【河北专版】2014中考数学复习方案 专题突破篇(点拨交流+思路引导+变式训练)：专题四 变式猜想

专题四┃变式猜想
【思路导引】 线与角的简单图形→观察得出初步结论
图形变式→借助平行线证明新结论
深化提高→借助平行线求线段比值
专题四┃变式猜想
点拨交流 (1)AO 与 BD 的数量关系为 AO ＝ BD ，位置关系为 AO⊥BD. (2)在后面的问题中， 显然 AO 已经不与 BD 垂直了， 为 此， 我们可以考虑通过添加 BD 的垂线， 使问题转化为全等 三角形和相似三角形问题加以解决． (3)比如：在第(2)小题中∠1 与∠2 的联系不明显，我们 考虑平移直线 AC 使之经过点 B， 用由此形成的三角形关系， 沟通 AC 与 BD 的数量关系和位置关系； 第(3)小题类比借鉴 了第(2)小题的解题思路，利用相似三角形解决问题，所得 结论可以视为对第(2)小题结论的深化与推广．
专题四┃变பைடு நூலகம்猜想
(3)将图②中的 OB 拉长为 AO 的 k 倍得到图③， BD 求AC 的值．
图 X4－1
专题四┃变式猜想
【点拨交流】 (1)获取几何图形相关结论往往始于观察，几何直 观帮助我们发现了什么结论？ (2)当图形发生变化时，设法使之转化为原来的图 形，或与之建立联系，本题如何实现这一转化？ (3)转化和类比的思想方法是解题的重要原则，题 目中还有哪方面的应用？
BC 的中点，分别以 B， C 为直角顶点的△EAB 和 △EDC 均是等腰直角三角形，且在 BC 的同侧． (1)AE 和 ED 的数量关系为________，AE 和 ED 的位置关系为________； (2)在图①中，以点 E 为位似中心，作△EGF 与 △EAB 位似，点 H 是 BC 所在直线上的一点，连结 GH，HD，分别得到了图②和图③.
图形变式→用全等三角形知识证明新结论
深化提高→用相似三角形知识求线段长
专题四┃变式猜想
点拨交流 (1)结合等腰直角三角形的性质，可得 AE＝ED，AE ⊥ED. (2)用全等三角形知识证明，本题中 GH 与 HD 分别 位于△HGF 与△DHC 中，可证这两个三角形全等，进一 步通过对应角相等推导两条线段垂直． (3) 受 到 第 (2)① 小 题 的 影 响 ， 容 易 想 到 △HGF≌△DHC，那么问题就转化为补充这两个三角形 全等的条件了．
专题四┃变式猜想
①在图②中，点 F 在 BE 上，△EGF 与△EAB 的相似比 是 1∶2，H 是 EC 的中点．求证：GH＝HD，GH⊥HD； ②在图③中，点 F 在 BE 的延长线上，△EGF 与△EAB 的相似比是 k∶1，若 BC＝2，请直接写出 CH 的长为多少时， 恰好使得 GH＝HD 且 GH⊥HD(用含 k 的代数式表示)．
专题一 专题二 专题三
探索规律 函数图像 函数应用
专题四
专题五 专题六
变式猜想
操作探究 动态综合
专题四 变式猜想
专题四┃变式猜想
大部分变式猜想问题从一个简单的基本图形出发， 经过补充图形和图形变化，形成新的研究对象，通常把 全等和相似知识、证明和计算题型、过程与结果呈现融 为一体．解题过程体现了类比思想和转化思想的重要作 用．
专题四┃变式猜想
(1)AE＝ED，AE⊥ED. (2)①证明：由题意，∠B＝∠C＝90°，AB＝BE＝EC＝DC. ∵△EGF 与△EAB 位似，且相似比是 1∶2， 1 1 ∴∠GFE＝∠B＝90°，GF＝ AB，EF＝ EB.∴∠GFE＝∠C. 2 2 1 ∵EH＝HC＝ EC，∴GF＝HC， 2 1 1 1 FH＝FE＋EH＝ EB＋ EC＝ BC＝EC＝CD. 2 2 2 ∴△HGF≌△DHC.∴GH＝HD，∠GHF＝∠HDC. 又∵∠HDC＋∠DHC＝90°，∴∠GHF＋∠DHC＝90°. ∴∠GHD＝90°. ∴GH⊥HD.
专题四┃变式猜想
考向互动探究
探究一 关于线与角的变式猜想
[2010· 河北 ] 在图 X4 － 1①至图③中，直线 MN 与线段 AB 相交于点 O，∠1＝∠2＝45°. (1)如图①， 若 AO＝OB， 请写出 AO 与 BD 的数量关 系和位置关系； (2)将图①中的 MN 绕点 O 顺时针旋转得到图②，其 中 AO＝OB.求证：AC＝BD，AC⊥BD；
解
专题四┃变式猜想
②CH 的长为 k. 提示：要使 GH＝HD，且 GH⊥HD，必需满足 △HGF≌△DHC，此时 CH＝FG. ∵△EGF 与△EAB 的相似比是 k∶1， FG ∴AB ＝k，FG＝k· AB. ∵BC＝2，点 E 是线段 BC 的中点， 1 ∴AB＝ BC＝1. 2 ∴FG＝k×1＝k.∴CH＝FG＝k.
解
专题四┃变式猜想
(3)如图②，过点 B 作 BE∥CA 交 DO 于点 E， ∴∠BEO＝∠ACO. BE BO 又∵∠BOE＝∠AOC，∴△BOE∽△AOC.∴AC＝AO. 又∵OB＝kAO，由(2)的方法易得 BE＝BD. BD ∴ AC ＝k.
专题四┃变式猜想
探究二
关于三角形的变式猜想
[2012· 河北] 如图 X4－2①，点 E 是线段
图 X4－2
专题四┃变式猜想
【点拨交流】 (1)直接观察图形， 能得到两条线段的数量关系和位 置关系吗？ (2)证明不在同一三角形中的两条线段相等， 一般用 什么方法？ (3)类比上述解题过程，能否把(2)②中的问题转化 为比较简单的问题？
专题四┃变式猜想
【思路导引】 三角形构成的简单图形→观察得出初步结论
专题四┃变式猜想
探究三
关于四边形的变式猜想
[2011· 河北] 如图 X4－3， 四边形 ABCD 是正方
专题四┃变式猜想
(1)AO＝BD，AO⊥BD. (2)证明：如图①，过点 B 作 BE∥CA 交 DO 于点 E，∴∠ACO ＝∠BEO. 又∵AO＝OB， ∠AOC＝∠BOE， ∴△AOC≌△BOE.∴AC＝BE. 又∵∠1＝45°，∴∠ACO＝∠BEO＝135°.∴∠DEB＝45°. ∵∠2＝45°，∴BE＝BD，∠EBD＝90°. ∴AC＝BD. 延长 AC 交 DB 的延长线于 F，如图①. ∵BE∥AC，∴∠AFD＝90°.∴AC⊥BD.