3.5 闭区间套定理与有限覆盖定理
有限覆盖定理通俗理解-概述说明以及解释
有限覆盖定理通俗理解-概述说明以及解释1.引言1.1 概述有限覆盖定理是一种在离散数学和计算机科学领域中广泛运用的重要定理。
这个定理是关于集合的覆盖问题的，它提供了一种有效的方法来找到最小的集合子集，使得这些子集能够完全覆盖原始集合。
这种覆盖问题在实际应用中非常常见，比如在旅行销售员问题、传感器网络覆盖等领域中都有广泛的应用。
在实际生活中，我们经常会面临类似的覆盖问题，比如在进行商品配送时，希望用最少的车辆将商品送到指定的地址；或者在电信网络规划中，想要在一个区域内布置最少的信号塔来覆盖所有的用户。
这时，有限覆盖定理就能够帮助我们解决这些问题。
有限覆盖定理的应用非常广泛，涉及到众多领域。
在计算机科学领域，有限覆盖定理被广泛运用在算法设计、图论、优化问题等方面。
它的应用不仅仅局限在理论研究中，而且在实际应用中也发挥着重要的作用。
本文将对有限覆盖定理进行深入的讲解和探讨。
首先，我们将介绍有限覆盖定理的定义，包括其基本概念和相关术语。
然后，我们将讨论有限覆盖定理在实际问题中的应用，以及它的意义和优势。
最后，我们将总结有限覆盖定理的要点，并对其进行进一步的思考和未来应用的展望。
通过阅读本文，读者将能够对有限覆盖定理有一个全面的理解，并且能够应用它来解决实际问题。
希望本文能为读者提供有关有限覆盖定理的通俗理解，同时也能够激发读者对这一定理的兴趣和思考。
1.2文章结构1.2 文章结构本文将按照以下结构进行讲述有限覆盖定理的通俗理解：第一部分是引言，主要对整篇文章进行概述，介绍有限覆盖定理的背景和重要性等内容，帮助读者对本文的内容有个整体的把握。
第二部分是正文，将详细阐述有限覆盖定理的定义、应用和意义。
2.1节将对有限覆盖定理的定义进行解释和探讨，帮助读者理解有限覆盖定理的基本概念。
2.2节将介绍有限覆盖定理在实际应用中的具体例子，说明该定理在解决实际问题中的重要性和有效性。
2.3节将深入探讨有限覆盖定理的意义，包括其在数学领域中的应用前景以及对其他领域的启示和影响等内容。
3.5 闭区间套定理与有限覆盖定理
lim
n→ ∞
[(n + 1 )
c
− nc = 0
]
2.闭区间套定理 闭区间套定理 设闭区间套列 [a1 , b1 ], [a 2 , b2 ],⋯, [a n , bn ],⋯ 满足
a （1）对任意的正整数 n， n ≤ a n+1 < bn +1 ≤ bn ）
（2） ）
lim
(b n n→ ∞
n n
n n
，
n
n
定义 • 设 Ω 是直线上的点集,η(η ∈ Ω或η ∉ Ω 均可) 是一个定点.若 η 的任意邻域内都含有 Ω 的无限多个点,则称η 为点集Ω 的一个聚 点。
定理（聚点原理） 定理（聚点原理） 直线上的有界无穷点集至少有一个聚点。 直线上的有界无穷点集至少有一个聚点。 推论（致密性定理） 推论（致密性定理） 有界数列必有收敛的子列。 有界数列必有收敛的子列。
若把满足闭区间套定理的闭区间称为闭区 间套， 间套，那么我们得到了闭区间套的一个有 用的性质： 用的性质：
]} 推论 设 {[a , b是一个闭区间套，存在一点 是一个闭区间套， ) ξ ∈ [a , b ](n = 1,2,⋯， 则对任意 ε >0 ， 存在正整数 n> N [a , b ] 。 (ξ , ε ) ⊂ U 当 N 时，总有
− an
)=
0
则 lim a n = lim bn = ϖ n→∞ n→∞ 是所有区间的唯一公共点。 这里 ϖ 是所有区间的唯一公共点。
注意： 注意： 在闭区间套定理中， 在闭区间套定理中，若将闭区间改为开 区间，定理一般不成立。 区间，定理一般不成立。对于二维及二 维以上的空间， 维以上的空间，我们有类似的闭集合套 原理。 原理。
如何直观理解有限覆盖定理？
如何直观理解有限覆盖定理？有限覆盖定理的作用是从覆盖闭区间的无限个开区间中能选出有限个开区间也覆盖这个闭区间，在研究【无限】的问题中颇为有用。
笔者起初接触这个概念时，觉得这个概念理解起来比较困难，在这里跟大家分享一个较为直观的理解方法。
【以下方法系在平面维度分析，希望能带给你启发】一、定义首先，我们来看看两个概念的定义：有限覆盖定理：设H是闭区间[a,b]的一个（无限）开覆盖，则必可以从H中选择有限个开区间来覆盖[a,b]开覆盖：设S为Rn上的点集，如果Rn中的一组开集A={Uα：α∈A}满足{Uα的并} ⊇ S，那么称集族{Uα} 为S的一个开覆盖。
而被覆盖区域中任意一点P都能找到在开覆盖中找到一个集合S 使得P∈S。
二、背景可能对刚接触这个概念的同学来说，上面这两个概念还比较晦涩，让我们结合图片尝试理解：我们先通过不同颜色的圆来区分我们在【覆盖目标】和【用来覆盖的开圆】。
（这里的圆仅是特殊取得的，实际应用中当然会出现比圆更加复杂的开集）而所谓覆盖，我们可以理解为用一种颜色的圆来完全盖住目标集合，如下图（用开集覆盖目标集合）：假如一系列的开集能够覆盖目标集合（一系列的圆可以将目标圆【涂成另一个颜色】），我们就将这一族开集成为目标集合的一个开覆盖。
那么如何解释有限覆盖定理呢？有限覆盖定理的意思是，对于一个有界的集合，【任意】给定【无穷多个】集合，那么【不管这些集合有多大】，你都一定可以用这些集合中取出【有限个】集合就能覆盖目标有界集合。
而在我们上述绘图中来解释定理，意思就是：任意给定的无穷多个浅蓝色的圆，不管给定的条件多么苛刻、圆有多小，只要覆盖的是一个【有边界的区域】，我们就一定可以在这些圆中找到有限个浅蓝色的圆就能将目标区域【涂满浅蓝色】。
三、理解1.有界开集不适用你一定很奇怪，为什么一定要是覆盖目标一定要是【有界闭集】，而【有界开集】就不行呢？我们【假设】有限覆盖定理对有界开集也适用，我们取定一个开圆（边界上没有点）此时因为有限覆盖定理成立，我们便能够找到从无穷的、任意的开覆盖中找到一个有限子覆盖覆盖这个开圆。
有限覆盖定理证明区间套定理
有限覆盖定理证明区间套定理现在说到区间套定理。
咱们在数轴上想象一系列的闭区间，比如说，第一段是从1到2，第二段是从1.5到2.5，第三段是从1.9到2.1……这些区间就像是叠加的地毯，越叠越厚。
你可能会想，这些区间是不是总能找到一个公共点？那如果你一直缩小这些区间，它们的交集又会怎么样呢？这里就来了，区间套定理告诉我们，假如这些区间的长度逐渐缩小到零，那么总会有一个共同的点在里面，简直像是在找宝藏一样，让人兴奋！咱们不妨来个比喻。
想象一下，你和朋友们在草地上找四叶草。
你们开始的时候，每个人都在一个不同的区域里，大家东张西望。
慢慢地，你们缩小范围，最后凑在了一起，结果发现，嘿，有个地方正好长了四叶草！这就是有限覆盖定理在实际生活中的一场游戏。
大家伙儿都在寻找一个共同的目标，最后的结果是，大家都成功了，真是美滋滋的事情。
这两个定理其实有一个非常有趣的联系，像是老友重逢。
有限覆盖定理告诉我们，覆盖得够多，就一定能找到共同点。
而区间套定理则是具体应用这个原则，实打实地告诉我们，当你把范围缩小到极限，总能找到那颗闪亮的星星。
想象一下，数学的世界就像是一场冒险游戏，有限覆盖就是你开启冒险的钥匙，而区间套就是你找到最终宝藏的地图。
对于许多学数学的人来说，搞明白这两者的关系，就像是把一块难啃的骨头给啃下来，心里那个成就感，简直无与伦比。
每当你在课堂上听到老师讲解这些理论时，可能会觉得有些抽象，但当你明白了其中的奥妙，那感觉就像是冬天里的一缕阳光，温暖又舒服。
咱们再来聊聊实际应用。
生活中其实处处都能见到这些定理的身影。
比如说，数据分析、机器学习等等，都是在用有限覆盖定理和区间套定理的思路。
想想看，当你在网络上刷视频、购物的时候，算法就是在不断地寻找用户的共同点，精准推荐，真是好得让人拍手叫绝。
你看，数学并不是一门冷冰冰的学科，它和我们的生活是息息相关的。
有限覆盖定理和区间套定理，像两个好朋友，总是在默默地支持着我们，让我们的生活更加丰富多彩。
用闭区间套定理证明有限覆盖定理
用闭区间套定理证明有限覆盖定理1. 引言说起数学，大家第一反应可能是“哦，那玩意儿太难了！”不过，今天咱们聊聊闭区间套定理和有限覆盖定理，听起来复杂，其实没那么吓人。
就像吃火锅，虽然配料多得让人眼花缭乱，但只要心里有数，就能轻松享受。
我们就用一种轻松的方式，把这些抽象的定理给理清楚，包你听完之后心里美滋滋的，甚至想要和朋友炫耀一番。
2. 闭区间套定理2.1 什么是闭区间套定理？首先，闭区间套定理就像是数学界的“保底党”。
它告诉我们，如果有一系列闭区间，且每个区间都在前一个区间里面，那么这些区间一定有一个交集。
简单来说，就像一个个俄罗斯套娃，一个小娃娃总是藏在一个大娃娃里，最后你总能找到一个最小的那个娃娃！比如，你有一堆闭区间 (a_n, b_n)，如果 (a_1 leq a_2 leq ... leq a_n) 并且 (b_1 geqb_2 geq ... geq b_n)，那么就能找到一个数，能在所有这些区间中“安家落户”。
2.2 为什么它重要？这个定理的重要性不言而喻，想想咱们日常生活中的事情。
比如，你们要约个时间一起吃饭，每个人都希望时间能凑在一起，最后能找到一个大家都能的时间段。
就像这些区间，找到一个共同的点，大家都能满意，这就是闭区间套定理的妙处。
3. 有限覆盖定理3.1 有限覆盖定理是啥？接下来，咱们说说有限覆盖定理。
这个定理可以理解为：如果你有一个无限的“床”，想要把它盖起来，你就得用足够多的“被子”。
具体说，如果一个集合可以被一堆开区间覆盖，而这些开区间的长度都有限，那么总有办法用有限多个开区间来把这个集合“覆盖”。
就好比你有一块空地，想把它铺成草坪，虽然你买了一堆草皮，但只要你买的草皮够多，就一定能把这块地铺满！3.2 如何证明它？那么，如何用闭区间套定理来证明有限覆盖定理呢？其实，这就像是一场数学的“联欢会”。
首先，我们考虑所有的开区间，想象成一群朋友聚在一起，但不够热闹。
接着，我们把这些开区间的端点收集起来，形成一个闭区间套。
§7 有限覆盖定理
（ 矛盾！ 矛盾！ [ ] an η bn ）
α
β
注意：区间的有限性、 可少！ 注意：区间的有限性、闭性不 可少！
{(0, n)}, n = 1,2,3,⋯ 是(1,+∞ )的开覆盖 , 无有限覆盖 . 1 {( , 1)}, n = 2,3,⋯ 是 (0,1)的开覆盖 , 无有限覆盖 . n
•
•
数学家欧拉介绍
• • 欧拉的父亲保罗·欧拉（ 欧拉的父亲保罗 欧拉（Paul Euler）也是一个数学家，原希望小欧拉学神学， 欧拉 ）也是一个数学家，原希望小欧拉学神学， 同时教他一点教学。由于小欧拉的才人和异常勤奋的精神，又受到约翰·伯努利 同时教他一点教学。由于小欧拉的才人和异常勤奋的精神，又受到约翰 伯努利 的赏识和特殊指导，当他在19岁时写了一篇关于船桅的论文 岁时写了一篇关于船桅的论文， 的赏识和特殊指导，当他在 岁时写了一篇关于船桅的论文，获得巴黎科学院 的奖的奖金后，他的父亲就不再反对他攻读数学了。 的奖的奖金后，他的父亲就不再反对他攻读数学了。 1725年约翰 伯努利的儿子丹尼尔 伯努利赴俄国，并向沙皇喀德林一世推荐 年约翰·伯努利的儿子丹尼尔 伯努利赴俄国， 年约翰 伯努利的儿子丹尼尔·伯努利赴俄国 了欧拉，这样， 日欧拉来到了彼得堡。 了欧拉，这样，在1727年5月17日欧拉来到了彼得堡。1733年，年仅 岁的欧 年 月 日欧拉来到了彼得堡 年 年仅26岁的欧 拉担任了彼得堡科学院数学教授。 拉担任了彼得堡科学院数学教授。1735年，欧拉解决了一个天文学的难题（计 年 欧拉解决了一个天文学的难题（ 算慧星轨道），这个问题经几个著名数学家几个月的努力才得到解决， ），这个问题经几个著名数学家几个月的努力才得到解决 算慧星轨道），这个问题经几个著名数学家几个月的努力才得到解决，而欧拉 却用自己发明的方法，三天便完成了。然而过度的工作使他得了眼病， 却用自己发明的方法，三天便完成了。然而过度的工作使他得了眼病，并且不 幸右眼失明了，这时他才28岁 年欧拉应普鲁士彼德烈大帝的邀请， 幸右眼失明了，这时他才 岁。1741年欧拉应普鲁士彼德烈大帝的邀请，到柏 年欧拉应普鲁士彼德烈大帝的邀请 林担任科学院物理数学所所长，直到1766年，后来在沙皇喀德林二世的诚恳敦 林担任科学院物理数学所所长， 直到 年 聘下重回彼得堡，不料没有多久，左眼视力衰退，最后完全失明。 聘下重回彼得堡，不料没有多久，左眼视力衰退，最后完全失明。不幸的事情 接踵而来， 年彼得堡的大火灾殃及欧拉住宅， 接踵而来，1771年彼得堡的大火灾殃及欧拉住宅，带病而失明的 岁的欧拉被 年彼得堡的大火灾殃及欧拉住宅 带病而失明的64岁的欧拉被 围困在大火中，虽然他被别人从火海中救了出来， 围困在大火中，虽然他被别人从火海中救了出来，但他的书房和大量研究成果 全部化为灰烬了。 全部化为灰烬了。 沉重的打击，仍然没有使欧拉倒下，他发誓要把损失夺回来。 沉重的打击，仍然没有使欧拉倒下，他发誓要把损失夺回来。在他完全失明 之前，还能朦胧地看见东西，他抓紧这最后的时刻， 之前，还能朦胧地看见东西，他抓紧这最后的时刻，在一块大黑板上疾书他发 现的公式，然后口述其内容，由他的学生特别是大儿子A·欧拉 欧拉（ 现的公式，然后口述其内容，由他的学生特别是大儿子 欧拉（数学家和物理 学家）笔录。欧拉完全失明以后，仍然以惊人的毅力与黑暗搏斗， 学家）笔录。欧拉完全失明以后，仍然以惊人的毅力与黑暗搏斗，凭着记忆和 心算进行研究，直到逝世，竟达17年之久 年之久。 心算进行研究，直到逝世，竟达 年之久。 欧拉的记忆力和心算能力是罕见的，他能够复述年青时代笔记的内容， 欧拉的记忆力和心算能力是罕见的，他能够复述年青时代笔记的内容，心算 并不限于简单的运算，高等数学一样可以用心算去完成。 并不限于简单的运算，高等数学一样可以用心算去完成。有一个例子足以说明 他的本领，欧拉的两个学生把一个复杂的收敛级数的17项加起来，算到第50位 他的本领，欧拉的两个学生把一个复杂的收敛级数的 项加起来，算到第 位 项加起来 数字，两人相差一个单位，欧拉为了确定究竟谁对，用心算进行全部运算， 数字，两人相差一个单位，欧拉为了确定究竟谁对，用心算进行全部运算，最 后把错误找了出来。欧拉在失明的17年中 年中； 后把错误找了出来。欧拉在失明的 年中；还解决了使牛顿头痛的月离问题和 很多复杂的分析问题。 很多复杂的分析问题。
实数的完备性 (2)
于是按定义 2，存在 {xn} 的一个收敛子列 以 ξ 为其极限.
证毕。
注： 聚点定理和致密性定理在有理数域不一定成立。
1 n 1 n 如：S {(1 ) }, { xn } {(1 ) }, n n
S是有界的无限有理点集，在实数域内的唯一聚
点为e，因而在有理数域没有聚点。 数列{xn}是有理数域内的有界数列，但其极限
0，N 0, n N , 有 [ n , n ] U ( , ). 由推论得 ：
因此在 U ( ; ) 内含有 {an }中除有限项外的所有项，
即 lim an .
n
柯西收敛原理的意义不仅在于它提供了判断数列收敛 的一个充分必要条件，而且，他还是刻画实数完备性的最
在什么情况下应用闭区间套定理呢？ 一般来说, 证明问
题需要找到具有某种性质 P 的一个数,常常应用闭区间套定理 将这个数“套”出来。 怎样应用闭区间套定理呢? ① 首先构造一个具有性质P的闭区间. 性质要根据性质P来定。 ② 其次，通常采用二等分法， 将此闭区间二等分 ，至少有
一个闭区间具有性质P。
是区间(0, 1)的一个无限开覆盖。
在具体问题中，一个点集的开覆盖往往是由该问题的 某些具体条件所确定。 函数f 在 (a, b) 内连续， 0, x (a , b), x 0, 使
n
定义2 定义2 定义2 显然，
三个定义等价性的证明:
2
1
只需证： 定义2 定义2
取 1 1, 则x1 U ( ; 1 ) S， 显然 x2 x1，
(
(
x 2 x1
)
)
0, x U ( , ) S , 设 为S（按定义2 ）的聚点，
六大定理互相证明总结
六大定理的相互证明总结XXX 学号数学科学学院 数学与应用数学专业 班级指导老师 XXX摘要 在《数学分析》中第二部分极限续论中提到的实数的基本定理一共提到六大定理，其中包括确界定理，单调有界原理，区间套定理，致密性定理，柯西收敛定理，有限覆盖定理.该六大定理在闭区间上连续函数性质的证明起着同等重要的作用.本文总结了六大定理的相互证明.关键词 确界定理、单调有界原理、区间套定理、致密性定理、柯西收敛定理、有限覆盖定理1 确界定理1.1 确界定理 有上界的非空数集必有上确界，有下界的非空数集必有下确界. 1.2 确界定理证明区间套定理 证明：设一无穷闭区间列{[,n a ]n b }适合下面两个条件：（1）后一个区间在前一个区间之内，即对任一正整数n ，有1+≤n n a a ＜n n b b ≤+1，（2）当n ∞→时，区间列的长度{(-n b )n a }所成的数列收敛于零，即()0lim =-∞→n n n a b .显然数列{}n a 中每一个元素均是数列{}n b 的下界，而数列{}n b 中每一个元素均是数列{}n a 的上界.由确界定理，数列{}n a 有上确界，数列{}n b 有下确界. 设{}{}.sup ,inf n n a b ==βα显然n n n n b a b a ≤≤≤≤βα,. 又 ()0lim =-∞→n n n a b ∴βα=即{}n a 及{}n b 收敛于同一极限ξ，并且ξ是所有区间的唯一公共点. 1.3 确界定理证明单调有界原理[1]证明：我们只就单调增加的有界数列予以证明.因{}n y 有界，则必有上确界{}n y sup =β.现在证明β恰好是{}n y 的极限，即β→n y .由上确界的定义有：⑴β≤n y （3,2,1=n …），⑵对任意给定的ε＞0，在{}n y 中至少有一个数N y ，有N y ＞εβ-.但由于{}n y 是单调增加数列，因此当n ＞N 时，有N n y y ≥，从而n y ＞εβ-.也就是说：当n ＞N 时，有 n y -≤β0＜ε 所以 β→n y 2 单调有界原理2.1 单调有界原理 单调有界数列有极限. 2.2 单调有界原理证明致密性定理在证明定理之前，我们要先证明一个引理：任意一个数列{}n x 必存在单调子数列. 证明：⑴若{}n x 中存在递增子序列{}k n x ，则引理已证明；⑵若{}n x 中无递增子序列，那么∃1n ＞0，使n ＞1n ，恒有1n x ＞n x .同样在{}n x （n ＞1n ）中也无递增子序列.于是又存在2n ＞0，使2n ＞n ，恒有2n x ＜n x ＜1n x .如此无限进行下去便可得到一严格递减子序列{}k n x . 引理得证.下面证明定理：由引理知，有界数列必有有界单调子数列.又由单调有界原理知，该有界单调子数列必有极限，即该子数列是收敛的.故有界数列必有收敛子列. 2.3 单调有界原理证明区间套定理[1]由定理的条件立即知道{}n a 是单调增加有上界的数列，{}n b 是单调递减有下界的数列.根据定理，则n n a ∞→lim 存在，且极限等于{}n a 的上确界.同样，n n b ∞→lim 也存在，且极限等于{}n b 的下确界.亦即对任何正整数k ，有n n k n n k b b a a ∞→∞→≥≤lim ,lim （*）由定理的另一条件： ()0lim =-∞→n n n a b ，并且由于已知{}n a 及{}n b 的极限都存在，则有()0lim lim lim =-=-∞→∞→∞→n n n n n n n a b a b .从而证明了两个极限相等，且设ξ是它们的同一极限.于是定理前一部分的结果即已证得.剩下要证的是：ξ是所有区间的唯一公共点.由（*）的两个不等式，即有 n k b a ≤≤ξ（3,2,1=k …）也就是ξ是所有区间的一个公共点.现在要证明ξ是所有区间的唯一公共点.设除点ξ外，所设区间列还有另外一个公共点'ξ，且ξξ≠'.由于n n b a ≤≤',ξξ（3,2,1=n …），故有ξξ-≥-'n n a b （3,2,1=n …） 由数列极限的性质知道：()ξξ-≥-∞→'lim n n n a b由于()0lim =-∞→n n n a b ，故有0'≤-ξξ从而有ξξ='.到此定理的全部结果都已得证. 3 区间套定理3.1 区间套定理 设一无穷闭区间列{[,n a ]n b }适合下面两个条件：（1）后一个区间在前一个区间之内，即对任一正整数n ，有1+≤n n a a ＜n n b b ≤+1，（2）当n ∞→时，区间列的长度{(-n b )n a }所成的数列收敛于零，即()0lim =-∞→n n n a b ，则区间的端点所成两数列{}n a 及{}n b 收敛于同一极限ξ，并且ξ是所有区间的唯一公共点.3.2 区间套定理证明单调有界原理 证明：设数列{}n x 递增有上界.取闭区间[]11,b a ，使1a 不是数列{}n x 的上界，1b 是数列{}n x 的上界.显然在闭区间[]11,b a 内含有数列{}n x 的无穷多项，而在[]11,b a 外仅含有数列{}n x 的有限项. 对分[]11,b a ，取[]22,b a ，使其具有[]11,b a 的性质.故在闭区间[]22,b a 内含有数列{}n x 的无穷多项，而在[]22,b a 外仅含有数列{}n x 的有限项.以此方法，得区间列{[,n a ]n b }.由区间套定理，ξ是所有区间的唯一公共点.显然，在ξ的任何邻域内有数列{}n x 的无穷多项，即ε∀＞0，∃*N N ∈，当n ＞N 时，有ξ-n x ＜ε. 所以ξ=∞→n n x lim 定理得证.3.3 区间套定理证明致密性定理[1]证明：设{}n y 为有界数列，即存在两个数b a ,，使b y a n ≤≤.等分区间[]b a ,为两个区间，则至少有一个区间含有{}n y 中的无穷个数.把这个区间记为[]11,b a ，如果两个区间都含有无穷个n y ，则任取其一作为[]11,b a .再等分区间[]11,b a 为两半，记含有无穷个n y 的区间为[]22,b a .这个分割手续可以继续不断的进行下去，则得到一个区间列{[,n a ]n b }，这个区间列显然适合下面两个条件：（1）[][][]⊃⊃⊃2211,,,b a b a b a … （2）02→-=-nn n ab a b 于是由区间套定理，必存在唯一点[]b a ,∈ξ使ξξ→→n n b a ,，且[]k k b a ,∈ξ（3,2,1=k …）.每一[]k k b a ,中均含有{}n y 的无穷个元素.在[]11,b a 中任取{}n y 的一项，记为1n y ，即{}n y 的第1n 项.由于[]22,b a 也含有无穷个n y ，则它必含有1n y 以后的无穷多个数，在这些数中任取其一，记为2n y ，则1n ＜2n .继续在每一[]k k b a ,中都这样取出一个数k n y ，即得{}n y 的一个子列{}k n y ，其中1n ＜2n ＜…＜k n ＜…，且k n k b y a k ≤≤.令∞→k ，由于,,ξξ→→k k b a 故ξ→k n y .这就是定理所要的结果.4 致密性定理4.1 致密性定理 又称魏尔斯特拉斯定理，任一有界数列必有收敛子列. 4.2 致密性定理证明单调有界原理证明：不妨设{}n x 单调递增且有界，根据致密性定理有收敛子列{}k n x . 令a x k n k =∞→lim .于是，对ε∀＞0，∃0k ，当k ＞0k 时，有a x k n -＜ε （*） 由于{}n x 单调递增，显然恒有a x n ≤（3,2,1=n …）. 由此（*）式可改成0k n x a -≤＜ε （k ＞0k ） 取0k n N =，当n ＞N 时有 k n n x a x a -≤-≤0＜ε 所以 a x n n =∞→lim4.3 致密性定理证明柯西收敛原理[1] 证明：首先证明条件的必要性：设a x n →，则对任意给定ε＞0，有一正整数N ，当k ＞N 时，有 a x k -＜2ε从而当n m ,＞N 时，有m n m n x a a x x x -+-≤-＜2ε+2ε=ε 其次证明条件的充分性：首先，证明满足条件的任何数列必有界.从所设条件，取ε=1，必有一正整数0N ，当n m ,＞0N 时，有m n x x -＜1特别地，当n ＞0N 且10+=N m 时，有 10+-N n x x ＜1 从而当n ＞0N 时，有 1100+++-≤N N n n x x x x ＜1+10+N x这就证明了{}n x 的有界性.由致密性定理，必有收敛子列{}k n x ，设a x k n k =∞→lim .根据子列收敛定义，对任意给定的ε＞0，必有正整数K ，当k ＞K 时，有 a x n -＜ε取一正整数()1,1m ax 0++=N K k .于是0k ＞K ，且11+≥≥+N n n N k o ＞N .因此，当n ＞N 时，由已知条件有0k n n x x -＜ε，所以a x x x a x k k n n n n -+-≤-00＜ε+ε=2ε即 a x n n =∞→lim5 柯西收敛原理5.1 柯西收敛原理 数列{}n x 有极限的必要与充分条件是：对任意给定的ε＞0，有正整数N ，当m , n ＞N 时，有m n x x -＜ε. 5.2 柯西收敛原理证明单调有界原理证明：反证法，设{}n x 为一递增且有上界M 的数列.假设其没有极限，则用柯西收敛原理表达就是ε∃＞0，对*N N ∈∀，当n m ,＞N 时，有 m n x x -ε≥ 取1=ε，必有一正整数1N ，当21,n n ＞1N 时，有112≥-n n x x . 又由于数列{}n x 为一递增的数列，所以1212n n n n x x x x -=-1≥ 取1=ε，必有一正整数1N ，当32,n n ＞1N 时，有123≥-n n x x 取1=ε，必有一正整数1N ，当43,n n ＞1N 时，有134≥-n n x x …………… …………… …………… 取1=ε，必有一正整数1N ，当1,+k k n n ＞1N 时，有11≥-+k k n n x x 将以上式子相加，得11+≥+k x k n ∞→ （∞→k ） 与数列{}n x 有上界M 矛盾，假设不成立. 即，单调有界数列有极限. 5.3 柯西收敛原理证明致密性定理证明：反证法，设{}n x 为一有上界M 的数列. 假设其没有收敛子列.由子列收敛的定义，则ε∃＞0，对*N N ∈∀，当k k n n ,1+＞N 时，有ε≥-+k k n n x x 1. 取1=ε，必有一正整数1N ，当21,n n ＞1N 时，有112≥-n n x x 取2=ε，必有一正整数2N ，当32,n n ＞2N 时，有223≥-n n x x 取3=ε，必有一正整数3N ，当43,n n ＞3N 时，有334≥-n n x x…………… …………… …………… 取k =ε，必有一正整数k N ，当1,+k k n n ＞k N 时，有k x x k k n n ≥-+1 显然与数列{}n x 有上界M 矛盾，假设不成立. 即，任一有界数列必有收敛子列. 6 有限覆盖定理6.1有限覆盖定理 若开区间所组成的区间集E 覆盖一个闭区间[a ,b ],则总可以从E 中选出有限个区间，使这有限个区间覆盖[a ,b ]. 6.2 有限覆盖定理证明确界定理证明：在这里我们只说明定理的上确界部分.设不为空集的区间E ⊂R ，∀x ∈E ,有x ≤M ,任取一点0x ∈E ，假设E 无上确界，那么∀x ∈[0x ,M ]:ⅰ)当x 为E 的上界时，必有更小的上界1x ＜x ,因而x 存在一开邻域∆x ，其中每一点均为E 的上界，称其为第一类区间；ⅱ）当x 不是E 的上界时，则有2x ∈E 使2x ＞x ,那么x 存在一开邻域∆x ，其中每点均不是E 的上界，称其为第二类区间.∴ 当x 取遍[0x ,M ]上每一点找出一个邻域∆x .显然∆x 不是第一类区间就是第二类区间.这些邻域组成闭区间[0x ,M ]的一个开覆盖，由有限覆盖定理，必存在有限子区间覆盖[0x ,M ].显然M 所在的开区间应为第一类区间，与其邻接的开区间∆x 有公共点.所以∀x ∈∆x ，x 均为E 的上界.而与∆x 相邻接的开区间∆'x 有公共点，所以∀x ∈∆'x ，x 均为E 的上界. 依此类推，0x 所在的开区间也是第一类区间，则0x 为E 的上界. 又 0x E ∈，∴E 为常数集.由此矛盾引出. 得证.同理，E 有下确界.6.3 有限覆盖定理证明致密性定理证明：设{}n x 是一有界数列，现在证明{}n x 有收敛子列.（1）如果{}n x 仅由有限个数组成，那么至少有一个数ξ要重复无限多次，即ξ===21n n x x …==kn x … 因而子列{}kn x 收敛于ξ.（2）如果{}n x 是由无穷多个数组成，由有界性知，存在闭区间[]b a ,，使对一切自然数n 都有a ＜n x ＜b在[]b a ,内至少存在一点0x ，使对于任意的正数δ，在()δδ+-00,x x 内都含有{}n x 中无穷多个数.事实上，倘若不然，就是说对于[]b a ,中每一点x ，都有x δ＞0，在()x x x x δδ+-,内，仅有{}n x 中的有限个数.考虑所有这样的开区间所成之集：{=μ(,x x δ-)x x δ+}，μ完全覆盖了闭区间[]b a ,，依有限覆盖定理，存在μ中的有限多个区间.()11111,x x x x δδ+-=∆，…，()n n x n x n n x x δδ+-=∆,，他们也覆盖了[]b a ,，并且在每一个i ∆（,2,1=i …,n ）中都只含{}n x 中的有限多个数.因此{}n x 也最多是由有限个数组成，这与假设矛盾. 于是，对于k δ=k1（,3,2,1=k …），于()k k x x δδ+-00,内取{}n x 中无穷多个点，就得到{}n x 的子列{}k n x 满足：0x x k n -＜kk 1=δ（,3,2,1=k …）从而∞→k lim 01x x n =得证.总结：六大定理可以分为两类： ① 有限覆盖定理：反映区间上的整体性质； ② 其余五个：反映函数在一点上的性质.实数的六个基本定理在理论上很有用，在之后的闭区间上的函数的性质的证明上发挥着重要的作用.本文在写作过程中得到了XXX 老师的多次精心指导，在此表示感谢.参考文献：[1] 陈传璋 金福临 朱学炎 .《数学分析（上）》.高等教育出版社.1983.7。
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n n
，
n
n
定义 • 设 Ω 是直线上的点集,η(η ∈ Ω或η ∉ Ω 均可) 是一个定点.若 η 的任意邻域内都含有 Ω 的无限多个点,则称η 为点集Ω 的一个聚 点。
定理（聚点原理） 定理（聚点原理） 直线上的有界无穷点集至少有一个聚点。 直线上的有界无穷点集至少有一个聚点。 推论（致密性定理） 推论（致密性定理） 有界数列必有收敛的子列。 有界数列必有收敛的子列。
− an
)=
0
则 lim a n = lim bn = ϖ n→∞ n→∞ 是所有区间的唯一公共点。 这里 ϖ 是所有区间的唯一公共点。
注意： 注意： 在闭区间套定理中， 在闭区间套定理中，若将闭区间改为开 区间，定理一般不成立。 区间，定理一般不成立。对于二维及二 维以上的空间， 维以上的空间，我们有类似的闭集合套 原理。 原理。
闭区间套定理与有限覆盖定理
1.夹逼准则 夹逼准则
满足下列条件: 如果数列xn , yn及zn满足下列条件:
(1) yn ≤ xn ≤ zn
n→∞
(n = 1,2,3⋯ )
(2) lim yn = a, limzn = a,
的极限存在, 那末数列xn 的极限存在, 且lim xn = a.
n→∞
n→∞
注意: 注意: 利用夹逼准则求极限关 键是构造出yn与zn ,
. 并且yn与zn的极限是容易求的
夹逼定理示意图
g( x ) ≤ f ( x ) ≤ h( x )
A
1 1 1 例1 求 lim( ). + 2 + ⋯+ 2 2 n→∞ n +1 n +2 n +n
例2 设 0 < c < 1, 证明
若把满足闭区间套定理的闭区间称为闭区 间套， 间套，那么我们得到了闭区间套的一个有 用的性质： 用的性质：
]} 推论 设 {[a , b是一个闭区间套，存在一点 是一个闭区间套， ) ξ ∈ [a , b ](n = 1,2,⋯， 则对任意 ε >0 ， 存在正整数 n> N [a , b ] 。 (ξ , ε ) ⊂ U 当 N 时，总有
lim
n→ ∞
[(n + 1 )
c
−பைடு நூலகம்nc = 0
]
2.闭区间套定理 闭区间套定理 设闭区间套列 [a1 , b1 ], [a 2 , b2 ],⋯, [a n , bn ],⋯ 满足
a （1）对任意的正整数 n， n ≤ a n+1 < bn +1 ≤ bn ）
（2） ）
lim
(b n n→ ∞