4.四边形的不稳定性

1. (2011 四川省绵阳市) 王师傅用4根木条钉成一个四边形木架，如图，要使这个木架不变形，他至少要再钉上几根木条？（ ）
A ．0根
B ．1根
C ．2根
D ．3根
答案：B
2. (2011 河南省)
如图，在ABC Rt △中，9030B BC C ∠==∠=°，°．点D 从点C 出发沿CA 方向以每秒2个单位长的速度向点A 匀速运动，同时点E 从点A 出发沿AB 方向以每秒1个单位长的速度向点B 匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D 、E 运动的时间是()0t t >秒．过点D 作DF BC ⊥于点F ，连接DE 、EF ．
（1）求证：AE DF =；
（2）四边形AEFD 能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t 值；如果不能，说明理由．
（3）当t 为何值时，DEF △为直角三角形？请说明理由．
答案：1）在DFC △中，90302DFC C DC t ∠=∠==°，°，，
DF t ∴=．
又AE t AE DF =∴=，
． （2）能．理由如下：
AB BC DF BC ⊥⊥，，
AE DF ∴∥．
又AE DF =，∴四边形AEFD 为平行四边形．
∵tan 3053
AB BC
===·°， ∴210AC AB ==． ∴102AD AC DC t =-=-．
若使平行四边形AEFD 为菱形，则需AE AD =．即101023
t t t =-=，． 即当103
t =
时，四边形AEFD 为菱形． （3）①90EDF ∠=°时，四边形EBFD 为矩形．
在Rt AED △中，30ADE C ∠=∠=°，
∴2AD AE =．即510222
t t t -==，． ②90DEF ∠=°时，由（2）知EF AD ∥，
∴90ADE DEF ∠=∠=°．
∵90A ∠=°-60C ∠=°，
∴cos 60AD AE
=︒·． 即110242
t t t -==，． ③90EFD ∠=°时，此种情况不存在．
综上所述，当52
t =或4时，DEF △为直角三角形．
3. (2011 黑龙江省哈尔滨市) 如图，在平面直角坐标系中，点O 是坐标原点，四边形ABCD 为
菱形，AB 边在x 轴上，点D 在y 轴上，点A 的坐标是（60-，
）,10AB =． （1）求点C 的坐标；
（2）连接BD ，点P 是线段CD 上一动点（点P 不与C 、D 两点重合），过点P 作PE BC ∥交BD 于点E ，过点B 作BQ PE ⊥交PE 的延长线于点Q ．设PC 的长为x ，PQ 的长为y ，求y 与x 之间的函数关系式（直接写出自变量x 的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，连接AQ 、AE ，当x 为何值时，45
BQE AQE DEP S S S +=△△△？并判断此时以点P 为圆心，以5的半径的P ⊙与直线BC 的位置关系，请说明理由．
答案：解：（1）如图1，过点C 作CN x ⊥轴，垂足为N ，则四边形DONC 为矩形， ON CD ∴=．
四边形ABCD 是菱形，10AB =，
10.10.
AB BC CD AD ON ∴====∴= (6A -，0），
68OA OD ∴===，．
(108)C ∴，．
（2）如图1，过点P 作PH BC ⊥，垂足为H ，则90PHC AOD ∠=∠=．
四边形ABCD 是菱形，PCB DAO ∴∠=∠．
∴PHC DOA △∽△，
CH PH PC AO DO DA
∴==． 6810
CH PH x ∴==． 4355
PH x CH x ∴==，． 3105
BH x ∴=-． PE BC BQ PQ ⊥∥，，
90PQB QBC PHB ∴∠=∠=∠=．
∴四边形PQBH 为矩形，
3105
PQ BH x ∴==-． 310(010)5
y x x ∴=-<<．
（3）如图2，过点P 作PH BC '⊥，垂足为H '，则四边形PQBH '是矩形，
45
BQ PH x '∴==． PE BC PED CBD ∴∠=∠∥，．
CD CB CBD CDB =∴∠=∠，．
CDB PED ∴∠=∠．
2105PE PD x QE PQ PE x ∴==-=-=
，． 过点D 作DG PQ ⊥于点G ，过点A 作AF PQ ⊥交PQ 的延长线于点F ，
90DGF AFG ∴∠=∠=．
PQ BC PQ AD ∴∥，∥．
90ADG ∴∠=．
∴四边形AFGD 为矩形，
AF DG PQ BC ∴=∴，∥．
DPG C ∴∠=∠．
90DGP PH C '∠=∠=，
DGP PH C '∴△∽△．
DP DG PC PH ∴='．44(10)855
AF DG x x ∴==-=-． 111241248(8)222552555
BQE AQE S S EQ BQ EQ AF x x x x x +=+=⨯+⨯-=△△····． 21142(10)(8)8402255DEP S PE DG x x x x ==--=-+△··，45
BQE AQE DEP S S S +=△△△． 2842(840)555
x x x ∴=-+． 整理，得2
251000x x -+=． 12520x x ∴==，．
201020x x <<∴=，不符合题意舍去，5x ∴=．
5x ∴=时，45
BQE AQE DEP S S S +=△△△． 4455
PH x '==<，P ∴⊙与直线BC 相交．
4. (2011 黑龙江省绥化市) 在正方形ABCD 的边AB 上任取一点E ，作EF AB ⊥交BD 于点F ，取FD 的中点G ，连结EG CG 、，如图（1），易证EG CG 且EG CG ⊥．
（1）将BEF △绕点B 逆时针旋转90°，如图（2），则线段EG 和CG 有怎样的数量关系和位置关系？请直接写出你的猜想．
（2）将BEF △绕点B 逆时针旋转180°，如图（3），则线段EG 和CG 又有怎样的数量关系和位置关系？请写出你的猜想，并加以证明．
答案：解：（1）EG CG EG CG =，⊥．
（2）EG CG BG CG =，⊥．
证明：延长FE 交DC 延长线于M ，连MG ， 909090AEM EBC BCM ∠=∠=∠=°，°，°， ∴四边形BEMC 是矩形．
90BE CM EMC ∴=∠=，°，
又BE EF =，
EF CM ∴=．
90EMC FG DG ∠==°，，
12
MG FD FG ∴==． BC EM BC CD ==，，
EM CD ∴=．
EF CM =，
.FM DM ∴=
45F ∴∠=°．
又FG DG =，
1452
CMG EMC ∠=∠=°， F GMC ∴∠=∠．
GFE GMC ∴△≌△．
EG CG FGE MGC ∴=∠=∠，．
90FMC MF MD FG DG ∠===°，，， MG FD ∴⊥．
90FGE EGM ∴∠+∠=°．
90MGC EGM ∴∠+∠=°．
即90EGC ∠=°．
EG CG ∴⊥．。