2019-2020学年山东省寿光现代中学高三上学期开学考试 数学(理)
高三开学考试数学试题(附详解)
高三上学期开学考试数学试题一、单选题（每小题5分，共40分）1．已知集合{}1,2,4A =，集合{},2B a a =+，若A B B = ，则=a （）A ．0B ．12C ．1D ．2【答案】D【详解】由集合{}1,2,4A =，集合{},2B a a =+，因为A B B = ，可得B A ⊆，当1a =时，则23a +=，此时{}1,3B =，此时不满足B A ⊆，舍去；当2a =时，则24a +=，此时{}2,4B =，此时满足B A ⊆；当4a =时，则26a +=，此时{}4,6B =，此时不满足B A ⊆，舍去，综上可得，2a =.故选：D.2．命题：p ：R,0x x x ∀∈+≥的否定为（）A ．R,0x x x ∃∈+≥B ．,0x R x x ∃∈+≤C ．R,0x x x ∃∈+<D ．R,0x x x ∀∈+<【答案】C【详解】命题R x ∀∈，0x x +≥的否定为R x ∃∈，0x x +<.故选：C.3．下列函数为奇函数且在()0,1上为减函数的是（）A ．()()sin f x x =-B ．()tan f x x=C ．()cos f x x=D ．()sin f x x=【答案】A【详解】依题意，对于A ：()()sin sin f x x x =-=-为奇函数且在()0,1上为减函数，故A 正确；对于B ：()tan f x x =为奇函数，在()0,1上为增函数，故B 错误；对于C ：()cos f x x =为偶函数，故C 错误；对于D ：()sin f x x =为奇函数，在()0,1上为增函数，故D 错误.故选：A.4．设,a b 为实数，则“0a b <<”是“11a b <”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】D【详解】当“0a b <<”时，则0,0b a ab ->>，则0b a ab ->，所以11a b>，所以“0a b <<”无法推出“11a b<”，当11a b<，即0b aab -<时，有可能0a b <<，但不会有0a b <<，所以“11a b>”无法推出“0a b <<”.所以“0a b <<”是“11a b>”既不充分也不必要条件.故选：D.5．若不等式224221mx mx x x +-<+-对任意实数x 均成立，则实数m 的取值范围是（）A ．()2,2-B ．(]10,2-C ．()[),22,-∞-+∞ D ．(],2-∞-【答案】B【详解】依题意，不等式224221mx mx x x +-<+-对任意实数x 均成立，即不等式()()22230m x m x -+--<恒成立，当2m =时，不等式可化为30-<恒成立，当2m <时，()()222122820m m m m ∆=-+-=+-()()1020m m =+-<，解得102m -<<，综上所述，m 的取值范围是(]10,2-.故选：B6．已知ππππ()sin 3333f x x x ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则(1)(2)(2023)++⋅⋅⋅+f f f 的值为（）A ．BC ．1D ．0【答案】B【详解】因为ππππππππ()sin cos 2sin 2sin 33333333f x x x x x⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以()f x 的周期为2π6π3=，因为π(1)2sin 3f ==2π(2)2sin3f ==3π(3)2sin 03f ==，4π(4)2sin3f ==5π(5)2sin 3f ==6π(6)2sin 03f ==，所以(1)(2)(3)(4)(5)(6)0f f f f f f +++++=，所以[](1)(2)(2016)337(1)(2)(6)(1)++⋅⋅⋅+=⨯++⋅⋅⋅++=f f f f f f f ，故选：B7．已知∆ABC 中，2AC =，sin tan A B =，π(0,]3∈A ，则边AB 的最小值为（）A ．2B ．3C ．2D ．52【答案】B【详解】ABC 中，2AC =，sin tan A B =，则sin cos sin A B B =，则cos 2a B b ==，则22422a c a ac+-=，整理得22440a c c +--=，又ABC 中，π0,3A ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，则2241cos ,142c a A c +-⎡⎫=∈⎪⎢⎣⎭，整理得2222420440c a c c a c ⎧+--≥⎨+--<⎩，又2244a c c =+-，代入整理得223040c c c c ⎧-≥⎨-<⎩，解之得34c ≤<.故AB 的最小值为3.故选：B8．已知 1.4a =，0.41.1e b =，0.5e c =，则,,a b c 的大小关系是（）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b c a <<D ．c b a <<【答案】A【详解】构造函数()()1.5e xf x x =-，则()0.4b f =，()0.5c f =，且()()0.5e x f x x '=-，当0.5x <时，()0f x ¢>，函数()f x 在(),0.5-∞上单调递增，当0.5x >时，()0f x '<，函数()f x 在()0.5,+∞上单调递减，所以()()0.40.5b f f c =<=；设()e 1x g x x =--，则()e 1xg x '=-，当0x <时，()0g x '<，函数()g x 在(),0∞-上单调递减，当0x >时，()0g x '>，函数()g x 在()0,∞+上单调递增，所以()e 100xx g --≥=故e 1x x ≥+，所以0.41.1e 1.11.4 1.4>⨯>，即a b <．综上，a b c <<，故选：A ．二、多选题（每小题5分，共20分）9．已知实数a ，b 满足等式1123ab⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则下列不可能成立的有（）A ．a b =B ．0b a >>C ．0b a >>D ．0a b>>【答案】CD【详解】作出函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭和13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象如图所示：设1123a bm ⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭= ，0m >，当1m >时，由图可知0a b <<；当1m =时，由图可知0a b ==；当01m <<时，由图可知0a b >>，故选：CD.103）A 22︒︒B ．2cos 15sin15cos 75︒︒-︒C ．2tan151tan 15︒-︒D ．1tan151tan15+︒-︒【答案】AD【详解】对于A 222sin(1545)2sin 603︒︒︒︒︒=+==A 项成立；对于B 项，2223cos 15sin15cos 75cos 15sin 15cos(215)cos302︒︒︒︒︒︒︒-=-=⨯==，故B 项不成立；对于C 项，22222sin151sin 30tan15sin15cos1513cos152tan 30sin 151tan 15cos 15sin 15cos3021cos 15︒︒︒︒︒︒︒︒︒︒︒︒︒=====---C 项不成立；对于D 项，1tan15tan 45tan15tan(4515)tan 6031tan151tan 45tan15︒︒︒︒︒︒︒︒︒++==+==--，故D 项成立.故选：AD.11．已知函数π()cos()0,0,||2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图像如图所示，将()f x 的图像向左平移π4个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到函数()g x 的图像，则（）A ．π()2cos 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．π()2cos 216g x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭C ．()g x 的图像关于点π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称D ．()g x 在π5π,π(Z)1212k k k π⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦上单调递减【答案】ABD【详解】由图像可知函数()f x 的最大值为2，最小值为2-，所以2A =，2,2362T T ππππ=-=⇒=，又22T πωω=⇒=，又(22cos(2)266f ππϕ=⇒⨯+=所以2(Z)2(Z)33k k k k ππϕπϕπ+=∈⇒=-∈，又π||2ϕ<，所以3πϕ=-所以π()2cos 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故A 正确，将()f x 的图像向左平移π4个单位长度，再向上平移1个单位长度后得π()2cos 2++1=2cos 2+1436g x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故B 选项正确，由2+(Z)(Z)6262k x k k x k πππππ=+∈⇒=+∈所以()g x 的图像关于点π,16⎛⎫⎪⎝⎭对称，故C 错误.由22+2(Z)6k x k k ππππ≤≤+∈即π5ππ(Z)1212k x k k π-+≤≤+∈所以选项D 正确故选：ABD.12．已知函数()f x 定义域为R ，()1f x +是奇函数，()()()1g x x f x =-，函数()g x 在[)1,+∞上递增，则下列命题为真命题的是（）A ．()()11f x f x --=-+B ．函数()g x 在(],1-∞上递减C ．若21a b <-<，则()()()1g g b g a <<D ．若()()1g a g a >+，则12a <【答案】BCD【详解】对于A ，因为()1f x +是奇函数，所以()()11f x f x -+=-+，故A 错误；因为()1f x +是奇函数，所以()y f x =的图象关于点()1,0对称，即有()()=2f x f x --，所以()()()()()()()()2122121g x x f x x f x x f x g x ⎡⎤-=---=--=-=⎣⎦，所以()y g x =的图象关于直线1x =对称，函数()g x 在[)1,x ∞∈+上单调递增，所以()g x 在(],1x ∈-∞上单调递减，故B 正确；因为21a b <-<，所以()()()12g g b g a <-<，即()()()1g g b g a <<，故C 正确；因为()()1g a g a >+，且1a a <+，由函数()y g x =的图象关于直线1x =对称，得()112a a ++<，解得12a <，故C 正确.故选：BCD.三、填空题（每小题5分，共20分）13．扇形的圆心角为60︒，半径为4，则扇形的面积为；．【答案】8π3【详解】因为扇形的圆心角为60︒，转化为弧度为π3，所以该扇形的面积为21π8π4233⨯⨯=.故答案为：8π3.14．已知()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x >时，5()log 1f x x =+，则(5)f -=；【答案】-2【详解】()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x >时，5()log 1f x x =+，则有()5(5)(5)log 512f f -=-=-+=-.故答案为：-215．已知函数()πcos (0)6f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在区间7π,2π6ω⎛⎤⎥⎝⎦上有且只有2个零点，则ω的取值范围是；.【答案】4[,311)6【详解】因为7π,2π6x ω⎛⎤∈⎥⎝⎦，所以πππ,2π66x ωω⎛⎤-∈- ⎥⎝⎦，因为函数()πcos (0)6f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在区间7π,2π6ω⎛⎤⎥⎝⎦上有且只有2个零点，所以5ππ7π2π262ω≤-<，解得43116ω≤<，故答案为:4[,311)6.16．已知11,23a b >>，127a b +=，则312131a b +--的最小值．【答案】20【详解】令11,2131x y a b ==--，则1226711x y a b x y +=+=++，去分母化简得：57xy x y --=，所以(1)(5)12x y --=，所以3133(1)(5)88202131x y x y a b +=+=-+-+≥+=--，当且仅当24,311a b ==时，等号成立．故答案为：20四、解答题17．（本题满分10分）∆ABC 中，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c cos 2sin cos B c A A =.（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若∆ABC的面积为a 是,b c 的等差中项，求∆ABC 的周长．17．【详解】（Ⅰ）cos 2sin cos B c A A =-，cos 2sin sin cos A B C A B A =-，cos cos 2sin sin 0A B B A C A +-=，()2sin sin 0A B C A +-=，2sin sin 0C C A -=，(),0,πC A ∈ ，sin 0C ∴≠，sin A ∴=π3A ∴=或23π.………5分（Ⅱ）因为ABC的面积为1sin 2S bc A ==16bc ∴=，………6分由边a 是,b c 的等差中项，得2b c a +=，且A 不是最大的角，π3A ∴=，………7分22222π2cos ()3()483a b c bc b c bc b c =+-=+-=+- ，22448a a ∴=-，216a ∴=，4a ∴=，28b c a ∴+==，所以ABC 的周长为8412b c a ++=+=.………10分18．（本题满分12分）已知数列{n a }是递增的等比数列，且23141227,a a a a +=⋅=．（Ⅰ）求数列{n a }的通项公式；（Ⅱ）设n S 为数列{n a }的前n 项和，11++=n n n n a b S S ，求数列{n b }的前n 项和n T ．18．【详解】（Ⅰ）根据题意，设该等比数列的公比为q ，若23141227,a a a a +=⋅=，则有211122311312927a q a q a q a q a q =⎧+=⎧⇒⎨⎨==⎩⎩或121933a q q a q =⎧⇒=⎨=⎩或13q =.………3分又由数列{n a }是递增的等比数列，则3q =，则有11a =，则数列{n a }的通项公式1113n n n a a q --==；………6分（Ⅱ）由（1）可得13n n a -=，则()113112nnn a q S q--==-，则1111111n n n n n n n n n n a S S b S S S S S S +++++-===-，………9分则1212231111111n n n n T b b b S S S S S S +=+++=-+-++-= 111111123313131n n n n S S ++++--=-=--………12分19．（本题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，//AB CD ，AB AD ⊥，1AB =，2PA AD CD ===．E 为棱PC 上一点，平面ABE 与棱PD 交于点F ．且BE PC ⊥．（Ⅰ）求证：F 为PD 的中点；（Ⅱ）求二面角B FC P --的余弦值．19．【详解】（Ⅰ）因为PA ⊥平面ABCD ，所以,PA AB PA AD ⊥⊥．在Rt PAB △中，PB ==．……1分在直角梯形ABCD 中，由1AB =，2AD CD ==，可求得BC =，所以PB BC =．………2分因为BE PC ⊥，所以E 为PC 的中点．………3分因为AB CD ∥，AB ⊄平面PCD ，所以//AB 平面PCD ．因为平面ABEF I 平面PCD EF =，所以AB EF ∥．………4分所以CD EF ∥．所以F 为PD 的中点．………5分（Ⅱ）因为PA ⊥平面ABCD ，所以,PA AB PA AD ⊥⊥．又AB AD ⊥，所以,,AB AD AP 两两相互垂直．如图建立空间直角坐标系A x yz -，………6分则(0,0,0)A ，(1,0,0)B ，(2,2,0)C ，(0,0,2)P ，(0,2,0)D ，(0,1,1)F ．所以(,,)120BC =uuu r ，(,,)111BF =-uuu r ，(,,)011AF =uuu r．设平面BCF 的法向量为(,,)x y z =m ，则0,0,BC BF =⎧⎪⎨=⎪⎩⋅⋅uuu r uuu rm m 即20,0.x y x y z +=⎧⎨-++=⎩令1y =-，则2x =，3z =．于是(2,1,3)=-m ．………8分因为AB ⊥平面PAD ，且AB CD ∥，所以CD ⊥平面PAD ．所以AF CD ⊥．又PA AD =，且F 为PD 的中点，所以AF PD ⊥．所以AF ⊥平面PCD ，所以AF uuu r是平面PCD 的一个法向量． (10)分cos ,7||||AF AF AF 〈〉==⋅uuu ruuu r uuu r m m m ．………11分由题设，二面角B FC P --的平面角为锐角，所以二面角B FC P --．……12分20．（本题满分12分）某公司是一家集无人机特种装备的研发、制造与技术服务的综合型科技创新企业．该公司生产的甲、乙两种类型无人运输机性能都比较出色，但操控水平需要十分娴熟，才能发挥更大的作用．已知在单位时间内，甲、乙两种类型的无人运输机操作成功的概率分别为23和12，假设每次操作能否成功相互独立．（Ⅰ）该公司分别收集了甲型无人运输机在5个不同的地点测试的两项指标数i x ，i y （1,2,3,4,5i =），数据如下表所示：地点1地点2地点3地点4地点5甲型无人运输机指标数x 24568甲型无人运输机指标数y34445试求y 与x 间的相关系数r ，并利用r 说明y 与x 是否具有较强的线性相关关系；（若0.75r >，则线性相关程度很高）（Ⅱ）操作员连续进行两次无人机的操作有两种方案：方案一：在初次操作时，随机选择两种无人运输机中的一种，若初次操作成功，则第二次继续使用该类型设备；若初次操作不成功，则第二次使用另一类型进行操作．方案二：在初次操作时，随机选择两种无人运输机中的一种，无论初次操作是否成功，第二次均使用初次所选择的无人运输机进行操作．假定方案选择及操作不相互影响，试比较这两种方案的操作成功的次数的期望值．附：参考公式及数据：()()niix x y y r --=∑0.95≈．20．【详解】（Ⅰ）2456855x ++++==，3444545y ++++==，()()516iii x x yy =--=∑，==相关系数()()50.95iix x y y r --=∑，因为0.75r >，所以与具有较强的线性相关关系．………5分（Ⅱ）设方案一和方案二操作成功的次数分别为X ，Y ，则X ，Y 的所有可能取值均为0，1，2，方案一：()1211121011112322236P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯-⨯-+⨯-⨯-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()121122112111351111123223322322272P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯-⨯+⨯⨯-+⨯-⨯+⨯⨯-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()12211125223322272P X ==⨯⨯+⨯⨯=，所以()13525850126727272E X =⨯+⨯+⨯=．………9分方案二：选择其中一种操作设备后，进行2次独立重复试验，所以()121172223226E Y =⨯⨯+⨯⨯=，………11分所以()()E X E Y >，即方案一操作成功的次数的期望值大于方案二操作成功的次数的期望值．………12分21．（本题满分12分）已知曲线E 上任意一点Q到定点F 的距离与Q到定直线:14m x =的距离之比为3．（Ⅰ）求曲线E 的轨迹方程；（Ⅱ）斜率为k k ⎛> ⎝⎭的直线l 交曲线E 于B ，C 两点，线段BC 的中点为M ，点M 在x 轴下方，直线OM 交曲线E 于点N ，交直线=1x -于点D ，且满足2||||||ON OD OM =（O 为原点）．求证：直线l 过定点．21．【详解】（Ⅰ）设曲线E 上任意一点(,)Q x y3=，化简整理得22195x y -=，所以曲线E 的轨迹方程为22195x y -=；………4分（Ⅱ）设()11,B x y ，()22,C x y ，直线l的方程为3y kx t k ⎛=+> ⎝⎭，联立22195y kx tx y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，得()22259189450k x ktx t ----=，因为有两个交点，所以2590Δ0k ⎧-≠⎨>⎩，即22259095k k t ⎧-≠⎨<+⎩，所以1221859kt x x k +=-，()()22121222182591025959k t t k t y y k x x t k k +-+=++==--，即2295,5959ktt M k k ⎛⎫ ⎪--⎝⎭，………7分因为点M 在x 轴下方，所以25059t k <-，又3k >，所以0t >，所以直线OM 的斜率59OMk k =，则直线OM 的直线方程为59y x k=，将其代入双曲线E 的方程，整理得2228195Nk x k =-，所以2222222258125||18195NNNk ON x y x k k +⎛⎫=+=+= ⎪-⎝⎭，………9分将59y x k =代入直线=1x -，解得51,9D k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，又因为2295,5959ktt M k k ⎛⎫ ⎪--⎝⎭，所以有||OD ==，2||95k t t OM k ==-．由2||||||ON OD OM =，解得9t k =±，因为3k >，0t >，所以9t k =，因此直线l 的方程为9(9)y kx k k x =+=+，故直线l 过定点(9,0)-．………12分22．（本题满分12分）已知函数()(0)e xa f x x a =+>.（Ⅰ）求函数()f x 的极值；（Ⅱ）若函数()f x 有两个不相等的零点1x ，2x ，（i ）求a 的取值范围；（ii ）证明：122ln x x a +>.解：（Ⅰ）(e )(),()1e e ex x x x a a a f x x f x -'=+=-=，当0a >时，由f ’(x )=0得，ln x a =，x ，f ’(x )，f (x )的变化情况如下表：x (,ln )a -∞ln a(ln ,)a +∞f ’(x )-0+f (x )单调递减极小值单调递增所以f (x )的极小值为f (ln a )=ln a +1............................4分（Ⅱ）（i ）f (x )有两个零点的必要条件是ln a +1<0，即10e a <<；当10e a <<时，f (0)=a >0，f (-1)=-110ea -+<，ln 1a <-，所以f (x )在区间(ln ,)a +∞上有且仅有一个零点，又因为x →-∞时，()f x →+∞，（或111()0e aa f a a --=-+>）所以()f x 在区间(,ln )a -∞上有且仅有一个零点，所以()f x 有两个零点时，a 的取值范围是1(0,)e............................7分（ii ）12()()0f x f x ==，不妨设12x x <，可知12ln 1x a x <<-<，即12120e ex x a a x x +=+=，所以1212e e x x a x x =-=-，122ln a x x >+等价于122ln x a x >-，因为22ln ln x a a -<，所以212ln x a x >-等价于12()(2ln )f x f a x <-，即222ln 2ln 0a x a a x e --+>，令22222ln ()2ln 1)e a x ag x a x x -=-+>-，因为22e x a x =-，所以22221()2ln()g x x x x =-+-，2222222222121()10x x g x x x x ++'=++=>，所以2()g x 在区间(1,)-+∞上单调递增，所以2()(1)0g x g >-=，所以122ln x x a +>............................12分。
2019-2020学年山东省寿光现代中学高三上学期开学考试 数学(文)
2019-2020学年山东省寿光现代中学高三上学期开学考试 数学（文）全卷满分：150分 考试时间：120分钟一、选择题：本题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题卡上.1．设函数y=1+x 的定义域为M ，集合N={y|y=x 2,x ∈R}，则M ∩N=（ ） A ．φ B ．N C ．[1,+∞) D ．M 2．函数y=)34(log 15.0-x 的定义域为( )A ．(43，1) B ．(43，+∞) C ．(1，+∞) D ．(43，1)∪(1，+∞)3．设 ，则“ ”是“ ”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．函数零点所在的大致区间为( )A ．B ．C ．和D ． 5．下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的函数为( ) A . B . C . D .6.函数，则（ ）A ．8B ．9C ．11D ．10 7 .已知是定义在上的偶函数，且在上是增函数，设，则、、的大小关系是 ( )A.B .C ．D ．x R ∈21x -<220x x +->xx x f 2ln )(-=)2,1()3,2()1,1(e)4,3(),(∞+e ),0(+∞1y x -=l n y x =3y x =||y x =8. 已知，函数与函数的图象可能是( )9．函数在区间上的最大值和最小值之和为，则实数为( ) A． B ． C ．2 D ．410．已知函数满足，且当时，，则( ) A ． B ．C ．D ．11.己知是定义在R 上的奇函数，当时，，那么不等式的解集是( ) A ．B ．或C ．D ．或12.设偶函数在上为减函数，且，则不等式的解集为( )A ．(-2,2)B ．(0,2)C ，D (0,2) ∪（ - ∞，-2）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.13.已知函数，且，则 . x a x f ax log )(1+=-a a 212()f x ()()f x f x π=-(,)22x ππ∈-()s i n xf x e x=+5()()()346f f f πππ<<5()()()436f f f πππ<<5()()()463f f f πππ<<5()()()643f f f πππ<<⎪⎩⎪⎨⎧-=2)(x x x f α)0()0(<≥x x )2()2(f f =-=)4(f14.数列满足，且，则数列的通项公式= ． 15.若偶函数,，满足，且时,，则方程在内的根的个数为 .16.已知函数满足，且分别是上的偶函数和奇函数，若使得不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 三、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分10分）已知命题：函数在上单调递增； 命题：，使得等式成立. 若为真命题，为假命题，求实数的取值范围.18．（本小题满分12分）设函数，正项数列满足，，，且. （Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）对，求．19.（本小题满分12分）已知函数=，其中=()，，.{}n a +1=31n n a a +11a ={}n a n a )(x f y =R x ∈)()2(x f x f -=+[]0,2x ∈x x f 211)(-=x x f 8log )(=[]10,10-()xF x e =()()()F x g x h x =+()(),g x h x R (]0,2x ∀∈()()20g x ah x -≥a p ()f x x a x =-+)22,a ⎡-+∞⎣q x R ∃∈2480a x x -+=p q ∨p q ∧a xx f 121)(+={}n a 11a =11()nn a f a -=*N n ∈2≥n {}n a *N n ∈12233411111n n n S a a a a a a a a +=++++L )(x f a b ⋅r rx x 2sin 3,cos 2(cos ,1)b x =r x R ∈（Ⅰ）求函数的单调递增区间；（Ⅱ）在中，角的对边分别为，，且，求的面积．20．（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，是的中点．（Ⅰ）证明：//平面； （Ⅱ）求三棱锥的体积．21．（本小题满分12分）已知函数，其中. （Ⅰ）若，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）若对，不等式恒成立，求的取值范围.)(x f y =ABC ∆,,A B C ,,a b c ()2f A =a =sin 2sin B C =ABC ∆P ABCD -ABCD PD ⊥ABCD 2PD DC ==E PC PA EDB A BDP -)(123)(23R x x ax x f ∈+-=0>a 1=a )(x f y =))2(,2(f ]21,1[-∈∀x 2)(a x f <a22．（本小题满分12分）已知函数． （Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）若方程有两个相异实根，，且，证明：.x x x f -=ln )()(x f m x f =)()2(-<m 1x 2x 21x x <2221<x x2019-2020学年山东省寿光现代中学高三上学期开学考试 数学（文）参考答案选择题 1—5 B A A B C ． 6—10 C A B A D ． 11—12 B D二、填空题 13. 16 14. 15. 8； 16.三、解答题 17.18.解：（1）由，所以，，且 ……2分∴ 数列是以1为首项，以为公差的等差数列 ……4分∴ ……6分（2）由（1）可知 ……8分1(31)2nn a =-(-∞]……12分19.解：(1) f（x）=•=2cos2x+sin2x=sin2x +cos2x+1=2sin(2x+)+1 ……………3分令-+2k 2x++2k解得：- + k x+ k……………5分函数y=f（x）的单调递增区间是[- + k，+ k]（k Z）………6分（Ⅱ）∵f（A）=2∴2sin(2A+)+1=2，即sin(2A+)= ……………7分．又∵0＜A＜π，∴A=．……………8分∵，由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA=（b+c）2-3bc=7 ①……………9分∵sinB=2sinC ∴b=2c ②……………10分由①②得c2=．……………11分∴=．……………12分20.证明：（Ⅰ）连接交于，连接∴是正方形∵是中点．又是中点，∴∥，又∵平面，平面，∥平面……………6分（Ⅱ）……………12分21.解：（1）由，所以，……2分又，所以……4分所以切线方程为即为：……5分（2）令因为，所以在，递增，在递减……6分要使对，不等式恒成立，即当时，即时，在递增，在递减，，所以……8分当时，即时，在递增，在递减，在递增，，①当时所以……10分②当时，即对都成立综合，得：……12分22.解：（1）的定义域为……2分当时所以在递增当时所以在递减……4分（2）由(1)可设的两个相异实根分别为，满足且，……5分由题意可知……6分又有(1)可知在递减故……7分所以，令……8分令，则．当时，，是减函数，所以．……9分所以当时，，即……10分因为，在上单调递增，所以，故．......11分综上所述： (12)。
山东省寿光现代中学2019届高三上学期开学考试数学(文)试题Word版含解析
山东省寿光现代中学2019届高三上学期开学考试数学（文）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由得，得，则，故选C.2. 已知：幂函数在上单调递增；，则是的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由题意，命题幂函数在上单调递增，则，又，故是的充分不必要条件，选A.............3. 已知函数，若，则（）A. -1B. 0C. 2D. 3【答案】C【解析】因，故，即，应选答案C。
4. 函数的部分图象如图所示，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由题设中的图像可得，则，将代入可得，所以，应选答案A。
5. 在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，，则（）A. 5B. 4C. 3D. 2【答案】A【解析】因为，所以，应选答案A。
6. 已知实数满足，若，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】画出可行域如图所示，平移直线，当直线经过点时目标函数取得最大值，当直线经过点时目标函数取得最小值，即的取值范围为点睛：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．7. 已知实数，那么它们的大小关系是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：，所以.考点：比较大小.8. 已知，则下列结论中正确的是（）A. 的图象关于点对称B. 的图象关于直线对称C. 函数在区间上单调递增D. 将的图象向右平移个单位长度可以得到的图象【答案】B【解析】由可得，故函数关于直线对称，应选答案B。
9. 下列四个图中，可能是函数的图象是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】令，则是奇函数，且当时，，当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减，又由，故依据图像的对称性，应排除答案B，应选答案C。
山东省潍坊市寿光现代中学2019届高三10月月考数学试题
潍坊市寿光现代中学2019届高三10月月考数学试题一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合{}12≥=xx M ，{}2≤=x x N ，则=N MA. [1,2]B. [0,2]C. [-2,+∞)D. [0,+∞) 2．设向量(,1),(2,3)a m b ==-，若//a b ，则实数m 的值为 A ．13 B ．13- C ．23 D ．23- 3．已知角θ的顶点在坐标原点,始边与x 轴正半轴重合,终边在直线02=-y x 上,则=----++)sin()2sin()cos()23sin(θπθπθπθπA ．-2B ．2C ．0D ．32 4．若1sin 2(,)442ππαα=∈且,则ααsin cos -的值是AB ．34C． D ．34-6. 曲线x e y x -=2在点（0，1）处的切线方程为 A ． 121+=x y B ．1=y C ．12-=x y D ．1+=x y7．已知<,ab >=45︒，且1a =，102=-a ，则b = A.B. 2C.D.8．函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中π0,2A ϕ><）的图象如图所示，为了得到 x x g 2sin )(=的图象，则只需将()f x 的图象A.向右平移π6个长度单位 B.向右平移π12个长度单位 C.向左平移π6个长度单位 D.向左平移π12个长度单位 9．在200m 高的山顶上，测得山下一塔的塔顶与塔底的俯角分别是30°、60°,则塔高 A ．3400m B ．33200m C ．33400m D ．3200m10．已知O 是三角形ABC 所在平面内一定点，动点P 满足+=λ）0≥λ，则点P 的轨迹必通过三角形ABC 的 A.内心 B.外心C.垂心D.重心二、填空题 (本大题共5小题，每小题5分，共25分．请把答案填在答题纸对应横线上)11.求值：20sin 420tan += .12.已知奇函数()f x 的图象关于直线2x =-对称，当[]0,2x ∈时，()2f x x =， 则(9)f -= ．13．函数2ln 2)(x x x f -=的极值点为 ．14．已知x y 、满足约束条件11,22x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩若目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值为7，则34a b+的最小值为_________.15．已知AD 是ABC ∆的角平分线，且，，，6032===A AB AC 则AD 长为 .三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．（本小题满分12分）已知向量2),=(,cos sin 2x x 21cos 2-x ),函数x f ⋅=)(. （Ⅰ）若,0)(=x f 求x 的值.（Ⅱ）当],0[π∈x 时，求函数)(x f 的单调递增区间.17.（本小题满分12分）在ABC ∆中,内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c .已知2,4a c A ===-. （Ⅰ）求sin C 和b 的值; （Ⅱ）求cos(2)3A π+的值.18．（本小题满分12分）设命题p ：函数f (x )＝lg(ax 2－x ＋116a )的定义域为R ；命题q ：不等式3x －9x < a 对一切正实数x 均成立．（Ⅰ）如果p 是真命题，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）如果命题“p 或q ”为真命题，求实数a 的取值范围．19．（本小题满分12分）已知定义在）（1,1-上的函数141)(++=xa x f 是奇函数． （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）解不等式0)12()2(22<-+-t f t t f ． 20. （本小题满分13分）如图，某自来水公司要在公路两侧铺设水管，公路为东西方向，在路北侧沿直线1l 铺设，在路南侧沿直线2l 铺设，现要在矩形区域ABCD 内沿直线将1l 与2l 接通．已知60AB m =，80BC m =，公路两侧铺设的水管费用为每米1万元，穿过公路的EF 部分铺设的水管费用为每米2万元，设EF 与AB 所成的小于90︒的角为α．（Ⅰ）求矩形区域ABCD 内的水管费用W 关于α的函数关系式； （Ⅱ）求（Ⅰ）中水管费用W 的最小值及相应的角α．21．（本小题满分14分） 设函数21()ln 2.2f x x ax bx =+- （Ⅰ）当3,1a b =-=时，求函数)(x f 的最大值；（Ⅱ）令21()()22a F x f x ax bx x =-++（132x ≤≤），其图象上存在一点00(,)P x y ，使此处切线的斜率12k ≤，求实数a 的取值范围； （Ⅲ）当0a =，21-=b 时，方程()f x mx =有唯一实数解，求实数m 的取值范围．F C B l2l1高三月段质量检测试题 2019.10 文科数学参考答案一、选择题 CDBCC DDAAD 二、填空题 11. 3 12. -2 13.1 14. 7 15.536 三、解答题16. 解：b a x f ⋅=)( -------------2分(1)由0)(=x f 即分 ∴,,62Z k k x ∈+=ππ∴Z k k k x ∈+=+=,1216212πππ. -------------6分(2)∵)(x f 21cos2x) =2sin(2x-6π)------------9分由,226222πππππ+≤-≤-k x k Z k ∈得Z k k x k ∈+≤≤-,36ππππ -------------11分又∵],0[π∈x ,∴)(x f 的单调递增区间是],65[],3,0[πππ. -------------12分17.解：(1)在ABC ∆中,由cos A =,可得sin A =, -------------1分又由sin sin a c A C =及2a =,c =可得sin 4C = -------------3分 由22222cos 20a b c bc A b b =+-⇒+-=,因为0b >,故解得1b =.-----------5分所以sin 14C b == -------------6分(2)由cos 4A =-,sin 4A =得23cos 22cos 14A A =-=-,47cos sin 22sin -==A A A -------------9分所以3cos(2)cos 2cossin 2sin3338A A A πππ-+=-=-------------12分 18.解：(1)若命题p 为真，即ax 2－x ＋116a >0对任意x 恒成立．-------------2分(ⅰ)当a ＝0时，－x >0不恒成立，不合题意； -------------3分(ⅱ)当a ≠0时，可得⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ<0，即⎩⎪⎨⎪⎧a >0，1－14a 2<0，解得a >2. -------------5分所以实数a 的取值范围是(2，＋∞)． -------------6分 (2)令y ＝3x －9x ＝－(3x －12)2＋14，则max y a > -------------7分由x >0得3x >1，则y <0. -------------8分若命题q 为真，则a ≥0. -------------10分 由命题“p 或q ”为真，得p 与q 至少一个为真，所以实数a 的取值范围是[0,+∞）． -------------12分 19．解：（1）∵函数)(x f 是奇函数，所以0)()(=-+x f x f ，------------2分即0124141412141141=+=++++=+++++-a a a a xxx x x， 故21-=a ． -------------6分 （另解：由)(x f 是奇函数，所以0)0(=f ，故21-=a ．再由)41(24141121)(xxx x f +-=++-=，通过验证0)()(=-+x f x f 来确定21-=a 的合理性,不验证的-1分）（2）由（1）知,14121)(++-=xx f 由上式易知)(x f 在R 上为减函数 . （)(x f 的单调性也可用定义法或导数法证明）------------7分 又因)(x f 是奇函数，从而不等式0)12()2(22<-+-t f t t f 等价于<-)2(2t t f )12(-2-t f ，即)12()2(22+-<-t f t t f -------------8分)(x f 在）（1,1-上为减函数，由上式得： ⎪⎩⎪⎨⎧+->-<<-<-<-12211-211212222t t t t t t ,解得312-1-<<t ------------11分∴不等式的解集为}3121{-<<-t t -------------12分 20.解：（Ⅰ）如图，过E 作EM BC ⊥，垂足为M ，由题意,4(0tan )3MEF αα∠=≤≤，故有60tan MF α=，60cos EF α=，8060tan AE FC α+=-．……3分所以60(8060tan )12cos W αα=-⨯+⨯ sin 18060120cos cos ααα=-+ sin 28060cos αα-=-． …………6分（Ⅱ）设sin 2()cos f ααα-=（其中0040,tan )23πααα<=≤≤，则22cos cos (sin )(sin 2)12sin ()cos cos f αααααααα----'==．………… 8分 令()0f α'=得12sin 0α-=，即1sin 2α=，得6πα=． ………… 9分列表所以当6α=时有max ()f α=min 80W =+ 12分答：水管费用的最小值为80+6πα=． ……… 13分21.解：(Ⅰ)依题意，()f x 的定义域为(0,)+∞， 当3,1a b=-=时，23()ln 22f x x x x =--， 21132()32x xf x x x x--'=--=-------------2分由 ()0f x '>，得23210x x +-<，解得113x -<<; F C B l2l1由 ()0f x '<，得23210x x +->，解得13x >或1x <-. 0x >，()f x ∴在1(0,)3单调递增，在1(,)3+∞单调递减；所以()f x 的极大值为15()ln 336f =--，此即为最大值 ………4分(Ⅱ)1()ln ,[,3]2a F x x x x =+∈，则有00201(),2x a k F x x -'==≤在01[,3]2x ∈上高三月段质量检测试题答题纸2019.10数学（文）一、选择题：（每小题5分，共50分）1---5 6---10二、填空题：（每小题5分，共25分）11. 12.13. 14.15.三、解答题：（本大题共6小题，共75分）。
山东省寿光现代中学2019-2020学年高二数学10月月考试题(含解析)
【点睛】本题考查等比数列的求和公式，属基础题．
7.正数 a, b 满足 ab a b 3 ，则 ab 的取值范围是（ ）
A. [9, )
B. (9, )
C. [3, )
D. (3, )
【答案】A 【解析】 【分析】
根据均值不等值，把已知条件转化成关于 ab 的不等式，解不等式即可 【详解】解：因为 a,b 是正数，所以 ab a b 3 2 ab 3 ，
所求．
【详解】解：因为等差数列
an
，所以
a1
a11
a3
a9
16 ，
S11
则
11
a1
a11 2
118
88
.
故选：B.
【点睛】本题主要考查了等差数列的性质，以及等差数列的求和公式，熟练掌握性质及公式
是解本题的关键，属于基础题．
3.已知等比数列{an}满足 a1 3 ， a1 a3 a5 21 ，则 a3 a5 a7 （ ）
x
x 1 C. 当 x 2 时, x 的 最小值是 2
D.
当0
x 2 时, x
1 x 无最大值
【答案】B
【解析】
【分析】
利用基本不等式的性质、函数的单调性即可得出．
1 【详解】解：A．当 1＞x＞0 时，lgx＜0，lgx lgx 2 不成立；
x 1 2
B．当 x 0 时,
x ，正确；
1＞ C．当 x≥2 时，x x 2，不成立；
A. n(2n 1)
B. (n 1)2
C. n2
D. (n 1)2
【答案】C
【解析】
试题分析：因为 an 为等比数列，所以 a1 a2n1 a2 a2n2 a5 a2n5 22n ,
2017-2018学年山东省潍坊市寿光市现代中学高三(上)开学数学试卷(文科)(解析版)
2017-2018学年山东省潍坊市寿光市现代中学高三（上）开学数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A＝{x|x+2＞0}，B＝{x|x2+2x﹣3≤0}，则A∩B＝（）A．[﹣3，﹣2）B．[﹣3，﹣1]C．（﹣2，1]D．[﹣2，1]2．（5分）已知p：幂函数y＝（m2﹣m﹣1）x m在（0，+∞）上单调递增；q：|m﹣2|＜1，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不要条件3．（5分）已知函数f（x）＝，若f[f（）]＝3，则b＝（）A．﹣1B．0C．2D．34．（5分）函数y＝A sin（ωx+φ）的部分图象如图所示，则（）A．y＝2sin（2x﹣）B．y＝2sin（2x﹣）C．y＝2sin（x+）D．y＝2sin（x+）5．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，＝（1，﹣2），＝（2，1）则•＝（）A．5B．4C．3D．26．（5分）已知实数x，y满足，若z＝2x﹣2y﹣1，则z的取值范围为（）A．（﹣，5）B．（﹣，0）C．[0，5]D．[﹣，5] 7．（5分）已知实数a＝1.70.3，b＝0.90.1，c＝log25，d＝log0.31.8，那么它们的大小关系是（）A．c＞a＞b＞d B．a＞b＞c＞d C．c＞b＞a＞d D．c＞a＞d＞b 8．（5分）已知，则下列结论中正确的是（）A．f（x）的图象关于点对称B．f（x）的图象关于直线对称C．函数f（x）在区间上单调递增D．将f（x）的图象向右平移个单位长度可以得到y＝sin2x的图象9．（5分）下列四个图中，可能是函数的图象是（）A．B．C．D．10．（5分）已知＝（cos23°，cos67°），＝（2cos68°，2cos22°），则△ABC的面积为（）A．2B．C．1D．11．（5分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且b（2sin B+sin A）+（2a+b）sin A＝2c sin C，则C＝（）A．B．C．D．12．（5分）已知a∈R，若f（x）＝（x+）e x在区间（0，1）上只有一个极值点，则a的取值范围为（）A．a＞0B．a≤1C．a＞1D．a≤0二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）在△ABC中，a＝4，b＝5，c＝6，则＝．14．（5分）已知向量夹角为45°，且，则＝．15．（5分）已知函数f（x）＝a x+b（a＞0，a≠1）的定义域和值域都是[﹣1，0]，则a+b＝．16．（5分）已知定义在R上的奇函数f（x），设其导函数为f'（x），当x∈（﹣∞，0）时，恒有xf'（x）＜f（﹣x），令F（x）＝xf（x），则满足F（3）＞F（2x﹣1）的实数x的取值集合是．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）设向量．（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）在区间[0，π]上的单调递减区间．18．（12分）某建筑公司用8000万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少12层、每层4000平方米的楼房．经初步估计得知，如果将楼房建为x（x≥12）层，则每平方米的平均建筑费用为Q（x）＝3000+50x（单位：元）．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？每平方米的平均综合费最小值是多少？（注：平均综合费用＝平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用＝）19．（12分）如图，在△ABC中，B＝，BC＝2，点D在边AB上，AD＝DC，DE⊥AC，E为垂足，（1）若△BCD的面积为，求CD的长；（2）若ED＝，求角A的大小．20．（12分）已知f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，且f（1）＝1，若a，b∈[﹣1，1]，a+b≠0时，有成立．（1）判断f（x）在[﹣1，1]上的单调性，并证明它；（2）解不等式f（x2）＜f（2x）．21．（12分）设函数的最小正周期为π．且．（1）求w和φ的值；（2）在给定坐标系中作出函数f（x）在[0，π]上的图象；（3）若，求x的取值范围．22．（12分）已知函数f（x）＝﹣2xlnx+x2﹣2ax+a2．记g（x）为f（x）的导函数．（1）若曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于直线x+y+3＝0，求a的值；（2）讨论g（x）＝0的解的个数；（3）证明：对任意的0＜s＜t＜2，恒有＜1．2017-2018学年山东省潍坊市寿光市现代中学高三（上）开学数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．【解答】解：集合A＝{x|x+2＞0}＝{x|x＞﹣2}，B＝{x|x2+2x﹣3≤0}＝{x|﹣3≤x≤1}，则A∩B＝{x|﹣2＜x≤1}＝（﹣2，1]．故选：C．2．【解答】解：p：幂函数y＝（m2﹣m﹣1）x m在（0，+∞）上单调递增；∴m2﹣m﹣1＝1，m＞0，解得m＝2．q：|m﹣2|＜1，解得1＜m＜3．则p是q的充分不必要条件．故选：A．3．【解答】解：函数f（x）＝，f（）＝log2＝﹣1，f[f（）]＝3，可得f（﹣1）＝1+b＝3，可得b＝2．故选：C．4．【解答】解：由图可得：函数的最大值为2，最小值为﹣2，故A＝2，＝，故T＝π，ω＝2，故y＝2sin（2x+φ），将（，2）代入可得：2sin（+φ）＝2，则φ＝﹣满足要求，故y＝2sin（2x﹣），故选：A．5．【解答】解：由向量加法的平行四边形法则可得，＝＝（3，﹣1）．∴＝3×2+（﹣1）×1＝5．故选：A．6．【解答】解：不等式对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z＝2x﹣2y﹣1得y＝x﹣，平移直线y＝x﹣，由平移可知当直线y＝x﹣，经过点A（2，﹣1）时，直线y＝x﹣的截距最小，此时z取得最大值，此时z＝2x﹣2y﹣1＝4+2﹣1＝5，可知当直线y＝x﹣，经过点C时，直线y＝x﹣的截距最大，此时z取得最小值，由，得，即A（，）代入z＝2x﹣2y﹣1得z＝2×﹣2×﹣1＝﹣，故z∈（﹣，5）．故选：A．7．【解答】解：∵d＝log0.31.8＜log0.31＝0，c＝log25＞log24＝2，0＜b＝0.90.1＜0.90＝1，1.71＞a＝1.70.3＞1.70＝1∴d＜0＜b＜1＜a＜2＜c故选：A．8．【解答】解：由于已知，令x＝，求得f（x）＝，故排除A；令x＝，求得f（x）＝1为最大值，可得f（x）的图象关于直线对称，故B正确．在区间上，2x+∈[，]，故函数f（x）在区间上单调递减，故排除C；将f（x）的图象向右平移个单位长度可以得到y＝sin（2x﹣+）＝sin（2x﹣）的图象，故排除D，故选：B．9．【解答】解：令t＝x+1，是函数化为：y＝，可知函数是奇函数，原函数关于（﹣1，0）对称，排除A，D，当x→+∞时，函数y＞0，排除B．故选：C．10．【解答】解：根据题意，＝（cos23°，cos67°），则＝﹣（cos23°，sin23°），有||＝1，由于，＝（2cos68°，2cos22°）＝2（cos68°，sin68°），则||＝2，则＝﹣2（cos23°cos68°+sin23°sin68°）＝﹣2×cos45°＝﹣，可得：cos∠B＝＝﹣，则∠B＝135°，则S△ABC＝||•||sin∠B＝＝；故选：D．11．【解答】解：∵b（2sin B+sin A）+（2a+b）sin A＝2c sin C，∴由正弦定理可得：b（2b+a）+（2a+b）a＝2c2，整理可得：b2+a2﹣c2＝﹣ab，∴由余弦定理可得：cos C＝＝＝﹣，∵C∈（0，π），∴C＝．故选：C．12．【解答】解：∵f（x）＝（x+）e x，∴f′（x）＝（）e x，设h（x）＝x3+x2+ax﹣a，∴h′（x）＝3x2+2x+a，a＞0，h′（x）＞0在（0，1）上恒成立，即函数h（x）在（0，1）上为增函数，∵h（0）＝﹣a＜0，h（1）＝2＞0，∴h（x）在（0，1）上有且只有一个零点x0，使得f′（x0）＝0，且在（0，x0）上，f′（x）＜0，在（x0，1）上，f′（x）＞0，∴x0为函数f（x）在（0，1）上唯一的极小值点；a＝0时，x∈（0，1），h′（x）＝3x2+2x＞0成立，函数h（x）在（0，1）上为增函数，此时h（0）＝0，∴h（x）＞0在（0，1）上恒成立，即f′（x）＞0，函数f（x）在（0，1）上为单调增函数，函数f（x）在（0，1）上无极值；a＜0时，h（x）＝x3+x2+a（x﹣1），∵x∈（0，1），∴h（x）＞0在（0，1）上恒成立，即f′（x）＞0，函数f（x）在（0，1）上为单调增函数，函数f（x）在（0，1）上无极值．综上所述，a＞0．故选：A．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．【解答】解：∵△ABC中，a＝4，b＝5，c＝6，∴cos C＝＝，cos A＝＝∴sin C＝，sin A＝，∴＝＝1．故答案为：1．14．【解答】解：∵，＝1∴＝∴|2|＝＝＝＝解得故答案为：315．【解答】解：当a＞1时，函数f（x）＝a x+b在定义域上是增函数，所以，解得b＝﹣1，＝0不符合题意舍去；当0＜a＜1时，函数f（x）＝a x+b在定义域上是减函数，所以，解得b＝﹣2，a＝，综上a+b＝，故答案为：16．【解答】解：∵f（x）是奇函数，∴不等式xf′（x）＜f（﹣x），等价为xf′（x）＜﹣f（x），即xf′（x）+f（x）＜0，∵F（x）＝xf（x），∴F′（x）＝xf′（x）+f（x），即当x∈（﹣∞，0]时，F′（x）＝xf′（x）+f（x）＜0，函数F（x）为减函数，∵f（x）是奇函数，∴F（x）＝xf（x）为偶数，且当x＞0为增函数．即不等式F（3）＞F（2x﹣1）等价为F（3）＞F（|2x﹣1|），∴|2x﹣1|＜3，∴﹣3＜2x﹣1＜3，即﹣2＜2x＜4，∴﹣1＜x＜2，即实数x的取值范围是（﹣1，2），故答案为：（﹣1，2）．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．【解答】解：向量，（1）由题意可得：，故函数的最小正周期为．（2）由（1）知f（x）＝sin（2x﹣），令，k∈Z．解得：，故函数的减区间为．∵x∈[0，π]，可得函数f（x）的减区间为．18．【解答】解：设楼房每平方米的平均综合费为f（x）元，依题意得（x≥12，x∈N）【方法一】因为；当且仅当上式取”＝”；因此，当x＝20时，f（x）取得最小值5000（元）．所以，为了使楼房每平方米的平均综合费最少，该楼房应建为20层，每平方米的平均综合费最小值为5000元【方法二】因为；令f′（x）＝0（其中x＞0），得x＝20；当0＜x＜20时，f′（x）＜0，f（x）是减函数；当x＞20时，f′（x）＞0，f（x）是增函数；所以，当且仅当x＝20时，f（x）有最小值，为f（20）＝5000；即为了使楼房每平方米的平均综合费最少，该楼房应建为20层，每平方米的平均综合费最小值为5000元．19．【解答】解：（1）∵△BCD的面积为，，∴∴BD＝在△BCD中，由余弦定理可得＝＝；（2）∵，∴CD＝AD＝＝在△BCD中，由正弦定理可得∵∠BDC＝2∠A∴∴cos A＝，∴A＝．20．【解答】解：（1）f（x）是定义在[﹣1，1]上的增函数．理由：任取x1、x2∈[﹣1，1]，且x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）＝f（x1）+f（﹣x2），∵，即，∵x1﹣x2＜0，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，则f（x）是[﹣1，1]上的增函数．（2）由（1）可得f（x）在[﹣1，1]递增，可得不等式f（x2）＜f（2x），即为，即，解得．则解集为．21．【解答】解：（1）由题意，周期，∴ω＝2，∵，即，且，∴．（2）由（1）知：，则列表如下：图象如图：（3）由，即，∴，解得：，∴不等式解集x的范围是．22．【解答】解：（1）函数f（x）＝﹣2xlnx+x2﹣2ax+a2的导数为f′（x）＝﹣2（1+lnx）+2x﹣2a，可得曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为﹣2+2﹣2a＝﹣2a，切线垂直于直线x+y+3＝0，可得﹣2a＝1，解得a＝﹣；（2）g（x）＝f′（x）＝﹣2（1+lnx）+2x﹣2a＝0，即为a＝x﹣1﹣lnx，x＞0，设h（x）＝x﹣1﹣lnx，h′（x）＝1﹣＝，当x＞1时，h′（x）＞0，h（x）递增；当0＜x＜1时，h′（x）＜0，h（x）递减．可得h（x）在x＝1处取得极小值，也为最小值0，则当a＝0时，g（x）＝0有一解；当a＜0时，g（x）＝0无解；当a＞0时，g（x）＝0有两解；（3）证明：对任意的0＜s＜t＜2，恒有＜1，即有＜0，即证g（x）﹣x在（0，2）为减函数．可令k（x）＝g（x）﹣x＝﹣2（1+lnx）+x﹣2a，0＜x＜2，k′（x）＝﹣2•+1＝，由0＜x＜2可得k′（x）＜0，可得k（x）＝g（x）﹣x在（0，2）递减，故对任意的0＜s＜t＜2，恒有＜1．。
2019-2020年高三上学期开学考试数学(理)试题 含答案
秘密★启用前2019-2020年高三上学期开学考试数学（理）试题 含答案一、选择题：共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．设全集，集合，，则=（）A ．B ．C ．D ．2．命题“，则或”的逆否命题为（）A ．若，则且B ．若，则且C ．若且，则D ．若或，则3．“”是“”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知函数的零点在区间上，则的值为（）A ．1B ．2C ．3D ．45．已知，为方程的解，则的值为（）A ．B ．5C ．﹣5D ．﹣16．已知存在实数，使得关于的不等式有解，则的最大值为（）A ．2B ．C ．4D ．87．已知，，则sin cos )4ααπα-的值为（ ）A ．B ．C ．D ．8．（原创）已知关于的方程有两个不同实数解，则实数的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．9．下列命题中：①若，则幂函数在上单调递增；②函数与函数的图象关于直线对称；③若函数的图象关于对称，则为偶函数；④若是定义域为R 的奇函数，对于任意的都有，则函数的图象关于直线对称，其中正确的命题的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．410．（原创）已知点P 为曲线上一点，曲线C 在点P 处的切线交曲线C 于点Q （异于点P ），若直线的斜率为，曲线C 在点Q 处的切线的斜率为，则的值为（ ）A ．﹣5B ．﹣4C ．﹣3D ．211．（原创）已知是定义在R 上且以4为周期的奇函数，当时，，则函数在区间上的所有零点的和为（）A ．16B ．32C ．48D ．5212．（原创）已知函数32()2log )21x f x x =-++，，，，则（） A ． B ． C ． D ．第II 卷本卷包括必考题和选考题，第12题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题~第24题为选考题，考生根据要求作答二、填空题：共4小题，每小题5分13．=_________14．设函数，则不等式的解集为_________15．化简：=_________16．（原创）若函数与函数的图象有且仅有一个交点，则实常数的值为_________三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（本小题满分12分）已知函数（1）已知，且，，求的值；（2）求函数的最大值18．（本小题满分12分）设命题P：函数的定义域为R；命题q：函数在区间上有唯一零点，（1）若p为真命题，求实数的取值范围；（2）如果命题“”为真命题，命题“”为假命题，求实数的取值范围19．（本小题满分12分）现今中国社会人口老龄化日趋严重，机构为了解某城市市民的年龄构成，从该城市市民中随机抽取年龄段在20~80岁（含20岁和80岁）之间的600人进行调查，并按年龄层次[20,30)，[30,40)，[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80]绘制频率分布直方图，如图所示.若规定年龄分布在[20,40)岁的人为“青年人”，[40,60)为“中年人”， [60,80]为“老年人”（1）若每一组数据的平均值用该区间中点值来代替，试估算所调查的600人的平均年龄；（2）将上述人口分布的频率视为该城市在20-80年龄段的人口分布的概率．从该城市20-80年龄段市民中随机抽取3人，记抽到“老年人”的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．20．（原创）（本小题12分）已知函数（为常数）（1）若函数在内单调递增，求实数的取值范围；（2）若存在（其中为自然对数的底），使得成立，求实数的取值范围21．（本小题满分12分）已知为常数，函数，（1）当=0时，求函数的最小值；（2）若有两个极值点①求实数的取值范围；②（原创）求证：且（其中为自然对数的底）请考生在22、23、24三题中任选一题作答，注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一题计分。
2019-2020学年山东省潍坊市寿光市现代中学高二(上)10月月考数学试卷
2019-2020学年山东省潍坊市寿光市现代中学高二（上）10月月考数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 下列命题中，正确的是（）A.若a>b，c>d，则a−c>b−dB.若a>b，c>d，则ac>bdC.若ac>bc，则a>bD.若ac2<bc2，则a<b【答案】D【考点】不等式的基本性质【解析】利用不等式的性质进行判断，即可得出结论．【解答】对于A，同向不等式，只能相加，不能相减，故不正确；对于B，同向不等式均为正时，才能相乘，故不正确；对于C，c的符号不定，故不正确；对于D，c2>0，故正确．2. 在等差数列{a n}中，已知a3+a9＝16，则该数列前11项和S11＝（）A.58B.88C.143D.176【答案】B【考点】等差数列的前n项和【解析】根据等差数列的性质可知a1+a11＝a3+a9，然后根据等差数列的求和公式解之即可求出所求．【解答】∵等差数列{a n}，∴a1+a11＝a3+a9＝16，则S11=a1+a112×11=8×11＝88．3. 已知等比数列{a n}满足a1=3，a1+a3+a5=21，则a3+a5+a7=()A.21B.42C.63D.84【答案】B【考点】等比数列的通项公式【解析】由已知，a1=3，a1+a3+a5=21，利用等比数列的通项公式可求q，然后在代入等比数列通项公式即可求．【解答】解：∵a1=3，a1+a3+a5=21，∴a1(1+q2+q4)=21，∴q4+q2+1=7，∴q4+q2−6=0，∴q2=2，∴a3+a5+a7=a1(q2+q4+q6)=3×(2+4+8)=42．故选B.4. 已知x，y∈R+，且满足x3+y4=1，则xy的最大值为（）A.3B.6C.2D.4【答案】A【考点】基本不等式及其应用【解析】利用基本不等式的性质及解不等式即可得出．【解答】因为x，y∈R+，x3+y4=1，有：1=x3+y4≥2√x3⋅y4，解得：xy≤3；（当且仅当x3=y4，即x=32，y＝2时取等号），故xy≤3；5. 已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝2a n+1，则数列{a n}的通项公式为（）A.a n=−2n−1B.a n=2n−1C.a n＝2n−3D.a n=2n−1−2【答案】A【考点】数列递推式【解析】由S n＝2a n+1，可得n≥2时，a n＝S n−S n−1，化为：a n＝2a n−1．n＝1时，a1＝2a1+1，解得a1．【解答】∵S n＝2a n+1，∴n≥2时，a n＝S n−S n−1＝2a n+1−(2a n−1+1)，化为：a n＝2a n−1．n＝1时，a1＝2a1+1，解得a1＝−1．∴数列{a n}为等比数列，公比为2．∴a n＝−2n−1．6. 等比数列{a n}的前n项和S n＝3n+t，则t+a3的值为（）A.1B.−1C.17D.18【答案】C【考点】等比数列的前n项和【解析】由题意易得数列的前3项，可得t的方程，解t值可得答案．【解答】由题意可得a1＝S1＝3+t，a2＝S2−S1＝6，a3＝S3−S2＝18，由等比数列可得36＝(3+t)⋅18，解得t＝−1，∴t+a3＝−1+18＝177. 正数a，b满足ab＝a+b+3，则ab的取值范围是（）A.[9, +∞)B.(9, +∞)C.[3, +∞)D.(3, +∞)【答案】A【考点】基本不等式及其应用【解析】根据均值不等值把已知条件转化成关于ab的不等式，解不等式即可【解答】∵a，b是正数∴ab＝a+b+3≥2√ab+3，当{a=bab=a+b+3即a＝b＝3时等号成立即ab≥2√ab+3∴ab−2√ab−3≥0∴(√ab+1)(√ab−3)≥0∴√ab≤−1()√ab≥3∴ab≥98. 已知x≥52,f(x)=x2−4x+52x−4有（）A.最大值54B.最小值54C.最大值1D.最小值1【答案】D【考点】函数的最值及其几何意义【解析】先对函数f(x)进行化简变形，然后利用均值不等式求出最值，注意条件：“一正二定三相等”．【解答】f(x)=x2−4x+52x−4=(x−2)2+12(x−2)=12[(x−2)+1x−2]≥1当且仅当x＝3时取等号，9. 两个等差数列{a n}和{b n}，其前n项和分别为S n，T n，且S nT n =7n+2n+3，则a2+a20b7+b15等于()A.9 4B.378C.7914D.14924【答案】D【考点】等差数列的性质 【解析】由已知，根据等差数列的性质，把a 2+a 20b 7+b 15转化为 S 21T 21求解．【解答】 解：a 2+a 20b7+b 15=a 1+a 21b 1+b 21=212(a 1+a 21)212(b 1+b 21) =S 21T 21=7×21+221+3=14924．故选D .10. 下列结论正确的是( ) A.当x >0且x ≠1时，lgx +1lgx ≥2 B.当x >0时，√x √x ≥2C.当x ≥2时，x +1x 的最小值为2D.当0<x ≤2时，x −1x 无最大值【答案】 B【考点】 基本不等式 【解析】本题中各选项都是利用基本不等式求最值，注意验证一正、二定、三相等条件是否满足即可．A 中不满足“正数”，C 中“=”取不到． 【解答】解：A 中，当0<x <1时，lgx <0，lgx +1lgx ≥2不成立； 由基本不等式B 正确； C 中“=”取不到；D 中x −1x 在0<x ≤2时单调递增，当x =2时取最大值．故选B . 11.已知等比数列{a n }满足a n >0，n =1，2，…，且a 5⋅a 2n−5=22n (n ≥3)，则当n ≥1时，log2a1+log2a3+...+log2a2n−1=( )A.n(2n−1)B.(n+1)2C.n2D.(n−1)2【答案】C【考点】对数函数的图象与性质数列递推式对数及其运算【解析】先根据a5⋅a2n−5=22n，求得数列{a n}的通项公式，再利用对数的性质求得答案．【解答】解：∵a5⋅a2n−5=22n=a n2，a n>0，∴a n=2n，∴log2a1+log2a3+...+log2a2n−1=log2(a1a3...a2n−1)=log221+3+⋯+(2n−1)= log22n2=n2．故选C．12. 已知正实数a，b满足a+b＝1，则2a2+1a +2b2+4b的最小值为（）A.10B.11C.13D.21【答案】B【考点】基本不等式及其应用【解析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．【解答】正实数a，b满足a+b＝1，则2a2+1a +2b2+4b=2a+2b+1a+4b，＝2+(1a +4b)(a+b)，＝7+ba +4ab≥7+4＝11，当且仅当ba =4ab且a+b＝1即b=23，a=13时取等号，二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分不等式x−1x+2>1的解集是________．【答案】{x|x<−2}【考点】其他不等式的解法【解析】已知不等式x−1x+2>1，先将其移项、通分，从而求出不等式的解集．【解答】∵ x−1x+2>1 ∴ x−1x+2−1>0， ∴ −3x+2>0， ∴ x +2<0， ∴ x <−2，数列1，11+2，11+2+3，…，11+2+3+⋯+n ，…的前n 项和S n =________． 【答案】2nn +1 【考点】 数列的求和 【解析】利用等差市领导前n 项和公式化简数列的通项，并将通项裂成两项的差，利用裂项法求出数列的前n 项和． 【解答】解：∵ 数列的通项为11+2+3+⋯+n =2n(n+1)=2(1n −1n+1)∴ 数列的前n 项和为2(1−12+12−13+⋯+1n −1n+1)=2(1−1n+1)=2nn+1 故答案为2nn+1等比数列{a n }中，若前n 项的和为S n =2n −1，则a +a 22+...+a n 2=________．【答案】43(4n−1) 【考点】等比数列的前n 项和 【解析】由已知可得等比数列{a n }的首项和公比，进而可得数列{a n 2}也是等比数列，且首项为a 12=1，公比为q 2=4，代入等比数列的求和公式可得答案． 【解答】解：∵ a 1=S 1=1，a 2=S 2−S 1=3−1=2，∴ 公比q =2．又∵ 数列{a n 2}也是等比数列，首项为a 12=1，公比为q 2=4，∴ a 12+a 22+⋯+a n 2=1×(1−42)1−4=43(4n −1)故答案为：43(4n −1)已知正实数x ，y 满足x +4y −xy ＝0，若x +y ≥m 恒成立，则实数m 的取值范围为________ 【答案】(−∞, 9] 【考点】基本不等式及其应用 【解析】由等式x +4y −xy ＝0，变形得4x +1y =1，将代数式x +y 与代数式4x +1y 相乘并展开，利用基本不等式可求出x +y 的最小值，从而可求出m 的取值范围． 【解答】由于x +4y −xy ＝0，即x +4y ＝xy ，等式两边同时除以xy 得，4x +1y =1， 由基本不等式可得x +y =(x +y)(4x +1y )=4y x+x y +5≥2√4y x ⋅xy +5=9，当且仅当4yx =xy ，即当x ＝2y 时，等号成立，所以，x +y 的最小值为9． 因此，m ≤9．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤.等比数列{a n }中，已知a 1＝2，a 4＝16．（1）求数列{a n }的通项公式及其前n 项和公式S n ．（2）若数列{a n }满足b n =21og 2a n (n ∈N ∗)，求出数列{b n }的前n 项和T n ． 【答案】数列{a n }的公比为q ，已知a 1＝2，a 4＝16＝2q 3，q ＝2， 所以a n =a 1q n−1=2n ， S n =2(1−2n )1−2=2n+1−2；b n =21og 2a n =21og 22n =2n ，故{b n }是首项为2，公差为2的等差数列， 故数列{b n }的前n 项和T n =n(2+2n)2=n(n +1)．【考点】 数列的求和等比数列的通项公式 【解析】（1）利用等比数列的性质求出q ，代入即可；（2）求出{b n }是首项为2，公差为2的等差数列，直接计算即可． 【解答】数列{a n }的公比为q ，已知a 1＝2，a 4＝16＝2q 3，q ＝2， 所以a n =a 1q n−1=2n ， S n =2(1−2n )1−2=2n+1−2；b n =21og 2a n =21og 22n =2n ，故{b n }是首项为2，公差为2的等差数列， 故数列{b n }的前n 项和T n =n(2+2n)2=n(n +1)．已知不等式(1−a)x 2−4x +6>0的解集是{x|−3<x <1}． （1）求a 的值；（2）解不等式(x −a)(x +b)≤0． 【答案】由题意知，1−a <0，且−3和1是方程(1−a)x 2−4x +6＝0的两根， ∴ {1−a <041−a =−261−a=−3 ，解得a ＝3；由（1）得，(x −3)(x +b)≤0，当−b <3，即b >−3时，不等式的解集为{x|−b ≤x ≤3}， 当−b >3，即b <−3时，不等式的解集为{x|3≤x ≤−b}， 当−b ＝3，即b ＝−3时，不等式的解集为{x|x3}． 【考点】一元二次不等式的应用 【解析】（1）由题意，1−a <0，且−3和1是方程(1−a)x 2−4x +6＝0的两根，由此可求得a ；（2）分类讨论即可得解． 【解答】由题意知，1−a <0，且−3和1是方程(1−a)x 2−4x +6＝0的两根， ∴ {1−a <041−a =−261−a=−3，解得a ＝3；由（1）得，(x −3)(x +b)≤0，当−b <3，即b >−3时，不等式的解集为{x|−b ≤x ≤3}， 当−b >3，即b <−3时，不等式的解集为{x|3≤x ≤−b}， 当−b ＝3，即b ＝−3时，不等式的解集为{x|x3}．已知数列{a n }为等比数列，a 1＝2，公比q >0，且a 2，6，a 3成等差数列． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）设b n ＝log 2a n ，T n =1b1b 2+1b 2b 3+1b 3b 4+⋯+1b n b n+1，求使T n <67的n 的值．【答案】由a 2，6，a 3成等差数列， 得12＝a 2+a 3又{a n }为等比数列，且a 1＝2， 故12＝2q +2q 2解得q ＝2，或q ＝−3， 又q >0， ∴ q ＝2，∴ a n =2⋅2n−1=2n ⋯ ∵ b n =log 22n =n ， ∴ b n b n+1=1n(n+1)=1n −1n+1⋯∴ T n =(1−12)+(12−13)+⋯+(1n −1n+1)=1−1n+1⋯故由$${\{\{T\}}$_${\{n\}}$<\frac{6}{7}}$，得n ＜6，又n ∈N${^{*}}$ ∴ ${n}$的取值为${1}$，${2}$，${3}$，${4}$，${5}$． 【考点】 数列的求和数列与不等式的综合 等差数列的性质 等比数列的通项公式 【解析】（1）由a 2，6，a 3成等差数列，知12＝a 2+a 3，由{a n }为等比数列，且a 1＝2，故12＝2q +2q 2，由此能求出数列{a n }的通项公式．（2）由b n =log 22n =n ，知b n b n+1=1n(n+1)=1n −1n+1，由此利用裂项求和法能够求出由T n <67的n 的取值． 【解答】由a 2，6，a 3成等差数列， 得12＝a 2+a 3又{a n }为等比数列，且a 1＝2， 故12＝2q +2q 2解得q ＝2，或q ＝−3， 又q >0， ∴ q ＝2，∴ a n =2⋅2n−1=2n ⋯ ∵ b n =log 22n =n ， ∴ b n b n+1=1n(n+1)=1n −1n+1⋯∴ T n =(1−12)+(12−13)+⋯+(1n −1n+1)=1−1n+1⋯故由$${\{\{T\}}$_${\{n\}}$<\frac{6}{7}}$，得n ＜6，又n ∈N${^{*}}$ ∴ ${n}$的取值为${1}$，${2}$，${3}$，${4}$，${5}$．已知不等式mx 2−mx −1<0．（1）若当x ∈R 时不等式恒成立，求实数m 的取值范围．（2）若x ∈[1, 3]时不等式恒成立，求实数m 的取值范围． 【答案】当x ∈R 时不等式mx 2−mx −1<0恒成立， 当m ＝0时，−1<0，恒成立；当m <0，△<0，即m 2+4m <0，可得−4<m <0； 当m >0，不等式不恒成立， 综上可得m 的范围是(−4, 0]；x ∈[1, 3]时不等式mx 2−mx −1<0恒成立， 当x ＝1时，−1<0恒成立；当1<x ≤3时，m(x 2−x)<1，即m <1x 2−x 在1＜x≤3时恒成立，设f(x)=1x2−x 即f(x)=1(x−12)2−14，在1<x≤3时，f(x)递减，可得f(x)的最小值为f(3)=16，则m<16．【考点】不等式恒成立的问题【解析】（1）对m讨论，m＝0，m>0，m<0，结合二次函数的图象可得所求范围；（2）由题意可得x∈[1, 3]时不等式mx2−mx−1<0恒成立，讨论x＝1，1<x≤3，运用参数分离和构造函数，求最值，可得所求范围．【解答】当x∈R时不等式mx2−mx−1<0恒成立，当m＝0时，−1<0，恒成立；当m<0，△<0，即m2+4m<0，可得−4<m<0；当m>0，不等式不恒成立，综上可得m的范围是(−4, 0]；x∈[1, 3]时不等式mx2−mx−1<0恒成立，当x＝1时，−1<0恒成立；当1<x≤3时，m(x2−x)<1，即m<1x2−x在1＜x≤3时恒成立，设f(x)=1x2−x 即f(x)=1(x−12)2−14，在1<x≤3时，f(x)递减，可得f(x)的最小值为f(3)=16，则m<16．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝2．当n≥2时．S n−1+l，a n．S n+1成等差数列．(I)求证：{S n+1}是等比数列：(II)求数列{na n}的前n项和．【答案】（I）证明：∵S n−1+l，a n．S n+1成等差数列∴2a n＝s n+s n−1+2∴2(s n−s n−1)＝s n+s n−1+2即s n＝3s n−1+2∴s n+1＝3(s n−1+1)，n≥2∴{s n+1}是首项为s1+1＝3，公比为3的等比数列(II)由(I)可知s n+1=3n∴s n=3n−1⋯当n≥2时，a n＝s n−s n−1＝2⋅3n−1又∵a1＝3∴a n=2⋅3n−1⋯∴T n=2+4⋅3+6⋅32+⋯+2(n−1)⋅3n−2+2n⋅3n−1 (1)3T n=2⋅3+4⋅32+⋯+(2n−1)⋅3n−1+2n⋅3n (2)（1）−(2)得：−2T n＝2+2⋅3+2⋅32+...+2⋅3n−1−2n⋅3n=2(1−3n)1−3−2n⋅3n＝3n−1−2n⋅3n∴T n=(2n−1)⋅3n+12⋯【考点】数列的求和等比数列的性质【解析】（I）由题意可得2a n＝s n+s n−1+2，结合a n＝s n−s n−1可得s n与s n−1之间的递推关系，进而可证明(II)由(I)可求s n+1，进而可求s n，然后利用a n＝s n−s n−1可求a n，然后利用错位相减可求T n【解答】（I）证明：∵S n−1+l，a n．S n+1成等差数列∴2a n＝s n+s n−1+2∴2(s n−s n−1)＝s n+s n−1+2即s n＝3s n−1+2∴s n+1＝3(s n−1+1)，n≥2∴{s n+1}是首项为s1+1＝3，公比为3的等比数列(II)由(I)可知s n+1=3n∴s n=3n−1⋯当n≥2时，a n＝s n−s n−1＝2⋅3n−1又∵a1＝3∴a n=2⋅3n−1⋯∴T n=2+4⋅3+6⋅32+⋯+2(n−1)⋅3n−2+2n⋅3n−1 (1)3T n=2⋅3+4⋅32+⋯+(2n−1)⋅3n−1+2n⋅3n (2)（1）−(2)得：−2T n＝2+2⋅3+2⋅32+...+2⋅3n−1−2n⋅3n=2(1−3n)1−3−2n⋅3n＝3n−1−2n⋅3n∴T n=(2n−1)⋅3n+12⋯东海水晶制品厂去年的年产量为10万件，每件水晶产品的销售价格为100元，固定成本为80元．从今年起，工厂投入100万元科技成本，并计划以后每年比上一年多投入100万元科技成本．预计产量每年递增1万件，每件水晶产品的固定成本g(n)与科技成本的投入次数n的关系是g(n)=√n+1n次投入后的年利润为f(n)万元．（1）求出f(n)的表达式；（2）问从今年算起第几年利润最高？最高利润为多少万元？【答案】第n次投入后，产量为10+n万件，价格为100元，固定成本为√n+1元，科技成本投入为100n，)−100n⋯所以，年利润为f(n)=(10+n)(100−n+1)−100n．由（1）f(n)=(10+n)(100√n+1=1000−80(√n+1+≤520（万元）√n+1时当且仅当√n+1=√n+1即n＝8时，利润最高，最高利润为520万元．答：从今年算起第8年利润最高，最高利润为520万元．【考点】根据实际问题选择函数类型【解析】（1）先根据题意可得：第n次投入后，产量为10+n万件，价格为100元，固定成本为元，科技成本投入为100n，进而可求年利润为f(n)√n+1)，进而可以利用基本不等式，求（2）将函数整理成f(n)=1000−80(√n+1+√n+1出最高利润．【解答】元，第n次投入后，产量为10+n万件，价格为100元，固定成本为n+1科技成本投入为100n，)−100n⋯所以，年利润为f(n)=(10+n)(100−√n+1)−100n．由（1）f(n)=(10+n)(100√n+1=1000−80(√n+1+≤520（万元）√n+1时当且仅当√n+1=√n+1即n＝8时，利润最高，最高利润为520万元．答：从今年算起第8年利润最高，最高利润为520万元．。
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2019-2020学年山东省寿光现代中学高三上学期开学考试 数学（理）说明:本试卷满分150分,考试用时120分钟一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．复数的共轭复数是（ ） A.－iB.－C.D.2．用反证法证明“a ，b ，c 中至少有一个大于0”，下列假设正确的是（ ） A ．假设a ，b ，c 都小于0 B ．假设a ，b ，c 都大于0C ．假设a ，b ，c 中都不大于0D ．假设a ，b ，c 中至多有一个大于03．已知随机变量服从正态分布,若,则 =（ ）A.0.477B.0.625C.0.954D.0.977 4.下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（ ） A. 1y x =+ B. 2y x =- C. 1y x=D. ||y x x = 5. 集合{}21|<≤-=x x A ，{}a x x B <=|，若φ≠B A ，则a 的取值范围是( )A.2<aB.2->aC.1->aD.21≤<-a 6. 定义在R 上的偶函数f (x )满足：对任意x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)，有()()2121f x f x x x --<0，则( )A ．f (3)<f (－2)<f (1)B ．f (1)<f (－2)<f (3)C ．f (－2)<f (1)<f (3)D ．f (3)<f (1)<f (－2)7. 命题：“若220a b +=（a , b ∈R ），则a=b=0”的逆否命题是 （ ）A ．若a ≠b ≠0（a , b ∈R ），则22a b +≠0 B.若a=b ≠0（a , b ∈R ），则22a b +≠0 C ．若a ≠0且b ≠0（a,b ∈R ），则22a b +≠0 D.若a ≠0或b ≠0（a,b ∈R ），则22a b +≠08. 已知函数2)(xx e e x f --=，则下列判断中正确的是( )A ．奇函数，在R 上为增函数B ．偶函数，在R 上为增函数C ．奇函数，在R 上为减函数D ．偶函数，在R 上为减函数i25+31035-i 31035+2i +2i -X 2(0)N σ，(2)0.023PX >=(22)P X -≤≤9.若函数y =x 2-3x -4的定义域为［0,m ］，值域为［-425,-4］，则m 的取值范围是( ) A.(0,]4 B.［23,4］ C.［23,3］ D.［23,+∞)10．通过随机询问100名性别不同的小学生是否爱吃零食，得到如下的列联表：由K 2=算得K 2=≈4.762参照附表，得到的正确结论（ ）A.在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“是否爱吃零食与性别有关”B.在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“是否爱吃零食与性别无关”C.有97.5%以上的把握认为“是否爱吃零食与性别有关”D.有97.5%以上的把握认为“是否爱吃零食与性别无关”11．从5名学生中选出4名分别参加数学、物理、化学、外语竞赛，其中A 不参加物理、化学竞赛，则不同的参赛方案种数为( )A ．24B ．48C ．120D ．72 12.对于函数f (x )定义域中任意的1x ，2x (1x ≠2x )，有如下结论： ①f (1x ＋2x )＝f (1x )·f (2x ) ②f (1x ·2x )＝f (1x )＋f (2x )[来源:] ③1212()()0f x f x x x ->- ④1212()()()22x x f x f x f ++< 当f (x )＝lg x 时，上述结论中正确结论的序号是 ( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．②③④二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡的相应位置． 13.若函数1)(3++=x ax x f 的图像在))1(,1(f 处的切线过点)7,2(，则=a _____________. 14.=+20lg 5lg _____________.15.若函数)(x f 定义域为R ，直线1=x 和2=x 是曲线)(x f y =的对称轴，且1)0(=f ，则=+)10()4(f f _____________.16.已知函数)(x f 满足)1(4)(x f x f =，当]1,41[∈x 时，x x f ln )(=.若在]4,41[上方程kx x f =)(有三个不同的实根，则实数k 的取值范围是_____________.三、解答题:本大题共6小题，满分70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17.（本小题满分10分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且60,4565==S S . （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式n a ；（Ⅱ）若数列{}n b 满足*)(1N n a b b n n n ∈=-+，且31=b ，求⎭⎬⎫⎩⎨⎧n b 1的前n 项和n T .18.（本小题满分12分）已知函数23cos sin sin 3)(2-+=x x x x f . （Ⅰ）求函数)(x f 的单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC 中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，若A 为锐角且23)(=A f ，4=+c b ，求a 的取值范围.19．（本小题满分12分）设函数x x k x f -⋅+=22)(为定义域为R 上的偶函数. （Ⅰ）求k 的值和不等式25)(>x f 的解集； （Ⅱ）若对于任意R x ∈，不等式6)()2(-≥x mf x f 恒成立，求实数m 的最大值.20．（本小题满分12分）如图, 在直三棱柱ABC C B A -111中, 4,2,1===⊥AA AC AB AC AB , D 是 BC 的中点. （Ⅰ）求异面直线1A B 与1C D 所成角的余弦值； （Ⅱ）求平面1ADC 与平面1ABA 所成二面角的正弦值.21.（本小题满分12分）如图，有一块半椭圆形钢板，其半长轴长为r 2，短半轴长为r ，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB 是半椭圆的短轴，上底CD 的端点在椭圆上，记x CD 2=，梯形面积为S . （Ⅰ）求面积S 以x 为自变量的函数式，并写出其定义域； （Ⅱ）求面积S 的最大值.22.（本小题满分12分）已知函数a a ax x x g e x f x 32)(,)(22+-+==，设)()()(x g x f x h ⋅= （Ⅰ）讨论函数)(x h 的单调性； （Ⅱ）试比较)2(-x f e 与x 的大小.2019-2020学年山东省寿光现代中学高三上学期开学考试 数学（理）参考答案1-5 BCDCB 6-10 CDACB 11-12 AC 13.1 14.1 15.2 16.]2ln 2,4(--e17.(1)32+=n a n(2)n n b n 22+=,)211(211+-=n n b n ,812453)2111211(2122+++=+-+-+=n n n n n n T n 18.(1))32sin()(π-=x x f ,单调增区间)](125,12[Z k k k ∈++-ππππ19.(1)1=k ,2522>+-x x ,解集}11|{-<>x x x 或(2)xx x x m --+++≤2262222,令2,22≥+=-t t xx ,44)(≥+=t t t g ,当且仅当2=t 取最小值 4≤m ,即m 的最大值4.20.以AB,AC,1AA 分别为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系 (1))4,1,1(),4,0,2(11-=-=→→D C B A ,10103,cos 11>=<→→D C B A 所以B A 1与D C 1所成角的余弦值10103 (2)面1ADC 的一个法向量)1,2,2(-=→n ，面1ABA 的一个法向量)0,2,0(=→AC32,cos ->=<→→AC n ，所以正弦值35 21.如图，以AB 为x 轴，以AB 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，椭圆方程142222=+rx r y ，22)(2x r r x S -+=，定义域),0(r（2）令)()()(222x r r x x g -+=，2,0)(rx x g ==' 0)(),,2(,0)(),2,0(<'∈>'∈x g r rx x g r x1627)2()(4maxr r g x g ==，2332max r S =22.（1）)2)(2()(a x a x e x h x -++='当32=a 时，0)(≥'x h ，)(x h 在R 上递增； 当32<a 时，在),2(),2,(+∞---∞a a 上增，)2,2(a a --上减。
当32>a 时，在),2(),2,(+∞---∞a a 上增，在)2,2(--a a 上减。
（2）当1≤x 时，x ex e >-2当1>x 时，令x e x h x ln )(2-=-，01)(,1)(222>+=''-='--xe x h xe x h x x ， 所以)(x h '在),1(+∞上递增，0)(,0)1(>'<'e h h ，存在唯一0)(),,1(00='∈x h e x ，0210x e x =- 当),1(0x x ∈时，0)(<'x h ，当),(0e x x ∈时，0)(>'x h021ln )()(000200>-+=-=≥-x x x e x h x h x 所以x e x e>-2综上可得x e x e >-2（另解）x x e x ln 12≥->-。