emgz kTp = 0eM RTgz p -=kTgzm kTE en en n --==00pnkT p =(p )3k 20d ()e d d d d d d 2πE E kT x y z m N n x y zkT-+=⋅v v v 其中n 0 表示E p =0处气体分子的数密度.玻耳兹曼分子按能量分布定律,d ~,d ~,d ~z z z y y y x x x v v v v v v v v v +++,d ~,d ~,d ~z z z y y y x x +++x 谢谢大家！。
玻耳兹曼分布律
1. 玻尔兹曼分布律 平衡态下（温度一定） 速度区间 vx — vx+dvx vy — vy+dvy vz — vz+dvz
位置区间
x —x+ dx y —y+ dy z —z+ dz
1
*§9.11
求状态区间dvxdvy dvz dxdydz的分子数为?
dxdydz
体积元 dxdydz 中的分子数密度为 dN E p / kT E p / kT n C e n0e dxdydz n0 C ——分子在EP=0处分子的数密度
4
EP=mgh，则
n n0e
mgh / kT
n0e
M mol gh / RT
重力场中气体分子的密度 n随高度h的增加按指数规律而 减小。 1909年的皮兰实验的验证
由理想气体的压强 P= nkT
mg h kT M mol g h RT
P n0e
kቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ P0e
——恒温气压公式
5
dv x dv y dv z dxdydz
3
求体积元 dxdydz 中的分子数 dN
C[ e
2 2 (v2 x v y v z ) / 2 kT
dv x dv y dv z ]e
EP / kT
dxdydz
C与[ ]中的定积分合并为常数C′
dN Ce
E P kT
——玻尔兹曼分布 E / kT e —— 称为玻尔兹曼因子
2
2. 重力场中分子按位置的分布
状态区间dvxdvy dvz dxdydz 分子的总能量
玻尔兹曼分布
玻尔兹曼分布定律是覆盖系统各种状态的概率分布，概率测量或频率分布。
当存在保守的外力（例如重力场，电场等）时，气体分子的空间位置不再均匀分布，并且在不同位置分子数密度也不同。
玻尔兹曼分布定律描述了在保守外力或保守外力场的作用下处于热平衡状态的理想气体分子的能量分布。
L. E. Boltzmann将麦克斯韦分布定律扩展到外力场的情况。
在相同的宽度范围内，如果E1> E2，则能量DN1大的粒子的数量少于能量DN2小的粒子的数量，并且状态是粒子优先占据较小的能量，这是玻尔兹曼的重要结果分配法。
经过近一个世纪的传播，物理和化学界逐渐接受道尔顿的“原子分子模型”，但是原子和分子的确凿证据尚未得到发现。
这时，出现了更强大的科学成就，即热力学的第一定律和第二定律。
热力学原则上解决了化学平衡的所有问题。
1892年，物理化学家奥斯特瓦尔德（Ostwald）试图证明没有必要将物理和化学问题减少到原子或分子之间的机械关系。
他试图赋予“能量”与物质对象相同的状态，甚至使物质恢复能量。
他提出“世界上所有现象都仅由时空的能量变化构成”。
在统计中，麦克斯韦·玻尔兹曼分布是一种特殊的概率分布，以詹姆斯·克拉克·麦克斯韦和路德维希·玻尔兹曼的名字命名。
它首先被定义并在物理学中用于描述（特别是在统计力学中）粒子在理想气体中自由移动而不与固定容器中的其他粒子相互作用的速度，除了粒子与其热环境之间的非常短时间的碰撞之外通过交换能量和动力。
在这种情况下，粒子是指气态粒子（原子或分子），并且假定粒子系统达到了热力学平衡。
当这种分布最初是从1960年的麦克斯韦启蒙运动中获得的时，玻尔兹曼对这种分布的物理起源进行了许多重要的研究。
粒子速度的概率分布表明哪个速度更有可能：粒子具有从分布中随机选择的速度，并且比其他选择方法更有可能处于速度范围内。
分布取决于系统温度和颗粒质量。
Maxwell Boltzmann分布适用于经典理想气体，这是理想的真实气体。
2.6玻尔兹曼分布
p( z) p(0) e
n( z ) n(0) e
Mg z RT
Mg z RT
kT RT 定义大气标高： H mg Mg
p( z) p(0) e
z H
大气标高是粒子按高度分布的特征量，它反映了气体分子热运 动与分子受重力场作用这一对矛盾。
§2.6 玻尔兹曼分布
§2.6 玻尔兹曼分布 *三、悬浮微粒按高度的分布（溶液、气体中悬浮物系统等） 设每一个微粒的质量为m，体积为V，微粒的密度为ρ，
液体密度ρ0，则每一微粒受到的合力方向向下，为：
F mg 0Vg m* g
其中m* m(1
0 ) 称为等效质量
m* gz kT
n( z) n(0) e
第二章
§2.6 玻尔兹曼分布
作业：
§2.6 玻尔兹曼分布 一、等温大气压强公式 重力作用和热运动是一对矛盾。 该系统达到力学平衡的条件为：
p A ( p dp) A z gAdz
(p+dp)A z+dz
系统
zρgdVpA源自p dp z gdz
ω r h
L dr
2
dp r r 2dr
dp m 2 dr p kT
pm r nr m kT
pr p0 e
m 2 r 2 2 kT
nr n0 e
m 2 r 2 2 kT
*四、玻尔兹曼分布 设n1和n2分别表示在温度为T的系统中，处于粒子能量为ε1的 某一状态与ε2的另一状态的粒子数密度，则 1 2 玻尔兹曼分布 n1 n2e
玻尔玆曼分布定律
玻尔兹曼分布定律是一个描述一定温度下微观粒子运动速度的概率分布的定律，以奥地利物理学家路德维希·玻尔兹曼命名。
在物理学和化学中，这个定律被广泛应用于描述气体分子的速度分布。
任何宏观物理系统的温度都是组成该系统的分子和原子的运动的结果。
这些粒子有一个不同速度的范围，而任何单个粒子的速度都因与其他粒子的碰撞而不断变化。
然而，对于大量粒子来说，处于一个特定的速度范围的粒子所占的比例几乎不变，如果系统处于或接近处于平衡状态。
玻尔兹曼分布定律具体说明了处于任何速度范围的粒子数量与系统温度的关系，这个关系由一个数学公式表示。
这个公式表明，随着系统温度的升高，高速运动的粒子数量会增加，而低速运动的粒子数量会减少。
这个定律在物理学中有广泛应用，不仅限于气体分子的研究，还涉及到其他领域如电磁学、热力学等。
此外，它也为统计力学的理论框架提供了基础，使得我们能够更好地理解物质的热性质和动力学行为。
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处于能量高的状态上的粒子数反而少。
玻耳兹曼分布:
n1
n2
exp( 1 2
kT
)
• 玻耳兹曼分布表示： • 粒子处于能量相同的单个状态上的概率是相同的； • 粒子处于能量不同的单个状态上的概率是不同的， • 粒子处于能量高的单个状态上的概率反而小。
n1Biblioteka n2exp( 1 2
kT
)
• 应该注意:
• 玻耳兹曼分布是一种普遍的规律。 对于处于平衡态的气体中的原子、分子、布朗粒子， 以及液体、固体中的很多粒子，一般都可应用玻耳兹 曼分布， 只要微粒之间相互作用小到可忽略.
• 由玻耳兹曼分布表示温度 负温度
§2.6.3 玻耳兹曼分布
利用归纳法得到玻耳兹曼分布
n( z) n(0) exp( Mgz) RT
• 这是等温大气中的粒子分布公式,
• 与此类似,玻耳兹曼分布可表示为
n1
n2
exp(
1 2
kT
)
ε1、ε2分别表示粒子处于两个不同的单个状态
时所对应的能量,
n1、n2 分别表示在两个不同单个状态上的粒子 数, 因为玻耳兹曼分布中有一个负号,说明处于能量 低的状态上的粒子数多,
• 因为同一能量常常可以有多个不同的状态。
• 例如，那些处于速度空间中以原点为中心、v 为半径
的球面上的理想气体分子， • 它们的能量均相同，但速度方向不同， • 说明在同一能级上的有很多个粒子状态。 • 而玻耳兹曼分布表示了两个不同能级上的两个状态上
的粒子数之间的关系。
• 玻耳兹曼分布是玻耳兹曼于1868年在推广麦克斯韦速 度分布时建立的平衡态能量分布律.