数学建模_网络最大流问题
1.应用背景 在许多实际的网络系统中都存在着流量和最大流问题。 例如铁路运输系统中的车辆流，城市给排水系统的水流问题, 控制系统中的信息流问题，常见的人流，物流，水流，气流， 电流，现金流等。 在一定条件下,求解给定系统的最大流量, 就是网络最大流问题. 网络系统最大流问题是图与网络理论中十分重要的最优化问题， 它对于解决生产实际问题起着十分重要的作用。
s f1<c1
f2>0
f3>0
f4<c4
t f5<c5
v2
10-5
v1 4-1
8-3
v3
5-2
3-2 5-1
6-3
v4
11- 6
3-3
v5
v6
17-2
后向弧
µ=(v1,v2,v3,v4,v5,v6) µ+={(v1,v2) ,(v2,v3), (v3 , v4),(v5,v6)}
µ- ={(v5,v4)}
❖ 弧的流量f(vi,vj)：表示弧(vi,vj)上每单位时间内的 实际通过能力
❖ 弧的容量c(vi,vj)：表示弧（vi,vj)上每单位时间内的 最大通过能力
❖ 零流：网络上所有的fij = 0
图10-24表示的就是这个网络上的一个流（运输方案）， 每一个弧上的流量fij就是运输量。 例如：f12=1 , f13=2 , f24=3 等等。
v1 （2）
（5）
（2）
vs
（1） （1）
（3）
v2
（3）
v3
fij
（6）
（3）
vt
（2）
v4
2、可行流与最大流 称满足下列条件的流为可行流：
（1）容量限制条件：对于每一个弧（vi ,vj）∈A
有 0f(vi,vj) c(vi,vj) （简记为0 fij cij）
（2）平衡条件：
①对于发点vs，有 fsj fjs v(f )
（5）
v1 （2）
（2）
vs
（1） （1）
（3）
v2
（3）
v3
fij
（6）
（3）
vt
（2）
v4
图10-24
对于实际的网络系统上的流，有几个显著的特点：
(1)发点的净流出量和收点的净流入量必相等。
(2)每一个中间点的流入量与流出量的代数和等于零。 (3)每一个弧上的流量不能超过它的最大通过能力
（即容量）
凡与μ方向相同的称为前向弧， 凡与μ方向相反的称为后向弧， 其集合分别用μ+和μ-表示。
增广链：f 是一个可行流，如果满足：
0 fij cij 0 fij cij
(vi , vj ) 即 中的每一条弧都是非饱和弧 (vi , vj ) 即 中的每一条弧都是非零流弧
则称μ为从vs到vt 的关于f 的一条增广链。
5 (3)
v2
13 (5)
6(3)
v5
9 (5)
5 (2)
v1
4 (1) 5 (2)
v4
9 (3)
v3
5 (0)
4 (2) 4 (1)
v6
v7
10 (1)
v1,(v1, v2 ), v2 ,(v3 , v2 ), v3 ,(v3 , v6 ), v6 ,(v6 , v7 ), v7
其它的点叫做中间点。
对于D中的每一个弧（vi , vj）∈A , 都有一个非负数cij ,叫做弧的容量。 我们把这样的图D叫做一个容量网络， 简称网络，记做D=（V，A，C）。
弧的容量： 是对网络上的每条弧(vi,vj)都给出一个最大的通过能力， 记为c (vi,vj)或简写为cij 。
对有多个发点和多个收点的网络, 可以另外虚设一个总发点和一个总收点, 并将其分别与各发点、收点连起来（见图）， 就可以转换为只含一个发点和一个收点的网络。
s
t
s’
t’
所以一般只研究具有一个发点和一个收点的网络
• 流：加在网络各条弧上的一组负载量 • f(vi,vj)：加在弧(vi,vj)上的负载量
简记为fij，为非负数 网络上的流： 是指定义在弧集合上的一个函数f={f(vi,vj)}, 其中f(vi,vj)称为弧（vi,vj)上的流量， 流也可看作一个双下标变量
即总流量=发点的净输出量=收点的净输入量
❖ 容量网络的可行流总是存在的，
❖ 如当所有弧的流均取零，即对所有的i,j,有 f(vi,vj)=0就是一个可行流
可行流中 f ij＝c ij 的弧叫做饱和弧， f ij＜c ij的弧叫做非饱和弧。 f ij＞0 的弧为非零流弧， f ij＝0 的弧叫做零流弧。
v(f )
fij
f ji
0
v(f )
is i s,t it
•求网络的最大流，即是指满足容量限制条件和平 衡条件的条件下，使v(f)值达到最大.
3、增广链 链的方向：若µ是联结vs和vt的一条链，
定义链的方向是从vs到vt。
f2>0
f4<c4
t
s f1<c1
f3>0
f5<c5
容量网络D，若μ为网络中从vs到vt的一条链， 给μ定向为从vs到vt，μ上的弧分为两类：
5 (3)
v2
v5
13 (5)
6(3) 5 (2)
v1
4 (1) 5 (2)
v4
9 (3)
v3
5 (0)
4 (2) 4 (1)
v6
9 (5)
v7
10 (1)
图中 (v3 , v6 )为零流弧，都是非饱和弧。
网络的最大流:
就是要求一个流{fij },使其流量v(f)达到最大,并
且满足
0 fij cij
弧旁数字：这条运输线的最大通过能力—容量。
制定一个运输方案，使从v1运到v6的产品数量
最多。
v2
2
v4
5
v1
1
3
v3
2
1
3
（b）
6
3
v6
2
v5
弧旁数字：运输数量—流量。
问题：这个运输网络中，从v1到v6的最大输送量是多少？
二、 基本概念
1、网络与流
设一个赋权有向图D=（V, A）, 在V中指定一个发点vs和一个收点vt ,
2.问题描述
连通网络 G(V, A) 中有 m 个节点, n条弧, 弧 eij 上的流量上界为 cij ,
求从起始节点 vs 到终点 vt 的最大流量的问题就是
最大流问题。
3.引例
连接某产品产地v1和销地v6的交通网如下：
v2
5
v4
10
v1
4
8
v3
3
5 6
（a）
11
3
v6
17
v5
弧（vi，vj）：从vi到vj的运输线，
( vs , v j )A
( v j , vs )A
②对于收点)
( vt , v j )A
( v j , vt )A
式子中V(f)称为可行流f的流量,即发点的净输出量 （或收点的净输入量）。
③对于中间点: 流入量=流出量。 即对每个i(i≠s,t)有
f(vi,vj) - f(vj,vi)=0(is，t) (简记为 fij- fji= 0(is，t) )
最大流问题(数学建模资料)
一般可以把L 0的流网络转化为L=0的流网络进行研究(思考？)
除非特别说明, 以后我们总是假设L=0,网络简记为N=(V,A,U,D).
4
网络中的流
例 - 运输网络和运输计划
有一批货物从货源地运往目的地，假设货源集合为S，目的地集 合为T. 货源i可提供的货物数量为ai个单位，目的地j对货物的需 求量为bj个单位.
xij 0,
(i, j ) A \ P
则称x为路流（Path flow），v称为该路流的流值（流量）. v=0时，称该路 流为零路流，否则称为非零路流. 如果N中存在一个有向圈W，使得
0 v xij u ij , (i, j ) W ，
xij 0,
(i, j ) A \ W
(a)找到一条从一个源点i0指向一个汇点ik的有向路P. 定义
v( P) min d i0 ,d ik , min xij | (i, j ) P
d i0 d i0 v( P ), d ik d ik v( P ), xij xij v( P ), (i, j ) P.
max s.t.
v, xij x ji v, A j:( j ,i )A j:( i , j ) 0,
v
i s, i t, i s, t ,
0 xij u ij ,
(i, j ) A
定理6.2 (整流定理) 最大流问题所对应的约束矩阵是全么模 矩阵. 若所有弧容量均为正整数,则问题存在最优整数解.
11
6.1.3 增广路定理
定义6.5 设[S，T]是网络N=(s,t,V,A,U)中给定的一个割，且sS， t T ，则称割[S，T]为s-t割. s-t割[S，T]中的弧(i，j)(iS，jT) 称为割的前向弧，弧(i, j)(jS，iT)称为割的反向弧. s-t割[S，T] 的容量定义为前向弧的容量之和，记为 U ( S , T ) uij 一个网络中容量最小的s-t割称为最小割.
最大流常见算法
最大流常见算法最大流问题是图论中的一个重要问题，其求解方法有多种，本文将介绍最常见的几种算法。
一、最大流问题简介最大流问题是在一个网络中寻找从源点到汇点的最大流量的问题。
网络是由一些节点和连接这些节点的边构成的，每条边都有一个容量，表示该边所能承载的最大流量。
源点是流量的起点，汇点是流量的终点。
在网络中，还可能存在其他节点和边。
二、Ford-Fulkerson算法Ford-Fulkerson算法是最早用于解决最大流问题的算法之一。
该算法基于增广路径来不断增加流量，直到无法再找到增广路径为止。
1. 算法步骤（1）初始化：将所有边上的流量设为0。
（2）寻找增广路径：从源点开始进行深度优先或广度优先搜索，在搜索过程中只选择剩余容量不为0且没有被标记过的边，并记录路径上容量最小值min。
（3）更新路径上各个边上的流量：将路径上各个边上的流量加上min。
（4）返回第二步，直到无法找到增广路径为止。
2. 算法分析Ford-Fulkerson算法可以保证在有限步内求解出最大流，但是其时间复杂度与增广路径的选择有关，最坏情况下可能需要指数级的时间复杂度。
三、Edmonds-Karp算法Edmonds-Karp算法是基于Ford-Fulkerson算法的一种改进算法。
该算法使用BFS来寻找增广路径，可以保证在多项式时间内求解出最大流。
1. 算法步骤（1）初始化：将所有边上的流量设为0。
（2）寻找增广路径：从源点开始进行BFS，在搜索过程中只选择剩余容量不为0且没有被标记过的边，并记录路径上容量最小值min。
（3）更新路径上各个边上的流量：将路径上各个边上的流量加上min。
（4）返回第二步，直到无法找到增广路径为止。
2. 算法分析Edmonds-Karp算法相对于Ford-Fulkerson算法来说，在同样的网络中，其时间复杂度更低，可以保证在O(VE^2)的时间内求解出最大流。
但是在某些特殊情况下仍然可能需要指数级时间复杂度。
数学建模中的网络流问题与算法
数学建模中的网络流问题与算法数学建模是一种将实际问题转化为数学模型，并通过数学方法求解的过程。
在实际问题中，常常需要解决网络流问题，即在网络中如何最大化或最小化流量的分配问题。
网络流算法是解决网络流问题的重要工具。
本文将分析网络流问题的基本概念和应用，并介绍常用的网络流算法。
一、网络流问题的基本概念1.网络流模型网络流模型是指将实际问题转化为图中节点和边的组合，并进行流量分配的问题。
其中，节点表示供给和需求单位，边表示可以流动的路径。
网络流模型常用于物流、运输、通信等领域的问题求解。
2.流量网络流问题中的流量表示在网络中通过路径的物理量。
流量可以是货物的数量、电信系统中数据的传输速率等。
流量可以是有向的或无向的，有时还会带有容量的限制。
3.割在网络中，将节点集划分为两个互不相交的子集，这个划分称为割。
割可以用来描述流量限制或流量约束。
在最小割问题中，割的容量描述了限制在网络中流量的最小边数。
二、网络流问题的应用1.最大流问题最大流问题是网络流问题中的一种，目标是在网络中从源节点到汇节点找到可行的最大流量。
最大流算法可以用于求解交通流优化问题、工作调度等。
2.最小割问题最小割问题是网络流问题中的另一种形式，目标是在网络中找到一个割，使得割的边数最小。
最小割算法可以用于求解电力系统分析、路网规划等问题。
3.多组源汇问题多组源汇问题是一种特殊的网络流问题，可以有多个源节点和汇节点，并且在每个节点之间还有容量限制。
多组源汇问题在物流调度、通信网络优化等领域有广泛应用。
三、常用的网络流算法1.最大流算法常用的最大流算法有Ford-Fulkerson算法、Edmonds-Karp算法和Dinic算法等。
这些算法利用增广路径或增广路进行迭代，直到无法找到增广路径为止。
2.最小割算法最小割算法有Ford-Fulkerson算法和推进-重贴算法等。
这些算法通过不断削减割的容量来求解最小割问题。
3.二部图匹配算法二部图匹配算法可以看做是一种特殊的网络流算法。
图——网络最大流问题(1)
运输方案与可行流
一个运输方案就是一个流，但一个可 行流才是一个运输方案，运输方案与可行流 之间存在一一对应关系。
因此，寻找最佳运输方案可以转换为 寻找流量最大的可行流问题。
最大流问题
最大流问题就是求一个流{fij}使其流量 v(f)达到最大，并且满足：
求解最大流的线性规划模型
示例
图
网络上的流
定义 网络上的流，是指定义在弧集合 A上的一个函数f={f(vi,vj)}，
f :AR
这里，称f(vi,vj)为弧(vi,vj)上的流量（简记 为fij）。
示例
图
① 每个弧上的流量不能超过该弧的最 大通过能力（即弧的容量）；
② 由于中间点只起转运作用，因此， 运出该点的产品总量与运进该点的产品总量 必须相等，也就是中间点的流量为零。
流出量等于流入量即一个运输方案就是一个流但一个可行流才是一个运输方案运输方案与可行流之间存在一一对应关系
网络最大流问题(1)
交通网示意图
图
运输方案示意图
网络最大流问题
面临的问题是： 在这个交通网上运送量是否还可以增 加，或者说这个运输网络中，从v1到v6的最 大运送量是多少呢? 这就是所谓的网络最大流问题。
示例
图
可行流
定义 满足下述条件的流f称为可行流： (1) 容量限制条件：对每一弧(vi,vj)∈A， 0≤fij≤cij ；
有缘学习更多＋谓ｙｇｄ３０７６或关注桃报：奉献教育（店铺）
可行流
(2) 平衡条件： 对于中间点：流出量等于流入量，即 对每个i(i≠s,t)有
可行流
对于发点vs，记
对于收点v在V中指定了 一点称为发点(记为vs)，而另一点称为收点 （记为vt），其余的点叫中间点。对于每一 个弧(vi,vj)∈A，对应有一个c(vi,vj)≥0(或简写 为cij)，称为弧的容量。通常就把这样的D叫 作一个网络。记作
图与网络分析 - 最大流问题
其中f(vi ,vj) =fij 叫做弧(vi，
vj)上的流量。
（2）可行流：称满足下列条件的流为可行流： 1）容量约束：对于每一个弧（vi ,vj）∈A有 0 fij cij 。 2）守恒条件：对于所用的中间点 v V {v s , v t )
有
( vi , v j )E
v4
5 (0)
vt
10 (1)
v3
v6
图中 (v 3 , v 6 ) 为零流弧，其余为非饱和弧、非零流弧。
流量v(f ) =8
最大流
• 网络上的流量最大的可行流称作的最大流 •所谓最大流问题就是求给定网络的最大流
（二）最大流的算法
1、由图编写程序
2、由lingo8.0软件求最大流
例8 现需要将城市s 的石油通过管道运送到城市 t,中间有4个中转站v1,v2,v3 和v4，城市与中转站的 连接以及管道的容量如下图所示，求从城市s 到城 市t 的最大流
Global optimal solution found at iteration: 6 Objective value: 14.00000 Variable Value Reduced Cost FLOW 14.00000 0.000000 F( S, 1) 7.000000 0.000000 F( S, 2) 7.000000 0.000000 F( 1, 2) 2.000000 0.000000 F( 1, 3) 5.000000 0.000000 F( 2, 4) 9.000000 -1.000000 F( 3, 2) 0.000000 0.000000 F( 3, T) 5.000000 -1.000000 F( 4, 3) 0.000000 1.000000 F( 4, T) 9.000000 0.000000 v1 (9,5) (2,0) (5,2) (7,7) v2 (9,9) v3 (5,5) (6,0) v4 t (10,9)
数学建模网络流问题
下面，我们用弧标号法求解图2中的最大流。
第一次修改：
（1）从发点s到收点t找一条路，使得这条路上的 所有弧前面的约束量 cij 0 。从图2中可以看出， 显然，① —③—⑥—⑦就是满足这样的条件的一 条路。
2 5 2
3
5
8 1 1 7 6 7 7
2
3 3
1
6 5
3 5 4
图1
点①出发的车辆数应该与点⑦到达的车辆数相同，除 ①和⑦以外的各中间点，进的车辆数应该与离去的车辆数 应该相同。
x12 x13 x14 x57 x67 f
x12 x32 x x 13 23 x14 x34 x x 35 25 x36 x 46 x 23 x 25 x32 x34 x35 x36 x 46 x65 x56 x57 x56 x65 x 67
（8）
（9 ）
（10）
所以，对于发点为 Vs ，收点为 Vt 的网络N（ V， U）， 当增加一条约束为cts=∞的假想弧（t，s）后，最大 流问题就成为： 容量约束：
0 xij cij
（11）
平衡条件：
( j ,i )U
x ji
( j , j )U
xij
（12）
目标函数：
果找不到这样的路，说明已经求得最大流，转步 骤4。
步骤 2. 在选定的路上，找到最小的容许量 cij定为P。
步骤3. 对选定的路上每条弧的容量作以下修改 ，对于与路同向的弧，将cij修改为cij-P，对于 与路反向的弧，将cij修改为cij+P。修改完毕后
数学建模 四大模型总结
四类基本模型1 优化模型1.1 数学规划模型线性规划、整数线性规划、非线性规划、多目标规划、动态规划。
1.2 微分方程组模型阻滞增长模型、SARS 传播模型。
1.3 图论与网络优化问题最短路径问题、网络最大流问题、最小费用最大流问题、最小生成树问题(MST)、旅行商问题(TSP)、图的着色问题。
1.4 概率模型决策模型、随机存储模型、随机人口模型、报童问题、Markov 链模型。
1.5 组合优化经典问题● 多维背包问题(MKP)背包问题：n 个物品，对物品i ，体积为i w ，背包容量为W 。
如何将尽可能多的物品装入背包。
多维背包问题：n 个物品，对物品i ，价值为i p ，体积为i w ，背包容量为W 。
如何选取物品装入背包，是背包中物品的总价值最大。
多维背包问题在实际中的应用有：资源分配、货物装载和存储分配等问题。
该问题属于NP 难问题。
● 二维指派问题(QAP)工作指派问题：n 个工作可以由n 个工人分别完成。
工人i 完成工作j 的时间为ij d 。
如何安排使总工作时间最小。
二维指派问题（常以机器布局问题为例）：n 台机器要布置在n 个地方，机器i 与k 之间的物流量为ik f ，位置j 与l 之间的距离为jl d ，如何布置使费用最小。
二维指派问题在实际中的应用有：校园建筑物的布局、医院科室的安排、成组技术中加工中心的组成问题等。
● 旅行商问题(TSP)旅行商问题：有n 个城市，城市i 与j 之间的距离为ij d ，找一条经过n 个城市的巡回（每个城市经过且只经过一次，最后回到出发点），使得总路程最小。
● 车辆路径问题(VRP)车辆路径问题（也称车辆计划）：已知n 个客户的位置坐标和货物需求，在可供使用车辆数量及运载能力条件的约束下，每辆车都从起点出发，完成若干客户点的运送任务后再回到起点，要求以最少的车辆数、最小的车辆总行程完成货物的派送任务。
TSP 问题是VRP 问题的特例。
● 车间作业调度问题(JSP)车间调度问题：存在j 个工作和m 台机器，每个工作由一系列操作组成，操作的执行次序遵循严格的串行顺序，在特定的时间每个操作需要一台特定的机器完成，每台机器在同一时刻不能同时完成不同的工作，同一时刻同一工作的各个操作不能并发执行。
图与网络模型_最大流问题
最大流问题在许多实际的网络系统中都存在着流量和最大流问题。
例如铁路运输系统中的车辆流，城市给排水系统的水流问题等等。
网络系统流最大流问题是图与网络流理论中十分重要的最优化问题，它对于解决生产实际问题起着十分重要的作用。
基本概念设一个赋权有向图D=(V , A)，在V 中指定一个发点（源）vs 和一个收点（汇）vt ，且只能有一个发点vs 和一个收点vt 。
（即D 中与vs 相关联的弧只能以 vs 为起点，与vt 相关联的弧只能以 vt 为终点），其他的点叫做中间点。
对于D 中的每一个弧(vi, vj)A ∈，都有一个权cij 叫做弧的容量。
我们把这样的图 D 叫做一个网络系统，简称网络，记做D =(V , A, C)。
VsVt 图1图1是一个网络。
每一个弧旁边的权就是对应的容量。
网络D 上的流，是指定义在弧集合A 上的一个函数f={f(vi, vj)}={fij}，f(vi,vj)=fij 叫做弧在(vi,vj)上的流量。
VsVt 图2图2中，每条弧上都有流量fij ，例如fs1=5，fs2=3，f13=2等。
容量是最大通过能力，流量是单位时间的实际通过量。
显然，0≤fij≤cij 。
网络系统上流的特点：(1)发点的总流出量和收点的总流入量必相等；(2)每一个中间点的流入量与流出量的代数和等于零；(3)每一个弧上的流量不能超过它的最大通过能力（即容量）。
网络上的一个流f={fij}叫做可行流，如果f 满足以下条件： （1）容量条件：对于每一个弧(vi,vj)A ∈，有0≤fij≤cij 。
（2）平衡条件：对于发点vs ，有∑f sj −∑f js =v (f ) 对于收点vt ，有∑f tj −∑f jt =−v (f )对于中间点，有∑f ij −∑f ji =0其中发点的总流量（或收点的总流量）v(f)叫做这个可行流的流量。
网络系统中最大流问题就是，在给定的网络上寻求一个可行流f={fij}，其流量v(f)达到最大值，即从vs 到vt 的通过量最大。
图——网络最大流问题(2)
定理8 可行流f *是最大流，当且仅当不 存在关于f *的增广链。
构造截集
，其中V*1按如下方式定义。
1）vs∈V1* ； 2）若vi∈V1*，且 3）若vi∈V1*，且
，则令vj∈V1* ， 则令vj∈V1*
假设vt∈V1* ，则根据V1*的构造规则， 就可得到一条从vs到vt的链：
其正向弧全都非饱和，反向弧全都非零， 即该链为增广链。由于不存在关于f *的增广 链，故
基本概念与基本定理
1）截集与截量
设 S,T⊂V ， S∩T=Ø ， 将 始 点 在 S 中 ， 终 点在T中的所有弧构成的集合，记为
(S,T)
截集
定义 给网络D=(V,A,C)，若点集V被剖分
为两个非空集合称为 网络D(分离vs和vt的)截
示例
设 V1={v1,v2,v3}， V2 ={v4,v5,v6}，则截集
（1）对μ上的所有前向弧，增加流量 ；
（2）对μ上的所有后向弧，减少流量 ； （3）对不在μ上的弧，令其流量保持不变.
记调整流量后的流为f′，即
fij
fij fij
, (vi , vj , (vi , vj
) )
fij
,
(vi
,
v
j
)
容易证明：流f′仍为可行流，其流量v(f′)=v(f)+ 。
1）在弧(vi,vj)∈μ+上，0≤fij＜cij ，即μ+ 中每一弧是非饱和弧；
2）在弧(vi,vj)∈μ-上，0＜fij≤cij，即μ-中 每一弧是非零流弧。
给定可行流f ，假设μ为关于f 的增广 链，令
min
min{cij
fij
},
min{
运筹学课程设计之最大网速问题的数学模型
最大网速问题的数学模型摘要本题给出了各节点之间的网络流图，需求解它们之间的最大流，即最大网速，为了能有效地解决此问题，我们首先利用求解最大流的标号法对网络图中的可增广链进行逐一分析，并对该链上的流量进行调整，直到该图中没有可增广链后，求得节点1到节点6的最大网速为6兆，然后再通过MATLAB 编程实现对标号法求解的结果进行验证。
最后，又通过提高各节点之间的网速来达到提高从节点1到节点6网速的目的，得出了各链之间增加的具体流量。
即s v 到1v 的容量应增加到263x +，3v 到t v 的容量应增加到22x+，2v 到4v 与4v 到t v 的容量都应增加到72x+。
当然若2023x <<，即03x <<，则s v 到1v 的容量不变。
同理，若032x<<，即06x <<，则2v 到4v 与4v 到t v 的容量也不变。
关键词：网络最大流；可增广链；网络流图；MATLAB ；目录一问题的提出 (1)二模型假设 (1)三符号说明 (2)四问题的分析 (2)五模型的建立与求解 (2)5.1 模型的建立 (2)5.1.1 可行流 (3)5.1.2 割集 (3)5.1.3 最大流-最小割定理 (4)5.1.4 可增广链推论 (4)5.1.5 寻求最大流的方法 (4)5.1.6 可行流调整算法 (4)5.1.7 最大流的标号算法 (4)5.2 模型的求解 (5)六模型的优化 (13)6.1 网络最大流的算法拓展 (13)6.2 问题的优化求解 (14)模型评价 (16)参考文献 (17)附录 (18)一、问题的提出下图为一网络，节点1到节点2的宽带带宽为6兆，节点1到节点3的宽带带宽为2兆，节点2到节点4的宽带带宽为3兆，…节点4到节点6的宽带带宽为2兆，求节点1到节点6的最大网速。
进一步，若想提高节点1到节点6的最大网速x兆，如何实现？二、模型假设2.1 假设流量在网络传输中没有损失；2.2 假设环境对网速没有影响；三、符号说明3.1 符号说明四、问题分析问题的分析：通过对题目的剖析，我们可以知道，要想求解最大流，我们必须要保证在从节点1到节点6之间没有可增广链，因此本题求解的方向是从如何求解可增广链，然后逐步求得最大流。