绵阳南山中学(实验学校)2012年(高中)自主招生考试数学试题及答案
【数学】四川绵阳南山中学2012-2013学年高二5月月考(理)
四川绵阳南山中学2012-2013学年高二5月月考（理） 本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．考试结束后，将第Ⅱ卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷（选择题，共40分）注意事项：1.答题前，考生在答题卡上务必用直径0．5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚．2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效．一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数21(1)i+的值是（ ） A ．2i B ．2i - C ．2 D ．2-2．双曲线2233x y -=的渐近线方程为（ ）A ．3y x =±B ．13y x =±C ．y =D ．y x = 3．已知曲线23ln 4x y x =-的一条切线的斜率为54，则切点的横坐标为（ ） A ．1 B ．32- C ．4 D ．4或32- 4．如图，空间四边形OABC 中，OA a =，OB b =，OC c =，点M 在线段OA 上，且2OM MA =，点N 为BC 的中点，则MN =（ ）A ．121232a b c -+B ．211322a b c -++ C ．111222a b c +- D ．221332a b c +- 5．已知21()n x x+的展开式的二项式系数之和为32，则展开式中含x 项的系数是（ ）A ．5B ．20C ．10D ．406．下列有关命题的叙述，错误．．的个数为（ ） ①若p q ∨为真命题，则p q ∧为真命题．② 2"450"x x --<的充分不必要条件是"5"x >．③命题:p x R ∃∈，使得210x x +-<，则2:,10p x R x x ⌝∀∈+-≥．④命题＂若2320x x -+=，则1x =或2x =＂的逆否命题为＂若1x ≠或2x ≠，则2320x x -+≠＂．A ．1B ．2C ．3D ．47．如图，111A B C ABC -是直三棱柱，BCA ∠为直角，点1D 、1F 分别是11A B 、11AC 的中点，若1BC CA CC ==，则1BD 与1AF 所成角的余弦值是（ ）A．BCD8．箱中有5个黑球，4个白球，每次随机取出一个球，若取出黑球，则放回箱中重新取球，若取出白球，则停止取球，那么在第四次取球之后停止的概率为（ ）A ．315445C C CB ．354()99⨯C ．3154⨯D ．13454()99C ⨯ 9．椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，若椭圆C 上恰好有6个不同的点P ，使得12F F P ∆为等腰三角形，则椭圆C 的离心率的取值范围是（ ）A ．12(,)33B ．1(,1)2C ．2(,1)3D ．111(,)(,1)32210．函数()(1)m n f x ax x =-在区间[0,1]上的图像如图所示，则m 、n 的值可能是（ ） A ．1m =，1n = B ．1m =，2n = C ．2m =，1n = D ．3m =，1n = 第Ⅱ卷（非选择题，共60分）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．11．篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分，已知某运动员罚球命中的概率为0.7，则他罚球2次（每次罚球结果互不影响）的得分的数学期望是 ．12．抛物线22y x =上的两点A 、B 到焦点的距离之和是5，则线段AB 的中点到y 轴的距离是 ．13．函数3()128f x x x =-+在区间[3,3]-上的最大值与最小值分别为M 、m ，则M m -= ．14．把座位编号为1、2、3、4、5的五张电影票全部分给甲、乙、丙、丁四个人，每人至少一张，至多两张，且分得的两张票必须是连号，那么不同的分法种数为 ．（用数字作答）15．下列说法中，正确的有 ．①若点),(00y x P 是抛物线px y 22=上一点，则该点到抛物线的焦点的距离是0||2p PF x =+； ②设1F 、2F 为双曲线22221x y a b-=的两个焦点，),(00y x P 为双曲线上一动点，12F PF θ∠=，则12PF F △的面积为2tan 2b θ； ③设定圆O 上有一动点A ，圆O 内一定点M ，AM 的垂直平分线与半径OA 的交点为点P ，则P 的轨迹为一椭圆；④设抛物线焦点到准线的距离为p ，过抛物线焦点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，则1||AF 、1p 、1||BF 成等差数列．三、解答题：本大题共4小题，每小题10分，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．甲、乙、丙三人独立破译同一份密码，已知甲、乙、丙各自破译出密码的概率分别为12、13、p ，且他们是否破译出密码互不影响，若三人中只有甲破译出密码的概率为14． （1）求p 的值．（2）设甲、乙、丙三人中破译出密码的人数为X ，求X 的分布列和数学期望()E X ．17．如图，矩形ABCD 中，2BC =，1AB =，PA ⊥平面ABCD ，//BE PA ，12BE PA =，F 为PA 的中点． （1）求证：//DF 平面PEC ．（2）若PE =，求平面PEC 与平面PAD 所成锐二面角的余弦值．18．已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上．若椭圆上的点(1,)2A 到焦点1F 、2F 的距离之和等于4．（1）写出椭圆C 的方程和焦点坐标．（2）过点(1,0)Q 的直线与椭圆交于两点M 、N ，当OMN ∆的面积取得最大值时，求直线MN 的方程．19．已知函数2()(33)x f x x x e =-+⋅．(1)求()f x 的单调区间；(2)当2t >-时，判断(2)f -和()f t 的大小，并说明理由；(3)求证：当14t <<时，关于x 的方程：2'()2(1)3x f x t e =-在区间[2,]t -上总有两个不同的解．附加题：如图，已知椭圆2222 1 (0)x y a b a b +=>>过点(1,2，离心率为2，左、右焦点分别为1F 、2F ．点P 为直线:2l x y +=上且不在x 轴上的任意一点，直线1PF 和2PF 与椭圆的交点分别为A 、B 和C 、D ，O 为坐标原点．设直线1PF 、2PF 的斜率分别为1k 、2k ．（i ）证明：12132k k -=； （ii ）问直线l 上是否存在点P ，使得直线OA 、OB 、OC 、OD 的斜率OA k 、OB k 、OC k 、OD k 满足0OA OB OC OD k k k k +++=？若存在，求出所有满足条件的点P 的坐标；若不存在，说明理由．5月月考理科试题答案1~5 BCCBC 6~10 CDBDB 11．1．4 12．2 13．32 14．96 15．④16．(1)记事件1A =”只有甲破译出密码” 111()(1)(1)234P A p =⨯-⨯-=,可解得14p = …………3分 (2) X 的可能取值为0、1,、2、3；1111(0)(1)(1)(1)2344P X ==-⨯-⨯-= 11111111111(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)23423423424P X ==⨯-⨯-+-⨯⨯-+-⨯-⨯=分 1111111111(2)(1)(1)(1)2342342344P X ==⨯⨯-+⨯-⨯+-⨯⨯= 1111(3)P X ==⨯⨯= …………8分 1111113()012342442412E X =⨯+⨯+⨯+⨯= …………10分17．（1）连接EF//BE AF ，BE AF =∴四边形EFDC 为平行四边形//DF CE ∴又DF ⊄平面PEC//DF ∴平面PEC …………3分（2）以A 为原点，AB 、AD 、AP 为x 、y 、z 方向建立空间直角坐标系A xyz -．易得2PA =,则(0,0,2)P 、(1,0,1)E 、(1,2,0)C …………5分 (1,0,1)PE ∴=- ，(1,2,2)PC =-，由此可求得平面PEC 的法向量11(1,,1)2n = …………7分 又平面PAD 的法向量2(1,0,0)n = 122cos ,3n n <>=，∴两平面所成锐二面角的余弦值为23． …………10分 18．（1）椭圆C 的方程为2214x y +=，焦点坐标为(， …………3分 （2）MN 斜率不为0，设MN 方程为1x my =+． …………4分 联立椭圆方程：2214x y +=可得22(4)230m y my ++-= 记M 、N 纵坐标分别为1y 、2y ，则1211||||122S OMN OQ y y ∆=⨯-=⨯= …………7分设3)t t =≥则222(11t S t t t t==≥++，该式在)+∞单调递减，所以在t =即0m =时S 取最大值2． …………10分 19．（1）22'()(23)(33)()x x x f x x e x x e x x e =-+-+=-当'()0f x >时可解得0x <，或1x >当'()0f x <时可解得01x <<所以函数()f x 的单调递增区间为(,0)-∞，(1,)+∞，单调递减区间为(0,1) …………3分（2）当(2,0]t ∈-时，因为()f x 在(,0]-∞单调递增，所以()(2)f t f >-当(0,)t ∈+∞时，因为()f x 在[0,1]单减，在[1,)+∞单增，()f t 所能取得的最小值为(1)f ，(1)f e =，2(2)13f e --=，(1)(2)f f >-，所以当(0,)t ∈+∞时，()(2)f t f >-． 综上可知：当2t >-时，()(2)f t f >-． …………7分（3）2'()2(1)3x f x t e =-即222(1)3x x t -=- 考虑函数222()(1)3g x x x t =---， 222(2)6(1)(2)(4)033g t t t -=--=-+->，22(1)(1)03g t =--<， 222211()(1)(2)(2)(1)0333g t t t t t t t t =---=+-=+-> 所以()g x 在区间[2,1)-、(1,)t 分别存在零点，又由二次函数的单调性可知：()g x 最多存在两个零点，所以关于x 的方程：2'()2(1)3x f x t e =-在区间[2,]t -上总有两个不同的解 …………10分附加题（i ）.椭圆方程为2212x y +=，1(1,0)F -、2(1,0)F 设00(,2)P x x - 则010112x k x +=-，020112x k x -=-，0001200013324132222x x x k k x x x +--+-=-==--- …………2分 （ii ）记A 、B 、C 、D 坐标分别为11(,)x y 、11(,)x y 、11(,)x y 、11(,)x y设直线1PF ：11x m y =- 2PF ：21x m y =+ 联立122112x m y x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩可得2211(2)210m y m y +--= …………4分 12111221212121112111211(1)(1)l OA OB m y y y m y y y y y y y k k x x m y m y m y m y -+-+=+=+=---- 1121221121122()()1m y y y y m y y m y y -+=-++，代入122112y y m -=+，1122122m y y m +=+可得 12121OA OB m k k m +=- …………6分同理，联立2PF 和椭圆方程，可得22221OC OD m k k m +=- .…………7分 由12221222011m m m m +=--及1232m m -=（由（i ）得）可解得121212m m ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，或12313m m =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以直线方程为112112x y x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩或31113x y x y =-⎧⎪⎨=+⎪⎩，所以点P 的坐标为(0,2)或53(,)44…………10分。
2024年四川省绵阳市南山中学实验学校高三数学第一学期期末达标测试试题含解析
2024年四川省绵阳市南山中学实验学校高三数学第一学期期末达标测试试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知a b ，满足23a =，3b =，6a b ⋅=-,则a 在b 上的投影为（ ） A ．2-B ．1-C ．3-D ．22．若实数x 、y 满足21y x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最小值是（ ）A ．6B ．5C ．2D ．323．关于函数()sin |||cos |f x x x =+有下述四个结论：（ ）①()f x 是偶函数； ②()f x 在区间,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上是单调递增函数；③()f x 在R 上的最大值为2； ④()f x 在区间[]2,2ππ-上有4个零点. 其中所有正确结论的编号是（ ） A ．①②④ B ．①③C ．①④D ．②④4．集合*12|x N Z x ⎧⎫∈∈⎨⎬⎩⎭中含有的元素个数为（ ） A ．4B ．6C ．8D ．125．要得到函数sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需将函数sin 2y x =的图象（ ） A ．向右平移6π个单位 B ．向右平移3π个单位 C ．向左平移3π个单位 D ．向左平移6π个单位 6．执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（ ）A ．40322017B ．20152016C ．20162017D ．201510087．双曲线22:21C x y -=的渐近线方程为( ) A ．20x y ±= B ．20x y ±= C ．20x y ±=D ．20x y ±=8．已知数列{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，6353a a a +-=，则7S =（ ） A ．42B ．21C ．7D ．39．若样本1231,1,1,,1n x x x x ++++的平均数是10，方差为2，则对于样本12322,22,22,,22n x x x x ++++，下列结论正确的是（ ） A ．平均数为20，方差为4 B ．平均数为11，方差为4 C ．平均数为21，方差为8D ．平均数为20，方差为810．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，若双曲线C 的一条渐近线的倾斜角为3π，且点F 到该渐近线的距离为3，则双曲线C 的实轴的长为 A ．1 B ．2 C ．4D ．85511．已知三棱锥P ABC -的四个顶点都在球O 的球面上,PA ⊥平面ABC ,ABC ∆是边长为23的等边三角形,若球O 的表面积为20π,则直线PC 与平面PAB 所成角的正切值为( ) A ．34B ．73C ．377D ．7412．函数sin y x x =+在[]2,2x ππ∈-上的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
绵阳中学自立招生数学试题word版含参考答案
AE 2 AB
若 EC = 3，则 AC = （ ）
E
32
2
1
A.5 B.3 C.5 D. 3
1+a
B
D
C
4．已知 a= ，则 1 - a 的值为( )
A. – 3– 2 B. – 3+ 2 C. 3– 2 D. 3+ 2
5.若一个直角三角形的斜边长为 c，内切圆半径为 r，则内切圆的面积与三角形的面积之比为（ ）
是
18.若 y = 1–x+ 则 a2+b2 的值为
A.c2 + r2 B. 2c + r C. c + r D. c + 2r
6.将甲、乙、丙 3 人等可能地分配到 3 个房间中去，则每个房间恰有 1 人的概率为（ ）
1
2
1
2
y
A.9 B.9 C.3 D.3
k
7.如图，抛物线 y=ax2 与反比例函数 y= x 的图像交于点 P， k
若 P 的横坐标为 1，则关于 x 的不等式 ax2+x>0 的解为( ) A.x>1 B.0<x<1 C.x<–1 D.–1<x<0 8. 一张半径为 2 的半圆图纸沿它的一条弦折叠，使其弧与直径相切，
整符号［a］表示不超过实数 a 的最大整数，如［–1.2］=–2, ［0.5］= 0, ［1.4］=1),则 x2012 的值为(
)
A
二、填空题(每小题 4 分，共 20 分)
16．已知圆锥的底面直径是 4cm，侧面上的母线长为 3cm,则它的侧面面积为
17.已知圆 O1 与 O2 两圆内含，O1O2 =3，圆 O1 的半径为 5，那么 O2 的半径 r 的取值范围
绵阳南山中学高2012级自主招生考试模拟试题
绵阳南山中学高2012级自主招生考试模拟试题数 学卷I （选择题，共36分）一、选择题（每小题3分，共36分）1、2(-4)的平方根是（ ）A ．4B ．-4C ．±16D ．±42、函数y=x+3x 的取值范围是（ ） A ．1≤x 4 B ．13≤<-x C ．31-≠≤x x 且 D ．3->x3、方程23(x-5)=2(5-x)的解是（ ） A ．313=x B ．313521==，x x C ．317521==，x x D ．313421-==，x x 4、如图，设P 是函数x y 4-=在第二象限的图象上的任意一点，点P 关于原点的对称点P ＇，过P 作PA//y 轴，过P ＇作轴x A P //' ，的面积是则交于点与P PA A ，A P PA '∆'（ ）A ．2B ．4C ．8D ．随P 的变化而变化5、一次数学测试后，随机抽取九年级（3）班6名同学的成绩如下：80、85、86、88、88、95，关于这组数据错误的说法是（ ）A ．极差是15B ．众数是88C ．中位数是86D ．平均数是876、如图是由一些完全相同的小立方块搭成的几何体的三种视图，那么搭成这个几何体所用的小立方块的个数是（ ）（正视图） （左视图）（俯视图）A ．5个B ．6个C ．7个D ．8个7、若M （121，y -）、N （41-，2y ）、P （21，3y ）三点都在函数)0(<=k x k y 的图象上，则（ ）A ．312y y y >>B ．132y y y >>C ．123y y y >>D ．无法确定8、如图所示，图中的两个转盘分别被均匀地分成5个和4个扇形，每个扇形上都标有数字，同时自由转动两个转盘，转盘停止后，指针都落在奇数上的概率是（ ）A ．52B ．103C ．203D ．51 9、用120根长短相同的火柴，首尾相接围成一个三条边互不相等的三角形，已知最大边是最小边的3倍，则最小边用了（ ）A ．20根火柴B ．19根火柴C ．18或19根火柴D ．20或19根火柴10.如图边长为1的正方形ABCD 绕点A 逆时针方向旋转030到正方形,///D C AB 则图中阴影部分的面积为( ); .A 21 .B 33 .C 431-.D 331- 11.已知二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象如图所示,有下列5个结论:①;0>abc ②;c a b >-③;024>++c b a ④;32b c <⑤)(b am m b a +>+(1≠m 的实数);其中正确的结论有( ).A 5个.B 4个.C 3个.D 2个 12.如图矩形ABCD 中M AD AB ,2,1,==是CD 的中点,点P 在矩形ABCD 的边上沿M C B A →→→运动,则APM ∆的面积y 与点P 经过的路程x 之间的函数关系用图象表示大致是下图中的( );x P x.C卷Ⅱ(非选择题,共114分)二、填空题(每小题4分,共24分)13.实数范围内分解因式=--x x x 65:23____________________;14.已知关于x 的不等式组⎩⎨⎧>->-0230x a x 的整数解共有6个,则a 的取值范围是 ____________________;15.如图将ABC Rt ∆绕直角顶点C 顺时针方向旋转090到C B A //∆的位置/,,D D 分别是//,B A AB 的中点,已知,5,12cm BC cm AC ==则线段/DD 的长为_______;cm 16.如图所示ABC ∆中,90,,0=∠=BAC AC AB 直角EPF ∠的顶点P 是BC 中点,两边PE 、PF 分别交AB 、AC 于点E 、,F 给出以下四个结论:①;CF AE =②EPF ∆为等腰直角三角形；③；四边形ABC AEPF S S ∆=21④；AP EF =当EPF ∠在ABC ∆内绕顶点P 旋转时(点E 不与点A 、B 重合)，上述结论始终正确的有____________(填序号)；17.已知βα，是关于x 的一元二次方程01)1(2=+--x x m 两个实根,且满足+α(,1)1)(1+=+m β则m 的值为_____________;18.如图是一回形图,其回形通道的宽和OB 的x ’OBA A A 1 2 3 -1 11 2 3 -1 1 3.5 3.5长均为,1回形与射线OA 交于点21,A A ,...,3A 若从O 点到1A 点的回形线为第1圈,从1A 到2A 点的回形线为第2圈,...依次类推,第10圈的长为____;三、解答题19.本题共2小题,每题8分,共16分.(1)计算;32)31(160tan )62009()2(16:1003⨯+---+-÷-π (2)先化简,再求值),1121(12:22+---÷--x x x x x x 其中.21=x 20.(本题12分)某公司现有甲、乙两种品牌的打印机,其中甲品牌有A 、B 两种型号,乙品牌有C 、D 、E 三种型号.光明中学计划从甲、乙两种品牌中各选购一种型号的打印机.(1)利用树状图或列表法写出所有选购方案;(2)若各种型号的打印机被选购的可能性相同,那么C 型号打印机被选购的概率是多少?(3)各种型号打印机的价格如下表:光明中学购买了两种品牌的打印机共30台,其中乙品牌的只选购了E 型号,共用去5万元,问E 型号的打印机购买了多少台?21. (本题12分)如图已知在梯形ABCD 中AD ,∥,60,6,0=∠===ABC AD DC AB BC 点E 、F 分别在线段AD 、DC 上(点E 与点A 、D 不重合)且,1200=∠BEF 设.,y DF x AE == (1)求y 与x 的函数表达式;(2)当x 为何值时y ,有最大值?最大值是多少?22. (本题12分)如图所示,在平面直角坐标系内点A 和点C 的坐标分别为),5,0(),8,4(过点A 作x AB ⊥于点,B 过OB 上的动点D 作直线b kx y +=平行于,AC 与AB 相交于点,E 连结,CD 过点E 作EF ∥CD 交AC 于点.F(1)求经过A 、C 两点的直线的解析式; (2)当点D 在OB 上移动时,能否使四边形 CDEF 为矩形?若能,求出此时b k ,的值;若不能,请说明理由.23. (本题12分)如图ABC ∆中,过点A 分别作ABC ∠、ACB ∠的外角的平分线的垂线E D AE AD ,,,为垂足.求证: (1)ED ∥;BC (2)).(21BC AC AB ED ++=24. (本题12分) 某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果,物价部门规定每箱售价不得高于55元.市场调查发现,若每箱以50元的价格销售,平均每天销售90箱,价格每提高1元,平均每天少销售3箱.(1)求平均每天销售y (箱)与销售价x (元／箱)之间的函数关系;(2)求该批发商平均每天的销售利润W (元)与销售价x (元／箱)之间的函数关系;(3)当每箱苹果的销售价为多少元时,25. (本题14分) 如图在直角坐标系中,以点)0,3(A为圆心,以32为半径的圆与x 轴交AB C DE于B 、C 两点,与y 轴交于D 、E 两点(1)求D 点的坐标;(2)若B 、C 、D 三点在抛物线c bx ax y ++=2上,求这个抛物线的解析式;(3)若⊙A 的切线交x 轴正半轴于点,M 交y 轴的负半轴于点,N 切点为P 且 .300=∠OMN 试判断直线MN 是否经过所求抛物线的顶点?说明理由.绵阳南山中学2012级自主招生考试数学模拟试题答案13、)1)(6(+-x x x 14、45-≤≤-a 15、 2213 16、①②③ 17、1- 18、 79三、解答题19、（1）原式=3 ……………………………………………………….. 8分（2）原式=11-x ，当21=x 时，原式=2- …………………………..8分 20、（1）结果为（A ，C ）、（A ，D ）、（A ，E ）、（B ，C ）、（B ，D ）、（B ，E ）…………………4分（2）由（1）知C 型号的打印机被选购的概率为3162=………………..4分 （3）E 型号的打印机应选购10台。
2012年绵阳中学自主招生数学试题word版含参考答案
ED C Bx2012年绵阳中学自主招生数学试题一、选择题：（每小题4分，共60分）1.将一副三角板按图中的方式叠放，则α=( ) A.30° B.45° C.60° D.75°2.已知x 、y 为实数，且x –3+(y+2)2=0，则y x=( ) A.–4 B.4 C.–8 D.83.如图，已知AD 为△ABC 的角平分线，DE ∥AB 交AC 于E ，若 AE EC= 23，则 AB AC= （ ）A.35B.23C.25D. 134．已知a= 3–1–23+1–2，则 1+a1-a 的值为( )A. –3–2B. –3+2C. 3–2D. 3+25.若一个直角三角形的斜边长为c ，内切圆半径为r ，则内切圆的面积与三角形的面积之比为（ ）A.πr c 2+r 2 B. πr 2c+r C. πr c+r D. πrc+2r 6.将甲、乙、丙3人等可能地安排到3个房间中去，则每个房间恰有1人的概率为（ ） A.19B.29C.13D.237.如图，抛物线y=ax 2与反比例函数y= k x的图像交于点P ，若P 的横坐标为1，则关于x 的不等式ax 2+kx>0的解为( )A.x>1B.0<x<1C.x<–1D.–1<x<08. 一张半径为2如图所示，O 为半圆圆心，假如切点分直径之比为3:1,为( )A.3B.10C. 11D.2 39.已知x 1，x 2是方程x 2-7x+8=0的两根，且x 1>x 2, 则 2x 1+3x 22的值为（ ） A.18(403–8517) B.14(403–8517) C.95 D. 1710.已知a 、b 、c 分别是△ABC 的三边且对于f(x)=x 3-3b 2x+2c 3有f(a)=f(b)=0,那么△ABC 是（ ） A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.正三角形11.某公司第二季度的消费产值比第一季度增长了p%，第三季度的消费产值又比第二季度增长了p%,则第三季度的消费产值比第一季度增长了（ ）A.2p%B.1+2p%C.(1+p%)·p%D.(2+ p%)·p%12.假如对于随意的实数a 、b 都有f(a+b)=f(a)+f(b)且f(1)=2，则 f(2)f(1)+f(4)f(2) + f(6)f(3)+ … +f(2012)f(1006)的值是（ ）A.1005B.1006C.2012D.201013．若a 、b 是非零实数，且||a + b=3, ||a ·b+ a 3=0同时成立，那么a+b=( )A.4–13B.1–132C. 3D.314.已知四个半圆彼此相外切，它们的圆心都在x 轴的正半轴上，并且与直线y = 33x 相切，设半圆c 1、c 2、c 3、c 4的半径分别是r 1、r 2、r 3、r 4,则当r 1=1时r 4=（ ）A.3B.32C. 33D. 3415.在一列数x 1、x 2、x 3…中，已知x 1=1且当k ≥2(k 为正整数)时，x k = x k –1 + 1–4(［k –14］–［k –24］)(取整EDA 符号［a ］表示不超过实数a 的最大整数，如［–1.2］=–2, ［0.5］= 0, ［1.4］=1),则x 2012的值为( ) A.4 B.3 C.2 D.1 二、填空题(每小题4分，共20分)16．已知圆锥的底面直径是4cm ，侧面上的母线长为3cm,则它的侧面面积为 cm 2. 17.已知圆O 1与O 2两圆内含，O 1O 2 =3，圆O 1的半径为5，那么O 2的半径r 的取值范围的最大值为a ，最小值为b ，的值为19.把边长分别为2、3、5的正方形如图所示地排列， 则图中阴影局部的面积是20.如图，二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图像过点（–1，2），且与x 轴交点的横坐标为x 1、x 2，其中–2< x 1<-1,0< x 2<1，则下列结论：①abc>0 ,②4a –2b+c<0，③b 2+8a>4ac,④当x>0时，函数值随x 的增长而削减，⑤当x 1<x<x 2时， 则y < 0.其中正确的是三、解答题（6小题，共70分） 21．（本小题满分10分） （1）已知实数a<0,计算（cos60°)–1÷(a a)2012+||2-8–2 2-1(cot30°–π2)0(2)已知实数x 满意x 2–x –1=0，求( x –1x – x –2x+1)÷2x 2–x x 2+2x+1的值.22.（本小题满分10分）已知△ABC 中，AB=AC ，D 是△ABC 外接圆劣弧AC 上的点（不与点A 重合）延长BD 到E 。
2012年绵阳中学自主招生数学试题(word版含参考答案)
POy x2012年绵阳中学自主招生数学试题一、选择题：（每小题4分，共60分）1.将一副三角板按图中的方式叠放，则α=( ) A.30° B.45° C.60° D.75°2.已知x 、y 为实数，且x –3+(y+2)2=0，则y x=( ) A.–4 B.4 C.–8 D.83.如图，已知AD 为△ABC 的角平分线，DE ∥AB 交AC 于E ， 若 AE EC = 23，则 ABAC = （ ） A.35 B.23 C.25 D. 13 4．已知a=3–1–23+1–2，则 1+a1-a 的值为( )A. –3– 2B. –3+ 2C. 3– 2D. 3+ 25.若一个直角三角形的斜边长为c ，内切圆半径为r ，则内切圆的面积与三角形的面积之比为（ ） A.πr c2+r2 B. πr 2c+r C. πr c+r D. πr c+2r6.将甲、乙、丙3人等可能地分配到3个房间中去，则每个房间恰有1人的概率为（ ） A.19 B.29 C.13 D.237.如图，抛物线y=ax 2与反比例函数y= k x的图像交于点P ，若P 的横坐标为1，则关于x 的不等式ax 2+k x >0的解为( )A.x>1B.0<x<1C.x<–1D.–1<x<08. 一张半径为2的半圆图纸沿它的一条弦折叠，使其弧与直径相切， 如图所示，O 为半圆圆心，如果切点分直径之比为3:1,则折痕长 为( )A.3B.10C. 11D.2 39.已知x 1，x 2是方程x 2-7x+8=0的两根，且x 1>x 2,则 2x1+3x 22的值为（ ） A.18(403–8517) B.14(403–8517) C.95 D. 17 10.已知a 、b 、c 分别是△ABC 的三边且对于f(x)=x 3-3b 2x+2c 3有f(a)=f(b)=0,那么△ABC 是（ ） A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.正三角形11.某公司第二季度的生产产值比第一季度增长了p%，第三季度的生产产值又比第二季度增长了p%,则第三季度的生产产值比第一季度增长了（ ）A.2p%B.1+2p%C.(1+p%)·p%D.(2+ p%)·p%12.如果对于任意的实数a 、b 都有f(a+b)=f(a)+f(b)且f(1)=2，则 f(2)f(1)+f(4)f(2) + f(6)f(3)+… + f(2012)f(1006)的值是（ ）A.1005B.1006C.2012D.201013．若a 、b 是非零实数，且||a + b=3, ||a ·b+ a 3=0同时成立，那么a+b=( ) A.4–13 B.1–132C. 3D.314.已知四个半圆彼此相外切，它们的圆心都在x 轴的正半轴上，并且与直线y = 33x 相切，设半圆c 1、c 2、c 3、c 4的半径分别y xO -2-1115.在一列数x 1、x 2、x 3…中，已知x 1=1且当k ≥2(k 为正整数)时，x k = x k –1 + 1–4(［k –14］–［k –24］)(取整符号［a ］表示不超过实数a 的最大整数，如［–1.2］=–2, ［0.5］= 0, ［1.4］=1),则x 2012的值为( ) A.4 B.3 C.2 D.1 二、填空题(每小题4分，共20分)16．已知圆锥的底面直径是4cm ，侧面上的母线长为3cm,则它的侧面面积为 cm 2. 17.已知圆O 1与O 2两圆内含，O 1O 2 =3，圆O 1的半径为5，那么O 2的半径r 的取值范围 是 .18.若y = 1–x+ x –12的最大值为a ，最小值为b ，则a 2+b 2的值为19.把边长分别为2、3、5的正方形如图所示地排列， 则图中阴影部分的面积是20.如图，二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图像过点（–1，2）， 且与x 轴交点的横坐标为x 1、x 2，其中–2< x 1<-1,0< x 2<1，则下列结论：①abc>0 ,②4a –2b+c<0，③b 2+8a>4ac,④当x>0时，函数值随x 的增长而减少，⑤当x 1<x<x 2时， 则y < 0.其中正确的是 三、解答题（6小题，共70分） 21．（本小题满分10分） （1）已知实数a<0,计算（cos60°)–1÷()2012+||2-8–2 2-1(cot30°–π2)0(2)已知实数x 满足x 2–x –1=0，求(x –1x – x –2x+1)÷2x2–x x2+2x+1的值.22.（本小题满分10分）已知△ABC 中，AB=AC ，D 是△ABC 外接圆劣弧AC 上的点（不与点A 重合）延长BD 到E 。
2012年理科实验班自主招生考试数学试卷(二)
2012年理科实验班自主招生考试数学试卷（二）参考答案与试题解析一、选择题（每小题只有一个正确答案，共10个小题，满分30分）1．（3分）已知三个整数a，b，c的和为奇数，那么a2+b2﹣c2+2abc（）A．一定是非零偶数B．等于零C．一定为奇数D．可能是奇数，也可能是偶数考点：因式分解的应用．专题：计算题．分析：先把代数式分解因式，再根据已知进行讨论得出正确选项．解答：解：a2+b2﹣c2+2abc=（a+b+c）（a+b﹣c）+2abc﹣2ab=（a+b+c）（a+b﹣c）+2（abc﹣ab），已知a+b+c为奇数，而改变加减运算符号，不改变奇偶性，∴a+b﹣c也为奇数，则（a+b+c）（a+b﹣c）也为奇数，2（abc﹣ab）是偶数，∴a2+b2﹣c2+2abc=（a+b+c）（a+b﹣c）+2（abc﹣ab）一定是奇数，故选：C．点评：本题考查了因式分解的应用，把式子分解因式是解题关键．2．（3分）已知abc=1，a+b+c=2，a2+b2+c2=3，则的值为（）A．﹣1 B．C．2D．考点：分式的化简求值．分析：由a+b+c=2，a2+b2+c2=3，利用两个等式之间的平方关系得出ab+bc+ac=；再根据已知条件将各分母因式分解，通分，代入已知条件即可．解答：解：由a+b+c=2，两边平方，得a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=4，将已知代入，得ab+bc+ac=；由a+b+c=2得：c﹣1=1﹣a﹣b，∴ab+c﹣1=ab+1﹣a﹣b=（a﹣1）（b﹣1），同理，得bc+a﹣1=（b﹣1）（c﹣1），ca+b﹣1=（c﹣1）（a﹣1），∴原式=++=====﹣．故选D．点评：本题考查了分式的化简其中计算，解题时，充分运用已知条件变形，使分式能化简通分，得出结果．3．（3分）设x2﹣px+q=0的两实根为α，β，而以α2，β2为根的一元二次方程仍是x2﹣px+q=0，则数对（p，q）的个数是（）A．2B．3C．4D．0考点：根与系数的关系；根的判别式．专题：分类讨论．分析：利用根与系数的关系把α，β之间的关系找出来，利用α，β之间的关系，解关于p，q的方程，然后再代入原方程检验即可．解答：解：根据题意得，α+β=p①，αβ=q②；α2+β2=p③，α2β2=q④．由②④可得α2β2﹣αβ=0，解之得αβ=1或0由①③可得α2+β2=（α+β）2﹣2αβ=p2﹣2q=p，即p2﹣p﹣2q=0，当q=0时，p2﹣p=0，解之得，p=0或p=1，即，，把它们代入原方程的△中可知符合题意．当q=1时，p2﹣p﹣2=0，解之得，p=﹣1或2，即，，把它们代入原方程的△中可知不合题意舍去，所以数对（p，q）的个数是3对．故本题选B．点评：将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系为：x1+x2=﹣，x1•x2=．4．（3分）设函数y=﹣x2﹣2kx﹣3k2﹣4k﹣5的最大值为M，为使M最大，k=（）A．﹣1 B．1C．﹣3 D．3考点：二次函数的最值．专题：计算题．分析：由于M是最大值，那么M=，即M=﹣2k2﹣4k﹣5，于是求k=﹣的值即可．解答：解：∵y=﹣x2﹣2kx+（﹣3k2﹣4k﹣5），∴M==∴M=﹣2k2﹣4k﹣5，又∵M最大，∴k=﹣=﹣=﹣1．故选A．点评：本题考查了函数的最值．注意y最大值=即可．5．（3分）若3x2﹣x=1，则9x4+12x3﹣2x2﹣7x+2008=（）A．2011 B．2010 C．2009 D．2008考点：因式分解的应用．专题：计算题；整体思想．分析：将3x2﹣x=1化简为3x2﹣x﹣1=0，整体代入9x4+12x3﹣2x2﹣7x+2008变形的式子3x2（3x2﹣x﹣1）+5x（3x2﹣x﹣1）+2（3x2﹣x﹣1）+2010，计算即可求解．解答：解：∵3x2﹣x=1，即3x2﹣x﹣1=0，∴9x4+12x3﹣2x2﹣7x+2008=3x2（3x2﹣x﹣1）+5x（3x2﹣x﹣1）+2（3x2﹣x﹣1）+2010=2010．故选B．点评：本题考查因式分解的运用，注意运用整体代入法求解．6．（3分）已知坐标原点O和点A（2，﹣2），B是坐标轴上的一点，若△AOB是等腰三角形，则这样的点B一共有多少个（）A．4B．5C．6D．8考点：等腰三角形的判定；坐标与图形性质．专题：应用题．分析：根据等腰三角形的性质，要使△AOB等腰三角形，可以分两种情况考虑：当OA是底边时，作OA的垂直平分线，和坐标轴出现交点，当OA是腰时，则分别以点O、点A为圆心，OA 为半径画弧，和坐标轴出现交点．解答：解：①作OA的垂直平分线，交坐标轴于两个点；②以O为圆心，OA为半径画弧，交坐标轴于四个点；③以A为圆心，OA为半径画弧，交坐标轴于两个点．如图所示，显然这样的点有8个．故选D．点评：本题考查了等腰三角形的定义，运用数形结合的思想进行解决，难度适中．7．（3分）如图：有六个面积为1的正方形组成的长方形，其中有A、B、C、D、E、F、G 7个点，以这7个点为顶点，并且面积为1的三角形有（）A．11个B．12个C．13个D．14个考点：面积及等积变换．分析：由有六个面积为1的正方形组成的长方形，然后依据三角形的面积等于底乘以高，抓住底与高一个为2，一个为1，然后从一边开始，依次求解即可求得答案，小心别漏解．解答：解：∵如图是六个面积为1的正方形组成的长方形，∴以AB为边：△ABD，△ABE，△ABF，△ABG，以AC为边：△ACG，以AD为边：△ADE，以AE为边：△AEF，以AF为边：△AFG，以BC为边：△BCF，以BD为边：△BDE，以BE为边：△BEF，以BF为边：△BFG，以CD为边：△CDF，以CE为边：△CEG．故以这7个点为顶点，并且面积为1的三角形有14个．故选D．点评：此题考查了三角形的面积问题．此题属于易错题，难度较大，解题的关键是注意依次数得，小心别漏解．8．（3分）锐角△ABC的三边两两不等，D是BC边上的一点，∠BAD+∠C=90°，则AD一定过△ABC 的（）A．垂心B．内心C．外心D．重心考点：三角形的外接圆与外心；三角形内角和定理．分析：作∠ABE=90°，BE交AD的延长线于E，根据三角形的内角和定理求出∠BAD+∠E=90°，推出∠C=∠E，根据三角形的外接圆的圆心的定义求出即可．解答：解：作∠ABE=90°，BE交AD的延长线于E，∴∠BAD+∠E=90°，∵∠C+∠BAD=90°，∴∠C=∠E，∴E在△ABC的外接圆上，∵∠ABE=90°，∴AE是直径，∴AD一定过△ABC的外心．故选C．点评：本题主要考查对三角形的外接圆与外心，三角形的内角和定理等知识点的理解和掌握，能求出∠E=∠C是解此题的关键．9．（3分）有纯农药一桶，倒出20升后用水补满；然后又倒出10升，在用水补满，这是桶中纯农药与水的容积之比为3：5，则桶的容积为（）A．30升B．40升C．50升D．60升考点：分式方程的应用．专题：应用题．分析：首先设出桶的容积为x升，倒出两次后纯农药的容积为（x﹣20﹣）升，倒入两次水后水的容积为【20﹣（1﹣）×10+10】升，由农药与水的容积之比为3：5列出方程解答即可．解答：解：设桶的容积为x升，根据题意列方程得，（x﹣20﹣）：[20﹣（1﹣）×10+10]=3：5，整理得x2﹣48x+320=0，解得x1=40，x2=8（不合题意，舍去），答：桶的容积为40升．点评：解答此题需要计算农药与水占总容积的百分比，紧扣容积不变，再据题意，分别求得纯农药和水的容积，建立方程问题得解．10．（3分）如图，直线l1∥l2∥l3∥l4，相邻两条平行线间的距离都等于1，若正方形ABCD的四个顶点分别在四条直线上，则它的面积等于（）A．4B．5C．D．考点：正方形的性质；平行线之间的距离；勾股定理．分析：过D点作直线EF与平行线垂直，与l1交于点E，与l4交于点F．易证△ADE≌△DFC，得CF=1，DF=2．根据勾股定理可求CD2得正方形的面积．解答：解：作EF⊥l2，交l1于E点，交l4于F点．∵l1∥l2∥l3∥l4，EF⊥l2，∴EF⊥l1，EF⊥l4，即∠AED=∠DFC=90°．∵ABCD为正方形，∴∠ADC=90°．∴∠ADE+∠CDF=90°．又∵∠ADE+∠DAE=90°，∴∠CDF=∠DAE．∵AD=CD，∴△ADE≌△DCF，∴CF=DE=1．∵DF=2，∴CD2=12+22=5，即正方形ABCD的面积为5．故选B．点评：此题考查正方形的性质和面积计算，根据平行线之间的距离构造全等的直角三角形是关键．难度中等．二、填空题（每小题6分，满分42分）11．（6分）如图，正方体的每一面上都有一个正整数，已知相对的两个面上两数之和都相等，如果13、9、3的对面的数分别为a、b、c，则a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca的值等于76．考点：专题：正方体相对两个面上的文字．专题：计算题．分析：根据相对的两个面上两数之和都相等列出等式，并整理出a﹣b，b﹣c，a﹣c，的值，然后把a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca整理分解因式，然后再代入数据计算即可．解答：解：根据题意得，a+13=b+9，b+9=c+3，c+3=a+13，整理得a﹣b=﹣4，b﹣c=﹣6，a﹣c=﹣10，a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca=（2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ca），=（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2，=×16+×36+×100，=8+18+50，=76．故答案为：76．点评：本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，把多项式乘以2后因式分解是解题的关键．12．（6分）Rt△ABC中，∠C=90°，若sinA和sinB是方程的两个根，则k=﹣．考点：根与系数的关系；互余两角三角函数的关系．分析：根据锐角三角函数关系式，得sin2A+sin2B=1；根据一元二次方程根与系数的关系，得sinA+sinB=，sinA•sinB=﹣k，再进一步利用完全平方公式得到关于k的方程进行求解．解答：解：∵sinA和sinB是方程的两个根，∴sinA+sinB=，sinA•sinB=﹣k，∵Rt△ABC中，∠C=90°，∴sin2A+sin2B=1，∴2+2k=1，解得，k=﹣．故答案为：﹣．点评：此题综合考查了一元二次方程根与系数的关系以及锐角三角函数关系式．13．（6分）在△ABC中，AC=2，D是AB的中点，E是CD上一点，，若，则BC=2．考点：三角形的重心；勾股定理．分析：根据中点这个条件，把CD延长至两倍于点F，连接AF，BF，则四边形ACBF为平行四边形，由ED=CD，CE=AB，得AB=CF，所以ACBF为矩形．再用勾股定理列式算出a，即可求出BC的长．解答：解：把CD延长至点F，使DF=CD．连接AF，BF．∵AD=DB，FD=DC，∴四边形ACBF为平行四边形，∵ED=CD，∴CE=CD，∵CE=AB，∴CD=AB，∴CD=AB，∴AB=CF，∴ACBF只能为矩形．设DE为a，则CE=2a，AD=3a，算出AE2=8a2，CE2=4a2，又因为AC=2，用勾股定理列式算出a，∴a=，∴AB=6×=2，∴BC==2．故答案为：2．点评：此题主要考查了重心的性质以及平行四边形的判定与矩形的判定和勾股定理的应用，根据已知得出正确的辅助线是解决问题的关键．14．（6分）方程的解为．考点：无理方程．分析：首先两边进行平方，然后移项合并同类项，再两边平方求解．解答：解：两边平方得：3x+2﹣2+3x﹣2=4移项得：2=6x﹣4两边平方得：36x2﹣16=36x2﹣48x+16解得：x=，检验：当x=时：原方程的左边=右边，∴x=是原方程的解．故答案为．点评：本题主要考查解无理方程，关键在于首先对方程两边分别平方已达到去根号的目的．15．（6分）在正八边形中，与所有边均不平行的对角线有12条．考点：多边形的对角线．专题：计算题．分析：根据n边形的对角线有n（n﹣3）条，将正八边形的边数代入可求出对角线的总数，而正八边形的对角线中有8条平行与边的对角线，由此可得出答案．解答：解：正八边形的对角线条数=×8×（8﹣3）=20，又∵正八边形的对角线中有8条平行与边的对角线，∴在正八边形中，与所有边均不平行的对角线有12条．故答案为：12．点评：本题考查多边形的对角线的知识，关键是掌握多边形的对角线与正多边形边数的关系n（n ﹣3），另外要知道正八边形的每条边均有2条对角线与之平行．16．（6分）若正整数n恰好有4个正约数，则称n为奇异数，例如6、8、10都是奇异数，那么在27、42、69、111、125、137、343、899、3599、7999这10个正整数中奇异数有8个．考点：数的整除性．专题：新定义．分析：首先根据正整数n恰好有4个正约数，则称n为奇异数，可得奇异数有两类：第一类是质数的立方p3（p是质数），第二类是两个不同质数的乘积p1p2（p1，p2为不同的质数），然后分别分析27、42、69、111、125、137、343、899、3599、7999是否符合奇异数的特点即可求得答案．解答：解：易得奇异数有两类：第一类是质数的立方p3（p是质数），第二类是两个不同质数的乘积p1p2（p1，p2为不同的质数）．∴27=3×3×3=33，是奇异数（第一类）；42=2×3×7不是奇异数；69=3×23是奇异数（第二类），111=3×37是奇异数（第二类），125=53是奇异数（第一类），137是质数，不是奇异数，343=73是奇异数（第一类），899=900﹣1=（30﹣1）（30+1）=29×31是奇异数（第二类），3599=3600﹣1=（60﹣1）（60+1）=59×61是奇异数（第二类），7999=8000﹣1=203﹣1=（20﹣1）（202+20+1）=19×421是奇异数（第二类）．因此符合条件的奇异数有：27，69，111，125，343，899，3599，7999共8个．故答案为：8．点评：此题考查了学生的分析能力，考查了质数的性质与数的整除性问题．此题难度较大，解题的关键是找到奇异数有两类：第一类是质数的立方p3（p是质数），第二类是两个不同质数的乘积p1p2（p1，p2为不同的质数）．17．（6分）如图，MN是半圆O的半径，A是半圆的一个三等分点，B是的中点，P是直径MN 上的点，若AP+PB的最小值为厘米，则圆的半径r=2厘米．考点：轴对称-最短路线问题；勾股定理；垂径定理．专题：数形结合．分析：作出点A关于MN的对称点A′，连接A′B，交MN于点P，则A′B为AP+PB的最小值，连接OA′，OB，易得∠BOA′=90°，利用等腰直角三角形的性质可得半径的长．解答：解：作出点A关于MN的对称点A′，连接A′B，交MN于点P，则A′B为AP+PB的最小值，连接OA′，OB．∴A′B=2，∵A是半圆的一个三等分点，B是的中点，∴∠BON=30°，∠A′0N=60°，∴△A′OB是等腰直角三角形，∴OA′=2．故答案为2．点评：考查最短路线问题；若两点在直线的同一旁，则需作其中一点关于这条直线的对称点；作出整个圆的辅助性是解决本题的难点．三、解答题（每小题16分，满分48分）18．（16分）已知二次函数y=mx2+（m﹣3）x﹣3（m＞0）的图象如图所示．（1）这条抛物线与x轴交于两点A（x1，0）、B（x2，0）（x1＜x2），与y轴交于点C，且AB=4，⊙M过A、B、C三点，求扇形MAC的面积；（2）在（1）的条件下，抛物线上是否存在点P，使△PBD（PD垂直于x轴，垂足为D）被直线BC 分成面积比为1：2的两部分？若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题．专题：综合题．分析：（1）根据抛物线的解析式，可表示出A、B的坐标，根据AB=4，可求出m的值，从而确定该抛物线的解析式，即可得到A、B、C的坐标；根据B、C的坐标，可得到∠OBC=45°，根据圆周角定理知∠AMC=90°，即△AMC是等腰直角三角形，AC的长易求得，即可得到半径AM、MC的长，利用扇形的面积公式，即可求得扇形AMC的面积．（2）设PD与BC的交点为E，此题可分成两种情况考虑：①当△BPE的面积是△BDE的2倍时，由于△BDE和△BPD同高不等底，那么它们的面积比等于底边的比，即DE=PD，可设出P点的坐标，那么E点的纵坐标是P点纵坐标的，BD的长为B、P横坐标差的绝对值，由于∠OBC=45°，那么BD=DE，可以此作为等量关系求出P点的坐标；②当△BDE的面积是△BPE的2倍时，方法同①．解答：解：（1）∵y=mx2+（m﹣3）x﹣3=（mx﹣3）（x+1），∴x1=﹣1，x2=，∴AB=﹣（﹣1）=4，即m=1；∴y=x2﹣2x﹣3，得A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，﹣3），∴∠OBC=45°，∠AMC=90°，∵AC==，∵AM=CM，∴AM==，∴R=，S=π．（2）设PD与BC的交点为E，可求直线BC解析式为y=x﹣3，设P（x，x2﹣2x﹣3）；当S△BED：S△BEP=1：2时，PD=3DE，得﹣（x2﹣2x﹣3）=﹣3（x﹣3），解得x=2或3，∴或（舍去），∴P（2，﹣3）；当S△PBE：S△BED=1：2时，同理可得P（，﹣），故存在P（2，﹣3）或P（，﹣）．点评：此题是二次函数的综合类题目，涉及到：二次函数解析式的确定、圆周角定理、扇形面积的计算方法以及图形面积的求法等知识，综合性强，难度稍大．19．（16分）某校在向“希望工程”捐款活动中，甲班的m个男生和11个女生的捐款总数与乙班的9个男生和n个女生的捐款总数相等，都是（m•n+9m+11n+145）元，已知每人的捐款数相同，且都是整数元，求每人的捐款数．考点：数的整除性．专题：计算题．分析：根据题意得到m+11=n+9，从（m+11）（n+9）+46的整除性得到m、n的值．解答：解：据题意m+11=n+9，且整除m•n+9m+11n+145，而m•n+9m+11n+145=（m+11）（n+9）+46，故m+11，n+9都整除46，由此得①或②，在①时，得每人捐款25元，在②时，每人捐款47元，综上可知，每人捐款数为25元或47元．点评：此题考查了数的整除性，要通过逻辑推理得到正确答案，体现了竞赛题的一般特征．20．（16分）已知△ABC是圆O的内接三角形，∠BAC的平分线交BC于F交圆O于D，DE切圆O于D交AC的延长线于E，连BD，若BD=3，DE+EC=6，AB：AC=3：2，求BC的长．考点：切线的性质．分析：利用切线的性质以及圆周角、弦切角、弧之间的关系证明直线平行和三角形相似分别求出AB、AC、DE、EC的值，然后利用三角形相似求出FC，AF，DF的值，最后利用相交弦定理求出BF的值，从而求出BC的值．解答：解：∵DE是圆O的切线，∴∠CDE=∠CBD=∠DAE．∴△ADE∽△DCE∴∴DE2=AE•EC∴DE2=（AC+EC）EC∵DE+EC=6∴DE=6﹣EC∴（6﹣EC）2=AC•EC+EC2∵∠CBD=∠DAC，∴∠CDE=∠DAC．∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD．∴∠CDE=∠BAD，BD=DC=3．∵∠BAD=∠BCD，∴∠CDE=∠BCD．∴BC∥DE．∴△ABD∽△DCE，∴∴AB•EC=18∵AB：AC=3：2设AB=3x，AC=2x，EC=y，则有解得：∴AB=9，AC=6，EC=2∴DE=4∵BC∥DE．∴△AFC∽△ADE∴=∴∴FC=3可以证明△DFC∽△BFA∴∴FA=∴∴AD=6∴DF=∵DF•AF=BF•FC∴∴BF=∴BC==．故BC的长为．点评：本题是一道切线的性质运用的解答题，考查了切割线定理，相交弦定理以及相似三角形的判定及性质、平行线的判定．综合性较强，难度较大．。
绵阳南山中学高2012级自主招生考试
绵阳南山中学高2012级自主招生考试理科综合模拟试题说明：1、本试题分物理、化学两部分，满分200分，其中物理120分，化学80分，考试时间120分钟。
2、考生解题时必须将答案写在答卷上，做在试卷上无效，考试结束时将试卷和答卷一并交回。
物理部分提示：g = 10N/Kg第Ⅰ卷（共36分）一 、选择题（每小题3分，共36分。
每小题只有一个答案符合题意。
）1．安全气囊是现代轿车上一项新技术装置，安装在轿车方向盘内，在特定情况下会“蹦”出来，以保护人体免受硬物撞击而受伤。
在下列哪种情况下，它最有可能“蹦”出来（ ）A ．轿车启动时B ．轿车在高速公路上行驶时C ．轿车在盘山公路上缓慢行驶时D ．轿车前端与其他物体发生猛烈撞击时2．中国跳水队被人们称为“梦之队”，如图是跳水运动员跳水时的情景，运动员在离开跳板到落入水的过程中（ ）A ．运动员的动能先减小后增大，机械能不变B ．运动员的重力势能一直减小，机械能减小C ．运动员的动能一直增大，机械能不变D ．运动员的重力势能先减小后增大，机械能增大3．小红同学在一支铅笔的下端粘上一块橡皮泥，将它分别置于甲、乙两杯液体中观察到静止时的情形如右上图所示，下列说法正确的是（ ）A ．铅笔在甲杯液体中受到的浮力较大B ．铅笔在乙杯液体中受到的浮力较大C ．乙杯液体的密度较大D ．甲杯液体的密度较大4．如图所示，有关电与磁的下列描述中，正确的是（ ）乙 甲 丙 丁A ．甲图是研究电磁铁磁性强弱与电流大小的关系B ．乙图是发电机的原理图C ．丙图是探究电磁感应现象的装置图D ．丁图：首先发现电流磁效应的物理学家是法拉第5．某班同学在“探究凸透镜成像规律”的实验中，记录并绘制了物体到凸透镜的距离u 跟像到凸透镜的距离v 之间关系的图像如图所示，下列判断正确的是（ ）A ．该凸透镜的焦距是20cmB ．当u =15cm 时，在光屏上能得到一个缩小的像C ．当u =25cm 时成放大的像，投影仪就是根据这一原理制成D ．把物体从距凸透镜10cm 处移动到30cm 处的过程中，像逐渐变小6．如图，滑动变阻器R ′的阻值是200Ω，电阻R 1=300Ω，电源的电压是6V 且保持不变。
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保密★启用前绵阳南山中学(实验学校)2012年自主招生考试数 学 试 题本套试卷分试题卷和答题卷两部份,试题卷共6页,答题卷共6页,满分150分,考试时间120分钟.注意事项: 1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考试号用0.5毫米的黑色墨水签字笔或黑色墨水钢笔填写在答题卷与机读卡对应位置上,并认真核对姓名与考号;2.选择题每小题选出答案后,用2B 铅笔将机读卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号,答在试题卷上无效;3.非选择题(主观题)用0.5毫米的黑色墨水签字笔或黑色墨水钢笔直接答在答题卷上每题对应的位置上,答在试题卷上无效.作图一律用2B 铅笔或0.5毫米黑色签字笔;4.考试结束后,请将本试题卷、答题卷与机读卡一并上交.第Ⅰ卷(选择题,共36分)一.选择题(本大题共12个小题,每小题3分,共36分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目的要求.)1. |-25|的平方根是( )A .625B .5C .-5D . ±5 2.下列运算正确的是( ) A .236(2)8a a -=- B .3362a a a += C .632a a a ÷= D .3332a a a ⋅= 3.下左图是一个由小立方块所搭的几何体,则从不同的方向看所得到的平面图形中(小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数),不正确的是( )4.有两个口袋,其中甲袋中有写着1,2,3,4的四张牌,乙袋中有写着2,3,4的三张牌.从两袋中各取出一张牌,若每张牌被取出的机会相等,则两张牌上数字之和大于6的概率为( ) A .12B .13 C .14D .16第3题图12142A 12242B 1111123C 1111123D5.已知圆柱的底面半径为r ,高为h ,若圆柱的体积为1,表面积为12,则11r h+等于( ) A .2 B .3 C .6 D .126.创办于1908年的四川省绵阳南山中学,2012年3月27日迎来了她104周年的校庆日.在校庆后,学生会记者随机采访了部分观看校庆文艺节目的学生,并把调查结果绘成了下面的统计图:已知此次被调查的男、女学生人数相同.根据图中信息,有下列判断: ①在被调查的学生中,持非常满意态度的人数占53%; ②本次共调查了200名学生; ③在被调查的学生中,有30%的女生持满意态度; ④在我校高一、高二参加各种社团的900名学生中,根据调查结果估计持满意与非常满意态度的人数之和超过了720人.其中,正确的判断有( )A .4个B .3个C .2个D .1个 7.如图:平面上有两个全等的正十边形ABCDEFGHIJ 、A 1B 1C 1D 1E 1F 1G 1H 1I 1J 1,其中C 点与J 1点重合,E 点与H 1点重合,则∠DCA 1的度数是( ) A .96 B .108 C .118 D .1268.已知正△ABC 内接于圆O ,四边形DEFG 为半圆O 的内接正方形(D 、E 在直径上,F 、G 在半圆上的正方形),S △ABC =a ,S 四边形DEFG =b ,则ab的值等于( ) A .2 B .62 C .335 D .153169.根据下左图中已填出的“√”和“×”的排列规律,把②、③、④还原为“√”或“×”且符合左图的排列规律,下面“”中还原正确的是( )10.若方程()()0x a x b x ---=的两根为c 、d ,则方程()()0x c x d x --+=的两根为第6题图 12264462女生人数男生人数一般满意非常满意10203040506070满意28%19%一般非常满意A. B. C.第9题××××④③②①×√√×××××√√√√√×××√××××√√×√第7题图 (H 1)I 1(J 1)G 1F 1E 1D 1C 1B 1A 1J I H GF E D CB A( )A .a 、bB .-a 、-bC .c 、dD .-c 、-d11.如左图:△ABC 是边长3的正三角形,点D 在线段BC 上,点E 在射线AC 上,点D 沿BC 方向从B 点以每秒1个单位的速度向终点C 运动,点E 沿AC 方向从A 点以每秒2个单位的速度运动,当D 点停止时E 点也停止运动.设运动时间为t 秒,若△DEC 的图形的面积用y 来表示(规定:当三点在一条直线上时,三点组成的三角形面积为零),则y 关于t 的函数图象是( )o第11题图D.C.B.A.yty4321o123ty4321o123t123t43214321321oyEC D BA12.如右图:过△ABC 的顶点A 作对边BC 上的中线AE 与高AD ,E 为BC 中点,D 为垂足.规定A DEm BE=,特别地,当D 与E 重合时,规定0A m =.对B m 、C m 作类似的规定.给出下列结论:①若∠C =90︒,∠A =30︒,则11,2A C m m ==; ②若1A m =,则△ABC 为直角三角形;③若>1A m ,则△ABC 为钝角三角形;若<1A m ,则△ABC 为锐角三角形; ④若0A B C m m m ===,则△ABC 为等边三角形.其中,正确结论的个数是( )A .1B .2C .3D .4第Ⅱ卷(非选择题,共114分)二.填空题(本大题共6个小题,每小题4分,共24分.请将答案填入答题卡相应的横线上.) 13.函数11y x =-的自变量x 的取值范围是 .14.将如右图所示的正方体的展开图重新折叠成正方体后,和“成”字相对面上的汉字是 . 15.下图是由6个正方形构成的长方形,若最小正方形的面积为1,则这个长方形的面积等于____________.第12题DE CBA第14题图 成 功 祝 你 南 山16.上图为△ABC 与⊙O 的重叠情形,其中BC 为⊙O 的直径.若︒∠70＝A ,BC ＝2,则图中阴影部份的面积等于____________.17.如上图:在锐角△ABC 中,AB =42,∠BAC =45︒,∠BAC 的平分线与BC 交于点D ,M 、N 分别是AD 、AB 上的动点,则MB +MN 的最小值等于____________. 18.如右图,⊙A 的半径为r ,⊙O 的半径为4r ,⊙A 从图中所示位置出发沿⊙O 的表面作无滑动的滚动,当公转一周时,自转的转数为_________. 三.解答题(本大题共7个小题,共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)19.(本题共2个小题,每小题8分,共16分) (1)计算:01272cos30|13|( 3.14)(32)π--︒--+--+;(2)先化简,再求值:22221(1)11x x x x x x ++÷++--,其中21x =-.20.(本小题满分12分)小王从A 地前往B 地,到达后立刻返回,他与A 地的距离y (千米)和所用的时间x (小时)之间的函数关系如图所示.(Ⅰ)小王从B 地返回A 地用了多少小时？(Ⅱ)求小王出发6小时后距A 地多远？ (Ⅲ)在A 、B 之间有一C 地,小王两次经过C 地的时间差为2小时20分,求A 、C 两地相距多远？21.(本小题满分12分)某商业集团新进了40台空调机,60台电冰箱,计划调配给下属的甲、乙两个连锁店销售,其中70台给甲连锁店,30台给乙连锁店.两个连锁店销售这两种电器每台的利润(元)如下表:空调机 电冰箱甲连锁店200 170 乙连锁店160 150 第17题图第15题图 第16题图 CBOAD E 第20题图E O D C y (千米)x (小时)73240B A AO 第18题图设集团调配给甲连锁店x 台空调机,集团卖出这100台电器的总利润为y (元). (Ⅰ)求y 关于x 的函数关系式,并求出x 的取值范围; (Ⅱ)为了促销,集团决定仅对甲连锁店的空调机每台让利a 元销售,其他的销售利润不变,并且让利后每台空调机的利润仍然高于甲连锁店销售的每台电冰箱的利润,问该集团应该如何设计调配方案,使总利润达到最大？ 22.(本小题满分12分)如图,反比例函数ky x(x >0,且k 为正常数)的图象经过四边形OABC 的顶点A 、C ,∠ABC ＝90°,OC 平分OA 与x 轴正半轴的夹角,AB ∥x 轴,将△ABC 沿AC 翻折后得△AB 1C ,B 1点落在OA 上. (Ⅰ)求四边形OABC 的面积; (Ⅱ)若以OA 为直径的圆经过点C ,且四边形OABC 的面积为22,求直线OB 的解析式.23.(本小题满分12分)如图,AB 为⊙O 的直径,AM 和BN 是它的两条切线,E 为⊙O 的半圆弧上一动点(不与A 、B 重合),过点E 的直线分别交射线AM 、BN 于D 、C 两点,且CB ＝CE . (Ⅰ)求证:CD 为⊙O 的切线;(Ⅱ)连结AC 与BE 交于点H ,若tan ∠BAC ＝22,求AH CH 的值.24.(本小题满分12分)如图,在平面直角坐标系中,点A (-1,0),点B (0,-3),点C 在x 轴上.已知某二次函数的图象经过A 、B 、C 三点,且它的对称轴为x =1,点P 是在直线BC 下方的二次函数图象上的一个动点(点P 与B 、C 不重合),过点P 作y 轴的平行线交BC 于点F . (Ⅰ)求该二次函数的解析式; (Ⅱ)在对称轴上求一点M ,使得MA +MB 取到最小值; (Ⅲ)若设点P 的横坐标为m ,用含m 的代数式表示线段PF 的长并求△PBC 面积的最大值,及此时点P 的坐标.25.(本小题满分14分)如图,OA =10是半圆C 的直径,点B 是该半圆周上一动点(点B 与点第23题图EHM NCDOAB第22题图B 1CB A xyO 第24题y C x O F x=1P BAO 、点A 不重合),连结OB 、AB ,并延长AB 至点D ,使DB =AB ,过点D 作直线OA 的垂线,分别交直线OA 、直线OB 于点E 、F ,点E 为垂足,连结CF . (Ⅰ)当∠AOB =30°时,求弧AB 的长度; (Ⅱ)当DE =8时,求线段EF 的长; (Ⅲ)在点B 运动过程中,是否存在以点E 、C 、F 为顶点的三角形与△AOB 相似?若存在,请求出此时OE 的长度;若不存在,请说明理由.第25题图 F BD O AE C绵阳南山中学(实验学校)2012年自主招生考试数学答案及评分标准一.选择题(本大题共12个小题,每小题3分,共36分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目的要求.)题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D A B C C B B D C ACC二.填空题(本大题共6个小题,每小题4分,共24分.请将答案填入答题卡相应的横线上.) 13.1x > 14.你 15.143 16.718π 17.4 18.4 三.解答题(本大题共7个小题,共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 19.(本题共2个小题,每小题8分,共16分) (1)原式=1333(31)+132----+…………6分3232(32)(32)-=+-+-……………………7分32(32)22=+--=+.………………………8分 (2)原式=222(1)21(1)(1)1x x x x x x x +-++÷-+-……………3分 22211(1)(1)21x x x x x x x x +-=⨯=-+++………………………6分 当21x =-时,原式=1222=.…………………………8分 20.(本小题满分12分)(Ⅰ)小王从B 地返回A 地用了4小时.……………2分(Ⅱ)小王出发6小时,∵6>3,可知小王此时在返回途中. 设DE 所在直线的解析式为y =kx +b ,由图象可得:324070k b k b +=⎧⎨+=⎩,解得60420k b =-⎧⎨=⎩.………5分 ∴DE 所在直线的解析式为60420(37)y x x =-+≤≤. 当x =6时,有60642060y =-⨯+=,∴小王出发6小时后距A 地60千米.………7分 (Ⅲ)设AD 所在直线的解析式为1y k x =,易求180k =, ∴AD 所在直线的解析式为80(03)y x x =≤≤.……9分设小王从C 到B 用了0x 小时,则去时C 距A 的距离为024080y x =-,返回时,从B 到C 用了(073x -)小时,这时C 距A 的距离为00760[3()]420100603y x x =-+-+=+,由002408010060x x -=+,解得01x =.故C 距A 的距离为024080160x -=米.……………………12分21.(本小题满分12分)(Ⅰ)根据题意知,调配给甲连锁店电冰箱(70-x )台, 调配给乙连锁店空调机(40-x )台,电冰箱(x -10)台,……………1分则y =200x +170(70-x )+160(40-x )+150(x -10),即y =20x +16800.……………3分∵ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-≥-≥-≥,010,040,070,0x x x x ∴10≤x ≤40. ……………………………5分 ∴y =20x +16800(10≤x ≤40)………………………………6分 (Ⅱ)按题意知:y =(200-a )x +170(70-x )+160(40-x )+150(x -10), 即y =(20-a )x +16800. ………………8分 ∵200-a ＞170,∴a ＜30. …………………9分当0＜a ＜20时,x =40,即调配给甲连锁店空调机40台,电冰箱30台,乙连锁店空调0台,电冰箱30台; …………………………………10分当a =20时,x 的取值在10≤x ≤40内的所有方案利润相同; …………………………………11分当20＜a ＜30时,x =10,即调配给甲连锁店空调机10台,电冰箱60台,乙连锁店空调30台,电冰箱0台. …………………………………12分22.(本小题满分12分)(Ⅰ)过C 作x 轴的垂线,交x 轴于D 点.令C (,ka a).…………1分 因AB ⊥BC ,所以AB 1⊥B 1C ,由OC 是∠AOD 的平分线,所以CD =B 1C . 又CB =B 1C ,所以CB =CD .从而B 的坐标是(2,k a a ),A 的坐标是(2,2a ka).………3分于是AB =2a ,OD =a ,BD =2ka.…………………4分故S 四边形OABC =S 梯形OABD -S △OCD =121()222a k k a a k a a+⨯-⨯=.………………6分 (Ⅱ)由四边形OABC 的面积为22,得=22k .……………8分 以OA 为直径的圆经过点C ,则AC ⊥OC . 可证得∠COD =∠ACB ,于是△ABC ∽△CDO ,所以AB BC CD DO=,代入得2ka a k a a=,即42216,2a k a ==∴=.……………10分B 的坐标是(2,22).令OB 的方程为y =mx ,代入得222m =,即得2m =,于是OB 的解析式为2y x =.…………………12分23.(本小题满分12分)(Ⅰ)连接OE .……………1分 ∵OB ＝OE ,∴∠OBE ＝∠OEB .∵BC ＝EC ,B 1C BA xy DO∴∠CBE ＝∠CEB . ………2分 ∴∠OBC ＝∠OEC .∵BC 为⊙O 的切线,∴∠OEC ＝∠OBC ＝90°,…………3分 ∵OE 为半径,∴CD 为⊙O 的切线.……………4分 (Ⅱ)延长BE 交AM 于点G ,连接AE ,过点D 作DT ⊥BC 于点T .因为DA 、DC 、CB 为⊙O 的切线,∴DA ＝DE ,CB ＝CE .在Rt △ABC 中,因为tan ∠BAC ＝22,令AB ＝2x ,则BC ＝ 2 x .∴CE ＝BC ＝ 2 x .………………………………………6分 令AD ＝DE ＝a ,则在Rt △DTC 中,CT ＝CB －AD ＝ 2 x －a , DC ＝CE ＋DE ＝ 2 x ＋a ,DT ＝AB ＝2x ,∵DT 2＝DC 2－CT 2, ∴(2x )2＝( 2 x ＋a )2－( 2 x －a )2. ……………7分 解之得,x ＝ 2 a . ………………8分 ∵AB 为直径,∴∠AEG ＝90°.∵AD ＝ED ,∴AD ＝ED ＝DG ＝a . ∴AG ＝2a .…………………………………………9分 因为AD 、BC 为⊙O 的切线,AB 为直径, ∴AG ∥BC .所以△AHG ∽△CHB . ∴AH CH ＝AG CB ＝2a 2 x . ……………………………………………11分 ∴AHCH＝1. ……………………………………………12分 24.(本小题满分12分)(Ⅰ)令二次函数的解析式为2(0)y ax bx c a =++≠,由已知可得:1203b aa b c c ⎧-=⎪⎪-+=⎨⎪=-⎪⎩,解之得332333a b c ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=-⎪⎩, 于是其解析式为2323333y x x =--,即23(23)3y x x =--.…………………4分(Ⅱ)由于M 在对称轴上,所以MA +MB =MB +MC ,故M 点为直线BC 与对称轴的交点. 由对称轴为x =1且点A (-1,0),于是点B (3,0),令直线BC 的方程为y =kx +b ,则33,3303b b k b k ⎧=-⎧-=⎪⎪∴⎨⎨+=⎪=⎩⎪⎩,于是BC 的方程为333y x =-.…………6分 当x =1时得233y =-,于是点M 的坐标为23(1,)3-.…………8分 T GB AOD CNMHE(Ⅲ)在BC 的方程333y x =-中,令x =m ,可得F 的坐标是F (m ,333m -). 又点P 的坐标是P (m ,2323333m m --). …………9分 于是PF =2233233(3)(3)33333m m m m m ----=-+,其中0<m <3.…10分21333(3)223BCP BPF CPF S S S PF m m ∆∆∆=+=⨯⨯=-+ 223339(3)[()]2224m m m =-+=--+. 因为0<m <3,所以,当32m =时,BCP S ∆取到最大值938. 此时点P 的坐标是(353,24-).…….……………12分 25.(本小题满分14分)(Ⅰ)连结BC ,∵OA =10 ,CA =5, ∠AOB =30°,∴∠ACB =2∠AOB =60°, ∴弧AB 的长=35180560ππ=⨯⨯.……4分(Ⅱ)连结OD ,∵OA 是⊙C 直径,∴∠OBA =90°.又∵AB =BD ,∴OB 是AD 的垂直平分线,∴OD =OA =10. 在Rt △ODE 中,OE ==-22DE OD 681022=-, ∴AE =AO －OE =10-6=4. 由∠AOB =∠ADE =90°-∠OAB ,∠OEF =∠DEA , 得△OEF ∽△DEA ,∴OE EF DE AE =,即684EF=,∴EF =3.……8分 (Ⅲ)设OE =x .①当交点E 在O 、C 之间时,由以点E 、C 、F 为顶点的三角形与△AOB 相似,有∠ECF =∠BOA 或∠ECF =∠OAB . 当∠ECF =∠BOA 时,此时△OCF 为等腰三角形,点E 为OC 中点,即OE =25;..……9分 当∠ECF =∠OAB 时,有CE =5-x , AE =10-x ,∴CF ∥AB ,有CF =12AB ,∵△ECF ∽△EAD , ∴AD CF AE CE =,即51104x x -=-,解得:310=x ,即OE =310..……10分 C E AO DBFFBDO AEC第 11 页 共 11 页 ②当交点E 在点C 的右侧时,∵∠ECF ＞∠BOA ,∴要使△ECF 与△BAO 相似,只能是∠ECF =∠BAO .连结BE ,∵BE 为Rt △ADE 斜边上的中线,∴BE =AB =BD ,∴∠BEA =∠BAO ,∴∠BEA =∠ECF ,∴CF ∥BE , ∴OE OC BE CF =. ∵∠ECF =∠BAO , ∠FEC =∠DEA =Rt ∠,∴△CEF ∽△AED ,∴CF CE AD AE=, 而AD =2BE ,∴2OC CE OE AE=, 即55210x x x -=-,解得417551+=x ,417552-=x ＜0. 因x >5,所以舍去x 2,∴OE =41755+..……12分 ③当交点E 在点O 的左侧时,∵∠BOA =∠EOF ＞∠ECF ,∴要使△ECF 与△BAO 相似,只能是∠ECF =∠BAO . 连结BE ,得BE =AD 21=AB ,∠BEA =∠BAO , ∴∠ECF =∠BEA ,∴CF ∥BE ,∴OE OC BE CF =. 又∵∠ECF =∠BAO , ∠FEC =∠DEA =Rt ∠, ∴△CEF ∽△AED ,∴ADCF AE CE =, 而AD =2BE ,∴2OC CE OE AE =,∴5+5210+x x x=, 解得417551+-=x ,417552--=x ＜0(舍去),∴OE =51754-. 综上所述:存在以点E 、C 、F 为顶点的三角形与△AOB 相似,此时OE 的长度为:25、310、41755+、51754-..……14分 C E A O DB FC E AO D BF。