马氏决策规划简介上课讲义
《马尔柯夫预测法》PPT课件
第八章 马尔可夫预测与决策法
3. 状态转移矩阵
类似地，可以推出
P(k) Pk
（8.1.8）
即 k 步状态转移概率矩阵等于一步状态转移概率矩阵的 k 次方。
12
第八章 马尔可夫预测与决策法
例 8.1.2
例 8.1.2 某经济系统有三种状态 E1, E2 , E3 （比如畅销，一般，滞销）。系统状
则称 X n , n 0为马尔柯夫链。
X n 所可能取到的每一个值 E1, E2 ,, Em ; E j 称为状态。
3
第八章 马尔可夫预测与决策法
第8.1 马尔柯夫链简介
2. 状态转移概率
由定义 8.1.1 可知，马尔柯夫链的概率特性取决于条件概率
P X mk E j X m Ei
（8.1.2）
N
p1k pk1 k 1
N
= p2k pk1
k 1 N
pNk pk1
k 1
N
p1k pk 2
k 1 N
p2k pk2
k 1
N
pNk pk 2
N
k 1
N
k 1
N
p1k
p2k
p Nk
pkN pkN pkN
==
p11 p21
pN1
k 1
k 1
p12 p22
在概率论中，条件概率 P( A | B) 表达了由状态Ｂ向状态Ａ转移的概率，简称为状态转移概
率。式（8.1.2）中条件概率的含义是，某系统在时刻m 处于状态 Ei 的条件下，到时刻m k
处于状态 E j 的概率。
定义 8.1.2 称
p(k) ij
(m)
P
X mk E j
马尔可夫决策ppt课件
V(s)→V*(s)
ii)异步迭代法 对于每一个状态s,得到新的 v(s)后，不存储，直接更新。
13
知道了V*(s)后，再用（3）求出相应的最优策略
γ=0.99
3 0.86 0.90 0.93
+1
2 0.82
0.69
-1
1 0.78 0.75 0.71 0.71
12
3
4
14
• 策略迭代法（π→π*）
• 在增强学习里有一个重要的概念是Q学习，本质是将与状 态s有关的V(s)转换为与a有关的Q。
• 里面提到的Bellman等式，在《算法导论》中有BellmanFord动态规划算法，有值得探讨的收敛性的证明。
19
Thank you!
20
5
MDP是如何工作的
时间0，从状态S0出发. . .
取出你在哪个地方at state S0
选择一个动作A0决定action a0
循环
得到一个新状态 S1~PS0a0
a0
a1
S0
S1
a2 S2
S3 . . . . . .
RR((SS00)) ++ γRR(S(S1)1) ++ γ2R(S2) ++ γ3R(S33) ...... ...... γ∈[0,1) 目标：E[R(S0) + γR(S1) + γ2R(S2) + γ3R(S3)+. . .]
7
递推
Vπ（s）= E[R(S0)+γR(S1)+γ2R(S2)+γ3R(S3)+. . . ] = R(S0)+γ（E[R(S1)+γ2R(S2)+γ3R(S3)+. . .] ）
人教版高中选修(B版)4-9第六讲马尔可夫型决策课程设计
人教版高中选修(B版)4-9第六讲马尔可夫型决策课程设计介绍本文档是一篇课程设计，主要介绍了人教版高中选修(B版)4-9第六讲中，马尔可夫型决策相关知识的课程设计方案。
本课程设计主要面向高中生，并使用Markdown文本格式输出。
基本知识马尔可夫型过程是指一个随机过程，在此过程中，状态的转移概率不受时间的影响，只与当前状态有关。
马尔可夫型决策是一种以获得最好效果为目标的决策过程，主要用于研究不确定情况下的决策问题。
课程设计目标本课程设计的主要目标是让学生掌握马尔可夫型决策的基本原理和应用方法，能够理解并运用相关知识解决现实问题。
同时，通过课程设计的方式，增强学生对理论知识的理解和实践能力的培养。
课程设计内容1.马尔可夫模型的概念和原理–马尔可夫性质的定义–马尔可夫过程的实例2.马尔可夫决策的基本流程和模型构建–状态、决策、效用函数、状态转移概率的定义–马尔可夫决策模型构建的步骤3.马尔可夫决策的解法与应用–状态-行动-状态法–动态规划法–值迭代法–策略迭代法–应用案例的讲解实践案例以网络占领为例，介绍马尔可夫决策的应用。
1.问题描述在网络安全领域，有一类攻击叫做“网络占领”。
假设一台服务器在t时刻被攻陷，攻击者一定是可以选择保持控制，或者被清除出服务器。
对于一个行业领袖，在网络中被攻陷将会给公司带来数百万美元的损失。
假设您是公司安全团队的一名成员，请你设计一个马尔可夫决策模型，以帮助公司最大限度地减少损失。
2.马尔可夫决策模型的构建在这个问题中，存在四个状态，分别是：–清除状态：在此状态下，服务器已经被清除并恢复正常，公司无损失。
–留在状态：在此状态下，服务器被攻陷并正在被攻击者控制，公司将遭受损失。
–单次攻击失败状态：在此状态下，攻击者试图占领服务器但失败了，他们将再次尝试，公司也会继续承担损失。
–持续攻击状态：在此状态下，攻击者成功占领服务器并保持控制，公司将遭受重大损失。
状态转移图如下：状态转移图–叶节点的效用函数：•清除状态：1•留在状态：0•单次攻击失败状态：-2•持续攻击状态：-10–状态间的转移概率：•清除状态只能转移到清除状态：1•留在状态可以转移到单次攻击失败状态、持续攻击状态和留在状态：0.5、0.25 和 0.25•单次攻击失败状态可以转移到留在状态和单次攻击失败状态：0.8 和 0.2•持续攻击状态只能转移到持续攻击状态：13.马尔可夫决策模型的解法基于状态-行动-状态法，我们可以得到该问题的最佳策略：–清除状态：只能选择清除行动。
马尔可夫决策规
马尔可夫决策规————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：马尔可夫决策规划第二讲马尔可夫链与马尔可夫过程§2.1 马尔可夫链为书写方便，下面用X表示随机变量（ξ）。
定义 2.1：随机变量序列{X n,n=0,1,2,......}称为是一个马尔科夫（Markov）链，如果等式p{X m+k=j|X m=i, X kL=i L, ......, X k2=i2, X k1=i1} =p{X m+k=j|X m=i}对任意整数k、L、m以及非负整数m>k L>…k2>k1均成立。
其中，X m=i表示马尔科夫链在第m步（时刻m）位于状态i，状态i的集合S称为状态空间；p(k)ij(m)=p{X m+k=j|X m=i}称为在时刻m位于状态i经k步转移到达状态j的k步转移概率，而p ij(m)=p(1)ij(m) 称为时刻m的1步转移概率；P(k)(m)=(p(k)ij(m))称为时刻m的k步转移概率矩阵，而P(m)=(p(1)ij(m))=(p ij(m))称为时刻m的1步转移概率矩阵。
Markov满足的K-C方程如下：A. P(k)(m)=P(l)(m)P(k-l)(m+l)，其中0≤l≤k约定：P(0)(m)=IB.()∏-+==1)(P )(P k m mi k i m约定：()I P 1=∏-=m mi i定义2.2：马尔科夫链{X n , n=0,1,2,......}称为是齐次的，是指它在时刻m 的1步转移概率矩阵P (m )与m 无关，它等价于P (k )(m )与m 无关。
其中，P (k)=(p (k )ij )称为齐次马氏链的k 步转移概率矩阵，而P = (p ij )称为齐次马氏链的1步转移概率矩阵。
相应地有，A. K-C 方程：P (k ) = P (l )P (k-l )，其中0≤l ≤kB. P (k )=P kC. 马尔科夫链的概率分布：设{X n , n=0,1,2, ......}为一马尔科夫链，X 0的分布列（初始分布）为0q (约定马尔科夫链的概率分布列为行向量)，记n q 为X n 的分布列或Markov 链在时刻n 的瞬时分布列，{P (n ), n =0,1,2,......}为一步转移概率矩阵的集合，则有：C 1：()0 ,)(P q 0P q q 00)(0≥==∏=n i ni n n（非齐次） C 2：0 ,P q P q q 0)(0≥==n nn n （齐次） 关于马氏链的存在性：对任意给定的分布列0q 和一束随机矩阵{P (n ), n =0,1,2,......}，a.s 唯一地存在某概率空间（Ω, F , P ）上的马氏链，恰以0q 为初始分布列、以{P (n ), n =0,1,2,......}为转移概率矩阵的集合。
马氏决策ppt
因而f (1) max q1(1) , q 2(1) max 6, 4 6 1
0.2 2.2 … 3 23 2 2 …
1
2
d1 (1) 1
d1 (2) 1
f1 (2) max q
1(2)
,q
2(2)
max 3, 5 3
d n (i)为第n阶段处于i状态时的决策。
这表明，该厂不论处于状态1还是2，如 果再继续生产1个月，都应采取决策1， 即不论销路好还是销路差都不登广告。 如果继续生产两个月：
n（经营时间/月） （目前销路好，n月 后停业的最大总期望 报酬） （目前销路好，若n 月后停业应采取的最 优决策） （目前销路差，n月 后停业的最大总期望 报酬） （目前销路差，若n 月后停业应采取的最 优决策）
1 6
2 8.2
3 4 … 13
-1.7
PR pij rij j 1 Ｎ×1
N
N
pij
则有
Q PR pij rij ,..... pij rij j 1 j 1
N
T
Vn Q PVn1, n 2,3,...
V1 Q
0.5 0.5 仍以上述工厂为例， p 0.4 0.6
一：基本概念
1.状态转移概率 假定系统有n个可能的状态，处于这些 状态的概率分别为 p1,p2…pi ,…pn， 例如，有1000名顾客在每周只到A和B 购物，设定时间阶段为一周，在某一 周，有900名顾客到A购物，我们称为 状态1，有100名顾客到B，成为状态2， 因此，系统的两个状态和概率分别为 状态1：顾客到A购物，0.9 状态2：顾客到B购物，0.1
ch7 动态规划的基本方法 PPT课件
4 . 线性规划、非线性规划等静态的规划问题也 可以通过适当地引入阶段的概念，应用动态规划方 法加以解决。
5 . 最短路径问题：给定一个交通网络图如下， 其中两点之间的数字表示距离（或花费），试求从A 点到G点的最短距离（总费用最小）。
min
dd11
( (
A, A,
B1 ) B2 )
9
且 u5 (E3 ) F2 。
类似地，可算得
当 k 4 时，有
f4 (D1) 7
u4 (D1) E2
f4 (D2 ) 6
u4 (D2 ) E2
f 4 (D3 ) 8
u4 (D3 ) E2
当 k 3 时，有
f3 (C1) 13
u3 (C1) D1
f3 (C2 ) 10
过程由一个状态到另
一个状态的演变过程。 如果第k阶段状态变量 sk的值、该阶段的决策 变量一经确定，第k+1 阶段状态变量sk+1的值 也就确定。
s1
u1 1
s2
u2 2
s3
sk
uk k
sk+1
能用动态规划方法求解的多阶段决策过程是一类 特殊的多阶段决策过程，即具有无后效性的多阶段 决策过程。
无后效性(马尔可夫性)
小结:
无后效性
动态规划本质上是多阶段决策过程;
概念 : 阶段变量k﹑状态变量sk﹑决策变量uk;
方程 :状态转移方程 sk1 Tk (sk , uk )
指标: Vk,n Vk,n (sk , uk , sk1, uk1,, sn1)
运筹学课件——第4讲马尔可夫决策(精)
例：人力资源预测
• 某高校1990年为编制师资发展规划，需要预测 为了教师队伍的结构。现在对教师状况进行如 下四个分类：青年，中年，老年和流退（流失 或退休）。根据历史资料以及调查分析，各类 教师按照一年一期的状态转移概率矩阵如下， 目前青年教师400人，中年教师360人，老年教 师300人。试分析3年后教师的结构以及为保持 编制不变，3年内应当多少硕士和博士毕业生 充实教师队伍？
0 . 4 0 .3 0 .3 0.3 0.5 0.2 P1 0.3 0.7 0 0.6 0.1 0.3 P 2 0.6 0.3 0.1 0.4 0.5 0.1 u= （ 0.5 ，0.25 ， 0.25 ）
u 1= （ 0.39 ， 0.44 ，0.17 ） u2= （ 0.44 ， 0.42 ，0.14 ）
例：三品牌洗衣粉下月 购买意愿调查
A A B C 40 60 60 B 30 30 30 C 30 60 30 调查总数 100 150 120
• 求（ 1 ）一步状态转移概率矩阵 P （ 1 ）=? • （ 2 ）购买 C 品牌的顾客在未来第 2 个月购买 各品牌的概率? • （ 3 ）二步状态转移概率矩阵 P （ 2 ）=? • 您发现P（K）的一般规律了吗？
320 240 240 N 360 180 60 360 60 180
2
3
状态转移概率矩阵 P
• 从转移频数矩阵到状态转移概率矩阵 P ： • 用各行总数分别去除转移频数矩阵 N 的每行 各元素，得到状态转移概率矩阵 P 如下：
320 240 240 /800 N 360 180 60 /600 360 60 180 /600
《长期准则下的马尔可夫型决策》完美课件 人教版1
案例分析
案例5 某工厂的一台自动加工机有2种工作 状态:正常状态和故障状态.在每个整数钟点 的起始时刻检查机器的工作情况，若机器处 于正常状态，则让它继续工作;若机器处于故 障状态，则他进行检修.假设处于正常状态的 机器，在一小时后发生故障的概率为0.05.
解：依题意 Xn为马尔可夫链，则有时
刻n的分布和时刻n+1的分布的关系为
（2）确定所有行动方案，可能状态，损益 函数或损益矩阵；
（3）对于给定行动方案，确定马尔可夫链 在该行动方案下的转移概率矩阵，并判断相应 平稳分布是否唯一；
（4）如果各个行动方案所对应的平稳分布 唯一，就可以用平稳准则选择可行的方案.
解：设平稳分布 w w1 w2 , w1 0, w2 0
则
•
9.自信让我们充满激情。有了自信， 我们才 能怀着 坚定的 信心和 希望， 开始伟 大而光 荣的事 业。自 信的人 有勇气 交往与 表达， 有信心 尝试与 坚持， 能够展 现优势 与才华 ，激发 潜能与 活力， 获得更 多的实 践机会 与创造 可能。
感谢观看，欢迎指导！
情感态度与价值观
通过长期准则下马尔可夫型决策的 学习，更加全面和清晰地了解马尔可夫型 决策，能解决长期准则下的马尔可夫型决 策案例.
当机器处于状态状态是对它进行检修， 在一小时内排除故障的概率为0.6.Xn表 示时刻n时的状态，试分析时刻n分布 的规律.
教学重难点
重点：平稳分布. 难点：长期准则下的马尔可夫型案例分析.
0
R(d1 )
1 4
1 4
1 2
3
13 4
,
5
3
R(d2 )
1 4
1 4
1 2
0
运筹学胡运权
§1 多阶 段决 策过 程的 最优
化
本章 内容
多阶段决策过程的最优化 动态规划的基本概念和基本原理 动态规划模型的建立与求解 动态规划在经济管理中的应用 马氏决策规划简介
为了便于求解和表示决策及过程的 发展顺序，而把所给问题恰当地划分为 若干个相互联系又有区别的子问题，称 之为多段决策问题的阶段。一个阶段， 就是需要作出一个决策的子问题，通常， 阶段是按决策进行的时间或空间上先后 顺序划分的。用以描述阶段的变量叫作 阶段变量，一般以k表示阶段变量．阶 段数等于多段决策过程从开始到结束所 需作出决策的数目，图7—1所示的最短 路问题就是一个四阶段决策过程。
策略(Policy)也叫决策序列．策略有全过
程策略和k部子策略之分，全过程策略是指具有 n个阶段的全部过程，由依次进行的n个阶段决
策构成的决策序列，简称策略，表示为
p1,n{u1,u2,…,un}。从k阶段到第n阶段，依次进 行的阶段决策构成的决策序列称为k部子策略, 表示为pk,n{uk,uk+1,…,un} ，显然当k=1时的k部
本章 内容
多阶段决策过程的最优化 动态规划的基本概念和基本原理 动态规划模型的建立与求解 动态规划在经济管理中的应用 马氏决策规划简介
创始时间 创始人
上个世纪50年代
美国数学家贝尔曼 （Richard. Bellman)
是运筹学的一个主要分支 是解决多阶段决策过程的最优化的一
种方法多阶段决策过程： 多阶段决策过程的最优化的目标： 达到整个活动过程的总体效果最优 •主要用于解决：
化
例1：某厂与用户签订了如表所示
马尔可夫决策规划5
马尔可夫决策规划第五讲 有限阶段模型及其他有限阶段模型的目标只有有限项，即1110210100P P P P P P P )(2)(+-++++=n n n f f f f f n f f f f f f n r r r r V βββπβ1) 当n 充分大时，近似令∞=n 2) 用动态规划法求解注意：用Bellmon 最优化原理可推出平稳策略优势。
§ 5.1 向后归纳法在确定性动态规划问题求解中，向后归纳法是寻求最优策略的一种有效解法，同样也是求解有限阶段Markov 决策规划问题中最优策略与最优值函数的有效解法。
定理5.1 在状态集与所有行动集均为有限的有限阶段模型中，定义函数()nV i *，使其满足如下等式：()()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=∑∈+∈S j n i A a nj V a i j p a i r i V 1**,,max()()()()()∑∈++=Sj n n n j V i f i j p i f i r 1***,, ……..(5.1)()0,...,2,1,,--=∈N N N n S i 其中()01*=+j V N 。
则由上述算式求出的()()()()00001,2,...,V V V V l ****=即为有限阶段模型的最优值函数，即对每个i S ∈，均有()()0sup ,N V i V i ππ*∈∏=；与此同时求得的决策序列()01,,...,N f f f π****=即为最优策略，其中{1,2,...,}S l =。
由于所有的()(),A i i S∈及{1,2,...,}S l =均为有限集，故由(5.1)式求得的()n f i *一定存在，且达到最优的行动可能多于一个（此时可任取一个作为()n f i *）。
定理5.1不仅解决了有限阶段模型求解最优策略的方法问题，而且还表明对任何n ，()i V n*表示在阶段n ，从状态i 出发，在余下1N n +-的阶段的最优期望总报酬，()1,,...,n n N f f f ***+也构成从n 到阶段N 的最优策略，这体现了Bellman 的最优化原理。
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i1,2,......N
称 Qq(1),q(2).....q(N)T
为一次转移的期望报酬向量。
记 V n ( i ) 为系统由状态ｉ经过n次转移之后的 总期望报酬，则有
N
N
v n (i) j 1p ij r ij v n 1 (j) q (i) j 1p ijv n 1 (j)
i 1,2.....N
马氏决策规划简介
★
★
★
★★
马尔可夫过程
马尔可夫过程是一类特殊的随机过程， 它因伟大的俄国数学家马尔可夫而得名。 这种过程的特点是存在着确定的转移概 率，与系统先前的历史无关，有一个很 形象的比喻来形容这个过程：池塘里的 青蛙在荷叶上跳来跳去，如果将它在某 一时刻所在的荷叶称为状态，则青蛙未 来处于什么状态只有它现在所在的状态 有关，与它以前所处的状态无关。这种
状态1：顾客到A购物，0.9
状态2：顾客到B购物，0.1
2.状态转移概率矩阵
假定市场调查数据显示，在随后的一周 内，上周去A购物的顾客有90％仍然在A 购物，有10％的顾客则流向了B，去B购 物的顾客有80％继续在B购物，而20％ 则流向了A，这些状态转移概率可用如下
矩阵表示
3.一步平稳转移概率
qd(i) N
pidj
fn1(j)
d1,2
j1
f1(i)maxqd(i) d1,2
n 2,...
❖ 由于
Q 1 q q 1 1 ( (1 2 ) ) (P 1 ) (R 1 ) 0 0 ..4 50 0 ..6 5 9 3 3 7 6 3
Q 2 q q 2 2 ( (1 2 ) ) (P 2 ) (R 2 ) 0 0 ..7 80 0 ..2 3 1 4 4 1 9 4 5
仍以上述工厂为例，设该工厂在每个状态可选的
决策是不登广告（记作方式1）或登广告（记作
方式2）。若不登广告，自然无广告费；若登广
告，要花额外的广告费，但下月初为销路好的概
率可增加。
决策方式1的状态转移矩阵及报酬矩阵为：
P1
0.5 0.4
0.5 0.6
R1
9
3
3
7
选决策方式2的状态转移矩阵及报酬矩阵为：
性质就是所谓的“一阶Markov性”或 “无后效性”
一：基本概念
❖ 1.状态转移概率
假定系统有n个可能的状态，处于这些 状态的概率分别为 p1,p2…pi ,…pn， 例如，有1000名顾客在每周只到A和B 购物，设定时间阶段为一周，在某一 周，有900名顾客到A购物，我们称为 状态1，有100名顾客到B，成为状态2， 因此，系统的两个状态和概率分别为
ppp1211
pp122200..45
0.5 0.6
若在上面所述的马氏过程中，当它在任意时刻
从状态i 转移到状态j时可以获得相应的收益记
为 r ij ,
这种马氏过程随着状态转移可得到一系列的报
酬（效益），我们称其为赋值马氏过程，称
R= rij N * N 为报酬矩阵。
上述工厂若某月初销路好，下月初仍销路好可
其中 p i j 表示有状态ｉ转移到状态ｊ的
概率，r i j 表示由状态ｉ转移到状态ｊ的
相应报酬。称 V nvn(1 ),vn(2),....vn(N )T
为ｎ次转移的总期望报酬向量。
对 PpijNN,RrijNN
定义ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ法
PRjN1
pijrij
Ｎ×1
则有 QPR jN 1pijrij,..... jN 1pijrijT
..... pn2
..... .....
p3n pnn
二 马尔可夫过程的预测
三：赋值马氏过程
有一个工厂为市场生产某种产品，每月月初对产 品产品的销售情况进行了一次检查，其结果有 二：销路好（记为状态1），也可能销路差 （状态2）。若处于状态1，由于各种随机因素 的干扰，下月初仍处于销路好的概率为0.5， 转为销路差的概率也为0.5；若处于状态2，则 下月初转为销路好的概率为0.4，仍处于销路 差的概率为0.6。则他的状态转移过程为
因而f 1 ( 1 ) m a x q 1 ( 1 ) ,q 2 ( 1 ) m a x 6 ,4 6
d1(1) 1
f 1 ( 2 ) m a x q 1 ( 2 ) ,q 2 ( 2 ) m a x 3 , 5 3
获利9千元，下月初转为销路差可获利3千元，
若某月初销路差，下月初转为销路好课获利3
千元，下月初仍为销路差要亏本7千元。
则报酬矩阵为 Rrr1211
r12 r22
9 3
3 7
下面考虑系统经过一定阶段的运行后的总
期望报酬。记q(i)为状态i 做出一次转移的
期望报酬，则有
N
q(i)
j 1
pij rij
P2
0.8 0.7
0.2 0.3
R2
4 1
4 19
问题是在若干月内采取什么决策才能使其总期望
报酬最大。
用n表示系统的阶段数。p
d ij
表示系统当前处于状
态i，下一步以d种决策方式转移到状态j的概率。
f n ( i )表示系统初始状态为i，采取最优策略时的
期望报酬最大值。则有如下方程：
max fn(i)
如果对于每个i和j，p
1 ij
pij
均成立的话
则称一步转移概率是平稳的，也就是说，
从状态i转移到状态j的概率与现在的步数
无关，这说明在研究的时间范围内，一
步平稳转移概率保持为常数。系统的转
移概率矩阵表示为
p11 p12 ..... p1n
P(k
)
p21
p22
.....
p2
n
.....
pn1
3
60 .50 .5 6 7 .5
V 2 Q P V 1 3 0 .40 .6 3 2 .4
在利用上面的公式，可以得出该工厂在不同的
三、马氏决策规划 在赋值马氏过程中，如果在某状态选用不同 的决策能够改变相应的状态转移矩阵及报酬 矩阵，就产生了动态随机系统求值最优策略 的问题。马氏决策规划就是研究这类问题的。 下面我们通过实例来介绍马氏决策规划中有 限阶段的一种求解方法——值迭代法。设系 统目标为总期望报酬最大化。
V nQ P V n 1,n2,3,...
V1 Q
仍以上述工厂为例，p
0.5 0.4
0.5
0.6
9 3
R
3
7
根据以上公式得 Q P R 0 0..4 50 0..6 5 9 3 3 7 6 3
即如果当前销路好，则下月获利6000元， 否则下月亏损3000元
6
V1
Q