弹性力学计算题

三．试确定以下两组应变状态能否存在(B A K ,,为常数), 并说明为什么？

(1) Kxy Ky y x K xy y x 2,),(222==+=γεε (存在) (2) 0,,22===xy y x y Bx Axy γεε (不存在)

四．计算题

1. 图中所示的矩形截面体，受力如图所示，试写出其边界条件。

解：主要边界条件，

b x =，p xy x ==τσ;0

b x -=，0;==xy x q τσ

次要边界条件，在0=y 上，

0)(0==y xy τ，满足；

F dx b

b

y y -=?

-=0)(σ

2

)(0Fb

xdx b

b

y y -

=?

-=σ 2.图中所示的矩形截面体，在o 处受有集中力F 和力矩2/Fb M =作用，试用应力函数23Bx Ax +=φ求解图示问题的应力分量，设在A 点的位移和转角均为零。

解：应用应力函数求解，

（1） 校核相容方程04

=?φ，满足 （2） 求应力分量，在无体力时，得

B Ax y 26+=σ，0==xy y τσ 考察主要边界条件，

b x ±=，0==xy y τσ，均满足。 考察次要边界条件，在0=y 上，

0)(0==y xy τ，满足；

F dx b

b

y y -=?-=0)(σ，得b

F

B 2-

=； 2)(0Fb

xdx b b y y -=?-=σ，得2

8b

F A -=。 代入，得应力的解答，

)231(2b

x

b F y +-

=σ，0==xy x τσ 上述应力已满足了04

=?φ和全部边界条件，因而是上述问题的解。

3. 图中所示的悬臂梁，长度为l ，高度为h ，l h >>，在边界上受均匀分布荷载q ，试验应力函数

523322Ay Bx y Cy Dx Ex y φ=++++

能否成为此问题的解？如可以，试求出应力分量。

4. 已知如图所示矩形截面柱，承受偏心荷载P 的作用。若应力函数2

3

Bx Ax +=?，试求各应力分量。

解：（1）检验相容方程是否满足，由0)(4

=?φ

（2）求应力分量：

0=x σ B y 2Ax 6+=σ 0=xy τ

（3）由边界条件：h y =边，由圣维南原理可得：

p dx a

a

h y y -=?

-=)(σ

可得：a p B 4/-=

2

)(0a p xdx a

a

y y ?

-=?

-=σ 可得：2

8a p

A -

= （4）应力分量为：

0=x σ

a p

x a p y 2432

--

=σ

0=xy τ

5. 试推导平面问题的y 方向的平衡微分方程0=+??+

??y xy y f x

y

τσ

解：

以y 轴为投影轴，列出投影平衡方程∑=0x

F

；

0)()(=+-??++-??+dxdy f dy dy dx x

dx

dx dy y

y xy xy xy

y y

y τττσσσ　

x

σ y

τ y x

σ x

τ

x y

dy

y

y

y

? +

? σ σ dx

x

xy

xy ? ? + τ τ dy

y

yx yx ? ? + τ τ dx

x

x

x

? ?

+ σ σ y

x

f y

f

C

约简之后，两边除以dxdy ，得

0=+??+

??y xy y f x

y

τσ

2、考虑上端固定，下端自由的一维杆件，见题七图，只受重力作用，

g f f y x ρ==,0（ρ为杆件密度，g 为重力加速度），并设μ=0。

试用位移法求解杆件竖向位移及应力。（14分） （平面问题的平衡微分方程：0=+??+??x yx

x f y x στ，0=+??+??y xy y f x

y στ；用位移分量表示的

应力分量表达式：)(12y v μx u μE σx ??+??-=

，)(12

x

u

μy v μE σy ??+??-=，)()1(2y

u

x v μE τxy ??+??+=

）

解：据题意，设位移u =0，v =v (y )，按位移进行求解。

根据将用位移分量表示的应力分量代入平面问题的平衡微分方程，得到按位移求解平面应力问题的基本微分方程如下：

,0)2121(12

2

2

22

2=+???++??-+??-x f y x v

y u x u E μμμ

(a )

.0)2121(1222222=+???++??-+??-y f y

x u

x v y v E μμμ

(b )

将相关量代入式(a)、(b)，可见(a) 式（第一式）自然满足，而(b) 式第二

式成为E

g y v ρ-=??22

可由此解出

.22

B Ay y E

g v ++-=ρ

(c ) 本题中，上下边的边界条件分别为位移边界条件和应力边界条件，且

0)(,0)(0====l y y y v σ

将(c )代入，可得l E

g

A B ρ==，0

反代回(c )，可求得位移：

)2(22y ly E

g

v -=

ρ

)(y l g σy -=ρ

g l

o y

x 题七图

ρ

4、设有函数???

?

??-+???? ??-+-=Φh y h y qy h y h y qx 332332251344， （1）判断该函数可否作为应力函数？（3分）

（2）选择该函数为应力函数时，考察其在图中所示的矩形板和坐标系（见题九图）中能解决什么问题（l >>h ）。（15分） 解：

（1）将φ代入相容方程024422444

=??+???+??y

Φy x Φx Φ，显然满足。因此，该函数可以作为应力函数。

（2）应力分量的表达式：

???

? ??--=??Φ?-=???

?

??-+-=?Φ?=-+-?Φ?=22323322333222461342,

3346y h h qx y x h y h y q x h qy

h qy h y qx y xy

y x τσσ

考察边界条件：在主要边界y ＝±h/2上，应精确满足应力边界条件

()q h y h y q h

y h

y y -=????

??-+-=-=-=2

332

1342σ ()

013422

332

=???? ??-+-===h

y h

y y h y h y q σ ()

0462

2232

=???? ??--=±=±=h

y h

y xy y h h qx τ 在次要边界x ＝0上，应用圣维南原理，可列出三个积分的应力边界条件：

())(0

3342

/2/3302

/2/奇函数=???

?

??-=??-=-dy h qy h qy dy h h x h h x σ

()0

3342

/2/3302

/2/=???

?

??-=??-=-ydy h qy h qy ydy h h x h h x σ

()

2/2

/==-?dy x h h xy

τ

在次要边界x ＝l 上，应用圣维南原理，可列出三个积分的应力边界条件：

O

x

h/2

h/2y

题九图

())(0

33462

/

2/33322

/2/奇函数=???

?

??-+-=??-=-dy h qy h qy h y ql dy h h l x h h x σ

()233462

/2/33322

/2/ql ydy h qy h qy h y ql ydy h h l x h h x -=???? ??-+-=??-=-σ

()ql y h h ql dy h h l x h h xy -=???

? ??--=??-=-2

/2/2232

/2/46τ

对于如图所示的矩形板和坐标系，结合边界上面力与应力的关系，当板

内发生上述应力时，由主边界和次边界上的应力边界条件可知，左边、下边无面力；而上边界上受有向下的均布压力；右边界上有按线性变化的水平面力合成为一力偶和铅直面力。

所以能够解决右端为固定端约束的悬臂梁在上边界受均布荷载q 的问题。

1. （12分）试列出图5-1的全部边界条件，在其端部边界上，应用圣维南原理列出三个

积分的应力边界条件。（板厚1=δ）

图5-1

解：在主要边界2h y ±=上，应精确满足下列边界条件：

()

l qx h y y -=-=2

σ，()

02

=-=h y yx

τ； ()

02

=+=h y y

σ，()

12

q h y yx

-=+=τ

在次要边界0=x 上，应用圣维南原理列出三个积分的应力边界条件，当板厚1=δ

时，

()

?+-=-=2

2

h h N x x F dy σ，()?

+-=-=2

2

0h h x x M ydy σ，()?+-=-=2

20h h S x xy F dy τ

在次要边界l x =上，有位移边界条件：()0==l x u ，()0==l x v 。这两个位移边界

条件可以改用三个积分的应力边界条件代替：

()l

q F dy h h N x x ?+-=+-=2

210

σ，

()2

622

20qlh

ql l F M ydy S h h x x +---=?+-=σ，

()

2

22

ql F dy h h S x xy

--=?+-=τ

2. （10分）试考察应力函数3

cxy =Φ，0>c ，能满足相容方程，并求出应力分量（不

计体力），画出图5-2所示矩形体边界上的面力分布，并在次要边界上表示出面力的主矢和主矩。

图5-2

解：（1）相容条件：将3

cxy =Φ代入相容方程02442244

4=?Φ

?+??Φ?+?Φ?y

y x x ，显然满足。 （2）应力分量表达式：cxy y

x 62

2=?Φ?=σ，0=y σ，23cy xy -=τ （3）边界条件：在主要边界2

h

y ±=上，即上下边，面力为()chx h y y 32

±=±=σ，()224

3ch h y xy -=±=τ

在次要边界l x x ==,0上，面力的主失和主矩为

()()()???

??????-=-===????+-+-=+-=+-=22322202

202

204300

h h h h x xy h h x x h h x x h c dy cy dy dy y dy τσσ ()()()?????????-=-=====??????+-+-=+-+-=+-+-=2232

22

03222

222222432606h h h h x xy h h h h l x x h h h h l x x h c dy cy dy clh dy cly dy y dy cly dy τσσ 弹性体边界上的面力分布及在次要边界l x x ==,0上面力的主失量和主矩如解图所示。

3. （14分）设有矩形截面的长竖柱，密度为ρ，在一边侧面上受均布剪力q, 如图5-3所

示，试求应力分量。（提示：采用半逆解法，因为在材料力学弯曲的基本公式中，假设材料符合简单的胡克定律，故可认为矩形截面竖柱的纵向纤维间无挤压，即可设应力分量0=x σ ）

图 5-3

解：采用半逆解法，因为在材料力学弯曲的基本公式中，假设材料符合简单的胡克定律，故可认为矩形截面竖柱的纵向纤维间无挤压，即可设应力分量0=x σ，

(1) 假设应力分量的函数形式。0=x σ

(2) 推求应力函数的形式。此时，体力分量为g f f y x ρ==,0。将0=x σ代入应

力公式22y x ?Φ?=σ有02

2=?Φ

?=y x

σ对x 积分，得()x f y =?Φ?， （a ） ()()x f x yf 1+=Φ。 （b ）

其中()x f ，()x f 1都是x 的待定函数。

(3)由相容方程求解应力函数。将式（b ）代入相容方程04

=Φ，得

()()04

1444=+dx

x f d dx x f d y 这是y 的一次方程，相容方程要求它有无数多的根（全部竖柱内的y 值都应该满

足），可见它的系数和自由项都必须等于零。

()04

4=dx x f d ，()0414=dx x f d ，两个方程要求

()Cx Bx Ax x f ++=23，()231Ex Dx x f += (c)

()x f 中的常数项，()x f 1中的一次和常数项已被略去，因为这三项在Φ的表达式

中成为y 的一次和常数项，不影响应力分量。得应力函数

()()

2323Ex Dx Cx Bx Ax y ++++=Φ (d)

（4）由应力函数求应力分量。

022=-?Φ

?=x x xf y

σ， (e)

gy E Dx By Axy yf x

y y ρσ-+++=-?Φ

?=262622， (f)

C Bx Ax y

x xy

---=??Φ?-=2322τ. (g)

(5) 考察边界条件。利用边界条件确定待定系数 先来考虑左右两边2b x ±=的主要边界条件：

()02=±=b x x σ，()02=-=b x xy τ，()q b x xy =+=2τ。

将应力分量式(e)和(g)代入，这些边界条件要求：

()02=±=b x x σ，自然满足； ()04

322=-+-=-=C Bb Ab b x xy τ (h)

()

q C Bb Ab b x xy =---

=+=2

2

4

3τ (i) 由（h ）（i ） 得 b

q

B 2-

= （j ） 考察次要边界0=y 的边界条件，应用圣维南原理，三个积分的应力边界条件为

()

()02262

2

22

==+=?

?+-=+-Eb dx E Dx dx b b y b b y

σ； 得 0=E

()()02263

2

202

2==+=??+-=+-Db dx x E Dx xdx b b y b b y σ， 得 0=D

()04332

22

02

2=--

=??

? ??-+-=??+-=+-bC Ab dx C x b q Ax dx b b y b b xy τ （k ）

由（h ）（j ）（k ）得 2b q A -

=, 4

q

C =

将所得A 、B 、C 、D 、E 代入式（e ）（f ）（g ）得应力分量为：

0=x σ，gy y b

q xy b q y ρσ---=26

， 4322q x b q x b q xy

-+=τ 4．图示曲杆，在b r =边界上作用有均布拉应力q ，在自由端作用有水平集中力P 。试写出其边界条件（除固定端外）。

题二（4）图

（1）0 ,====b

r r b

r r q θτσ； （2）0 ,0====a

r r a r r θ

τσ

（3）

sin cos θτθσθθP dr P dr b a

r b

a

=-=??

2

cos b a P rdr b

a

+-=?θ

σθ 1．图示半无限平面体在边界上受有两等值反向，间距为d 的集中力作用，单位宽度上集中力的值为P ，设间距d 很小。试求其应力分量，并讨论所求解的适用范围。（提示：取应力函数为 θθ?B A +=2sin ） （13分）

题三（1）图

解：d 很小，Pd M =∴，可近似视为半平面体边界受一集中力偶M 的情形。

将应力函数),(θ?r 代入，可求得应力分量：

θθ??σ2sin 4112222A r r r r r -=??+??=

； 022=??=r ?σθ； )2cos 2(1

12B A r

r r r +=??

? ??????-=θθ?τθ

边界条件：

（1）0 ,00

00

0==≠=≠=r r r θθ

θθ

τσ； 0 ,00

==≠=≠=r r r πθθ

πθθ

τσ

代入应力分量式，有

0)2(12

=+B A r 或 02=+B A （1）

（2）取一半径为r 的半圆为脱离体，边界上受有：θτσr r ,，和M = Pd

由该脱离体的平衡，得

022

2=+?

-M d r r ππ

θθτ

将θτr 代入并积分，有

0)2cos 2(122

22

=++?

-M d r B A r ππ

θθ 02sin 22

=++-M B

A π

πθ 得 0=+M B π （2）

联立式（1）、（2）求得：

π

πPd M B -=-=，π2Pd A =

代入应力分量式，得

2

2sin 2r

Pd r θπσ-==； 0=θσ； 22sin 2r Pd r θπτθ-=。 结果的适用性：由于在原点附近应用了圣维南原理，故此结果在原点附近误差较

大，离原点较远处可适用。 2．图示悬臂梁，受三角形分布载荷作用，若梁的正应力x σ由材料力学公式给出，试由平衡微分方程求出y xy στ,，并检验该应力分量能否满足应力表示的相容方程。

（12分）

题三（2）图

解：（1）求横截面上正应力x σ

任意截面的弯矩为306x l q M -=，截面惯性矩为12

3h I =

，由材料力学计算公式有 y x lh

q I My

x 3302-==

σ （1） （2）由平衡微分方程求xy τ、y σ

平衡微分方程： ???

????=+??+??=+??+??(3) 0(2) 0Y y x X y

x y yx xy

x σττσ

其中，0,0==Y X 。将式（1）代入式（2），有

y x lh

q y xy 2

306=??τ 积分上式，得

)(312

230x f y x lh

q xy +=

τ 利用边界条件：02

=±=h

y xy

τ，有

0)(4312230=+x f h x lh q 即 2

23

0143)(h x lh

q x f -= )41(32

223

0h y x lh

q xy -=

τ （4） 将式（4）代入式（3），有

0)41(62230=??+-

y h y x lh q y σ 或 )41(6223

0h y x lh q y y --=??σ 积分得

)()4133(622

3

0x f y h y x lh q y +--

=σ 利用边界条件：

x l

q h

y y

2

-

=-=σ，02

=+=h

y y σ

得：

?????=+---=++--

0)()8124(6)()8124(6233

3002333

0x f h h x lh

q x l q x f h h x lh q

由第二式，得

x l

q x f 2)(0

2-

= 将其代入第一式，得

x l

q

x l q x l q 00022-=--

自然成立。 将)(2x f 代入y σ的表达式，有

x l q

y h y x lh

q y 2)413(602330---=σ （5）

所求应力分量的结果：

y x lh

q I My

x 3302-==

σ )41(32

223

0h y x lh

q xy -=

τ （6） x l q

y h y x lh

q y 2)413(602330---=σ

校核梁端部的边界条件：

（1）梁左端的边界（x = 0）：

022

=?

-=h h x x

dy σ，022

=?-=h h x xy

dy τ 代入后可见：自然满足。

（2）梁右端的边界（x = l ）：

02223

3022

=-=?

?-=-=h h l

x h h l

x x

dy y lh x q dy σ

2)4(3022

223

2022

l

q dy h y lh x q dy h h l x h h l

x xy

=-=?

?

-=-=τ M l q y lh l q dy y lh

x

q ydy h

h h h l

x h h l

x x

=-=-=-=--=-=?

?

6

3222022

3

33

022

2

33

022

σ

可见，所有边界条件均满足。

检验应力分量y xy x στσ,,是否满足应力相容方程： 常体力下的应力相容方程为

0))(()(22222

=+??+??=+?y x y x y x σσσσ 将应力分量y xy x στσ,,式（6）代入应力相容方程，有

xy lh q x y

x 3

02212)(-=+??σσ，xy lh q y y x 302212)(-=+??σσ

24))(()(3022222

≠-=+??+??=+?xy lh q y x y x y x σσσσ 显然，应力分量y xy x στσ,,不满足应力相容方程，因而式（6）并不是该该问题的正确解。

3．一端固定，另一端弹性支承的梁，其跨度为l ，抗弯刚度EI 为常数，梁端支承弹簧的刚度系数为k 。梁受有均匀分布载荷q 作用，如图所示。试： （1）构造两种形式（多项式、三角函数）的梁挠度试函数)(x w ；

（2）用最小势能原理或Ritz 法求其多项式形式的挠度近似解（取1项待定系

数）。

（13分）

题二（3）图

解：两种形式的梁挠度试函数可取为

)()(23212 +++=x A x A A x x w —— 多项式函数形式

)2cos

1()(1

∑=-=n

m m l

x

m A x w π —— 三角函数形式 此时有：

0)

()(0

23212=+++==x x A x A A x x w

0)

()(2)(0

3222321=++++++='=x x A A x x A x A A x x w

0)2cos

1()(0

1

=-===∑x n

m m l x

m A x w π 02sin 2)(0

1

=='==∑x n

m m

l

x m m l A x w ππ

即满足梁的端部边界条件。

梁的总势能为

[]2

02

022)(21)(21l w k dx x qw dx dx w d EI Πl l +-???

? ??=?? 取：2

1)(x A x w =，有

12

22A dx

w d =，2

1)(l A l w = 代入总势能计算式，有

2

21012021)(2

1)2(21l A k dx A qx dx A EI Πl l +-=

?? 4

21312

12

132l kA l qA EIlA +-

= 由0=Πδ，有

03

434

1

1=-+l q l kA EIlA )

4(343

01kl EIl l q A +=

代入梁的挠度试函数表达式，得一次近似解为

2

4

30)

4(3)(x kl EIl l q x w += 三、计算题 1. 试问

xy

b a bx ay xy y x )(,,22+===γεε是否可能成为弹性力学问题中的应变分量？

提示：考察是否满足变形协调方程。

2. 检查下面的应力分量在体力为零时是否能成为可能的解答。 22

4,4,8x y xy x y xy σστ===- 提示：是否满足相容方程。

3. 已知物体内某点的应力分量为100x σ=，50y σ=，1050xy τ=，试求该点的主应力 12,σσ和1α。课本P34，习题2-15。

4. 已知

（a ）()()

22222y Ay x Bxy C x y Φ=-+++ （b ）4

3

2

2

3

4

Ax Bx y Cx y Dxy Ey Φ=++++

以上两式能否作为平面问题应力函数的表达式？若能，则需要满足什么条件。

5. 试列出下图问题的边界条件。在其端部边界上，应用圣维南原理列出三个积分的应力边界条件。

6. 试列出下图问题的边界条件。在其端部边界上，应用圣维南原理列出三个积分的应力边界条件。

参考答案：在主要边界2

h

y =±

上，应精确满足下列边界条件： ()

2

h

y y q σ=-=-，()2

0h xy y τ=-

=，()

2

0h y y σ=

=，()

12

h xy y q τ=

=-

在次要边界0x =上应用圣维南原理列出三个积分的应力边界条件

()

2N 0

2

h h x x dx F σ=-=?，()202

h h x x ydx M σ=-=-?

，()2S 02

h h xy x dx F τ=-=-?

在次要边界x l =列出位移边界条件， ()0x l u ==，()0x l v ==。 也可应用圣维南原理列出三个积分的应力边界条件

()

21N 2

h h x x l

dx q l F σ=-=+?，()2

122

22

h h x S x l q lh ql ydx M F l σ=-=

---?

，()

2S 2

h

h xy x l

dx ql F τ=-=--?

7. 单位厚度的楔形体，材料比重为1

ρ，楔形体左侧作用比重为ρ的液体，如图所示。试

写出楔形体的边界条件。

1

h 2

h g

ρx

y

O

b

2h b

>>l

1

q 2h 2h x

y

O q M

N

F S

F

α

β

y

y

x O

参考答案：

左侧面：cos ,sin ,cot l m y x ααα=-=-=-

11cos sin cos sin cos sin x xy y

xy gy gy σαταρα

σαταρα--=??

--=? 右侧面，cos ,sin ,cot l m y x βββ==-=

cos sin 0

sin +cos 0x xy y

xy σβτβσβτβ-=??

-=? 8. 试用应力函数3

Bxy Axy +=Φ求解图示悬臂梁的应力分量（设h l >>）。

2h 2

h l y

x

O

q

M qlh

=

9. 已知如图所示的墙，高度为h ，宽度为b ，h b >>，在两侧面上受到均布剪力q 作用，

不计体力，试用应力函数

3

Axy Bx y Φ=+求解应力分量。

参考答案：

（1）将应力函数代入相容方程2

2

0??Φ=，其中

h

x

y

O

h b >>q

q

2b 2

b

440x ?Φ=?，4220x y ?Φ=?，440y

?Φ

=? 满足相容方程。

（2）应力分量表达式为

220x y

σ?Φ

==?，226y Bxy x σ?Φ==?，223xy A Bx x y τ?Φ=-

=--?? （3）考查边界条件

在主要边界2

b

x =±

上，应精确满足下列边界条件： ()2

0b

x x σ=±=，()

2

b xy

x q τ=±

=-

在次要边界0y =上，()

0y

y σ==能满足，但()

0yx y τ==的条件不能精确满足，应

用圣维南原理列出积分的应力边界条件代替

()

20

2

0b b yx y dx τ=-=?

将应力分量代入边界条件，得

2

q A =-，22q B b =

应力分量

0x σ=，212y q

xy b σ=，221122xy q x b τ??=- ???

10. 设有矩形截面竖柱，密度为ρ ，在一边侧面上受均布剪力q ，试求应力分量。提示：假

设220x y

σ?Φ

==?

h

l

y

x

O

q

g

ρ

参考答案：

（1）、假设220x y

σ?Φ

==?，由此推测Φ的形式为()()12=f x y f x Φ+

（2）、代入4

=0?Φ，得

()()

441244

y+=0d f x d f x dx dx 要使上式在任意的y 都成立，必须

()414

=0d f x dx

，得()32

1=f x Ax Bx Cx D +++ ()

424

=0d f x dx

，得()321=f x Ex Fx Gx H +++ 代入Φ，即得应力函数的解答()

3232=Ax Bx Cx y Ex Fx Φ++++（略去了x 、y 的一次项和常数项）

（3）、由Φ求应力分量，0,x y f f g ρ==

220x y

σ?Φ==?

()226262y y f y Ax B y Ex F gy x σρ?Φ

=-=+++-? （1分）

()2232xy Ax Bx C x y

τ?Φ

=-=-++??

（4）、校核边界条件

主要边界

()0,0x x h σ==（已满足）

()0

0xy x τ==，0C =

()

xy x h

q τ==，()232Ah Bh C q -++=（1）

次要边界

()

0h y x dx σ==?，320Eh F +=（2） ()

00h y x xdx σ==?，20Eh F +=（3） ()

0h

yx

y dx τ==?，0Ah B +=（4）

由（1）-（4）联立可解得 A 、B 、E 、F 。

11. 设体力为零，试用应力函数22y x +=Φ，求出上图所示物体的应力分量和边界上的面

力，并把面力分布绘在图上，圆弧边界AB 上的面力用法线分量和切向分量表示。

1OA OB ==。

x

y O

A

B

12. 已知平面应力问题矩形梁，梁长L ，梁高h, 已知E=200 000 Pa ，= 0.2μ，位移分量为：(,)6(0.5)u x y x L y E =-， 2

(,)3()3v x y L x x E y E μ=--，求以下物理量在点

P(x=L/2,y=h/2)的值： (1) 应变分量 (2) 应力分量， (3) 梁左端（x=0）的面力及面力向

坐标原点简化的主矢和主矩。

2

h 2

h L

y

x

O

．已知过P 点的应力分量,15Mpa x =σ,25Mpa y =σMpa xy 20=τ。求过P 点，0060cos 30cos ==m l 、斜面上的N N N N Y X τσ、、、。

解：Mpa m l X xy x N 99.222060cos 1530cos 0

=?+?=+=τσ

Mpa l m Y xy y N 82.292030cos 2560cos 00=?+?=+=τσ

Mpa

lm m l xy

y x N 82.34 2060cos 30cos 22560cos 1530cos 200020222=???+?+?=++=τσσσ Mpa

m l lm xy

x y N 33.14 20)60cos 30(cos )1525(60cos 30cos )()(02020022=?-+-??=-+-=τσστ