第5测量误差的基本知识
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第五章 测量误差的基本知识
容 = 3m 有时对精度要求较严，也可采用容 = 2m作为容许误 差。
在测量工作中，如某个误差超过了容许误差，则相应 观测值应舍去重测。
3.相对误差
绝对误差值与观测值之比，称为相对误差。在某 些测量工作中，有时用中误差还不能完全反映测量精度， 例如测量某两段距离，一段长200m，另一段长100m， 它们的测量中误差均为±0.2m，为此用观测值的中误差 与观测值之比，并将其分子化为1，即用1/K表示，称为 相对误差。
180°00ˊ00"
0
0
179°59ˊ57"
-3
9
180°00ˊ01"
+1
1
24
130
m2
2 3.6 10
两组观测值的误差绝对值相等 m1 < m2，第一组的观测成果的精度高于第二组观测成
果的精度
2.容许误差
容许误差又称极限误差。根据误差理论及实践证明， 在大量同精度观测的一组误差中，绝对值大于两倍中误差 的偶然误差，其出现的可能性约为5%；大于三倍中误差 的偶然误差，其出现的可能性仅有3‰，且认为是不大可 能出现的。因此一般取三倍中误差作为偶然误差的极限误 差。
全微分
dZ Kdx
得中误差式 mZ K 2mx2 Kmx
例：量得 1:1000 地形图上两点间长度l =168.5mm0.2mm,
计算该两点实地距离S及其中误差ms： 解：列函数式 S 1000 l
求全微分 dS 1000dl
mS 1000ml 1000 0.2 200mm 0.2m
测量误差＝观测值－真值
观测误差来源于仪器误差、人的感官能力和外界环境 （如温度、湿度、风力、大折光等）的影响，这三方面的 客观条件统称观测条件。
在测量工作中，如某个误差超过了容许误差，则相应 观测值应舍去重测。
3.相对误差
绝对误差值与观测值之比，称为相对误差。在某 些测量工作中，有时用中误差还不能完全反映测量精度， 例如测量某两段距离，一段长200m，另一段长100m， 它们的测量中误差均为±0.2m，为此用观测值的中误差 与观测值之比，并将其分子化为1，即用1/K表示，称为 相对误差。
180°00ˊ00"
0
0
179°59ˊ57"
-3
9
180°00ˊ01"
+1
1
24
130
m2
2 3.6 10
两组观测值的误差绝对值相等 m1 < m2，第一组的观测成果的精度高于第二组观测成
果的精度
2.容许误差
容许误差又称极限误差。根据误差理论及实践证明， 在大量同精度观测的一组误差中，绝对值大于两倍中误差 的偶然误差，其出现的可能性约为5%；大于三倍中误差 的偶然误差，其出现的可能性仅有3‰，且认为是不大可 能出现的。因此一般取三倍中误差作为偶然误差的极限误 差。
全微分
dZ Kdx
得中误差式 mZ K 2mx2 Kmx
例：量得 1:1000 地形图上两点间长度l =168.5mm0.2mm,
计算该两点实地距离S及其中误差ms： 解：列函数式 S 1000 l
求全微分 dS 1000dl
mS 1000ml 1000 0.2 200mm 0.2m
测量误差＝观测值－真值
观测误差来源于仪器误差、人的感官能力和外界环境 （如温度、湿度、风力、大折光等）的影响，这三方面的 客观条件统称观测条件。
第五章 测量误差的基本知识
2 ma
解：
α
D
+a
mS = ± 30 2 × 0.04 2 + 40 2 × 0.03 2
mS = ±1.7(m 2 )
1、求D 、 D＝Lcos α ＝ ＝165.50×cos15°30′ × ° ＝159.48m
2、求mD 、 （1）函数式 ） D=Lcosα （2）偏微分 ）
中误差m ㎜，中误差 d＝±0.2㎜，求实地距离 及其 ㎜ 求实地距离D及其 中误差。 中误差。 解： D＝500d ＝
n-1 [ vv ] m=± n-1
例1：
l 1 2 3 4 5 85°42′49″ ° 85°42′40″ ° 85°42′42″ ° 85°42′46″ ° 85°42′48″ ° l0=85°42′40″ ° △l 9 0 2 6 8 25 v ﹣4 ﹢5 ﹢3 ﹣1 ﹣3 0 vv 16 25 9 1 9 60
V △l（㎜） （㎜） （㎜）
vv 4 25 256 441 9 121 856
m2 = n n
=
L = l0 +
[ vv ] 1 2 + m
∑∆ l 25" = 85°42' 40" + 5 5 ＝85°42′45″ °
二、求观测值的函数的中误差 S＝ab （一）求偏微分 dS＝b da＋a db （二）以偶然误差代替微分元素
60 m=± 5 -1
m = ±3.9"
mD = 0.012 + 0.02 2 + 0.03 2
=±0.037（m） ± （ ） 六、线性函数的中误差 函数： 函数： z＝k1x1＋k2x2＋…＋knxn ＝ ＋ 偏微分： 偏微分： dz＝k1 dx1＋k2 dx2＋…＋kn dxn ＝ ＋ 中误差： 中误差：
测量学第5章测量误差的基本知识
果对函数f（Δ ）求二阶导数等于零，可得曲线拐点的横坐标为：Δ 拐 ＝ ±σ 。由于曲线f（Δ ）横轴和直线Δ ＝－σ ，Δ ＝＋σ 之间的曲边梯形面
之差称为真误差，用Δ 表示。设三角形内角和的观测值为li，真值为X，则
三角形的真误差可由下式求得
用式（5.1）算得358个三角形内角和的真误差，现将358个真误差按3″为一 区间，并按绝对值大小进行排列，按误差的正负号分别统计出在各区间的误
差个数k，并将k除以总个数n（本例n＝358）误差来看，其误差的出现在数
值大小和符号上没有规律性，但观察大量的偶然误差就会发现其存在着一定 的统计规律性，并且误差的个数越多这种规律性就越明显。下面以一个测量
实例来分析偶然误差的特性。
某测区在相同的观测条件下观测了358个三角形的内角，由于观测值存在误 差，故三角形内角之和不等于理论值180°（也称真值）。观测值与理论值
值（有界性）；
②绝对值较小的误差出现的概率大，绝对值大的误差出现的概率小（单峰性）； ③绝对值相等的正、负误差出现的概率大致相等（对称性）；
④当观测次数无限增加时，偶然误差算术平均值的极限为零（补偿性）。即
式中，“［］”为总和号，即
为了更直观地表达偶然误差的分布情况，还可以用图示形式描述误差分布， 图5.1就是按表5.1的数据绘制的。其中以横坐标表示误差正负与大小，纵坐
1)仪器及工具由于测量仪器制造和仪器校正不完善，都会使测量结果产生测
量误差。 2)观测者由于观测者的技术水平和感觉器官鉴别能力的限制，使得在安置仪
器、瞄准目标及读数等方面都会产生误差。
3)外界条件观测过程所处的外界条件，如温度、湿度、风力、阳光照射等因 素会给观测结果造成影响，而且这些因素随时发生变化，必然会给观测值带
之差称为真误差，用Δ 表示。设三角形内角和的观测值为li，真值为X，则
三角形的真误差可由下式求得
用式（5.1）算得358个三角形内角和的真误差，现将358个真误差按3″为一 区间，并按绝对值大小进行排列，按误差的正负号分别统计出在各区间的误
差个数k，并将k除以总个数n（本例n＝358）误差来看，其误差的出现在数
值大小和符号上没有规律性，但观察大量的偶然误差就会发现其存在着一定 的统计规律性，并且误差的个数越多这种规律性就越明显。下面以一个测量
实例来分析偶然误差的特性。
某测区在相同的观测条件下观测了358个三角形的内角，由于观测值存在误 差，故三角形内角之和不等于理论值180°（也称真值）。观测值与理论值
值（有界性）；
②绝对值较小的误差出现的概率大，绝对值大的误差出现的概率小（单峰性）； ③绝对值相等的正、负误差出现的概率大致相等（对称性）；
④当观测次数无限增加时，偶然误差算术平均值的极限为零（补偿性）。即
式中，“［］”为总和号，即
为了更直观地表达偶然误差的分布情况，还可以用图示形式描述误差分布， 图5.1就是按表5.1的数据绘制的。其中以横坐标表示误差正负与大小，纵坐
1)仪器及工具由于测量仪器制造和仪器校正不完善，都会使测量结果产生测
量误差。 2)观测者由于观测者的技术水平和感觉器官鉴别能力的限制，使得在安置仪
器、瞄准目标及读数等方面都会产生误差。
3)外界条件观测过程所处的外界条件，如温度、湿度、风力、阳光照射等因 素会给观测结果造成影响，而且这些因素随时发生变化，必然会给观测值带
第5章 测量误差的基本知识
第5章
1．观测误差
测量误差的基本知识
§5-1 概述
在各项测量工作中，对同一个量进行多次重复的观测 其结果是不一致的；对若干个量进行观测，如果知道 这几个量所构成的某个函数应等于某个理论值，而实 际上用观测值计算的函数值与理论值不相符（如三角 形的内角和）。这就是存在观测误差的原因。
2．产生观测误差的原因
例3：水平角观测限差的制定
水平角观测的精度与其误差的综合影响有关，对于 J6光学经纬仪来说，设计时考虑了有关误差的影响， 保证室外一测回的方向中误差为±6″。实际上，顾 及到仪器使用期间轴系的磨损及其它不利因素的影 响，设计精度一般小于±6″，新出厂的仪器，其野 外一测回的方向中误差小于±6″，在精度上有所富 裕。
Δ2 0 1 49 4 1 1 64 0 9 1 130
0 -4 +3 +2 -3 24
+1 +8 0 +3 -1 24
2
中误差Biblioteka m1 2 2 .7 n
m
2
n
3 .6
1 2
n
2.4
正态分布
1 f ( x) e 2 x 0 ( x )2 2 2
1 1
√2π m 1 √2π m 2
y = f (Δ )
f 1 (Δ ) f 2 (Δ )
若 0, 1 1 则f ( x) e 2
( x) 2
2
-
-m1
+m1 +
x =Δ
m2
m2
两组观测值中误差图形的比较：
m1=2.7 m2=3.6
m1较小, 误差分布比较集中，观测值精度较高； m2较大，误差分布比较离散，观测值精度较低。
1．观测误差
测量误差的基本知识
§5-1 概述
在各项测量工作中，对同一个量进行多次重复的观测 其结果是不一致的；对若干个量进行观测，如果知道 这几个量所构成的某个函数应等于某个理论值，而实 际上用观测值计算的函数值与理论值不相符（如三角 形的内角和）。这就是存在观测误差的原因。
2．产生观测误差的原因
例3：水平角观测限差的制定
水平角观测的精度与其误差的综合影响有关，对于 J6光学经纬仪来说，设计时考虑了有关误差的影响， 保证室外一测回的方向中误差为±6″。实际上，顾 及到仪器使用期间轴系的磨损及其它不利因素的影 响，设计精度一般小于±6″，新出厂的仪器，其野 外一测回的方向中误差小于±6″，在精度上有所富 裕。
Δ2 0 1 49 4 1 1 64 0 9 1 130
0 -4 +3 +2 -3 24
+1 +8 0 +3 -1 24
2
中误差Biblioteka m1 2 2 .7 n
m
2
n
3 .6
1 2
n
2.4
正态分布
1 f ( x) e 2 x 0 ( x )2 2 2
1 1
√2π m 1 √2π m 2
y = f (Δ )
f 1 (Δ ) f 2 (Δ )
若 0, 1 1 则f ( x) e 2
( x) 2
2
-
-m1
+m1 +
x =Δ
m2
m2
两组观测值中误差图形的比较：
m1=2.7 m2=3.6
m1较小, 误差分布比较集中，观测值精度较高； m2较大，误差分布比较离散，观测值精度较低。
第5章测量误差的基本知识
2.全微分 dD (cos)dD (Dsin) d
3.化为中误差
[(cos15 ) 0.05]2 [(50 sin15 ) 30]2
mD 0.048(m)
六、应用误差传播定律的基本步骤
1. 列出观测值函数的表达式
Z f (x1, x2 ,xn )
2.对函数Z进行全微分
f
f
f
Z ( x1 ) x1 ( x2 ) x2 ( xn ) xn
消除方法 观测值偏离真值的程度称为观测值的准确度。系
统误差对观测值的准确度影响很大，但它们的符号和 大小有一定的规律。因此，系统误差可以采用适当的 措施消除或减弱其影响。
处理原则：找出规律，加以改正。 ◆ 测定系统误差的大小，对观测值加以改正。 如： 钢尺量距中进行尺长、温度、倾斜改正等。 ◆ 校正仪器，将系统误差限制在容许范围内。 ◆ 对称观测，水准测量中，使前后视距离相等 (中间法)；角度观测时，采用盘左盘右取平均值。
n
n
为该量的最可靠的数值，称为“最或是值”。
证明：设某量的真值为X，各次观测值为l1，l2……ln，
相应的真误差为 1，2， ，n ，则 1 l1 X ...2 l2 X
n ln X
相加并除以n得 [] [l] X
nn
X [l] [] x x nn
式中： x 为算术平均值，即 x l1 l2 ln [l]
处理原则：多余观测，制定限差。 为了提高观测值的精度，通常对偶然误差采用如下 处理方法 ◆.提高仪器等级； ◆.进行多余观测； ◆.求平差值。 3.粗差(错误) 测错，记错，算错……。错误在测量成果中不允许 存在。处理原则：细心，多余观测。遵守操作规程、严 格检查制度，及时发现和纠正错误。
第5章 测量误差的基本知识
结论
在观测过程中，系统误差和偶然误差往往是同时存在 的。当观测值中有显著的系统误差时，偶然误差就居 于次要地位，观测误差呈现出系统误差的性质；反之， 呈现出偶然误差的性质。因此，对一组剔除了粗差的 观测值，首先应寻找、判断和排除系统误差，或将其 控制在允许的范围内，然后根据偶然误差的特性对该 组观测值进行数学处理，求出最接近未知量真值的估 值，称为最或是值；同时，评定观测结果质量的优劣， 即评定精度。这项工作在测量上称为测量平差，简称 平差。
2 相对误差
对于衡量精度来说，有时单靠中误差还不能完全表达观 测结果的质量。 例如，测得某两段距离，一段长200m，另一段长1000m， 观测值的中误差均为±0.2m 。从表面上看，似乎二者精 度相同，但就单位长度来说，二者的精度并不相同。这 时应采用另一种衡量精度的标准，即相对误差。 相对误差：是中误差与观测值之比，是个无量纲数，在 测量上通常将其分子化为1。即用K=1/N的形式来表示。 上例前者的相对中误差为0.2/200=1/1000，后者为 0.2/1000=1/5000。显然，相对中误差愈小（分母愈 大），说明观测结果的精度愈高，反之愈低。
解：水准测量每一站高差： hi ai bi (i 1,2....,n)
则每站高差中误差
m站 m读 m读 m读 2
2 2 2.8m m
观测n站所得总高差 h h1 h2 hn 则n站总高差h的总误差
2
2
m总 m站 n 2.8 nmm
2
第二组观测 观测值 l Δ 0 180°00ˊ00" +1 159°59ˊ59" -7 180°00ˊ07" -2 180°00ˊ02" -1 180°00ˊ01" 179°59ˊ59" 179°59ˊ52" 180°00ˊ00" 179°59ˊ57" 180°00ˊ01" +1 +8 0 +3 -1 24
第5章 测量误差理论的基础知识
第五章 测量误差理论的基本知识
5.1 测量误差概述 5.2 衡量精度的指标 5.3 误差传播定律及其应用 5.4 等精度直接观测平差 5.5 不等精度观测的最或然值及其中误差
§5.1 测量误差概述
大量实践表明，当对某一未知量进行多次 观测时，无论观测仪器多么精密，观测进行得
多么仔细，观测值之间总是存在着差异。例如，
2 2 2 2 mZ A12 m12 A2 m2 An mn
§5.3.2 误差传播定律的应用
例1 量得某圆形建筑物得直径 D=34.50m, 其中误差mD 0.01m,
求建筑物得圆周长及其中误差。
解：圆周长：
P D 3.1416 34.50 108.38 中误差：
将以上各式两边平方、取平均，可得
Z 2 x12 x22 xn 2 n f2 f 2 ... f 2 xi x j 1 fi f j k 1 2 n k k k k i, j
i j
因 x 的观测值 l 彼此独立，则 xi x j 在 i j 时亦为偶 i i 然误差。根据偶然误差第4特性，上式末项当 k 时趋近于 零，故：
测量某一平面三角形的三个内角，其观测值之
和常常不等于理论值180°。这说明测量结果
不可避免地存在误差。
§5.1.1 测量误差的来源
测量工作是在一定条件下进行的，外界环境、观 测者的技术水平和仪器本身构造的不完善等原因，都 可能导致测量误差的产生。通常把测量仪器、观测者 的技术水平和外界环境三个方面综合起来，称为观测 条件。观测条件不理想和不断变化，是产生测量误差 的根本原因。通常把观测条件相同的各次观测，称为 等精度观测；观测条件不同的各次观测，称为不等精 度观测。
5.1 测量误差概述 5.2 衡量精度的指标 5.3 误差传播定律及其应用 5.4 等精度直接观测平差 5.5 不等精度观测的最或然值及其中误差
§5.1 测量误差概述
大量实践表明，当对某一未知量进行多次 观测时，无论观测仪器多么精密，观测进行得
多么仔细，观测值之间总是存在着差异。例如，
2 2 2 2 mZ A12 m12 A2 m2 An mn
§5.3.2 误差传播定律的应用
例1 量得某圆形建筑物得直径 D=34.50m, 其中误差mD 0.01m,
求建筑物得圆周长及其中误差。
解：圆周长：
P D 3.1416 34.50 108.38 中误差：
将以上各式两边平方、取平均，可得
Z 2 x12 x22 xn 2 n f2 f 2 ... f 2 xi x j 1 fi f j k 1 2 n k k k k i, j
i j
因 x 的观测值 l 彼此独立，则 xi x j 在 i j 时亦为偶 i i 然误差。根据偶然误差第4特性，上式末项当 k 时趋近于 零，故：
测量某一平面三角形的三个内角，其观测值之
和常常不等于理论值180°。这说明测量结果
不可避免地存在误差。
§5.1.1 测量误差的来源
测量工作是在一定条件下进行的，外界环境、观 测者的技术水平和仪器本身构造的不完善等原因，都 可能导致测量误差的产生。通常把测量仪器、观测者 的技术水平和外界环境三个方面综合起来，称为观测 条件。观测条件不理想和不断变化，是产生测量误差 的根本原因。通常把观测条件相同的各次观测，称为 等精度观测；观测条件不同的各次观测，称为不等精 度观测。
第五章 测量误差的基本知识
第七章测量误差基本知识内容：了解测量误差来源及产生的原因；掌握系统误差和偶然误差的特点及其处理方法；理解精度评定的指标（中误差、相对误差、容许误差）的概念；了解误差传播定律的应用。
重点：系统误差和偶然误差的特点及其处理方法。
难点：中误差、相对误差、容许误差的概念；误差传播定律的应用。
§ 5.1 测量误差的概念测量误差按其对测量结果影响的性质，可分为系统误差和偶然误差。
一、系统误差 (system error)1、定义：在相同观测条件下，对某量进行一系列观测，如误差出现符号和大小均相同或按一定的规律变化，这种误差称为系统误差。
2、特点：具有积累性，对测量结果的影响大，但可通过一般的改正或用一定的观测方法加以消除。
二、偶然误差 (accident error)1、定义：在相同观测条件下，对某量进行一系列观测，如误差出现符号和大小均不一定，这种误差称为偶然误差。
但具有一定的统计规律。
2、特点：（1）具有一定的范围。
（2）绝对值小的误差出现概率大。
（3）绝对值相等的正、负误差出现的概率相同。
（4）数学期限望等于零。
即：误差概率分布曲线呈正态分布，偶然误差要通过的一定的数学方法（测量平差）来处理。
此外，在测量工作中还要注意避免粗差 (gross error) （即：错误）的出现。
偶然误差分布频率直方图§ 5.2 衡量精度的指标测量上常见的精度指标有：中误差、相对误差、极限误差。
一、中误差方差：——某量的真误差， [] ——求和符号。
规律：标准差估值（中误差 m ）绝对值愈小，观测精度愈高。
在测量中，n为有限值，计算中误差 m 的方法，有：1、用真误差（ true error ）来确定中误差——适用于观测量真值已知时。
真误差Δ——观测值与其真值之差，有：标准差中误差（标准差估值）， n 为观测值个数。
[ 例题 ] ：对 10 个三角形的内角进行了观测，根据观测值中的偶然误差（三角形的角度闭合差，即真误差），计算其中误差。
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测量中，一般取两倍或三倍中误差作为容许误差，也称为限差：
|容|=2|m|或|容|=3|m|
13
2020年5月17日星期日
5.3 误差传播定律
一、倍数函数的中误差
设有函数式 Z kx
(x为观测值，K为x的系数)
全微分 Z kx (i 1,2, , n)
得中误差式 mZ k 2mx2 k m x
图5-1 误差统计直方图
7
2020年5月17日星期日
◆从误差统计表和频率直方图中，可以归纳出偶 然误差的四个特性： 3.偶然误差的特性
(1)在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定
的限值(有界性)； (2)绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机会多(单峰性)； (3)绝对值相等的正误差和负误差出现的机会相等(对称性)； (4)当观测次数无限增加时，偶然误差的算术平均值趋近于零
解： K1=—01.00—02 =5—00—10 ； K2= —02.00—02 = 1—010—00
K2<K1，所以距离S2精度较高。
当观测误差与观测量的大小无关时就不
能采用相对误差。12
2020年5月17日星期日
三、容许误差(极限误差)
根据误差分布的密度函数，误差出现在微分区间d内的概
率为：
P() f ()d
11
2020年5月17日星期日
二、相对误差(相对中误差)
——误差绝对值与观测量之比。
当观测误差与观测量的大小有关时必须采用相对误差。 用分子为1的分数表示。 分数值较小相对精度较高；分数值较大相对精度较低。
分母有效数字的取位及只舍不进规则
例2：用钢尺丈量两段距离分别得S1=100米,m1=0.02m； S2=200米,m2=0.02m。计算S1、S2的相对误差。
1.系统误差 — 误差出现的大小、符号相同，或按
规律性变化，具有积累性。
例： 误差 钢尺尺长误差 钢尺温度误差lt 水准仪视准轴误差I 经纬仪视准轴误差C
……
处理方法 计算改正 计算改正 操作时抵消(前后视等距) 操作时抵消(盘左盘右取平均)
……
● 系统误差可以消除或减弱。 (计算改正、观测方法、仪器检校)
3
2020年5月17日星期日
2.偶然误差——误差出现的大小、符号各不相同，
表面看无规律性。 例：估读数、气泡居中判断、瞄准、对中等误差，
导致观测值产生误差 。
几个概念: ● 准确度(测量成果与真值的差异） ● 精（密）度（观测值之间的离散程度）
● 最或是值（最接近真值的估值，最可靠值） ● 测量平差（求解最或是值并评定精度）
l X （观测值与真值之差） ij li l j （观测值与观测值之差）
● 测量误差的来源
（1）仪器误差：仪器精度的局限、轴系残余误差等。 （2）人为误差：判断力和分辨率的限制、经验等。
（3）外界条件的影响：温度变化、风、大气折光等
三项又称为观测条件
2
2020年5月17日星期日
二、测量误差的分类
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2020年5月17日星期日
§5.2 衡量精度的标准
一、中误差
设对某一未知量X进行了n次等精度观测，其观 测值为l1, l2，……， ln，相应的真误差 为Δ1,Δ2，……，Δn Δi = li – X
中误差的定义为： m
n
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例 该段距离的真值为49.982m
每个观测值的中误差都是±4.7mm
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三、偶然误差的统计特性
举例: 在某测区，等精度观测了96个三角形的内
角之和，得到100个三角形闭合差i(偶然误 差，也即真误差) ，然后对三角形闭合差i 进行分析。
分析结果表明，当观测次数很多时，偶然 误差的出现，呈现出统计学上的规律性。而 且，观测次数越多，规律性越明显。
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表5-1
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用频率直方图表示的偶然误差统计：
频率直方图中，每一条形的面积表示误差出现在 该区间的频率k/n，而所有条形的总面积等于1。
频率直方图的中间高、两边低，并向横轴逐渐 逼近，对称于y轴。
各条形顶边中 点连线经光滑后 的曲线形状，表 现出偶然误差的 普遍规律
当等精度观测时： m1 m2 m3 mn m
上式可写成：mZ m n
例：测定A、B间的高差 hAB ，共连续测了9站。设测量
(抵偿性)：
lim 1 2 n lim 0
n
n
n n
特性(1)、(2)、(3)决定了特性(4)，特性(4)具有实用意义。
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偶然误差的特性 1）有界性； 2）单峰性； 3）对称性； 4）抵偿性
偶然误差是观测过程中各种偶然误差源 影响的总和。它是无法消除的： 1）偶然误差的不可避免性； 2）偶然误差的随机性； 3）观测次数的有限性。
例：量得 1: 500 地形图上两点间长度d =76mm0.2mm,
计算该两点实地距离D和中误差mD：
解：列函数式
D 500 d
求全微分 中误差式
D 500d mD 500ml 100mm 0.1m S 38m 0.1m
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二、和或差函数的中误差
函数式： 全微分： 中误差式：
第5章 测量误差的基本知识
§5.1 测量误差概述 §5.2 衡量精度的标准 §5.3 误差传播定律 §5.4 算术平均值及其中误差 §5.5 用观测值的改正数计算中误差
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§5.1 测量误差概述
一、 测量误差产生的原因
● 测量误差（真误差=观测值-真值） l X ● 测量误差的表现形式
Z x y
zi xi yi (i 1,2, , n)
m2Z mx2 m2y
lim 顾及了， [x y ] 0
n
n
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特殊的，设
函数式： 全微分： 中误差式：
Z x1 x2 xn
dz dx1 dx2 dxn
mZ m12 m22 mn2
1
e
2 2m2
d
2 m
误差出现在K倍中误差区间内的概率为：
km
P( km)
1
e
2 2m2
d
km 2 m
将K=1、2、3分别代入上式，可得到偶然误差分别出现在
一倍、二倍、三倍中误差区间内的概率：
P(|| m)=0.683=68.3
P(||2m)=0.954=95.4
P(||3m)=0.997=99.7
|容|=2|m|或|容|=3|m|
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5.3 误差传播定律
一、倍数函数的中误差
设有函数式 Z kx
(x为观测值，K为x的系数)
全微分 Z kx (i 1,2, , n)
得中误差式 mZ k 2mx2 k m x
图5-1 误差统计直方图
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◆从误差统计表和频率直方图中，可以归纳出偶 然误差的四个特性： 3.偶然误差的特性
(1)在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定
的限值(有界性)； (2)绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机会多(单峰性)； (3)绝对值相等的正误差和负误差出现的机会相等(对称性)； (4)当观测次数无限增加时，偶然误差的算术平均值趋近于零
解： K1=—01.00—02 =5—00—10 ； K2= —02.00—02 = 1—010—00
K2<K1，所以距离S2精度较高。
当观测误差与观测量的大小无关时就不
能采用相对误差。12
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三、容许误差(极限误差)
根据误差分布的密度函数，误差出现在微分区间d内的概
率为：
P() f ()d
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二、相对误差(相对中误差)
——误差绝对值与观测量之比。
当观测误差与观测量的大小有关时必须采用相对误差。 用分子为1的分数表示。 分数值较小相对精度较高；分数值较大相对精度较低。
分母有效数字的取位及只舍不进规则
例2：用钢尺丈量两段距离分别得S1=100米,m1=0.02m； S2=200米,m2=0.02m。计算S1、S2的相对误差。
1.系统误差 — 误差出现的大小、符号相同，或按
规律性变化，具有积累性。
例： 误差 钢尺尺长误差 钢尺温度误差lt 水准仪视准轴误差I 经纬仪视准轴误差C
……
处理方法 计算改正 计算改正 操作时抵消(前后视等距) 操作时抵消(盘左盘右取平均)
……
● 系统误差可以消除或减弱。 (计算改正、观测方法、仪器检校)
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2.偶然误差——误差出现的大小、符号各不相同，
表面看无规律性。 例：估读数、气泡居中判断、瞄准、对中等误差，
导致观测值产生误差 。
几个概念: ● 准确度(测量成果与真值的差异） ● 精（密）度（观测值之间的离散程度）
● 最或是值（最接近真值的估值，最可靠值） ● 测量平差（求解最或是值并评定精度）
l X （观测值与真值之差） ij li l j （观测值与观测值之差）
● 测量误差的来源
（1）仪器误差：仪器精度的局限、轴系残余误差等。 （2）人为误差：判断力和分辨率的限制、经验等。
（3）外界条件的影响：温度变化、风、大气折光等
三项又称为观测条件
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二、测量误差的分类
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§5.2 衡量精度的标准
一、中误差
设对某一未知量X进行了n次等精度观测，其观 测值为l1, l2，……， ln，相应的真误差 为Δ1,Δ2，……，Δn Δi = li – X
中误差的定义为： m
n
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例 该段距离的真值为49.982m
每个观测值的中误差都是±4.7mm
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三、偶然误差的统计特性
举例: 在某测区，等精度观测了96个三角形的内
角之和，得到100个三角形闭合差i(偶然误 差，也即真误差) ，然后对三角形闭合差i 进行分析。
分析结果表明，当观测次数很多时，偶然 误差的出现，呈现出统计学上的规律性。而 且，观测次数越多，规律性越明显。
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用频率直方图表示的偶然误差统计：
频率直方图中，每一条形的面积表示误差出现在 该区间的频率k/n，而所有条形的总面积等于1。
频率直方图的中间高、两边低，并向横轴逐渐 逼近，对称于y轴。
各条形顶边中 点连线经光滑后 的曲线形状，表 现出偶然误差的 普遍规律
当等精度观测时： m1 m2 m3 mn m
上式可写成：mZ m n
例：测定A、B间的高差 hAB ，共连续测了9站。设测量
(抵偿性)：
lim 1 2 n lim 0
n
n
n n
特性(1)、(2)、(3)决定了特性(4)，特性(4)具有实用意义。
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偶然误差的特性 1）有界性； 2）单峰性； 3）对称性； 4）抵偿性
偶然误差是观测过程中各种偶然误差源 影响的总和。它是无法消除的： 1）偶然误差的不可避免性； 2）偶然误差的随机性； 3）观测次数的有限性。
例：量得 1: 500 地形图上两点间长度d =76mm0.2mm,
计算该两点实地距离D和中误差mD：
解：列函数式
D 500 d
求全微分 中误差式
D 500d mD 500ml 100mm 0.1m S 38m 0.1m
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二、和或差函数的中误差
函数式： 全微分： 中误差式：
第5章 测量误差的基本知识
§5.1 测量误差概述 §5.2 衡量精度的标准 §5.3 误差传播定律 §5.4 算术平均值及其中误差 §5.5 用观测值的改正数计算中误差
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2020年5月17日星期日
§5.1 测量误差概述
一、 测量误差产生的原因
● 测量误差（真误差=观测值-真值） l X ● 测量误差的表现形式
Z x y
zi xi yi (i 1,2, , n)
m2Z mx2 m2y
lim 顾及了， [x y ] 0
n
n
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特殊的，设
函数式： 全微分： 中误差式：
Z x1 x2 xn
dz dx1 dx2 dxn
mZ m12 m22 mn2
1
e
2 2m2
d
2 m
误差出现在K倍中误差区间内的概率为：
km
P( km)
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e
2 2m2
d
km 2 m
将K=1、2、3分别代入上式，可得到偶然误差分别出现在
一倍、二倍、三倍中误差区间内的概率：
P(|| m)=0.683=68.3
P(||2m)=0.954=95.4
P(||3m)=0.997=99.7